7/25/2019 XEOMETRIA_13-14

1/8

XEOMETRA

1.-Sexara recta que pasa polos puntos P(0,8,3) e Q(2,8,5) e sa recta:

s:

02

07

zy

yx. a)Estudar a posicin relativa de re s. Si se cortan, calcular o punto de corte.

b)Calcula a ecuacin da recta que pasa por P e perpendicular ao plano que conten a re a s.

2.-Sexan o plano que pasa polos puntos A(1,-1,1), B(2,3,2), C(3,1,0) e ra recta dada por r:

2

3

1

6

2

7

zyx

a)Calcular o ngulo que forman a recta r e o plano . Calcula o punto de interseccin de re .b)Calcula os puntos da recta rque distan 6 unidades do plano

3.-Dados 1:x+y+z-1=0 , 2:y-z+2=0 e1

1

1

1

2:

zyx

r .

a)Calcula o ngulo que forman 1e 2. Calcula o ngulo que forman 1e r.b)Estuda a posicin relativa da recta re a recta interseccin dos planos 1e 2.

4.-a)Calcula a ecuacin da recta que pasa polo punto P(2,3,5) e perpendicular ao plano

32

22

21

:

z

y

x

b)Calcular a distancia do punto P(2,3,5) ao plano . Calcula o punto de que est maisprximo ao punto (2,3,5).

5.-Dada a recta r:

07z3y5x3

03zyx

a)Calcular a ecuacin xeral do plano perpendicular a r eque pasa polo punto P(2,-1,-2)b)Calcula o punto Q no que r corta a . Calcula o ngulo que forma o plano con cada un dos

planos coordenados

6.-Dadas as rectas

04z4y5

012y3x4:s

6z

4y

33x

:r

a)Estuda a sa posicin relativa. Si se cortan , calcula o punto de corte e o ngulo que forman r

e s.b)Calcula , si existe, o plano que as contn.

7.-a)En que posicin relativa poden estar tres planos no espazo que non teen ningn puntoen comn?b)Determine a posicin relativa dos planos : x 2y + 3z = 4, : 2x +y + z + 1 = 0 e

: 2x + 4y 6z = 0.

8.-a) ngulo que forman das rectas.b)Determine o ngulo que forman a recta r, que pasa polo punto (1, 1, 0) e tal que o seu

vector director )1,0,2(v

, e a recta s de ecuacin: 2

z

4

6y

4

7x

7/25/2019 XEOMETRIA_13-14

2/8

9.-Sexa r a recta que pasa polo punto P(1,-1,-2) e perpendicular ao plano : x+2y+3z+6=0.Sexa s a recta que pasa polos puntos A(1,0,0) e B(-1,-3,-4).a)Estuda-la posicin relativa das recta r e s. Si se cortan, calcular o punto de corte.b)Calcular a distancia do punto A(1,0,0) ao plano que pasa polo punto P(1, -1,-2) e paraleloa .

10.-Dada a recta

04zx

1y:r

a)Calcular a ecuacin do plano que pasa polo punto Q(0,2,2) e contn recta r. Calcular a

rea do tringulo que ten por vrtices os puntos de interseccin de cos eixes decoordenadas.b)Calcular a ecuacin xeral do plano que conten recta r e perpendicular plano .

11.-Calcular a distancia entre as rectas de ecuacins:

4

3z

3

2y2x:se

7

4z

3

1yx:r

12.-Demostrar que os puntos P(0,0,4) , Q(3,3,3) , R(2,3,4) e S(3,0,1) son coplanarios edeterminar o plano que os contn.

13.-Comprobar que os puntos A(1,0,3) , B(-2,5,4) , C(0,2,5) e D(-1,4,7) son coplanarios. Detdolos tringulos que se poden construr tendo como vrtices tres deses catro puntos, Cl o de maior rea?. Obte-lo valor de dita rea

14.-Achar a ecuacin xeral do plano que contn recta r:

2

z

4

1y

2

1xe paralelo

recta s que pasa polos puntos P(2,0,1) e Q(1,1,1). Calcular a distancia de s a

15.-a) Qu condicin deben cumprir os coeficientes das ecuacins xerais de dous planospara que estes sexan perpendiculares?b) Ache o ngulo que forman os planos : 2x-y+z-7=0 e : x+y+2z=11.

16.-a) Definicin de produto mixto de tres vectores. Pode ocorrer que o produto mixto detres vectores sexa cero sen ser ningn dos vectores o vector nulo? Razoe a resposta.

b) Para

w,v,u , tres vectores no espazo tales que 5we,3v,2u

, ache os

valores mnimo e mximo do valor absoluto do seu produto mixto.

17.-A. Qu significa xeometricamente que tres vectores do espazo tridimensional sexanlinealmente dependentes?

B. Dados os vectores

)5,8,3(ve)0,1,1(v,)2,3,1(u,)1,2,1(u 2121 demostre que

os vectores

21 ueu dependen linealmente dos vectores

21 vev . Determine a ecuacin

xeral do plano que pasa pola orixe e contn os vectores

21 vev , e determine a posicin

relativa dos vectores

21 ueu respecto a ese plano.18.-A. Definicin de produto escalar de dous vectores. Interpretacin xeomtrica.

7/25/2019 XEOMETRIA_13-14

3/8

B. Determine a ecuacin que satisfacen os vectores ortogonais recta

0z3yx

0zyx2:r .

Interprete xeometricamente o resultado obtido.

19.-a) Definicin de mdulo dun vector. Propiedades.b) Determine os valores de a e b , a>0 , para que os vectores:

)a,b,b(v,)b,a,b(v,)b,b,a(v 321

sexan unitarios e ortogonais dous a dous.

20.-a) ngulo que forman unha recta e un plano.

b) Determine o ngulo que forman o plano : x+2y-3z+4=0 e a recta

12z2y3

0yx2:r

21.-A. Calcula a distancia da orixe de coordenadas ao plano que pasa polo punto P(1,1,2) e

perpendicular recta 0zy

0zyx4:r

B. Calcular a rea do tringulo que ten por vrtices os puntos de interseccin do plano : x-2y+2z-3=0 cos eixos de coordenadas. un tringulo rectngulo?

22.-a) Dados os planos

31z

22y

223x

:;01z2y2x:21 , estuda a sa

posicin relativa e calcula a distancia entre eles.

b) Dado o punto P(2,1,7), calcula o seu simtrico respecto ao plano

2

23.-a) Sexan

v,u dous vectores tales que 5vu,4v,3u

. Calcula o

ngulo que forman os vectores

veu . Calcula o produto mixto

vxu,v,u , sendo

vxu

o produto vectorial de

veu .

b) Dadas as rectas

4z

4y

61x

:s;

2

1z

2

1y

3

3x:r estuda a sa posicin

relativa e calcula a ecuacin do plano que pasa polo punto P(1,1,1) e contn a r.

24.-a) Son coplanarios os puntos A(1,0,0), B(3,1,10), C(1,1,1) e D(3,0,-1). En caso afirmativocalcula a distancia da orixe de coordenadas ao plano que os contn?b) Calcula o punto simtrico do punto (0,0,1) respecto do plano de ecuacin x-2y+2z-1=0

25.-a)Calcular m para que os puntos A(2,1,-2), B(1,1,1) e C(0,1,m) estean aliados.b)Calcula o punto simtrico do punto P(-2,0,0) respecto da recta que pasa polos puntosA(2,1,-2) e B(1,1,1).

7/25/2019 XEOMETRIA_13-14

4/8

26.-Dadas as rectas:

1z

23y

1x

:s;3

2z

1

1y

1

x:r

a)Estuda a sa posicin relativa.

b)Calcula a ecuacin do plano que contn recta r e paralelo recta s.

27.-a)Os puntos A(1,1,0) , B(0,1,1) e C(-1,0,1) son vrtices consecutivos dun paralelogramoABCD. Calcula as coordenadas do vrtice D e a rea do paralelogramo.

b)Calcula a ecuacin do plano que pasa polo punto B(0,1,1) e perpendicular recta que pasapolos puntos A(1,1,0) e C(-1,0,1).

28.-Dadas as rectas2

2z

2

1y

1

x:s;

22z

2y

1x

:r

a)Estuda a sa posicin relativa.b)Calcula a ecuacin do plano que contn s das rectas.

29.-a)Distancia entre das rectas que se cruzan.b)Ache a distancia entre as rectas r e s de ecuacins:

2z

2y

1x

:s

1z

1y

x

:r

30.-a)ngulo que forman das rectas. Condicin de perpendicularidade.b)Determine o ngulo que forman a recta que pasa polos puntos A=(1,0,-1) e B(0,1,-2) e a

recta de ecuacin:1

2z

2

1yx

31.-a)Definicin e interpretacin xeomtrica do produto vectorial de dous vectores en R3

b)Calcula os vectores unitarios e perpendiculares s vectores )1,0,1(ve)2,2,1(u

.

c)Calcula a distancia da orixe de coordenadas plano determinado polo punto (1,1,1) e os

vectores )1,0,1(ve)2,2,1(u

.

32.-Dado o plano : 2x+y+3=0 ; e a recta

0z2yx7

06z2y2x:r

a)Calcula o valor de para que a recta r e o plano sexan paralelos. Para ese valor de ,

calcula a distancia entre r e .b)Para algn valor de , a recta est contida no plano ? Xustifica a resposta.c)Para algn valor de , a recta e o plano son perpendiculares?. Xustifica a resposta.

33.-a)Dados os vectores )0,1,1(ve)1,0,1(u

, calcula os vectores unitarios de R3

que son ortogonais s dous vectores dados.

b)Sexa o plano determinado polo punto P(2,2,2) e os vectores )0,1,1(ve)1,0,1(u

. Calcula o ngulo que forma o plano coa recta que pasa polos puntos O(0,0,0) e Q(2,-2,2).

7/25/2019 XEOMETRIA_13-14

5/8

c)Calcula o punto simtrico de O(0,0,0) respecto do plano x-y+z-2=0.

34.-Os lados dun tringulo estn sobre as rectas:

0zx

01zyx:r;

1z

t2y

t2x

:r;

2

1z

1

1y

1

1x:r 321

a)Calcular os vrtices do tringulo. un tringulo rectngulo? Razoa a resposta.b)Calcula a ecuacin do plano que contn tringulo. Calcula a interseccin do plano cos

eixos OX,OY, e OZ.

35.-Acha-la ecuacin do plano que pasando polos puntos A(1,-2,1) , B(0,1,0) paralelo recta

1z2

1y2

2

1x:r

. Obte-lo seno do ngulo de incidencia do eixo X con dito plano.

36.-Determinar segundo os valores de m, se as rectas:

2zy4x

1mzyx2:r

2

1zy1

2

1x:r teen algn punto en comn.

37.-Determina-las condicins que teen que cumprir a e b para que os tres planos: ax+z-1=0 ,

x+bz+2=0 , 5 x+3y+2z-3=0 se corten nun punto. Poendo a=2 e b=1 ,obtase a ecuacin

paramtrica da recta determinada polos dous primeiros, as como o ngulo que est forma coterceiro.

38.-Calcular algn valor do parmetro a para que o produto vectorial de (1,2,a) e (1,a,0) teaa direccin do eixo OZ.

39.-Calclese a rea do tringulo determinado polas interseccins do plano 2x+y+z=2 coseixos coordenados.

40.-Obtanse as ecuacins da recta de interseccin do plano , que pasa polos puntosA(1,0,1) ,B(1,1,0) , c(0,1,1) co plano que sendo perpendicular a contn recta

2

1z2y

2

1x

41.-Discutir, segundo os valores do parmetro a, a posicin relativa dos seguintes planos:2x+ay =0

x+ az=ax+y+3z=5

42.-Calcula-lo ngulo formado polas rectas de ecuacins:

1

1z

3

1y

1

2x:s

1

1z

1

3y

2

1x:r

43.-Calcula-la rea do tringulo do que os vrtices son os puntos de interseccin do plano2x+3y+4z=12 cos tres eixos de coordenadas.

44.-Calcula-la ecuacin do plano que pasa polo punto (4,4,1) e perpendicular recta de

ecuacins: 3x-y=5 , 4x+z=8

7/25/2019 XEOMETRIA_13-14

6/8

45.-Calcula-lo volumen do tetraedro que forman os planos: x=0 , y=0 , z=0 , x+y+z=2.

46.-Determinar a para que os planos de ecuacins: 2x-y+z=3 , x-y+z=2 , 3x-y-az=-4a , secorten nunha recta r. Encontra-la ecuacin do plano que contn a esa recta r e que pasa polopunto (2,1,3).

47.-Calcular, en funcin do parmetro a, a posicin das rectas:

a1azx

0z2y:r

0azy

1z2x:r 21

48.-Determina-lo plano que contn recta

3zy3x

5zyxr e paralelo recta

4

10z

3

1y

2

1xs

49.-Dada a recta r, de ecuacins

3zy

2z3x

a)Determinar a ecuacin dun plano que contn a recta r e est a unha distancia 8 do

punto P(1,2,3).b)Calcula a distancia do punto P recta r.

50.-Calcula-la distancia entre os planos de ecuacins: 2x+6y+4=0 e x+3y+4=0.

51.-Acha-lo punto simtrico de A(3,2,1) respecto da recta

4

10z

3

1y

2

1xr

52.-Dadas as rectas

3a4y2ax

3z2y3s

3azy3x3

12z2x3r . Determina-los valores

de a para os que as rectas r e s estn nun mesmo plano e determinar ese plano.

53.-Acha-la ecuacin do plano que pasa polos puntos A(2,0,2) e B(1,-1,2) e perpendicular plano dado por x-y+2z-1=0. Acha a ecuacin xeral ou implcita do plano e calcula unharecta r paralela plano e que a distancia menor entre mbolos dous sexa de 6 unidades.

54.-Dadas as rectas r: (x,y,z)= (1,-1,1)+(k,-2,3) e

013z2y3x4

05z4y3x2:s . Determina-lo

valor de k para que r e s sexan coplanarias. Neste suposto, calcula a ecuacin do plano que ascontn.

55.-Demostra que as seguintes recta se cortan nun punto:r (x,y,z)=(3,-4,0)+(2,-3,-2)s (x,y,z)=(-7,1,2)+(4,-1, 0). Calcula a ecuacin implcita do plano que as conten.

56.-Dada a recta r de ecuacin continua1

z

2

1y

1

2x

e o plano de ecuacin 2x-

y+3z+6=0. Pdese:A)Calcula-lo ngulo que forman a recta r e o plano .

7/25/2019 XEOMETRIA_13-14

7/8

B)Determina-la ecuacin continua da recta s, proxeccin ortogonal da recta r sobre o plano .

57.-a)Son coplanarios os puntos A(1,0,2),B(0,-1,1),C(-1,-2,0)e D(0,2,2)? Se existe, calcula aecuacin do plano que os contn.b)Calcula a ecuacin xeral e as ecuacins paramtricas do plano que perpendicular ao plano

: 2x+y-3z+4=0 e contn recta que pasa polos puntos P(-1,1,2) e Q(2,3,6).

58.-a)Calcula a ecuacin do plano que pasa polo punto P(1,2-3) e perpendicular recta

01zx3

02yx2:r

b)Calcula a distancia d do punto Q(-1,0,-2) ao plano : x-2y+3z+12=0. Calcula , se existe, outropunto da recta r que tamn diste d do plano .

59.-a)Dado o plano

z

y

2x

: , calcula a ecuacin da recta r que pasa polo punto P(1,-

2,1) e perpendicular a . Calcula o punto de interseccin de r e .b)Estn aliados os puntos A(2,0,3) , B(0,0,1) e C(2,1,5)?. Se non estn aliados, calcula adistancia entre o plano que determinan eses tres puntos e o plano do apartado a)

60.-a)Estuda a posicin relativa da recta1

z

2

1y

1

1x:r

e a recta s que pasa polos

puntos P(0,2,1) e Q(1,1,1). Calcula a distancia de r a s.b)Calcula a ecuacin xeral do plano que paralelo recta r e contn recta s.

61.-Dados os puntos A(3,0,2) , B(1,-2,0) , C(1,-1,3) e D( , 2 , ):a)Determinar o valor de para que A, B, C e D sexan coplanarios. Para algn valor de sonA, B, C e D vrtices consecutivos dun paralelogramo?b)Calcula as ecuacins paramtricas do plano que pasa polo punto C e perpendicular recta r que pasa polos puntos A e B.

62.-a)Se 14|wv|e10|w|,6|v|

, calcula o ngulo que forman os vectores

wev .

b)Calcula as ecuacins paramtricas e a ecuacin xeral do plano que pasa polos puntos A(-

1,5,0) e B(0,1,1) e paralelo recta

01z3y2

03y2x3:r

63.-Dado o plano : x-2y+3z+6=0.a)Calcula a rea do tringulo de vrtices os puntos de corte de cos eixes de coordenadas.b)Calcula a ecuacin xeral do plano que perpendicular ao plano , paralelo recta que pasa

polos puntos B(0,3,0) e C(0,0,-2) e pasa pola orixe de coordenadas.c)Calcula o punto simtrico da orixe de coordenadas respecto do plano : x-2y+3z+6=0.

64.-a)Estuda a posicin relativa dos planos

1z

1y

23x

:,05zyx:21

Se se cortan nunha recta, escribe as sas ecuacins paramtricas.

b)Calcula a ecuacin do plano3 , que pasa pola orixe de coordenadas e perpendicular a

21 e . Calcula a interseccin de 321 e, .

7/25/2019 XEOMETRIA_13-14

8/8

65.- Dados o plano : :x+y-z-1=0 e a recta r: a) Estuda a posicin relativa de r e . Calcula a distancia de r a .b) Calcula a ecuacin xeral ou implcita do plano que contn a r e perpendicular a .

66.- Calcula:a) As ecuacins paramtricas da recta r que pasa pola orixe de coordenadas e perpendicular plano determinado polos puntos A(1, 0, 2), B(2, 1, 3), C(3,0,0).b) Os posibles valores de para que o punto P(, , ) equidiste da recta r e do plano doapartado anterior.

67.- Dadas as rectas:

a) Estuda a posicin relativa de r e s. Se se cortan, calcula o punto de corte. Se determinan unplano,calcula a ecuacin xeral ou implcita dese plano.b) Estuda a posicin relativa de r e o plano :4x-4y+2z+7=0. Calcula a distancia de r a .

68.- a) Dado o plano calcula as ecuacins en forma continua da recta rque pasa polo punto P(2,3,4) e perpendicular plano . Calcula o punto de corte de r con.b) Calcula a ecuacin implcita ou xeral do plano que pasa polos puntos P(2,3,3) e Q(3,2,4)e perpendicular plano .c) Calcula as ecuacins paramtricas da recta interseccin do plano : 5x4y+z-19= 0 co plano.