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XX. Teoría del Equilibrio General y sus limitaciones

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XX. TEORÍA DEL EQUILIBRIO GENERAL Y SUS LIMITACIONES1 En este capítulo analizaremos desarrollos recientes de la teoría del equilibrio general que tienen origen en la obra de Walras, comenzando con algunas aplicaciones en la esfera del comercio internacional. Luego serán analizados los problemas de existencia, estabilidad y unicidad. Pondremos fin a este capítulo desmenuzando el famoso teorema de Sonnenschein-Mantel-Debreu, que, en cierta forma, representa un punto de referencia obligado en el camino iniciado por Walras en 1874. 1. El modelo de Heckscher-Ohlin El modelo H-O es un modelo matemático de equilibrio general del comercio internacional, desarrollado por Eli Heckscher y Bertil Ohlin. Ambos fueron economistas suecos de la Escuela de Estocolmo. El modelo está formulado siguiendo la teoría de la ventaja comparativa de Ricardo y permite predecir el patrón de comercio y producción en base a la dotación factorial de una región comercial. La predicción esencial es que un país exportará aquellos productos que utilizan los factores de producción abundantes (y baratos) e importará aquellos que utilicen los factores más escasos (y caros)2. La dotación relativa de factores productivos (como la tierra disponible, trabajo y capital) determinan según este enfoque la ventaja comparativa. Los

Eli Heckscher (1879-1952) Bertil Ohlin (1899-1979)

1 V. Wontack Hong, International Trade: A Provisional Lecture Note; Elhanan Helpman and Assaf Razin, A Theory of International Trade Under Uncertainty, 1978, Ch. 7; Steven M. Suranovic, International Trade Theory and Policy, “The Rybczynski Theorem”; Wikipedia: “The Heckscher-Ohlin Model”, “The Rybczynski theorem”, “The Stolper-Samuelson Theorem”; “The Heckscher-Ohlin Theorem”; The History of Economic Thought Website; Stolper, W.F. and P.A. Samuelson (1941). "Protection and Real Wages." Review of Economic Studies, 9; G. Debreu, Theory of Value, An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium, © 1959 Cowles Foundation for Research in Economics at Yale University; Michael D. Intriligator, Optimización matemática y Teoría económica, Prentice/Hall International, 1973; Herbert Scarf, “Some Examples of Global Instability of the Competitive Equilibrium”, International Economic Review, Sept. 1960; Herbert E. Scarf and J.B. Shoven, Applied General Equilibrium Analysis, Edited by Herbert E. Scarf & John B. Shoven, Cambridge University Press, 1984; K.J. Arrow F.H. Hahn, General Competitive Analysis, Holden-Day, 1971. Henderson J.M. y Quandt, R.E, Teoría Microeconómica. P. Samuelson, Foundations of Economic Analysis, Enlarged Ed., 1983. Henderson, JM Quandt, RE Micro-Economic Theory, a Mathematical Approach. International Student Edition, London, McGraw Hill, 1971. 2nd Edition. Eugene Silberberg, The Structure of Economics – A mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1990. 2 Bertil Ohlin publicó el libro Interregional and International Trade en 1933. Aunque fue el único en escribirlo, se acredita a Heckscher su co-autoría del modelo, a raíz de trabajos previos sobre el problema y porque muchas de las ideas que aparecieron en su forma final provinieron de la tesis doctoral de Ohlin, supervisada por Heckscher.


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países tienen ventaja comparativa en los bienes cuyos factores productivos son localmente abundantes en términos relativos. El motivo es que en definitiva los precios de los bienes quedan determinados por los precios de sus insumos, y los bienes que usen insumos localmente abundantes serán más baratos para su producción que los que tienen como insumos recursos localmente escasos. Esta proposición tiene bastante sentido común. Tomen por ejemplo a un país que tiene capital y tierra abundantes pero en el cual el trabajo es escaso. Luego, tendrá ventaja comparativa en bienes que requieran grandes cantidades de capital y tierra, pero poco trabajo, como por ejemplo los cereales. Como son los principales factores usados para producir cereal, eso significa que el cereal también tendrá un precio relativamente bajo – con lo cual será un producto atractivo tanto para el consumo interno como para la exportación. Por otro lado, en el ejemplo los bienes “trabajo-intensivos” serán muy caros como para ser producidos ya que el trabajo es escaso y su precio elevado. Por consiguiente, lo mejor que podría hacer ese país sería importar este tipo de bienes. En el modelo de ventaja comparativa de David Ricardo, el comercio está motivado en última instancia por diferencias de productividad laboral debido al uso de distintas tecnologías. En cambio, el modelo H-O tiene idénticas tecnologías en los países involucrados, en aras a la simplicidad. Ricardo consideró un único factor productivo, y hubiera sido incapaz de producir ventaja comparativa sin diferencias tecnológicas entre los países (todos ellos se hubieran transformado a la autarquía en varios estadios de desarrollo, sin ningún motivo para comerciar el uno con el otro). El modelo H-O suprimió las variaciones tecnológicas pero introdujo a su vez dotaciones de capital variables, recreando en forma endógena la variabilidad de la productividad laboral entre países que Ricardo había impuesto de manera exógena. Con cambios de la dotación de capital (p.ej. infraestructura) y bienes que requieren diferentes proporciones factoriales, la teoría de la ventaja comparativa de Ricardo, termina siendo la solución de maximización de beneficios de los capitalistas dentro de las ecuaciones del modelo. (Como el modelo H-O supone que el capital es de propiedad privada, las decisiones que enfrentan sus propietarios son entre inversiones en distintas tecnologías de producción.)3 . Desde los años 1930s el modelo ha sido ampliado por muchos economistas, aunque estos desarrollos no cambian el rol fundamental de las proporciones variables de los factores, sino más bien introducen otras consideraciones más realistas (tales como las tarifas) a efectos de aumentar el poder predictivo del modelo o de discutir opciones de política macroeconómica. Hubo contribuciones notables de Paul Samuelson4, Ronald Jones, y Jaroslav Vanek. Los supuestos críticos del modelo H-O pueden ser resumidos así:

Como se dijo previamente, el modelo H-O difiere drásticamente del ricardiano al suponer que las funciones de producción disponibles en cada país son idénticas. Las funciones de producción simplemente convierten capital y trabajo en producto. En realidad, sería ineficiente utilizar la misma composición de insumos en cualquier país – debido a la mayor disponibilidad de 3 El modelo original H-O suponía que la única diferencia entre países se debía a la abundancia relativa de trabajo y capital. También trabajaba con dos países y dos productos. Como tenía dos factores homogéneos de producción a veces es denominado el “modelo 2x2x2”. Las proporciones factoriales son variables entre los países: los países más desarrollados tienen una relación capital-trabajo más alta que los que están en vías de desarrollo. Basándose en esta única diferencia, Ohlin pudo discutir el nuevo mecanismo de ventaja comparativa. (Una tecnología sería la correspondiente a una industria capital intensiva, y la otra a una industria trabajo intensiva.). 4 Paul A. Samuelson, “International Trade and the Equalisation of Factor Prices”, The Economic Journal, Vol. 58, No. 230. (Jun., 1948).


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uno de ellos, pero, en principio sería posible. Otra forma de expresarlo es diciendo que la productividad por habitante es la misma en ambos países si tienen la misma tecnología con cantidades idénticas de capital. A veces los alumnos de comercio internacional descartan de plano al modelo H-O por este supuesto. Pero hay que entender que se trata de una simplificación destinada a subrayar claramente el efecto de la disponibilidad factorial. (Lo cual significa que el modelo H-O es una explicación alternativa, más que complementaria, del modelo de Ricardo.) En la práctica ambos efectos van a tener lugar (diferencias tecnológicas y de abundancia factorial). Además de diferencias en ventajas naturales para producir uno u otro producto (digamos, vino en lugar de arroz) hay una multitud de otros factores – como la infraestructura, la educación, la cultura, el “know-how” de los países – que hacen que los países sean tan dramáticamente diferentes entre sí, que la mera idea de hablar de tecnologías idénticas sea un discurso teórico. Ohlin decía que el modelo H-O era un modelo de largo plazo, y que las condiciones de producción industrial son “en todas partes las mismas” en el largo plazo.

En el modelo simple de H-O, ambos países producen ambos bienes con tecnologías con rendimientos constantes a escala. Con rendimientos crecientes, resultaría más eficiente que los países se especialicen.

Para que comerciar sea interesante en este modelo, las funciones de producción con rendimientos constantes a escala deben ser diferentes. Un ejemplo sería el siguiente:

Industria que usa tierras de cultivo: Yc=K⅓L⅔ Industria de la pesca: Yp=K½L½ Yc es el producto total de los cultivos, Yp es el producto de la pesca, y K,L son el capital y el trabajo en ambos casos. Suponiendo que las unidades de P(escado) y C(ultivos) tienen el mismo valor, el rendimiento marginal de una unidad adicional de capital es mayor en la pesquería. El país que sea más abundante en tierras cultivables se beneficiará en desarrollar su flota pesquera a expensas de sus granjas cultivables. Recíprocamente, los trabajadores disponibles en el país con trabajo más abundante pueden ser empleados de modo más eficiente en tierras cultivables.

Dentro de cada país, capital y trabajo pueden ser reinvertidos y re-empleados para

producir productos diferentes. Como con el argumento de ventaja comparativa de Ricardo, esto no conlleva costos. Por ejemplo, si las dos tecnologías de producción son la industria de cultivos y la industria pesquera, se está suponiendo que los agricultores pueden pasar sin costos a desempeñarse como pescadores, y recíprocamente.

Dentro de cada país, también se supone que el capital puede desplazarse a cualquier tecnología, de manera que cambie el mix industrial sin costos de ajuste entre ambos tipos de producción. Si las dos industrias son los cultivares y la pesquería, el supuesto es que las granjas y haciendas pueden ser vendidas para pagar por la construcción de barcos pesqueros sin incurrir en costos de transacción5.

5 Este término de “costo de transacción” empieza a ser importante, por lo cual vale la pena anticiparnos un poco al tratamiento que haremos posteriormente. El término parece haber sido acuñado por Ronald Coase, que lo utilizó para desarrollar en esquema teórico que predijera cuándo una determinada tarea económica será realizada por una firma, y cuándo por el mercado. Sin embargo, el término está virtualmente ausente de sus trabajos hasta entrada la década de los 1970s. Aunque Coase no acuñó el término, en realidad discutió los “costos de usar el mecanismo de precios” en su documento de 1937 “The Nature of the Firm”, en cuyo caso fue el primero en discutir el concepto de costos de transacción. El término puede ser rastreado en la literatura de economía monetaria de los 1950s, pero no parece haber sido “acuñado” por nadie en particular.


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Inmovilidad del capital entre países. El modelo básico H-O depende de que la disponibilidad relativa de capital y trabajo difiera internacionalmente, pero si el capital fuera libre de ser invertido en cualquier lugar, la competencia produciría una idéntica abundancia de capital por todo el mundo. (Esencialmente, el comercio libre de capital daría lugar a un único ‘pool’ mundial de inversión.) Diferencias en la abundancia de trabajo no darían lugar a diferencias de la abundancia factorial relativa (con relación al capital móvil) porque la relación capital/trabajo sería la misma en todos lados. (Un país grande recibiría una inversión que sería el doble de la de uno pequeño, por ejemplo, maximizando el rendimiento sobre la inversión del capitalista.) Cuando los controles a los capitales se reducen, el mundo empieza a diferir un poco del mundo que modelizaron Heckscher y Ohlin. El capital tiende a ser móvil cuando:

Existen controles limitados de cambios, No existe un riesgo de expropiación del capital, o Está permitida la Inversión Directa Extranjera entre países, o a los extranjeros se les

permite invertir en operaciones comerciales de un país por medio del mercado accionario o de bonos corporativos.

Los movimientos del trabajo – como los del capital – no están contemplados dentro del modelo H-O, ya que esto involucraría una igualación de la abundancia relativa de ambos factores. Esta condición es más sostenible en el mundo moderno que el supuesto de que el capital está confinado en un solo país.

El modelo original de 2x2x2 no ponía barreras al comercio, no contenía tarifas ni controles de cambio (el capital era inmóvil, pero era posible repatriar sin costos las ventas al exterior). También carecía de costos de transporte entre los países, o de cualquier ahorro que favoreciera a la oferta local. Si ambos países tienen distinta moneda, ello no afectaría al modelo, ya que sería válida la Paridad del Poder Adquisitivo. Sin costos de transacción o emisión monetaria se aplicaría la ley del Precio Único6 para ambos bienes. Y los consumidores de cualquier país pagarían exactamente el mismo precio por cada bien. En la época de Ohlin este supuesto parecía una simplificación sin grandes consecuencias, pero los cambios económicos y la investigación econométrica llevada a cabo desde los 1950s han demostrado que los precios locales de los bienes tienden a estar correlacionados con los ingresos al ser convertidos en precios monetarios (aunque esto ya no es tan cierto de los bienes comercializables internacionalmente).

Competencia interna perfecta. Ni el trabajo ni el capital pueden afectar los precios de bienes o factores restringiendo la oferta; existe una situación de competencia perfecta. Los principales teoremas derivables del modelo son cuatro: 1.1 Teorema de Heckscher-Ohlin. La paradoja de Leontief. Las exportaciones de un país con abundancia de capital provendrán de las industrias Capital intensivas, bienes que serán importados a su vez por los países con abundancia de Trabajo, que a cambio exportarán bienes Trabajo-intensivos. Las presiones competitivas dentro del modelo H-O hacen de esta predicción una proposición que se extrae directamente. Además, se trata de una hipótesis fácilmente docimable.

6 Es decir, “en un mercado eficiente todos los bienes idénticos deben tener el mismo precio”. Esta ley está vinculada con el comercio libre y la globalización. Existe una teoría según la cual en algún momento todas las áreas del mundo obtendrán el mismo monto monetario de cualquier otra parte del mundo por igual trabajo o igual calidad. La intuición que está por detrás de su enunciado es que los vendedores acudirán en masa para lograr el precio más elevado que prevalezca, y los compradores para lograr el más bajo. En un mercado eficiente la convergencia hacia un único precio es instantánea.


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La paradoja de Leontief, presentada por Wassily Leontief en 1954, halló que los Estados Unidos, que según cualquier criterio que sea utilizado es el país del planeta en que el capital es más abundante, exportaba bienes trabajo-intensivos e importaba bienes capital-intensivos, en contradicción aparente con este teorema. En 1971 Robert Baldwin demostró que las importaciones de USA eran 27% más capital intensivas que según los datos comerciales de 1962, utilizando una medición similar a la usada por Leontief. En 1980 Leamer cuestionó la metodología original de Leontief basándose en consideraciones de tipo de cambio real, pero reconoció que la paradoja aún subsistía en los datos (para otros años que no fueran 1947). Una encuesta de 1999 de la literatura econométrica que realizó Elhanan Helpman concluyó que la paradoja persistía, pero que algunos estudios sobre comercio no estadounidenses, en cambio, eran consistentes con la teoría H-O. En 2005 Kwok & Yu utilizaron una metodología actualizada para argumentar a favor de una menor paradoja (o cero paradoja) en las estadísticas del comercio de Estados Unidos, aunque la paradoja aún parece persistir en otros países desarrollados. Para los economistas, la paradoja de Leontief puso en tela de juicio la validez del teorema H-O, que predice que los patrones de comercio estarán basados en la ventaja comparativa de los países en ciertos factores de producción (como el capital y el trabajo). Muchos economistas han dejado de lado la teoría H-O a favor de un modelo más ricardiano en el que las diferencias tecnológicas son las que determinan la ventaja comparativa. Estos economistas argumentan que Estados Unidos tiene más ventaja comparativa en trabajo altamente calificado que en capital. Esto también podría ser visto como considerando al “capital” en forma más amplia, a efectos de incluir al capital humano. Según esta definición, las exportaciones de USA serían muy capital (humano)-intensivas, y no particularmente intensivas en trabajo (no calificado).

Hay algunas explicaciones de la paradoja que restan importancia a la ventaja comparativa como determinante del comercio. Por ejemplo, la hipótesis de Linder7 afirma que la demanda desempeña un rol más importante que la ventaja comparativa como determinante del comercio – junto a la hipótesis de que países que tengan demandas similares será más probable que comercien entre sí. Por ejemplo, tanto los USA y Alemania son países desarrollados con una demanda significativa de automóviles, debido a lo cual tienen grandes industrias automotrices. Pero en lugar de presentarse una situación con un país que tenga una industria dominante con ventaja comparativa, ambos países comercian entre sí autos de diferente tipo. En forma similar, la Nueva Teoría del Comercio8 sostiene que las ventajas comparativas

7 Staffan B. Linder, An Essay on Trade and Transformation, 1961. 8 Esta teoría está asociada estrechamente con el premio Nobel Paul Krugman a principios de los 1970s; posteriormente, hacia 1976, el economista del MIT Victor Norman desarrolló la teoría que terminó siendo conocida como la teoría Helpman-Krugman. V. Avinash Dixit & Victor Norman, Theory of International Trade: A Dual, General Equilibrium Approach, Cambridge University Press, © 1980.

http://es.wikipedia.org/wiki/Paul_Krugman


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pueden desarrollarse de manera independiente de las variaciones de las dotaciones factoriales (p.ej. en industrias con rendimientos crecientes a escala). 1.2 El Teorema de Rybczynski Examinemos un poco más de cerca la esfera de la producción. Vamos a suponer que en la economía hay solamente dos empresas, que emplean dos factores para producir dos productos (v. figura pág. 556). Las ecuaciones del mercado de factores v=B'x se transforman entonces en: [1] L0=b1cQc + b1sQs [2] K0=b2cQc + b2sQs donde hemos puesto L0 en lugar de v1 y K0 en lugar de v2, e indicamos con Qc la producción del primer bien (textiles) y Qs la de acero. Notando que la primera ecuación puede ser escrita también como [3] Qs=(L0/b1s) - (b1c/b1s) Qc esta ecuación proporciona una primera línea (en color rojo) en la figura adjunta. Esta línea representa todas las combinaciones de bienes que dan lugar a equilibrio en el mercado del factor trabajo, dada L0 (la oferta total del factor). Nótese que si se incrementa la oferta factorial, esta línea se desplaza hacia arriba y a la derecha. Otro tanto podemos hacer con la segunda ecuación, lo que proporciona una segunda línea (en color azul). Esta línea representa todas las combinaciones de bienes que dan lugar a equilibrio en el mercado del factor capital. También, si se incrementa K0 esta línea se desplazará hacia arriba y a la derecha. Obviamente el equilibrio se obtiene cuando ambas igualdades se verifican, en la intersección en el punto A. Este punto representa, por consiguiente, un equilibrio en el mercado de factores. Teorema de Rybczynski. En un modelo simple de dos sectores, si los precios se mantienen constantes, un aumento de la oferta de un factor incrementará la producción de aquel bien que es intensivo en ese factor y disminuirá la producción del bien restante. Basta notar para ello que, en la figura, la línea del trabajo es más empinada que la línea del capital. Por lo tanto, la nueva intersección pasa a estar ubicada en el punto B. ¿Cuál es el significado de la inclinación diferente de las rectas dibujadas? Suponer que el acero es "relativamente intensivo" en trabajo es afirmar que b1s/b2s>b1c/b2c que implica b1s/b1c>b2s/b2c. Este teorema implica que, en general, el aumento de la dotación de un factor en un país dará lugar a un aumento de la producción de aquel bien que lo utiliza en forma intensiva, y a una disminución de la producción de los bienes restantes. Helpman y Razin demuestran que este teorema deja de ser válido bajo condiciones de incertidumbre si no hay intercambio internacional de obligaciones financieras. Empero, todavía puede ser válido si los que se mantienen constantes son los precios de las


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acciones de las compañías, no los de los bienes. Este teorema ha sido útil para explicar los efectos de la inmigración y de la emigración y de la inversión de capital del exterior. 1.3 El teorema de Stolper–Samuelson Este teorema establece que, bajo condiciones de rendimientos constantes a escala y competencia perfecta, un incremento del precio relativo de un bien conducirá a incrementar el precio de aquel factor utilizado más intensivamente en la producción de ese bien, y recíprocamente, a la caída del precio del otro factor. Fue obtenido en 1941 por Paul Samuelson y Wolfgang Stolper dentro de la estructura del modelo de H-O, pero subsiguientemente fue derivado en modelos menos restrictivos. El ejemplo de aplicación figura en la figura adjunta, en la cual están graficadas las igualdades precio=costo. Observen que estas igualdades no son las del sistema clásico: no se trata del costo de producción que determina a los precios, sino que son los precios de los bienes los que determinan los costos de producción. Esto es la esencia del principio de imputación, de raigambre austríaca, tal como fue pergeñado por Carl Menger (1871) y Friedrich von Wieser (1889): “El valor de los bienes de menor orden [e.d. las mercancías] no puede, por consiguiente, ser determinado por el valor de bienes de orden superior [e.d. los factores] empleados en su producción. Por el contrario, es evidente que el valor de los bienes de orden superior siempre es determinado sin excepción por el valor prospectivo de los bienes de orden inferior a cuya producción contribuyeron.” (C. Menger, 1871). En resumen, dados precios de los bienes P1 y P2 y una tecnología representada por una matriz B, es posible calcular de inmediato los rendimientos factoriales necesarios w1* y w2*. Los rendimientos factoriales pueden ser “imputados” a partir de los precios de los bienes. Éstos a su vez surgen de la solución del problema de maximización de la utilidad. El principio de imputación capta la idea de que la demanda de bienes, actuando sobre una oferta fija de factores, termina asignándole un valor a estos factores9. El teorema de Stolper-Samuelson puede ser visualizado en la figura anterior (pág. 557) viendo que P1 (que antes era el precio de los cultivos) tiene una línea más empinada que P2 (que antes era el precio del acero). Que sea más empinada significa que b11/b21>b12/b22. Esto implica necesariamente que x11/x21>x12/x22 (xji es la cantidad del factor j usada en la industria i). Luego, la industria x1 es relativamente intensiva en el factor v1 y la industria x2 relativamente intensiva en el factor 2. Ahora podemos enunciar el teorema: Teorema de Stolper-Samuelson. En un modelo simple bisectorial, si se mantienen constantes los productos, un aumento del precio relativo de un bien aumentará el precio del factor en el que es relativamente más intensivo y reducirá el precio del factor en el que es relativamente menos intensivo. Como se observa en la mencionada figura, si se aumenta P2→P2’, la posición de equilibrio se traslada de G a H. En este último punto, w1* cayó y w2* aumentó con respecto a G. Recuerden que el bien 2 es relativamente intensivo en el factor 2. Jones & Scheinkman10 demostraron que bajo condiciones muy generales los ingresos de los factores cambiarán según lo predicho por el teorema. Una vez más, Helpman y Razin han demostrado que la proposición no es válida en contextos inciertos con ausencia de comercio internacional de acciones.

9 Pero al final de cuentas, en un sistema de equilibrio general, ambos tipos de precios se determinan simultáneamente. No hay dirección de causalidad. 10 Jones, R.W. and J. Scheinkman. 1977. "The Relevance of the Two-Sector Production Model in Trade Theory," Journal of Political Economy 85, (October).


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El modelo original H-O es un modelo bi-factorial con un mercado de trabajo especificado por un único número. Desde entonces han sido publicados modelos más sofisticados con múltiples clases de productividad laboral que producen el efecto Stolper-Samuelson en cada clase laboral: los trabajadores no calificados que producen bienes comercializados en un país de elevada calificación terminarán peor a consecuencia de un crecimiento del comercio internacional, porque con relación al mercado mundial del bien que produce, un trabajador de primera línea de la producción mundial es un factor productivo menos abundante que el capital. Derivación del teorema. Consideren una economía con dos bienes que sólo produce trigo y vestimenta usando como insumos intensivos tierra por parte del trigo, y trabajo por parte de la vestimenta, y supongan que el precio de cada producto es igual a su costo marginal. El precio de la vestimenta sería: [4] Pc=ar +bw, donde r es la renta pagada por el uso de la tierra, w el salario y los coeficientes a y b son coeficientes de insumo-producto. Por su parte, el precio del trigo sería: [5] Pw=cr +dw, con una interpretación análoga. Si la vestimenta sufre un incremento de su precio, para que [4] siga siendo válida, al menos uno de los dos factores debe ser más elevado, ya que los coeficientes de insumo-producto no han sido afectados. Puede suponerse que será el trabajo el que se elevará, porque es el insumo usado en forma intensiva en la producción de vestimenta. Cuando aumenta el salario, la renta de la tierra caerá para que [5] siga siendo válida. Pero una caída de la renta también afectará a la ecuación [4], ya que, para que siga siendo una igualdad, la elevación del salario debe ser más que proporcional que el aumento del precio de la vestimenta. Por consiguiente, la elevación del precio de un producto llevará a un aumento más que proporcional del precio del factor usado en forma más intensiva, y a una caída del precio del factor usado menos intensivamente. Habitualmente se supone que los países más adelantados son de abundancia relativamente más alta de capital que los países en desarrollo. Luego, la apertura al comercio internacional libre – digamos, en USA versus los países en desarrollo – trasladará la producción de USA hacia el bien que resulta relativamente capital-intensivo. Esta producción aumentará, mientras que una parte será exportada, en tanto que la producción del otro producto se contraerá, y una parte de su consumo será satisfecha mediante importaciones. Una transferencia de trabajo y de capital desde la industria trabajo intensiva expandirá la expansión de la producción de la industria capital-intensiva. Esto sucede porque la cantidad de capital suficiente para emplear a un trabajador en tareas trabajo-intensivas es insuficiente para emplearlo en producción capital-intensiva. La industria en declive dejará disponible relativamente más trabajo que el que puede ser absorbido por la industria en expansión, por lo cual habrá un exceso de oferta de trabajo en el mercado factorial que dará lugar a una reducción de su precio. Ello causará la reabsorción de lo que hubiera sido un exceso de oferta de trabajo. Con salarios más bajos, ambos sectores utilizarán más trabajo por unidad de capital. Por lo tanto, la productividad marginal física del trabajo caerá en ambos sectores. En consecuencia, el comercio libre reduce necesariamente el precio del factor escaso en USA (que es el trabajo) expresado en términos de cualquier bien. Si ello es así, el ingreso real de los trabajadores debe caer, cualquiera sea el patrón de gastos de los trabajadores como consumidores.


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Luego, el teorema de Heckscher-Ohlin implica que la apertura de una economía al libre comercio internacional debe reducir, tanto en términos relativos como absolutos, el ingreso del factor escaso de producción. Como éste es igual al precio por la cantidad empleada del factor, y suponiendo pleno empleo antes y después de la apertura comercial, los ingresos totales factoriales serán proporcionales a sus precios unitarios. Por consiguiente, si el trabajo fuera el factor relativamente más abundante de los países adelantados, se tiene que el comercio libre, si no hay una redistribución política apropiada del ingreso, reducirá necesariamente la participación de los trabajadores en comparación con los capitalistas. De aquí proviene la popular noción existente en los países más adelantados de que el estándar de vida de los trabajadores debe ser protegido de la competencia “ruinosa” del trabajo extranjero barato. Ahora supongan que un país está produciendo ambos bienes bajo condiciones de comercio libre, y que de pronto el gobierno decide imponer una tarifa a las importaciones. Esta tarifa va a afectar la distribución factorial del ingreso. Sigamos el análisis de Stolper y Samuelson suponiendo que la tarifa a las importaciones aumenta el precio interno del bien competidor del importado con respecto al bien exportado. En tales condiciones, si se dan las especifiaciones del modelo de Heckscher-Ohlin, al establecerse la tarifa de importación se encarecerá el factor relativamente escaso con respecto al otro factor, y también en términos de cualquiera de ambos bienes. En otras palabras, una tarifa favorece al factor utilizado intensivamente en la industria del bien competidor del importable. Como la tarifa aumenta el precio de este último, la producción de la industria de bienes que compiten con el importable aumentará; otro tanto sucederá con la demanda del factor usada intensivamente en este sector, cambiando la distribución del ingreso a su favor. Una tarifa reduce el ingreso nacional pero aumenta – relativa y absolutamente – la escasez del factor de producción del país11. El librecambio en general aumenta el ingreso nacional de un país pero daña al factor escaso utilizado intensivamente en el sector competidor del importable. El supuesto de que sólo hay dos bienes no es crítico. Los resultados se mantienen a nivel teórico siempre que clasifiquemos a los bienes de acuerdo con su intensidad factorial. Pero si aumentamos el número de factores entramos en problemas; ni siquiera podemos definir en tal caso el concepto de intensidad factorial. 1.4 El teorema de igualación del precio de los factores El comercio libre y competitivo producirá la convergencia de los precios factoriales conjuntamente con el de los bienes comercializados. El teorema de IPF es la conclusión más importante del modelo H-O, pero es también el teorema que ha encontrado más resistencia en su confrontación con los datos empíricos. Ni la tasa de rendimiento del capital, ni los salarios parecen converger en forma consistente entre países que comercian a diferentes niveles de desarrollo. Según este teorema, no se trata de que el precio de cada uno de los factores se iguale con el del país con el que comercia: los que se igualan son los precios relativos factoriales. El factor que 11 Como se reduce el ingreso nacional real agregado del país que introdujo la tarifa, ustedes podrían preguntar si el factor escaso terminará con un pedazo más grande de un ingreso nacional más bajo y tal vez sufrirá en términos absolutos. Veamos por qué esto es imposible: como se ha producido una reasignación de recursos, los métodos de producción terminarán siendo más intensivos en el factor abundante en ambas líneas de producción, y la productividad marginal del factor escaso aumentará en ambos sectores. Como las cantidades existentes de capital y trabajo están plenamente empleadas, cualquiera sea el bien en el que midan el retorno del factor escaso, su precio (unitario) tiene que aumentar, y recibirá un mayor ingreso dentro del total.


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reciba el precio más reducido antes de que ambos países se integren económica y efectivamente en un único mercado tenderá a ser más caro con relación a los otros factores de la economía, mientras que aquellos que tengan el precio más elevado tenderán a ser más baratos. Un ejemplo que es citado con frecuencia acerca de la igualación de los precios factoriales es el de los salarios. Cuando dos países suscriben un acuerdo de libre comercio, los salarios de tareas idénticas en ambos países tienden a acercarse entre sí. Por ejemplo, luego de que fuera firmado el acuerdo del NAFTA (North American Free Trade Agreement), los salarios de los trabajadores no calificados cayeron en forma gradual en los USA, mientras que en forma simultánea se elevaron gradualmente en México. Otro tanto se ha dado recientemente en varios países de la Unión Europea. El teorema, derivado simplemente del modelo H-O, establece que al igualarse los precios de los productos en ocasión de desplazarse hacia el librecambio, los precios de los factores (capital y trabajo) también se igualarán entre los países. Los supuestos críticos de este resultado son que los países usen la misma tecnología productiva y que los mercados sean perfectamente competitivos. Teorema de igualación de los precios factoriales. Como en un mercado perfectamente competitivo el precio de un factor productivo depende del valor de su producto marginal, a medida que aumente la cantidad de trabajo en una industria caerá su productividad marginal; a medida que aumente la cantidad de capital, también aumentará la productividad marginal del trabajo. Finalmente el valor de la productividad dependerá del precio del producto en el mercado. En una situación de autarquía, ambos países enfrentarán precios diferentes de los productos. Esta diferencia de precios de por sí ya es suficiente para dar lugar a un desvío de los salarios y la rentabilidad entre los países, porque incide sobre la productividad marginal. Además, en un modelo de proporciones variables la diferencia de salarios y rentas también tiene un efecto sobre la relación capital-trabajo de cada industria, que a su vez incidirá sobre los productos marginales. Todo ello implica que, por diversos motivos, los salarios y la rentabilidad del capital serán diferentes entre países en una situación de autarquía. Una vez que se permita el intercambio libre de productos, los precios de los mismos tenderán a igualarse. Y como ambos países tienen las mismas relaciones de productividad marginal se deduce que sólo un conjunto de salarios y rentabilidades puede satisfacer estas relaciones a un conjunto dado de precios de los productos. Luego, el comercio libre ecualizará los precios de los bienes, los salarios y las rentas del capital. Como ambos países enfrentan el mismo salario y tasa de rentabilidad también producirán cada bien usando la misma relación capital-trabajo. Pero como tienen distintas dotaciones factoriales, producirán cantidades diferentes de los bienes. Si hay movilidad perfecta de los factores productivos entre los países, los precios factoriales deberían ser los mismos por doquier. Pero aún en un mundo en el cual los factores de producción no se pueden trasladar entre países, si los bienes pueden hacerlo, el comercio de bienes será sustituto de la movilidad factorial. Si no hubiera barreras comerciales, los precios de los bienes deberían ser iguales en todos los países a renglón seguido de la apertura comercial. El teorema de igualación de precios de los factores demuestra que el librecambio conduce a una ecualización completa de los precios factoriales (o a una ecualización parcial acompañada por especialización completa de la producción en un país, por lo menos). Examinemos la explicación de sentido común de este teorema. Si un país tiene una ventaja comparativa en un bien trabajo-intensivo X, la apertura comercial implica un aumento del precio de X y por esa vía una expansión de su producción. A medida que se demanda más X en el mercado de exportaciones, aumentará la demanda de factores productivos del sector X. Como X es trabajo-intensivo, la cantidad demandada de trabajo aumentará con relación a la cantidad demandada de


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capital, y habrá un exceso de demanda de trabajo en los mercados factoriales del país. Porque para aumentar la producción de X, el país debe trasladar factores de producción desde la industria Y a la industria X. Pero Y era la industria capital-intensiva. La expansión de la industria X absorbe relativamente más trabajo que la cantidad desempleada en la industria Y en contracción. Se produce una cotización al alza del trabajo. Su precio relativo aumenta y disminuye el precio relativo del capital. De resultas, los métodos de producción de ambos sectores se hacen más capital-intensivos y, por lo tanto, la productividad marginal del capital resulta menor y la del trabajo mayor en ambos sectores. De manera análoga, los productores del otro país donde el capital es relativamente abundante comienzan a producir más del bien Y capital-intensivo a fin de exportarlo. A medida que se produce más Y se va requiriendo más capital, cuyo precio va aumentando, etc. Por consiguiente, en el país que estaba en autarquía con el trabajo relativamente barato, el salario aumentará, de forma relativa y absoluta, con el libre comercio. El teorema muestra que, si no hay especialización completa en ningún país, el comercio libre conducirá al aumento de los precios factoriales, que terminarán siendo idénticos, no sólo en términos relativos sino también absolutos. 1.5 Conclusiones generales sobre el modelo H-O Heckscher y Ohlin consideraban al teorema de Igualación de los Precios Factoriales como un éxito econométrico, ya que el volumen importante de información acumulada hacia fines del siglo XIX y comienzos del XX coincidía con la convergencia de precios de bienes y factores a lo largo de todo el mundo. Pero los estudios econométricos más modernos han mostrado que el modelo exhibe una escasa validación empírica, por lo cual han sido propuestos diversos ajustes, entre los cuales el más importante es el supuesto de que la tecnología no es la misma por doquier, cambio que involucraría abandonar el modelo H-O puro. Kevin H. O'Rourke y Jeffrey G. Williamson12 practicaron un análisis econométrico de precios factoriales, precios de los bienes y dotaciones de recursos en el comercio intercontinental entre el siglo XV y el siglo XX y hallaron que los patrones económicos y comerciales del siglo XIX pueden ser exitosamente modelados mediante el enfoque de H-O. Ya nos hemos referido al test del modelo H-O practicado por Leontief para los USA en 1954, que refutó el teorema principal de H-O, test conocido como paradoja de Leontief. Han surgido modelos de comercio alternativos y diversas explicaciones de la paradoja, siendo una de las más interesantes la hipótesis de Linder, que sugiere que los bienes son comercializados sobre la base de similitudes de la demanda en lugar de diferencias del lado de la oferta (dotaciones factoriales). 2. Equilibrio General Competitivo La concepción moderna de equilibrio general está implícita en un modelo desarrollado en forma conjunta por Kenneth Arrow, Gérard Debreu y Lionel McKenzie en los años 1950. Gérard Debreu presentó su modelo en Theory of Value (1959) como un modelo axiomático. Seguiremos el tratamiento de Gérard Debreu, quien en su prefacio señala que los objetivos de su monografía son: “(1) la explicación de la formación de los precios de los bienes resultantes de la interacción de los agentes en una economía de propiedad privada mediante mercados; (2) la explicación de la función de los precios en un estado óptimo de la economía.” Señala que “las

12 Kevin H. O'Rourke and Jeffrey G. Williamson, “The Heckscher-Ohlin Model Between 1400 and 2000: When It Explained Factor Price Convergence, When It Did Not, and Why”, 1999.


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primeras soluciones de estos problemas fueron dadas por L. Walras y V. Pareto, respectivamente, pero ninguno de los maestros de la escuela de Lausanne ni sus discípulos durante varias décadas ofreció un tratamiento demasiado riguroso de sus ideas.[...] Sólo en 1935-36 A. Wald publicó el primer análisis riguroso del equilibrio. Un poco antes J. von Neumann había comenzado a desarrollar, en diversos contextos, un instrumento matemático que iba a jugar un papel esencial en esa área, que recibió su forma definitiva de teorema de punto fijo de S. Kakutani. La utilidad de este instrumento en economía fue demostrada en 1950 por J. Nash al demostrar que todo juego finito de n personas tiene un punto de equilibrio (un concepto que se remonta a A. Cournot). Con respecto al segundo problema, el primer estudio riguroso, utilizando propiedades de los conjuntos convexos, de la equivalencia entre un óptimo y un equilibrio con referencia a un sistema de precios, fue realizado por T.C. Koopmans dentro del contexto del análisis lineal de actividades de la eficiencia productiva.” Debreu encara su análisis con los “estándares de rigor de la escuela formalista de matemática contemporánea. El esfuerzo de rigurosidad sustituye los razonamientos y resultados incorrectos por los que son correctos. Pero además tiene otras ventajas. Habitualmente conduce a comprender de modo más profundo los problemas a que es aplicado, lo cual ha sucedido en el caso actual. También puede llevar a cambiar drásticamente los instrumentos matemáticos usados. En el área que estamos por discutir se ha tratado de un cambio desde el cálculo hacia los análisis de convexidad y las propiedades topológicas, transformación que significó ganancias notables en generalidad y sencillez de la teoría.” Pero a renglón seguido Debreu muestra su opinión sobre la interpretación dentro del método axiomático: “La lealtad a la rigurosidad requiere la forma analítica axiomática aunque, en su sentido más estricto, el método quede totalmente desconectado de sus interpretaciones13.” 2.1. Propiedades del sector productivo En primer término vamos a repasar desde un punto de vista axiomático los fundamentos del modelo desde el lado de la producción. Supondremos que los beneficios, que escribimos pyj para la empresa j-ésima, constituyen una función de los precios, e indicaremos mediante yj

*(p) a la función de oferta óptima. Esto excluye correspondencias de oferta con segmentos horizontales. La oferta agregada del mercado será escrita como y(p)=Σyj(p). El conjunto de posibilidades de producción agregado de la economía será Y=ΣYj. Por el momento vamos a trabajar con una economía que no presenta interacciones directas entre las actividades productivas (este tema será tratado cuando hablemos de externalidades).

13 De hecho, Debreu subraya que, para acentuar totalmente la falta de conexión, escribió todas las definiciones, hipótesis y resultados principales en letra cursiva. Asimismo, cuando pasa de la discusión informal de las interpretaciones a la construcción formal de la teoría lo hace a menudo utilizando expresiones como “según el lenguaje teórico”, “por el bien de la teoría”, “formalmente”, etc. Esta dicotomía permite revelar los supuestos y la estructura lógica del análisis. Un aspecto aún más importante es que este tipo de análisis permite extensiones inmediatas sin modificar la teoría sólo reinterpretando los conceptos de la teoría. Un ejemplo patente es la reinterpretación de lo que es un bien: si distinguimos entre los bienes, éstos pueden ser distinguidos entre sí no solamente por sus propiedades físicas, su localización y la fecha, sino también por el hecho de que ocurra un evento. Dice en el cap. 7: “Esta nueva definición de lo que es un bien nos permite obtener una teoría de la incertidumbre libre de cualquier concepto probabilístico y formalmente idéntica a la teoría bajo certidumbre que hemos venido desarrollando.”


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Bajo estas condiciones es válido el siguiente lema que no demostraremos, ya que es inmediato: y maximiza py sujeto a yεY si y solamente si para todo j, yj maximiza pyj sujeto a yjεYj.14 Enunciamos los siguientes axiomas aplicables al sistema productivo: 1] 0εYj para todo j (hipótesis de posibilidad de inacción) Este axioma expresa que es posible no producir nada sin utilizar ningún insumo. En otros términos, lo que se pretende hacer es el análisis de un sistema económico en el largo plazo (cuando es posible estar afuera de la industria). 2] Yj es un conjunto cerrado y convexo para todos los j. El hecho de que el conjunto de producción Yj sea cerrado implica que es un conjunto continuo; e.d. si todos los yj

q son factibles para el productor j, y yjq→yj

0, entonces yj0 también es factible para el productor j. En

cuanto a la convexidad, ésta ya ha sido estudiada. Recordemos que si yj1 e yj

2 son dos planes factibles para el productor j, la convexidad implica que el promedio ponderado de ambos, tyj

1+(1-t)yj2 también resulta

factible para todo número 0≤t≤1. Este axioma, junto con el axioma [1], implica que, si yj es factible, también lo será tyj para todo t comprendido entre 0 y uno. En otros términos, prevalecen los rendimientos no-crecientes a escala. En palabras de Debreu, “la hipótesis de convexidad es crucial porque desempeña un rol en todas las demostraciones existentes de varios teoremas económicos fundamentales...pero aún así, es más débil que [el axioma de rendimientos constantes a escala].” 3] Y ∩ (-Y) es un subconjunto impropio de {0}. (hipótesis de irreversibilidad de los procesos productivos). Tengan en cuenta que una economía en la cual no tiene lugar ninguna actividad productiva se caracteriza por Y={0}, es decir, un conjunto productivo que consiste del único punto 0. Luego, si la producción y con insumos y productos distintos de cero fuera factible, la producción –y no puede serlo. Este es un supuesto típico de economía, ya que los procesos productivos no pueden ser revertidos, dado que, en particular, producir lleva tiempo y que los bienes tienen fecha15. Si cada productor tiene un conjunto productivo que 14 Este lema podría formalizar lo que pretendía el Secretario de Planificación Yevsei Lieberman de la ex URSS, en la década de los 1970s, cuando afirmaba que había que implementar una reforma de la economía soviética tal que resulte que lo que es rentable para una empresa sea útil para todo el país, y a la inversa: que lo que sea útil para el país sea rentable para la empresa. Apoyado por Khrushchev e implementado en forma tentativa por los mismos líderes que terminaron deponiéndolo, el programa fue abandonado en forma precipitada por los líderes del Kremlin cuando se dieron cuenta de sus implicancias a largo plazo. Aunque las reformas de Lieberman hubieran colocado sobre una base sólida y asegurado el crecimiento económico futuro de la economía soviética, hubieran socavado de manera inevitable al sistema soviético de control centralizado. Dada la opción entre la prosperidad y el poder, la elite soviética optó por el último – llevando a la Unión Soviética a un camino sin retorno, de ruina eventual. (Extraido de Center for Intelligence Studies, Vol. 20 Nº 3, Aug./Sep. 2007) 15 Este axioma está vinculado con la llamada Segunda ley de la termodinámica. Esta ley regula la dirección en la que deben llevarse a cabo los procesos termodinámicos y, por lo tanto, la imposibilidad de que ocurran en el sentido contrario (por ejemplo, que una mancha de tinta dispersada en el agua pueda volver a concentrarse en un pequeño volumen). También establece, en algunos casos, la imposibilidad de convertir completamente toda la energía de un tipo en otro sin pérdidas. De esta forma, La Segunda ley impone restricciones para las transferencias de energía que hipotéticamente pudieran llevarse a cabo teniendo en cuenta sólo el Primer Principio (También conocido como principio de conservación de la energía para la termodinámica, establece que si se realiza trabajo sobre un sistema, o bien éste intercambia calor con otro, la energía interna del sistema cambiará. Visto de otra forma, esta ley permite definir ‘calor’ como la energía necesaria que debe intercambiar el sistema para compensar las diferencias entre trabajo y energía interna.) La Segunda ley apoya todo su contenido aceptando la existencia de una magnitud física llamada entropía tal que, para un sistema aislado (que no intercambia materia ni energía con su entorno), la variación de la


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verifica esta propiedad, también será verificada para todo el sistema económico, cuyo conjunto productivo Y=∑j Yj. 4] Y ⊃ –R+ (hipótesis de libre disposición de los excedentes). Hemos denotado como –R+ al conjunto de vectores de componentes no positivas, incluyendo naturalmente al vector {0}. Exte axioma significa que resulta factible una producción total con todas sus componentes nulas. Está estrechamente vinculado al siguiente, a saber que si un vector de producción total es factible, también lo es uno que tenga productos no mayores e insumos no menores (en valor absoluto): Y⊃(Y-R+). Si estos axiomas son repasados, verán que hay tres fenómenos no alcanzados: (1) la existencia de economías y deseconomías externas (e.d. cuando el conjunto productivo de un productor depende de las producciones de otros productores, y/o del consumo de los consumidores – tema que dejamos para más adelante); (2) la presencia de rendimientos crecientes a escala; (3) la conducta de productores que no consideran a los precios como parámetros al elegir su producción (tema tratado en los Cap. XV y XVII). 2.2. Axiomas de las funciones de demanda Debemos tener en cuenta también a la oferta de trabajo y a los beneficios. Para ello definimos a la riqueza del consumidor i como:

mi = pωi + ∑j θij (pyj(p))

El coeficiente θij representa una participación accionaria del individuo i en la empresa j. Por definición, ∑i θij=1. El consumidor se supondrá que maximiza una función de utilidad continua ui(xi) sujeto a su restricción presupuestaria y a su conjunto accesible Xi.

max ui(xi) sujeto a pxi=mi , xiєXi

Supondremos que la solución es una función de demanda xi(p). Este supuesto excluye correspondencias de demanda que tengan segmentos horizontales a determinados precios. 5] Xi es un conjunto convexo, cerrado y acotado inferiormente. Que Xi sea cerrado tiene que que ver con una hipótesis de continuidad, en forma similar a como se vio para la producción. Que esté acotado inferiormente por la relación ‘≦’ significa que existe un punto χi en Xi tal que χi≤xi para todos los xi que están en Xi. En otros términos, tal que Xi⊂ { χi}+R+. La justificación es simple. Si el bien h es un insumo (como un bien consumido, digamos carnes rojas), xih tiene una cota inferior, cero. Si el bien h es un producto (como un cierto tipo de trabajo realizado), existirá una cota superior dada, en valor absoluto, por la cantidad de ese trabajo que el consumidor puede producir durante el correspondiente intervalo de tiempo elemental, cualesquiera sean los restantes insumos y productos. entropía siempre debe ser mayor que cero. Debido a esta ley también se tiene que el flujo espontáneo de calor siempre es unidireccional, desde los cuerpos con temperatura más alta a aquellos con temperatura más baja. Cabe recordar que Paul Samuelson fue uno de los primeros economistas en generalizar y aplicar métodos matemáticos desarrollados para el estudio de la termodinámica a la economía. Como estudiante graduado en la Universidad de Harvard, fue el único protegido del erudito Edwin Bidwell Wilson, quien había sido él mismo el único protegido del gran físico de Yale Josiah Willard Gibbs. Gibbs, el fundador de la termodinámica química, fue también mentor del economista norteamericano Irving Fisher e influyó sobre ambos en sus ideas sobre el equilibrio de sistemas económicos.


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6] Inexistencia de saciedad: no existe xi* tal que u(xi*)>u(xi) 7] Los conjuntos {xi; ui(xi)≥ui(xi

’)} y {xi; ui(xi’)≥ui(xi)} son cerrados y convexos.

Usando el lenguaje de las preferencias, el conjunto Xi resulta particionado en clases de indiferencia por la relación de ‘preferido o indiferente a’. Al conjunto P(xi’)= {xi; ui(xi)≥ui(xi

’)} lo denominaremos conjunto de preferencia de xi’. Como suponemos que la función de utilidad es continua, los conjuntos de preferencia serán cerrados. También serán convexos si el consumidor exhibe una tasa marginal de sustitución no creciente entre cada par de bienes. Es decir, si xi

1 y xi2 son dos puntos distintos de Xi, y t un número real

0<t<1 se tendrá una situación de (a) convexidad en sentido débil si xi2≿xi

1 →txi2+(1-t)xi

1≿xi1 (es decir, si un

vector de consumo xi2 es al menos tan deseado como otro xi

1 entonces su promedio ponderado, con ponderaciones positivas, será al menos tan deseado como xi

1; (b) convexidad estricta, si xi2≻xi

1→txi2+(1-

t)xi1≻xi

1 (es decir, si un consumo posible xi2 es preferido o brinda más utilidad que otro consumo xi

1, entonces su combinación con ponderaciones positivas será preferida a xi

1. Se dice entonces que la función de utilidad satisface un preorden completo. 8] El vector de recursos iniciales del consumidor ωi pertenece al interior del conjunto Xi. Este axioma tiende a excluir discontinuidades de la restricción presupuestaria ante cambios de los precios o la riqueza del consumidor. Dado un conjunto de consumo compacto y convexo Xi y un par precio-riqueza (p0,m0) la restricción presupuestaria será continua en (p0,m0) siempre que sea excluído el caso excepcional en que mi

0=Min p0.Xi, en cuyo caso la riqueza mi0 es tan reducida que para cualquier riqueza inferior no

habría consumo posible que la satisfaga. Con estos elementos, quedan determinadas las funciones de demanda de los consumidores xi(p). A partir de las mismas obtenemos, por suma para todos los consumidores, las funciones vectoriales con argumento vectorial - la demanda agregada x(p)=∑xi(p) - y el vector de recursos iniciales de la economía ω=∑ωj. Debreu señala que un caso de un preorden total que “no puede ser representado por una función de utilidad a valores reales es el ordenamiento lexicográfico en R2. Por definición, (a,b)≺(a’,b’) si (1) a<a’, o (2) a=a’ y b<b’”. Si todos los agentes tienen idénticas preferencias lexicográficas, no puede existir un equilibrio general porque los agentes no se venderían los bienes entre sí (en tanto el precio del bien menos preferido sea positivo). Pero si el precio del bien menos deseado fuera cero, todos los agentes desearían una cantidad infinita de ese bien. El equilibrio no puede ser alcanzado. Aún así, las preferencias lexicográficas son compatibles con una situación de equilibrio general. Por ejemplo: (a) Si gente distinta tiene dotaciones diferentes de preferencias lexicográficas; (b) Si algunos tienen preferencias lexicográficas, pero no todos; (c) Si las preferencias lexicográficas son extensivas sólo a cierta cantidad del bien. A un ordenamiento lexicográfico a veces se lo llama ordenamiento de diccionario16. 2.3. Existencia de equilibrio general competitivo

16 Mariana Conte Grand, María Alegre, y Luis Ignacio Rizzi, en “Valor de una Vida Estadística en Argentina: Estimación en base a un Experimento de Preferencias Declaradas de Elecciones de Viaje” (AAC, 2005), basado “en una encuesta piloto de preferencias declaradas, llevada a cabo en diciembre de 2004 en la Autopista Buenos Aires-La Plata realizaron un análisis econométrico de dichos datos a través de modelos Logit que dio como resultado que el valor de evitar una muerte (o su contracara, el valor de una vida) sería aproximadamente de 50 centavos (o de 30 si se descartan los comportamientos lexicográficos). A su vez, el valor del tiempo resultaría aproximadamente $4/hora (6,5 centavos el minuto ahorrado).” Resulta interesante señalar que los autores observan “en las encuestas de elección cierto comportamiento lexicográfico. Esto es, personas que eligen siempre en base a un atributo. Por ejemplo, de las 8 preguntas de elección que se le hacen, optan siempre por la alternativa más barata, por la de menor riesgo, o la de menor tiempo.”

http://en.wikipedia.org/wiki/Preorder


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Recordamos en primer término que todas las funciones de oferta y demanda son homogéneas de grado 0 en los precios absolutos. A lo sumo, podremos determinar precios normalizados pi

’=pi/(∑pi). Estos precios normalizados cumplen luego con la restricción [6] ∑pi

’=1

y, por consiguiente, de aquí en más asumiremos que trabajamos con los precios normalizados eliminando el tilde de la notación. Podemos también definir el simplex k-1 dimensional Sk-1={p∊R+

k; Σpi=1}. Ahora podemos definir un equilibrio general competitivo como un conjunto de precios y cantidades (p*,xi

*,yj*) tales que

[7] x(p*) – y(p*) - ω≤ 0

Teorema (Debreu) Bajo las condiciones [1] a [8] existe un EC17. Luego veremos una versión simplificada de la demostración (p. 568). Ley de Walras Demostraremos que, a partir del cumplimiento de las restricciones presupuestarias de los consumidores, debe verificarse la ley de Walras: [8] p(x(p)-y(p)-ω)=0 Dem.) px(p)=Σi pxi(p) = Σi p(ωi+Σj θij yj(p))= pω + p(y(p)) dado que ∑i θij=1. Enunciamos sin demostración los siguientes resultados que se obtienen sin dificultad a partir de las definiciones de equilibrio competitivo y la Ley de Walras: [9] xj=yj+ωj (j=1, ..., k-1) implica que xk=yk+ωk si pk>0. [10] xj<yj+ωj implica que pj=0 (regla de los bienes libres). 2.4. Teorema de punto fijo de Brouwer Se demostrará ahora un teorema de equilibrio general usando una versión del teorema de punto fijo de Brouwer, que puede ser enunciado de la siguiente manera: Sea A un conjunto no vacío, convexo y compacto en Rn. Sea f: A→A un mapa continuo sobre A. Luego existe x* en A tal que x*=f(x*). Es decir, x* es un punto fijo de la función f. El teorema de punto fijo es una consecuencia del Teorema del Valor Medio siguiente:

17 En realidad, Debreu demostró un teorema algo diferente, porque no trabajó con funciones de demanda ni de oferta, sino con correspondencias. Utilizó a tal efecto el teorema de punto fijo de Kakutani.

http://en.wikipedia.org/wiki/Correspondence_%28mathematics%29

http://en.wikipedia.org/wiki/Kakutani_fixed_point_theorem


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Teorema: (Bolzano, TVM) Sea f : [a, b] →R una función continua, donde [a, b] es un subconjunto no vacío, compacto, y convexo de R y f (a)·f (b) < 0, luego existe un x* ∈[a, b] tal que f (x*) = 0. Corolario: Sea f : [0, 1] →[0, 1] una función continua. Luego, tiene un punto fijo, e.d. existe x* ∈[0, 1] tal que f (x*) = x*. En la figura de la página anterior, el punto d, x’’=f(x’) no constituye un punto fijo de la función. La función f cruza a la bisectriz de 45º en a, b y c, todos los cuales representan puntos fijos de f. Definimos a continuación el concepto de demanda excedente: [11] z=x(p)-y(p)-ω = z(p)

que está definida para todo p∈Sk-1. Tiene las características de ser continua, homogénea de grado 0 y cumplir con la ley de Walras. Teorema Existe p* tal que z(p*)≤0. Dem.) Lema preliminar Definimos la función zh

+(p)=Max{0,zh(p)} Esta función resulta continua, no negativa y cumple con la condición siguiente: [12] z+(p).z(p)=0 →z(p)≤0.

Pasamos ahora a la demostración del teorema. Se define una función f: Sk-1→Sk-1 continua: [13] α(p)=Σh (ph+zh

+(p))= 1+Σh zh+(p) ≥ 1 con

f(p) = (p+z+(p))/α(p) que está en Sk-1.

Esta última función puede interpretarse como una “función de ajuste de los precios”, con ∂p/∂t=f(p), ya que una zh

+ positiva tiende a incrementar el precio ph. Por el teorema de Brouwer, existe un p* tal que p*=f(p*). Falta ahora demostrar que z(p*)≤ 0.

Es quí donde se recurre a la ley de Walras: [14] 0= p* z(p*) = f(p*) z(p*) =[ p* + z+(p*)]/ α(p*).z(p*) = z+(p*) z(p*) / α(p*)

Por el lema preliminar, luego z+(p*)z(p*)=0 implica z(p*)≤0. (QED) 3. Teoría del equilibrio general Como hemos visto, la Teoría del Equilibrio General es una rama de la microeconomía teórica, cuyo objetivo consiste en explicar la producción, el consumo y los precios de una economía en su conjunto. Su enfoque es habitualmente del tipo denominado bottom-up approach, partiendo de los agentes y mercados individuales. La macroeconomía, por su parte, utiliza un enfoque más orientado al top-down approach en que se comienza analizando la conducta de grandes agregados de la economía.


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Como la macroeconomía moderna ha puesto énfasis en sus fundamentos microeconómicos, esta distinción ha quedado un poco borrosa. Muchos modelos macroeconómicos, sin embargo, tienen un mercado de bienes y servicios y estudian sus interacciones, con, por ejemplo, el mercado financiero. Los modelos de equilibrio general involucran generalmente una multiplicidad de diferentes mercados de bienes y servicios. Los modelos modernos de EG son complejos y habitualmente requieren del uso de computadoras para obtener soluciones numéricas. En un sistema de mercados los precios y la producción de todos los bienes, incluyendo el precio del dinero y la tasa de interés, están interrelacionados. Cambios del precio de un bien, por ejemplo del pan, puede afectar a otro precio, por ejemplo los salarios de los panaderos. Si los gustos de los panaderos difieren de los gustos de otra gente, la alteración del salario de los panaderos podría afectar la demanda de pan, con un efecto consiguiente sobre el precio del pan. En teoría, calcular el precio de equilibrio de un solo bien requiere un análisis que tome en cuenta los millones de bienes existentes18. 3.1 Historia de los modelos de EG El primer intento de modelizar los precios para toda una economía fue hecho dentro de la economía neoclásica por Léon Walras. Los Elementos de Economía Pura de Walras contienen una sucesión de modelos, cada uno más complejo que el anterior, de una economía real (dos bienes, varios bienes, producción, crecimiento, dinero). Algunos economistas como Eatwell y Jaffé19 piensan que Walras no tuvo éxito ya que los últimos modelos de esta serie son inconsistentes. Aún así, se piensa que Walras fue el primero en desarrollar un programa de investigación que aún continúa en la actualidad. Walras fue el primero en introducir una restricción dentro de la teoría del EG que aún no ha sido superada, la del tanteo (tâtonnement que implica, como un ciego, andar a tientas). El proceso de tanteo es una herramienta para investigar la estabilidad de las situaciones de equilibrio. Los precios son gritados, y los agentes registran cuánto de cada bien desearían ofrecer (oferta) o comprar (demanda). Ninguna transacción ni producción tiene lugar a los precios de desequilibrio. En su lugar, los precios de aquellos bienes con precios positivos y en exceso de oferta son reducidos. Los precios de aquellos bienes en exceso de demanda son aumentados. Una pregunta de índole matemática es bajo qué condiciones este proceso terminará en un equilibrio en que la demanda sea igual a a la oferta en aquellos bienes con precios positivos, y la demanda no exceda a la oferta para aquellos bienes con un precio cero. Walras no dio una respuesta definitiva a esta cuestión, aunque su modelo planteó los términos fundamentales del problema y de su solución. 3.2 Análisis de equilibrio parcial En los análisis de equilibrio parcial la determinación del precio de un bien se simplifica concentrándose en el precio de un solo bien, y suponiendo que los precios de los restantes bienes permanecen constantes. Esta aproximación había sido utilizada in extenso por Cournot y Jenkins. Este tipo de análisis puede ser considerado ya como una forma pedagógica de les ventajas que presenta la representación gráfica, ya como una primera aproximación al análisis de equilibrio

18 Esto es en la práctica imposible, por lo cual se introducen en estos modelos hipótesis simplificadoras que tienden a reducir su tamaño para tornarlos solubles. 19 Eatwell, John (1987). "Walras's Theory of Capital", The New Palgrave: A Dictionary of Economics (Edited by Eatwell, J., Milgate, M., and Newman, P.), London: Macmillan. William Jaffé & Donald Anthony Walker, William Jaffé's Essays on Walras, Cambridge University Press, 1983.


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general, en la cual se omiten las repercusiones sobre los restantes mercados. El análisis de equilibrio parcial puede ser visto como un caso especial de análisis de equilibrio general. Si existe un mercado de un bien se presupone que al menos debe haber algún otro bien aparte del comerciado en el mercado, ya que un precio debe ser planteado como una relación a la que los individuos entregan algo a cambio del bien en cuestión. Si hubiera un único bien no existiría ni intercambio ni mercado. Si hay dos bienes, la demanda y la oferta están determinadas por el cociente de precios entre 1 y 2 – es decir, el precio del bien 1 usando al bien 2 como numerario. Por la ley de Walras, el equilibrio del mercado 1 asegura el equilibrio en el mercado 2. En tal caso, el análisis de equilibrio parcial del mercado 1, cuando hay dos bienes, es totalmente equivalente al análisis de equilibrio general. La teoría de Marshall de la oferta y la demanda es un ejemplo de análisis de equilibrio parcial. Este tipo de análisis es adecuado si los efectos de primer orden de un cambio de, por ejemplo, la curva de demanda, no trasladan la curva de oferta. Los economistas ingleses y norteamericanos comenzaron a interesarse en la teoría del EG a partir de que en los años 1930s Piero Sraffa demostrara que los economistas que seguían el enfoque de Marshall no tomaban en cuenta las fuerzas que obran para que la curva de oferta de un bien de consumo tenga pendiente positiva. Si una industria utiliza una pequeña cantidad de un factor de producción, un pequeño incremento de la producción de esa industria no hará elevar el precio de ese factor. En primera aproximación, las firmas de la industria no experimentarán costos decrecientes ni las curvas de oferta de la industria tendrán pendiente positiva. Pero si una industria utiliza un monto apreciable de ese factor de producción, un aumento de la producción de esa industria exhibirá costos decrecientes (bajo la hipótesis de una reducción del precio de ese insumo) o crecientes (bajo la hipótesis contraria). Luego, argumentó Sraffa, los efectos de primer orden del traslado de la demanda de la industria de origen incluyen una alteración de la curva de oferta de sustitutos por los productos de esa industria y traslaciones consiguientes en la curva de oferta original de la industria. La teoría del EG está diseñada para investigar tales interacciones entre los mercados. 3.3 Existencia y unicidad Walras utilizó a menudo el recurso del recuento de ecuaciones y de incógnitas para demostrar la existencia de un equilibrio. Aunque analizó los problemas relevantes y en la práctica llegó a resultados correctos (v. página 549), estos argumentos son inadecuados en sistemas de ecuaciones no lineales y no implican que los precios y cantidades de equilibrio sean negativos, lo cual no tiene sentido. La mejora de la modelización tuvo que ver con el reemplazo de ciertas ecuaciones por desigualdades y con el uso de técnicas matemáticas más rigurosas. Los verdaderos avances llegaron en los años 1930s. Hubo dos corrientes distintas de pensamiento, una de origen alemán, que trató fundamentalmente la existencia y unicidad del equilibrio, y otra en lengua inglesa, que se concentró en los problemas de estabilidad y de estática comparativa. La primera arrancó con un examen muy completo de la simplificación de Cassel20del sistema de Walras, un trabajo interesante sin gran significación en sí mismo, pero cuyo estudio resultó extraordinariamente fructífero. Cassel supuso la existencia de dos tipos de bienes: los bienes que intervienen como argumentos en las funciones de demanda de los consumidores, y los factores utilizados para producirlos (no consideró a los bienes intermedios). Cada bien era producido mediante factores con coeficientes de insumo-producto constantes. Las ofertas factoriales eran supuestas como totalmente inelásticas. Si aij es la cantidad del factor i usada en la

20 Cassel, G. (1924), The Theory of Social Economy, New York: Harcourt, Brace.


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producción de una unidad del bien j, xj el producto total del bien j, y ri el precio del factor i, la condición de que la demanda resulta igual a la oferta factorial se lee como [A] ∑jaijxj=vi para todo i, en tanto que la condición de que todo bien sea producido con beneficio cero es [B] ∑iaijri=pj para todo j. El sistema se completaba con las ecuaciones que vinculaban a la demanda de los bienes con sus precios y con el ingreso total resultante de la venta de factores. Computando ecuaciones e incógnitas, resultaba que había tantas de unas como de otras. Pero en tres papers virtualmente simultáneos, Zeuthen, Neisser y von Stackelberg21mostraron de diferentes maneras que el problema de existencia de un equilibrio significativo es bastante más profundo que la igualdad de ecuaciones y de incógnitas. Neisser observó que aún con valores perfectamente plausibles de los coeficientes de insumo-producto aij los precios o cantidades que satisfacen a [A] como a [B] muy bien podrían ser negativos. Von Stackelberg observó que [A] constituía un sistema completo de ecuaciones en los productos xj, dado que las ofertas factoriales vi eran datos, pero que no había supuesto alguno sobre la cantidad de factores o de bienes distintos. Si, en particular, la cantidad de bienes era menor que la de factores, las ecuaciones [A] no tendrían solución. Zeuten reconsideró el significado de las ecuaciones [A]. Observó que los economistas, por lo menos a partir de Carl Menger, habían reconocido que algunos factores (p.ej. el aire) son tan abundantes que no existiría ningún precio para fijarles. Por lo tanto, no entrarían dentro de la lista de factores del sistema de Cassel. Pero Zeuthen argumentó que la división de factores entre libres y escasos no debería ser tomada a priori. Luego, todo lo que podía afirmarse era que el uso de un factor no debería exceder a su oferta, pero si estuviera disponible en defecto debería ser considerado como un factor libre. Simbólicamente, [A] debería ser reemplazada por [A’] ∑jaijxj≤vi. Para la generación siguiente de economistas familiarizados con la programación lineal y sus generalizaciones no es necesario abundar en lo que significó el paso dado. Las igualdades fueron reemplazadas por desigualdades y fue introducida la noción vital de holgura complementaria de cantidades y precios. Como ya hemos mencionado en el cap. II, Karl Schlesinger, el banquero alemán y economista amateur llegó a la misma conclusión en forma independiente. Pero fue aún más allá, al tomar conciencia de que reemplazando las igualdades por desigualdades también se resolvían los problemas planteados por Neisser y von Stackelberg. Schlesinger22 reparó en la complejidad matemática del problema, y, a pedido suyo, Oskar Morgenstern lo puso en contacto con el joven matemático Abraham Wald. El resultado de su colaboración fue el primer tratamiento riguroso del equilibrio general competitivo. En un documento escrito en alemán en 1936 y traducido al inglés en 195123 demostró la existencia de equilibrio competitivo en un conjunto de modelos alternativos, que incluían al modelo de Cassel y a un modelo de intercambio puro. Definió a un equilibrio competitivo en el sentido de Zeuthen. Sus papers eran de una profundidad matemática inabordable, no sólo por el uso de instrumentos sofisticados sino por la complejidad del argumento. A medida que fueron siendo conocidos por los economistas, probablemente sirvieron no sólo para inhibirlos por las dificultades que presentaban, sino también para estimularlos para realizar investigaciones ulteriores. Una línea vinculada de investigación fue la teoría de los juegos de John von Neumann (1928; 1944 con Oskar Morgenstern) que presenta una relación paradójica con la teoría del equilibrio 21 Zeuthen, F., (1932), “Das Prinzip der Knappheit, technische Kombination und ökonomische Quälitat”, Seitschrift für Nationalökonomie, 4; Neisser, H. (1932), “Lohnhöhe und Beschäftigungsgrad im Markt-gleichgewich”, Weltwirtschaftliches Archiv, 36; von Stackelberg, H. (1933), “Zwei Kritische bemerkungen sur preistheorie Gistav Cassels”, Zeitschift für Nationalökonomie, 4. 22 Schlesinger, K. (1933-34), “Über die Produktionsgleichungen der ökonomische Wertlehre”, Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums, 6. 23 Wald, A. (1951), “On some systems of equations of mathematical economics”, Econometrica, 19.


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económico. La TJ se ha desarrollado a partir de diversas nociones generales de equilibrio, que bien podrían reemplazar la noción de equilibrio competitivo, bien incluirla como caso especial. La noción de núcleo de un juego (v. pág. 459) es idéntica a la de curva de contrato de Edgeworth y ha sido aplicada a determinadas situaciones de mercado por Shubik24. El principal estímulo de la TJ a la teoría del equilibrio (TE) ha sido mediante el uso de instrumentos matemáticos desarrollados por la primera y aplicados por la última mediante interpretaciones completamente diferentes. El propio von Neumann hizo la primera aplicación en su celebrado documento sobre crecimiento económico equilibrado25. En su modelo, no hay demanda, sino solamente producción. Los mercados de cada período deben estar en equilibrio en el sentido de Zeuthen, pero además se introduce un segundo sentido de equilibrio, que es el de equilibrio estacionario. Para que haya un equilibrio estacionario, la configuración de equilibrio debe ser la misma período a período. A fin de demostrar la existencia de equilibrio, von Neumann demostró que un cierto cociente de formas bilineales tiene un punto de ensilladura, generalizando el teorema que demostraba la existencia de equilibrio en un juego de dos personas de suma cero. Pero mientras que en TJ las variables del problema son probabilidades (de elegir entre distintas estrategias alternativas), en la TE un conjunto de variables eran precios y otro conjunto eran los niveles de operación de las actividades productivas. A partir de una versión simplificada del teorema de von Neumann dada poco después por el matemático Kakutani, el teorema de Kakutani se convirtió en la herramienta básica de todos los trabajos que le siguieron. Desde entonces, se percibió que eran posibles teoremas de existencia y de mayor sencillez y generalidad que los de Wald. Los primeros documentos fueron los de McKenzie y Arrow y Debreu, seguidos por los de Hukukane Nikaidô e Hirofumi Uzawa, Debreu y McKenzie. La revisión más completa de las condiciones de existencia está en la obra de Debreu que venimos de comentar, quien desarrolló también la versión más general26. 3.4 Estabilidad y estática comparativa La literatura anglo-americana después de los años treinta contempló un análisis intenso de la estática comparativa y de la estabilidad del equilibrio general competitivo, vinculado al análisis de las condiciones de segundo orden de maximización de los beneficios por las empresas y de la utilidad por los consumidores. Los economistas más significativos fueron John R. Hicks, Harold Hotelling, Paul Samuelson y R.G.D. Allen. Es conveniente comenzar analizando la estabilidad desde el punto del multimercado, para pasar luego a la estabilidad de un mercado aislado. 3.4.1 Estabilidad del mercado Suponiendo que existe un equilibrio, queda pendiente de tratamiento el problema de cómo se alcanza efectivamente. El cálculo centralizado del equilibrio basándose en datos fundamentales como preferencias, tecnología, recursos, precios del comercio exterior y otros no es concebible en razón de las inmensas exigencias en materia de cálculo y de datos requeridos. Una alternativa es el cálculo iterativo descentralizado de un equilibrio, que conduce a trayectorias temporales de cantidades y precios. Si estas trayectorias terminan eventualmente alcanzando valores de equilibrio, entonces el proceso dinámico subyacente es estable. 24 Martin Shubik, “The Edgeworth, Cournot and Walrasian Cores of an Economy”, October 2003, Cowles Foundation Discussion Paper Nº 1439. 25 von Neumann, J. (1945), “A model of general economic equilibrium”, Review of Economic Studies, 13. 26 McKenzie, L. (1954), “On equilibrium in Graham’s model of world trade and other competitive systems”, Econometrica, 22; Arrow K.J. and Debreu G. (1954), “Existence of equilibrium for a competitive economy”, Econometrica, 22. Nikaidô, H. (1956) “On the classical multilateral exchange problem”, Metroeconomica, 8. Debreu, G. “New concepts and techniques for equilibrium” (1962), International Economic Review, 5.


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Denominando x=(x1,x2, ..., xn)’ a un vector columna de n bienes, servicios o factores productivos, y p=(p1, p2, ...,pn) al vector de precios correspondientes, supongan que existe un equilibrio en p*. Diremos que el equilibrio es localmente estable si se logra arribar al mismo, partiendo de un conjunto de precios suficientemente próximos al punto de equilibrio. Si p(t) es el vector de precios en el momento t, luego el equilibrio p* es localmente estable si se cumple que: [15] limt→∞ p(t)=p* dado │p(t0) – p*│<δ en donde t0 es el tiempo de partida inicial de los precios y │p(t0) – p*│es la norma euclidiana en el espacio de precios, que es el ortante no negativo de Rn. Diremos que el equilibrio es globalmente estable si se arriba al mismo independientemente del punto de partida: [16] limt→∞ p(t) = p* para cualquier p(t0). La estabilidad global implica la estabilidad local (y un equilibrio único), pero la recíproca no es válida. 3.4.2 El tâtonnement walrasiano: estabilidad local El enfoque clásico de la estabilidad es el proceso walrasiano de tanteo, que representa la solución iterativa obtenida en un mercado competitivo mediante la “ley de la oferta y la demanda”. Walras concibió una especie de subastador para cada mercado, que no representa ni a los compradores ni a los vendedores. El subastador walrasiano reacciona al desequilibrio del mercado ajustando los precios. Es una representación antropomórfica del funcionamiento del mercado. La regla de ajuste de los precios sigue un esquema de tanteo: elevar el precio si la demanda total del mercado supera a la oferta total del mercado, reducir el precio si la demanda total del mercado se sitúa por debajo de la oferta total del mercado, y mantener invariable el precio si ambas magnitudes se igualan. Denotando como Ej(p) a la función de exceso de demanda en el mercado j, el proceso de tanteo puede ser formalizado de la manera siguiente: [17] dpj /dt=p’j >0 si Ej(p)>027 dpj /dt=p’j <0 si Ej(p)<0 dpj /dt=p’j =0 si Ej(p)=0 j=1, 2, ..., n. Una característica esencial es que a los compradores y vendedores individuales se les permite contratar de nuevo si cambian los precios, y que mientras no se llegue a un equilibrio no habrá transacciones (ésta es la famosa hipótesis de recontratación de Edgeworth). El tratamiento moderno del problema de estabilidad considera sistemas de tanteo en los que la trayectoria temporal de los precios viene dada por: [18] p’j(t) = fj(Ej(p(t))), donde fj(0)=0, fj’(.)>0; j=1, 2, ..., n. Según [18] la tasa de cambio temporal de cada precio es una función creciente del exceso de demanda del bien o servicio y que se anula cuando se hace cero el exceso de demanda. Se

27 En este capítulo mediante la notación p’j será representada la tasa de variación del precio j-ésimo.


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supone que las funciones fj(.) son continuas, homogéneas de grado cero en todos los precios, y no negativas si los precios son nulos: fj(.)≥0 cuando pj=0, lo que implica que los precios no pueden hacerse negativos. En el caso particular del sistema de tanteo lineal puede escribirse: [19] p’j=kjEj(p)=Ej(p) ya que las constantes kj pueden hacerse iguales a la unidad redefiniendo la unidad de medida de cada precio. El análisis de la estabilidad local del punto de equilibrio está basado en aproximar localmente la tasa de variación de los precios p’(t) = (p’1(t), ..., p’n(t)). Un punto de equilibrio p* es un vector de precios que no cambia a través del tiempo: p’=0 en p=p*. El equilibrio requiere que el exceso de demanda de cada bien sea nulo: Ej(p*)=0 (j=1, ..., n). En el proceso de tanteo lineal p’= E(p) = (E1(p), ..., En(p)) con un equilibrio en p* desarrollamos en torno a p* mediante una serie de Taylor: [20] p’= E(p*) + (∂E/∂p)p=p* (p – p*) + ... donde (∂E/∂p)p=p* es la matriz jacobiana de las derivadas parciales [∂Ei/∂pj] calculada en el punto de equilibrio. Al ser p* un equilibrio, se tiene que: [21] E(p*)= 0. Definiendo π=p – p* la condición [19] es equivalente, prescindiendo de los términos de orden más elevado, a: [22] π* = [∂E/∂p(p*)] π. La condición necesaria y suficiente para que este sistema de ecuaciones diferenciales sea estable (con lo cual π tiende a 0) es que todas las raíces características de la matriz jacobiana tengan partes reales negativas28. Esta condición queda garantizada si todos los bienes de la economía son sustitutos brutos, es decir que un incremento del precio de algún bien – manteniendo constantes a los restantes precios – aumenta el exceso de demanda de cualquier otro bien, es decir si: [23] ∂Ei /∂pj (p) >0 para todo p, i≠j29. 3.4.3 Análisis de estabilidad de equilibrio parcial: Walras vs Marshall Asumimos para simplificar que el precio y la cantidad de equilibrio son determinados por la igualdad de la demanda y la oferta. Empero, la existencia de equilibrio no implica que será alcanzado. Para ello, introducimos una perturbación dentro del sistema, y definimos al equilibrio

28 En álgebra lineal, un escalar λ es llamado una raíz característica o eigenvalue de una transformación lineal A si existe un vector x tal que Ax=λx. Al vector x se lo denomina un vector propio o eigenvector. 29 Hay que considerar que ésta es una condición muy fuerte, ya que la existencia de bienes complementarios es un hecho frecuente (automóviles y combustible, electricidad y electro-domésticos, etc.).


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como estable si la perturbación resulta en un regreso al equilibrio, y como inestable si ello no sucede. Como es usual, definimos a la demanda excedente como la función: [24] E(p) = D(p) – S(p) funciones que han sido incluídas en el gráfico siguiente. Al precio p0 existe un exceso de demanda positivo, pero negativo al precio p1. Las condiciones de estabilidad se derivan de los supuestos sobre la conducta de los compradores y los vendedores en el mercado. La condición walrasiana se basa en el supuesto de que los compradores tienden a elevar sus cotizaciones si se presenta un exceso de demanda positivo, y que los vendedores tienden a bajar sus precios si hallan un exceso de demanda negativo. Si este postulado es correcto, un mercado será estable si un aumento del precio disminuye el exceso de demada, es decir: dE(p) [25] ──── = E’(p) = D’(p) – S’(p)<0 dp Si denotamos como pd al precio al cual una cantidad dada es demanda, ps al precio el cual dicha cantidad es ofrecida, y fijando D=S=q, las funciones de demanda y oferta pueden ser resueltas en términos del precio de demanda pd y del precio de oferta ps: [26] pd= D-1(q) ps=S-1(q) ecuaciones en las que D-1(.) y S-1(.) son las funciones inversas de las funciones D y S. Luego, la función de precio excedente de demanda se define mediante: [27] F(q)=D-1(q) – S-1(q). [27] es la diferencia entre el precio que los compradores están dispuestos a pagar y el precio al que los vendedores desearían vender la q. En la figura de la derecha existe un precio excedente de demanda en q0 y un precio excedente negativo de demanda en q1. El supuesto de conducta que subyace a la condición de estabilidad marshalliana de un mercado establece que los productores tenderán a subir el precio de su producto si el precio excedente de demanda es positivo y a bajarlo si es negativo. Con un exceso de precio positivo, los productores piensan que los consumidores están ofreciendo pagar un precio más alto que el que están cobrando, y concluyen que pueden aumentar con rentabilidad la cantidad ofrecida. Un razonamiento análogo es válido en el caso contrario. La estabilidad del equilibrio en sentido marshalliano requiere que un aumento de la cantidad reduzca el precio excedente de demanda, o sea

p S p1

p0 D 0 q0 q1

dF(q) [28] ─── = F’(q) = D-1’(q) – S-1’(q)<0. dq


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Obsérvese que, por aplicación de la regla de la función inversa, sgn D’(p)= sgn D-1’(q) y que sgn S’(p) = sgn S-1’(q). Vamos a ver un importante resultado, consistente en que estas dos reglas dinámicas no dan siempre el mismo resultado:

Si divido ambos miembros de [27] por el producto D-1’(q)S-1’(q)>0 obtengo:

1 1 [29] ───── - ───── <0 (para lo cual supuse que D-1’(q)S-1’(q)>0) S-1’(q) D-1’(q) La regla de la función inversa establece que D-1’(q)D’(p)=1; S-1’(q)S’(p)=1. Si sustituímos en [29]: [30] S’(p) – D’(p)<0. ¡Pero las reglas [25] y [30] no pueden ser simultáneamente satisfechas siempre! Estas reglas de ajuste son incompatibles entre sí cuando demanda y oferta son tales que la demanda corta a la oferta por arriba; si se cumple [25] (estabilidad walrasiana) no puede cumplirse [30] (estabilidad marshalliana). Si se da un equilibrio estable en sentido de Walras – siguiendo el proceso de tâtonnement – no puede verificarse [30]. Y a la recíproca30. Las condiciones [25] y [30] implican que el equilibrio será estable en sentido de Walras si la curva de oferta es más empinada que la curva de demanda, es decir D’(p)<S’(p) e inestable en el caso contrario. El equilibrio será estable en sentido de Marshall si la curva de oferta es menos empinada que la curva de demanda, e inestable en el caso contrario. Estas definiciones están ilustradas en el diagrama adjunto. Al precio p0 el exceso de demanda es MN; por consiguiente, la competencia entre los consumidores tenderá a hacer elevar el precio, y disminuirá la demanda excedente. Pero la cantidad ofrecida a ese precio es q0, por lo que se registra un exceso del precio

de demanda RM positivo. Lo cual llevará a que aumente la cantidad producida, pero también crecerá el precio de exceso de demanda, haciendo que precio y cantidad se alejen aún más del equilibrio.

p S D R p0 N M 0 q0 q

Las proposiciones sobre la estabilidad del equilibrio dependen estrictamente del mecanismo del mercado y de la conducta de los agentes. No se puede afirmar nada a priori acerca de si el concepto walrasiano o marshalliano es el más apropiado en la realidad. Es necesario e inevitable recurrir a información empírica sobre la conducta de quienes participan en el mercado. 3. 4.4 Estabilidad global del equilibrio Las demostraciones de estabilidad global se basan en probar que las distancias desde el punto de equilibrio tienden a cero en el tiempo. Por ejemplo, el equilibrio será globalmente estable si todos 30 Pero ambas condiciones sí pueden cumplirse si las curvas de demanda sienen pendiente de signo opuesto, que podría ser considerado el caso normal.


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los bienes son sustitutos brutos o si las funciones de exceso de demanda cumplen el axioma débil de la preferencia revelada (que, según vimos, Walras intuyó claramente) entonces la estabilidad global del sistema queda asegurada. Pero este axioma a nivel de un mercado con varios agentes es mucho más fuerte que para un individuo. Por ejemplo, consideren el cuadrado de la distancia (en el espacio euclídeo) entre el vector precio y el vector precio de equilibrio: [31] D(t) = ∑j=1

n πj2(t) = ∑j=1

n (pj(t) – pj*)2

= (p(t) – p*) (p(t) – p*)’ Derivo con respecto al tiempo para obtener: [32] D’(t) = 2(p(t) – p*) p’(t) = [por la ecuación 31] = 2(p(t) – p*) E(p(t)). Como la ley de Walras implica que p(t)E(p(t)) = 0, se tiene que [33] D’(t) = - 2p*E(p(t)). El axioma débil de la preferencia revelada expresa que [34] p1E(p1) ≥ p1 E(p2) implica que p2E(p1) > p2 E(p2). Tomando p1=p y p2 = p* se cumple la primera desigualdad. La segunda desigualdad implica: [35] p* E(p) > p* E(p*) = 0 (esto último por la ley de Walras), y, si supongo que p≠p*, reemplazo en [33]: [36] D’(t) = - 2p* E(p) <0. Por consiguiente, la distancia entre los precios actuales y los de equilibrio va disminuyendo al pasar el tiempo, lo que implica la estabilidad global. Si trabajamos con precios normalizados (haciendo, p.ej. que pn=1) la condición de estabilidad global es que la matriz jacobiana de las funciones de exceso de demanda tenga diagonal dominante, por lo cual cada elemento diagonal es negativo y supera en valor absoluto a la suma de todos los otros elementos de su fila: [37] ∂Ej /∂pj <0 y │∂Ej /∂pj│> ∑i=1, i≠j

n ∂Ej /∂pi , j= 1,2, ..., n. Esta condición establece que el exceso de demanda resulta más afectado por cambios del precio del bien en cuestión que por los cambios de cualquier otro precio. Noten que no hay una teoría fundamental relativa a la conducta de los que toman decisiones económicas fuera del equilibrio; existen teorías del comportamiento en equilibrio31. 3.4.5 Los ejemplos de economías globalmente inestables de H. Scarf

31 Esto es señalado por Kelvin Lancaster, Economía matemática, Bosch, 1972, Cap. 12.


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Scarf introdujo en 1960 un conjunto de ejemplos de economías sin producción que se caracterizan por su inestabilidad global, concluyendo que “resulta claro que la inestabilidad es un fenómeno común”. Uno de ellos es el siguiente. La economía consiste de tres consumidores cuyas funciones de utilidad son obtenidas mediante una permutación cíclica de los bienes y las dotaciones. Esto significa que las funciones de exceso de demanda del primer consumidor son representadas por x1(p1,p2,p3), x2(p1,p2,p3), x3(p1,p2,p3) y que las funciones de exceso de demanda del segundo consumidor vienen dadas por x3(p2,p3,p1), x1(p2,p3,p1), x2(p2,p3,p1) y las del tercero por x2(p3,p1,p2), x2(p3,p1,p2), x1(p3,p1,p2). Se supone que estas funciones son continuas y diferenciables. Las funciones de exceso de demanda del mercado se obtienen mediante la suma de las demandas individuales, con lo cual: [38] f1(p1,p2,p3)= x1(p1,p2,p3)+ x3(p2,p3,p1)+ x2(p3,p1,p2), f2(p1,p2,p3)= x2(p1,p2,p3)+ x1(p2,p3,p1)+ x2(p3,p1,p2) f3(p1,p2,p3)= x3(p1,p2,p3)+ x2(p2,p3,p1)+ x1(p3,p1,p2). Las ecuaciones diferenciales del análisis de estabilidad son las mismas que hemos visto en [19], a saber dpi/dt=fi (p1,p2,p3) cuando los precios son todos no negativos. La ley de Walras (∑pixi≡0 para cada consumidor, con su consecuencia ∑pifi≡0) implica que d(∑pi

2)/dt=0, de manera que el movimiento de los precios siempre tendrá lugar en la superficie de la esfera con centro en el origen que pasa a través del vector inicial de precios. Supongamos que hemos seleccionado precios iniciales tales que ∑pi

2=3. Un vector de precios de equilibrio significa la intersección de este rayo de equilibrio con esa esfera. Lema 1. El vector de precios (1,1,1) es un precio de equilibrio. Dem) Inmediata, tan pronto aplicamos la ley de Walras a las ecuaciones [31] y fijamos todos los precios iguales a 1. Unicidad del equilibrio La condición siguiente asegura que este equilibrio es único: Lema 2. El vector de precios de equilibrio (1,1,1) es único (fuera de una constante multiplicativa) si A=∂f1/∂p2 <0, y B= ∂f1/∂p3>0 en todo punto del ortante p1≥0, p2 ≥0, p3 ≥0.


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Lema 3. Dadas las condiciones del Lema 2 para precios p1 /p3>ε, p2 /p1> ε, p3 /p2> ε (donde ε es un número positivo pequeño) no existen otros puntos de equilibrio de ese conjunto diferentes a (1,1,1) y sus múltiplos. Lema 4. Si C=∂f1/∂p1 es positiva en el punto (1,1,1), este punto de equilibrio es localmente inestable en el sentido de que existe una región (en la esfera ∑pi

2 ≤3 alrededor del punto (1,1,1))

tal que cualquier punto de esta región que no sea el de equilibrio se alejará del punto (1,1,1). Veamos algunos ejemplos de funciones de exceso de demanda derivables a partir de una función de utilidad, que satisfacen las hipótesis de los Lemas 2 y 4. Ello nos permitirá disponer de ejemplos con un único punto de equilibrio que es localmente inestable32. Supóngase que la función de utilidad del primer consumidor es del siguiente tipo: U(x1,x2,x3)= - [(α1

a+1/x1a)+ (α2

a+1/x2a)+( α3

a+1/x3a)].

(donde (α1, α2, α3) es un vector no negativo arbitrario, y a es una constante positiva). La dotación inicial del primer consumidor es (I1,I2,I3). Como antes, permutamos para los consumidores segundo y tercero su función de utilidad así como su dotación inicial. Veremos que existe inestabilidad global siempre que a>1, (α1, α2, α3) esté próxima a (b,1,0) con b> (a+1)/(a-1) e (I1,I2,I3) próximo a (1,0,0). Examinamos en primer término el caso (α1, α2, α3)=(b,1,0), (I1,I2,I3)=(1,0,0) con b>(a+1)/(a-1). El procedimiento típico de maximización de utilidad conduce a las siguientes funciones de demanda excedente para el consumidor 1: [39] x1= [(bp1

a/(1+a))/(bp1a/(1+a) + p2

a/(1+a))] –1, x2=[1/p2

1/(1+a)] [p1/(bp1a/(1+a)+p2

a/(1+a)] x3 = 0. Verificaremos en primer término que se cumplen las condiciones del Lema 2. Tenemos: A=∂x1(p1,p2,p3)/ ∂p2<0, B=∂x2(p3,p1,p2)/ ∂p3>0. En consecuencia, el sistema de funciones de demanda de mercado [31] tiene un equilibrio único dado por (1,1,1). Al efecto de demostrar que es inestable, computamos C=∂f1/∂p1 en (1,1,1). Esto es: C=[ab – (b+1)-a]/(b+1)2(a+1). C>0 si b>(a+1)/(a-1). Por el Lema 4 se concluye que dada esta relación entre a y b el único punto de equilibrio también será localmente inestable.

32 ¿Implica que existirá inestabilidad global? Scarf puntualiza que esto es una cuestión de definición dado que el problema es que se torna posible que uno de los precios se haga cero. En tal caso se debe tener cuidado, porque la ecuación diferencial del tanteo dpi /dt=fi (p1,p2,p3) deja de describir el movimiento de los precios.


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Scarf también muestra que en este ejemplo los precios se mantendrán alejados de la frontera del ortante positivo, como consecuencia del siguiente resultado: Lema 5. Dado φ=Min(p2/p1,p3/p2,p1/p3) existe una pequeña constante K>0, tal que si φ<K, entonces dφ/dt>0. Todas estas observaciones en conjunto nos muestran que el sistema de funciones de demanda definido por [32] da lugar a la inestabilidad global del mecanismo de ajuste de precios. Este lema puede ser representado geométricamente. La figura siguiente muestra la superficie ∑pi

2=3. La región sombreada es el conjunto de puntos en los que se verifica Min(p2/p1,p3/p2,p1/p3)≥K, para valores pequeños de K. Lo que afirma el lema 5 es que una trayectoria de precios que arranque en esta región (si K es suficientemente bajo) nunca se escapará de esta región. El único punto de equilibrio de esta región será (1,1,1). 3.5 Estática comparativa Un modelo económico implica la existencia de n relaciones funcionales consistentes entre sí e independientes entre diversas variables x=(x1,...xn) y parámetros α=( α1, ..., αm) que, escritas en forma implícita, pueden ser representadas de la siguiente manera: [40] f1(x1,...,xn; α1, …, αm)=0, f2(x1,...,xn; α1, …, αm)=0, .... fn(x1,...,xn; α1, …, αm)=0. De manera más compacta: f(x;α)=0 donde x=(x1,...,xn), α=( α1,..., αm) y f es la función de argumento vectorial con valor vectorial correspondiente: f:Rn+m→Rn. Observen que, como regla mnemotécnica, el índice de la función aparece como supraíndice, en tanto que los índices de variables y parámetros aparecen como subíndices. Aunque la existencia de un número de ecuaciones igual al de incógnitas no es suficiente de por sí para que cualquier solución de [40] tenga sentido (podría tener soluciones sin sentido económico, como números negativos de precios o de producción, o soluciones en el campo de los números complejos, situaciones que no vamos a admitir por el momento) si las ecuaciones poseen determinadas características – esencialmente dadas por el teorema de la función implícita – puede considerarse que determinan un conjunto único de valores de las incógnitas x0 para cualquier valor preasignado de los parámetros α0. Supondremos que el sistema [40] puede ser expresado explícitamente como: [41] xi=gi(α1, ..., αm) (i=1, …,n).

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_Funci%C3%B3n_Impl%C3%ADcita


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Denominaremos, siguiendo a la econometría, “sistema estructural” al sistema [40], y “sistema reducido” a la solución explícita [41], que también escribiremos en forma compacta x=g(α) siendo g:Rm→Rn. El objetivo de la estática comparativa es mostrar matemáticamente cómo pueden ser derivadas las tasas de cambio de las incógnitas con respecto a cualquiera de los parámetros (p.ej. α1). Usaremos la notación siguiente: ∂xi

0/∂α1=∂gi(α0, ..., αm)/∂α1=g1i(α1

0, ... αm0).

Con esta notación representamos a la tasa de variación (o derivada) de la variable i-ésima con relación al parámetro α1, mateniendo a los parámetros restantes constantes. Estas derivadas parciales son evaluadas para un conjunto dado de los parámetros, y por consiguiente de las variables x endógenas correspondiente. Para una posición inicial (α1

0, α20,..., αm

0) y las variables endógenas correspondientes (x1

0,x20, ...,xn

0) en la cual se cumple [42] fi(x1

0,...,xn0; α1

0,..., αm0)=0 (i=1, ...,n)

[43] xi0=gi(α1

0, α20,…, αm

0) (i=1,…,n) (dado que las incógnitas deben satisfacer las condiciones de equilibrio), diferenciamos cada ecuación de [40] con respecto a α1 (recordando mantener constantes a los restantes parámetros, pero que todas las incógnitas son variables) y obtenemos, en términos matriciales, [44] [fji] [∂xj/∂α1] = [-f α1

i] usando la notación fji=∂fi(x1

0,...,xn0;α1

0,..., αm0)/∂xj y fα1

i=∂fi(x10,...,xn

0;α10,..., αm

0)/∂α1. Los coeficientes de estas derivadas parciales están plenamente determinados en el punto de equilibrio. Por lo tanto, tenemos n ecuaciones lineales con coeficientes constantes en n incógnitas [∂xj/∂α1]. Estas derivadas parciales que vinculan a las variables dependientes con los parámetros vienen determinadas por las propiedades estructurales de nuestro sistema de equilibrio. La solución de [44] puede ser obtenida mediante inversión de matrices, por la regla de Cramer o, en sistemas más sencillos, mediante sustitución. Usando la expresión general en términos matriciales, [45] [∂xj/∂α1]0= - [fmk]-1[f α1

m]. Debe quedarles claro que, como en general el economista sólo dispone de información cualitativa sobre la matriz [fji], a lo sumo puede pretender resultados cualitativos en el sistema [45], es decir debe conformarse con establecer sgn (∂xj/∂α1). 3.5.1 Ejemplo 1: cálculo cualitativo de los efectos de un impuesto Tenemos una empresa que enfrenta una determinada curva de demanda que relaciona el precio de venta con su producción y una curva de costos totales que vincula al costo total de la empresa con su nivel de producto. Ahora supongan que el producto de la empresa es gravado con un impuesto de t pesos por unidad. Entonces podemos escribir su beneficio como: π=ingreso total – costo de producción total – pagos impositivos totales = =xp(x) – C(x) –tx,


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donde xp(x) son los ingresos totales en función del producto, C(x) es el costo total mínimo al que cada nivel de producto puede ser producido, y tx es el pago total de impuestos. Resulta claro que, para cualquier alícuota impositiva, la empresa tomará decisiones sobre la cantidad a producir y vender, es decir, [46] x0=g(t0) relación que corresponde a las relaciones reducidas [41]. Vamos a poner ahora manos a la obra para ver si el modelo estructural [40] nos resulta útil para apreciar cómo depende esta variable de producto respecto a la política tributaria hacia el sector productivo. Para ello, partimos de la hipótesis que la empresa maximiza su ingreso neto. Es decir, el valor de equilibrio del producto surgirá como solución de un sencillo problema de máximo. Ya conocemos las condiciones necesarias de un máximo regular (definido como una situación en la que las condiciones de 2º orden se cumplen como desigualdad estricta), a saber: [47] ∂π(x,t)/∂x=0, y ∂2π(x,t)/∂x2<0. Como ustedes saben, la primera condición afirma simplemente que en un máximo la pendiente de la función de beneficios con relación al producto debe ser horizontal o idénticamente nula en términos algebraicos. La segunda condición establece que no nos hallamos en un mínimo. Nuestro problema puede ser resuelto mediante una simple diferenciación:

∂ [48] ─── [xp(x) – C(x)] – t =0 ∂x

donde para simplificar supondremos que la desigualdad de [47] se cumple para todos los valores de la variable considerada. Esta ecuación corresponde al sistema de ecuaciones estructural [40], muy sencillo puesto que da lugar a una única ecuación por cuanto sólo hay una incógnita a ser determinada. Diferenciando [48] con respecto a t:: ∂2 ∂x [49] ─── [x0p(x0) – C(x0)] ( ── )0 = 1, ∂x2 ∂t donde (∂x/∂t)0 = g’(t0). La solución de [49] es muy simple, sin necesidad de recurrir a determinantes:

∂x 1 [50] (── )0 = ──────────── . ∂t ∂2 ── [x0p(x0) – C(x0)] ∂x2

Este resultado es la respuesta que estábamos buscando, porque por condición suficiente de máximo se tiene que


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∂2 [51] ── [x0p(x0) – C(x0)] <0. ∂x2 Por consiguiente, ∂x [52] (── )0 <0 o g’(t0)<0, ∂t

que coincide con el resultado intuitivo que era de esperar. 3.5.2 Ejemplo 2: ilustración mediante un caso de mercado Tomemos el ejemplo de un mercado de un bien o servicio cuyo precio y cantidad vienen determinados por la intersección de curvas hipotéticas de oferta y demanda. Asimismo, contemplamos un parámetro de traslación α de la curva de demanda (p.ej. preferencias por el bien, población, precio de los sustitutos, etc.). Tenemos un único parámetro, dos variables y dos ecuaciones que definen los valores de equilibrio de las variables en función del parámetro:

[53] D(x,α) – p = 0 S(x) – p = 0.

Se tiene la solución:

[54] x0=g1(α0), p0=g2(α0).

Diferenciamos ambas ecuaciones de equilibrio con respecto al parámetro y obtenemos dos ecuaciones lineales:

∂D ∂x 0 ∂p 0 ∂D [55] (──) ( ──) - (──) = - ─── . ∂x ∂α ∂α ∂α ∂x 0 ∂p 0 S’ (───) – (──) = 0. ∂α ∂α

Mediante sustitución se obtiene:

∂x (∂D/∂α) [56] (──)0 = - ────── ∂α ∂D ── - S’ ∂x ∂p S’(∂D/∂α) (──)0= - ────── ∂α ∂D ── - S’ ∂x

Por definición ∂D/∂α>0. Se tiene por consiguiente que (∂x/∂α)0 será mayor o menor que cero si S’> o < (∂D/∂x). ¿Qué significa esto? Volvamos a las páginas 575-6, donde comparamos la estabilidad en sentido de Walras con aquella en sentido de Marshall. Esta última requería que la curva de


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oferta intersecte a la curva de demanda desde abajo (aún en el caso de costos marginales decrecientes asociados a deseconomías externas). Por lo tanto, se tendrá: ∂D ∂x [57] S’> ── → (──)0 >0. ∂x ∂α Pero el signo algebraico del cambio del precio dependerá de la inclinación positiva o negativa de la curva de oferta, ya que

∂p ∂x [58] (──)0 = S’ (──)0 ∂α ∂α

Pero en el caso del precio no podemos evitar la ambigüedad del resultado, con excepción del caso de un mercado de un factor de producción, en cuyo caso las condiciones de estabilidad requieren una curva de oferta de pendiente positiva y una curva de demanda de pendiente negativa; si la curva de oferta tuviera pendiente negativa, debería ser una curva de oferta retrógrada (página 154) de mayor pendiente que la curva de demanda; en términos matemáticos: S’ [59] ─────── < 0. (∂D/∂x) – S’ En tal caso, se tiene una variación del precio cualitativamente determinada, pero un cambio de cantidad ambiguo, de acuerdo con el signo algebraico de la curva de oferta. Es decir, [60] (∂p/∂α)0>0, (∂x/∂α)0S’>0. 3.6 Análisis generalizado de estática comparativa 3.6.1 Modelos sin restricciones: Teoremas de la Envolvente y de los Pares Conjugados Sea un modelo de dos variables y un parámetro, consistente en maximizar y=f(x1,x2,α). Las condiciones de 1º orden las escribo f1=f2=0. Resolviéndolas en forma simultánea y suponiendo solución única, obtengo soluciones explícitas x1=x1*( α), x2=x2*( α). La función objetivo indirecta es Φ(α)=f(x1*(α),x2*(α),α). Para un α0 arbitrario tenemos x1

0= x1*(α0), x20= x2*(α0). Ahora

analizamos el comportamiento de f(x1,x2,α) cuando mantenemos fijos x1 en x1

0 y x2 en x20. Como Φ(α)

es el valor máximo de f dado α, tendremos que en general f≤ Φ. Cuando α=α0 serán elegidos los xi “correctos” y se tendrá que Φ(α)=f(x1,x2,α). A ambos lados de α0 serán elegidos xi no-maximizantes, es decir “incorrectos”, y por lo tanto se tendrá que f(x1

0,x20,α)<Φ(α) en un entorno reducido de α0. Luego Φ y f deben ser tangentes en α0-

a menos que f tenga en ese punto un punto de esquina no diferenciable – y, además, en ese punto f debe ser más cóncava o menos convexa que Φ. Como esto sucede para cualquier α arbitrario, deben producirse tangencias similares para otros valores de α. Resulta así analíticamente que Φ(α) es la envolvente de los puntos f(x1,x2,α) para cada α. Esta propiedad ya

Φ(α) f(x1

0,x20,α)

f(x1

1,x21, α)

α0 α1


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la hemos enunciado en el capítulo IV y demostrado en el capítulo VI (página 180) y ahora la demostraremos en un contexto más amplio, porque nos servirá para introducir el teorema de los pares conjugados. Construímos una nueva función F como la diferencia entre la función actual y el valor máximo de f para un cierto α: F(x1,x2, α)=f(x1,x2, α) – Φ(α) que denominaremos función objetivo primal-dual. Obviamente, F alcanza un máximo igual a cero cuando f= Φ ya que f≤ Φ para x≠x*(α). Podemos considerar a F(x1,x2,α) como una función de tres variables independientes. Por ejemplo, para cantidades dadas de capital y trabajo, existe algún conjunto de precios de los bienes y de los factores a los cuales estos insumos serían los que maximizan los beneficios. Las condiciones de 1º orden son: Fi=fi=0 (i=1,2) y Fα=fα-Φα =0. Esta última ecuación es la que se denomina resultado de la “envolvente”, Φα=fα. Las condiciones suficientes requieren que la matriz hessiana de las derivadas parciales de F(x1,x2,α) con respecto a las tres variables sea definida negativa, o que sus menores principales sean de signo alternante. Inspeccionando la función F, vemos que F11=f11 y así sucesivamente, y que Fαα=fαα-Φαα. Luego, [61]

F11 F12 F1α f11 f12 f1α H = F21 F22 F2α = f21 f22 f2α

Fα1 Fα2 Fαα fα1 fα2 fαα-Φαα Estas condiciones de 2º orden incluyen a las originales (es decir, f11<0, f11f22-f12

2>0, etc) en el ángulo superior izquierdo). También implican que Fαα<0 o sea fαα-Φαα<0. Lo importante de este hecho es que todos los resultados de estática comparativa que surgen de modelos de maximización provienen de esta desigualdad. El resultado de la envolvente de primer orden, indicando la dependencia funcional, viene dado por [62] Φα(α) ≡ fα(x1*(α), x2

0(α), α) Diferenciando m. a m. con respecto a α: [63] Φαα≡fαx1 (∂x1*/∂α) + fαx2(∂x2*/∂α) + fαα A partir de las condiciones suficientes de segundo orden, y utilizando el teorema de Young33: Φαα- fαα=f1α (∂x1*/∂α) + f2α (∂x2*/∂α)>0. Este análisis puede ser generalizado directamente al caso de n variables dando lugar a la condición: [64] ∑i=1

n fiα (∂xi*/∂α)>0. La inecuación [64] es la inecuación más general y fundamental de la estática comparativa de todos los modelos de maximización. Pero es demasiado general como para ser utilizable. Al efecto de obtener implicancias refutables, debemos agregar más “estructura” que la de un

33 Que no afirma otra cosa que la matriz de derivadas parciales de segundo orden es simétrica, e.d. fij=fji.


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problema general de maximización. Supongan que α interviene sólo en la primera ecuación de 1º orden fi=0, e.d. fjα=0 para todo j≠i. Entonces [64] se reduce a un solo término, [65] fiα (∂xi*/∂α) >0. Éste constituye el famoso resultado de los pares conjugados. En modelos de maximización, si un parámetro α sólo interviene en la ecuación de 1º orden de orden i-ésimo, la respuesta de la i-ésima variable de decisión xi a un cambio de dicho parámetro será en la misma dirección que el efecto que α tiene sobre la ecuación de 1º orden. Por ejemplo, en el modelo de maximización de beneficios, el parámetro del salario w1

sólo interviene en la ecuación de 1º orden: π1=pf1-w1=0. Interviene con signo negativo: ∂π1/∂w1=-1. Por consiguiente, el teorema de los pares conjugados afirma que la respuesta de x1* a un incremento de w1 será negativa, y otro tanto para x2*. También es aplicable al modelo de minimización de costos bajo restricción34. El teorema de la envolvente también revela los orígenes de las condiciones de “reciprocidad” no intuitivas que aparecen en los modelos de maximización (ver pág. 119, [16]). Recuérdese que en un modelo de maximización de beneficios se obtiene ∂x1*/∂w2 = ∂x2*/∂w1. Este efecto puede ser mostrado en forma más clara observando que cada factor es el negativo de la primera derivada parcial de π* con respecto a su precio factorial, o sea: π1*=x1*(w1, w2,p), π2*=x2*(w1,w2,p). Si aplicamos el teorema de Young sobre invariancia de las derivadas parciales cruzadas al orden de diferenciación de π*(w1,w2,p) obtenemos el resultado siguiente: π12* =∂x1*/∂w2=∂x2*/∂w1=π21*. Todas las relaciones de reciprocidad son, de hecho, aplicaciones del teorema de Young a la función objetivo indirecta. 3.6.2 Modelos con restricciones: estática comparativa El modelo más simple de los modelos de maximización bajo restricción es suficiente para exhibir la naturaleza de los resultados en modelos con restricciones. Supóngase que hay que resolver: Maximizar f(x1,x2,α)=y Sujeto a g(x1,x2,β)=0 Utilizando la técnica de Lagrange, las condiciones de primer orden son resueltas a fin de obtener las ecuaciones explícitas de decisión: [66] x1=x1*( α,β) x2=x2*( α,β) Sustituyendo estas ecuaciones en la función objetivo obtenemos el valor máximo de f(x1,x2, α) para parámetros α y β dados, que satisfacen la restricción: [67] Φ(α,β)=f(x1*( α,β),x2*( α,β), α)

34 En el caso más general en que x es un vector de variables de decisión (x1,....,xn) y α=(α1,...,αm) es el vector de parámetros, las condiciones de 2º orden de maximización de F(x,α)=f(x,α)-Φ(α) con respecto a α son que la matriz Fαα=fαα-Φαα sea semidefinida negativa. Los resultados habituales de estática comparativa surgen de que los elementos de la diagonal principal de la matriz son negativos. Empero, hay un conjunto más rico de resultados de otras propiedades de las matrices semi-definidas negativas: los menores principales de los términos en fαα-Φαα deben ser de signo alternado.


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Como Φ(α,β) es el valor máximo de f para parámetros α y β dados, Φ(α,β)≥f(x1,x2,α) para todo xi que satisfaga la restricción. Luego, la función F(x1,x2,α,β)=f(x1,x2,α) – Φ(α,β) alcanza su máximo (igual a cero) para todo xi que satisfaga la restricción. Empero, F(x1,x2,α,β) es una función de cuatro variables independientes de las cuales una de ellas (α) no interviene en la restricción. Luego, si se arranca con valores de x1,x2,β que la satisfacen y se los mantiene fijos, la restricción no tendrá impacto sobre la elección de α que maximiza F(x1,x2,α,β). Es decir, la restricción afecta los valores que pueden ser elegidos de x1 y x2, pero no el valor maximizador de α. Por lo tanto, en esta dimensión (α), F(x1,x2,α,β) tiene un máximo incondicionado35. Por consiguiente, como en los modelos incondicionados, se tiene Fαα=fαα-Φαα<0(suponiendo que se cumplen las condiciones de 2º orden). Se obtiene como antes el resultado fundamental de estática comparativa [64] ∑i=1

n fiα (∂xi*/∂α)= f1α(∂x1*/∂α) +f2α(∂x2*/∂α)>0. No existe una relación tan sencilla con respecto a cambios de β. No existen hipótesis refutables de un modelo de maximización cuando los parámetros entran en las restricciones. Ejemplo Vamos a considerar nuestro conocido modelo del consumidor visto en el cap. IV, donde la utilidad es maximizada bajo una restricción presupuestaria lineal: Maximizar U(x1,x2) Sujeto a p1x1+p2x2=M. Utilizando el método de la lagrangiana, las funciones de elección involucradas son las demandas marshallianas xi=xi*(p1,p2,M), i=1, 2. Al sustituir estas funciones en la función objetivo obtenemos la función de utilidad indirecta U*(p1,p2,M)=U(x1*(p1,p2,M),x2*(p1,p2,M)). El problema primal-dual es luego Maximizar U(x1,x2) – U*(p1,p2,M) Sujeto a p1x1+p2x2=M Modelo en el cual la maximización es realizada sobre x1,x2 y también sobre los parámetros p1,p2, y M. Como todos los parámetros se encuentran exclusivamente en la restricción, el problema de maximización con respecto a precios e ingreso es simplemente: Maximizar –U*(p1,p2,M) Sujeto a p1x1+p2x2=M. Lo cual afirma que elegir entre los bienes x1 y x2 de tal modo de maximizar la utilidad (sujeto a restricción presupuestaria) es equivalente a elegir precios e ingreso de tal forma de minimizar la función de utilidad indirecta, también sujeta, obviamente, a restricción presupuestaria. Como la restricción presupuestaria es lineal en los precios y el ingreso monetario, ello implica que la función de utilidad indirecta es cuasiconvexa en precios e ingreso monetario. Esto se puede generalizar de inmediato a n bienes. 3.7 Concepto moderno de equilibrio general en economía Tres importantes interpretaciones de los términos de la teoría han sido citadas. 35 Piensen por ejemplo en lo que sucede cuando hay un bien, como el aire, que entra dentro de la función de utilidad de la gente, pero no en la restricción presupuestaria, ya que –todavía- no hay un precio a ser pagado por el aire que respiramos. En tal caso, respiramos hasta que la utilidad marginal del aire sea cero, o sea, maximizamos de forma incondicionada en esa dimensión.


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1º) En primer término, supóngase que los bienes y servicios se distinguen por la localización en la cual serán entregados. Por lo tanto, el modelo Arrow-Debreu es un modelo espacial de, por ejemplo, el comercio internacional. 2º) Segundo, supóngase que bienes y servicios se distinguen por cuándo serán entregados, y que todos los mercados alcanzan su equilibrio en algún instante inicial del tiempo. Los agentes compran y venden contratos, donde un contrato especifica un bien a ser entregado y la fecha en la cual lo será. El modelo Arrow-Debreu de equilibrio intertemporal contiene mercados a término para todos los bienes en todas las fechas. En el futuro los mercados no se abrirán. Pero el término tiene un significado dentro de la macroeconomía contemporánea diferente que el que tuvo en sus inicios en el seno de la escuela austríaca de economía. A) Dentro de la nueva economía keynesiana, también llamada nueva economía clásica, así como en cualquier rama de la macroeconomía moderna basada en la teoría del equilibrio general dinámico estocástico36, la mayoría de los modelos toman en cuenta explícitamente que la economía va evolucionando a través del tiempo, y que su equilibrio no puede ser analizado fructíferamente sólo desde una perspectiva estática. Luego al equilibrio general de la economía se lo concibe como un equilibrio intertemporal, lo que significa que familias y empresas adoptan decisiones intertemporales. O sea, por una parte se supone que las familias adoptan decisiones de consumo y trabajo sobre la base de salarios, precios, utilidad, y riqueza a lo largo de su vida útil, en lugar de considerarlos en un único momento del tiempo; por otra parte, las empresas deciden contratar personal, invertir y producir sobre la base de la productividad y la demanda a lo largo de un futuro previsible, en lugar de tener en cuenta a estas cantidades en un solo punto del tiempo. Luego el equilibrio general intertemporal se analiza como un equilibrio de Nash o equilibrio competitivo de las estrategias intertemporales de todos los hogares y empresas (y, si es necesario, del gobierno).

36 El método de los modelos de equilibrio general dinámico estocástico (=EGDE) busca la explicación de los fenómenos económicos, tales como el crecimiento económico, los ciclos económicos, y los efectos de las políticas monetaria y fiscal basándose en modelos macroeconómicos derivados a partir de principios microeconómicos. Uno de los motivos principales que los economistas han tenido para elaborar modelos EGDE es que a diferencia de los modelos macroeconométricos tradicionales, los modelos EGDE no deberían ser vulnerables a la famosa crítica de Robert Lucas, que dice que resulta ingenuo buscar predecir los efectos de un cambio de la política económica sólo sobre la base de relaciones observadas en los datos históricos, especialmente cuando son muy agregativos. La idea básica es anterior a la contribución de Lucas, pero en el documento "Econometric Policy Evaluation: A Critique." (Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy 1, 1976) argumentó que esta idea tan simple invalidaba los asesoramientos de política basados en conclusiones extraídas de modelos con ecuaciones estimadas. Como los parámetros de estos modelos no eran estructurales – es decir, invariantes con respecto a las políticas – cambiarían cuando cambiara la política – digamos, las reglas del juego. Las conclusiones de política basadas en estos modelos serían potencialmente erróneas. Este argumento criticó a los modelos de gran escala que por entonces eran usados. La Crítica de Lucas sugiere que, si deseamos predecir el efecto de un experimento de políticas, deberíamos hacer un modelo de los “parámetros profundos” (vinculados con las preferencias, la tecnología y las restricciones de recursos) que sustentan el comportamiento de los individuos. Recién entonces podremos predecir lo que harán los individuos al tener en cuenta el cambio de políticas, y así sumar las decisiones individuales a fin de calcular los efectos macroeconómicos de un cambio de políticas. La Crítica de Lucas tuvo gran influencia, no sólo porque hizo dudar de muchos modelos existentes, sino también porque alentó a los macroeconomistas a elaborar los microfundamentos de sus modelos. Siempre se había apreciado que los microfundamentos son deseables; Lucas convenció a muchos economistas de que resultaban esenciales. Con posterioridad Finn Kydland y Edward Prescott fueron pioneros en usar microfundamentos para formular modelos macroeconómicos.


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B) En la economía austríaca, equilibrio intertemporal se refiere a la afirmación de que la economía se encuentra en todo momento en desequilibrio, que se traducirá en un equilibrio sólo a largo plazo. Éste es un postulado fundamental de la escuela austríaca – representada por gente como Friedrich Hayek y Ludwig von Mises, y economistas de la escuela Sueca – que implica que lo importante de un mercado libre no es que la oferta se iguale con la demanda, sino que alienta a la innovación que satisface en mejor medida a dicha oferta y demanda. Aunque ha sido frecuentemente objeto de controversia, la escuela austríaca ha tenido una influencia histórica nada despreciable que se remonta a principios del siglo XX. Deriva su denominación de sus fundadores y seguidores tempranos, entre los cuales estaban Carl Menger, Eugen von Böhm-Bawerk y von Mises, pero en la actualidad hay pocos economistas de la escuela austríaca que sean de esa nacionalidad. Actualmente se encuentra situada algo alejada de la corriente principal en economía, y ha hecho pocos aportes recientes al pensamiento económico dominante. Tiene seguidores como los premios Nobel Vernon Smith, y James Buchanan. Entre los miembros ya fallecidos cabe mencionar a Murray Rothbard y a Henry Hazlitt. Los economistas austríacos adhieren estrictamente al individualismo metodológico – que es analizar la acción humana desde la perspectiva de los agentes individuales. Este método, la praxeología, constituiría el único método de lograr una teoría económica que permita el descubrimiento de leyes económicas fundamentales de todas las acciones humanas. Junto a la praxeología, la escuela tradicionalmente sostuvo un enfoque interpretativo de la historia para tratar eventos históricos específicos. Sus críticos sostienen que estos métodos no son más que análisis post-hoc que no dan lugar a implicancias refutables; por consiguiente, que no cumplen con la exigencia de refutabilidad. Les sugiero leer el artículo de Bryan Caplan, Why I Am Not an Austrian Economist. 3º) Continuando con las interpretaciones de la teoría del EG, en tercer término supóngase que los contratos especifican circunstancias o estados de la naturaleza que afectan si un bien debe ser entregado: “Un contrato para la transferencia de un bien especifica, adicionalmente a sus características físicas, su localización y la fecha, la posibilidad de que ocurra un evento que condicione la entrega. Esta nueva definición de un bien nos permite obtener una teoría [libre de riesgo] a partir de un concepto de probabilidad...” (Debreu, 1959). Estas interpretaciones pueden ser combinadas. El modelo completo Arrow-Debreu se aplicaría cuando los bienes son identificados por el lugar en que deben ser entregados, cuándo deben ser entregados, y bajo qué circunstancias deben ser entregados, aparte de su naturaleza intrínseca. Por tanto, habría un conjunto completo de precios como el siguiente: “1 tonelada de trigo Winter red, a entregar el 3 de enero en Minneapolis, si hubiera un huracán en Florida en diciembre”. Un modelo de equilibrio general con mercados completos de este tipo parece estar bastante lejos de describir las características de las economías reales, sin embargo los que lo proponen lo hacen porque puede ser útil como una guía simplificada de cómo operan las economías reales. Parte del trabajo reciente en EG ha tenido que ver con mercados incompletos, a saber una economía intertemporal con incertidumbre, en la cual no hay contratos suficientemente detallados como para permitir a los agentes asignar sus recursos a través del tiempo. Se ha mostrado que estas economías a pesar de todo alcanzarán un equilibrio, pero el resultado puede no ser un óptimo de Pareto. Intuitivamente, el motivo es el siguiente: si los consumidores carecen de medios de transferir su riqueza de un período a otro y el futuro es riesgoso, no hay nada que permita igualar cualquier relación de precios a la tasa marginal de sustitución relevante, que constituye la condición de optimalidad de Pareto37,38.

37 Sin embargo, bajo ciertas condiciones la economía puede alcanzar un óptimo de Pareto restringido que significa que una autoridad central limitada al mismo tipo y número de contratos que los agentes individuales

http://en.wikipedia.org/wiki/Vernon_Smith

http://en.wikipedia.org/wiki/James_M._Buchanan

http://en.wikipedia.org/wiki/Murray_Rothbard

http://en.wikipedia.org/wiki/Henry_Hazlitt

http://www.gmu.edu/departments/economics/bcaplan/whyaust.htm


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3.8 El Teorema de Sonnenschein-Mantel-Debreu Antes de pasar a considerar este resultado central de la teoría contemporánea del equilibrio general, tenemos que hablar un poco acerca de sus destacados autores. Ustedes ya conocen a Gérard Debreu. Pero este resultado no hubiera podido ser obtenido sin la confluencia de tres grandes economistas como lo fue él, Hugo Sonnenschein y Rolf R. Mantel. Hugo Freund Sonnenschein es un economista teórico cuya obra más importante se ha concentrado en la estructura matemática de las funciones de demanda de mercado. Es miembro de la National Academy of Sciences, de la American Academy of Arts and Sciences, de la American Philosophical Society, y miembro distinguido de la American Economic Association. Ha sido Presidente de la Econometric Society, Chairman del Directorio de los Laboratorios Argonne National, Director de la Corporacion Académica del Mérito Nacional y Miembro del Comité Cívico de la ciudad de Chicago. Su ocupación es la de un economista y docente. De raíz profundamente walrasiana, tiene diversas contribuciones a la economía que han sido dominadas por un resultado descorazonador: el teorema de Debreu-Sonnenschein-Mantel, inicialmente explorado en dos artículos suyos (1972 y 1973) y seguido por artículos similares de Debreu y Mantel39. El teorema SMD afirma que las funciones de demanda de mercado, sobre las cuales descansan todos los resultados intuitivos a nivel de mercado

y de tipo agregativo, esencialmente carecen de forma. Como veremos, destruye los microfundamentos del proyecto de la teoría económica, es decir describiendo a oferta y demanda como resultantes de la acción descentralizada de agentes que maximizan su utilidad. El resultado es que si todos los agentes tienen funciones de demanda individuales de buen comportamiento, no por ello es posible afirmar que la función de demanda de mercado también exhibirá buen comportamiento. El website de History of Economic Thought agrega: “Por lo tanto, los esfuerzos realizados durante el último siglo para describir a las funciones de demanda [del mercado] como resultado de un proceso de maximización de la utilidad han sido esencialmente derrochados. [Como Sonnenschein ha dedicado sus esfuerzos presentes como Presidente de la Universidad de Chicago] se ignora si su decisión de alejarse de la investigación académica y pasar a desempeñarse en un cargo administrativo no tendrá que ver, de alguna manera, con las implicancias deprimentes de su famoso teorema.”

Hugo F. Sonnenschein (1941- )

Rolf R. Mantel (1934-1999)

no será capaz de mejorar el resultado – lo que se requerirá es la introducción de un conjunto pleno de posibles contratos. De aquí una de las implicancias de la teoría de los mercados incompletos es que la ineficiencia puede ser resultado de instituciones financieras poco desarrolladas o restricciones de crédito del público. 38 V. Michael Magill and Martine Quinzii, Theory of Incomplete Markets, Volume 1, The MIT Press, 1996. 39 H. Sonnenschein, "Market Excess Demand Functions", 1972, Econometrica; "Do Walras' Identity and Continuity Characterize a Class of Community Excess Demand Functions?", 1973, JETheory; G. Debreu, "Excess Demand Functions", 1974, JmathE; R. Mantel, “(1974). "On the characterization of aggregate excess demand". Journal of Economic Theory 7.


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¿Qué puedo decir de un excelente economista y mejor amigo como fue Rolf Mantel? Yo tuve la fortuna de tener como profesora de Fluctuaciones Económicas a su esposa, la Dra Ana María Martirena, de quien fue su inseparable compañero. Quiero empezar esta biografía de Rolf, uno de los economistas argentinos de mayor trascendencia internacional, mencionando un documento de Ana María: “Rolf Ricardo Mantel nació en la Provincia de Buenos Aires, siendo su madre Irma Margarita, argentina y de ascendencia alemana. Su padre Ricardo Jorge nació en el cantón italiano de Suiza, realizando estudios de Economía en la Universidad de Zurich de donde egresa con el título de Licenciado. Luego se trasladó a Argentina para incorporarse a una empresa textil alemana de Buenos Aires. Rolf también tenía dos hermanas menores, Gilda y Margarita. Tuvo una educación secundaria excelente en la década de los años cincuenta, en el Colegio Nacional de San Isidro, donde comienza a desarrollar sus especiales aptitudes e interés hacia las matemáticas. En esta época conoce a Ana María Martirena, quien sería con el correr del tiempo su esposa y compañera de toda la vida, compartiendo su pasión hacia la Ciencia Económica. De esta relación nace en 1970 su único hijo Pablo Ricardo, profundamente influenciado intelectualmente y moralmente por su padre, quien tuvo la satisfacción de entregarle el título de Licenciado en Economía en la misma Universidad de San Andres, donde fuera Profesor Plenario hasta el final de su vida. Durante sus años de estudio en la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires, donde cursa la carrera de Contador Público por no existir aún la carrera de Economía, se sintió especialmente atraído hacia las materias de Economía y Matemáticas. Fruto de esa atracción fue el inicio de su pasión permanente hacia la investigación científica que se concreta en forma temprana en un primer trabajo donde analiza el efecto de aumentos en los gastos del gobierno sobre el ingreso nacional, suponiendo que los consumidores distribuyen sus compras a lo largo de un cierto período de tiempo. Gracias a este trabajo el Profesor Julio H.G. Olivera lo invita a formar parte de su Seminario permanente en Teoría Económica en la Facultad de C. Económicas, que le confiere una formación teórica sólida y le permite ganar una beca externa del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET). La tercera vez fue como Profesor Titular Visitante del Departamente de Economía de la Universidad de Northwestern, durante el trimestre de invierno de 1979. La cuarta vez fue durante el verano de 1985, como Profesor Titular Visitante de la Universidad de Harvard, donde enseñó un curso avanzado de Economía Matemática. Su última visita académica se produjo durante el primer trimestre de 1998, el mismo año en que más tarde se le declaró una seria enfermedad. Fue invitado como Visiting Research Fellow en el Instituto Weizmann de Israel, Departamento de Matemáticas. En ese año, 1961, contrae matrimonio con Ana María Martirena, quien también gana una beca externa del CONICET que les permite iniciar su vida de esposos y colegas en el Departamento de Economía de la Universidad de Yale, en los Estados Unidos de Norteamérica. En la Universidad de Yale, tuvo Rolf Mantel un desempeño especialmente brillante. Los profesores de las cátedras a las que Rolf asistía esperaban con interés sus intervenciones agudas y profundas, cualquiera fuese la materia: Teoría económica, Asignación de Recursos, Economía Internacional, Economía Matemática, Estadística o Econometría, etc.. Su fama en Yale como estudiante brillante - que obtuvo Honours en todas las materias - iba creciendo a lo largo de los cuatro años que allí residió, hasta que en 1966 la Universidad de Yale le otorgó el título de Doctor of Philosophy in Economics, Ph.D. Su tesis doctoral que se tituló "Towards a Constructive Proof of the Existence of Equilibrium in a Competitive Economy" fue supervisada primero por el Profesor Tjalling Koopmans y más tarde por el Profesor Herbert Scarf. El Comité de Graduación recomendó la tesis por su "calidad sobresaliente". Fue publicada íntegramente en los Yale Economic Essays de 1966. El apoyo financiero que le permitió estudiar en Yale provino del CONICET (1961-1962), de la Organización de Estados Americanos, OEA (1963-64) y de la Universidad de Yale (1964-65).

Ana María Martirena y Rolf R. Mantel


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En 1965 retorna a Argentina incorporándose como Investigador Jefe al Centro de Investigaciones Económicas del Instituto Torcuato Di Tella, posición que mantiene hasta la década de los años ochenta . El Centro estaba integrado por economistas graduados en las mejores universidades de Estados Unidos y Europa a nivel de Ph.D., dedicados full time a la investigación y a la enseñanza universitaria. El C.I.E. tambien recibía la visita frecuente de economistas extranjeros para discutir sus investigaciones en curso en seminarios periódicos. Las actividades de docencia universitaria de Rolf Mantel - que habían comenzado en 1961 en la Universidad de Buenos Aires como Ayudante de Cátedra - se inician formalmente en 1966 como Profesor Asociado y luego Profesor Titular de Teoría Monetaria y Economía Matemática en la Universidad Católica Argentina. En 1969 es nombrado, luego de un concurso público, Profesor de Teoría de la Política Económica, en la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires. En 1972 obtuvo la "tenure" en esta Universidad y mantuvo su nombramiento hasta el año 1973 en que fue separado abruptamente de su cátedra. Varios años más tarde, Rolf publicó en el diario La Nación del 20 de Diciembre de 1985, un artículo titulado "Bodas de plata", donde describe la increíble y lamentable situación que debió padecer como Profesor Regular de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires. Siempre sintió una profunda amargura porque en 1973 fue separado abruptamente de la cátedra ganada en concurso público al tiempo que la universidad se vió envuelta en estériles luchas idiológicas que duraron cerca de siete años. Nunca supo Rolf si fue despedido por la derecha o por la izquiera ideológicas, tal era el grado de confusión de aquellos años. Después de una lucha estéril con las autoridades universitarias, en el año 1983 Rolf dejó para siempre la Universidad de Buenos Aires, iniciando una nueva carrera docente en universidades privadas. Sin contar viajes cortos para asistir a congresos y seminarios, Rolf regresó a los Estados Unidos por motivos académicos, en cuatro oportunidades. La primera fue como Investigador Asociado del Departamento de Economía de la Universidad de Chicago, durante dos meses en 1966. La segunda fue como Profesor Titular Visitante de la Cowles Foundation de la Universidad de Yale, durante el año académico 1975/76, al tiempo que su esposa Ana María fue nombrada Profesora Titular Visitante de Economía Internacional (Programa IFEA del Departamento de Economía) y su hijo Pablo iniciaba la escuela primaria en New Haven. La tercera vez fue como Profesor Titular Visitante del Departamente de Economía de la Universidad de Northwestern, durante el trimestre de invierno de 1979. La cuarta vez fue durante el verano de 1985, como Profesor Titular Visitante de la Universidad de Harvard, donde enseñó un curso avanzado de Economía Matemática. Su última visita académica se produjo durante el primer trimestre de 1998, el mismo año en que más tarde se le declaró una seria enfermedad. Fue invitado como Visiting Research Fellow en el Instituto Weizmann de Israel, Departamento de Matemáticas. En 1974, luego de un riguroso proceso de selección, es nombrado Investigador de Carrera en el Consejo Nacional de Investigaciones Científicas, organismo creado en 1955 para la promoción de todas las actividades científicas de Argentina. Los investigadores del Conicet son considerados regularmente para su promoción de clase, en función de la calidad y cantidad de su producción científica. Casi diez años antes de su muerte, Rolf fue promovido a la clase máxima de Investigador Superior. En 1971, Rolf Mantel se desempeñó como Consejero de la Secretaría de Estado del CONADE (Consejo Nacional de Desarrollo Económico) y más tarde, en 1974 como consejero de la Secretaría de Estado de Ciencia y Técnica. Después de un período de dos años en que se desempeñó como Miembro Senior del CEMA (Centro de Estudios Macroeconómicos de Argentina, hoy Universidad del CEMA), Rolf aceptó como un desafío la oportunidad de ser el primer Director del Departamento de Economía de la Universidad de San Andrés. Era ésta una universidad privada creada en 1990 desde la prestigiosa y antigua Escuela de San Andrés fundada en 1883 con el impulso de la Comunidad Presbiterian de Buenos Aires. Su tarea docente en la Universidad de San Andrés estaba concentrada en Microeconomía Avanzada y en un curso-seminario muy renombrado sobre Optimización Dinámica y Teoría del Control Óptimo. Rolf ayudó a construir un sólido Departamento de Economía, donde los mejores estudiantes pronto se sintieron atraídos hacia Teoría Económica, debido a su influencia y liderazgo. Muchos de ellos fueron aceptados más tarde como estudiantes de postgrado de Economía en algunas de las mejores universidades de U.S.A. y de Inglaterra. Enseñar fue siempre una actividad muy importante para Rolf y los estudiantes apreciaban especialmente la paciencia e interés que


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siempre les demostró. Muchos admiraban y apreciaban su dedicación, tanto como su poderosa mente y su fuego interno hacia la ciencia. Tuvo siempre un don especial para descubrir los buenos alumnos hacia los cuales tenía una gran comunicación. A su vez, ellos correspondíeron produciendo una especie de "revolución" a traves del correo electrónico cuando, en 1998 Rolf maduraba la idea de dejar permanentemente la responsabilidad administrativa como Director de Departamento. El motivo era su deseo de maximizar su tiempo dedicado a la investigación, despues de una invitación recibida de una universidad colega. Rolf estaba absolutamente decidido a concentrar sus actividades en la investigación, a partir de 1999. Era como si presintiera que algún inminente problema con su salud física, no le dejaría mucho tiempo disponible. Como parte de esa "revolución", materializada en una verdadera "lluvia" de e-mails en todas las direcciones cardinales, muchos estudiantes y profesores jóvenes del Departamento solicitaron a las autoridades de la Universidad el nombramiento de Rolf como Profesor Emérito, de modo de poder satisfacer su dedicación full time a la investigación más la docencia de algun curso avanzado. Todos deploraban la posibilidad de perder a Rolf como Profesor full-time de San Andrés.¡La propuesta fue aceptada por las autoridades de la Universidad y finalmente Rolf permaneció fiel a la misma, como asi también al notable gesto de los estudiantes que lo había conmovido en forma muy profunda, sin duda alguna! Sin embargo, Dios tenía otros planes para Rolf. Fue sometido a una operación quirúrgica en Enero de 1999, con pronósticos excelentes y optimistas. Sin embargo, en forma totalmente inesperada para los médicos y para su familia, Rolf Mantel fallece prematuramente el 7 de Febrero de 1999, víctima de un tromboembolismo pulmonar, dejando un inmenso vacío humano, científico y profesional.” No quiero dejar de citar un aporte del Dr Omar Chisari, que escribió “Recordando algunas contribuciones de Rolf R. Mantel a la formación de los economistas”: “En la presentación de James Tobin en la XXI Reunión Anual de la Asociación Argentina de Economía Política, Rolf Mantel rescató una calificación que ya se había propuesto antes para Tobin: "economista de economistas"40 Tal semblanza sintética le es aplicable a él mismo con notable justeza. La razón es que Rolf Mantel orientó mucho de su trabajo y de su esfuerzo en dos sentidos: conseguir que el edificio teórico fuera más consistente y sólido, y hacer que los economistas tuviéramos disponibles mejores herramientas para tomar o recomendar decisiones de política. Rolf Mantel nos enseñó varias cosas, tanto a quienes desplazan la frontera teórica de la economía como a quienes trabajan como profesionales; en parte, porque la economía es una disciplina en la que la línea que separa la teoría del ejercicio de la profesión es extremadamente sutil. Recordemos entonces algunos ejemplos de contribuciones de Rolf Mantel en los dos sentidos que he mencionado, algunas de las cuales él mismo reseñó (Mantel (1985)). Son apenas unos pocos, tres, seleccionados bajo la influencia de mis propios intereses y preferencias. Rolf Mantel respondió con una elegante prueba a la Conjetura de Sonnenschein, "...el último paso que faltaba para que el teorema de Uzawa permitiera concluir que el problema matemático de Kakutani y el económico de Walras son equivalentes desde el punto de vista puramente lógico"41 Sabiendo que las funciones de exceso de demanda agregadas son continuas, homogéneas y cumplen la ley de Walras, el problema era demostrar el resultado recíproco, es decir, funciones arbitrarias continuas, homogéneas y que verificaran la ley de Walras podían ser consideradas funciones de exceso de demanda de alguna economía (en la que esas funciones se derivaran de los comportamientos habitualmente aceptados para consumidores y productores). La demostración de Mantel superó a la de Sonnenschein porque no se restringió a formas polinómicas en los precios usando, en cambio, especificaciones que se desviaban "poco" de funciones convexas (Debreu generalizó luego el resultado). De hecho, en su síntesis de la microeconomía, Mas-Colell, Whinston y Green42 llaman a la sección correspondiente (17.E) "Anything Goes: The Sonnenschein-Mantel-Debreu Theorem". Las consecuencias de estos trabajos son más que significativas para nuestra ciencia. La consistencia del modelo walrasiano, tan atractiva y fructífera, es un

40 Tobin, James (1988), “La Teoría General de Keynes, cincuenta años después”, XXI Reunión Anual de la Asociación Argentina de Economía Política, Ed. Tesis 41 Mantel Rolf R. (1985), “El Papel de la Matemática en la Economía Contemporánea”, Serie Documentos de Trabajo, no. 50, Centro de Estudios Macroeconómicos de Argentina, Mayo. 42 Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, & Jerry R. Green, Microeconomic Theory, Oxford U.P., 1995.


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resultado necesario de la equivalencia lógica entre el modelo de equilibrio general de Walras y los teoremas de punto fijo; la teoría de Walras del equilibrio general -cuando fundada a partir de datos básicos de preferencias, dotaciones y tecnologías- es matemática por naturaleza. Es más, cualquier método de cálculo de una solución debe tener incorporado un teorema de punto fijo. El mismo Mantel hace notar ese aspecto cuando reseña sus investigaciones para el cómputo del equilibrio general. Allí, en el desarrollo de tales algoritmos de cálculo, tenemos un segundo ejemplo de las contribuciones del Profesor Mantel a nuestra disciplina. Su algoritmo minimizaba la distancia entre los precios corrientes y los de equilibrio, que en realidad desconocía, y dejaba de lado los teoremas de punto fijo. Scarf corrigió el método de Mantel, buscó precios a los que las cantidades demandadas y ofrecidas fueran aproximadamente iguales, y su algoritmo -que tampoco computa un equilibrio sino que lo aproxima43- fue mejorado por Merril. Mantel44 dio una propuesta de perfeccionamiento del procedimiento; sin su estudio ni su impulso iniciales, seguramente el campo del equilibrio general computado hubiera llegado más tarde a su estado actual. Los modelos de equilibrio general computado han sido y son herramientas útiles para tomar decisiones, anticipar escenarios y diseñar políticas. Mantel (en su documento de 1985) reseñó un sinnúmero de aplicaciones; también Shoven y Whalley45 presentan una interesante discusión. Veamos el tercer ejemplo. En estos últimos años el Profesor Mantel insistió en una línea de investigación que había iniciado en la década de los años sesenta, sobre el uso de una tasa de descuento variable en modelos de control óptimo bajo la influencia de desarrollos de I. Fisher, Uzawa y Koopmans. En una conferencia en Tafí del Valle, organizada por la Universidad Nacional deTucumán y la Universidad de Chile, tuve la oportunidad de comentar un trabajo suyo sobre el tema. Sin embargo, fue en la Miguel Sidrauski Lecture de la Decimoquinta Reunión Latinoamericana de la Econometric Society, organizada en Santiago de Chile en agosto de 1998, cuando hizo la mejor exposición sobre el asunto. El Profesor Mantel estaba tratando varios aspectos importantes cuando insistía en tener modelos consistentes de control óptimo con una tasa de preferencia temporal variable. Como él decía46 , en los modelos de tiempo discreto había posibilidades de superar la hipótesis de independencia intertemporal de las preferencias, obteniéndose entonces mayor riqueza de casos. Eso no era posible en el análisis continuo. Una consecuencia muy importante se deriva de dicha generalización: la dependencia de las trayectorias límite de las condiciones iniciales y, en ese sentido, el hecho que la posición final de una economía dependa crucialmente del stock de recursos que posee, es decir, nuestras aspiraciones pueden depender de lo que poseemos - véase Mantel47 y también Mantel48 para una síntesis de resultados. El punto básico era que las diferencias de crecimiento entre países "podían ser atribuidas a la interacción entre las preferencias con los recursos existentes, más que a factores tecnológicos". Por lo tanto, vale la pena resaltar dos aspectos relativos a esa línea de trabajo. Aunque los datos con que trabajamos los economistas vienen parametrizados con tiempo discreto, no podemos descartar que nuestros agentes tomen decisiones en tiempo continuo; el trabajo de Mantel de los últimos años permite completar el camino de ida y vuelta entre el proceso de percepción de la información y de construcción de los modelos de crecimiento, teóricos y de planificación, a partir de una fundamentación axiomática. Por otra parte, estaba proveyendo de material valioso a la nueva literatura de crecimiento endógeno. En lugar de

43 V Ellickson, Bryan (1993), Competitive Equilibrium. Theory and Applications, Cambridge University Press. 44 Mantel Rolf R.(1978), "Un algoritmo acelerado para la determinación de una solución de equilibrio económico", Serie de Estudios Técnicos, No.33, Centro de Estudios Monetarios y Bancarios, Banco Central de la República Argentina; Junio. 45 Shoven, J.B. y John Whalley (1992), Applying General Equilibrium, Cambridge Surveys of Economic Literature, Cambridge University Press. 46 Mantel Rolf R. (1993), "Estructura intertemporal de las preferencias", Anales de la Asociación Argentina de Economía Política, XXVIII Reunión Anual, Universidad Nacional de Tucumán. 47 Mantel Rolf R. (1993), "Grandma´s dress, or what's new for optimal growth", Revista de Análisis Económico, Vol. 8, No.1, pp. 61-81, Junio. 48 Mantel Rolf R. (1998), "The effects of a decreasing rate of time preference on the accumulation of capital", Serie Seminarios, Instituto y Universidad Torcuato Di Tella; Julio.


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poner énfasis en las externalidades factoriales, o en las características de los insumos públicos, de modo de imponer un límite inferior que impidiera la existencia de un estado estacionario, reparaba en la dependencia de un parámetro de preferencia con respecto a las variables de control, por ejemplo el nivel de consumo. Cabe notar que parte de la literatura reciente discute además procesos de formación de hábitos para explicar la determinación de los precios de los activos abandonando la hipótesis restrictiva de separabilidad temporal49 . En esos casos que hemos revisado, como en los demás temas de los que se ocupó, Rolf Mantel tuvo siempre una clara preferencia por las herramientas matemáticas y por partir de una base axiomática clara y consistente. Sin embargo, el repaso de sus publicaciones, estudios y contribuciones que hice para escribir estas líneas me arrojó un corolario interesante: el método matemático siempre le sirvió al fin de resolver un problema de carácter económico. ¿Que algunos teoremas de la economía walrasiana parecen teoremas de la matemática? Claro, es inevitable en su campo de trabajo. Después de todo Uzawa probó la equivalencia entre los teoremas de punto fijo y la existencia de solución de equilibrio. Por supuesto, la lista de sus investigaciones supera ampliamente a las recién referidas. Hay en sus escritos trabajos de comercio internacional, de crecimiento, de imposición óptima, de equidad y distribución del ingreso, hasta de historia del pensamiento; varios fueron contribuciones en colaboración con su esposa. Destacar su alta calidad como persona, además de economista, no es difícil. Ser tolerante con los jóvenes investigadores (¡quienes están muchos escalones abajo!), a veces imprudentes o irreverentes, es una de esas significativas variables proxy del valor personal; cuando conocí a Rolf Mantel, él ya era una autoridad. No por ello fue menos gentil conmigo y con otros colegas, recién llegados a la teoría. Una de las características distintivas de los seres humanos es que somos capaces de concebir estados de la naturaleza en los que nosotros mismos estamos muertos. Paradójicamente, a veces eso es más fácil que anticipar escenarios en los que se pierden las personas que nos son indispensables, o que dan coherencia y consistencia al mundo que nos rodea. La desaparición de Rolf Mantel nos sorprendió a todos, pero en particular a los economistas, que sentimos que nuestro edificio lógico se había hecho más frágil repentinamente.” Hemos visto que bajo cierto número de axiomas, el sistema expuesto por Debreu satisface la existencia de un equilibrio (siendo tal vez el axioma más relevante el de convexidad). Puede mostrarse que los equilibrios existirán en número finito. Pero si se desea obtener más resultados (en especial si queremos obviar las dificultades de sumar las ecuaciones de demanda, y obtener por caso la unicidad del equilibrio) serán necesarios supuestos más fuertes. Pero el resultado de Sonnenschein-Debreu-Mantel establece que el sistema de funciones de exceso de demanda de una economía que tenga suficientes individuos no impone restricciones de ningún tipo a las demandas de los individuos que la conforman. Por consiguiente, los supuestos de racionalidad microeconómica no tienen implicancias macroeconómicas. Su mayor implicancia en la teoría microeconómica es que, con varios mercados interrelacionados el equilibrio económico puede no ser único. Formalmente, el teorema afirma que la función de exceso de demanda agregada hereda solamente algunas de las propiedades de las funciones de exceso de demanda individuales (Continuidad, Homogeneidad de grado cero, ley de Walras y una condición de borde que asegura que a medida que los precios se aproximan a cero la demanda crece ilimitadamente). A su vez, estas propiedades heredadas no son suficientes para garantizar que la función agregada de exceso de demanda obedezca el axioma débil de la preferencia revelada lo que implica que puede tener más de una raíz – más de un vector de precios al cual el exceso de demanda sea cero. Por ello a este teorema también se lo refiere como el “Anything Goes”.

49 Chapman D.A. (1998), "Habit Formation and Aggregate Consumption", Econometrica, Vol.66, No.5, September.


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La razón de este resultado es la presencia de efectos-riqueza. El cambio del precio de un bien particular tiene dos consecuencias. Primero, el bien se torna más caro o barato con relación a todos los demás bienes, lo que tiende a aumentar o disminuir la demanda del bien – el así llamado efecto sustitución. Segundo, el cambio del precio también afecta la riqueza real de los consumidores en la sociedad, haciendo a algunos más ricos y a otros más pobres, lo que, dependiendo de sus preferencias producirá algo más o menos de demanda hacia el bien – el efecto riqueza. Los dos efectos pueden obrar en direcciones opuestas o que se refuerzan mutuamente, lo que significa que más de un conjunto de precios pueden equilibrar a todos los mercados en forma simultánea. Matemáticamente, el número de ecuaciones es igual al número de funciones de exceso de demanda individuales que a su vez es igual al número de precios que deben ser resueltos. Por la Ley de Walras, si todos menos uno de los excesos de demanda son cero, luego el exceso de demanda que resta también tiene que ser cero. Esto significa que hay una ecuación redundante en el sistema, y que podemos normalizar uno de los precios o una combinación de todos los precios (en otros términos, sólo quedarán determinados precios relativos, y no el nivel de precios absoluto). De esta manera el número de ecuaciones igualará al número de incógnitas y tendremos un sistema determinado. Pero si las ecuaciones son no lineales no hay garantía de solución única. Hay varios comentarios al respecto. En primer término, aunque haya equilibrios múltiples, cada equilibrio sería eficiente en sentido de Pareto (bajo las hipótesis usuales). Empero, los distintos equilibrios tendrían distintas implicaciones distributivas y podrían ser rankeados en forma diferente por una función de bienestar social determinada. En segundo término, por el teorema de los Indices50, en economías Regulares51 el número de equilibrios será finito y todos serán únicos en 50 Esta es una propiedad de carácter topológico del espacio de soluciones. 51 Una economía Regular se caracteriza por una función de exceso de demanda con la propiedad de que su pendiente a cualquier vector de precios de equilibrio es no nula. Es decir, si se grafica a la función de exceso de demanda con relación a los precios, aquella “corta” al eje de las x asegurando que cada equilibrio es único en sentido local. Esto permite realizar el análisis de estática comparativa – siempre que los shocks no sean demasiado amplios (ver gráfico).


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sentido local. Esto implica que los análisis de estática comparativa, o sea de cómo cambia el equilibrio cuando se introducen shocks en la economía, todavía son relevantes mientras que los shocks no sean muy grandes y que el equilibrio relevante sea estable. Algunos críticos del análisis de EG objetan su aplicación para entender a las economías reales porque hace predicciones imprecisas (de allí lo de “Anything Goes”). Otros han respondido que no hay razones a priori para esperar que una economía real tenga un único equilibrio y de allí surge la posibilidad de resultados múlples como una característica realista de la teoría, que aún así puede analizar shocks de carácter local. Si una economía en su conjunto tiene la propiedad de la preferencia revelada (más fuerte que la misma propiedad para un único individuo) o la propiedad de ser sustitutos brutos entonces el equilibrio será único. El digrama siguiente muestra la situación de una economía regular y la de otra que no lo es entre dos precios p1 y p2. En un documento de 199552 demostró "que cualquier función de demanda excedente que satisface la ley de Walras puede ser descompuesta en funciones de demanda excedente individuales muy especiales. Sólo es necesario considerar individuos que consumen bienes en proporciones fijas, extendiendo el teorema de Sonnenschein-Mantel-Debreu sobre la descomposición de funciones de demanda excedente de mercado en funciones de demanda excedente individuales racionalizables a una situación en que se imponen restricciones considerablemente más duras sobre el comportamiento individual, al costo de un número de agentes más elevado. De una investigación del presente autor (1965) es sabido desde hace tres décadas que una economia Arrow-Debreu con un número finito de agentes puede ser descripta por completo -desde el punto de vista de los niveles de utilidad alcanzables-por medio de una transformación de coaliciones en niveles de utilidad. También fue demostrado por el autor (1991) que la naturaleza de tal descripción no permite distinguir la economia resultante de una economia competitiva de intercambio puro -es decir, una sin actividades productivas- aún si se restringen las preferencias de los consumidores a mercancias que son complementos perfectos. Esto significa que son del tipo Leontief, con "curvas" o superficies de indiferencia con ángulos rectos.” Mantel extendió el resultado del teorema SMD “para el comportamiento de los mercados. Cualquier función de demanda excedente que satisface la ley de Walras puede ser descompuesta en funciones de demanda excedente individuales provenientes del tipo de preferencias mencionado; para tal descomposición sólo es necesario considerar individuos que consumen bienes en proporciones fijas. Este resultado extiende el conocido en la literatura por los nombres de Sonnenschein-Mantel-Debreu. Como se recordará, Sonnenschein (1972) conjeturó que es posible descomponer funciones de demanda excedente de mercado en funciones de demanda excedente individuales racionalizables, y lo demostró para funciones que son polinomios. El presente autor (1974) demostró que son suficientes dos consumidores por cada mercancia. Finalmente Debreu (1974) demostró que basta con un consumidor por cada mercancía.” Las repercusiones no se hicieron esperar, aunque el teorema no siempre ha sido bien interpretado. Lenfant53 reconoce que el teorema SMD abrió una etapa de crisis en la historia del pensamiento económico. Según el juicio corriente, SMD puso un punto final a un programa de investigación tradicional en la teoría del equilibrio general: ¿De qué sirve saber las condiciones de existencia de un vector de precios de equilibrio si no sabemos cómo el sistema podrá alcanzar

52 Rolf R. Mantel (1995) “Agregación de Demandas de bienes perfectamente complementarios”, AAEP, Rio Cuarto. 53 Jean-Sébastien Lenfant, “General equilibrium since Sonnenschein, Mantel and Debreu. Trends and Prospects”, Sept. 2007.


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dicho punto de equilibrio?” Lenfant analiza las alternativas involucradas: “¿implican los resultados que debamos abandonar alguna parte del programa (unicidad y condiciones de estabilidad)? O más bien, ¿tendríamos que pensar que el programa descansaba en líneas demasiado severas de pensamiento, y especialmente en una versión fuerte del individualismo metodológico que implica no utilizar ningún postulado colectivo (sobre las preferencias o los ingresos)? O, más aún, ¿deberíamos abandonar la idea de colocar al modelo de equilibrio general en el núcleo de la teoría económica y retirarnos del campo de Arrow-Debreu?” De cualquier forma que sea, “el SMD ha tenido un impacto profundo sobre las líneas de invectigación de la teoría del equilibrio general. Hay una dimensión dramática de los resultados, cuya consecuencia es la bifurcación de la investigación en distintas direcciones después de un período bastante prolongado de unidad aparente sobre el programa de investigación [sobre el concepto de programa de investigación repasen lo comentado en el capítulo I]. Después de todo, están surgiendo nuevos problemas y nuevas preguntas. Si bien es cierto que no todos estos cambios deberían ser atribuídos a los resultados del SMD, hay que convenir que los resultados sobre estabilidad, algoritmos, información y robustez del SMD han influído sobre los tópicos en boga en equilibrio general.” Es conveniente notar, con Lenfant, que en sí SMD no constituye un resultado negativo, sino uno que da lugar a distintas interpretaciones de lo que merece ser mejorado en el programa de equilibrio general. El SMD actúa más bien como un “catalizador” para reformar la teoría del equilibrio general. Hay distintas tendencias desde los años 1970: una primera, surgida de la obra de Scarf sobre la búsqueda de algoritmos de cálculo, vinculada con el programa de investigación de los CGE (equilibrio general computable); una segunda, que es seguida por investigadores que parecen continuar la línea del programa inicial de los 1950s sobre la estabilidad de un equilibrio competitivo (Bryant y otros), teniendo en cuenta las piedras que hay en el camino. Una tercera tendencia, asociada con el nombre de Hildenbrand (v. pág. 54), se concentra sobre una interpretación negativa del SMD y propone nuevos supuestos sobre las características de la economía (ingresos o preferencias). Finalmente, hay una cuarta vertiente que está en desacuerdo con las interpretaciones negativas del SMD y ha propuesto en su lugar establecer las propiedades de estática comparativa del equilibrio general (Brown y Maskin). Finalmente, cabe mencionar un documento de Kemp y Shimomura54 que, en base al SMD, efectúan una evaluación crítica de la teoría estática del comercio, basada en que todos los agentes de cada país son similares o actúan como si lo fueran. Demuestran que varias proposiciones dejan de ser válidas, como 1) una tarifa óptima puede desalentar la producción de un bien inicialmente importado, y revertir la situación de importado/exportado de otros bienes; 2) Mill y Edgeworth se habían preguntado acerca de los efectos de una mejora tecnológica en la industria de exportables de un país sobre su comercio y su bienestar. Pero el resultado es vulnerable a pequeños ajustes realistas del modelo de Heckscher-Ohlin, por ej. costos de reacomodación de los consumidores por la reasignación de factores en el país que sufrió la perturbación. Kemp y Shimomura concluyen que ambos ajustes de la teoría de Heckscher-Ohlin excluyen a la mayor parte de las proposiciones familiares del comercio internacional, y ello sin recurrir a rendimientos crecientes a escala, multiplicidad de equilibrios y fallas de competitividad de los mercados. 3.9 Análisis de equilibrio general aplicado Pese a las limitaciones expuestas de los modelos de equilibrio general, éstos han sido utilizado en distintas aplicaciones de carácter teórico y empírico. Una conferencia realizada en San Diego en

54 Murray C. Kemp and Koji Shimomura, “The Sonnenschein-Debreu-Mantel proposition and the theory of international trade”, Review of International Economics, Vol. 10, 2002.


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1981 y varias otras de carácter similar demostraron que los problemas técnicos asociados a la solución numérica de grandes modelos de equilibrio general han sido resueltos. Desde principios de los 1970s métodos más refinados fueron elaborados para aproximarse a los puntos fijos de mapas continuos. Estos métodos requieren descomponer el simplex de precios en un amplio número de pequeñas regiones y utlizar información sobre el mapa a efectos de construir una trayectoria lineal a trozos que termine en un punto fijo. Echemos un vistazo a los grandes capítulos temáticos de esta conferencia. Scarf (en “The computation of equilibrium prices”) y Michael J. Todd (“Efficient methods of computing economic equilibria”) introducen las técnicas matemáticas involucradas en la aproximación a un punto fijo de un mapa continuo. Estos métodos, cuyo desarrollo se aceleró debido al problema de cálculo de los precios de equilibrio, ya son lo bastante rápidos en términos de tiempo de computación – de tal modo que los problemas numéricos no constituyen hoy en día una restricción efectiva sobre la capacidad de resolver problemas de equilibrio general de tamaño moderado, digamos, que involucren a unos 30 o 40 sectores en forma desagregada. Si hay restricciones ello es debido usualmente a los problemas conceptuales de formular un modelo realista y a la insuficiencia de datos para estimar con confianza el elevado número y gran variedad de parámetros de tales modelos. El modelo de equilibrio general ha sido utilizado en forma tradicional, y continúa siendo utilizado, para analizar los efectos de un cambio de la política económica, como imponer una tarifa o una restricción de importación a un bien, otorgar un subsidio, o modificar el código tributario. Puede ser utilizado para explorar las consecuencias de aumentar el precio o de reducir la oferta de un insumo importado como el petróleo, las ramificaciones que podría tener la reducción inesperada de la oferta de un bien, o un cambio regulatorio de una industria, por enumerar varios ejemplos. En todos estos casos se requiere que los parámetros del modelo reflejen los rendimientos de los precios corrientes y los niveles de producción como solución del modelo de equilibrio general antes del cambio. Luego se efectúa un recálculo que predice las consecuencias de los cambios propuestos sobre una variedad de variables significativas: precios, niveles de producción, ingresos del gobierno, y la distribución del ingreso entre las unidades de consumo. Una de las mayores virtudes de un modelo de equilibrio general es exponer las consecuencias de cambios amplios de un sector particular a lo largo de toda la economía. Esta propiedad la comparte con la técnica de insumo-producto pero permite un tratamiento más flexible por el lado del consumo de la economía y menos rígido de las exigencias planteadas al sector productivo. Cambios mayúsculos de política tienen a menudo consecuencias significativas sobre la distribución del ingreso – en realidad, pueden haber sido diseñados a tal efecto – y requieren, por consiguiente, un marco conceptual que dé lugar a variaciones del ingreso. Las consecuencias de un cambio de la política económica son analizados frecuentemente suponiendo que los ajustes son pequeños y utilizando aproximaciones lineales basadas en estimaciones de las elasticidades relevantes. Si el número de sectores es reducido, técnicas diagramáticas o resultados analíticos explícitos también pueden ser generados por los modelos de dos sectores usados a menudo en la teoría del comercio internacional. Pero con un modelo desagregado, y con cambios – tal vez más de uno – importantes, no existe otro recurso que no sea la construcción y solución explícita de un modelo numérico general de equilibrio. Las imperfecciones del modelo de equilibrio general como una descripción de la realidad económica son conocidas entre los economistas, pero en menor medida entre el público menos informado. Es inadecuado, todavía, para el tratamiento del dinero y de las instituciones financieras, tiene dificultades para contemplar los recursos desempleados, y es incapaz de tratar a empresas industriales de gran escala que puedan ejercer una influencia significativa sobre los


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precios. A la inversión y a los métodos indirectos de producción se los suele formular en términos estáticos, y todo intento de remediarlo debe pasar por reemplazar la hipótesis no realista de mercados de futuros perfecto. Pero no existen formulaciones alternativas que remedien estos problemas y permitan la flexibilidad y riqueza conceptual del modelo de equilibrio general. A pesar de sus imperfecciones, este método de análisis sigue siendo útil hasta que la teoría económica sea capaz de proveer una formulación alternativa más elaborada. Ahsan Mansur y John Whalley (“Numerical specification of applied general equilibrium models: estimations, calibrations, and data”) discuten los problemas planteados por la recolección de datos, la especificación de los parámetros, y la factibilidad de estimar un modelo completo que tenga en cuenta todas las restricciones inter-ecuacionales que impone una estructura de equilibrio general. Mansur y Whalley son pesimistas en cuanto a estimar un modelo pleno excepto para estructuras muy simples, y sugieren que es necesario descansar en métodos actuales de estimación de ecuaciones. Por su parte, Dale W. Jorgenson incluyó un capítulo ambicioso y sofisticado en su intento de estimar y dar cuenta de un gran modelo de equilibrio general de 36 sectores (“Econometric methods for applied general equilibrium analysis”). Fullerton, Henderson, y Shoven (Don Fullerton, Yolanda K. Henderson, y John B. Shoven, “A comparison of methodologies in empirical general equilibrium models of taxation”) hacen un sobrevuelo de ocho tipos diferentes de modelos de equilibrio general que tratan de aspectos tributarios. Investigan cuán sensibles son estos modelos al nivel de desagregación de la producción, además de examinar aspectos de ocho modelos incluyendo su tratamiento del ahorro, la elección entre trabajo y ocio, el sector externo y el sector de las familias. Jamie Serra-Puche (“A general equilibrium model for the Mexican economy”) desarrolla un modelo de la economía de México que es utilizado para analizar el efecto de introducir un IVA-consumo sobre la distribución del ingreso. El resultado principal obtenido es que el bienestar de los grupos de consumidores rurales mejora con la reforma. Borges y Goulder (Antonio M. Borges y Lawrence H. Goulder, “Decomposing the impact of higher energy process on long-term growth”) usan el modelo de los Estados Unidos para simular el impacto de precios más elevados de la energía sobre el crecimiento económico y docimar la importancia relativa de diversos canales a través de los cuales el precio más alto de la energía afecta al crecimiento. El capítulo de Bell y Harrison (Larry J. Kimbell y Glenn W. Harrison, “General equilibrium analysis of regional fiscal incidence”) desarrolla un modelo regional para predecir la incidencia de la política fiscal en la economía de California. Ginsburgh y Waelbroeck (Victor Ginsburgh y Jean Waelbroeck, “Planning models and general equilibrium activity analysis”) discuten modelos de planificación y el análisis de actividades. Proponen usar modelos económicos linealizados que pueden ser formulados para analizar el comportamiento de los países en desarrollo. También trabaja con un modelo linealizado el capítulo de Dixon, Parmenter, y Rimmer (Peter B. Dixon, B.R. Parmenter, y Russell J. Rimmer, “Extending the ORANI model of the Australian economy: adding foreign investment to a miniature version”) pero es mucho más detallado. El modelo de Australia identifica 113 industrias, 230 bienes, y 9 tipos de tierra. Ha sido usado en la evaluación de políticas por varios ministerios del gobierno australiano. El capítulo de Robinson y Tyson (Sherman Robinson y Laura D'Andrea Tyson, “Modeling structural adjustment: micro and macro elements in a general equilibrium framework”) discute cómo integrar las características de modelos financieros y macroeconómicos (no-neutralidad del dinero, mercados de activos, activos financieros nominales, etc.) con el detalle estructural de un modelo de equilibrio general computable. El capítulo de Feltenstein (Andrew Feltenstein, “Money and bonds in a disaggregated open economy”) constituye un enfoque preliminar de introducir los


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fenómenos monetarios en el modelo de equilibrio general de una economía abierta. En su modelo, el gobierno emite combinaciones de bonos y dinero para financiar la compra de bienes públicos. 3.10 Modelos de equilibrio general computable Los modelos de EGC (CGE en inglés) son también llamados EGA (AGE en inglés), por Equilibrio General Aplicado. Un modelo CGE consiste de (a) ecuaciones que describen la conducta de las variables del modelo, y (b) una base de datos (usualmente muy detallada) consistente con las ecuaciones del modelo. Las ecuaciones suelen ser de espíritu neoclásico, muy a menudo suponiendo que los productores minimizan sus costos, que los precios son iguales a los costos medios y que la demanda de los hogares está basada en su conducta optimizadora. Empero, la mayoría de los modelos CGE se conforma sólo aproximadamente con el paradigma teórico de equilibrio general. Por ejemplo, los hay que contemplan aspectos como los siguientes:

Equilibrio fuera del mercado, especialmente para el trabajo (desempleo) o para los bienes (inventarios);

Competencia Imperfecta (por ej. orecios de monopolio); Demanda no influida por el precio (p.ej. consumo del gobierno); Impuestos y subsidios; Externalidades, tales como la contaminación; Conducta no maximizadora de la utilidad de parte de los hogares; Conducta no maximizadora de beneficios de parte de las empresas.

Una base de datos CGE contempla:

Tablas de valores de las transacciones, que muestran, p.ej., el valor del carbón utilizado por la industria del hierro. Habitualmente esta información es presentada como una tabla de insumo-producto o una matriz de contabilidad social. En todos los casos, abarca a la economía en su conjunto (e inclusive a todo el mundo), y distingue un número de sectores, bienes, factores primarios y a veces tipos de hogares.

Elasticidades: Es decir, parámetros sin dimensión que captan la respuesta de la conducta. Por ejemplo, las elasticidades de demanda de exportación indican en cuánto caerían los volúmenes exportados si los precios fueran incrementados. Los modelos CGE son tributarios de los modelos insumo-producto introducidos por Wassily Leontief, pero asignan un papel más preponderante a los precios. Luego, cuando Leontief suponía que una cantidad fija de trabajo era requerida para producir una tonelada de hierro, un modelo CGE permitirá que el aumento de los salarios afecte (en forma negativa) a la demanda de hierro. A partir de los años 60 han sido construidos modelos CGE para países en desarrollo (a menudo por expertos extranjeros). Estos modelos de planeamiento, en comparación con los modelos de Leontief, pusieron más énfasis en las escaseces – trabajo calificado, capital o divisas. La modelización CGE de los países más ricos desciende de un trabajo de Leif Johansen y del modelo MSG desarrollado por el Cambridge Growth Project en Inglaterra. Ambos eran eminentemente pragmáticos y dinámicos, ya que seguían el trazado de las variables a través del tiempo. Modernamente, el modelo australiano MONASH es un representante de modelos de este tipo. Los modelos CGE son útiles cuando se desea estimar el efecto del cambio de una parte de la economía sobre la otra. p.ej. un impuesto a la harina podría afectar al precio del pan, al IPC y tal


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vez a los salarios y al empleo. Han sido utilizados en forma amplia para estimar las políticas comerciales. En forma más reciente, se han popularizado como forma de estimar los efectos económicos de medidas destinadas a reducir los gases de efecto invernadero, tema sobre el cual volveremos. Los modelos tienen una gran cantidad de variables, muchas de ellas exógenas. A la elección de qué variables deberían ser exógenas se la llama la clausura del modelo, y puede dar lugar a ricas controversias. Por ejemplo, algunos mantienen al empleo y al balance comercial fijos, en tanto que otros permiten que éstos cambien. Son típicamente exógenas las variables que definen la tecnología, los gustos de los consumidores y los instrumentos del gobierno (como los impuestos). Hay modelos CGE de diversos países55. Uno de los más conocidos entre los modelos CGE es el modelo GTAP del comercio mundial. Los modelos CGE son útiles para modelizar economías con escasas series temporales o tal vez carentes de relevancia (por ejemplo por modificaciones asociadas a los cambios de régimen). Es en estos casos donde supuestos fuertes y razonables del modelo deben reemplazar a la evidencia histórica. Por tal motivo, las economías de los países en desarrollo son a menudo analizadas mediante modelos CGE, como los basados en la plantilla del modelo IFPRI56. Muchos modelos CGE son modelos de estática-comparativa y modelizan las reacciones de la economía en un solo punto del tiempo. Para los análisis de políticas, los resultados de estos modelos son interpretados como si mostraran la reacción de la economía en algún período futuro a uno o a unos pocos cambios de política. O sea, los resultados muestran la diferencia (habitualmente en forma de porcentaje) entre dos estados alternativos futuros (con y sin el shock de políticas). Al proceso de ajuste hacia el nuevo equilibrio no se lo representa explícitamente, si bien algunos detalles de su clausura llevan a distinguir entre equilibrios de corto y largo plazo (p.ej. si se permite el ajuste del stock de capital). En contraste, los modelos CGE dinámicos realizan el trazado de cada variable a través del tiempo – a menudo a intervalos anuales. Aunque estos modelos son más realistas, su construcción y solución plantean grandes desafíos – por ejemplo requieren predecir la evolución de todas las variables exógenas, no sólo de las afectadas por el cambio de políticas. Los elementos dinámicos pueden surgir por los procesos de ajuste parcial o relaciones de acumulación de flujos: entre la inversión y el stock de capital, y entre el deficit comercial y la deuda externa. Los modelos dinámicos recursivos son modelos CGE que pueden ser resueltos en forma secuencial (un período detrás de otro): suponen típicamente que la conducta de los agentes depende sólo del estado actual de la economía y de sus estados en el pasado. Alternativamente, si las expectativas de los agentes depende del estado futuro de la economía, resulta necesario resolver todos los períodos en forma simultánea, lo que conduce a modelos CGE dinámicos multi-periódicos. Entre éstos se cuentan los modelos de equilibrio general estocásticos que incorporan incertidumbre sobre el futuro. 4. Los lenguajes de programación 55 En nuestro país han sido desarrollados varios modelos. V. Chisari, O. y C. Romero, 1996, “Distribución del Ingreso, Asignación de Recursos y Shocks Macroeconómicos. Un Modelo de Equilibrio General Computado para la Argentina en 1993”; P. Ruben Mercado, “Empirical Economywide Modeling in Argentina”, Feb. 2003, Lozano-Long Institute of Latin American Studies. 56 Para todos estos modelos v. Johansen, Leif (1960). A Multi-Sectoral Study of Economic Growth, North-Holland (2nd enlarged edition 1974). Dixon, Peter and Maureen Rimmer (2002). Dynamic General Equilibrium Modelling for Forecasting and Policy: a Practical Guide and Documentation of MONASH, North Holland. Hertel, Tom (ed.) (1997). Global Trade Analysis: Modeling and Applications, Cambridge University Press. Löfgren, Hans, Rebecca Lee Harris and Sherman Robinson (2002). A standard Computable General Equilibrium (CGE) in GAMS, Microcomputers in Policy Research, vol.5, International Food Policy Research Institute.


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Uno de los aspectos más importantes cuyo desarrollo tuvo lugar en los últimos años fue la implementación de lenguajes de programación y resolución de sistemas económicos. Como un ejemplo saliente cabe señalar The General Algebraic Modeling System (GAMS) que es un sistema de modelización de alto nivel para la programación y optimización matemática. Consiste en un lenguaje compilador y de un sistema estable integrado de solucionadores de alta performance57 para la programación y la optimización matemática. Gams está adaptado para aplicaciones complejas a gran escala, y permite elaborar modelos sostenibles que pueden ser rápidamente adaptados a nuevas situaciones. Otro ejemplo de evolución significativa de los lenguajes de programación se ha dado con APL (A Programming Language), lenguaje de programación de arreglos numéricos (vectores, matrices, etc.) inventado en 1957 por Kenneth E. Iverson. Se originó en un intento de facilitar una notación consistente para enseñanza y el análisis de cuestiones vinculadas con computadoras. Iverson publicó su notación en 1962 en el libro A Programming Language. Hacia 1965, parte de la notación había sido implementada como lenguaje de programación (bajo el nombre de IVSYS). Antes de su lanzamiento comercial, APL obtuvo su denominación del libro de Iverson. Por su obra, Iverson recibió en 1979 el Turing Award. El lenguaje de APL presenta un rico conjunto de operaciones que actúan sobre arreglos completos de datos. Mientras la mayoría de los lenguajes de computación requiere iterar para sumar dos matrices, las funciones de APL trabajan con las matrices completas de una sola vez. Agregando a ello un conjunto de caracteres especiales que representan operaciones a realizar, se reduce en forma drástica el número de loops (bucles) y se permite, por ende, la elaboración de programas más concisos y compactos. Es un programa interpretativo e interactivo, que presenta normalmente bucles de lectura-evaluación-impresión (REPL) para los inputs de comando y expresión. Les recomiendo la lectura de un artículo de Iverson muy esclarecedor, A Personal View of APL (1991).

57 V. la página del GAMS en http://www.gams.com/

http://en.wikipedia.org/wiki/APL_(programming_language)

http://www.gams.com/

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