5/15/2018 X 11 Ecuac 2° grado - slidepdf.com
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11 ME
ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA
Propiedades Generales:Propiedades Generales:
A. Operaciones básicas con raíces :
Sea: ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0de raíces x1, x2
* Suma de raíces (S):
• Producto de raíces (P):
* Diferencia de raíces (D):
* Reconstrucción de la ecuación:
B. De las ecuaciones equivalentes:
Sean: ax2 + bx + c = 0
dx2 + ex + f = 0;
luego:
C. Naturaleza de las raíces :
Sea: ax
2
+ bx + c = 0 ; a≠
0donde: {a, b, c} ⊂ ℜ
Definimos su discriminante, así:
∆ = b2 – 4ac
* ∆ > 0 ⇔ 2 raíces reales diferentes
* ∆ = 0 ⇔ 2 raíces reales iguales
* ∆ < 0 ⇔ 2 raíces complejas y conjugadas
Nota:
* Posee raíces simétricas⇔
x1 + x2 = 0* Posee raíces recíprocas ⇔ x1 x2 = 1
Material de Clase
1. La suma de las raíces de la ecuación:
3x2 + ax + a – 6 = 0
es 4, hallar su producto.
2. La ecuación: 2x2 + 5x – 1 = 0, tiene como raíces r y s,hallar:
A) r 2 + s2
B) r 3 + s3
3. La ecuación: 3x2 + 7x – 8 tiene raíces r y s. Hallar una
ecuación que tenga raíces r 2 y s2.
4. Si r y s son raíces de la ecuación: x2 – 3x + 4 = 0,
hallar (2r + 3s + 1) (3r + 2s – 1) + 2s
5. Hallar el menor valor de “m” de modo que la ecuación:4x2 – mx + 1 = 0; tenga solución única.
6. Cuál o cuáles de las siguientes ecuaciones:
I) x2 – x – 1 = 0
II) x2 – 2x + 3 = 0
III) 3x2 + x – 2 = 0
no admite raíces reales.
7. Si la ecuación 2x2 + 3x + k – 3 = 0 tiene raíces reales y
diferentes; hallar el producto de todos los valor de k, si
k ∈ Ν.
8. La ecuación:
Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730
x1
+ x2
= S =
x1
x2
= P =
(x1
+ x2)2 – (x
1– x
2)2 = 4x, x
2
S2 – D2 = 4P
x2 – (x1
+ x2)x + x
1x
2= 0
x2 – Sx + P = 0
f
c
e
b
d
a==
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Ecuac. 2do. Grado II
x2 – 5x + m + 2 = 0
posee raíces reales, mientras que:
2x2 + 3x + m = 0
posee raíces imaginarias. Calcular la suma de valores
enteros de “m”, que satisface estas condiciones.
9. Determine el mayor valor de “a” en la ecuación
cuadrática: ax2 + (5 – a)x + 1 = 0; de tal manera que el
producto de las raíces sea igual a la diferencia de las
mismas.
10. Si: x12 + x2
2 – x1x2 = 4
Siendo x1 y x2 soluciones de la ecuación:
x2 + (b – 2)x + (b – 2) = 0
Determinar el menor valor que adquiere:
x1x22 + x1
2x2
11. Si las ecuaciones:
x2 – nx + 6 = 0
x2 – (n + 1)x + 8 = 0
tienen una raíz en común, indicar la suma de raíces
no comunes.
12. Hallar el mayor valor de “a” en la ecuación:
P(x) = x2 – (2a + 4)x + a2 + 8 = 0
Si una raíz es triple de la otra.
13. Hallar la suma de cuadrados de las raíces de la
ecuación:
(k+2)x2 – 2(k+2)x + 2k – 6 = 0
sabiendo que una de dichas raíces es la inversa de la
otra.
14. En la siguiente ecuación cuadrática:
P(x) = x2 – (2n + 5)x + n = 0 si una raíz excede a la
otra en 3 unidades. Si x1, x2 son las raíces de la
ecuación, calcular: (1 – x1)(3 – x2)(1 – x2)(3 – x1)
1. Determinar la ecuación cuyas raíces sean –5/6 y –5/3:
A) 9x2 – 15x + 25 = 0
B) 18x2 + 25x + 25 = 0
C) 18x2 + 45x + 25 = 0
D) 18x2 – 15x + 25 = 0
E) N.A.
2. De la ecuación: 1x
5x11
x
15
2−=
+−
dar como respuesta la diferencia de sus raíces.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
3. Si las raíces de la ecuación cuadrática x2 – px + q = 0,
son reciprocas entre sí, hallar q.
A) 0 B) –1 C) 1 D) 2 E) N.A.
4. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficientes
racionales, en donde una de las raíces es: 3 + 2
A) x2
– 7x + 6 = 0B) x2 – 7x = 0
C) x2 – 6x – 7 = 0
D) x2 – 6x + 7 = 0
E) N.A.
5. Calcular “m” si las raíces de una ecuación:
(m + 1) x2 – 2mx + (m – 3) = 0, son iguales
A) 3/2 C) –3/2 E) N.A.
B) 2/3 D) –2/3
6. Hallar “k” si: x2
– 15 – k (2x – 8) = 0tiene raíces iguales.
A) 1 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
7. Calcular “m” si en la ecuación:
2x2 + (m – 1)x + (m + 1) = 0
Sus raíces difieren en 1
A) 1 B) –11 C) 6 D) 2 E) 11
8. Resolver:
x21x3 −+ = –6
dar como respuesta la suma de sus soluciones.
A) 7/4 B) 27/4 C) 5 D) –7/4 E) –5
9. Calcular “m” en:
x2 – 8x + m = 0
con raíces x1 y x2 si: 3x1 – 4x2 = 3
A) 5 B) 10 C) 15 D) 25 E) 35
10. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficientes
enteros cuyas raíces sean la suma y el producto de
las raíces de la ecuación:
5x2 – 7x + 13 = 0
Indicar el coeficiente de su término independiente.
A) 25 B) 91 C) –91 D) 100 E) –100
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Ecuac. 2do. Grado II
11. En la ecuación:
x
1
xba
1
ab
ba−
++
=+
El producto de las raíces es:
A) 0 B) 1 C) ab D) –ab E) N.A.
12. Resolver:9
10
)1x(
x
)1x(
x2
2
2
2
=
+
+
−
dar como respuesta la suma de las raíces reales.
A) 5 B) –1/2 C) 1/2 D) 0 E) –5
13. Calcular “m” en:
x
2
– mx + 48 = 0con raíces x1 y x2 si: x1 = 3x2
A) 16 B) –16 C) ± 16 D) 12 E) ± 12
14. Siendo “x1” y “x2” las raíces de la ecuación:
2mx2 + 2(m + 1)x + (m – 1) = 0
Calcular “m” si se cumple la siguiente relación:
1
2
2
1
x
x
x
x+ = 7 ; m > 0
Señale como respuesta el valor de: mm + 2m
A) –3 B) 0 C) 5 D) 8 E) 31
15. Hallar “c” para que en la ecuación: x2 – 8x + c = 0, una
raíz sea el inverso multiplicativo de la otra.
A) –1 B) 1 C) 16 D) –16 E) 0
16. En la ecuación: x2 – px + 36 = 0, determinar p tal que
se tenga:
12
5
s
1
r
1=+
Donde r, s son las raíces de dicha ecuación de
segundo grado. Dar como respuesta la suma de las
cifras de p.
A) 6 B) 5 C) 1 D) 4 E) 2
17. Halle el menor valor entero positivo del parámetro “n”
para que la ecuación cuadrática en “x”:
x2 + n x + 1 = 0, presente raíces reales.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) Más de 6
18. Formar la ecuación cuyas raíces son las inversas
multiplicativas de las raíces de la ecuación:
2x2 – 3x – 1 = 0
A) 2x2 + 3x – 2 = 0 D) x2 + 3x – 2 = 0
B) x2 – 3x – 2 = 0 E) N.A.
C) 2x2 – 3x + 1 = 0
19. Dada la ecuación 2x2 + 3px + p + 4 = 0, determinar el
producto de todos aquellos valores de p que hacen
que la suma de los cuadrados de las raíces sea 14.
A) –2 B) –6 C) –8 D) 6 E) N.A.
20. Si el discriminante de una ecuación general de
segundo grado es una cantidad positiva y cuadrado
perfecto, se afirma que las raíces son:
A) Reales e iguales
B) Racionales e iguales
C) Irracionales y desiguales
D) Enteras y desiguales
E) Racionales y desiguales
21. Si las raíces de la ecuación:
(2 + 2k)x2 – (1 + k)x + 4 = 0
son iguales, el valor de k es:
A) 31 B) 32 C) –1 D) 1 E) N.A.
22. Sabiendo que las raíces de la cuadrática en “x”:
x2 + bx + 30 = 0, son positivas y la diferencia entre
ellas es 7, halle el valor de “b”.
A) 13 C) 5 E) Más de una es correcta
B) –13 D) –5
23. Si las ecuaciones:
(2m + 1) x2 – (3m – 1) x + 2 = 0
∧ (n + 2) x2 – (2n + 1) x – 1 = 0
son equivalentes; calcular el valor de “m”
A) –9 B) 6,5 C) 9 D) –6,5 E) 14
24. Para qué una de las raíces de la ecuación
ax2 + bx + c = 0 sea el doble de la otra, los
coeficientes deben estar relacionados como sigue:
A) 4b2 = 9c D) 2b2 = 9ac
B) b2 – 8ac = 0 E) 2b2 = 9a
C) 9b2 – 2ac = 0
25. ¿Para cuántos valores naturales de a, la ecuación de
segundo grado, (a – 3) x2 + 3x + 2 = 0, t iene
soluciones reales?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
26. Encontrar el valor de “p” si una raíz es el doble de la
otra en la ecuación: x2 + 6x + p = 0
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.
27. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación:
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Ecuac. 2do. Grado II
x2 – (m – 1)x + m + 1 = 0
Calcular el valor de “m” si: 3
2
x
1
x
1
21
=+
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
28. Hallar la ecuación de segundo grado cuyas raíces
sean “n” veces las raíces de la ecuación:
ax2 – bx + c = 0
Indicar su término independiente.
A) a B) an C) nb D) nc E) n 2c
29. Si una de las raíces de la ecuación es (–6), hallar la
otra: x2 + (a + 3)x + a + 2 = 0
Calcular la otra raíz.
A) 4 B) 2 C) –1 D) –3 E) N.A.
30. Sabiendo que las raíces de la ecuación:
x2 – (3n – 2)x + n2 = 1
son números enteros y una de ellas es el triple de la
otra, éstas son:
A) 1 y 3 C) 3 y 9 E) 5 y 15
B) 2 y 6 D) 4 y 12
31. Hallar el cubo de la suma de las raíces de una
ecuación de segundo grado en la que sus tres
coeficientes son iguales.
A) 2 B) –1 C) 1 D) 3 E) –2
32. Las ecuaciones: x2 + ax + b = 0
x2 + cx + d = 0, a ≠ c, b ≠ d
tiene raíz común. El valor de esta es:
A) (b – d) / (a – c) D) ac/bd
B) (d – b) / (a – c) E) N.A.
C) bd/ac
33. Calcular n–m, sabiendo que las siguientes ecuaciones
tienen las mismas raíces:
(m – 2) x2 – (m + 2) x – (n3 + 6) = 0
(m – 1) x2 – (m2 + 1) x – (4n3 – 4) = 0
Nota: Considerar el mayor valor posible para m.
A) –1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5
34. En la ecuación: x2 – 3 x + q = 0, uno de los valores
de q que permite que la suma de los cuadrados de las
inversas de sus raíces sea 1 es:
A) –5 B) –3 C) 0 D) 3 E) 5
35. Calcular el valor de “t” para que se cumpla que:
r –2 + s –2 = –14 –1 en la siguiente ecuación:
x2 – tx – x + 28 = 0. r, s: raíces de la ecuación.
A) t = 1 ∨ t = –3 D) t = –2 ∨t = 1
B) t = 1 E) t = –2
C) t = –1
36. Si la ecuación: Kx2 + (2K + 1) x + K = 0, tiene raíces
iguales, hallar el producto de las raíces de la siguiente
ecuación: (4K + 3) y2 + 3Ky – 4K2 + 9 = 0
A) 35/8 B) 35/4 C) –35/8 D) –35/4 E) N.A.
37. Hallar “m” en la ecuación: x2 + (2m + 5) x + m = 0,
sabiendo que una raíz excede a la otra en 3 unidades.
A) 2 B) –2 C) 4 D) 1 E) –1
38. Si p y q son raíces de la ecuación:
x (x + 2b) = –2c , hallar p –2 + q –2
A) (b2 – c2) c –2 D) (b2 – c) c –2
B) (b2 – c2) c –1 E) (b – c2) c –1
C) (b – c2) c –2
39. Si r y s son raíces de la ecuación:
x2 – 3ax + a2 = 0, hallar: r 3 – s3 , si r 3 – s2 > 0
A) 8 3 a2 C) 8 3 a3 E) 8 5 a3
B) 8 5 a2
D) 8 2 a3
40. La ecuación x2 + bx + c = 0 tiene raíces r y s. Una
ecuación que tiene raíces 1/r 2 y 1/s2 es:
A) c2 x2 + (2c – b2) x + 1 = 0
B) c x2 + (2c – b2) x + 1 = 0
C) c2 x2 + (2c2 – b) x + 1 = 0
D) c2 x2 + (2c2 – b) x – 1 = 0
E) c2 x2 + (2c – b2) x – 1 = 0
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