X 11 Ecuac 2° grado

5/15/2018 X 11 Ecuac 2° grado - slidepdf.com

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11 ME

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Propiedades Generales:Propiedades Generales:

A. Operaciones básicas con raíces :

Sea: ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0de raíces x1, x2

* Suma de raíces (S):

• Producto de raíces (P):

* Diferencia de raíces (D):

* Reconstrucción de la ecuación:

B. De las ecuaciones equivalentes:

Sean: ax2 + bx + c = 0

dx2 + ex + f = 0;

luego:

C. Naturaleza de las raíces :

Sea: ax

2

+ bx + c = 0 ; a≠

0donde: {a, b, c} ⊂ ℜ

Definimos su discriminante, así:

∆ = b2 – 4ac

* ∆ > 0 ⇔ 2 raíces reales diferentes

* ∆ = 0 ⇔ 2 raíces reales iguales

* ∆ < 0 ⇔ 2 raíces complejas y conjugadas

Nota:

* Posee raíces simétricas⇔

x1 + x2 = 0* Posee raíces recíprocas ⇔ x1 x2 = 1

Material de Clase

1. La suma de las raíces de la ecuación:

3x2 + ax + a – 6 = 0

es 4, hallar su producto.

2. La ecuación: 2x2 + 5x – 1 = 0, tiene como raíces r y s,hallar:

A) r 2 + s2

B) r 3 + s3

3. La ecuación: 3x2 + 7x – 8 tiene raíces r y s. Hallar una

ecuación que tenga raíces r 2 y s2.

4. Si r y s son raíces de la ecuación: x2 – 3x + 4 = 0,

hallar (2r + 3s + 1) (3r + 2s – 1) + 2s

5. Hallar el menor valor de “m” de modo que la ecuación:4x2 – mx + 1 = 0; tenga solución única.

6. Cuál o cuáles de las siguientes ecuaciones:

I) x2 – x – 1 = 0

II) x2 – 2x + 3 = 0

III) 3x2 + x – 2 = 0

no admite raíces reales.

7. Si la ecuación 2x2 + 3x + k – 3 = 0 tiene raíces reales y

diferentes; hallar el producto de todos los valor de k, si

k ∈ Ν.

8. La ecuación:

Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730

x1

+ x2

= S =

x1

x2

= P =

(x1

+ x2)2 – (x

1– x

2)2 = 4x, x

2

S2 – D2 = 4P

x2 – (x1

+ x2)x + x

1x

2= 0

x2 – Sx + P = 0

f

c

e

b

d

a==



Ecuac. 2do. Grado II

x2 – 5x + m + 2 = 0

posee raíces reales, mientras que:

2x2 + 3x + m = 0

posee raíces imaginarias. Calcular la suma de valores

enteros de “m”, que satisface estas condiciones.

9. Determine el mayor valor de “a” en la ecuación

cuadrática: ax2 + (5 – a)x + 1 = 0; de tal manera que el

producto de las raíces sea igual a la diferencia de las

mismas.

10. Si: x12 + x2

2 – x1x2 = 4

Siendo x1 y x2 soluciones de la ecuación:

x2 + (b – 2)x + (b – 2) = 0

Determinar el menor valor que adquiere:

x1x22 + x1

2x2

11. Si las ecuaciones:

x2 – nx + 6 = 0

x2 – (n + 1)x + 8 = 0

tienen una raíz en común, indicar la suma de raíces

no comunes.

12. Hallar el mayor valor de “a” en la ecuación:

P(x) = x2 – (2a + 4)x + a2 + 8 = 0

Si una raíz es triple de la otra.

13. Hallar la suma de cuadrados de las raíces de la

ecuación:

(k+2)x2 – 2(k+2)x + 2k – 6 = 0

sabiendo que una de dichas raíces es la inversa de la

otra.

14. En la siguiente ecuación cuadrática:

P(x) = x2 – (2n + 5)x + n = 0 si una raíz excede a la

otra en 3 unidades. Si x1, x2 son las raíces de la

ecuación, calcular: (1 – x1)(3 – x2)(1 – x2)(3 – x1)

1. Determinar la ecuación cuyas raíces sean –5/6 y –5/3:

A) 9x2 – 15x + 25 = 0

B) 18x2 + 25x + 25 = 0

C) 18x2 + 45x + 25 = 0

D) 18x2 – 15x + 25 = 0

E) N.A.

2. De la ecuación: 1x

5x11

x

15

2−=

+−

dar como respuesta la diferencia de sus raíces.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

3. Si las raíces de la ecuación cuadrática x2 – px + q = 0,

son reciprocas entre sí, hallar q.

A) 0 B) –1 C) 1 D) 2 E) N.A.

4. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficientes

racionales, en donde una de las raíces es: 3 + 2

A) x2

– 7x + 6 = 0B) x2 – 7x = 0

C) x2 – 6x – 7 = 0

D) x2 – 6x + 7 = 0

E) N.A.

5. Calcular “m” si las raíces de una ecuación:

(m + 1) x2 – 2mx + (m – 3) = 0, son iguales

A) 3/2 C) –3/2 E) N.A.

B) 2/3 D) –2/3

6. Hallar “k” si: x2

– 15 – k (2x – 8) = 0tiene raíces iguales.

A) 1 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

7. Calcular “m” si en la ecuación:

2x2 + (m – 1)x + (m + 1) = 0

Sus raíces difieren en 1

A) 1 B) –11 C) 6 D) 2 E) 11

8. Resolver:

x21x3 −+ = –6

dar como respuesta la suma de sus soluciones.

A) 7/4 B) 27/4 C) 5 D) –7/4 E) –5

9. Calcular “m” en:

x2 – 8x + m = 0

con raíces x1 y x2 si: 3x1 – 4x2 = 3

A) 5 B) 10 C) 15 D) 25 E) 35

10. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficientes

enteros cuyas raíces sean la suma y el producto de

las raíces de la ecuación:

5x2 – 7x + 13 = 0

Indicar el coeficiente de su término independiente.

A) 25 B) 91 C) –91 D) 100 E) –100

- 2 -




11. En la ecuación:

x

1

xba

1

ab

ba−

++

=+

El producto de las raíces es:

A) 0 B) 1 C) ab D) –ab E) N.A.

12. Resolver:9

10

)1x(

x

)1x(

x2

2

2

2

=

+

+

−

dar como respuesta la suma de las raíces reales.

A) 5 B) –1/2 C) 1/2 D) 0 E) –5

13. Calcular “m” en:

x

2

– mx + 48 = 0con raíces x1 y x2 si: x1 = 3x2

A) 16 B) –16 C) ± 16 D) 12 E) ± 12

14. Siendo “x1” y “x2” las raíces de la ecuación:

2mx2 + 2(m + 1)x + (m – 1) = 0

Calcular “m” si se cumple la siguiente relación:

1

2

2

1

x

x

x

x+ = 7 ; m > 0

Señale como respuesta el valor de: mm + 2m

A) –3 B) 0 C) 5 D) 8 E) 31

15. Hallar “c” para que en la ecuación: x2 – 8x + c = 0, una

raíz sea el inverso multiplicativo de la otra.

A) –1 B) 1 C) 16 D) –16 E) 0

16. En la ecuación: x2 – px + 36 = 0, determinar p tal que

se tenga:

12

5

s

1

r

1=+

Donde r, s son las raíces de dicha ecuación de

segundo grado. Dar como respuesta la suma de las

cifras de p.

A) 6 B) 5 C) 1 D) 4 E) 2

17. Halle el menor valor entero positivo del parámetro “n”

para que la ecuación cuadrática en “x”:

x2 + n x + 1 = 0, presente raíces reales.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) Más de 6

18. Formar la ecuación cuyas raíces son las inversas

multiplicativas de las raíces de la ecuación:

2x2 – 3x – 1 = 0

A) 2x2 + 3x – 2 = 0 D) x2 + 3x – 2 = 0

B) x2 – 3x – 2 = 0 E) N.A.

C) 2x2 – 3x + 1 = 0

19. Dada la ecuación 2x2 + 3px + p + 4 = 0, determinar el

producto de todos aquellos valores de p que hacen

que la suma de los cuadrados de las raíces sea 14.

A) –2 B) –6 C) –8 D) 6 E) N.A.

20. Si el discriminante de una ecuación general de

segundo grado es una cantidad positiva y cuadrado

perfecto, se afirma que las raíces son:

A) Reales e iguales

B) Racionales e iguales

C) Irracionales y desiguales

D) Enteras y desiguales

E) Racionales y desiguales

21. Si las raíces de la ecuación:

(2 + 2k)x2 – (1 + k)x + 4 = 0

son iguales, el valor de k es:

A) 31 B) 32 C) –1 D) 1 E) N.A.

22. Sabiendo que las raíces de la cuadrática en “x”:

x2 + bx + 30 = 0, son positivas y la diferencia entre

ellas es 7, halle el valor de “b”.

A) 13 C) 5 E) Más de una es correcta

B) –13 D) –5

23. Si las ecuaciones:

(2m + 1) x2 – (3m – 1) x + 2 = 0

∧ (n + 2) x2 – (2n + 1) x – 1 = 0

son equivalentes; calcular el valor de “m”

A) –9 B) 6,5 C) 9 D) –6,5 E) 14

24. Para qué una de las raíces de la ecuación

ax2 + bx + c = 0 sea el doble de la otra, los

coeficientes deben estar relacionados como sigue:

A) 4b2 = 9c D) 2b2 = 9ac

B) b2 – 8ac = 0 E) 2b2 = 9a

C) 9b2 – 2ac = 0

25. ¿Para cuántos valores naturales de a, la ecuación de

segundo grado, (a – 3) x2 + 3x + 2 = 0, t iene

soluciones reales?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

26. Encontrar el valor de “p” si una raíz es el doble de la

otra en la ecuación: x2 + 6x + p = 0

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.

27. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación:

- 3 -




x2 – (m – 1)x + m + 1 = 0

Calcular el valor de “m” si: 3

2

x

1

x

1

21

=+

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

28. Hallar la ecuación de segundo grado cuyas raíces

sean “n” veces las raíces de la ecuación:

ax2 – bx + c = 0

Indicar su término independiente.

A) a B) an C) nb D) nc E) n 2c

29. Si una de las raíces de la ecuación es (–6), hallar la

otra: x2 + (a + 3)x + a + 2 = 0

Calcular la otra raíz.

A) 4 B) 2 C) –1 D) –3 E) N.A.

30. Sabiendo que las raíces de la ecuación:

x2 – (3n – 2)x + n2 = 1

son números enteros y una de ellas es el triple de la

otra, éstas son:

A) 1 y 3 C) 3 y 9 E) 5 y 15

B) 2 y 6 D) 4 y 12

31. Hallar el cubo de la suma de las raíces de una

ecuación de segundo grado en la que sus tres

coeficientes son iguales.

A) 2 B) –1 C) 1 D) 3 E) –2

32. Las ecuaciones: x2 + ax + b = 0

x2 + cx + d = 0, a ≠ c, b ≠ d

tiene raíz común. El valor de esta es:

A) (b – d) / (a – c) D) ac/bd

B) (d – b) / (a – c) E) N.A.

C) bd/ac

33. Calcular n–m, sabiendo que las siguientes ecuaciones

tienen las mismas raíces:

(m – 2) x2 – (m + 2) x – (n3 + 6) = 0

(m – 1) x2 – (m2 + 1) x – (4n3 – 4) = 0

Nota: Considerar el mayor valor posible para m.

A) –1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5

34. En la ecuación: x2 – 3 x + q = 0, uno de los valores

de q que permite que la suma de los cuadrados de las

inversas de sus raíces sea 1 es:

A) –5 B) –3 C) 0 D) 3 E) 5

35. Calcular el valor de “t” para que se cumpla que:

r –2 + s –2 = –14 –1 en la siguiente ecuación:

x2 – tx – x + 28 = 0. r, s: raíces de la ecuación.

A) t = 1 ∨ t = –3 D) t = –2 ∨t = 1

B) t = 1 E) t = –2

C) t = –1

36. Si la ecuación: Kx2 + (2K + 1) x + K = 0, tiene raíces

iguales, hallar el producto de las raíces de la siguiente

ecuación: (4K + 3) y2 + 3Ky – 4K2 + 9 = 0

A) 35/8 B) 35/4 C) –35/8 D) –35/4 E) N.A.

37. Hallar “m” en la ecuación: x2 + (2m + 5) x + m = 0,

sabiendo que una raíz excede a la otra en 3 unidades.

A) 2 B) –2 C) 4 D) 1 E) –1

38. Si p y q son raíces de la ecuación:

x (x + 2b) = –2c , hallar p –2 + q –2

A) (b2 – c2) c –2 D) (b2 – c) c –2

B) (b2 – c2) c –1 E) (b – c2) c –1

C) (b – c2) c –2

39. Si r y s son raíces de la ecuación:

x2 – 3ax + a2 = 0, hallar: r 3 – s3 , si r 3 – s2 > 0

A) 8 3 a2 C) 8 3 a3 E) 8 5 a3

B) 8 5 a2

D) 8 2 a3

40. La ecuación x2 + bx + c = 0 tiene raíces r y s. Una

ecuación que tiene raíces 1/r 2 y 1/s2 es:

A) c2 x2 + (2c – b2) x + 1 = 0

B) c x2 + (2c – b2) x + 1 = 0

C) c2 x2 + (2c2 – b) x + 1 = 0

D) c2 x2 + (2c2 – b) x – 1 = 0

E) c2 x2 + (2c – b2) x – 1 = 0

- 4 -

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