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Segundo Lugar Categora de Seguros

Premio de Investigacinsobre Seguros y Fianzas 2014Antonio Minzoni ConsortiXXI

Clculo de la edad mxima estimada de la tabla de mortalidad mexicana CNSF 2000-I, su importancia

y sus aplicaciones.

Trabajo presentado para el XXI Premio de Investigacin sobre Seguros y Fianzas 2014

Antonio Minzoni Consorti

Act. Karina Vargas Cruz

LEUCE

Introduccin

Durante los ltimos aos se ha observado que en las ciudades ms desarrolladas del mundo la

edad mxima alcanzada de las personas se ha incrementado en forma considerable, sin que

esto signifique necesariamente una mejora en la mortalidad de los jvenes sino ms bien una

mejora en la mortalidad de los ancianos.

El caso de Mxico no es la excepcin ya que el pas ha sufrido grandes transformaciones a

travs de toda su historia, entre ellas (el que nos interesa para efectos de la presente tesis) el

aumento de la edad mxima alcanzada por sus habitantes (sobre todo en sus zonas urbanas).

En general se espera que la edad mxima alcanzada en nuestro pas tenga una trayectoria

ascendente como consecuencia del envejecimiento de la poblacin dada la estructura

poblacional actual, los avances mdicos y las polticas de salud vigentes.

El efecto anterior es importante que se reconozca en las actuales tablas de mortalidad, tal que

la edad mxima de dichas tablas sea un reflejo de estas mejoras en la mortalidad de ancianos

y no una edad mxima arbitraria que por costumbre se establece en 100 aos.

Desde la aparicin de las tablas de mortalidad (o tablas de vida) se ha tenido la inquietud por

parte de especialistas dedicados a diferentes reas de estudio, de terminarlas en una edad

adecuada, por ejemplo desde el punto de vista demogrfico se busca el hacer una proyeccin

correcta del tamao y estructura de la poblacin por edades, mientras que en la profesin

actuarial se busca un clculo justo, ptimo, competitivo y eficiente de las anualidades

vitalicias y los seguros de vida.

Por esta razn durante mucho tiempo se han desarrollado algoritmos para predecir los datos

de mortalidad de una poblacin (debido a que en ocasiones resulta sumamente complicado la

obtencin de estos datos) y a su vez que la prediccin logre que la tabla de mortalidad termine

en una edad que represente lo mejor posible a la longevidad de dicha poblacin y no se haya

elegido arbitrariamente.

Algunos de estos modelos sern desarrollados y explicados con mayor detenimiento en los

siguientes captulos, pues cada uno de los mtodos tienen caractersticas particulares que los

vuelven importantes; sin embargo, estos algoritmos tambin tienen carencias, lo que obliga

como especialistas a comparar las alternativas y seleccionar la(s) que cubra(n) mejor las

necesidades del medio asegurador.

Se puede decir sin temor a equivocarse que los procedimientos presentados en este trabajo,

no se han aplicado en Mxico y mucho menos se ha tratado de estimar una edad mxima para

una tabla de mortalidad con base en la experiencia estadstica del pas. El anlisis de las

Tablas de Mortalidad Mexicana utilizadas en la actualidad e implementar un algoritmo para

estimar la edad mxima lmite en la que dichas tablas deben terminar permitirn cubrir los

requerimientos de seguridad social, anualidades y seguros de vida.

Dado que sera muy ambicioso tratar de trabajar con todas las tablas de mortalidad

mexicanas existentes se limitar al anlisis y estudio de la tabla conocida en el sector

asegurador como Tabla de Mortalidad CNSF-2000-I, ya que adems fue para la nica que se

logr conseguir las edades y probabilidades de muerte sin ajustar.

Clculo de la edad mxima estimada de la tabla de mortalidad mexicana CNSF 2000-I, su importancia y

sus aplicaciones.

3

La investigacin est integrada por 4 captulos, su contenido queda descrito como:

Captulo 1: Se explica que es una tabla de mortalidad, as como las caractersticas que debe

cumplir, los tipos de construccin que existen para stas. Tambin se describe la simbologa

que se utilizar durante el desarrollo de la presente investigacin.

Captulo 2: Se realiz una recapitulacin de los antecedentes a lo largo de la historia para la

estimacin de la edad mxima alcanzada en diferentes poblaciones del mundo, con el objetivo

de aplicarse a los datos de mortalidad mexicana 2000-I para observar y concluir si alguno de

los modelos podra describir de manera adecuada a la poblacin mexicana, entre los modelos

analizados se encuentra el modelo de extrapolacin polinomial, el modelo de Gompertz, el

modelo de Makeham, el modelo e Heligmand & Pollard el modelo de Coale-Kisker, el modelo

relacional de mortalidad y por ltimo el modelo Logit.

Captulo 3: Despus del desarrollo de los modelos anteriores se observ que la combinacin

de stos ha logrado hacer cambios a favor de la poblacin, por esta razn se aplic el Teorema

del Valor Extremo al objetivo inicial, estimar la edad mxima alcanzada de la poblacin

mexicana de manera adecuada. Se dedic el captulo completo a este anlisis debido a que se

considera un modelo innovador y se sabe que ha sido eficaz en Canad y Japn.

Captulo 4: Un punto importante que se resalta de esta investigacin es la importancia en las

aplicaciones que tiene el estimar la edad mxima de la poblacin mexicana 2000-I, que

concluye con un ejemplo prctico de los beneficios y carencias que resultan de realizar una

estimacin no adecuada o incluso sugerir arbitrariamente el final de dicha curva.

Finalmente se encuentran las conclusiones que gener la realizacin de la presente

investigacin.


sus aplicaciones.

4

ndice

Introduccin ............................................................................................................... 2

Captulo 1 Conceptos bsicos .................................................................................. 7

1.1 Notacin ............................................................................................................................ 9

1.2 Datos utilizados para los ajustes realizados ........................................................... 12

Captulo 2 Antecedentes histricos para la estimacin de la edad mxima

alcanzada, aplicados en la Mortalidad Mexicana 2000-I .................................. 13

2.1 Extrapolacin polinomial ............................................................................................. 14

2.2 Modelo de Gompertz .................................................................................................... 17

2.3 Modelo de Makeham .................................................................................................... 21

2.4 Modelo de Heligman & Pollard ................................................................................... 24

2.5 Modelo de Coale-Kisker ............................................................................................... 29

2.6 Modelo relacional de mortalidad ............................................................................... 35

2.6.1 Modelo Logit .......................................................................................................... 36

2.6.1.1 Tabla de mortalidad CNSF 2000-I. Un caso particular ............................ 39

Captulo 3 Aplicacin del Teorema del Valor Extremo al clculo de la edad

mxima esperada de la Tabla de Mortalidad Mexicana CNSF 2000-I ............. 44

3.1 Teora de Extremos ....................................................................................................... 44

3.1.1 Distribucin Generalizada de Extremos (GEVD) .......................................... 45

3.1.2 Distribucin Generalizada de Pareto. (GPD) .................................................. 46

3.2 Especificaciones del modelo ........................................................................................ 47

3.2.1 Estimacin de parmetros .................................................................................. 49

3.2.1.1 Mxima verosimilitud ....................................................................................... 49

3.2.1.2 Mnimos cuadrados ........................................................................................... 51

Captulo 4 Importancia de la edad mxima en la Tabla de Mortalidad

Mexicana CNSF-2000-I ........................................................................................... 55

4.1 Importancia en aplicaciones actuariales ................................................................. 56

4.1.1 Anualidades Contingentes .................................................................................. 56

4.1.1.1 Plan de pensiones. Un caso particular de las anualidades ....................... 56

4.1.2 Seguros .................................................................................................................... 58

Conclusiones ............................................................................................................ 61

Anexos ...................................................................................................................... 66

Anexo A (Cdigos de anlisis) ................................................................................................... 66

A.1 Cdigo de extrapolacin polinomial en R ................................................................ 66

A.2 Comparacin de muestras mediante la prueba Cuantil-Cuantil ....................... 66

A.3 Prueba Kolmogorov-Smirnov ...................................................................................... 67

A.4 Desarrollo del modelo de Coale-Ksiker ..................................................................... 69


sus aplicaciones.

5

A.5 Simulaciones binomiales del modelo logit, para la estimacin de la curva que

describe la mortalidad mexicana 2000-I ................................................................ 70

Anexos B (Observaciones de la distribucin Pareto) ........................................................... 70

B.1 Distribucin Pareto generalizada .............................................................................. 70

B.1.1 Caractersticas para la distribucin del mximo ................................................... 71

B.1.2 Caractersticas para la distribucin del mnimo ..................................................... 71

B.1.3 Casos particulares ......................................................................................................... 72

B.1.3.1 Para el mximo .............................................................................................................. 72

B.1.3.2 Para el mnimo. ............................................................................................................... 72

B.2 Desarrollo de la igualdad para la estimacin de parmetros del modelo

construido a partir de la teora de extremo (GPD) ............................................... 72

B.3 Simulacin de la curva de mortalidad cuando el umbral es de 85 aos .......... 73

Anexos C (Metodologas de clculo) ........................................................................................ 74

C.1 Ajuste de parmetros del modelo de Gompertz .................................................... 74

C.2 Ajuste de parmetros del modelo de Makeham .................................................... 76

C.3 Ajuste de parmetros del modelo de Heligman & Pollard ................................... 77

C.4 Ajuste de parmetros del modelo de logit............................................................... 79

C.5 Ajuste de parmetros de la teora de extremos .................................................... 81

Anexos D (Tabla de mortalidad mexicana 2000-I, ajustada por diferentes

metodologas) ................................................................................................................ 83

Anexos D.1 Muestra de mortalidad mexicana CNSF-2000-I. Datos base ..................... 84

Anexos D.2 Tabla de mortalidad mexicana ajustada mediante el modelo de

extrapolacin polinomial ............................................................................................. 85


Gompertz ........................................................................................................................ 86


Makeham ........................................................................................................................ 87

Anexos D.5 Tabla de mortalidad mexicana ajustada mediante el modelo de Heligman

& Pollard .......................................................................................................................... 88

Anexos D.6 Tabla de mortalidad mexicana ajustada mediante el modelo de Coale

Kisker. ............................................................................................................................... 89

Anexos D.7 Tabla de mortalidad mexicana ajustada mediante el modelo de Logit. .. 90

Anexos D.8 Tabla de mortalidad mexicana ajustada mediante el modelo de CNSF. .. 91

Anexos D.9 Tabla de mortalidad mexicana ajustada mediante el modelo de Valores

extremos. ........................................................................................................................ 92


sus aplicaciones.

6

Anexos D.10 Tabla de mortalidad mexicana ajustada mediante el modelo de Valores

extremos. ........................................................................................................................ 93

Glosario .................................................................................................................... 94

Bibliografa ............................................................................................................... 95

Referencias .............................................................................................................. 97

Pginas web ............................................................................................................. 97


sus aplicaciones.

7

Captulo 1

Conceptos bsicos

La herramienta estadstica por excelencia para el anlisis de la supervivencia, evolucin del

volumen y estructura demogrfica de una poblacin es la tabla de mortalidad.

Las tablas de mortalidad son un instrumento que permite realizar anlisis temporales y

comparaciones especiales sobre la incidencia de algn fenmeno con independencia de la

estructura por edad de las poblaciones estudiadas (INE, 2011). Una tabla de mortalidad

contiene una descripcin de las caractersticas ms importantes de la poblacin de un pas o

de una ciudad. stas deben cumplir las siguientes caractersticas:

1. Las tasas de fallecimiento deben ser positivas y encontrarse en el intervalo [0,1], es

decir son probabilidades.

2. Las probabilidades de ocurrencia de siniestro, en este caso el fallecimiento deben ser

crecientes; pues se considerar que a mayor edad, mayor es la probabilidad de

fallecer.

3. Se pueden construir a partir de Censos o Informacin Estadstica de Aseguradoras (en

Mxico).

La construccin de una tabla de mortalidad se puede hacer a partir de dos tipos de anlisis de

la supervivencia de una poblacin, los cuales son:

1. Anlisis longitudinal (Tablas de generacin). Suponen seguir la evolucin a lo largo de

la existencia de la cohorte para conocer cmo se comporta la mortalidad hasta llegar a

la extincin de la misma, es decir la probabilidad de fallecimiento en ese momento ser

uno.

Figura 1.1 Anlisis longitudinal para la construccin de tablas de mortalidad.

5

aos

4

aos

3

aos

2

aos

1

ao

Nac. 50 51 52 53 54 55 56

Fuente: Elaboracin propia.

La eficiencia de estas tablas es muy limitada debido a que el anlisis es extenso; sin

embargo, es bueno realizar este tipo de anlisis si el propsito es observar las

transformaciones en salud.

2. Anlisis transversal (Tablas de momento). Este modelo relaciona la mortalidad en un

corto perodo de tiempo (generalmente toma entre uno y cuatro aos, como mximo),


sus aplicaciones.

8

como una generacin ficticia dada por la poblacin existente en el momento al que

estn referidos los fallecimientos. La ventaja resulta de inmediato debido a que la

construccin de las tablas sigue el mismo proceso que el anlisis anterior, slo que

ahora la disponibilidad de datos es mayor. Este anlisis permite observar el cambio de

la mortalidad de un periodo a otro y es particularmente til cuando se examinan

cambios bruscos.

Figura 1.2 Anlisis transversal para la construccin de tablas de mortalidad.

5

aos

4

aos

3

aos

2

aos

1

ao

Nac. 50 51 52 53 54 55 56


A partir de lo anterior se puede encontrar el anlisis de patrones de edades avanzadas dividido

en 3 representaciones, las cuales son:

1. Leyes de mortalidad. Son funciones algebraicas que representan ndices de mortalidad

en funcin de la edad que tiene el individuo (anlisis transversal). Por mencionar

algunas de ellas se tienen la ley de Gompertz, de Makeham y de Heligman-Pollard.

2. Modelos de tablas de mortalidad. Son tablas que resumen las observaciones de varias

poblaciones a travs del establecimiento de patrones de mortalidad, todos ellos

relacionados con la esperanza de vida al nacer, a diferencia de las anteriores que estn

en funcin de la edad del individuo (anlisis longitudinal).

3. Modelo relacional. Este modelo relaciona los 2 anteriores (anlisis transversal y

longitudinal). Debido a que las tablas de mortalidad son un pilar fundamental en la

ciencia actuarial, a lo largo de la historia se han intentado dar formas analticas para

describir las funciones de mortalidad. Las principales razones para postular las formas

analticas son las siguientes:

a. Filosfica. Debido a que muchos fenmenos pueden explicarse eficientemente

mediante frmulas sencillas usando argumentos sociales, biolgicos, etc.

b. Prctica. Es ms sencillo comunicar la idea de una funcin que tiene pocos

parmetros y no con una tabla que consta de 100 observaciones.

c. Facilidad de estimacin. Resulta atractivo poder obtener ms informacin de

mortalidad con pocos parmetros, que la necesidad de conocer la informacin

completa.


sus aplicaciones.

9

1.1 Notacin Para que una tabla de mortalidad sea til es recomendable conocer la notacin que se

presenta en la construccin de la misma, por esta razn se explica la misma:

x: una persona con edad x.

X: Edad a la que un recin nacido fallece, que es una variable aleatoria continua.

f(x): Funcin de densidad de X, que puede ser obtenida como: f(x)=

( ) ( ).

F(x): Funcin de distribucin de X. Esta funcin representar la probabilidad de que un

recin nacido fallezca antes de alcanzar la edad x. Se puede expresar de la siguiente

forma: F(x) = P[ X > x ] para .

S(x): Funcin de supervivencia. Es la probabilidad de que un recin nacido sobreviva o

alcance la edad x. Es muy comn encontrar la funcin expresada como: S(x) = P[ X >

x ] = 1 - x ] = 1 - F(x) para .

Es la probabilidad de que un recin nacido fallezca entre las

edades x y y sabiendo que sobrevive a edad x. O bien es la probabilidad de que una

persona con edad x fallezca antes de alcanzar la edad x + y . Esta probabilidad

condicional puede ser expresada en trminos de la funcin de supervivencia y de

distribucin de la siguiente manera:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

Para y y .

(x): Fuerza de mortalidad. En trminos de la funcin de densidad y la funcin de

supervivencia, sta es la probabilidad condicional de un recin nacido de morir entre las

edades x y x , dado que ya sobrevivi a edad x , con x- , es decir:

( ) ( )

( )

( )

( )

Por propiedades de f(x) y F(x), (x) es positiva.

dx : Nmero de muertes entre las edad x y x+1.

Ex : Nmero de expuestos al riesgo entre las edad x y x+1. En la prctica, Ex se toma a

mitad del ao en cuyo caso es el nmero de sobrevivientes a edad x+

.

lx : Nmero de sobrevivientes a edad x.

qx =

: Probabilidad de muerte entre las edades x y x+1 y puede ser expresada como:

qx = 1- ( )


sus aplicaciones.

10

q x-i : Ser la probabilidad estimada de muerte entre edades x y x+1, por la

metodologa i.

mx =

: ndice de mortalidad central en el intervalo (x, x+1). Una manera til de

reexpresar dicha informacin, es considerando que los sobrevivientes a edad x+

, son

las personas que viven a edad x menos las que mueren a edad x+

, es decir, Ex = lx

. Para el desarrollo de la presente investigacin, se puede deducir entonces una

relacin:

mx =

De lo anterior se llega a que:

qx =

1.1

N: Edad umbral. Es la edad a partir de la cual resulta ms adecuada la aplicacin de

algn algoritmo de aproximacin para determinar la edad mxima en la que una tabla

de mortalidad debiera terminar.

w: Edad mxima estimada. A partir de este momento qx = 1 con .

V i = (1+k)r : Valor Presente. Valor de una unidad monetaria en el momento de

valuacin. con k la tasa de inters anual, r el nmero de periodos anuales.

Anualidad vitalicia vencida. Pagos que se realizan al final del ao, se efectan mientras el individuo sobreviva. Para una unidad monetaria se calcula como:

Anualidad vitalicia anticipada. Pagos realizados al inicio del ao y se efectuarn mientras el individuo sobreviva. Para una unidad monetaria se calcula como:

Anualidad temporal n-aos Vencida. Pagos realizados al final del ao, acordados por un periodo de n aos (donde -x) aos , con w la edad mxima

estimada de fallecimiento (es decir para todo , qx = 1) y x la edad actual del

individuo). Para una unidad monetaria se calcula como:


sus aplicaciones.

11

Anualidad Temporal n-aos Anticipada. Son pagos realizados al inicio del ao, acordados por un periodo de n aos (donde 0 -x-1) aos y w la edad

mxima estimada de fallecimiento (es decir para todo , qx = 1) con x la edad

actual del individuo). Para una unidad monetaria se calcula como:

Anualidad anticipada temporal n-aos diferida k-aos. Se comporta como una anualidad anticipada temporal a n-aos con la diferencia de que se inician los pagos

con un desplazamiento k-aos respecto a la edad x . Se calcula como:

Anualidad vencida temporal n-aos diferida k-aos. Es una anualidad vencida temporal n-aos con la diferencia de que son acordadas con un desplazamiento k-

aos de pago respecto a la edad x , se obtiene como:

Ax : Seguro vitalicio. Es el costo de un seguro que paga una unidad monetaria en el

momento de fallecer a una persona de edad x de manera vitalicia. Puede ser calculado

como:

Ax:n Seguro temporal n-aos. Es el costo de un seguro que paga una unidad monetaria

en el momento de fallecer a una persona de edad x durante n-aos y es calculado

como:

PNU: Prima nica. Se entiende como prima nica, el monto que debe pagar el

asegurado en una nica exhibicin por el seguro que adquiri.


sus aplicaciones.

12

PNN: Prima Neta Nivelada. Se entiende como prima neta nivelada, el monto que debe

pagar el asegurado en un nmero k de exhibiciones (pactado al inicio del contrato) por

el seguro que adquiri.

1.2 Datos utilizados para los ajustes realizados

Los datos con los cuales se trabaj en esta investigacin corresponden a lo utilizado por

Gutirrez-Pea E:

durante el perodo 1982 a 1989.

Son datos que las compaas de seguros reportaron a la Comisin Nacional de

Seguros y Fianzas1 durante ese periodo y que sirvieron de base para construir las

tablas de mortalidad que estuvieron vigentes en Mxico hasta 1999 (para

Seguro de Vida Individual). Los datos estn agregados, es decir, para cada edad

tanto el nmero de expuestos como el de siniestros corresponde a la suma de las

cifras de los ocho aos.2

Estos datos fueron consolidados en una base de datos que pas una revisin, exploracin y

validacin para ser utilizados en la construccin de las tablas de mortalidad 2000-I que se

publicaron por la Comisin Nacional de Seguros y Fianzas (CNSF3).

Esta muestra es representativa de la poblacin mexicana asegurada debido a lo anterior no

hay que perder de vista que no incluye aquellos sectores de la poblacin mexicana sin

capacidad econmica para contratar un seguro, en caso que se deseara utilizar para otros

propsitos fuera del sector asegurador, habra que tener una nueva muestra representativa de

dicha poblacin.

1 De aqu en adelante se escribir CNSF, para hacer referencia a la Comisin Nacional de Seguros y Fianzas. 2 La muestra de mortalidad mexicana para 2000-I. 3 Tabla de mortalidad mexicana 2000-I, ajustada mediante el modelo logit publicada por la CNSF.


sus aplicaciones.

13

-

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0 20 40 60 80Edad en aos

Captulo 2

Antecedentes histricos para la estimacin de la edad

mxima alcanzada, aplicados en la Mortalidad Mexicana

2000-I

En 1662, John Graunt, public la primera tabla de mortalidad (que describa la poblacin de

Figura 2.1 Mortalidad de Londres en 1662 segn John Graunt.


Los registros de mortalidad a los que tuvo acceso John Graunt indicaban la causa de muerte y

sexo de los individuos pero no su edad; a pesar de esto, la tabla se construy presentando

edades y nmero de individuos por cada una de ellas, provocando as desconfianza en los

datos mostrados.

Sin embargo, algunos investigadores creen que las hiptesis que us Graunt para lograr esta

tabla de mortalidad fueron:

Para establecer el nmero de muertes de individuos entre cero y seis aos de edad

contabiliz los fallecimientos cuya causa de muerte se debiera a enfermedades

tpicamente infantiles y agreg la mitad de fallecimientos de viruela y sarampin

considerando que estas enfermedades las sufran tanto nios como adultos.

Para establecer el nmero de muertes de individuos entre los 6 y los 76 aos de edad

realiz una extrapolacin asumiendo = 0.047 siguiendo una ley exponencial, as que

la funcin de supervivencia que refleja esta hiptesis, qued expresada de la siguiente

manera:

( )4

Ningn individuo permanece con vida despus de los 76 aos de edad.

Por esta razn Graunt fue considerado el primer demgrafo de la historia.

4 Recordemos que la ley exponencial est dada por donde es el incremento de tiempo.

X l_x

0 100

6 64

16 40

26 25

36 16

46 10

56 6

66 3

76 1


sus aplicaciones.

14

primera tabla de mortalidad desarrollada de una manera lgica,

la tabla de mortalidad de Halley, se public en 1693 y est basada

en los registros de muerte y de nacimiento de la ciudad de Breslau

durante los aos de 1687 a 1691. Para la preparacin de esta tabla

se asumi que la poblacin de Breslau haba permanecido estable

(por ejemplo, que el nmero completo de la poblacin al igual que la

edad y el gnero no cambiaban en muchas dcadas) y esta

suposicin no era del todo correcta, por lo tanto, la tabla de

Despus de esta publicacin, le siguieron un gran nmero de tablas de mortalidad por

ejemplo:

primera vez una frmula

matemtica a una tabla emprica. La tabla fue la de Halley y la

frmula ajustada fue:

1999).

Durante los primeros aos despus de estos anlisis, slo se registraba el desarrollo para

pases europeos; sin embargo, a lo largo de la historia este proceso se fue ampliando para las

dems ciudades del mundo. Actualmente con el desarrollo de la tecnologa las tablas de

mortalidad son de fcil acceso para casi todos los pases del mundo y no solo eso, tambin

existe la posibilidad que puedan ser presentadas por continente.

2.1 Extrapolacin polinomial5

Son muchas las situaciones y los casos en que se considera adecuado hablar de extrapolacin,

debido a que este mtodo slo necesita de una serie de datos o resultados experimentales, de

las que slo se conoce una cantidad finita y para las que se necesita encontrar una Ley

General que aplique al fenmeno bajo estudio, a la que se le llamar funcin.

La funcin buscada debe tener caractersticas que permitan trabajar fcilmente con los datos

que forman la muestra, y finalmente sta ayudar a interpretar y predecir de mejor manera el

comportamiento de los mismos.

Un caso particular en el que se puede desarrollar un proceso de extrapolacin, es

precisamente el ajuste de la tabla de mortalidad, debido a que la informacin que se tiene es

sesgada y por esta razn, al aplicar la metodologa se encontrar un modelo que describa de

manera clara la muestra.

Al concluir el proceso automticamente se asigna una funcin, la cual nos conducir a

encontrar la edad mxima estimada en que la tabla de mortalidad debiera concluir, que es el

objetivo principal de este trabajo.

5 Len Vsquez R., Conztanzo J. (2006). Splines Cbicos. (Valparaso). Forsythe, G. E., Malcolm, M. A. and Moler, C. B. (1977) Computer Methods for Mathematical Computations.


sus aplicaciones.

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A pesar de que la interpolacin con polinomios es una gran herramienta terica en Anlisis

Numrico, este mtodo presenta una desventaja de suma importancia, pues cuando se tiene

una muestra grande de datos a interpolar, el polinomio generalmente tiene un exponente de

grado alto y suelen aparecer un gran nmero de oscilaciones a lo largo de la curva.

Por esta razn la estrategia que generalmente se utiliza para mitigar este tipo de errores es

interpolar con polinomios de grado bajo entre datos que son consecutivos y as formar una

funcin general a trozos, formada por todo este conjunto de polinomios.

La idea general para realizar un ajuste a los datos de una tabla de mortalidad o a cualquier

funcin es la siguiente:

Resulta ms conveniente partir los datos en subintervalos, a los cuales se les

ajustar un polinomio de grado k o menor (el objetivo es que sea el de menor

grado posible) y al finalizar la tarea se realizar la unin de estos ajustes, es

decir, la unin de los polinomios obtenidos; teniendo presente la suavizacin de

nodos, por tal motivo la funcin debe ser diferenciable k-1 veces en cada uno de

los nodos, tal que se pueda tener la certeza de que la funcin que describir el

modelo es continua en los nodos interiores, y as se pueda agregar cada uno de

los intervalos ajustados por un polinomio de grado bajo.

Existen 4 clasificaciones para las Extrapolaciones cbicas, las cuales son:

1. No nodo. Esta clasificacin se obtiene con la condicin de que los 2 primeros y ltimos

polinomios sean iguales.

2. Completo. Este Spline resulta de conocer el valor de la primera derivada en los

extremos.

3. Natural. Se conoce la segunda derivada de ambos extremos, en caso contrario se

asume que ambas son iguales a cero.

4. Caso particular del Natural. Se obtienen calculando la segunda derivada en los

extremos, mediante la interpolacin de los nodos ms cercanos.

Por lo atractivo que resulta el modelo se calcul con los datos base de la tabla de mortalidad

mexicana 2000-I6, tal como lo aplicaron Panjer y Russo y Panjer y Tan, con la experiencia de

mortalidad individual canadiense en 1992 y 1995, respectivamente.

Para aplicar este modelo, se utiliz el lenguaje de programacin7

funcin de extrapolacin cbica que permiti realizar el ajuste deseado, sin necesidad de

desarrollar un programa de clculo complicado8.

Realizando un comparativo entre los datos originales y el modelo ajustado mediante la

extrapolacin polinomial resulta la Figura 2.2.1.

6 Tabla de mortalidad mexicana 2000-I ajustada mediante el mtodo de extrapolacin polinomial. Anexo D2 7 El lenguaje de programacin es gratuito. Se puede obtener de la pgina http://cran.r-project.org. 8 El cdigo que modela el mtodo de extrapolacin polinomial se encuentra en el Anexo A1


sus aplicaciones.

16

Figura 2.2.1 Mtodo de extrapolacin polinomial aplicado a los datos base de

mortalidad mexicana 2000-I.

La curva estimada de mortalidad conduce a concluir que la edad mxima esperada para la

poblacin mexicana es de 142 aos, es decir, a partir de este momento qx = 1.

As se logr hacer una estimacin para la edad mxima alcanzada de la poblacin mexicana,

es decir, ha cubierto el propsito bsico de esta investigacin, a pesar de esto, como

especialistas del tema se sabe que siempre que se realice un ajuste estadstico de un conjunto

de datos, ser importante realizar alguna prueba que permita decidir si el conjunto de datos

se ajusta apropiadamente a la funcin que se propone, esta prueba es conocida como Prueba

de Bondad de Ajuste.

Una forma de contrastar los datos del ajuste fue un grfico cuantil a cuantil9 para analizar si

adecuado para describir la mortalidad mexicana 2000-I (Figura 2.2.2).

Figura 2.2.2 Cuantil-Cuantil extrapolacin polinomial vs observaciones aplicado a

la mortalidad mexicana 2000-I.


9 Si se desea obtener ms informacin de un grfico cuantil a cuantil ver el Anexo A.2


sus aplicaciones.

17

Este anlisis permiti concluir que la estimacin de la curva mediante la extrapolacin

polinomial no es la ms adecuada para edades avanzadas, debido a la gran variabilidad que

existe entre los datos reales y la curva estimada, sobre todo en la cola de la curva de

mortalidad que es el objetivo principal de la investigacin; sin embargo, al ser un grfico y el

anlisis un poco subjetivo, se busc una prueba ms consistente, que definira si el modelo

propuesto es adecuado.

Para realizar un anlisis ms consistente se utiliz la prueba de Kolmogorov-Smirnov10, la cual

arroj el siguiente resultado:

- -

Por lo tanto, esta prueba rechaza la idea de que ( ) queda descrita adecuadamente por ( ) es decir, qx no queda descrita adecuadamente por qx-extrapolacin, debido a que:

D < 0.2067

p-value > 0.83811

Por esta razn no puede ser la solucin ms adecuada ante el problema de la edad mxima

estimada de la poblacin.

A pesar de la existencia de mexicanos con edades muy avanzadas, stos representan casos

excepcionales y no debieran tener mucho peso al estimar la de edad mxima para la tabla de


Finalmente el modelo de extrapolacin polinomial ha mostrado una de sus limitantes, a pesar

de haberse realizado un ajuste matemtico importante, ya que logr la estimacin de la edad

mxima suavizando la curva que describe la mortalidad mexicana, no cubri las caractersticas

que se presentan en la vida diaria, ya que imposible imaginar personas de 142 aos debido a

que no se tiene conocimiento de individuos que hayan sobrevivido ms de 124 aos.

Esto significa que aunque la extrapolacin cbica es un mtodo eficaz en algunas situaciones,

tambin puede tener carencias en otros mbitos, lo que invita a no slo realizar ajustes

matemticos, sino ejecutar anlisis de los resultados

2.2 Modelo de Gompertz12

Un modelo que resulta interesante analizar dentro del mbito actuarial en el tema de tablas

de mortalidad es el modelo de Gompertz ste es un modelo demogrfico publicado en 1825

por Benjamin Gompertz, el cual supone que cada individuo presenta una resistencia

10 Si se desea conoce ms acerca del desarrollo de la prueba de Kolmogorov-Smirnov dirigirse al Anexo A3. Siempre que se hable en la presente investigacin de la prueba Kolmogorov-Smirnov, se dar por entendido que se trabaj en

la paquetera R. 11 Si se desea saber la justificacin de los valore para D y p-value ver el Anexo A.3 12 Gompertz, B. (1825). On the nature of the function expressive of the law of human mortality and on a new mode of determining life contingencies. Phil. Trans. Roy. Soc. (London). Ser. A. 115: 513-585.


sus aplicaciones.

18

decreciente a las enfermedades y a fallecer por causas naturales, es decir, conforme la edad

aumenta menor ser la resistencia que presenta el individuo, por lo que la fuerza de

mortalidad aumenta con la edad y su incremento relativo es constante. As la funcin de

densidad est dada por:

( ) ( )

( )( )

2.2.1

La funcin de distribucin est dada por:

( )

( )( )

La funcin de supervivencia est dada por:

( )

( )( )

Finalmente la fuerza de mortalidad13 est dada por:

(x) = BCx

Si C = 1 en la ley de Gompertz, la fuerza de mortalidad es constante.

Para realizar la estimacin de los parmetros que describen la tabla de mortalidad mexicana

2000-I mediante el modelo de Gompertz se utiliz la tcnica de mnimos cuadrados con

apoyo de una hoja electrnica de clculo (Excel)14 .

Al terminar el proceso de minimizacin se encuentran los parmetros que ajustan el modelo

de Gompertz. Para el presente ajuste los resultados fueron:

B = 0.000173

C = 1.067372

Lo cual resulta consistente si se compara con las condiciones que debe cumplir cada uno de

los parmetros.

Con el resultado obtenido se realiz un grfico que permitiera realizar una comparacin de

los datos observados contra los datos estimados por el modelo de Gompertz, usando la

funcin de la fuerza de mortalidad para poder analizar la consistencia que exista entre ellos,

13 Siendo esta un caso particular de la ley de Makeham ((x) = A+ BCx) con A=0 .Ver Modelo de Makeham, pg. 14 Si se desea ver el clculo realizado ir al Anexo C.1


sus aplicaciones.

19

y verificar visualmente que realmente los parmetros obtenidos corresponden al objetivo

inicial del ajuste.

Figura 2.3.1 Ajuste de parmetros estimados para mx para el modelo de Gompertz

de los datos base de la poblacin mexicana 2000-I.

Al observar que la curva generada poda describir a las observaciones, se realiz entonces el

clculo de qx que puede ser reexpresado como qx15 =

.

Es importante destacar que se tiene una aproximacin de (x) mx, por lo tanto, de la

ecuacin anterior se puede obtener mediante un despeje algebraico un ajuste a la tabla de

moralidad mexicana, el cual queda descrito por la ecuacin:

Debido a que son conocidos los parmetros B y C, se calcula entonces cada probabilidad de

fallecimiento (qx) como:

( )( )

( )( )

Con x Con el resultado anterior se construy la curva de mortalidad que se

puede observar en la figura 2.3.2.

15 Si se tiene desea verificar la igualdad ir al apartado 1.1


sus aplicaciones.

20

Figura 2.3.2 Modelo de Gompertz aplicado a los datos base de mortalidad mexicana

2000-I.


El modelo que propone Gompertz result interesante debido a que encuentra la edad mxima

(a partir de este momento la qx = 1) para la muestra de mortalidad mexicana 2000-I, la curva

que describe la mortalidad estimada adems, es una curva suave que describe la mortalidad

sin cambios inesperados16.

Sin embargo, antes de aceptar esta prueba como la ms adecuada para describir la mortalidad

mexicana 2000-I, es necesario realizar un anlisis de consistencia de la curva estimada con las

observaciones. Por esta razn se realiz una prueba cuantil a cuantil que logr mostrar ms a

detalle la similitud y las diferencias entre la curva estimada y los datos observados.

Figura 2.3.3 Cuantil-Cuantil modelo de Gompertz vs observaciones aplicado a la


.

16 Tabla de mortalidad mexicana 2000-I ajustada mediante el mtodo de Gompertz, Anexo D.3


sus aplicaciones.

21

Aunque la curva de mortalidad ajustada presenta suavizacin en su estructura, es creciente y

los parmetros ajustados a la curva de fuerza de mortalidad resultan atractivos para edades

tempranas, al realizar el anlisis cuantil a cuantil la curva ajustada a la mortalidad present

mayor variabilidad a edades ms avanzadas, por esta razn se puede concluir que no es el

ajuste ms adecuado para dar solucin al objetivo principal. Sin embargo; para analizar la

consistencia que tiene los parmetros estimados con las observaciones se tener una base ms

slida que permita tomar la decisin de aceptacin o rechazo se realiz la prueba de

-

-

Por lo tanto, esta prueba rechaza la idea de que qx queda descrita adecuadamente por qx-

modelo_de_Gompertz, Adems en este modelo se puede observar que carece de coherencia con la

realidad, debido a que no es factible pensar en personas de 144 aos, debido a que se puede

asegurar que nadie conoce una persona que haya sobrevivido a esta edad.

Por todas las razones anteriores el modelo de Gompartz se rechaza como una solucin para

encontrar la edad mxima de la curva de la tabla de mortalidad Mexicana 2000-I.

2.3 Modelo de Makeham 17

Cuarenta y dos aos despus de la construccin del modelo de Gompertz, William Makeham

cre un modelo demogrfico con el propsito de hacer una mejora a la ley de Gompertz. El

modelo de Makeham es preferentemente utilizado para edades adultas seniles, y tiene las

siguientes restricciones: - y . Las funciones que describen el modelo

son:

La funcin de densidad:

( ) ( )

( )( )

La funcin de distribucin est dada por:

( )

( )( )

La funcin de supervivencia est dada por:

( )

( )( )

17 Norstrm F.(1997). The Gompertz-Makeham distribution. Ume University (London).


sus aplicaciones.

22

Finalmente la fuerza de mortalidad est dada por:

(x) = A + BCx

sta funcin se integra por dos componentes, los cuales representan:

A es el parmetro asociado al efecto de las causas de muerte independientes de la

edad, por ejemplo, las epidemias, las guerras, eventos naturales, etc.

B es un parmetro que es independiente a la edad del individuo, debido a que

considera el deterioro natural de la gente en el tiempo.

C es un parmetro que al combinarse con la edad, representara la resistencia que

tiene el individuo a fallecer.

Debido a que se conoce la funcin de distribucin se ajustaron los parmetros para describir

la mortalidad mexicana 2000-I mediante el modelo de Makeham y de esta manera encontrar

la edad mxima esperada.

El modelo se ajust por mnimos cuadrados en una hoja de clculo (Excel)18. Con las

restricciones originales del modelo. Finalmente los parmetros que describen la curva de

mortalidad de manera ptima, los cuales estn dados por:

A = 0.000175228

B = 0.0001152283

C = 1.072372478

Al obtener el ajuste de los parmetros se continu con la bsqueda de la edad mxima

alcanzada, sin embargo al intentar resolver el problema de manera analtica se observ que:

( )( )

Se busca entonces que la probabilidad de fallecimiento a edad x sea 1, es decir, debe ocurrir

que:

( )( )

Al intentar obtener el valor de x (que ser la edad mxima alcanzada), se observ que no es

posible calcular el logaritmo de cero. Este problema puede ser resuelto con lmites pero

desafortunadamente el valor encontrado hace de la edad mxima esperada un valor que

tiende a infinito.

18 Si se desea ver el clculo realizado ir al Anexo C.2


sus aplicaciones.

23

Sin embargo no es posible pensar en infinito como una solucin a la curva de mortalidad

mexicana 2000-I, debido a que todas las personas conocen que morirn en algn momento y

justo el propsito de la presente investigacin es terminar de manera adecuada la curva de

mortalidad mexicana.

Se contemplaron entonces 5 decimales en el redondeo de qx, lo que condujo a concluir la

curva de mortalidad en edad 160 aos, aqu la probabilidad ajustada de fallecer (qx) es 1, es

decir, se encontr el momento donde debe terminar la curva que describe la mortalidad

mexicana 2000-I. En la figura 2.4.1 se puede observar el ajuste realizado mediante el modelo

de Makeham y los datos observados de mortalidad mexicana 2000-I.

Figura 2.4.1 Modelo de Makeham aplicado a los datos base de mortalidad

mexicana 2000-I19.

Fuente: Elaboracin propia

Al ser un ajuste parecido al de Gompertz, se encuentron similitudes importantes debido a que

la curva ajustada es una curva creciente y suavizada; sin embargo, al ser una curva asittica la

edad mxima variar de acuerdo a la eleccin de la persona que realice el ajuste porque l

ser el encargado de seleccionar la edad ms adecuada de acuerdo a las necesidades a las que

se enfrente.

Aun cuando se obtuvo ya un ajuste de parmetros y un resultado que parece resolver la

incgnita que propicia esta investigacin se procede a analizar la consistencia de estos

parmetros en el modelo que estn representando, mediante un ajuste cuantil a cuantil.

Como ocurre con el modelo de Gompertz para edades tempranas es un modelo que logra

describir adecuadamente los datos observados, en el grafico (figura 4.2.4) se puede observar

que los puntos ms parecidos a la recta identidad en estas edades, (se sabe que son a edades

tempranas, por ser una funcin creciente, es decir, a mayor edad mayor valor esperado de

mortalidad); sin embargo, a mayor edad mayor es la dispersin que existe entre los datos

provocando que el ajuste no sea atractivo y se obtenga un resultado contrario al buscado en

la presente investigacin.

19 La estimacin de mortalidad mexicana 2000-I mediante el modelo de Makeham se encuentran en el Anexo D.4


sus aplicaciones.

24

Figura 2.4.2 Cuantil-Cuantil modelo de Makeham vs observaciones aplicado a la


Fuente: Elaboracin propia

Finalmente para asegurar que el modelo no es lo suficientemente adecuado para describir la

mortalidad mexicana 2000-I se realiz tambin un ajuste de Kolmogorov-Smirnov.

-

A pesar de que el test muestra un valor menor que el establecido para D, se rechaza el

modelo de Makeham, al tener un p-value mayor a 0.05, lo que refleja la poca compatibilidad

del modelo propuesto con la muestra de mortalidad mexicana 2000-I, adems de proponer

como edad mxima 160 aos (aproximando a 5 decimales el resultado), debido a que en

Mxico la persona ms longeva de la que se tiene registro es de 125 aos (de la seora

Leandra Becerra Lumbreras que naci 31-Agosto-1887, en Tamaulipas Mxico).

Lo anterior provoca que se descarte la posibilidad de ser seleccionado como el ajuste ptimo

que describe la mortalidad mexicana 2000-I y a la edad mxima estimada, Por esta razn se

busc implementar otro modelo que logre ajustarse ms a las caractersticas buscadas.

2.4 Modelo de Heligman & Pollard20

Durante mucho tiempo se han elaborado trabajos para desarrollar funciones para predecir los

datos de mortalidad de una poblacin en edades avanzadas. Entre estos trabajos se

encuentra el realizado por Heligman y Pollard (1980), quienes crearon una funcin que se

adapta a los cocientes de mortalidad en poblaciones ayudando as a cumplir el objetivo. Un

punto que es importante resaltar es que todos los parmetros de dicha funcin son positivos

y slo se podrn aplicar para edades mayores a cero.

20 Graa Magalhes M., Coelho E., Miguel Bravo (2006). M. MORTALITY AND LONGEVITY PROJECTIONS FOR THE

OLDEST-OLD IN PORTUGAL. Statistics Portugal, University of vora.


sus aplicaciones.

25

Aunque Heligman y Pollar realizaron varias versiones de su funcin, es importante destacar

que todas ellas ofrecen una buena aproximacin a la mortalidad en todas las edades. Esta

funcin cumple con las caractersticas bsicas de una qx, es decir:

1. Toma valores entre cero y uno, ya que se trata de una funcin de probabilidad, es

decir qx

2. Es vlida para cualquier rango de edad en una tabla de mortalidad de la poblacin.

3. Es una funcin continua.

4. Todos los parmetros que conforman la ecuacin tienen una interpretacin ya sea

biolgica o demogrfica.

5. Tiene una flexibilidad que le permite ajustarse a una gran variedad de modelos de

mortalidad.

6. Tiene muy pocos parmetros, con respecto a la cantidad de variantes que considera y

el nmero de datos que se deben ajustar.

El desarrollo que realizaron Heligman y Pollard produjo algunas funciones que describen la

mortalidad, cada una de ellas se obtuvo de la bsqueda de mejorar a la funcin anterior.

Algunas de estas funciones son:

1. Primera Ley

a. Primera publicacin:

( )

( ) ( )

( )

La siguiente ecuacin es equivalente a la anterior (Debn , Montes, & Sala,

Graduacin de datos de Mortalidad, 8-11 Abril 2003):

b. Segunda publicacin:

( ) ( ) ( )

2. Segunda Ley (buscando mejorar el ajuste en edades seniles21):

( ) ( ) ( )

21 Edades mayores a 65 aos.


sus aplicaciones.

26

3. Tercera Ley :

( ) ( ) ( )

Esta funcin est compuesta por tres sumandos los cuales representan:

1. Primer sumando: Es una funcin exponencial decreciente. describe la mortalidad

para edades menores o iguales a un ao y muestra la capacidad del beb para ganar

inmunidad a las enfermedades y la forma en que se adapta a su entorno, por esta

razn se refleja una cada. A su vez se expresa con tres parmetros:

A q1 (0,1)

B q0

22

q0 q1

(q1,0.5) considerando

que q1< q0. En la

prctica toma valores

entre (0.01, 0.03)

C

(0,1)

2. Segundo sumando: La funcin en esta parte es muy similar a la lognormal, sta

y para el caso de las

mujeres, la mortalidad materna).

Esta joroba introduce una mortalidad adicional y aparecer como una curva que

distinguir a esta curva de mortalidad de otras curvas de mortalidad. La joroba se

encuentra entre los quince y treinta aos de edad, y est compuesta por tres

variables, las cuales se describen a continuacin:

D

(0,1)

E qx. qx

(0, )

F

(15,30]

22

Permanece sin cambios, en las condiciones ajenas a la variable B.


sus aplicaciones.

27

3.

G (0,1)

H (0,10)

x0

Valor de x0 tal que

qx0 = 0.5

- 23

( ) ( )

( )

Los parmetros de la funcin se aproximaron mediante la funcin Solver con el cdigo de

optimizacin Simplex LP, desarrollando la teora de mnimos cuadrados con ayuda de una hoja

de clculo (Excel).

23 La muestra de la tabla de mortalidad mexicana para 2000-I se encuentran en el Anexo D.1


sus aplicaciones.

28

Figura 2.5.1 Modelo de Heligman & Pollard aplicado a los datos base de mortalidad

mexicana 2000-I.


Mediante el modelo de Heligman y Pollard, se encoentr un ajuste suavizado24 as como la

edad mxima de la curva de mortalidad mexicana 2000-I, donde result que a partir de 117

aos qx = 1, adems respecto a los modelos anteriormente presentados es el modelo que

tiene una finalizacin ms aceptable, aun cuando es superado por un caso real.

Sin embargo, al tratarse de un modelo cuyo objetivo es el ajuste de la edad mxima

alcanzada, se analizar la significancia que tiene que la curva no se ajuste de manera

adecuada en la parte izquierda, adems del comportamiento como funcin asinttica en la

cola derecha de la curva as como la mayor variabilidad de los datos estimados con las

observaciones para edades avanzadas.

Figura 2.5.2 Cuantil-Cuantil modelo de Heligman & Pollard vs observaciones

aplicado a la mortalidad mexicana 2000-I.


El anlisis realizado fue una prueba de cuantil a cuantil el cual se muestra en la Figura 2.5.2,

sta prueba permiti decidir que la metodologa de Heligman & Pollar no es la mejor para

24 Tabla de mortalidad mexicana 2000-I ajustada por el mtodo de Heligman & Pollar se encuentra en el anexo D4


sus aplicaciones.

29

describir la mortalidad mexicana 2000-I. Adems muestra tambin la variabiliad tan grande

que tienen las observaciones de los datos estimados en edades de menores (en este caso de

uno a once aos).

Adems result interesante el anlisis de esta curva en todo el rango de edades debido a que

al contrario de los modelos trabajados anteriormente este ajuste tiene carencias desde

edades tempranas, es decir, tiene diferencias significativas para edades tempranas donde la

probabilidad de fallecimiento es pequea (menores de 12 aos) y edades avanzadas (75 aos

en adelante).

Tambin se realiz el test de Kolmogorov-Smirnov, se encontr lo siguiente:

Observados vs Heligman & Pollard

D = 0.31638

p-value = 0.838

Lo cual implica que la estimacin mediante el modelo de Heligman & Pollard queda

totalmente rechazada, al no cumplir la condicin de tener un valor de D < 0.20667 y un p-

value > 0.05, es imposible asegurar que la curva estimada describe de manera adecuada la

mortalidad observada en la poblacin mexicana 2000-I. Por este motivo se contina con la

aplicacin de modelos que logren describir la mortalidad mexicana ms precisa.

2.5 Modelo de Coale-Kisker25

El mtodo de Ansley Coale y Ellen Eliason Kisker, conocido como el mtodo de Coale-Kisker ha

sido implementado en varias ciudades desarrolladas del mundo, dando como resultado una

buena aproximacin del ndice de mortalidad. Este algoritmo fue desarrollado en 1989 por

Ansley Coale and Guang Guo y un ao ms tarde fue perfeccionado por Coale y Kisker.

Para aplicar este mtodo se tendrn como base los siguientes supuestos:

a) La ley de Gompertz supone que todos los individuos tienen una resistencia decreciente

a morir por causas naturales en funcin de la edad, es decir, la mortalidad crece en

forma constante conforme se incrementa la edad del individuo, y su crecimiento

relativo es constante. Este mtodo por el contrario supone que el crecimiento relativo

de la mortalidad no es constante.

b) El modelo original supone la edad de 85 aos como edad pivote, que es donde se

presentaba la mayor variabilidad de los datos utilizados por Coale-Kisker. Sin embargo,

en el caso de la base de los datos de la tabla de mortalidad mexicana es a partir de

eda x donde se observa mayor variacin e incremento en las tasas de mortalidad,

razn por la cual se modificar a 80 aos la hiptesis de Colae-Kisker.

25 Graca Magallanes, M., & Coelho, E. (2006). MORTALITY AND LONGEVITY PROJECTIONS FOR THE OLDEST-OLD IN PORTUGAL. Portugal, Portugal, Portugal.


sus aplicaciones.

30

c) El modelo original es aplicado a una muestra clasificada en hombres y mujeres: para

hombres asigna m110 = 1.0 y para mujeres m110 = 0.8, dado que supone que

dependiendo del gnero de la persona ser la probabilidad de fallecimiento que se le

debe asignar y debido al hecho de que hay muy pocos sobrevivientes a edades

superiores a 110 aos. Para el caso de la poblacin mexicana 2000-I el ndice se

homogeneizar a m105 = 1 debido a que no se tiene una tabla de mortalidad para

hombres y mujeres.

Se define k(x) como:

k(x) = k(x-1) R para 2.1

Con ( ) [

] y R una constante. Entonces se busca el valor de la constante R. Esto

se hace mediante el algoritmo recursivo, que propone la ecuacin 1.1, junto con la definicin

de k(x).

De lo anterior se obtienen que R26 es:

( ) ( ) ( )

(

) ( ) ( )

R = -0.004606359

Finamente se podrn encontrar todos los valores de k(x) de manera recursiva, a partir de la

ecuacin 2.1, como:

( )

Adems se conoce la igualdad 1.1, lo cual permite obtener el valor de qx, como:

( )

( )

2.2

Este resultado es particularmente importante debido a que las observaciones que se toman

como base para la presente investigacin generan el ndice de mortalidad central a edad x

(mx) a partir de la cual se aproximan la probabilidad de fallecimiento a edad x (qx), en este

26 El desarrollo del modelo elaborado por Coale-Kisker se encuentra en el Anexo A.4


sus aplicaciones.

31

caso se refleja el mismo efecto, que tiene el ndice de mortalidad central sobre la probabilidad

de fallecimiento.

La tabla de mortalidad mexicana 2000-I ajustada por el mtodo de Coale-Kisker, se presenta

en la Figura 2.6.127.

Figura 2.6.1 Modelo de Coale-Kisker aplicado a los datos base de mortalidad

mexicana 2000-I.


La conclusin anterior surgi a partir del supuesto mx = 1, cuando x = 105 aos, esto provoc

que la edad mxima alcanzada por la poblacin mexicana 2000-I sea de 109 aos.

A simple vista parece ser un ajuste mejor que cualquiera de aplicados anteriormente; sin

embargo, es importante realizar alguna prueba estadstica que permita dar sustento a este

modelo, por esta razn se realiz un anlisis de cuantil a cuantil, el cual se puede observar en

la Figura 2.6.2.

Figura 2.6.2 Cuantil-Cuantil modelo de Coale-Kisker vs observaciones aplicado a la



27 Tabla de mortalidad mexicana 2000-I ajustada mediante el modelo de Coale- Kisker, Anexo D6


sus aplicaciones.

32

El ajuste realizado con el modelo de Coale- Kisker presenta menor variabilidad con la recta

identidad que cualquiera de los ajustes anteriores es decir, hasta el momento es el modelo

que describe mejor la mortalidad mexicana 2000-I. Para realizar un anlisis con ms y

mejores bases se procedi tambin a realizar el tests de Kolmogorov-Smirnov, el cual mostro

los siguientes resultados:

Observados vs Coale & Kisker

D = 0.04391,

p-value = 0.8910

Esta prueba muestra un p-value ms atractivo por ser ms grande que 0.05, adems cumple

que (la distancia mxima entre las observaciones y la estimacin) D < 0.20667, por este

motivo no se rechaza el modelo de Coale-Kisker, es decir, se considera una posible para

modelo para describir a qx.

Antes de considerar que qx es descrita de manera adecuada por x-Coale-Kisker, se observ que la

curva que se genera que depende de la eleccin (subjetiva en ocasiones) de los siguientes

supuestos:

Primero el impacto que tiene el supuesto de la edad a la cual mx =1, pues el modelo de

Coale-Kisker en ocasiones se vuelve un modelo que alcanza un mximo antes de que

qx =1, lo anterior provocara no cumplir el objetivo deseado, es decir, no encontrar la

edad mxima estimada en caso de modificar algn supuesto.

La eleccin de la edad en que mx =1, es subjetiva debido a que no existe algn

supuesto que induzca a pensar alguna edad en particular que se adecuara como edad

optima del modelo.

La edad x a partir de la cual la mortalidad presenta mayor variabilidad, debido a que

ser esta la edad en la que se comience a realizar el ajuste de mortalidad.

Por las razones anteriores se procedi a realizar algunas pruebas, modificando la edad (x) en

la que mx = 1, y tambin la edad que se consider como la edad a partir de la cual comenzaba

a presentarse mayor variabilidad en las probabilidades de fallecimiento con el propsito de

observar la importancia de la eleccin de estos dos supuestos.

Las pruebas realizadas se observan en el Cuadro 1.1.1, cada una de ellas cuenta con los

supuestos de los cuales se parti para modelar la mortalidad mexicana 2000-I y as concluir

cual es la edad mxima estimada para la poblacin mexicana.


sus aplicaciones.

33

Cuadro 1.1.1 Pruebas realizadas con modificacin de supuestos aplicando el

modelo de Coale-Kisker.

Grficas Supuestos y Edad Mxima Estimada

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0 20 40 60 80 100 120 140

observaciones

Mtodo de Coale-Kisker

Supuestos:

x = 70 aos y mz = 1 cuando z = 112 aos.

Ecuacin que describe el modelo:

( ) ( ) ( )

Edad Mxima Estimada:

Mayor a 118 aos.

1

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0 20 40 60 80 100 120 140

observaciones


Supuestos:

x = 75 aos y mz =1 cuando z = 112 aos


( ) ( ) ( )


Mayor a 124 aos.

2

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0 20 40 60 80 100 120 140

observaciones


Supuestos:

x = 80 aos y mz = 1cuando z = 112 aos


( ) ( ) ( )


117 aos.

3

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0 20 40 60 80 100 120 140

observaciones


Supuestos:

x =85 aos y mz=1 cuando z= 112 aos


( ) ( ) ( )


Mayor a 114 aos.

4


sus aplicaciones.

34

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

0 20 40 60 80 100 120 140

observaciones


Supuestos:

x = 70 aos y mz =1 cuando z= 105 aos


( ) ( ) ( )


Mayor a 125 aos.

5

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0 20 40 60 80 100 120 140

observaciones


Supuestos:



( ) ( ) ( )


125 aos.

6

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 20 40 60 80 100 120 140

observaciones


Supuestos:



( ) ( ) ( )


Mayor a 118 aos.

7


Las modificaciones que se realizaron mostraron las siguientes variaciones:

No se alcanza en todas las curvas el momento en el que qx = 1(las curvas 1, 2, 4, 5 y

7), es decir, aun cuando la curva alcanza un mximo, este no toma el valor de uno, lo

que provoca que se fracase con el objetivo inicial de esta investigacin, ya que no se

logr estimar la edad mxima para la poblacin mexicana 2000-I.

A pesar de que se encuentra la edad mxima estimada en las curvas 3 y 6 el

momento a partir de la cual comienza un importante incremento en la variabilidad de

los datos observados es 80 aos y 75 aos respectivamente, adems la edad a la que

mx = 1, tambin resulto ser elegida de manera distinta 112 aos y 105 aos

respectivamente.

Se puede concluir entonces que los resultados que se obtienen dependern en gran medida de

la edad x a la que se le asigna mx = 1, as como de la edad a partir de la cual se considere que

existe mayor variabilidad en las observaciones, lo que produce que el modelo tenga carencias

complicadas de ajustar.


sus aplicaciones.

35

De las curvas generadas se seleccion la que se encuentra en la Figura 2.6.2 debido a que se

encontr una edad mxima para la tabla de mortalidad mexicana 2000-I ms aceptable de

manera intuitiva, con una curva suavizad;, sin embargo, las curvas 3 y 6 del Cuadro 1.1.1

tambin cubren las caractersticas anteriores.

Debido a lo anterior se realizaron algunas pruebas de Kolmogorov-Smirnov, que permitieron

seleccionar de manera ms adecuada la curva que describe mejor la mortalidad mexicana

2000-I. Dichas pruebas estn descritas en el Cuadro 1.1.2:

Cuadro 1.1.2 Contraste de pruebas Kolmogorov -Smirnov para edades mximas

estimadas de la poblacin mexicana 2000-I con el modelo de Coale-Kisker.

Edad Mxima Alcanzada D 1-P-Value

109 aos 0.1839 0.1054

117 aos 0.0795 0.9435

125 aos 0.1818 0.1090

La curva correspondiente a 109 aos sobresale de las otras dos curvas (117 aos y 125

aos) por tener un p-value ms alto, tener un valor de D bajo, adems de estimar una edad

mxima alcanzada ms intuitiva, debido a que finaliza la curva de mortalidad en los 109 aos.

Aun con la estimacin que result ms atractiva es importante continuar realizando

algoritmos de ajuste que permitan no slo la suavizacin de datos, sino encontrar el umbral

de stos (es decir la edad pivote a partir de la cual se comienza el anlisis de los datos para

determinar la edad mxima de la tabla de mortalidad), considerando el que sea ms adecuado

de acuerdo a la mortalidad mexicana 2000-I, debido a que este ajuste depende de ciertas

hiptesis que son manipulables a criterio del responsable de ajustar la curva de mortalidad.

2.6 Modelo relacional de mortalidad28

Christine L. Himes, Samuel H. Preston y Gretchen A. Condran (1994) analizaron la

informacin de 82 poblaciones que presentaban mortalidad baja y consideraron que la mejor

edades entre 45 y 99 aos. Es importante mencionar que cada una de las 82 poblaciones

examinadas, se busc que existiera coherencia entre el nmero de muertes registradas entre

un censo y otro y el nmero de personas vivas entre un censo y otro, de la misma cohorte.

El Modelo relacional construido asume que existe una relacin entre la edad y la fuerza de

mortalidad, que se denomina transformacin lineal de fuerza. Est mtodo presenta la

caracterstica de reducir el nmero de parmetros que lo conforman, lo cual lo vuelve

atractivo respecto a otros modelos.

28 -I y CNSF 2000- 000.


sus aplicaciones.

36

La construccin del modelo relacional no requiere una funcin en particular para que se

represente la relacin que existe entre la fuerza mortalidad y la edad, aunque la mayor parte

del tiempo se sigue la transformacin logit.

Se procede entonces a examinar detalladamente la fuerza de mortalidad, ms all de

examinar las probabilidades de fallecimiento o supervivencia. Para el anlisis de edades

mximas generalmente se procede a linealizar la relacin entre las tasas de mortalidad y la

edad (Himes, C., H. Preston, S., & A. Condran, G., 1994).

2.6.1 Modelo Logit29

La transformacin logit, se caracteriza por estar entre los modelos de probabilidad (tomando

valores en el intervalo (0,1)) no lineales y por ser una funcin continua en todo su dominio.

Para el modelo Logit es necesario partir de las siguientes hiptesis:

1.- Considerando bajo el supuesto de independencia y homogeneidad, que el nmero de

muertes dx puede ser modelado como una distribucin Binomial de probabilidad qx, es decir:

P [ dx | Ex qx ] = Binomial (Ex ,qx)

Cmo se analiza un conjunto de muestras, se tiene lo siguiente:

, n es el nmero de muestras que se tienen, es decir, el total de expuestos al

fallecer.

, n es el nmero de muestras que se tienen, es decir, el total de fallecimientos

o su equivalente

.

Lo anterior debido a que se tienen

expuestos al riesgo y la probabilidad que modelara

cada uno de los resultados esperados. De las probabilidades de ocurrencia de fallecimiento, se

.

2.-

a)

, en este caso qx = 1/2, lo cual significa que ambas alternativas tienen la

misma probabilidad de ocurrencia.

29 Medina Moral E., (2003), Modelos De Eleccin Discreta. Espaa.


sus aplicaciones.

37

b)

, para esta situacin se tiene que x < 1/2, de aqu se concluye que la

probabilidad de morir tiene menor probabilidad que la de sobrevivir en edad i.

c)

para esta situacin se tiene que 1> qx 1/2, de aqu se concluye que la

probabilidad de fallecer es mayor que la probabilidad de sobrevivir.

3.-

( ) [

]

La cual se puede expresar tambin como:

( ) [

]

4.- La transformacin inversa a la funcin logit, es la funcin antilogit, y es utilizada para

regresar los valores probabilsticos a su estado natural.

( )

( )

( )

2.6

Se resolvi el modelo de regresin logstica y se estimaron los parmetros utilizando una hoja

de clculo (Excel)30, desarrollando la teora de mnimos cuadrados se puedo obtenerlos sin

necesidad de procedimientos largos.

El valor de qx-modelo Logit, estar descrita por los parmetros:

= -11.670418

= 0.0991340

Es importante recordar que las probabilidades de fallecer entre edad 12 y 79 no sufrieron

modificaciones, en la Figura 2.7.1 se puede observar la curva generada, para la ecuacin 2.6.1.

Finalmente se ha encontrado un ajuste para la cola de la curva de mortalidad mexicana 2000-

I dando como resultado una qx = 1 para x = 172 aos, es decir se logr estimar la edad

mxima que alcanza la poblacin mexicana, que es el propsito original.

30 Si se desea ver el desarrollo dirigirse al Anexo C.4


sus aplicaciones.

38

Este mtodo aun cuando suaviza la curva de mortalidad mexicana 2000-I propone una edad

mxima muy elevada, lo que sugiere realizar una prueba de bondad de ajuste para decidir si el

modelo describe adecuadamente la realidad.

La prueba inicial que se decidi realizar fue una de cuantil a cuantil, este mtodo por la

construccin que presenta permite observar en la Figura 2.7.2 que ajusta de manera

adecuada los datos centrales; sin embargo, olvida el ajuste de los datos de la cola de la

distribucin, lo cual se descarta como apoyo al propsito de esta investigacin.31

Figura 2.7.1 Modelo logit aplicado a los datos base de mortalidad mexicana 2000-I.


Finalmente como se haba pensado antes de realizar la prueba cuantil a cuantil se puede

observar que las diferencias entre observaciones con los datos estimados por la regresin

logit para edades avanzadas es mayor, a pesar de que se ajusta ms que cualquiera de los

anlisis anteriores a edades ms tempranas, se descarta como un modelo ptimo para darle

solucin a encontrar la edad mxima alcanzada por la poblacin mexicana 2000-I, al proponer

que la edad mxima alcanzada por la poblacin mexicana es de 172 aos.

Figura 2.7.2 Cuantil-Cuantil regresin logit vs observaciones aplicado a la



31 Tabla de mortalidad mexicana 2000-I ajustada mediante el modelo logit,se encuentra en el Anexo D.7


sus aplicaciones.

39

2.6.1.1 Tabla de mortalidad CNSF 2000-I. Un caso particular 32

En Mxico gracias a la informacin del sector asegurador y la Comisin Nacional de Seguros y

Fianzas, se han elaborado y desarrollado algoritmos para la construccin de las tablas de

mortalidad mexicana.

Es importante mencionar que independientemente de la relevancia que tiene dentro del sector

actuarial, el problema de ajustar una tabla de mortalidad de cualquier pas o ciudad en el

mundo es esencialmente, un algoritmo estadstico.

Bsicamente el algoritmo realizado es el siguiente:

Bajo el supuesto de independencia y homogeneidad, establece que el nmero de

muertes dx puede ser modelado como una distribucin Binomial de probabilidad qx, es

decir:

P [ dx | Ex qx ] = Binomial (Ex ,qx)

Es decir, si se exponen Ex individuos al riesgo de fallecer, el propsito ser pronosticar d*x la

cantidad de fallecimientos o su equivalente

. El desarrollo de dicho mtodo para el

caso de Seguro de Vida individual es ajustar la muestra con un modelo de regresin logstica

dado por:

[

]

Donde x es la nica variable independiente del modelo. De lo anterior, se obtienen las modas

de las distribuciones finales de los parmetros en el modelo:

= -9.146130 (0.035469)

= 0.074355 (0.000700)

En la Figura 2.7.1 se muestra el ajuste logit con los parmetros estimados por la Comisin

Nacional de Seguros y Fianzas, que actualmente rigen a la tabla de mortalidad mexicana, que

concluyen en edad 100 aos.

El ajuste que emite la CNSF slo lo realiza hasta edad 99, debido a que se considera que nadie

rebasa edad 100 aos, es decir se define q100 =1. Sin embargo, al trazar el ajuste sugerido

para la muestra (Figura 2.7.3), encuentra que la curva alcanza una edad mxima para la

poblacin mexicana 2000-I muy elevada (195 aos), lo que lleva a pensar que este ajuste no

refleja las caractersticas de mortalidad de la poblacin mexicana de la manera ms adecuada.

Adems al estimar que la edad mxima alcanzada supera 125 aos, que es el registro de la

persona ms longeva en Mxico, se descarta como solucin al objetivo original de la presente

investigacin.

32 M Mendoza Ramrez, M., -I y CNSF 2000-


sus aplicaciones.

40

Figura 2.7.3 Modelo logit aplicado a los datos base de mortalidad mexicana 2000-I.

Parmetros estimados por la CNSF-2000-I33.


Lo importante del mtodo, es que permite realizar simulaciones estocsticas34, dando lugar a

resultados ms precisos. En el Cuadro 1.2 se muestran algunas de las simulaciones

realizadas35, los parmetros que ajustan y suavizan la curva que describe la mortalidad

mexicana CNSF-2000-I, as como la edad mxima estimada mediante este algoritmo.

Cuadro 1.2 Simulaciones estocsticas de la mortalidad mexicana 2000-I.

-

- -

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 50 100 150 200

Observaciones Regresin Logit

= -8.09932

= 0.05725

33 Tabla de mortalidad mexicana 2000-I ajustada mediante el Modelo logit por la CNSF se encuentra en el anexo D.8 34 Las simulaciones se explican ms detalladamente en el Anexo A.5 35 El cdigo que se utiliz para realizar las simulaciones de la poblacin se encuentra en el Anexo A.5


sus aplicaciones.

41

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 50 100 150 200


= -7.74952

= 0.05327

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 50 100 150 200


= -7.977851

= 0.05605

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 50 100 150 200


= -8.42973

= 0.06126

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 50 100 150 200


= -8.50556

= 0.06223

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 50 100 150 200


= -8.45179

= 0.0612661


sus aplicaciones.

42

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 50 100 150 200


= -8.24853

= 0.05926

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 50 100 150 200


= -8.01422

= 0.05631

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 50 100 150 200


= -7.92801

= 0.05556

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 50 100 150 200

0.00088 Regresin Logit

= -8.28336

= 0.05957

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 50 100 150 200

0.00088 Regresin Logit

= -8.502246

= 0.06228


sus aplicaciones.

43

Las simulaciones realizadas permitieron encontrar funciones que suavizan la curva que

describe la mortalidad mexicana; sin embargo, estas curvas son asintticas y que superan los

200 aos para la edad mxima estimada, por esta razn aun cuando no se realizaron pruebas

de bondad de ajuste se eliminaron como una estimacin optima de la mortalidad mexicana

2000-I.

Finalmente se realiz un anlisis cuantil a cuantil, el cual permite observar que a mayores

edades se incrementar la dispersin de los datos observados, con lo que se puede concluir

que no es la metodologa ms ptima para edades avanzadas, justo el objetivo de dicha

investigacin.

Figura 2.7.2 Cuantil-Cuantil regresin logit (CNSF) vs observaciones aplicado a la


La informacin en el extremo de la edad (de 90 y ms), tiene una dispersin muy importante

debida a la falta de informacin (asegurados en esas edades), lo cual hace que las

extrapolaciones a la derecha de esas edades de baja calidad, incluso el hacer uso de las

estadsticas de INEGI o de CONAPO en las que se maneja toda la poblacin y consideran

muchos ms casos en estas edades extremas, existen tambin, edades para las que la

variacin entre una edad y otra ser muy alta por los pocos elementos de la muestra en

dichas edades.


sus aplicaciones.

44

Captulo 3

Aplicacin del Teorema del Valor Extremo al clculo de la

edad mxima esperada de la Tabla de Mortalidad Mexicana

CNSF 2000-I

Siempre que se realiza un anlisis estadstico de datos, se tiene la inquietud de realizar un

ajuste de los mismos que ayuden a entender el comportamiento en general y as poder

trabajar con ellos, es decir, se busca crear un modelo que se asemeje a dicha informacin.

Desde el punto de vista estadstico, el problema de ajuste de la cola de una distribucin es un

problema de extrapolacin, debido a que se pretende encontrar un modelo paramtrico para

la cola del proceso que genera los datos y luego ajustar este modelo a las observaciones

extremas. La importancia del modelo depender de qu tambin describe el comportamiento

de la cola para la distribucin de los datos observado

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