PROBABILIDAD
CONCEPTOS BASICOSDos almacenistas en planta Jorge y Pedro
Jorge tiene clasificada la tornillera
Pedro tiene cajas con variedad de tornillos
Cuando Jorge tome un tornillo de una caja preseleccionada,
podremos predecir qu clase saldr?.
Cuando Pedro tome un tornillo de una de sus cajas,
podremos predecir qu clase saldr?.
EXPERIMENTOS ALEATORIOSEl experimento de Pedro es al azar puesto que no se puede predecir su resultado.
El experimento de Jorge no es al azar, puesto que siempre podemos predecir su resultado.
Los EXPERIMENTOS ALEATORIOS no son predecibles
Para el caso de Pedro y Jorge cual es mejor?
Nmero que reporta un dado en dos lanzamientos consecutivos
Fraccin pasante 40 en proceso de molienda
Nmero de piezas defectuosas durante un da de produccin
Nmero de unidades vendidas diariamente en un punto de venta.
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
CONCEPTOS BASICOS
EVENTO: resultado obtenido al realizar un experimento, se denota por A, B, C, .
EXPERIMENTO: # DE RECLAMACIONES EN UN DIA
EVENTOS:
- No recibir reclamaciones
- Recibir ms de 15 reclamaciones
EVENTOS
ELEMENTAL :
Al lanzar un dado sale un seis A={6}
COMPUESTO:
Al lanzar un par de dados la suma de mayor de 6
IMPOSIBLE:
Al lanzar dos dados convencionales, que la suma de 14
SEGURO:
Extraer una ficha verde de una bolsa llena
solamente de fichas verdes
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Si uno ocurre el otro no puede ocurrir y viceversa
A: Tomar el destornillador
B: Tomar el alicate
EVENTOS
A B
CON REFERENCIA AL EXPERIMENTO SELECCIONAR UNA HERRAMIENTA DE LA FIGURA, ENUNCIE
UN EVENTO SIMPLE
UN EVENTO CIERTO
UN EVENTO IMPOSIBLE
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
EVENTOS NO EXCLUYENTES
EJERCICIO
ESPACIO MUESTRAL Conjunto de TODOS los eventos SIMPLESmutuamente excluyentes que puedeobtenerse al realizar un experimento aleatorioy se denota S .
S={resultados de lanzar el dado}
A={1},B={2},C={3},D={4},E={5},F={6}
S={resultados de lanzar el dado}
A={>3},B={
PROBABILIDAD
( )
N de casos favorables al suceso AP A
N total de casos posibles
O bien:
METODO CLASICO
#( )
#
AP A
La probabilidad de que ocurra un suceso A, asociado a un espacio muestral , esta dado por:
A
EJERCICIO
El naturalista francs Buffon lanz una moneda 4.040 veces.
Resultando 2.048 caras, una razn de 2.048/4.040 = 0,5069
El matemtico ingls John Kerrich, mientras fue prisionero de los alemanes durante la Segunda Guerra Mundial, lanz una moneda 10.000 veces.
Resultando 5.067 caras, una razn de 0,5067
Alrededor de 1900, el estadstico ingls Karl Pearson en un
acto sin precedentes lanz una moneda 24.000 veces.
Resultando 12.012 caras, una razn de 0,5005
EXPERIMENTO: REGISTRAR EL LANZAMIENTO DE UNAMONEDA
CARA SELLO
M FRECUENCIAL
PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
PROBABILIDAD DE UN EVENTO IMPOSIBLE
(A = )
PROBABILIDAD DE UN EVENTO SEGURO
(B = )
PROBABILIDAD DE CUALQUIER EVENTO (C)
( ) 0#
P A
#( ) 1
#P B
0 1P C
PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
( )P A Probabilidad de ocurrencia
( ') cP A P A Probabilidad de no ocurrencia
( ) 1cP A P A
=
AA
Si A y B son sucesos cuales quiera asociados a un espacio muestral S
La probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B esta dada por:
PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
( )P A B P A P B P A B
Es posible hacer una especie de analoga entre el algebra de conjuntos y el algebra de probabilidades.
U Conjunto Universo
o S Espacio Muestral
se llama suceso seguro
P () = 1
Conjunto A Suceso o Evento A P(A)
AB= Conjuntos disyuntosAB= Sucesos mutuamente
excluyentes
AB= ^ A U B = U
Conjuntos complementarios
AB= ^ A U B =
Sucesos complementarios
A = A conjunto vacioA = A suceso imposible
P(A) = 0
PROBABILIDAD CONDICIONAL
PARADOJA DE MONTY HALL
Bienvenidos al
show de Monty Hall!
Detrs de una de estas
puertas hay un coche.
Y detrs de las dos
restantes hay una cabra.
A B C
Elijo la puerta A
Nuestro concursante
seleccionar una puerta ...
A B C
PUERTA SELECCIONADA
Monty Hall (que
conoce dnde est
el coche) abre la
puerta C.
Ahora sabemos que
el coche est o bien
en A o bien en B.
Monty Hall nos permite cambiar de
eleccin si queremos
Es ms probable ganar el coche si cambiamos de
puerta? (En este caso de A a B).
PROBABILIDAD CONDICIONAL
PARADOJA DE MONTY HALL
Debe el concursante
mantener su eleccin
original o escoger la otra
puerta?
Hay alguna diferencia?
Si el concursante
CAMBIA
su eleccin original
Pierde Gana Gana
Gana
Gana
Pierde
PierdeGana
Gana
Si el concursante CAMBIA su eleccin original gana 6
veces de las 9: su probabilidad de ganar es 6/9 = 2/3. Si
no cambia, su probabilidad de ganar es de 3/9 = 1/3.
Tiene el doble de
posibilidades de ganar si cambia de puerta!
Pierde Gana Gana
Gana
Gana
Pierde
PierdeGana
Gana
Lanzamos dos dados, uno rojo y otro blanco.
x
x
(3) 2/36 0,056P
Cul es la probabilidad de que sumen 3?
Supongamos que hemoslanzado ya el dado rojo y hasalido un 1.Cul es ahora la probabilidad de que sumen 3?
x
( 3 | 1)
1/ 6 0,167
P de suma dado rojo
sexo edad
C.A. H 18
M.B. M 19
J.C. H 19
M.C. M 20
L.O. M 21
S.E. H 20
A.V. M 20
N.D M 21
D.F. H 25
C.C. H 19
L.M. H 18
N.V. M 20
D.M. M 20
N.M. M 19
SucesosA = ser hombre (H)B = edad 20
A Ac
B
Bc
Probabilidades
P(A) =
4
62
2
6/14 = 0.43
P(B) =6/14 = 0.43
P(A B) = 4/14 = 0.29
P(A B) =
6/14 + 6/14 - 4/14 = 0.43+ 0.43 - 0.29 = 0.57
P(AB) = 4/6 = 0.67
P(A) + P(B) - P(A B)
Intuir la probabilidad condicionada
A
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A B) = 0,10
A
Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B)=1 P(A|B)=0,8
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A B) = 0,08
BB
Intuir la probabilidad condicionada
A
B
A
B
Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B)=0,05 P(A|B)=0
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A B) = 0,005
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A B) = 0
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Se llama probabilidad de A condicionada a B
o probabilidad de un suceso A sabiendo que
se ha producido un suceso B:
P A BP A B
P B
Una vez A ha ocurrido, ya es seguro:
( ) ( )( / ) 1
( ) ( )
P A A P AP A A
P A P A
Cuando A y B son excluyentes, una vez ha ocurrido A, B es imposible:
( ) 0( / ) 0
( ) ( )
P A BP B A
P A P A
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Espacio restringido
Negro
ColorPalo Rojo Total
As 2 2 4
No-As 24 24 48
Total 26 26 52
Cul es la probabilidad de que una carta escogida al azar sea un as sabiendo que es roja?
2 52 2
26 52 26
P As RojoP As Rojo
P Rojo
REGLA DEL PRODUCTO
Dados los eventos A y B de un mismo espaciomuestral, la probabilidad de que ambosocurran esta dado por:
P A B P A P B A
P A B P B P A B
Un lote contiene 10 artculos de los cuales 4 sondefectuosos, se extraen al azar 3 artculos unopor uno y sin reposicin. Cul es laprobabilidad de que:
Solamente el primero salga defectuoso?
Slo uno de los tres salga defectuoso?
REGLA DEL PRODUCTO
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