Ya que Rocío ha explicado cuándo un número es bueno o malo, ayuda a Isa en su labor de investigación contestando de forma razonada a las siguientes cuestiones:

a) ¿Cuáles son los números buenos que se encuentran del 2 al 10, ambos inclusive?

b) Una vez que has calculado cuales son los buenos, ¿puedes afirmar que sus cuadrados también lo son?

c) Si un número natural cualquiera "n" es bueno, ¿se puede afirmar que su cuadrado, también lo es?

Don Odón Betanzos ha encargado a sus paisanas Isa y Rocío, entusiastas en el estudio de los números, que investiguen sobre los números buenos y malos.

Rocío después de leer en un famoso libro de matemáticas, le dice a Isa:

“¿Sabes que los números buenos son números enteros superiores o igual a 2 y que pueden escribirse como la suma de números naturales no nulos, distintos o no, dónde la suma de sus inversos es igual a 1 y los números malos son aquellos que no son buenos, es decir, que no cumplen la propiedad anterior?”

SoluciónSolución MenúMenú

Problema nº 1: NÚMEROS BUENOS Y MALOS

Por ejemplo: 18 es un número bueno , porque 18 = 3+3+6+6 y

161

61

31

31

Solución:

EnunciadoEnunciado

a) ¿Cuáles son los números buenos que se encuentran del 2 al 10, ambos inclusive?

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• 3=1+1+1 y (1/1)+(1/1) +(1/1)= 3 ≠ 1 3=1+2 y (1/2)+(1/1) = 3/2 ≠ 1

Por lo tanto, 3 es un número malo

• 4=2+2 y (1/2)+(1/2) = 1 Por lo tanto, 4 es un número bueno

• 5=1+1+1+1+1 y (1/1)+(1/1) +(1/1) + (1/1)+(1/1) = 5 ≠ 1 5=1+2+2 y (1/2)+(1/2)+(1/1) = 2 ≠ 1 5=1+4 y (1/4)+(1/1) = 5/4 ≠ 1 5=2+3 y (1/2)+(1/3) = 5/6 ≠ 1

Por lo tanto, 5 es un número malo

• 2=1+1 y (1/1)+(1/1)= 2 ≠ 1 Por lo tanto, 2 es un número malo

Solución:

EnunciadoEnunciado

• 6=1+1+1+1+1+1 y (1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1) = 6 ≠ 1

6=1+1+1+1+2 y (1/2)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1) = 9/2 ≠ 1

6=1+1+2+2 y (1/2)+(1/2)+(1/1)+(1/1) = 3 ≠ 1

6=1+2+3 y (1/2)+(1/3)+(1/1) = 11/6 ≠ 1

6=1+1+4 y (1/4)+(1/1)+(1/1) = 9/4 ≠ 1

6=2+4 y (1/2)+(1/4) = 3/4 ≠ 1

6=3+3 y (1/3)+(1/3) = 2/3 ≠ 1

6=1+5 y (1/5)+(1/1) = 6/5 ≠ 1

Por lo tanto, el 6 también es un número malo

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Solución:

EnunciadoEnunciado

• 7=1+1+1+1+1+1+1 y (1/1)+(1/1) +.....+ (1/1) = 7 ≠ 1

7=1+1+1+1+1+2 y (1/2)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1) = 11/2 ≠ 1

7=1+1+1+2+2 y (1/2)+(1/2)+(1/1)+(1/1)+(1/1) = 4 ≠ 1

7=1+2+2+2 y (1/2)+(1/2)+(1/2)+(1/1) = 5/2 ≠ 1

7=1+3+3 y (1/3)+(1/3)+(1/1) = 5/3 ≠ 1

7=1+2+4 y (1/2)+(1/4)+(1/1) = 7/4 ≠ 1

7=1+1+5 y (1/1)+(1/1)+(1/5) = 11/5 ≠ 1

7=2+2+3 y (1/2)+(1/2) +(1/3) = 4/3 ≠ 1

7=1+6 y (1/6)+(1/1) = 7/6 ≠ 1

7=2+5 y (1/2)+(1/5) = 7/10 ≠ 1

7=3+4 y (1/3)+(1/4) = 7/12 ≠ 1

Por lo tanto, 7 es también un número malo

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Solución:

EnunciadoEnunciado

• 8=1+1+1+1+1+1+1+1 y (1/1)+(1/1)+.....+ (1/1) = 8 ≠ 1

8=1+1+1+1+1+1+2 y (1/2)+(1/1)+.....+(1/1) = 13/2 ≠ 1

8=1+1+1+1+2+2 y (1/2)+(1/2)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1) = 5 ≠ 1

8=1+1+2+2+2 y (1/2)+(1/2)+(1/2)+(1/1)+(1/1) = 7/2 ≠ 1

8=1+1+3+3 y (1/3)+(1/3)+(1/1)+(1/1) = 8/3 ≠ 1

8=1+2+2+3 y (1/3)+(1/2)+(1/2)+(1/1) = 14/6 = 7/3 ≠ 1

8=2+2+2+2 y (1/2)+(1/2)+(1/2)+(1/2) = 4/2 = 2 ≠ 1

8=2+2+4 y (1/2)+(1/2)+(1/4) = 5/4 ≠ 1

8=2+3+3 y (1/2)+(1/3)+(1/3) = 7/6 ≠ 1

8=1+1+6 y (1/6)+(1/1)+(1/1) = 13/6 ≠ 1

8=1+2+5 y (1/2)+(1/5)+(1/1) = 17/10 ≠ 1

8=1+3+4 y (1/3)+(1/4)+(1/1) = 19/12 ≠ 1

8=1+7 y (1/7)+(1/1) = 8/7 ≠ 1

8=2+6 y (1/2)+(1/6) = 4/6 = 2/3 ≠ 1

8=3+5 y (1/3)+(1/5) = 8/15 ≠ 1

8=4+4 y (1/4)+(1/4) = 2/4 = 1/2 ≠ 1

Por lo tanto, 8 es un número malo

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Solución:

EnunciadoEnunciado

• 9=3+3+3 y (1/3)+(1/3)+(1/3) = 3/3 = 1

• 10=2+4+4 y (1/2)+(1/4)+(1/4) = 4/4 = 1

Por lo tanto, 9 es un número bueno

Por lo tanto, 10 es un número bueno

¡Así que los únicos números buenos del 2 al 10 son el 4, el 9 y el 10!

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Solución:

EnunciadoEnunciado

b) Una vez que has calculado cuales son los buenos, ¿puedes afirmar que sus cuadrados también lo son?

Hemos observado que 4 es un número bueno, ¿Será su cuadrado 16 = 42 un número bueno?

Pues sí es bueno ya que 16 = 4+4+4+4 y (1/4)+(1/4)+(1/4)+(1/4) = 4/4 = 1

Además, 9 es un número bueno, ¿también será bueno el 81 = 92?Pues vemos que también es bueno porque 81 = 9+9+9+9+9+9+9+9+9

y (1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)=9/9=1

Pues vemos que también es bueno porque 100=10+10+10+10+10+10+10+10+10+10 y (1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10) = 10/10 = 1

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El 10 es un número bueno, ¿será bueno el 100 = 102

Solución:

EnunciadoEnunciado

c) Si un número natural cualquiera "n" es bueno, ¿se puede afirmar que su cuadrado, también lo es?

Sabemos que si "n" es un número bueno, su cuadrado “n2“ se puede escribir como la suma del número n, n veces.

Y al sumar n veces el inverso de n (1/n) siempre vamos a obtener n/n, es decir, la unidad.

Por lo tanto n2 siempre será un número bueno.

Veamos un ejemplo:El número 25 es bueno ya que 25 = 5+5+5+5+5 y (1/5)+(1/5)+(1/5)+(1/5)+(1/5) = 5/5 = 1

Observamos que su cuadrado 252 = 625 es también bueno ya que 625 = 25+25+25+........+25 y (1/25)+(1/25)+........+(1/25) = 25/25 = 1

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Solución:

EnunciadoEnunciado

a) Los números buenos que se encuentran del 2 al 10 son el 4, el 9 y el 10.

Reagrupemos las respuestas:

b) El 4, el 9 y el 10 son números buenos y sus cuadrados, 16, 81 y 100 también son números buenos.

c) Si "n" es bueno, entonces, n2 se puede escribir como la suma del número n, n veces.

Y al sumar n veces el inverso de n (1/n) siempre vamos a obtener la unidad.

Por lo tanto n2 siempre será un número bueno.

HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES...

… pero ¿habrá más formas de calcularlas?

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