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"... Una vez que una teoría aparece en la hoja de preguntas de un examen de la universidad, se convierte en algo para ser temido y creído, y muchos de los ingenieros que fueron beneficiados por una educación universitaria aplicaron las teorías sin sospechar siquiera los estrechos límites de su validez. "

Karl Terzaghi

Javier Blanco Delsoexp. 10618

Tutor: José Luis de MiguelEscuela Técnica Superor de Arquitectura de Madrid

Enero 2016

Trabajo Fin de Grado

ZAPATAS PARA VARIOS PILARES

Conceptos, variables, símbolos y condiciones en el cálculo de zapatas para dos o más soportes

Quiero expresar mi agradecimiento a Javier G. Mosteiro y Consuelo

Acha por su labor como coordinadores del aula y en especial a mi

tutor José Luis de Miguel por sus conocimientos que he recibido y

dedicación para la consolidación de este trabajo fin de grado.

Suponen los cimientos de mi desarrollo todos y cada uno de ellos.

Javier Blanco Delso. Trabajo Fin de Grado ETSAM enero 2016

2


3

CONTENIDO

0. INTRODUCCIÓN 4

1. ZAPATA AISLADA 5

Figura 2. Zapata simple. Momento máximo 6

Figura 5. Zapata simple. Armadura inferior en parrilla 8

Figura 6. Zapata y soportes rectangulares 8

2. ZAPATAS COMBINADAS 9

Figura 7. Zapata combinada. Variables y momento longitudinales. 9

2.1 Zapata combinada acodalada 10

Figura 8. Momentos longitudinales 10

Figura 9. Momentos longitudinales máximos 11

2.2 Zapata combinada atirantada 12

Figura 10. Momentos longitudinales 12

Figura 11. Momentos máximos longitudinales 13

Figura 12. Zapatas combinadas con sus armaduras correspondientes. 14

2.3 Zapata combinada atirantada vs acodalada 15

2.4 Zapata combinada atirantada vs zapatas aisladas 15

Figura 13. Zapatas aisladas en lugar de una combinada. 15

3. ZAPATA COMBINADA ACODALADA DE SOPORTES DIFERENTES. 16

Figura 14. Diferentes formas de zapata para soportes diferentes 16

Figura 15. Zapata combinada de soportes diferentes.. Momentos longitudinales. 16

Figura 16. Zapata combinada de soportes diferentes.. Momentos longitudinales. 17

4. ZAPATAS COMBINADAS CON SOPORTES EN DIAGONAL 18

Figura 17. Diferentes formas de zapata para dos soportes en diagonal. 18

Figura 18. Zapata con soportes en diagonal. Momentos flectores y armaduras. 19

5. ZAPATAS COMBINADAS CON MÁS DE DOS SOPORTES 20

Figura 19. Bielas de zapatas de uno o varios soportes. 20

6. CONCLUSIONES 21

BIBLIOGRAFÍA 22


4

0. INTRODUCCIÓN

El cimiento tipo por excelencia es la zapata. Y el ejemplo clásico es la zapata cuadrada, supuestamente de

hormigón,1 y que recibe un soporte, asimismo cuadrado, centrado y de hormigón.

2

En la literatura técnica, esa zapata está ampliamente desarrollada, llegándose a (casi) todos los detalles

mecánicos, tanto desde el punto de vista del terreno, (comprobaciones geotécnicas), como de la del

hormigón, (comprobaciones estructurales y de cálculo de armado).

Pero es casi imposible encontrar desarrollos para las variantes que pueden aparecer en zapatas de edificios.

No pocas veces hay que acudir a zapatas de formas no cuadradas, como rectangulares o circulares, y si las

condiciones de la parcela, u otras, como situación de rampas u obstáculos, que deban ser triangulares o

trapeciales. Y los soportes pueden ser asimismo de sección rectangular o circular. Y ser de fábrica, o de

madera, que no tienen conexión eficaz a tracción con la zapata.

De estas variantes, las reglas geotécnicas suelen dar pistas para poder extrapolar la comprobación del

terreno, sobre todo desde la decantación del código por la regla de la “zapata equivalente” cobaricéntrica con

la carga, abstracción que admite una interpretación general, aunque sigue siendo poco frecuente que se

desarrolle explícitamente cómo se aplica a casos en que conceptos o variables usadas en las fórmulas, como

la del “ancho”, no son inmediatos. Y lo mismo pasa con las comprobaciones de asiento.

Peor suerte llevan las comprobaciones estructurales. Los textos clásicos, y los códigos (en España el CTE),

no suelen contener información alguna acerca de cómo proceder con formas de zapata y soporte que no

sean las cuadradas concéntricas. Es más, las reglas para ese caso, son peculiares, y no explicadas, lo que

dificulta su extrapolación a otros casos.

No es nada frecuente, pero es posible, que la zapata sea asimétrica con el soporte, aunque el caso habitual

es el de soporte en linde. Para restituir el equilibrio hace falta algo, como una viga centradora. Este caso es

más frecuente encontrarlo explicado en textos geotécnicos que en estructurales (en EHE no hay ni mención),

pero aún en los citados el asunto queda muy cojo, y poco o nada ajustado al planteamiento actual, por bielas,

del hormigón.

Pero precisamente, por tratarse de una linde, las condiciones suele ser muy variopintas, en cuanto a que

puede tener que ser sesgada, oblicua, o de esquina, de lo que no hay prácticamente nada.

Pero con todo, en arquitectura, es muy usual que, al intentar disponer zapatas para todos los soportes, haya

que acudir, por ejemplo, a un solo volumen de hormigón para dos soportes. Por proximidad entre ellos, o

porque, dada la pequeña capacidad portante, al intentar disponer zapatas simples, se superponen. Y no es

infrecuente que deba disponerse una zapata para tres soportes. Y por lo mismo que con las de linde, la

casuística de estas variantes es amplia.

Pues bien, este tema está casi completamente falto de desarrollo en los textos al uso. Todo lo que se puede

encontrar es una vaga referencia de que en ese caso se trata de una zapata “combinada”, sin apenas

explicitación en los de geotecnia, más allá de cómo considerarla “rígida” a efectos de presiones en el terreno.

En los manuales estructurales el asunto se despacha propugnando armadura en parrilla superior e inferior,

sin justificación ni procedimiento de cálculo para determinar su sección o disposición.

Este trabajo presenta una modesta aportación inicial al asunto de zapatas para dos soportes, explicitando los

casos, diagramas de solicitación, dónde y cómo medir los máximos, pautas de cálculo y organización de

armaduras, canto aconsejable, y forma más eficaz de cada uno. Y como colofón, una aproximación al

enfoque de zapata para más soportes, que podría dar lugar a desarrollo de trabajos posteriores.

1 Aun hoy día, la mayor parte de los cimientos de edificios existentes, si hay algo a lo que se pueda denominar así, son de albañilería o

mampostería. 2 En los textos de geotecnia y aun en los de hormigón, cuando desarrollan las zapatas, no suele tratarse explícitamente el caso de

soportes de acero. El código español (EHE) no representa un soporte de acero en ninguna de la veintena de figuras del apartado de cimientos, y en el texto sólo hay una referencia de dos líneas en el apartado de zapatas flexibles, que apenas se usan. En los textos y códigos de acero es usual que aparezca el anclaje del soporte a hormigón, pero sin llegar a explicarlo con la zapata o cimiento completo.


5

1. ZAPATA AISLADA

Siempre que las condiciones lo permitan,

1 el elemento más simple y eficaz es la zapata aislada

2. Para poder

abordar casos más complejos (posteriormente desarrollados en este mismo texto) empezaremos por repasar el caso más sencillo: la zapata aislada, cuadrada, que sustenta un único soporte centrado y de planta cuadrada. Con ello se pretende fijar conceptos, variables, símbolos y condiciones, que nos ayudarán a desarrollar los casos más complejos. Los cálculos para la definición completa de una zapata son los siguientes:

1. En primer lugar se debe terminar la superficie de la zapata. Con compresión centrada, la compresión (N) del soporte entre la superficie (S) no debe superar la “presión admisible” (padm) por hundimiento del terreno, obteniendo la expresión:

S ≥ N / padm [ 1 ]

La forma más rentable es en general la cuadrada, figura 1, de lado:

b = √ S [ 2 ]

Cabe destacar que existe un incremento de carga a cimentar, procedente del peso propio de la zapata, pero no es menos cierto que asimismo se podría deducir el de las tierras que desaloja. Debido a que ambas componentes son similares, no hay merma de seguridad apreciable si las dos se desprecian. Si la compresión no es centrada, en la expresión [1] anterior basta considerar que S es la superficie cobaricéntrica con el punto de aplicación de la posición excéntrica de la compresión. En rigor una zapata debe salir airosa de la comprobación ante varias combinaciones de carga del edificio, y en general, puede que en todas haya excentricidad. Con la combinación de sólo cargas gravitatorias, es frecuente que la excentricidad de la compresión sea imperceptible para la zapata.

3

Figura 1 Zapata simple. Posiciones de la compresión

1 Las condiciones son siempre diversas y es necesario estudiar cada caso en profundidad, pero mediante esta expresión se quiere dar a entender que si no hay algún impedimento físico (el terreno colindante, canalizaciones o instalaciones, …) que te obligue a adoptar una de las soluciones expuestas más adelante, el caso desarrollado a continuación es el más aconsejable.

2 El término es equívoco, ya que puede referirse tanto a estructuralmente aisladas como a geotécnicamente aisladas. En general, es poco probable, en edificación, que una zapata esté suficientemente alejada de otra (o de pilotes o muros o pantallas), como para poder considerarla geotécnicamente independiente, porque las presiones en el terreno de cada una influyen en las condiciones de comprobación de hundimiento y asiento de las contiguas. Pero, debido a la ausencia de formulación al respecto, y sobre todo, en el caso de las comprobaciones de hundimiento, porque eso resulta del lado de la seguridad, lo usual es utilizar la de zapata aislada.

3 No pocas veces, si es de hormigón, la armadura del soporte se determina a partir de la excentricidad mínima, de valor vigésimo del lado, como entre 2 y 5 cm, que es menor que el grado de precisión con el que se ubica y excava el hueco de la zapata.


6

En la combinación que considera viento,

1 aparece momento flector en la dirección en que se supone

actuando, pero simultáneamente la compresión de cálculo se reduce algo, de manera que no es usual que la comprobación del área cobaricéntrica fuerce a aumentar la superficie de la zapata. En las combinaciones que se considera acción sísmica,

2 la excentricidad es mucho mayor, y ya es un

valor sensible, pero asimismo lo es la reducción de carga vertical, típicamente a la mitad, por lo que la conclusión es la misma. La figura 1 ilustra la situación en caso de viento y sismo. Así que en este texto procederemos a considerar simplificadamente el caso de compresión centrada con el soporte.

2. En segundo lugar se debe determinar el canto h de la zapata. Siendo v el vuelo, lo aconsejable es:

h v / 2 [ 3 ]

Esto es debido a que al aumentarlo se incrementa la cantidad de hormigón y de excavación y se reduce la de acero (deducido del cálculo del armado desarrollado más adelante) y el resultado es que el coste aumenta. Es por esto que se deduce que el mínimo global se produce con el canto mínimo pero sin llegar a necesitar armadura a cortante, ya que vuelve a subir el coste. Por tanto con canto a mitad de vuelo no hay que comprobar a tensiones tangenciales de esfuerzo cortante,

3 (por convención). Con

HA25 ese suele ser el canto óptimo.4

Figura 2. Zapata simple. Momento máximo

3. En tercer lugar se procede a la comprobación como elemento estructural. En hormigón, para el cálculo

de la armadura de la parrilla inferior, se procede por cortes y equilibrio. Según muestra la figura 2 por simetría, la mayor sección de armadura corresponde al corte por el eje de la zapata, es decir a la mitad de esta, sustituyendo el soporte y el terreno por las acciones y reacciones de soporte y terreno respectivamente sobre la zapata.

5

La acción del soporte tiene el valor de N/2 y está situada a c/4 del corte (en este caso el eje). La resultante de la acción del terreno, considerada uniforme,

6 es una acción de valor N/2 situada a a/4

del corte. Al haber equilibrio de fuerzas, no hay tensiones tangenciales en el corte. Pero de momentos no hay equilibrio, y al ser la distancia entre las fuerzas ½(a/2) – ½(c/2) =1/2 v, la resultante del momento

7 es:

1 Al tratarse de dos direcciones y dos sentidos, son cuatro combinaciones.

2 Con esta acción se considera sismo en dos direcciones y sentidos, pero con cada una simultáneamente una fracción de sismo en la

dirección transversal, en cualquiera de los dos sentidos, por lo que son ocho casos.

3 La denominación de “rígida” para este tipo de zapatas no es muy afortunada. Parece referirse a algo mecánico y sólo implica propiedades geométricas. Rígidas lo son todas, y en general muy rígidas. Las denominación atiende sólo a que tienen una proporción de dimensiones tal que debe analizarse con el método específico de piezas “cortas” (método que se conoce como de “Bielas y tirantes”, o escuetamente como de “bielas”). y no con el de Teoría de Barras, que sólo es de aplicación a piezas de proporción esbelta.

4 Pero si con ese canto mayor no hace falta armadura, podría reconsiderarse el tipo de hormigón, y en vez de zapata armada con HA25,

disponer hormigón en masa HM 20.

5 Se desprecian las que procedan de la solera o terreno lateral, aunque habrá que estar sobre aviso para cuando puedan ser relevantes.

6 Se adopta como convención que, para el cálculo de la armadura, la reacción del terreno es uniforme y vertical, y lo mismo que antes,

habrá que estar prevenido para cuando no sea una suposición plausible.

7 La norma de hormigón actual se empecina en considerar el caso general, de soporte una compresión excéntrica, y propugnar un corte

que permita no considerar la acción del soporte, algo que no se entiende que pueda ser la propuesta, dejando al lector ante un problema

de centros de gravedad y momento estático de trapecios, con el resultado de que no llega a una expresión final, que podría serla la del

tipo M = N·(v/4+e/2), siendo e la excentricidad, de la que el caso particular con compresión es centrada sería la [4].


7

Mo = N/2 · v/2 = N·v / 4 [ 4 ]

El equilibrio da resultado a otro par de fuerzas en el corte de signo contrario. Un tracción inferior T sonde se colocará la armadura y una compresión C pegada al borde superior donde es el hormigón el que la resiste. Siento z la distancia

1 entre este par de fuerzas se obtiene:

T = Mo / z = N·v / 4·z: [ 5 ]

Una vez obtenida la tracción, se calcula la sección de armadura, siendo f la resistencia del acero:

A = T / f [ 6 ]

Si anteriormente hemos utilizado la solicitación N sin coeficiente de seguridad, para f habrá que tomar la tensión segura del acero.

Lo más sencillo es disponer la armadura con distribución uniforme y de lado a lado para la tracción máxima obtenida.

2 Aún así se debe comprobar que no se necesita prolongación de la armadura por anclaje. Como

poco (OE debe ser mayor que la longitud de anclaje. 3. Pero puede no ser suficiente si la tensión de la

armadura decrece a menos velocidad que lo que permite la adherencia. Y eso no suele suceder.

Si analizamos según la Teoría de Barras (Figura 3), para un punto intermedio al cuarto del lado, el equilibrio de fuerzas es de N/4 contra el cortante, por lo que el momento se reduce a MC = N/4·a/8 como corresponde a un doble voladizo, con un diagrama en forma de parábola cóncava. En el caso de un mazo de bielas directas (Figura 4), en el corte al centro, al no haber cortante, la tracción es la misma que con el modelo de barra. En el corte al cuarto, con las bielas hasta C, el equilibrio de fuerzas verticales es el de N/4 de la reacción del terreno y del soporte. Como la distancia entre ellas es ¾ ·a/2 – ¾·c/2 = ¾·v el par es MC = ¾·N·v/4, que es ¾ del máximo, y como triple del obtenido

4 con el modelo de

barra. Así que para poder prescindir de prolongación, además CE debe ser mayor5 que 0,75· La, que es una

condición más exigente que la anterior.6

Figura 3. Armado por teoría de barras Figura 4. Armado por bielas Si se toman puntos más cercanos al E se obtiene una condición aún un poco más exigente. La peor sucede en la inmediata proximidad al extremo, tal como el D, donde si la distancia a E es una pequeña fracción de CE, todavía tiene esa misma fracción de la tracción T, así que para anclar, debería ser al menos esa misma reacción de la longitud de anclaje.

7 O sea, que CE debe ser al menos igual a La

1 Se supone del orden de 0,8·h.

2 Es lo que propugnado la norma de hormigón vigente.

3 Es la longitud en la que, por adherencia puede perderse la totalidad de la tracción soportable. Depende del tipo de hormigón y acero,

del diámetro, y de la posición o dirección de la armadura. Típicamente oscila de 20 a 40 diámetros.

4 La diferencia es más aparente que real. Aun con modelo de barra, para pasar de momento flector a tracción de borde, hay que

considerar el desplazamiento por cortante. Si se admite que eso es del orden del canto, se llega a los mismos valores que con bielas.

5 Se está suponiendo que la tensión puede disminuir linealmente en la longitud en que se ancla la armadura, que es lo que plantear la

norma de hormigón armado.

6 La regla cubre el caso pésimo en el que la armadura es la estricta. En general, por redondeo a un número entero de un diámetro

comercial, suele estar holgada, y la regla debe aplicarse con cierta licencia. 7 7 Paradójicamente, la norma de hormigón prescribe expresamente el uso de bielas para el cálculo de la armadura máxima, paea lo que


8

El resultado de estos cálculos permite concluir pues, que la condición para poder dispone sólo armadura de lado a lado, sin prolongación, es que el cuarto del lado de la zapata sea superior a la longitud de anclaje de la armadura.

1

La sección de armadura que se obtiene es la total, en m², por lo tanto con acudir a una tabla general con la correspondencia en tamaño de la armadura, se puede obtener con facilidad el diámetro de los redondos, Ø12 ó Ø16 por ejemplo.

El resultado final se compondría de una parrilla de armadura cada 15 ,20, 25… cm, de lado a lado como se muestra en la figura 5.

Figura 5. Zapata simple. Armadura inferior en parrilla

Si o bien la zapata o el soporte tienen planta rectangular, bastará aplicar el proceso anterior a cada dirección por separado, de lo que se obtendrán armaduras distintas en cada dirección. Nada se opone, y puede ser lo constructivamente recomendable, que en ambas se disponga la peor de las dos. Puesto que, según [5] la armadura depende linealmente del vuelo, con soporte cuadrado es inmediato que la zapata cuadrada tendrá menos armadura que la rectangular. Y si el canto se mantiene como fracción del vuelo, tendrá más hormigón. Si se opta por armadura isótropa, aun con soporte rectangular (si no es de planta muy alargada), la zapata cuadrada será más eficaz. La figura 6 muestra como bajo soportes diferentes pero con misma carga, la forma de la zapata varía manteniendo siempre la misma área. El objetivo es, entonces, encontrar el área más adecuada para cada soporte.

Figura 6. Zapata y soportes rectangulares

no es imprescindible, y para la comprobación de anclaje, donde no hay otra opción, omite citar las bielas. Y además, en zapatas de poco canto donde dice que hay que aplicar teoría de barras, dispone una figura y directamente una expresión para comprobación de anclaje, que supone proceder por bielas, sin decirlo. 1 Normalmente es una condición que se cumple. De ordinario, sólo necesitan prolongación en patilla las zapatas con lado por debajo de

un cierto valor, del orden de 1,00 m.


9

2. ZAPATAS COMBINADAS

Una vez desarrollada la zapata aislada podemos abordar casos más complejos, de dos o más soportes. Estas se llaman zapatas combinadas. Empezaremos con el caso más sencillo, con dos soportes iguales, con la misma compresión y a eje con la zapata (Figura 7;). Bastará con seguir los mismos pasos anteriormente descritos para la zapata aislada, resolviendo las cuestiones que resulten novedosas.

Figura 7. Zapata combinada. Variables y momento longitudinales. Para este caso los pasos son los siguientes:

1. Obtener la resultante de las compresiones N. Matemáticamente se procederá a sumar ambas compresiones y geométricamente, al ser los soportes idénticos, con la misma carga y en eje, su punto de aplicación será el punto medio entre ambas.

2. Hallar la superficie de la zapata, por hundimiento, deducida de la [ 1 ], que en este caso es:

S ≥ N / padm [ 7 ]

Donde N representa la suma de las compresiones de los soportes, en este caso dos. Para las dimensiones a y b, cuya condición es que a·b = S, caben muchas posibilidades. La más eficiente, al depender del canto y la armadura de vuelo, es que estos sean lo más pequeños posible, es decir iguales.

3. Para poder proceder por bielas, sin comprobar cortante, como canto se toma el valor de la mitad del vuelo y de la cuarta parte de la luz entre soportes.

4. En el último paso se procedería al cálculo de la armadura. Para ello se procede como ya hemos explicado anteriormente cortando la zapata. Como hay simetría, el corte por el punto medio entre los soportes no tiene cortante, obteniendo:

Mo = N · (b/4 – d/2) [ 8 ]

Ahora bien, dependiendo del signo del momento Mo, las zapatas pueden ser de dos tipos: acodaladas o

atirantadas. El cambio del signo se produce según la relación que se establece entre d y b siendo d = b/2.


10

2.1 Zapata combinada acodalada

La zapata se denomina acodalada cuando los soportes se encuentran por dentro de las áreas tributarias y

por tanto d/2 < b/4 y Mo es positivo. Esto se traduce en que en la cara inferior de la zapata se produce

tracción y en la superior compresión, (de ahí su nombre de acodaladas 1), y por lo tanto se necesitará

armadura en la cara inferior y no en la superior.

En este caso, para el cálculo de la armadura se procede de la misma manera que la zapata simple pero con

un ligero cambio: en la simple la armadura era igual en ambas direcciones, y en la combinada será diferente

(tanto si es acodalada como atirantada).

Para hallar la armadura procederemos a realizar varios corte por donde se prevé el momento será máximo.

Estos cortes se darán en ambas direcciones bajo los soportes.

a. El primer corte discurre por el eje longitudinal de la zapata, de tal manera que la reacción

corresponde a un área en cuyo centro se sitúa la resultante de la acción del terreno sobre la

zapata, como se observa en la Figura 8, obteniendo:

M1 = q · (b’· a) · b’/2 [ 9 ]

Ya que (b’· a) es el área en la cual actúa la reacción del terreno y b’/2 la distancia de

aplicación de esa resultante.

Figura 8. Momentos longitudinales

b. Al corregir el diagrama de momentos de la figura 8, (que corresponde sólo a la reacción del

terreno), considerando la carga del soporte repartida en su ancho, como no es simétrico con

el eje del soporte, se obtiene que el momento máximo, M2, no se produce en el eje del

soporte, sino en un punto ligeramente desplazado. (véase Figura 9). Como puede

comprobarse, la diferencia con el valor al eje,

1 Como ya hemos visto anteriormente la armadura se dispone en la sección sometida a tracción; en el lado comprimido es le hormigón el que la resiste sin dificultad.


11

c. El tercer corte es el 0 anotado en la figura 7. Como ya hemos visto, como la distancia d/2 <

b/4 el momento será positivo, y es inmediato, en la zapata acodalada, que es inferior al

máximo (bajo el soporte), lo que se permite disponer armadura en la parte inferior de la

sección y con una sección como la parrilla de armado longitudinales según el momento

calculado en el apartado “a.”

Figura 9. Momentos longitudinales máximos

Aquí falta el corte 3, para la armadura en la otra dirección, que se rige por la [4] y que si los vuelos en ambas

direcciones son iguales, conduce a una densidad de armadura asimismo igual en ambas direcciones.

Una vez hallado el momento máximo, la tensión se obtiene de la ya obtenida en el caso de zapata simple, [5]:

T = M2 / z = N ·v / 4·z: [ 5’ ]

Sabiendo la tracción y utilizando la tensión segura del acero, obtenemos la sección de acero necesaria, otra

vez como en la zapata simple:

A = T / f [ 6’ ]


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2.2 Zapata combinada atirantada

El caso contrario al anterior es en el los soportes se encuentran por fuera de las áreas tributarias, o sea

cuando la distancia entre los soportes es mayor que la mitad del lado largo de la zapata: d/2 > b/4. En la

figura 10 puede comprobarse como los soportes están visiblemente separados entre sí.1

Esto da lugar, como veremos a continuación, a que entre los soportes (en la parte superior de la zapata),

aparezcan tensiones de tracción, (el momento Mo, que se calcula más adelante con la figura 11, de la

expresión [8] es negativo), no soportables por el hormigón y por tanto siendo necesario la disposición de

armaduras de acero para resistirlas. De ahí su nombre de atirantadas

Para poder proceder por bielas, sin comprobar cortante, como canto se toma un valor que la mitad del vuelo,

de cualquier de los dos, y de la cuarta parte de la luz entre soportes

En este caso también se procede a calcular el momento mediante cortes, que al igual que el caso de la

zapata acodalada, nos proporcionará la solicitación en los diversos puntos.

Figura 10. Momentos longitudinales

Guiándonos por el caso anterior se obtiene:

a. El primer corte se efectúa por el eje del soporte (Figura 10), obteniendo el momento con igual

expresión que con la [9]

M1 = q · (b’· a) · b’/2 [ 9 ]

b. El segundo corte discurre ligeramente por el interior del soporte (Figura 11). En este caso

volvemos a descubrir que el momento máximo no está en el eje del soporte sino ligeramente

desplazado, ahora hacia el exterior, debido a esa separación mayor entre soportes.

1 Más adelante, en este mismo texto, se plantea si esta solución es la más adecuada o con zapatas aisladas. Aun así, y como se ha destacado al principio del epígrafe de las zapatas simples, hay situaciones que obligan a adoptar soluciones especiales (debido a condiciones externas) y este es uno de ellos.


13

Figura 11. Momentos máximos longitudinales

c. El tercer corte se efectúa por la mitad de la zapata, y en este caso la situación será diferente

al de la zapata combinada acodalada porque, como ya hemos visto anteriormente, d/2 > b/4

y por tanto el momento en el corte es negativo y resultará, según [8]:

M2 = N · (b/4 – d/2) [ 10 ]

Esto da lugar a tensiones de tracción en la parte superior de la zapata, y más concretamente entre

los soportes (como se puede apreciar en la Figura 11).

Por ello se deberán disponer los armados correspondientes de soporte a soporte1 para poder

resistir esas tensiones.

Una vez hallado los dos momentos, la tensión se obtiene de la ya obtenida en el caso de zapata aislada, [5]:

T = M / z = M / 0,8h [ 5’ ]

Sabiendo la tensión y utilizando la tensión segura del acero obtenemos la cantidad de acero necesaria, otra

vez como en la zapata aislada y la ecuación [6]:

A = T / f [ 6’ ]

1 Al disponer armadura longitudinal de soporte a soporte, se realiza la misma operación que se realizaría si nos encontrásemos con una viga centradora que une dos zapatas. A efectos prácticos-constructivos ambas soluciones son muy parecidas, pero en este texto se aborda la presente debido a que ambos soportes están sobre una misma zapata.


14

En la dirección transversal, la zapata combinada, se trata como una simple, con carga 2·N, lado a y el mismo canto, repartiendo la armadura que resulte en una longitud b. Que se unifiquen las densidades en ambas direcciones, figura 12, a la pésima puede ser recomendable pero no forzoso. La Figura 13 ilustra los dos casos vistos una vez calculada la sección de armadura y habiendo elegido los

armados correspondientes y dispuestos en cuadrícula.

Figura 12. Zapatas combinadas con sus armaduras correspondientes.


15

2.3 Zapata combinada atirantada vs acodalada

Una vez analizado el comportamiento de los dos casos de zapatas combinadas, se puede comprobar cómo

el momento máximo, considerando la reacción del terreno y la acción del soporte, no se encuentra en el corte

por los ejes de los soportes, sino ligeramente desplazado hacia el interior o exterior del soporte (según sea

acodalada o atirantada). Sin embargo la diferencia del valor del momento en el corte por el eje o por donde

es exactamente el máximo, es muy pequeña, y en los casos reales, sin relevancia, debido a que el resultado

final hay que redondearlo a un número entero de redondos, por ejemplo de Ø16 o Ø20. Por tanto, para el

cálculo del armado, es suficiente considerar, que el valor del momento máximo se encuentra en el corte por

el eje, que es mucho más sencillo de obtener.

2.4 Zapata combinada atirantada vs zapatas aisladas

Al inicio del epígrafe de las zapatas aisladas, el texto especifica que si no hay condiciones en el terreno que

nos obliguen a adoptar un tipo de zapata peculiar, la opción recomendada es la zapata aislada. En el caso de

la zapata combinada acodalada se deduce con facilidad que las condiciones obligan a adoptar ese caso en

concreto, pero no está tan claro en el caso de la zapata combinada atirantada. Por lo tanto conviene

comprobar si es más aconsejable adoptar un solución de dos zapata aisladas en vez de combinada

atirantada. Para ello, se procede al cálculo de dos zapatas aisladas según se ha desarrollado en el apartado de “zapata aislada”, en primer lugar decidiendo la geometría de estas zapatas (área y canto) y calculando el momento en el punto medio del soporte como se puede ver en la Figura 13. Una vez calculado el momento se procede al cálculo de la armadura mediante la expresión obtenida en [6]. Se deduce fácilmente que las zapatas aisladas en esta situación serán más eficaces que la combinada atirantada. Por un lado la cantidad de hormigón será menor y también la excavación en el terreno. En cuanto a la armadura, al no tener que poner de lado a lado de la antigua geometría de la zapata combinada, el total será menor, lo que da lugar a una solución más apropiada. Ahora bien, esta solución se debe ejecutar sólo cuando no haya condicionantes en el terreno, esto es, que el pilar esté junto a una parcela diferente, existan instalaciones o elementos que no se puedan eliminar y por tanto la geometría de la zapata deba ser como la desarrollada en el caso de la zapata combinada atirantada.

Figura 13. Zapatas aisladas en lugar de una combinada.


16

3. ZAPATA COMBINADA ACODALADA DE SOPORTES DIFERENTES.

Una variante del problema anterior es el de que e los soportes no sean iguales, estando sometido a

compresión diferente. En caso de soportes que tienen compresiones en la relación 2:1, el centro de la zapata,

debe estar en el punto resultante de ambas, y por tanto se sitúa a 1/3 del soporte mayor y 2/3 del menor.

Figura 14. Diferentes formas de zapata para soportes diferentes

Al dibujar opciones de zapatas de la misma área alrededor de ese punto1, se obtienen alternativas como las

mostradas en la figura 14.

Repitiendo el proceso de los casos anteriores, una vez elegida una opción de planta, se procede a cortar la

zapata por los ejes de los soportes (cortes 1 y 4) y se obtiene el momento de la reacción del terreno, como se

ilustra en la Figura 16, utilizando la expresión obtenida en [9]:

M1 = q · (b’· a) · b’/2 M2 = q · (b’’· a) · b’’/2 [ 11 ]

Figura 15. Zapata combinada de soportes diferentes.. Momentos longitudinales.

1 La relación de distancia entre el centro de la zapata y los soportes vendrá dado por la relación de carga y tamaño que tienen los

soportes entre sí.


17

A continuación se completa con mayor precisión la gráfica de momentos (Figura 16), corrigiendo el diagrama

considerando la acción de cada soporte, repartida en su ancho. Se puede ver como el momento en este caso

va a ser mayor en la sección de la zapata situada en la parte inferior del soporte de mayor carga y tamaño.

Por ello a la hora de decidir la armadura, que como en los casos anteriores se dispondrá de lado a lado y sin

disminuir la sección cuando se llega debajo del soporte menor”, se procede con el momento mayor, usando

T = M / z, según la expresión [5], y para la armadura, la [6] :

A = T / f [ 6 “]

Figura 16. Zapata combinada de soportes diferentes.. Momentos longitudinales.

Se puede observar en la gráfica de momentos longitudinales, cómo el momento máximo no está justo en el

eje del soporte sino ligeramente desplazado (al igual que pasaba con las zapatas combinadas acodaladas).

Aún así, y a efectos prácticos, para el cálculo se utilizará el momento obtenido cortando la zapata por el eje

ya que la diferencia es pequeña.

A la hora de disponer la cuadrícula de armados, se siguen las mismas directrices ya explicadas para las

zapatas combinadas anteriormente desarrolladas con la figura 12.

.


18

4. ZAPATAS COMBINADAS CON SOPORTES EN DIAGONAL

Otro caso de zapatas combinadas para dos soportes, son aquellas en las cuales los soportes se encuentran en la diagonal. Por sencillez se procederá con una cuadrada. La Figura 17 muestra las diferentes formas y tamaños que podría adoptar, como alternativas en ese caso, retornando al de soportes iguales.

Figura 17. Diferentes formas de zapata para dos soportes en diagonal.

Para este caso los pasos son los siguientes:

1. Obtener la resultante de las compresiones N1 y N2. Matemáticamente se procederá a sumar ambas compresiones y geométricamente, al ser los soportes idénticos, con la misma carga, la resultante estará en el punto medio entre ambas.

2. El cálculo de la geometría de la zapata diferirá de las anteriores, y para ello se deben dibujar rectángulos con el centro en la resultante obtenida en 1, siempre con la misma área, igual, según la figura 17, al cociente de carga total entre la presión admisible. Se adopta la cuadrada, en cuyo caso, los soportes se disponen en la diagonal

3. Como en este caso, el vuelo es triangular, como canto se adopta el mismo que resultaba en los casos anteriores, es decir h = a/4.

4. En el último paso se procedería al cálculo de la armadura. Para ello como ya hemos hecho anteriormente, para obtener la tracción necesaria en dirección paralela a la línea de soportes, cortamos la zapata por planos perpendiculares a esa línea. En este caso la resultante de la reacción del terreno de la zapata procede de un zona triangular. Para un corte a distancia x de una de las esquinas de la zapata alineada con la diagonal, se obtiene:

M1’ = q · x2 · x/3 [ 12 ]

El momento máximo se encuentra bajo el soporte, en el caso de la figura 18, cuando x = ¾ b,

obteniendo: M1,max = 0,140 · q · b3

El que antes era el tercer corte por el centro de la zapata, resulta:

M.o = q · b2/ · b/3 q · b2/ · d/2 [ 13 ]

Para las tracciones en dirección perpendicular a la línea de soportes, se procede de la misma manera, y el máximo se encuentra en la sección central (2), resultando:

M3,max = q · b2 · b/3 [ 14 ]


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Figura 18. Zapata con soportes en diagonal. Momentos flectores y armaduras.

Dividiendo el momento entre 0,8h y la tensión segura del terreno, como en la expresión obtenida en [5] y [6] se obtiene la sección unitaria en ese corte. Las armaduras deducidas con este proceso corresponden a las que se deberían disponer en direcciones diagonales, que resultan poco constructivas. Optando por ponerlas de esa manera, pero iguales en ambas direcciones, y de manera uniforme, darían lugar a una cuadrícula, que sigue siendo una solución poco constructiva, obligando a cortar redondos longitudes diferentes. Aprovechando la propiedad de que una cuadrícula tienen igual capacidad en todas direcciones, se podría cambiar la obtenida por otra, de igual densidad, girada 45º, lo que da lugar a una armadura recta, constructivamente más sencilla, en la que todos los redondos son de la misma longitud. La conclusión es que es suficiente una cuadrícula isótropa, para el momento máximo de los obtenidos, que es M3 máx.

El caso, más raro, de soportes que, por exigencias en la disposición de la zapata, no quedan en eje ni en diagonal, resulta intermedio entre los dos anteriores. El cálculo es algo enrevesado, pudiendo obviarse, decidiendo canto y armadura como la máxima de ellos.


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5. ZAPATAS COMBINADAS CON MÁS DE DOS SOPORTES

A lo largo del texto, se ha podido apreciar cómo según aumentamos la complejidad del caso, la zapata se debe abordar con alguna variación en el planteamiento. Aparecen nuevas variables y nos condicionan de alguna manera el proceso con el cual habíamos abordado casos más sencillos.

1

Sin embargo todos participan de mismos conceptos, de cómo se calculan los momentos según diferentes cortes o de la teoría der bielas. La figura 19 muestra lo que pueden tener en común todos, usando la representación de la bielas de compresión, que en figura precedentes aparecían en alzado.se aprecia como las bielas. En todos ellos las bielas aparecen como un tronco de pirámide que conecta la base del soporte con la zona tributaria de la reacción del terreno. Par una zapata simple, de un soporte, cuadrada y centrada la forma es trivial (y de ahí que no pareciera antes). Para el caso de zapata combinada recta, con soportes iguales, el esquema de bielas forma dos troncos de pirámide, no rectos, que conectan por la base en la línea media de la zapata. Para la combinada diagonal, de soportes iguales, simétricos, y de la misma carga, el esquema de bielas resulta ser el de dos troncos de pirámide de base triangular, cada una de la mitad de la zapata a cada lado de la diagonal.

Figura 19. Bielas de zapatas de uno o varios soportes.

1No es del todo cierto ya que no son casos anteriores, sino diferentes casos, pero en la secuencia del texto sí lo son.


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El lector sabrá descubrir fácilmente cómo son las variantes de zapatas para dos soportes, procedentes de otras configuraciones geométricas, formas de zapata, relación entre las compresiones de soportes, etc., En el caso de tres soportes, si están lo suficientemente cerca unos de otros para resultar inviable realizar zapatas aisladas, se puede disponer igualmente una zapata “combinada” para el conjunto. Para obtener el área de la zapata vale la [1]. La posición del centro de la zapata es el de la resultante de las compresiones de los tres soportes. La forma óptima probablemente procederá de igualar lo más posibles vuelos en todas direcciones. El canto más eficaz será el de mitad del vuelo recto, o el equivalente del vuelo en esquina. El diagrama de bielas, por lógica, debe responde a un esquema como el indicado en la figura, a partir del cual se podrán obtener momentos y armadura con las reglas ya expuestas. No obstante, la deducción de como es la descomposición en las zonas tributarias de cada uno, que deben tener un área igual al cociente de compresión del soporte entre la presión admisible, es difícil de formular con generalidad, y exigirá en cada caso, operaciones de tanteo y aproximación sucesiva. Como líneas de trabajo posterior estaría precisamente la de establecer formulaciones de casos con dos soportes es con distinta proporción entre cargas y distinta orientación, o con tres o cuatro soportes, empezando por abordar los de casos particulares simples.

6. CONCLUSIONES

En este trabajo se ha mostrado cómo, partiendo de las reglas escritas para zapata de un soporte (que son en la práctica las únicas disponibles) se consiguen desarrollar las que habría que aplicar en casos más complejos como las de dos soportes próximos (zapatas acodaladas), alejados (zapatas atirantadas), en diagonal, con la misma o diferente carga, y cómo se podría proceder con los de tres (o más). Se ha establecido cuál es la regla del canto razonable en todos los casos. Igualmente se ha llegado a formular el cálculo de la armadura o armaduras, cuántas hay que considerar, y dónde y cómo se disponen. Y se ha deducido, en los casos en que hay varias formas posibles, cuál sería la más eficaz.


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BIBLIOGRAFÍA

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Edificación – UNED, 1986 MUZÁS LABAD, Fernando. “La rigidez de las cimentaciones superficiales”. Madrid. Revista de obras

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