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경영학을 위한 수학Final Exam

2015/12/12(토) 13:00-15:00

• 풀이과정을 모두 명시하시오. 단, 6번은 T, F만 표시하시오.

• 정리를 사용할 경우 명시하시오.

1. (각 6점) 다음 적분을 구하시오.

(a)

∫ 1

−1(x+ 1)4dx−

∫ 1

−1(x− 1)4dx

(b)

∫32x+1dx

(c)

∫1

x2 + xdx

(d)

∫ 2

0

x√2x2 + 1

dx

(e)

∫ π2

0

sin 2x

1 + cos2 xdx

2. (15점) 다음 무한급수를 정적분을 이용하여 나타내고 그 값을 구하시오.

limn→∞

(1

n+ 1+

1

n+ 2+ · · ·+ 1

2n

)3. (각 10점) f(x) = 2x+ sinx에 대하여

(a) f의 역함수 g = f−1가 존재함을 보이시오.

(b)

∫ 2π

0g(x) dx를 구하시오.

4. 5000톤의 물이 들어 있는 저수지에 현재 0.4% 농도의 오염물질이 들어있다고 한다. 이 저수지에 오염물질 농도가 0.1%인 50톤의 물이 매일 흘러 들어가고 같은양의 물이 흘러 나온다고 한다. 오염물질은 항상 균일하게 퍼져있다고 가정하고지금부터 t일 후 저수지에 들어있는 오염물질의 양을 y(t)라 할 때 다음 질문에답하시오.

(a) (10 점) y(t)가 만족하는 미분방정식과 초기조건을 구하시오.

(b) (10 점) y(t)를 구하시오.

(c) (5 점) 오염물질의 농도가 0.2% 이하가 되는 것은 며칠 후인지 구하시오.

5. 확률변수 Z의 확률밀도함수가 f(z) = 1√2πe−

z2

2 이면 표준정규분포를 따른다고

한다. 이때 Z의 평균과 분산은 각각 0, 1이다.

(a) (10점) Y = |Z|의 확률밀도함수를 구하시오.

(b) (15점) Y의 평균과 분산을 구하시오.

2

6. (20점) n×n 행렬 A,B에 대하여 다음 명제가 맞으면 T, 틀리면 F로 표시하시오.(풀이과정은 생략. 맞으면 4점, 틀리면 0점, 무응답 2점)

(a) A2 = O이면 A = O이다.

(b) (AB)t = AtBt

(c) AB가 가역이면 A,B 모두 가역이다.

(d) det(AAt) = 1이면 det(A) = 1이다.

(e) A가 어떤 선형계의 첨가행렬이고 가역이면 이 선형계의 해는 존재하지 않는다.

7. (25점)아래와 같이 주어진 선형계에 대하여 다음 물음에 답하시오.x+ 2y + 3z + 4w = 32x+ 4y + 7z + 11w = 43x+ 6y + 10z + 14w = 10

(a) (5점) 주어진 선형계의 첨가행렬을 구하시오.

(b) (10점) (a)에서 구한 첨가행렬의 기약행사다리꼴을 구하시오.

(c) (10점) 주어진 선형계의 일반해를 구하시오.

8. (각 10점) 2 × 2 행렬 A =

(a bc d

)에 대하여 서로 다른 두 특성치 r1, r2가

존재한다.

(a) v1,v2가 특성치 r1, r2에 대한 특성벡터일 때 P =(v1 v2

)는 가역임을

보이시오.

(b) 대각행렬 D =

(r1 00 r2

)에 대하여 P−1AP = D임을 보이시오.

9. (20점)자동차보험시장을 A, B, C세개의회사가점유하고있다.조사를시작한첫해에 점유율은 A사가 50%, B사가 30%, C사가 20%를 차지하고 있다. 보험은1년간 유지되며 다음과 같은 경향을 나타낸다.

• 같은 보험사를 유지할 확률은 모두 0.5이다.

• A 다음에 B, B 다음에 C, C 다음에 A 보험에 들 확률은 각각 0.3, 0.5, 0.5이다.

(a) (5점) 추이행렬을 구하시오.

(b) (5점) 1년 후 A, B, C의 점유율을 구하시오.

(c) (10점) 시간이 많이 흐른 후 A, B, C 사의 점유율은 어떤 값으로 가까워지는지 기약분수로 나타내시오.