XVII. CUERPO RÍGIDO. TRABAJO E

IMPULSO

Así como en el estudio de la partícula los métodos del trabajo y la

energía y del impulso y la cantidad de movimiento nos permitieron abordar

ciertos problemas de un modo más eficiente, también esos conceptos nos

ayudarán en la resolución de un gran número de problemas del cuerpo rígi-

do. Comenzaremos ampliando para el cuerpo rígido los conceptos sobre

trabajo y energía, conforme al tipo de movimiento de que esté dotado. La

última parte la dedicaremos al impulso y el moméntum.

Trabajo y energía

En los capítulos correspondientes, quedaron definidos los conceptos de

trabajo, energía cinética, energía potencial gravitacional y energía poten-

cial elástica, que ahora volveremos a utilizar, tal como los conocemos. Asi-

mismo, emplearemos sin cambios las fórmulas del trabajo y la energía ci-

nética y la general del trabajo y la energía:

Hemos escrito la fórmula general como la conocíamos. Aunque el

último término no se aplica a los cuerpos rígidos, dada su imposibilidad de

deformarse, sí se requiere en aquellos sistemas en los que interviene algún

𝑈 = ∆𝑇

𝑈′ = ∆𝑇 + ∆𝑉𝑔 + ∆𝑉𝑒

Cuerpo rígido. Trabajo e impulso

410

cuerpo elástico. Estas fórmulas sirven para resolver problemas en los que

hay que relacionar rapideces lineales con desplazamientos, o rapideces

angulares con desviaciones angulares.

Traslación pura

Cuando un cuerpo rígido se mueve con traslación pura, es decir, que

todas sus rectas conservan su dirección original durante el movimiento, su

estudio se reduce al de una cualquiera de sus partículas. Por tanto, las

expresiones

∆𝑇 =1

2𝑚(𝑣2

2 − 𝑣12)

∆𝑉𝑔 = 𝑚𝑔(ℎ2 − ℎ1)

∆𝑉𝑒 =1

2𝑘(𝑥2

2 − 𝑥12)

se emplean como si se tratara del caso de una partícula. Para el incremento

de la energía potencial gravitacional, la diferencia de alturas se refiere par-

ticularmente a la correspondiente al centro de gravedad, lo cual hay que

tener en cuenta también en los casos de la rotación pura no baricéntrica y

del movimiento plano general.

Rotación pura

Ya hemos visto que para que se produzca la rotación baricéntrica de un

cuerpo se requiere un sistema de fuerzas cuya resultante sea un par. Convie-

ne, por tanto, que calculemos el trabajo de un par.

Trabajo de un par de fuerzas Consideremos un cuerpo rígido sujeto a la acción de dos fuerzas paralelas

de magnitud F cuyas líneas de acción estén separadas una distancia d, como

Cuerpo rígido. Trabajo e impulso

411

se muestra en la figura: se trata de un par

de magnitud M = F d. Si tomamos el

punto O como punto base, el trabajo del

par de fuerzas que desvié el menhir un

ángulo dϴ será igual a

𝑈 = ∫ 𝐹 𝑑𝑠

pero ds es igual a d dθ. Por tanto

𝑈 = ∫ 𝐹 𝑑𝑑𝜃

Hemos deducido que el trabajo de un par de fuerzas es igual al producto

de la magnitud del par por la desviación angular del cuerpo.

Energía cinética

La energía cinética de un cuerpo es igual a la suma de las energías ciné-

ticas de todas las partículas que lo conforman. Y la de cada partícula es fun-

ción de su rapidez v, que puede expresarse como el producto de la rapidez

angular del cuerpo, ω, por la distancia r de la partícula al centro de rotación.

Podemos escribir, por tanto:

𝑇 = ∫1

2𝑣2𝑑𝑚 =

1

2∫(𝜔𝑟)2𝑑𝑚 =

1

2𝜔2 ∫ 𝑟2𝑑𝑚

Como es lógico, si la rotación es baricéntrica, el momento de inercia

de la masa debe ser el centroidal, como en el siguiente ejemplo.

𝑈 = ∫ 𝑀 𝑑𝜃

𝑇 =1

2𝐼0𝜔2

Cuerpo rígido. Trabajo e impulso

412

Puesto que el trabajo de frenado lo efectúa exclusivamente el par que

ejerce el eje sobre el volante, el trabajo del par es igual a la pérdida de

energía cinética:

𝑈 = ∆𝑇

∫ 𝑀𝑑𝜃 =1

2𝐼(̅𝜔2

2 − 𝜔12)

Como el par es constante y realiza un trabajo en sentido contrario de

la velocidad angular:

−𝑀(∆𝜃) =1

2𝐼(̅0 − 𝜔1

2)

En donde

∆𝜃 = 520rev = 520(2𝜋)rad

𝐼 ̅ = �̅�2𝑚 = 0.62(240)

𝜔1 = 360 (2𝜋

60) rad s⁄ = 12𝜋 rad s⁄

Por tanto

−520(2𝜋)𝑀 =1

2(0.62)240(−12𝜋)

𝑀 =0.18(240)(12𝜋)2

1040𝜋=

0.18(240)144𝜋2

1040𝜋

Resolveremos ahora un problema de rotación pura no baricéntrica, en

el que se produce un cambio tanto de la energía cinética como de la

potencial gravitacional.

Ejemplo. Un volante de inercia se des-

conecta de la máquina cuando gira a 360

rpm. Se observa que da 520 revoluciones

completas hasta detenerse. Determine la

magnitud del par que el rodamiento ejerce

sobre el volante. La masa del volante es

de 240 kg y su radio de giro cantroidal, de

0.6 m.

𝑀 = 18.79 N ∙ m

Cuerpo rígido. Trabajo e impulso

413

Las únicas fuerzas que actúan sobre la barra en cualquier instante del

movimiento en estudio, sin el peso, que es una fuerza conservativa, y la

reacción de la articulación, que no trabaja, pues no se desplaza. Podemos

emplear, por tanto, la siguiente reducción de la fórmula general:

∆𝑇 + ∆𝑔 = 0

Tomando como posición 1 donde ϴ = 0 y como posición 2 donde ϴ =

90°, tenemos: 1

2𝐼0(𝜔2

2 − 𝜔12) + 𝑚𝑔(ℎ2 − ℎ1) = 0

1

2[1

3(0.5)32] (𝜔2

2 − 82) + 16.1(−1.5) = 0

0.75(𝜔22 − 64) = 24.15

𝜔22 − 64 =

24.15

0.75

Se puede ver fácilmente que el movimiento de la barra desde ϴ = 0

hasta ϴ = 180° no implica ningún cambio en la energía potencial gravi-

tacional, por lo que la energía cinética tiene que conservar su valor y, por

tanto,

Ejemplo. Una barra homogénea de 16.1

lb de peso y 3 ft de largo, que se mueve

por la sola acción de su peso, tiene una

rapidez angular de 8 rad/s en sentido

antihorario cuando ϴ = 0°. Sabiendo que

toda resistencia al movimiento es despre-

ciable, calcule la rapidez angular que ten-

drá: a) cuando ϴ = 90°; b) cuando ϴ =

180°.

𝜔2 = 9.81 rad s⁄

𝜔 = 8 rad s⁄

Cuerpo rígido. Trabajo e impulso

414

Movimiento plano general

Para estudiar el movimiento plano general, partiremos de la considera-

ción de que se trata de la realización simultánea de una traslación y una

rotación baricéntrica.

La energía cinética correspondiente a la traslación es la del centro de

masa, que hará las veces de centro de rotación, y la que corresponde a la

rotación, deberá ser la baricéntrica. Para un instante cualquiera la enercía

cinética del cuerpo rígido será

en donde 𝑣𝐺 es la rapidez del centro de masa.

Como ninguna fuerza externa no conservativa interviene en el movi-

miento del conjunto, podemos emplear la fórmula general del trabajo y la

energía igualada a cero:

∆𝑇 + ∆𝑉𝑔 + ∆𝑉𝑒 = 0 … (1)

Dado que el centro instantáneo de rotación es el punto de contacto entre

el carrete y la superficie horizontal, la relación entre las distancias a la

cuerda y al centro del carrete es la misma que la del desplazamiento del

cuerpo B y el del resorte: 0.3

0.5=

𝑆𝐵

𝑥2; 𝑠𝑖 𝑆𝐵 = 1.5, 𝑥2 = 2.5

𝑇 =1

2𝑚𝑣𝐺

2 +1

2𝐼�̅�2

Ejemplo. El carrete A de la figura pesa

40 kg y su masa tiene un radio de giro

centroidal de 0.4 m. Está unido a un

resorte indeformado cuya constante de

rigidez es k = 8 kg/m. El cuerpo B pesa 20

kg. La cuerda para por una clavija lisa y

es ideal. Si el conjunto se suelta del

reposo, ¿qué velocidad angular tendrá el

carrete cuando B haya descendido 1.5 m?

El carrete rueda sin deslizar.

Cuerpo rígido. Trabajo e impulso

415

esa es la misma proporción que guardan la velocidad del centro del cuerpo

B y el centro de masa del carrete: vB = 0.6 v (testada). Además la velocidad

del centro de masa del carrete será v (testada)= ω r = 0.5 ω. Podemos

escribir, por tanto:

∆𝑇 = ∆𝑇𝐴 + ∆𝑇𝐵 =1

2𝑚𝐴�̅�2

2 +1

2𝐼�̅�2

2 +1

2𝑚𝐵𝑣𝐵2

2

∆𝑇 =1

2(

40

9.81) (0.5𝑣2)2 +

1

2[0.42 (

40

9.81)] 𝜔2

2 +1

2(

20

9.81) (0.3𝜔2)2

∆𝑇 =5 + 3.2 + 0.3

9.81𝜔2

2 =8.5

9.81𝜔2

2 = 0.9665𝜔22

∆𝑉𝑔 = −20(1.5) = −30

∆𝑉𝑒 =1

2𝑘(𝑥2

2 − 𝑥12) =

1

2(8)2.52 = 25

Estos valores en (1)

0.9665𝜔22 − 30 + 25 = 0

𝜔22 =

5

0.8665

Impulso y moméntum

Así como los conceptos de impulso y moméntum resultaron útiles en

la resolución de problemas de la partícula en que las fuerzas eran función

del tiempo, o las acciones mutuas de dos de ellos ocurría en un breve lapso,

también en el estudio del cuerpo rígido servirá en casos semejantes.

𝜔2 = 2.4 rad/s ↻

Cuerpo rígido. Trabajo e impulso

416

Cantidad de movimiento lineal y angular

La cantidad de movimiento lineal de una partícula es el producto de la

masa por la velocidad. El de un cuerpo rígido será igual a la suma vectorial

de las cantidades de movimiento de sus partículas.

Consideremos un cuerpo rígido que

tenga una rapidez angular ω y tomemos

un punto base arbitrario O. La rapidez de

una partícula cualquiera se puede expre-

sar como v = ω r, y su cantidad de movi-

miento lineal como ω r dm. Si integra-

mos, obtendremos el producto de la rapi-

dez angular por el momento estático de la

masa del cuerpo, respecto a un eje per-

pendicular que pasa por el punto base; a

su vez, ese momento estático puede ex-

presarse como el producto de la masa por

la distancia del eje al centro de masa:

∫ 𝜔𝑟 𝑑𝑚 = 𝜔 ∫ 𝑟 𝑑𝑚 = 𝜔𝐵0𝑚 = 𝜔�̅�𝑚 = 𝑚𝑣𝐺

y, como se ve, la cantidad de movimiento lineal del cuerpo resulta ser igual

al producto de su masa por la velocidad de su centro de masa. Se trata de

una cantidad vectorial.

Sabiendo que el impulso es igual al incremento de la cantidad de

movimiento, podemos escribir:

La cantidad de movimiento angular o moméntum angular de un cuerpo

será la suma de las cantidades de movimiento angular de sus partículas.

De la figura anterior, observamos que la cantidad de movimiento

angular de una partícula será igual a ω r2 dm y, al integrar, obtendremos

∫ ∑ �̅� 𝑑𝑡 = 𝑚(�̅�𝐺2 − �̅�𝐺1)

Cuerpo rígido. Trabajo e impulso

417

que es igual al producto de la rapidez angular del cuerpo por el momento

de inercia de su masa respecto al eje que pasa por O:

∫ 𝜔𝑟2𝑑𝑚 = 𝜔 ∫ 𝑟2𝑑𝑚 = 𝜔𝐼0

Y, puesto que el impulso angular es igual al incremento de la cantidad

de movimiento angular, podemos escribir:

Cuando dos cuerpos aislados se ejercen fuerzas entre sí, se pueden

emplear las expresiones de la conservación tanto del moméntum lineal

como del moméntum angular:

Cuando se trata de un solo cuerpo cuya configuración se ve alterada por

fuerzas internas, la segunda expresión se reduce a

∫ ∑ 𝑀0𝐹 𝑑𝑡 = 𝐼0(𝜔2 − 𝜔1)

𝑚𝐴�̅�𝐺𝐴1 + 𝑚𝐵�̅�𝐺𝐵1 = 𝑚𝐴�̅�𝐺𝐴2 + 𝑚𝐵�̅�𝐺𝐵2

𝐼0𝐴𝜔𝐴1 + 𝐼0𝐵𝜔𝐵1 = 𝐼0𝐴𝜔𝐴2 + 𝐼0𝐵𝜔𝐵2

𝐼01𝜔1 = 𝐼02𝜔2

Ejemplo. Una esfera maciza de 4 kg de

peso y 0.12 m de radio, se lanza con una

rapidez de 8 m/s, sin velocidad angular,

sobre una superficie horizontal, cuyo coe-

ficiente de fricción cinética es 0.2. De-

termine el tiempo que se requiere para

que la esfera comience a rodar sin desli-

zar, y cuál será entonces su velocidad an-

gular.

Cuerpo rígido. Trabajo e impulso

418

Dibujamos el diagrama de cuerpo libre de la esfera mientras se desliza

sobre la superficie horizontal. Como se trata de un problema en el que se

desea investigar un tiempo, las fórmulas del impulso y el aumento de la

cantidad de movimiento resultan apropiadas. La esfera recibe un impulso

lineal en sentido contrario de la velocidad, y un impulso angular en sentido

horario. Igualaremos las ecuaciones, sabiendo que la esfera deja de resbalar

cuando la velocidad de su centro de masa es igual al producto de la veloci-

dad angular por el radio, ya que en ese instante, el centro de rotación es el

punto de contacto entre la esfera y la superficie.

∫ ∑ 𝐹𝑥 𝑑𝑡 = 𝑚(𝑣𝑡 − 𝑣0)𝑡

0

−0.8𝑡 =4

𝑔(𝑣𝑡 − 8)

𝑡 = −5

𝑔𝑣𝑡 +

40

𝑔… (1)

∫ ∑ 𝑀𝐺𝐹 𝑑𝑡 = 𝐼(̅𝜔𝑡 − 0)

0.8(0.2)𝑡 =2

5(

4

𝑔) 0.122𝜔𝑡𝑡 … (2)

Igualando (1) y (2)

0.24

𝑔𝜔𝑡𝑡 = −

5

𝑔𝑣𝑡 +

40

𝑔

Multiplicando por 𝑔 y sustituyendo 𝑣𝑡 por 0.12 𝜔𝑡

0.24𝜔𝑡 = −5(0.12)𝜔𝑡 + 40

(0.24 + 0.6)𝜔𝑡 = 40

𝜔𝑡 = 47.6 rad/s ↻

𝑡 = 1.165 s

Cuerpo rígido. Trabajo e impulso

419

Se trata de un problema de conservación de la cantidad de movimiento

angular. Calcularemos los momentos de inercia de las dos configuraciones

del mecanismo, multiplicando la masa de las esferas por el cuadrado de su

distancia al eje de rotación.

𝐼1̅𝜔1 = 𝐼2̅𝜔2

4(12)2(45) = 4(0.12)2𝜔2

45 = 0.01𝜔2

Ejemplo. Un dispositivo experimen-

tal consiste en una cruceta de masa des-

preciable en cuyos extremos opuestos se

pueden colocar sendas esferas de 4 lb. El

conjunto gira alrededor de un eje hori-

zontal que pasa por su centro de masa.

Cuando las esferas están colocadas en los

extremos del vástago largo, el mecanismo

gira con rapidez angula constante de 45

rpm. Diga cuál será la rapidez angular del

mecanismo si las esferas se colocan en el

vástago menor, y si el procedimiento para

que adquiera su velocidad es el mismo

que se empleó en el caso anterior.

𝜔2 = 4500 rpm

Cuerpo rígido. Trabajo e impulso

420

Serie de ejercicios de Dinámica

CUERPO RÍGIDO. TRABAJO E IMPULSO

1. Una columna de sección cuadrada de 40

por 40 cm, tiene una altura de 2.4 m y pesa 920

kg. Diga qué trabajo se requiere para levantarla,

si originalmente reposa sobre uno de sus costa-

dos. (Sol. 920 kg ∙ m )

2. Para probar la potencia de un motor, so-

bre el volante A de la figura se coloca una ban-

da. En uno de los extremos se coloca un dina-

mómetro y en el otro, una carga de 1 kg de peso.

El volante gira con velocidad constante de 120

rpm y tiene un diámetro de 0.6 m. Determine el

trabajo que el motor realiza en un segundo, si el

dinamómetro marca 4 kg.

(Sol. 15 kg ∙ m )

3. Una pequeña esfera de 3.22 lb de peso y

una pulgada de diámetro se suelta desde el pun-

to A de la superficie de la figura. Calcule la rapi-

dez angular con que pasa por el punto B, el más

alto del bucle, sabiendo que la esfera rueda sin

deslizar. ¿Cuál es la reacción de la superficie

sobre la esfera en ese punto?

(Sol. 4.7 lb ↓ )

4. Las dos poleas de la figura son iguales.

A gira en sentido horario, B en sentido contra-

rio. Sus centros están separados 40 cm. Sobre

ellas se coloca una barra homogénea de 10 kg,

de modo que su centro de gravedad quede a 6

cm del eje de simetría de las poleas. Sabiendo

que el coeficiente de fricción cinética entre las

poleas y la barra es 0.2, diga con qué rapidez

Cuerpo rígido. Trabajo e impulso

421

pasará el centro de gravedad de la barra por el

eje de simetría de las poleas. La barra se coloca

sin velocidad inicial.

(Sol. 1.766 cm/s )

5. La polea de la figura es un cilindro ma-

cizo de 16.1 lb de peso y 2 ft de radio. El cuerpo

A pasa 64.4 lb, y el B, 32.2. En cierto instante,

la rapidez de A es de 5 ft/s; ¿cuál será, cuando

se haya desplazado un pie más?

(Sol. 6.69 ft/s )

6. Una barra delgada y homogénea de un

slug de masa tiene una longitud de 5 ft y está

articulada a un pie de uno de sus extremos. Si la

barra está originalmente en reposo en la posi-

ción mostrada, ¿cuál será la máxima rapidez an-

gular que alcanzará?

(Sol. 3.83 rad/s ↻)

7. El volante de la figura tiene una masa de

100 kg y un radio de giro de 0.4 m respecto a su

eje de rotación. A dicho eje se le aplica un par

de magnitud M = 5 t, donde si t se da en s, M

resulta en kg•m. Si el volante originalmente es-

tá en reposo, ¿qué velocidad angular tendrá a

los tres segundos de haber aplicado el par?

(Sol. 1.369 rad/s ↺ )

8. Sobre una superficie inclinada 15° se co-

loca, sin velocidad inicial, un tubo de pared del-

gada de 1.5 ft de radio. Sabiendo que el tubo

rueda sin desliza, diga cuál será la velocidad de

su centro de masa, cuando se haya desplazado

5 ft. (Sol. 6.44 ft/s 15° )

Cuerpo rígido. Trabajo e impulso

422

9. Las barras AB y BC son homogéneas e

iguales; están contenidas en el plano vertical y

articuladas. Miden 0.8 m y pesan 12 kg. Calcule

la rapidez máxima de la articulación B, si el

conjunto se suelta del reposo en la posición

mostrada. (Sol. 1.617 m/s )

10. El cuerpo A de la figura pesa 20 kg; la polea

B es un cilindro macizo de 10 kg de peso y 0.3

m de radio; y el cuerpo C es un carrete que pesa

50 kg, tiene un radio exterior de 0.4 m y su

núcleo, de 0.2 m, y su radio de giro centroidal

es de 0.25 m. Sabiendo que los cuerpos están

originalmente en reposo y que el carrete rueda

sin deslizar, determine la velocidad angular del

carrete C cuando A haya descendido 1 m.

(Sol. 7.88 rad/s ↺ )

11. El péndulo cónico de la figura describe

una circunferencia horizontal de radio r, y da 80

vueltas completas en un minuto. Paulatina-

mente se comienza a reducir la longitud de la

cuerda, hasta que el radio de la trayectoria del

péndulo se reduce a la mitad. ¿Cuántas vueltas

completas dará en un minuto?

(Sol. 160 vueltas)

12. La figura representa la puerta de una

cochera de 300 lb de peso y que tiene 8 ft de

altura. En cada lado de la puerta hay un resorte,

que no está deformado cuando la puerta está

abierta, y que es la posición mostrada. Se desea

que, soltando del reposo la puerta abierta,

llegue a su posición final sin velocidad: ¿cuál

debe ser la constante de rigidez k de cada

resorte? (Sol. 42.2 lb/ft)

Cuerpo rígido. Trabajo e impulso

423

13. A un cilindro macizo de 800 kg de peso

y 0.5 m de radio, originalmente en reposo, se le

aplica una fuerza horizontal de 20 kg durante 10

s. a) ¿Cuál será la velocidad angular del

cilindro? b) ¿Qué velocidad lineal tendrá su

centro de masa? El cilindro rueda sin deslizar.

(Sol. 3.62 rad/s ↻, 1.808 m/s →)

14. La polea de la figura pesa 32.2 lb, su

radio exterior es de 6 in y tiene un radio de giro

centroidal de 3 in. El cuerpo que pende de la

cuerda pesa 8.05 lb. Inicialmente, la rapidez an-

gular de la polea es de 3 rad/s; diga qué rapidez

alcanzará dos segundo después.

(Sol. 𝜔2 = 134.8 rad/s ↺ )

15. El carrete de la figura está originalmen-

te en reposo y se le aplica una fuerza constante

de 20 kg mediante una cuerda enrollada en su

núcleo. Sabiendo que el radio de giro centroidal

de la masa del carrete es de 0.25 m y que rueda

sin deslizar, ¿cuál será su velocidad angular a

los tres segundos?

(Sol. 26.7 rad/s ↺ )

16. Una barra delgada y homogénea de

16.1 lb de peso y 4 ft de largo está articulada en

uno de sus extremos y en reposo. Diga cuál será

su rapidez angular inmediatamente después de

que una bala de 2 oz, que lleva una velocidad

horizontal de 900 ft/s, se incrusta en ella a 3 ft

de la articulación.

(Sol. 8.9 rad/s ↺ )

17. El volante de la figura está rígidamente

unido a la polea B. Las poleas A y B están uni-

Cuerpo rígido. Trabajo e impulso

424

das por una banda ideal, de masa despreciable.

El sistema está originalmente en reposo cuando

se le aplica un par constante de 2 kg•m a la po-

lea A. ¿Cuánto tiempo se requiere para que el

volante alcance una rapidez angular de 240

rpm? La masa del conjunto volante-polea B es

de 360 kg y su radio de giro centroidal, de 0.8m;

la polea A tiene una masa de 12 kg y un radio

de giro centroidal de 0.1 m.

(Sol. 𝑡 = 116.7 s )