16/11/2015
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Tema 1: Números reales
• 1. Números reales (racionales e irracionales)
• 2. Aproximación de números reales
• 3. La recta real
• 4. Valor absoluto. Intervalo y semirrectas
• 5. Potencias de exponente entero. Notación científica
• 6. Radicales
• 7. Potencias de exponente fraccionario
• 8. Operaciones con radicales
• 9. Racionalización
• 10. Logaritmo de un número real
• 11. Propiedades de los logaritmos
• 12. Interés compuesto
Naturales
(N)
Enteros (Z)
Racionales (Q)
Irra
cio
na
les (
I)
REALES
1. Números reales (racionales e irracionales)
Un número racional es el que puede escribirse como cociente de dos números enteros a ; b, con b≠0
b
a
Ejemplos NÚMEROS RACIONALES
Expresión decimal
2
10Entera
100
174Decimal exacta o finita
9
25Decimal periódica pura
90
124Decimal periódica mixta
Expresión fraccionaria
74,1
5
7,2
73,1
(N)
(Z)
(Q) (I)
REALES
Clasifica los siguientes números dentro del conjunto en el que pertenezcan.
73,1
√2
3
43
6
2
4
...00010100100010,1
...010101,1
010010001,1
Decimal periódico puro
Decimal finito
Decimal No finita No periódica
Decimal periódico mixto
Ejemplos
1,22333444455555...
2,01001000100001...
3,14159...
Enteros
Decimal exacta o finita
Decimal periódica
¿Existen más expresiones decimales?
¿Piensa ejemplos?
¿Esas expresiones decimales son racionales?
¿ Se pude expresar como fracción dedos números enteros?
Números irracionales
Números racionales
Puras
Mixtas
Decimales NO finitas NO periódicas
NO
2. Aproximaciones de números reales
POR DEFECTO: el número aproximado es menor (eliminar los decimales posteriores según el orden de aproximación.
POR EXCESO: el número aproximado es mayor ( aumentar una unidad la última cifra decimal según el orden de aproximación.
APROXIMAR
ERROR ABSOLUTO de una aproximación
Diferencia en valor absoluto entre el valor de la aproximación y el valor exacto
Para redondear un número a un orden dado:POR REDONDEO:
Se observa la primera cifra eliminada
SI <5
SI ≥5
Mejor aproximación por defecto
Mejor aproximación por exceso
ERROR RELATIVO de una aproximación
Cociente entre el error absoluto y el valor exacto (%)
Aproximar un número es sustituirlo por otro cercano a él
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ORDEN de una aproximación
Máximo error absoluto que se comete al efectuarla y también cuál es su última cifra decimal
ejemplo
2 1,411421356...
Orden Defecto-Exceso
Unidad
Décima
Centésima
Milésima
1 2 2
1,4 2 1,5
1,41 2 1,42
1,414 2 2,415
ejemplo ...416198487,755
https://tube.geogebra.org/material/simple/id/269301
Orden Unidad Décima Centésima Milésima Diezmilésima
Defecto
Exceso
Redondeo
Orden Unidad Décima Centésima Milésima Diezmilésima
Defecto 7 7,4 7,41 7,416 7,4161
Exceso 8 7,4 7,42 7,416 7,4162
Redondeo 7 7,4 7,42 7,416 7,4162
3. La recta real
Representación de números racionales
ejemplo Representar
3
4
20
1
2
?
20
1
2
?
5
3
Representar
4
6
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Tema 1: Números reales
• 1. Números reales (racionales e irracionales)
• 2. Aproximación de números reales
• 3. La recta real
• 4. Valor absoluto. Intervalo y semirrectas
• 5. Potencias de exponente entero. Notación científica
• 6. Radicales
• 7. Potencias de exponente fraccionario
• 8. Operaciones con radicales
• 9. Racionalización
• 10. Logaritmo de un número real
• 11. Propiedades de los logaritmos
• 12. Interés compuesto
Valor absoluto de un número real a, |a|, es la distancia que hay desde “a” hasta cero en la recta real.
VALOR ABSOLUTO
Es siempre un número no negativo.
Definición equivalente:
a
a
a
a 0
a 0
si
si
4. Valor absoluto. Intervalos y semirrectas
• De esto se deduce que la distancia entre dos números reales a y b es igual al valor absoluto de su diferencia.
d(a,b) d(b,a) b aejemplo
d(5,2) d(2,5) 2 (5) 52 7
• Los intervalos y semirrectas se usan para describir conjuntos de números en la recta rea
(,a]
(,2]
(,a)
(,5)
[a,)
[5,)
(a,)
(4,)
TIPOS DE SEMIRRECTAS
• Tipos de intervalos
Tema 1: Números reales
• 1. Números reales (racionales e irracionales)
• 2. Aproximación de números reales
• 3. La recta real
• 4. Valor absoluto. Intervalo y semirrectas
• 5. Potencias de exponente entero. Notación científica
• 6. Radicales
• 7. Potencias de exponente fraccionario
• 8. Operaciones con radicales
• 9. Racionalización
• 10. Logaritmo de un número real
• 11. Propiedades de los logaritmos
• 12. Interés compuesto
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• Si a es cualquier número distinto de cero
5. Potencias de exponente entero. Notación científica
a0 1
an 1
an
Propiedades de las potencias:
an am anm
(an bn ) a b n
(an :bn ) a :b n
an : am anmmnmn aa )(
• Hay números que por ser muy grandes o muy pequeñosse expresarían con muchos ceros. La notación científicapermite expresarlos de forma más compacta.
x a 10p
1 a 10
p es “orden de magnitud” de x
6. Radicales
• Un radical es la raíz indicada de un número
an
a 0si
anRepresenta el único número positivo cuya potencia n-ésima es a
• Propiedad fundamental de los radicales
a 0si
mn mn aa
(m 0)
• Dos radicales son equivalentes si representan el mismo número real
ejemplo 1
164 16224
164 2568
2 2
mn mn aa
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5
Ejemplo 2
¿ 83 (8)232 ?
2 2
¿ 83 816 ?
¿No se cumple el teorema?
Se cumple, porque el ejemplo no cumplía una de sus premisas
a 0si
(m 0)
mn mn aa
mn mn aa
Ejemplo ¿Qué es mayor, ó ?
53 7
Para compararlos los pondremos bajo el mismo índice.
Expresándolos como potencias.
5
3 7
Índice
2
3
m.c.m de ambos exponentes
6
66 3 1255
66 2 497
1256 496
Índice
5
3 7
7. Potencias de exponente fraccionario
• Un radical puede expresarse como una potencia de exponente fraccionario
amn
am
n
8. Operaciones con radicales
Para que tengan sentido las relaciones anteriores, deben tener sentido en R las expresiones y
an
bn
Operación Expresión Ejemplo
Producto y cociente de radicales del mismo índice
Producto y cociente de radicales de distinto índice
Se reducen a índice común y se aplica lo anterior
Potencia de un radical
Raíz de un radical
an bn a bn
an : bn a :bn
an m
amn
amn anm
23 53 2 53 10
73 2
723
1735 1715
• Radicales semejantes: “Dos radicales son semejantes si una vez simplificados se escriben con la misma parte radical. Es decir: iguales índice y radicando.”
Comprueba si los siguientes radicales son semejantes, tratando de escribirlos con la misma parte radical:
75
147
12
52 3
22 3
72 3
35
7 3
2 3
75
147
12+ + =
52 3 + +
22 3
72 3 =
35 + +
2 3
7 3 =
3725 = 314
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Ejemplo 2
14
723
14
723
73
73
14 73
733
14 73
7
2 73
9. Racionalización
• Racionalizar una expresión fraccionaria con radicales en el denominador es encontrar otra en la que no aparezcan radicales en el denominador.
Ejemplo 1
6
2
6 2
2 2
6 2
2 2
6 2
2
3 2
Ejemplo 3
2
5 2
2 5 2
5 2 5 2
5 2 2
2
5 2
2 2
10 2
5 2
10 2
3
(ab) (a b) a2 b2
“suma por diferencia, diferencia de cuadrados”
• Ej 46. Página 16 Racionaliza y simplifica las expresiones siguientes:
3 6
6 6
3 6
66
2
10 52
3
53 523
10 52
3
5 2 52
3
3 2
3 2
3 2 32
32
32
3
6
323 3 2
3
6A)
10
53B)
3 12
3C)
2
18
6
183 33
• Página 16 Ej.48 - Racionaliza y simplifica.
9. Racionalización
6 3
6 3A)
6 3 2 6 3
6 3
6 3 6 3 6 3 6 3
6 3
2
6 2
3 2
9 2 18
3
9 2 3 2
3 3
)223(3
3 2 2
(ab) (a b) a2 b2
abbaba 2)( 222
Extraer factor del radical
Sacar factor común
Tema 1: Números reales
• 1. Números reales (racionales e irracionales)
• 2. Aproximación de números reales
• 3. La recta real
• 4. Valor absoluto. Intervalo y semirrectas
• 5. Potencias de exponente entero. Notación científica
• 6. Radicales
• 7. Potencias de exponente fraccionario
• 8. Operaciones con radicales
• 9. Racionalización
• 10. Logaritmo de un número real
• 11. Propiedades de los logaritmos
• 12. Interés compuesto
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Trabajo de clase ( puedes utilizar la libreta, calculadora)Tiempo 10 minutos
10. Logaritmo de un número real
• Sea b es un número positivo y distinto de 1
• El logaritmo en base b de un número N>0 es el exponente al que hay que elevar la base b para obtener N
xNb log Nbx
log28 3
23 8
Ejemplo
Dicho de otra forma: En lo reales no existen los logaritmos de números negativos ni el logaritmo de 0
xNb log
Nbx • Si la base es 10, el logaritmo se llama decimal y se escribe omitiendo la base;
• Si la base es el número e, el logaritmo se llama neperiano y se escribe;
log10N logN
NN lnlog
Propiedades de los logaritmo de un número real
?2log2
?3log3
?6log6
piensa
12log2
13log3
16log6
logb b 1
22?
33?
66?
Propiedades de los logaritmo de un número real
?1log2
?1log3
?1log6
piensa
02log2
03log3
06log6
01log b
12?
13?
16?
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• Logaritmo de un producto
logb (M N) logb M logb N
Demostración:
Usando la definición de logaritmo
xMb log
yNb log
xbM ybN
1
2 NMCalcular yx bb yxb
3
logb (M N)
x y
NM bb loglog
Calcular
x y
logb (M N) logb M logb N
Logaritmo de un cociente
Logaritmo de una potencia
logbM
N
logb M logb N
MrM b
r
b log)(log
Cambio de base
logb (A) loga A
loga b
Propiedades de los logaritmo de un número real
1log bb
01log b
logb (M N) logb M logb N
logbM
N
logb M logb N
logb (Mr) r logb M
logb (A) loga A
loga b
Cambio de base
01log
110log
2100log
31000log
.
.
.
110log10
1log 1
.
.
.
210log100
1log 2
310log1000
1log 3
Propiedades de los logaritmos decimales
Pág 51. Ejercicio 51. Calcula los logaritmos en base 2 de:
log2(4)A)
B)
log2(2)
C)
log21
8
R Si 0N
21 2
1
log21
23
log2 2
3
3
(2)3 1
8
D)
log2 1024
log2 210 10
(2)10 1024
12. Interés compuesto• El capital final en el que se convierte un capital inicial C
colocado a un interés compuesto del R% anual durante t años viene dado por la expresión:
CF C (1 r)t
r R
100
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• Los logaritmos permiten resolver ecuaciones en las que las incógnitas aparecen como parte del exponente.
2x 6
x log26Ejemplo
• Si existe el logaritmo de un número es único. Por tanto se puede asegurar que se cumple, la siguiente equivalencia
logb (M) logb (N)M N
CF1 CI CI R
1001 año
2 años
Capital final al cabo de n años a un interés del R%, siendo r=R/100,Con un capital inicial
CI
CF2 CI CF1 R
100CI CI
R
100CF1
R
100
CI CI R
100 CI CI
R
100
R
100
CI CI R
100CI
R
100CI
R2
1002
CI 2 CI R
100CI
R2
1002
CI 1 2 R
100R2
1002
CI 1 2 R
100R2
1002
2 años(continuac
ión)
1R
100
2
CI 1R
100
2