Figura 11. Problema presentado a los de 14 años de edad (Mesquita, 1989, págs. 40, 68-69, 96).

Hay dos formas de ver la figura en la declaración del problema, pero sólo una muestra la respuestay da la razón (Figura 12).

Figura 12. Dos organizaciones figurativas.

De la organización figurativa (I) a la organización figurativa (II) hay un salto, que depende de losfactores visuales. La visión espontánea que se produce tiene un único eje de simetría(Organización I), mientras que la solución requiere que se dé mayor importancia a otros dos ejesde simetría (organización II). Ahora, pasar de (I) a (II) constituye un salto, que más de la mitad delos estudiantes no hacen. En realidad, para ser capaz de ver la figura como teniendo ejes desimetría OB y OC uno debe romper el elemento de la figura simple (Organización I) consistente enel segmento BC en dos segmentos (organización II). Y para que la mayoría de los estudiantesobtengan hasta el punto de vista de la organización (II) en la figura de enunciado, el planteamientodel problema tuvo que ser modificado para describir la división del segmento BC: “sea el punto deintersección de la AO y BC; compare BI y CI” (Pluvinage, 1990, pág. 27).

Estos pocos ejemplos dan una buena ilustración de la complejidad de las matemáticas en el uso defiguras y el carácter no natural para la mayoría de los estudiantes en el acto de ver en geometría.¿Cómo debería ser analizado? ¿Cómo debería ser introducido en los estudiantes? En cuanto aobservaciones que pueden hacerse en todos los dominios de la geometría, existen dos posicionesposibles.

La primera consiste en explicar las persistentes dificultades que los estudiantes encuentran conlas figuras así como la incomprensión de las matemáticas representadas.

Expresado de otra manera, sería la comprensión de propiedades matemáticas las que servirían deguía a la lectura y exploración de las figuras hacia la solución de un problema. Buena comprensiónconceptual debería llevar a ver en una figura lo que tiene que ser visto para encontrar allí loselementos para la solución de un problema.

La segunda posición consiste en considerar que las figuras surgen de un sistema de representaciónque es independiente de los enunciados de las propiedades matemáticas a las que se refieren. Esosignificaría que lo que uno ve en una figura depende de factores de organización visual: son estosfactores los que determinan la discriminación, que es el reconocimiento, de ciertas formas de una,dos y tres dimensiones en una figura y a excluir la discriminación de otras configuraciones posiblesy sub-figuras en la misma figura. Ahora “ver” en geometría frecuentemente requiere que unopueda reconocer a una u otra de estas otras posibles configuraciones y sub-configuraciones. Loque necesita ser reconocido en una figura original es una función del enunciado del problema, perosu “visibilidad”, es decir, el carácter más o menos espontáneo de su reconocimiento, depende delas operaciones visuales de reorganización. Hay muchos factores que pueden inhibir o favoreceresta discriminación de estas operaciones visuales. Ellas pueden estudiarse experimentalmente(Duval, 1995ª, 1998c; Rommevaux, 1998).

Otra observación hecha por Schoenfeld con estudiantes de más edad después de un semestre detrabajo en geometría muestra la independencia de figuras en relación al conocimiento conceptualy capacidades de demostración adquiridas.

Figura 13. La construcción del problema planteado por Schoenfeld.

La construcción de problema (Figura 13) fue propuesta a ellos. Los estudiantes pudieron resolverlosin mucha dificultad, pero procediendo totalmente empíricamente. Pero para ellos, no habíaabsolutamente ninguna relación con todas las propiedades matemáticas que sabían sobre el tema(Schoenfeld, 1986, pp. 243-244, 256).

Observe la diferencia entre este problema de construcción y el problema de la comparaciónanterior de longitudes (Figura 11). El éxito en la construcción de este problema sólo requieretomar en cuenta un eje de simetría, como en la organización (I) de la figura 11. Éxito en elproblema de la comparación requiere que uno reconozca los otros dos ejes de simetría, BO y CO,que están “ocultos” por la predominancia visual AO. EL reconocimiento visual no depende enprimer lugar del conocimiento conceptual de las propiedades.

Ahora sólo podemos mencionar el importante caso de la lengua en la geometría. Podemosobservar una gran diferencia entre un razonamiento deductivo válido utilizando teoremas y el usocomún de argumentos. Los dos son tratamientos absolutamente opuestos, aunque a un nivelsuperficial las formulaciones lingüísticas parecen ser muy similares. Un razonamiento deductivoválido se ejecuta como un cálculo de proposiciones verbales, mientras que el uso de argumentospara convencer a otras personas corre como la progresiva descripción de un conjunto decreencias, hechos y contradicciones. Los estudiantes sólo pueden entender lo que es unademostración cuando empiezan a diferenciar estos dos tipos de razonamiento en lenguaje natural.Con el fin de hacerlos llegar a este nivel, el uso de actividad de representación transicional, talescomo la construcción de gráficos proposicionales, es necesaria (Duval, 1991, 1995b, 1998b).

Esta primera fuente de dificultades es bien conocida. Da lugar a observaciones recurrentes, quelos profesores pueden hacer, no importa cuál sea su nivel de enseñanza. Además, es la razón deque en la enseñanza se tiende a marginar, en la medida de lo posible, el recurso a registrosmultifuncionales y permanecer dentro del monofuncional, donde los tratamientos pueden tomarla forma de algoritmos.

Sin embargo, el uso de la lengua natural no puede evitarse (Duval, 2000b, 2003) y surge lacuestión de la articulación con las representaciones producidas dentro los registrosmonofuncionales. Y eso requiere la conversión explícita o implícita de las representaciones.

3.2. Una segunda fuente de incomprensión: la conversión de representaciones o cambio deregistro.

A diferencia de la primera, el segundo tipo de dificultad raramente se ha notado como talporque apenas las dificultades de conversión aparecen son tomadas como un signo deincomprensión conceptual. Además, para poder ver realmente el tamaño de las dificultadesligadas a la conversión de las representaciones, uno debe establecer un mecanismo deobservación que le permita manifestarse, lo que supone el comienzo de que uno haadquirido conciencia de la diferencia entre el tratamiento y la conversión en un procesomatemático! En cualquier caso, este es el segundo tipo de dificultad que limitaconsiderablemente la capacidad de los estudiantes para utilizar los conocimientosadquiridos, así como su capacidad para adquirir nuevos conocimientos en matemáticas. Yque muy rápidamente lleva a un límite en el progreso de la comprensión y el aprendizaje demuchos estudiantes.Las insuperables dificultades surgidas por conversión pueden ser observadas para losdiferentes tipos de conversión, que es para cada par de registros a ser usados juntos (flecharecta en la Figura 1). Así, los obstáculos planteados por la simple “traducción” de lostérminos de un problema de texto en expresiones simbólicas también son bien conocidos.Es una brecha que muchos estudiantes sucesivamente no logran superar, cualquiera quesea el contenido matemático (aditivo o multiplicativo, operaciones sobre números relativos,enunciados a poner en ecuaciones, etc.). Esa es la razón por la cual la mayoría de lainvestigación se ha centrado en la transición de recurrir a representaciones auxiliares,aquellas espontáneamente desarrolladas por los alumnos o aquellas a introducir en la

enseñanza. En estudios anteriores (1988, 1996b), di evidencia de un gran fracaso enconvertir un gráfico cartesiano en la ecuación correspondiente. Y ese fracaso es bastanteindependiente de la comprensión del concepto de función. La figura 5 presenta un ejemplode la tarea de reconocimiento que se utilizó. Por lo que podemos incrementar lasobservaciones acerca de los problemas de conversión para cada tipo de conversión y entodos los ámbitos de la enseñanza de las matemáticas. Metodología para que no sólo serequiera que los estudiantes sean colocados en una situación de resolución de problemas oen una actividad de aplicación. Se requiere que a los estudiantes les sean dadas las tareasque sean variadas sistemáticamente no sólo como una función del registro original, sinotambién como una función interna de las variaciones dentro de cada registro. Puede verse,pues, que no es sólo una cuestión de centrarse en los errores, que pueden ser observadosdirectamente y que se repiten de un año a otro, sino que se debe profundizar más endificultades para ser capaz de analizar los problemas de comprensión de los estudiantes dematemáticas. Cuando usted hace eso se enfrenta a muy profundos y asombrososfenómenos acerca de la complejidad cognitiva de la conversión, en cualquier área de laeducación matemática. Cuando varía sistemáticamente una representación dentro de unafuente de registro convierte a la representación en la meta del registro, puede observarseuna variación sistemática de desempeños. Esto ocurre si el éxito o errores sistemáticosdependen de la distancia cognitiva entre la fuente de representación del contenido y elobjetivo del contenido de representación. En algunos casos, es como una correlación uno auno y la fuente de la representación es transparente para el objetivo de la representación.En estos casos, la conversión parece nada más que una codificación simple (Figura 3). Peroen otros casos, ya no se ejecuta en absoluto como eso (Figura 4). En otras palabras, entreuna fuente de representación y su representación convertida en una meta de registro,existe congruencia o no congruencia. Y un análisis más detallado nos permite identificar tresfactores para describir este fenómeno (Duval, 1995b, págs. 49-57):

Una aplicación uno a uno entre todos los constituyentes significativos (símbolos,palabras, palabras o características visuales) del contenido de la fuente derepresentación y la meta de la representación es o no es posible.

La elección de cada elemento constituyente significativo de la meta de larepresentación destino es o no es unívoco.

Para los componentes significativos que se pueden asignar, el orden de la organizacióndentro de la representación de origen se mantiene o ha cambiado dentro del objetivode la representación.

El segundo fenómeno es la dirección de la conversión. Cuando los roles del origen del registro y eldestino del registro están invertidos dentro de una tarea de conversión en una representaciónsemiótica, el problema cambia radicalmente para los estudiantes. Puede resultar evidente en unode los casos, mientras que en la mayoría de los estudiantes de tareas invertidas sistemáticamentefallan. Basta con ver el ejemplo de la figura 5, recordando que si nos habían solicitado laconstrucción de las gráficas de las funciones y = x e y = 2x o incluso y = 1/2x no habría existidoninguna diferencia significativa en sus actuaciones. Pero la siguiente observación dentro de un

dominio que parece dar a muchos estudiantes dificultades,el álgebra lineal, da un ejemplo notable(Figura 14). ¿La comprensión en álgebra lineal no presupone que los estudiantes sean capaces decambiar los registros rápidamente de una manera implícita o explícita? ¿No sería su dificultad en laconversión uno de los principales obstáculos a superar? En cualquier caso, aquí es cómo unopuede ver la magnitud de este tipo de dificultades.

Podemos observar la magnitud de las variaciones en éxito cada vez que uno invierte el sentido dela conversión. Además, un registro considerado aisladamente no parece dominar mejor que otro:los desempeños varían según los pares origen, origen del registro meta del registro. Aquí llegamosa la raíz de los problemas en el aprendizaje de la matemática: la capacidad para comprender ypara realizar por sí mismo, cualquier cambio de la representación registrada. Los problemas quemuchos estudiantes tienen con el pensamiento matemático yacen en la especificidad y lacomplejidad cognitiva de conversión y cambio de representación. No es ni una materia decodificación ni un asunto de concepto matemático solamente.

Esta complejidad aparece a través de dos fenómenos, de los cuales la variación depende de lanaturaleza de los dos registros activados para una transformación de la representación: lavariabilidad de congruencia/no congruencia para la representación del mismo conocimientoobjeto y la no-reversibilidad. De hecho, cualquiera que sea el nivel y cualquiera que sea el área, lasconversiones no congruentes son para muchos estudiantes una barrera impasable en sucomprensión matemática y por lo tanto para su aprendizaje. Enfrentando la representación deconversión no congruente, los aprendices son atrapados en un conflicto entre requerimiento deconocimiento matemático e imposibilidad cognitiva.

Figura 14. Una tarea de reconocimiento (Pavlopoulou, 1993, p. 84).

La conversión de representación requiere la DISOCIACIÓN cognitiva del objetorepresentado y el contenido de la representación semiótica particular a través de la cualse ha introducido y utilizado en la enseñanza.

Pero hay una IMPOSIBILIDAD COGNITIVA DE DISOCIAR cualquier contenido derepresentación semiótica y su primer objeto representado cuando no hay otro accesoposible al objeto matemático que la semiótica.

Ese conflicto conduce a la consideración de dos representaciones del mismo objeto como dosobjetos matemáticos. La consecuencia es entonces la incapacidad para cambiar el registro y usarel conocimiento fuera de los estrechos contextos de aprendizaje. Los registros de lasrepresentaciones permanecen compartimentados y sólo la fragmentaria y monoregistralmentecomprensión es posible. ¿En qué condiciones los alumnos pueden ser habilitados para hacer taldisociación?

3.3. ¿Cómo discriminar en cualquier representación de contenido, cualquiera que sea elregistro utilizado, lo que es matemáticamente relevante y lo que no lo es?

Aquí, obviamente, está la cuestión más esencial para el aprendizaje de matemáticas.Tomemos el ejemplo elemental de las funciones lineales que hemos dado (Figura 5). Viendosu expresión algebraica y su representación gráfica juntas, o saber cómo trazar el gráfico desu expresión algebraica, no es en absoluto suficiente para reconocer la misma función através de estos dos tipos de representación. Una condición cognitiva más profundo esnecesaria: ser capaces de discernir cómo dos gráficos que parecen iguales visualmente sonmatemáticamente diferentes.Cuando se toman de dos en dos, ellas contrastan visualmente por una o variascaracterísticas visuales. Cuando ellas contrastan por dos (o más) características visuales,estas se fusionan como si se tratara de una sola. La discriminación visual de los gráficos noes nada obvio, particularmente cuando parecen muy similares en su forma y contenido. Dehecho, la capacidad para distinguir lo que es matemáticamente relevante en cada una deellas depende de la construcción implícita de esa red cognoscitiva como en la siguientefigura 15.En esta red, cada característica visual coincide con una categoría símbolo de expresiónalgebraica y = ax + b. Por “categoría símbolo” nos referimos a una oposición cualitativa(a> 1; a< 1; a = 1 o a = -1) y no meramente una variación numérica (a = 1,65 o a = 2,3). Dicha redpuede ampliarse a todas las clases de representación de función y representaciones derelaciones que no son funciones (Duval, 1993, pág. 46).¿Cómo se puede ayudar a los estudiantes a realizar todas estas representacionesdiscriminaciones dentro del mismo registro? Aquí debemos prestar atención a un hechomuy importante. Tenemos tantas representaciones visuales como queremos, pero no todasellas son pertinentes desde un punto de vista matemático. Además, no todas las variacionesde valor numérico (aquí de funciones lineales) son significantes para realizar esta redcognitiva. En este sentido hacer que los estudiantes noten las características visualesbásicas, oposiciones que son matemáticamente relevantes y cognitivamente significantes,

cualquier tarea de discriminación de representación ha de ser integrada en una tarea deconversión.

Figura 15. Conexiones tempranas de una red cognoscitiva para cualquier representación gráfica dediscriminación.

Es sólo investigando las variaciones de representación en el registro de origen y variaciones derepresentación en un registro meta los estudiantes pueden al mismo tiempo realizar lo que esmatemáticamente relevante en una representación, archivar su conversión en otro registro ydisociar el objeto representado del contenido de estas representaciones.

Hemos tomado un ejemplo muy elemental que es muy simple de analizar, porque la conversión nose produce entre dos registros monofuncionales, uno no discursivo (gráficos) y el otro (modoalgebraico discursivo de relaciones). Pero el método de análisis utilizado en este ejemplo enparticular va para cada tipo de conversión (Figura 1), incluso para los más complejos cuando ladistancia cognitiva se está convirtiendo en grande, como entre registros multifuncionales (lenguamaterna, lengua natural) y registro monofunctional (sistema simbólico). Y, al menos en su

modalidad implícita, este tipo de conversión es necesaria continuamente en la enseñanza dondetenemos siempre una doble la producción semiótica: discurso oral para dar explicaciones en ellenguaje común y simbólico o diagramático escrito para el tratamiento matemático (Duval, 2000b,págs. 152-155). Lo más sorprendente es que las representaciones transicionales auxiliares, inclusolas más icónicas o concretas, también necesitan ser integradas con tareas de covariaciónsistemáticas si queremos que sean eficientes!

De ese ejemplo podemos obtener una visión de los procesos de pensamiento específicos que serequieren en las matemáticas. No sólo deben utilizar sistemas de representación semiótica sinotambién, sobre todo, requiere su coordinación cognitiva.

Y por una razón obvia, un doble acceso semiótico debe compensar la limitación cognitiva de lafalta de un verdadero acceso doble.

Esto significa que la disociación entre la representación de contenido y objeto representadonecesariamente involucra la COORDINACIÖN entre diferentes registros de representación. LaComprensión matemática comienza cuando se inicia la coordinación de registros. Elreconocimiento de los mismos objetos matemáticos a través de representaciones de dos registrosdiferentes no es una operación local u ocasional, sino el resultado del registro global decoordinación. Los procesos del pensamiento matemático dependen de una sinergia cognitiva deregistros de representación. La coordinación de los registros de las representaciones semióticasproporciona algo así como una extensión de la capacidad mental. En esta perspectiva, la oposiciónhecha frecuentemente entre la comprensión como siendo conceptual o como puramente mental yrepresentaciones semióticas como siendo externas parece ser una oposición engañosa. De hecho,las representaciones mentales que son útiles o pertinentes en matemáticas son siemprerepresentaciones semióticas interiorizadas.

4. CONCLUSIÓN

Cuando analizamos la actividad matemática desde un punto de vista cognitivo, trescaracterísticas específicas, estrechamente relacionadas entre sí, deben tenerse en cuenta:

(1) Se ejecuta a través de una transformación de las representaciones semióticas, que implica eluso de algún sistema semiótico.

(2) Para llevar a cabo esta transformación, pueden ser utilizados bastante diferentes registros derepresentaciones semióticas.

(3) Los objetos matemáticos nunca debe ser confundidos con la representaciones semióticasutilizadas, aunque no haya acceso a ellos salvo usando la representación semiótica.

Por lo tanto, parece que los procesos de pensamiento en matemáticas se basan en dos tipos muydiferentes de las transformaciones de las representaciones. Incluso si una sola representaciónregistrada es suficiente desde un punto de vista matemático, desde un punto de vista cognitivo, laactividad matemática implica la movilización simultánea de al menos dos registros derepresentación, o la posibilidad de cambiar en cualquier momento a partir de un registro a otro.En otras palabras, la comprensión conceptual en matemáticas implica dos registros- sinergia, y aveces a tres registros-sinergia. Esa es la razón por la cual lo que es matemáticamente simple y

ocurre en la etapa inicial de la construcción del conocimiento matemático puede sercognitivamente complejo y requiere el desarrollo de una conciencia específica acerca de lacoordinación de los registros

La distinción entre cuatro tipos de registros de representación destaca la variedad y la brechacognitiva de la representación de la conversión según el origen del registro y la meta del registro.También hace posible definir algunas variables para analizar la complejidad cognitiva subyacente acualquier actividad matemática, ya sea para un objetivo de investigación o para un propósitoeducativo.

Y la distinción entre registros monofuncional y multifuncional muestra cómo, para todas lastransformaciones que son tratamientos, visualización y lenguaje puede ser usado en muchasformas completamente diferentes de la forma habitual dentro de las otras áreas del conocimientoy en la vida diaria. Las prácticas de estos registros que los estudiantes puedan tener fuera de lasmatemáticas muchas veces parecen descartar la forma en que deberían ser movilizadas enmatemáticas.

Eso plantea una profunda ambigüedad en la enseñanza: por un lado, estos registros son evitadosporque los estudiantes tienen una gran dificultad para llevar a cabo procesos matemáticos allí, ypor otro lado, son usados para dar “significado” a los procesos matemáticos que se llevan a cabodentro de registros monofuncionales. En la enseñanza, podemos observar prácticas totalmenteopuestas de estos registros multifuncionales.

Es en el marco de tal modelo cognitivo de procesamiento del pensamiento matemático quepodemos analizar en profundidad los obstáculos de la comprensión matemática. Tratamientos,principalmente, dentro de los registros multifuncional y conversiones son totalmenteindependientes de las fuentes de incomprensión. Pero la raíz de los problemas que muchosestudiantes tienen con el pensamiento matemático radica en la especificidad y la complejidadcognitiva de conversión y cambio de representación. No podemos analizar y entenderprofundamente el problema de la comprensión de las matemáticas para la mayoría de losestudiantes si no empezamos por separar los dos tipos de transformación de representación. Estoes raras veces, si acaso de hecho, o porque la conversión se considera un tipo de tratamiento oporque se cree que depende de la comprensión conceptual, o sea, puramente “mental”, es decir,una asemiótica actividad. Y siempre hay buenas razones para ello.

En primer lugar, desde un punto de vista matemático, la conversión viene únicamente con el fin deelegir el registro en el que los tratamientos necesarios pueden llevarse a cabo más económica omás poderosamente, o de proporcionar un segundo registro para servir como un apoyo o guíapara los tratamientos que se llevan a cabo en otro registro. En otros términos, la conversión nodesempeña ningún papel intrínseco en los procesos matemáticos de justificación o prueba. Porqueestos son realizados sobre la base de un tratamiento que se lleva a cabo dentro de un registrosingular, principalmente de manera discursiva uno y más a menudo algún registro monofuncional.En efecto, la conversión no se puede separar del tratamiento porque es la elección del tratamientola que hace la elección del registro relevante.

En segundo lugar, la investigación en educación matemática casi siempre se lleva a cabo en lasformas de enseñar contenidos conceptuales y procedimentales particulares para cada nivel delcurriculum. Lo que concierne a la actividad matemática es empujada hacia atrás en la formación oexplicada por la comprensión conceptual (o incomprensión) o por un marco pedagógico comúnacerca de la importancia de la actividad de los estudiantes y la función de sus representacionesmentales para la comprensión. Esto lleva a aniquilar la importancia de la diversidad de registrosde representación y actuar como si todas las representaciones del mismo objeto matemáticotuvieran el mismo contenido, o como si el contenido de uno podría ser visto desde otro portransparencia.

En otras palabras, algunos isomorfismos entre las representaciones de dos diferentes sistemassemióticos o entre procesos que se llevan a cabo dentro de dos sistemas semióticos se asumeimplícitamente. Recuérdese que Piaget asumió esta búsqueda de isomorfismos como uno de losprincipios clave de un análisis de la evolución de los conocimientos en los niños, aunque, mástarde, él se limitó a la búsqueda de “isomorfismos parciales” (Piaget, 1967, págs. 73-74, 262-266) ehizo gran uso teórico de ellos en el análisis de la epistemología genética como en ciertos estudiosdidácticos. ¿Pero el isomorfismo matemático envuelve al isomorfismo cognitivo entre lasrepresentaciones semióticas utilizadas? Empujando hacia atrás en el fondo las tres característicasespecíficas mencionadas anteriormente limita a la mayoría de los estudiantes en lo que se hadescrito como la “compartimentalización” del conocimiento matemático.

Cambiar el registro de la representación es el umbral de la comprensión matemática para losalumnos en cada etapa del curriculum. Depende de la coordinación de varios registros derepresentación y es sólo en matemáticas que ese registro de la coordinación es fuertementenecesaria. ¿Este requisito básico es realmente tomado en cuenta? Demasiado a menudo, lasinvestigaciones se centran en lo que son representaciones correctas o lo que sería el registro másaccesible con el fin de hacer que los alumnos entiendan realmente y utilicen algún conocimientomatemático particular. Con una preocupación de este tipo la enseñanza no va más allá de un nivelsuperficial. ¿Qué harán los estudiantes cuando sean confrontados por otras representaciones osituaciones completamente distintas? Incluso representaciones auxiliares e individuales, las másicónicas o concretas, deben ser articuladas con las representaciones semióticas producidas dentrode sistemas semióticos. El verdadero desafío de la enseñanza de las matemáticas es primerodesarrollar la capacidad de cambiar de registro de representación.

Notas

1. Un primer bosquejo de este documento ha sido presentado en el Mediterranean Journal forResearc in Mathematics Education 2002, 1, 2, 1-16. Presentamos aquí una versión másdesarrollada de los modelos cognitivos de la actividad matemática y pensamiento.

Un análisis de los problemas cognitivos de comprensión 129

2. La relación de un sujeto a un objeto es la distinción epistemológica básica para analizar elconocimiento (Kant, 1956, pág. 63, 296; Piaget, 1967, pág. 65 y 1973, p. 31). Por lo tanto“objeto” puede utilizarse con tres significados distintos:

(1) la invariante de un conjunto de fenómenos o la invariante de alguna multiplicidad derepresentaciones posibles. En ese sentido, los “objetos” son OBJETOS DE CONOCIMIENTO.

(2) el objetivo de la atención centrada sobre tal o cual aspecto (forma, la posición, el tamaño, lasucesión...) de lo que se ha dado. En ese sentido, “objetos” son transitoriamente OBJECTOSFENOMENOLÓGICOS.

(3) los datos dados por la percepción, o las cosas físicas. En ese sentido, los “objetos”sonOBJETOS CONCRETOS.

Los objetos matemáticos (números, funciones, vectores, etc.) son objetos de conocimiento, y lasrepresentaciones semióticas que pueden admitir dos focos de atención bastante opuestos (ya sealos datos visuales dados o algún objeto representado que puede ser uno en concreto o algunavariante de objetos fenomenológica) son pasajeras. Si consideramos una ecuación algebraica y elgráfico de una línea, primero son diferentes representaciones semióticas. Son “objetosmatemáticos” bajo la condición de que la atención puede centrarse en algunas invariantes (lasrelaciones asumidas representados) y no sólo en sus datos visuales y su organización perceptual(Duval, 1995b, págs. 53-54; 2002). Es sólo desde un estricto punto de vista formal que lasrepresentaciones semióticas pueden tomarse como objetos concretos (Duval, 1998ª, págs. 160-163).

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REGISTROSMULTIFUN-CIONALES:La mayoría de losprocesos son

algoritmos

EN SISTEMAS SIMBÓLICOSSólo escrito: imposible decirlo oralmente de otra manera quepor ortografía

cálculo, demostración

COMBINACIÓN D2 o D1 Y DO,FORMAS orientadas (flechaso no).Diagramas, gráficos

Representación de Resultados de una de tres clases deOPERACIONES DISCURSIVAS:

1. Denotación de objetos (nombres, marcas,…)2. Enunciado de relaciones o propiedades3. Inferencia (deducción, computación…)

No DiscursivasREPRESENTACIÓN

(Forma de configuraciones 1D/1D, 2D/2D, 3D/2D

REGISTROSMULTIFUNCIO-

NALESLos procesosNO PUEDEN

hacersealgoritmos

Representaciones transicionalmente AUXILIARSin reglas de combinación (soporte libre)

ICÓNICO: dibujo, esquema,patrón-----------------------NO ICÓNICO: figurasgeométricas que pueden serconstruidas con herramientas

Figura 1. Clasificación de los registros que pueden ser movilizados en un proceso matemático