Zenbaki_Arrazionalak

7/23/2019 Zenbaki_Arrazionalak

1/23

MATEMATIKA DBH3

1. unitatea: ZENBAKI ARRAZIONALAK

1. Zenbaki arruntak eta osoak.2. Zenbaki zatikiarrak.Zatikiak.

2.1. Zenbaki zatikiarrak eta zatikiak2.2. Zatiki motak Propioa eta ez propioa. Zatiki unitarioa. Zatikien interpretazioak.2.3. Zatiki baliokideak. Zatiki laburtezina.2.4. Zatikien alderaketa. Zatiki baten aurkakoa eta alderantzizkoa.

3. Eragiketak zatikiekin: Batuketa, kenketa, biderketa, zatiketa eta berreketa.4. Eragiketen lehentasuna.5. Zenbaki arrazionalak.6. Zenbaki hamartarrak eta zatikiak.

6.1. Zatikitik hamartarrera.6.2. amartarretik zatikira.

7. Zatikiak eta ehunekoak. !alkuluak ehunekoekin.8. Zatikiak dituzten problemak.

HELBURUAK:

1. Zenbaki arrazionalen multzoa ezagutzea.

2. Zatiki batek izan ditzakeen interpretazio ezberdinez jabetzea. Mota desberdinak ezagutu eta bereiztea.Zatikiak irudien bitartez adieraztea.

3. Zatiki baliokideak ezagutzea eta anplifkatze eta sinplifkatzean erabiltzea.4. Zatikiak alderatzea. Zatikien izendatzaile komuna lortzea. Zatiki jakin baten aurkako eta alderantzizko

zatikiak zein diren jakitea.

5. Zatikien arteko eragiketak egitea: batuketak, kenketak, biderketak, zatiketak eta berreketak. Eragiketenarteko lehentasuna zuzen erabiltzea.

6. Zenbaki hamartarrak eta zatikien arteko loturaz jabetzea.7. Problemak ebaztea zatikiak erabiliz.


2/23

HASIERAKOA

Hona, gaiarekin hasteko aurkezten zaigun egoera:

Arantza, Josuk eta Anek aitonaren saria jaso dute baratzean fin-fin lagundu diotelako. Baina, opariaproblema handia bilakatu zaie, ikusten duzunez.

(AnayaHaritza testuliburutik

!iur daude aitonak ez duela inondik ere meloi bakar bat zatitzea nahi. Baina nola banatu meloiak"#ahasi egin ote da aitona"Arrazoizkoa dirudi meloiak ez zatitzea. Ba ote dago meloiak zatitu gabe aitonak oharrean agindu diena

betetzeko modurik"

$ %rakurri aitonaren oharra. !enbat meloi dagozkio iloba bakoitzari"

& Banaketa nola egin asmatu ezinik, amonari eskatu diote laguntza. Errazagorik! Hartu beste

meloi hau eta baatu."!enbat meloi dagozkio bakoitzari orain"

' Baina onena haue da, banaketa egin eta gero amoak meloia buelta eraman duela)

*alkulatu+

$

$

&

$ ++ eta zergatik izan den jakin ahal izango duzu.

Zenbaki arrazionalak &


3/23

#.$ %E&BAKI ARRU&'AK E'A OSOAK

ogoratu hasieran ikasten diren zenbakiak, kontatzeko, ordenatzeko, erabiltzen ditugula. Arruntak

edo naturalak bezala ezagutzen dira. !enbaki horien guztien multzoa adierazteko erabiltzen da:

$,&,',

*ontaketa lanetan berehala premia handitu egiten da, eta adibidez tenperatura adierazi nahi denean '

gradu / azpitik adierazteko -' egiten dugu. Hau da / eta negatiboak erabiltzen ditugu. 0do

igogailuetan solairuak bereizteko

Horrela, zenbaki (ositiboak (arruntak eta euren aurkakoak (egatiboak zenbaki osoak bezala

ezagutzen dira eta guztien multzoa adierazteko erabiltzen da.!enbakien zuzenean, honela adierazten dira:

Eragiketak zebaki osoeki.

Aurreko urteetatik badakigu ezinbestekoa dela eragiketen hierarkia errespetatzea1 hau da, zein

ordenari edo hierarkiari jarraitu behar zaion eragiketa konbinatuetan:

2ehenbizi, parentesi edo kortete artean dauden eragiketak egin behar dira.

3ndoren, maila ezberdinak bereizten dira:

o Berreketak eta erroketak

o Biderketak eta zatiketak

o Batuketak eta kenketak

4aila berekoak direnean, ezkerretik eskuinerako ordenan.

Adibidez :5+'6('& & + espresioan eragiketa nagusia bi)erketada:

Biderkagai bat & da, eta bestea ( ) :5+'6'& +

Azken biderkagai horretan

&

' berreketa, +'6(

arteko batuketa, eta :5 ren arteko keketadaude.

Beraz, egiteko garaian:

$ parentesi arteko kenketa: (6-'7 & eta berreketa: 8'& =& aurreko lanetik, biderketa: $&+&+'6( == eta zatiketa &:5 = ' kortete arteko batuketa eta kenketa: 89$&-&7$8

biderketa '5$8& = 2an hori era horizontalean eginaz honela izango genuke:

( ) :5+'6'& & + 7 [ ]:5+.&8& + 7 [ ] '5$8&&$&8& ==+

Zenbaki arrazionalak '


4/23

Koadernoan egiteko ariketak (1):

Zenbaki osoen arteko eragiketak. Eragiketen arteko lehentasunak

Kalkulatu ondorengo eragiketak:

$ ( )[ ]'&' +++

& ( )[ ]'&'6

' ( ) ( ):5'$ &

+++ ( ) ( ):5'$ & ++ 6 ( ) ( ):5'$ & + ( ) &5'&6 +++

( ) &5'&6 + 5 &'&:+ + 8 ( ) &'&:+ +

$/ ( &'&:+ + $$ ( &'&:+ + $& &'&(:+ +

Emaitzak:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

27 -6 18 14 6 29 17 -13 -14 -13 1 -2

*.$ %E&BAKI %A'IKIARRAK. %A'IKIAK

*.# %ebaki zatikiarrak eta zatikiak.

!enbaki osoek elementuak zenbatzeko eta ordenatzeko balio dutela esan dugu, baina ez dira egokiak

hainbat neurri adierazteko. #eurtzeko, unitatea zatitu egin behar izaten da askotan: 4etro erdia,

segundo ehunenak, hiru laurden litro eta neurri horiek zatikiebidez adierazten dira.

%atikibat, bi zenbaki osoren zati)uraadierazia da. !atikia idazteko era:leaIzendatzai

ileaZenbakitza

!enbakitzailea izendatzailearen multi(loadenean, zatidura, zenbaki osoaizango da1 adibidez &

5

= eta ez bada,

zenbaki zatikiarra+ adibidez&

:edo

8

5

*.* %atiki motak. %atikie iter(retazioak.

!atiki baten zenbakitzaile eta izendatzailea nolakoak diren kontuan hartuz, zatiki mota hauek bereizten

dira:

,ro(ioak: %enbakitzailea, izendatzailea baino tikiagoa denean:5

'eta

ez (ro(ioakedo inpropioak, alderantziz gertatzen denean:

:.

!atiki propioen artean uitarioakditugu: !enbakitzailea $ denean:5

$

%kus egiptoarrek nola erabiltzen zituzten

!atikien interpretazioak.

!atikiek hainbat interpretazio edo esanahi dituzte:

Zenbaki arrazionalak
http://agrega.hezkuntza.net/repositorio/11072011/d3/es-eu_2011071133_9104634/SUB-33da4501-f8ec-31ec-8c00-cfb5c0f6b665/ma003_OA01_eu-eu/index.htmlhttp://agrega.hezkuntza.net/repositorio/11072011/d3/es-eu_2011071133_9104634/SUB-33da4501-f8ec-31ec-8c00-cfb5c0f6b665/ma003_OA01_eu-eu/index.html


5/23

proportzio edo eskala, (mapak, planoak, krokisak$//

$edo $:$//

bi zenbakiren zatidura gisa (tarta baten 5 zatitik ' hartu:5

'

neurketa baten emaitza gisa (zuzenkien luzerak, & metro eta laurdeneko soka bat

edota eragile gisa (&/en

6

&7 5

6

&&/=

. Azken kasu horretan hartzen dute esanahia gai

negatiboak dituzten zatikiek.

*.- %atiki balioki)eak. %atiki laburtezia

b

aeta

d

czatikiak baliokideak izango dira cbda = betetzen bada.

0mandako zatiki baten zatiki baliokideak lortzeko, nahikoa da zatiki horren zenbakitzailea eta

izendatzailea zero ez den zenbaki beraz biderkatzea.

Adibidez$

+

&

&'

' =

eta Honi zatikien a(liikazioa deitzen zaio.;rozesua nahi beste luza

daiteke.

0ra berean zatikien si(liikazioa dugu: zatiki horien zatiki baliokideak lortzea, baina gaitikiagoak izanik. ;rozesu hau ezin da nahi beste luzatu, si(liikatu ezi )e zatikia lortutakoan

amaitzen baita. Azken zatiki hori dugu zatiki laburtezia

*./ %atikie al)eraketa. %atiki bate aurkakoa eta al)eratzizkoa

!atiki bat positiboa eta bestea negatiboa badira, zatiki positiboa zatiki negatiboa baino

handiagoa izango da: Adibidez'

&

5

'eta en alderaketan, positiboa handiagoa denez:

'

&

5

'>

Bi zatikiek zeinu eta izendatzaile berberak dituztenean, zat

Bi zatikiek zeinu bera baina izendatzaile desberdina dutenean, adibidez:

'edo

6

&1 zein da

handiena" %zendatzaile komuneko zatiki baliokideak lortu behar dira eta handiena, zenbakitzaile

handienekoa da.

ogoratu ize)atzaile komua lortzeko, izendatzaileen multiplo komunetan tikiena lortu

behar dela, eta hori izango da, hain zuzen, bilatzen diren zatikien izendatzailea. 3ndoren,

bakoitzaren izendatzaileaz zatitu eta zenbakitzaileaz biderkatu behar da.

!uk egiteko:

ure adibidean,:

'edo

6

&1 zein da handiena"

%zendatzaile komuna: mkt(,67 '6

Baliokideak bilatu eta alderaketa eginaz ikusi6

&

' > dela

Zenbaki arrazionalak 6


6/23

Zenbaki arrazionalak +


7/23

Aurkako eta al)eratzizko zatikiak

!enbaki osoekin bezala, bi zatikien arteko batura %EROdenean, aurkako zatikiak direla

esaten da. Adibidez6

'eta

6

'( eta - zenbaki osoak bezala

Bi zatikien arteko bi)erka)ura BA'denean, al)eratzizko zatikiakdirela esaten da.

Adibidez

:

&eta

&

:. 0do 6 eta

6

$

3satu taula:

%ebakia Aurkakoa Al)eratzizkoa

-6

6

&

'edo

'

-.$ ERA0IKE'AK %A'IKIEKI&.

Batuketa eta keketa

%zendatzaile bera duten zatikien batuketa (edo keketa1 izendatzaile bera duen eta

zenbakitzailean zenbakitzaileen batura (edo kendura duen zatikia da.

Adibidez: =+6

$

6

'

6

&

%zendatzaile desberdina duten zatikien batuketa (edo kenketa egiteko, zatiki horien

izendatzaile komuna lortu (lehenago adierazitako eran eta izendatzaile berdineko kasuan

bezala haien zenbakitzaileen batuketa edo kenketa egingo dugu.

Adibidez: =+

$

6

'

'

&

Bi)erketa

Bi zatikiren bi)erka)ura beste zatiki bat da. !atiki horren zenbakitzailea zenbakitzaileen

biderkadura da eta izendatzailea, berriz, izendatzaileen biderkadura.

Adibidez1 = '

&

6

3rokorrean db

ca

d

c

b

a

=

0ta zatiki bat eta zenbaki oso baten artekoa ere beste zatiki bat da. !atiki horren zenbakitzailea

biderkadura da eta izendatzailea mantendu egiten da.6

'.&'

6

&= 3rokorrean

b

cac

b

a =

(-$ekin biderkatzerakoan, modu desberdinak topa ditzakegu:

'

'

'

$('$(

'=

=

=

= 3rokorrean

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a=

=

=

= $(

$(

%atiketa Bi zatikiren zati)ura bi eratara egin ohi da:

Zenbaki arrazionalak


8/23

o urutz biderketa bezala ezagutzen dena: !enbakitzailea: lehenengoaren zenbakitzailea,

eta bigarrenaren izendatzailearen arteko biderkadura izango da. 0ta izendatzailea,

lehenengoaren izendatzailea eta bigarrenaren zenbakitzailearen areko biderkadura.

Adibidez: ='

&:

Orokorrea

cb

da

d

c

b

a

=:

o Beste modu batez: 2ehenengoa eta bigarrenaren alderantzizkoaren arteko biderketa

bihurtuz:

Adibidez: ='

&:

Batzutan zatikien arteko zatiketa beste era honetara agertzen da:

=

'

&

Orokorreacb

da

d

c

b

a

=

Berreketa

!atikien berreketa egiteko, zenbakitzailearen eta izendatzailearen berreketa egin behar da.

Adibidez: =

'6

&Orokorrea

n

nn

b

a

b

a =

/.$ERA0IKE'E& AR'EKO LEHE&'ASU&A e)o HIERARKIA

aiaren hasieran zenbaki osoekin ikusi dugun bezalae duguzatikieki ere:

$6

':

'

&

6 espresioan leheik zatiketaegin behar dugu eta ondoren keketa:

6

':

'

&

6 7

&&

$':

'

$

$6

&

+ an, leheik batuketagero zatiketaeta azkenik keketa:

&

$':

'

$

$6

&

+ 7

Aurreko espresioa parentesirik gabe:

'&

$':

'

$

$6

&+ an leheik zatiketaeta ondoren, batuketa eta keketa



9/23

&

$':

'

$

$6

&+ 7



10/23

Koadernoan egiteko ariketak ():1.! Kalkulatu ondorengo eragiketak:

$ ( )6&'&

'$+

++

& ( )6&'&

'$+-

+

'&

$

'

&$ +

&

$

6

$& ++

6&

$6

$ +

&

$

6

'&

$

'

$

&

' 5

'

&

+

'

$

8

'&

&

$+ $/

6&

$'

&$$

&

'

&' + $& '

&'&

+Emaitzak:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

28/5 -6/5 -5/6 -13/10 -21/4 9/10 -1/8 4/21 -1 2/5 -23/9 -25/3

.! Kalkulatu ondorengo eragiketak:

$

'

&

'

6

&

&

6

'

$

'

6

&

$

6

'

6&

'

&

$'

+

'

&

+

6

'$

&$

6

&

'$$

5

''

$&$$

$

+

8

'

&

'

&

$

'

&$

$/ $

'

&$

6

' +

$$

6

&

$'

&

6

$$

$& &

&+

6'

&$

+

Emaitzak:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

9/20 5/12 -1/10 -20/3 -9/4 3/10 5/9 13/16 1/3 6/5 -24/25 12/7

".! Kalkulatu ondorengo eragiketak:

$ 6&

$$

'

$

&

$+

& &

'

$$

6

$+

' $$

'

$

&

$& +

6

$&

'

$$ 6 $&

' &

+ &

&

$$

6

&

'

+

'

6

&

'

&

'

6

$+ 5

6.

'

&$

$.

6$

'

&

+ 8 &$

'$

&

$'

+

$/ $+

6

'$

$&

$ &

+

$$

$$

$$

.

'$

'$

+

+

$& &

'

$&

6

6

'$

$'

+

&

$$'

&

$

'

$&

'

$$ 6

&

$

&

'

$' +

+ $6

6

'&$

'

$+'

$.

&

$$

$&$

'

$&

++

$ $'

'

&

$

6

'+

+ $5&

$$

6

' &

+

Zenbaki arrazionalak $/


11/23

$8

&

$&

6

$.

'

&$

&/

'

$.

&

$

'

$

6

&&

&$

'

$$

'

$'

&&&

'

$'

&

$

$

+&' '

$

&

$

'$

'+

&

+ $'

&

$

&

'

&6

+

6

$&

'

&

&

'

'

$

+- &+'

$

+'&

6

&+

Emaitzak

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

14/9 57/8 -7/20 5/18 83/10 33/50 26/45 11/30 25/9 -7/10 19/3 5/8 297/130 -373/105

2.$ %E&BAKI ARRA%IO&ALAK

3rain arte aipatu ditugun zenbakiak,

zenbaki arrutakedo naturalak (

multzoa1

zenbaki osoak(

multzoa eta

zatikiarrakizan dira.

Azken finean zenbaki guzti hauek (osoak eta zatikiarrak zatiki mo)ua a)ieraz )aitezke.

Horregatik, zenbaki arrazioalak (3 multzoa1 bezala ezagutzen dira: proportzioa, arrazoia

gordetzen dutenak alegia.

Adibidez, & zenbakia, zenbaki arrazional bat da, osoa eta arrunta.

-', zenbaki arrazional bat da, osoa (baina ez arrunta

&=6 zenbaki arrazional bat da, zatikiarra (baina ez osoa

Hona multzoak irudikatuz:

%E&BAKI ARRA%IO&ALAK 3 multzoa

Zenbaki arrazionalak $$

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-29/6 26/15 0 2/5 9/16 -53/40 1/14 2/3 -7/4 -1/6 3/35 9/50 14/9

!atikiarrak

&=6

3soak,

-' Arruntak,

&


12/23

*okatu goiko grafikoan zenbaki hauek:3

8;

3

4;

2

6;5,1;

5

7;1;

7

2;2

Iru)ika(ea

!enbaki arrazional batek berau irudikatzen duten infinitu zatiki ditu. %zendatzaile positiboaduen zatiki laburtezinari a)ierazle kaoiko esaten zaio. !enbaki arrazionalak zuzearrazioalea irudikatzen dira.

Adibidez,&/

5,

$6

+,

6

&,

&6

$/,

6

&

, zatiki guztiek zenbaki bera adierazten dute.6

&izango litzateke

adierazle kanonikoa. 0ta zenbakien zuzenean irudikatzea, gogoratu zenbaki bakoitzari zuzeneko puntu

bat dagokiola.

*okatu goiko adibideko zenbakiak:

!uzen osoa:

%

!uzen arrazioalea:

3

!atiki bat zehaztasunez irudikatu nahi denean, gogoratu egiten den eraikuntza geometrikoa:

Adibidez 6=+:

3 puntutik zuzen lagungarri bat eraikiki eta bertan

konpasararekin + puntu markatu.

Azken puntua $ arekin lotu eta paraleloak eraiki.

4odu horretara unitatea + zati berdinetan banatua

geldituko zaigu eta horietatik 6 hartuko ditugu.

0ta &'="

*onturatu zenbaki hau 6 eta + artekoa dela.

3ndorioz, lehen egindako antzeko lana jarraituko dugu, baina / eta $

artean izan ordez, 6 eta + artean egingo dugu:

0raiki zuk, &=' eta =':

&='

Zenbaki arrazionalak $&


13/23

='

4.$ %E&BAKI HA5AR'ARRAK e)o 6E%I5AL6U&AK eta %A'IKIAK

Hamartarra esaten dugunean gure zenbaki sistema hamartarrari buruz ari gara eta ondorioz, zenbaki

hamartarra esaten dugunean, >koma?dun zenbakiak datozkigu burura. Hau da, zati bat osoa eta beste

zati dezimalduna edo hamartarra dugu. 0guneroko bizitzan etengabe gertatzen dira balio osoen etahamartarren adierazpenak konbinatu beharreko egoerak.

@akigun bezala, zenbaki hamartarrek zati osoaeta zati hamartarradituzte.

%ati osoa: koma, hamartarraren ezkerrean dauden zifrek osatzen dute (batekoak, hamarrekoak,

ehunekoak, milakoak. ...

%ati hamartarra: koma hamartarraren eskuinean dauden zifrek osatzen dute.(hamarrenak,ehunenak, milarenak, hamar milarenak. ..

!ati hamartarra, (komaren eskuinaldekoa ren arabera, hamartar mota hauek topa ditzakegu:

$ Hamartar zehatza: zifra kopuru mugatua du: &,+61 1 -6,&'1 /,$&'1 -/,/&'

& Hamartar (erio)ikoa: %nfinitu zifra hamartar ditu, baina zifra bat edo multzo bat errepikatu

egiten da. Hemen bi eratakoak izango ditugu:

',666666 ;eriodoa 6 da. Bi zifra horiek komaren ondoren hasten diraerrepikatzen. Hauek (erio)iko (uruakedo soilak deitzen zaie.

&,6+'''' ;eriodoa ' da. Baina koma eta periodoaren artean, beste bi zifra

ditugu. Horiek (erio)iko mistoakedo nahasiak bezala ezagutzen dira.

Zenbaki arrazionalak $'

Koma

hamartarra

!ati osoa

(batekoak, hamarrekoak...

!ati hamartarra

(hamarrenak, ehunenak


14/23

-1 ,erio)ikoak ez )ire hamartarrak. Adibidez oso ezaguna den ...$$68,'=

4.#.$ %atikitik hamartarrera (asatzea: hamartar zehatzak hamartar (erio)iko soilak e)o

(uruak eta hamartar (erio)iko mistoak e)o ahasiak

3rain arte ikusi ditugun zenbakiak, arrazioalak (zatiki moduan adieraz daitezkeenak, erahamartarreaidatz ditzakegu zenbakitzailea izendatzaileaz zatituz.

*asu hauek gerta daitezke:

!enbakitzailea, izendatzailearen multi(loabada, zenbaki osoaizango dugu.

Beste kasuetan:

o Hondarra zero bada, zatiketa zehatza izango da eta lortutako zenbaki hamartarra, berriz,

zenbaki hamartarzehatza. Adibidez, $=& 7 /,6 0ta '=$+7 /,$56

o Hondarra zero ez bada, adierazpen hamartarrak infinitu zifra izango ditu baina zifrak

errepikatzen hasten dira. *asu horretan zenbaki hamartar (erio)ikoada.!enbaki hamartar periodikoek errepikatzen den zati hamartarra dute, eta horri al)iaedo

periodoa deitzen zaio.

;eriodoa koman bertan hasten bada, hamartarperiodiko soila(edo purua deitzen zaio.

Beste kasuan,periodiko misto(edo nahasia. *oma ondoren errepikatzen ez den zati

hamartarra aurre$(erio)oada.

Adibidez: &,$...&&,$$$

$&== (periodiko soila edo purua. Aldia edo periodoa & da.

'5,&...5''',&+

$

== (periodiko mistoa edo nahasia. Aldia edo periodoa ' eta aurre-periodoa 5.

Idatzi zatiki hauen adierazpen hamartarra eta adierazi ze hamartar mota den:

=

$$

+

=

$+

&'

=

$&

'6

Zenbaki arrazionalak $


15/23

Ikerketat7oa: Aztertu zatiki laburtezie ize)atzailee arabera zer olako zebaki hamartarra

sortze )e.

Zatiki unitarioak hamartar bihurtuz oa ezazu taula hau !1"2# arte$:

Zatikia %amartarra

%amartar mota&zendatzailea'aktoreen bidez

dekon(oatua

%amartar

zehatza

%amartar

(eriodiko(urua

%amartar

(eriodikonahaia

1"2 #,5 ) 2

1"3

*

+ztertu ea izendatzailearen arabera zer nolako zenbaki hamartarra aterako den

-ndorioz, ba al dakizu zatiketa egin gabe, zatiki hauetatik nolako zenbaki hamartarraklortuko genituzkeen. +rrazoitu erantzuna

a$$'

'b$

'6

6/$

+

&/d$

6/

:

e$$6

$&'$$

'g$

'/

&

h$$6

5

Zenbaki arrazionalak $6
http://var/www/apps/conversion/tmp/Google%20Drive/MATEMATIKA/DBH3/MAT3_14-15/Programazioaren%20prestaketa/Unitateen%20prestaketa/01Zenbaki_Arrazionalak/4Ariketak(unitarioen%20taula).dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/Google%20Drive/MATEMATIKA/DBH3/MAT3_14-15/Programazioaren%20prestaketa/Unitateen%20prestaketa/01Zenbaki_Arrazionalak/4Ariketak(unitarioen%20taula).doc


16/23

Zenbaki arrazionalak $+


17/23

4.*.$ Hamartarretik zatikira (asatzea

!enbaki hamartar (erio)iko guztiak zatiki eran ere adieraz daitezke. Horretarako, $/en

berredura egokiaz biderkatu eta zenbait eragiketa erraz egin behar dira zatikia lortu arte. !atiki

hori sinplifikatu eta laburtezin bilakatzen badugu, zenbaki hamartar horren zatiki sortzailea

lortuko dugu.

$1 Hamartar zehatza.Adibidez $,&6

Errepikatu 37,5rekin eta 0,45rekin

& Hamartar (erio)iko (urua. Adibidez $,''....

Errepikatu 2,444rekin eta 0,2424!rekin

' Hamartar (erio)iko ahasia. Adibidez $,'$5$5....

Zenbaki arrazionalak $

!enbakiaren balioa idatzi: &6,$="

!ati hamartarren kopuruaren arabera $/,$//,

$///..rekin biderkatu:

0ta isolatu:

$&6$// ="

6

$//

$&6=="

4odu laburrean:6$&6

&6,$ ==

!enbakiaren balioa idatzi: ....'''',$="

Aldiak dituen zifra kopuruaren arabera,$/, $//,

$///rekin biderkatu:

Bi berdintzen kenketa egin:

0ta isolatu:

....'''',$'$/ ="

...'''''',$

....'''',$'$/

=

=

"

"

...''''',$....'''',$'$/ = ""

$&8 ="

'

8

$&=="

4odu laburrean:'

8$&

8$$'',$ ===


18/23

Errepikatu 3,24####rekin eta 0,72$5$5!rekin

Koadernoan egiteko ariketak ("):#a$artarrak eta %atiki sort%aileak

1$ Zenbaki hauek zein eratako hamartarrak diren adierazi eta bilatu zatiki ortzaileak

a$ 3,67777* b$ 12,45 /$ 3,262626* d$ 5,643333*

2$ Zenbaki hamartar hauek zatiki eran idatzi, hau da bilatu zatiki ortzailea:

a$ #,45 b$ ...'''',& /$ ...6+6+,/ d$ ...//$&$&,/ e$ ...+++,6

'$ &6,+ g$ ...66,$& h$ ...$&'$&',' i$ ...$6+6+,$ 0$ ...6:$$$,/

k$ $&6,$ l$ ...//+++,$ m$ &',/ n$ &6,$& o$ :&,/

Emaitzak:

a)&/

8b$

'

:/$

86

&&+d$

5&6

$e$

'

$:'$

&6g$

$$

$'h$

'''

$//

i$$85

&&80$

6/

&6k$

5

8l$$6/

$6$m$

6//

$$n$

8o$

8//

&&'

8.$ %A'IKIAK E'A EHU&EKOAK. KALKULUAK EHU&EKOEKI&

!atikiak aipatu ditugunean ikusi bezala, adibidez &=6, zatikiaren esanahi bat >6 zatitik &? da. Hori bera

esan dezakegu, >$/etik ?, edo >&/tik 5? edo >$//etik /?1 hau da, / adierazten duguna.

Beraz orokorrean ehuekoak zatikibatzuk ditugu.

$//

&'&'A = (ehunetik &' edo &' ehunen

3ndorioz zenbaki baten ehunekoa kalkulatu nahi dugunean, ez dugu zergatik hirukotearen erregela

erabili beharrik.


!enbakiaren balioa idatzi: ....'$5$5,$="

Aurre-periodoak dituen zifren arabera, $/,

$//..ekin biderkatu: (ohartu sortzen den

zenbakia periodiko purua dela.

3ndoren, aldiak dituen zifren arabera, $/, $//

ekin biderkatu

....$5$5,$'$/ ="

( "" $///$/$// =

....$5$5,$'$5$/// ="

E)ozuzenean, batetik aurre-periodoak eta aldiak

guztira dituzten zifren arabera biderkatu

0ta bestetik aurre-periodoak dituen zifra

kopuruaren arabera biderkatu

(kasu honetan $9&7' zifra:

....$5$5,$'$5$/// ="

....$5$5,$'$/ ="

Bi berdintzen kenketa egin:

0ta isolatu:

...$5$5$5,$'$/

....$5$5,$'$5$///

=

=

"

"

...$5$5,$'....$5$5,$'$5$/$/// = ""

$'/688/ ="

&&

&8

88/

$'/6=="

4odu laburtuan: &8$'/6$'$'$5...'$5$5,$ ==

=


19/23

8.# %ebat )a katitate bate ehuekoa9

%dibidez 200 ika&leko ika&tet"e batean, ika&leen '25 betaurrekodunak badira, zenbat ika&le dira

betaurrekodunak(

ehienetan honela egin ohi da:

eta hortik, ika&le) 6/$//

6///

$//

&6&//===

Beste era batera ikus dezakegu: *ontuan hartuz, ikasleen

laur)eadela betaurrekoduna, &// ikasle izanik, horietatik laurdena: 6/

&//= ikasle

3rokorrean, beste edozein kantitate baten ehunekoa, adibidez, '//en $+ kalkulatu beharko bagenu,

hirukotearen erregela honela izango genuke:

$// - $+

'// - eta --- 5$//

5//

$//

$+'//==

=)

#ahikoa genuke zuzenean 5$+,/'// =

Hau da, $+ kalkulatzea, /,$+-kin biderkatzea da1 alegia, ehunekoa, hamartar eraidatzi eta

berarekin bi)erkatu.

*alkulatu zenbat den 27+0 ren '35:

8.* %ebat )a (ro(ortzio bati )agokio ehuekoa9

Beste adibide bat:Zer &a&kiratze-ehuneko izan ote du, 32 &aiakeratik, 7 &artu dituen okalariak(

*asu honetan,

eta hortik, 55,&$'&

//

'&

$//

==

=)

Beraz, &$,55

0ta zuzenean, 55,&$'&

//$//

'&

===)

23 ika&letatik, + .ai"orik daude Ze ehuneko ote da(


$// ikasletik, betaurrekodunak, &6ikasle

&// ikasletik, betaurrekodunak

ikasle

'& saiakera eginda,&a&kiratuak

$// eginez gero,&a&kiratuak


20/23

8.- Ehuekoe igoerak

/ehen #0 balio zuen erlou bat '$# .are&titu da Zenbat balio du orain(

%goera: C+,8$+,/+/ = Beraz, balio berria: C+,+8+,8+/ =+

Baina hori bera, beste era honetara ikus dezakegu: $+ garestitu bada, oraingo prezioa lehengoaren

$$+ da. $//9$+ edo $9/,$+ alegia. Beraz, +/ zuzenean biderkatuko dugu: C+,+8$+,$+/ =

Azkeneko kantitatea lortzeko hasierako kantitateari biderkatu behar zaion zenbaki horri (adibidean

$,$+ al)akutza$i)izeaesaten zaio.

rte.i batean #50 hm3zeudelarik, '$7 .ehitu bada, zenbat ur da.o orain(

8./ Ehuekoe aitsierak

/ehen #20 balio zuen telebi&ta bat '30 merkatu dute Zenbat balio du orain(

Jaitsiera: C$5+',/+&/ = Beraz, balio berria: C'$5++&/ =

Beste modura, hasierako prezioari '/ kentzean, / gelditzen da ($//-'/ edo $-/'7/,. Beraz,

azken prezioa C',/+&/ =

Jaitsieraren kasu honetan,al)akutza i)izea$-/,'7/, da.

8.2 &ola kalkulatu hasierako katitatea aki)a (ortzetaezko al)akutza eta azkeeko

katitatea9

1rezioa '35 .are&titu ondoren, ordena.ailu batek 7+3 balio ditu orain Zenbat balio zuen i.o baino

lehen(

*onturatu:[ ] [ ] [ ]prezioaazkenekoprezioa2a&ierako = '6,$ 0ta hortik,[ ] [ ] [ ]'6,$= prezioaazkenekoprezioa2a&ierako

Beraz

8.4 Ehuekoak kateatuz

*antitate bat '25 handia.otu da, eta .ero emaitza hori '33 handia.otu da Ze ehuneko handia.otu

da .uztira ha&ierako kantitatea(

Drratsez urrats joango gara:

$ &6 handiagotzean lortzen duguna: [ ] &6,$kantitatea2a&ierako

Zenbaki arrazionalak &/


21/23

& 0maitza hori '' handiagotzean:( ) ( ) ( ) ++&6,$'',$&6,$'',$&6,$ == kantitatea2a&ierakokantitatea2a&ierakokantitatea2a&ierako

Hau da, portzentajezko igoera: ++,&6 izango da. (*onturatu ez dela &69''765

!uk egiteko:

+00 balio zituen .itarra bat '50 .are&titu zen aina .ero, '50 merkatu da a&ierako prezioa bera

al du(

Entziklopedia batek balio zuena, 520 , '$0 .are&titu zen lehenen.o .ero, be&te '25 eta azkenik,

'30 ait&i da Zenbat da azken prezioa( Zer ehuneko i.oera edo ait&iera izan du(

Zenbaki arrazionalak &$


22/23

;.$%atikiak )ituzte buruketak

$ 6ikelek bi karpeten azalak orratzeko paper berezia erabili du atentzat'

& erabili du eta

be&tearentzat:

&

a Zein zatiki .eratu zaio &obera(

b %dierazi ehunekotan

a$ i kar(etak 'orratzeko erabili duena:

eratu zaion zatikia:

b$ eratu zaiona ehunekotan:

(Beste modu batera egindakoa jaso)

2 Ibilbide bat e.in du.u lau e.unetan /ehen e.unean ibilbidearen$/

$e.in du.u, bi.arrenean

'

&,

hiru.arrenean$6

&eta lau.arrenean 8 km

a Zenbateko ibilbidea e.in du.u .uztira(

b Zein da zati bakoitzaren ehunekoa(

a$ %iru egunetan egindakoa:

augarren egunean egin dituen km horiek, ibilbidearen zein zatiki dira.

-ndorioz, ibilbide ooa:

(Beste modu batera ere egin dezakegu: eskematxo bat eginaz)

b$ ehenengo egunean egindakoa ehunekotan:igarren egunekoa:%irugarren egunekoa:augarren egunekoa:

(3hartu denen baturak, ibilbide osoa edo $// eman behar duela

Zenbaki arrazionalak &&


23/23

Koadernoan egiteko ariketak (&):

1.!Zerealen nahate batean,$6

:garia da;

&6

8, oloa eta gainerakoa arroza

a$ ahaketaren zenbateko zatia da arroza.b$ Zereal bakoitzaren zer kantitate egongo da 6## gko nahatean.

.!-liode(oitu batetik, erdia hutu dugu eratu denetik, berriro erdia hutu dugu eta gero, geratudenaren 11"15 +zkenean 36 l geratu badira, zenbat zeuden haieran.

".!'

&eta

6

&zatikien arteko kenketa eta biderketa egiten badugu, emaitza berbera lortuko dugu

a$ Egiaztatu eandakoab$ ilatu (ro(ietate bera duten bete hiru zatiki bikote

&.!ilatu hauen arteko zatiki bat:

a$6

'

&eta b$

$&

$$

$&

$/eta /$

$

6

$ eta d$

+

5

+

eta

'.!Kan(amendu batean, gazteen5

'euro(arrak dira,

6

$aiarrak eta gainerakoak a'rikarrak uztira

8## gazte badaude:a$ guztien zein zatiki dira a'rikarrak.b$ Zenbat gazte euro(ar daude./$ +iaren erdia nekak badira, zenbat neka aiar daude.d$ Zein dira lurralde bakoitzeko gazteen ehunekoak.

.!aukagun diru ko(uruari bere erdia eta euro bat gehituko bagenio, 325 balio duen telebita eroiahal izango genuke Zenbat diru daukagu.

.!&dazle batek eleberria idatzi du lau hilabetetan ehen hilabetean6

& idatzi du, bigarrenean

+

$,

hirugarrenean$6

&eta laugarrenean 54 orrialde Zenbat orrialde ditu eleberriak.

*.! izilagun elkarte batek energia kontumoaren:

&eguzki (laken bitartez aurreztea lortzen du

ainerakoa, guztiek zati berdinetan ordaintzen dute 2# bizilagun badira, eta bakoitzak hilero 2#,5 ordaintzen baditu:

a$ Ean zenbatekoa den eurotan, elkartearen energia kontumoab$ Ean zenbat den eurotan (lakei eker hilero aurrezten dutena/$ +urrezkiaren zein zatiki dagokio bizilagun bakoitzarid$ Zenbat euro aurrezten ditu bakoitzak hilean.

Emaitzak:1 2 5 6 7 8

a) 13/75 b) garia, 280 g; oloa 216 etaarroza, 104 g

540litro

a)17/40; b) 300; c)80; d) 37,5% eur20% a; 42,5% a!r

216"

180orrialde

a) 574 " ; b) 164 ";c)1/70 ; d) 8,2 "

Zenbaki_Arrazionalak

Documents

Transcript of Zenbaki_Arrazionalak