Formas CanônicasControlabilidadeObservabilidadeAlocação de Pólos
Aula 18
Carlos AmaralFonte: Cristiano Quevedo Andrea
UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do ParanáDAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica
Curitiba, Junho de 2012
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Formas CanônicasControlabilidadeObservabilidadeAlocação de Pólos
Comparação entre técnicas de controle
1
2
3
4
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
= númerode varíaveis
nãoinfinitoinfinitoEspaço de Estados
1sim11Tempo (Ziegler-Nichols)
1sim11Frequência (Bode e Nyquist)
Incerteza do controle para plantas acima de segunda ordem
1sim11Lugar das Raízes(Laplace)
ObservaçãoNúmero de Circuitos de Controle
Necessidade de Integrar e derivar
Número de Saídas
Número de Entradas
Técnica
= númerode varíaveis
nãoinfinitoinfinitoEspaço de Estados
1sim11Tempo (Ziegler-Nichols)
1sim11Frequência (Bode e Nyquist)
Incerteza do controle para plantas acima de segunda ordem
1sim11Lugar das Raízes(Laplace)
ObservaçãoNúmero de Circuitos de Controle
Necessidade de Integrar e derivar
Número de Saídas
Número de Entradas
Técnica
Formas CanônicasControlabilidadeObservabilidadeAlocação de Pólos
Resumo
1
2
3
4
Formas Canônicas
Controlabilidade
Observabilidade
Alocação de Pólos
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Formas CanônicasControlabilidadeObservabilidade
Alocação de Pólos
Considere um sistema definido por,
sendo u(t ) o sinal de entrada e y (t ) o sinal de saída. Esta equação pode ser escrita como,
Levando em conta as duas expressões apresentadas anteriormente serão apresentadas as formas canônicas controlável, observável e diagonal.
Formas CanônicasPodemos utilizar as formas canônicas para encontrar a representação em espaço de estado para uma dada função de transferência.
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Alocação de Pólos
FORMA CANÔNICA CONTROLÁVEL
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Zerosidentidade
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Alocação de Pólos
FORMA CANÔNICA OBSERVÁVEL
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Alocação de Pólos
Considere a seguinte função de transferência,
A forma canônica diagonal para este sistema é dada por,
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Alocação de Pólos
Na forma canônica de Jordan consideramos a seguinte função de transferência,
e a forma canônica de Jordan é dada por
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Alocação de Pólos
ControlabilidadeUm sistema é dito ser controlável em um instante t0 se for possível, por meio de um vetor de controle, transferir o sistema de qualquer estado inicial x (t0) para qualquer outro estado num intervalo de tempo finito.
Seja o sistema contínuo tempo dado por:
x (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) (1)
O estado da equação descrita acima é dito ser controlável em t = t0 se for possível construir um sinal de controle não-restrito capaz de transferir o sistema do estado inicial para um estado final em um intervalo de tempo finito t0 < t < tf . Se todos os estados forem controláveis o sistema é dito ser de estados completamente controláveis.
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Alocação de Pólos
A condição para que o sistema descrito em (1) seja controlável é que a matriz de controlabilidade dada abaixo seja de posto completo.
(2)
Para ser de posto completo, basta a matriz ΦCrt possuir todas as colunas linearmente independente.
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Alocação de Pólos
(2)
Verifiquem se o sistema descrito abaixo é controlável.
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Resposta:A B
01
01
1011
AB
00011
det01
det.)det(
ABcrt
Logo o sistema não é controlável!
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Alocação de Pólos
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
>> A = [1 1; 0 -1]
A =
1 10 -1
>> B = [1 ; 0]
B =
10
>> CO = crtb(A, B)
No Matlab utilizamos o comando ctrb: CO = crtb(A, B)
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Alocação de Pólos
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Exemplohttp://www.youtube.com/watch?v=NZbfNGgcluE&list=UUMTtePMuQMLsSulV4MInFYA&index=7&feature=plcp
EXERCÍCIOS
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Petrobras 2012
Resp.
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Alocação de Pólos
>> A=[2 0 0;0 2 0; 0 0 -4];>> B = [2;0;5];>> ctrb(A,B)
ans =
2 4 80 0 05 -20 80
EXERCÍCIOS
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
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Alocação de Pólos
(a)
uxx
xdxd
10
1002
)()(
1
0
1
0
Resp:
11
00det.)det( crt =0
O sistema não é controlável!
(b)
uxxx
xdxdxd
201
450540002
)()()(
2
1
0
2
1
0
Resp: 580188280100421
det.)det(
crt
, dif de 0, logo o sistema é controlável!
Verifique se os sistemas são é controláveis
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Alocação de Pólos
Observabilidade
Um sistema é dito ser observável no instante t0 se, com o sistema num estado x (t0) qualquer, for possível determinar este estado a partir da observação da saída durante um intervalo de tempo finito.
Considere o sistema contínuo invariante no tempo descrito naforma de espaço de estado dado por,
x (t ) = Ax (t ) (3)
y (t ) = Cx (t )
O sistema é dito observável se qualquer estado x (t0) pode serdeterminado a partir da observação de y (t ) durante umintervalo de tempo finito t0 < t < tf .
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Alocação de Pólos
A condição para o sistema descrito em (3) ser observável é que a matriz de observabilidade descrita abaixo possua posto completo.
(4)
Para ser de posto completo, basta a matriz ΦObs possuir todas as colunas linearmente independente.
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
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Alocação de Pólos
(4)
Verifique se o sistema descrito abaixo é observável.
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Resposta:
1112
1101
CA
11101
det)det( .
Obs
Logo o sistema é observável!
A B C
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Alocação de Pólos
ΦObs
(4)
No Matlab utilizamos o comando obsv: OB = obsv (A, C)
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
>> A = [1 1; -2 -1]
A =
1 1-2 -1
>> C = [1 0]
C =
1 0
>> OB = obsv (A, C)
OB =
1 01 1
>> det(OB)
ans =
1
% Sistema observável
A B C
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Alocação de Pólos
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http://www.youtube.com/watch?v=j5xQfH9FCMc&list=UUMTtePMuQMLsSulV
4MInFYA&index=8&feature=plcp
EXERCÍCIOS
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Alocação de Pólos
Verifique se o sistema é observável
uxx
xdxd
10
2110
)()(
1
0
1
0
1
021xx
y
Resp: 132
21det)det(
L
O sistema é observável!
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Alocação de Pólos
Dado um sistema em espaço de estado:
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D = 0 (maioria das aplicações)
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Alocação de Pólos
Dado um sistema em espaço de estado:
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Aplicando-se um controle de malha fechada:
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Alocação de Pólos
A lei de controle de realimentação dos estados é dada por,
u(t ) = −Kx (t ) (5)
Então para um sistema dado em temos,
x (t ) = (A − BK )x (t )(6)
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Número de entradas (m)
Número de estados (n)(mxn)
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Alocação de Pólos
DIAGRAMA DE BLOCOS
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Caso o sistema seja controlável, podemos alocar os pólos de malha fechada em qualquer posição do plano complexo s esquerdo. Neste processo podemos obter um sistema em malha fechada estável e também garantir desempenho transitório e em regime.
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Alocação de Pólos
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
2- Utilizando os valores desejados para os autovalores (pólos de malha fechada desejados), escrever o polinômio característico,
(s − µ1)(s − µ2) · · · (s − µn) = sn + α1sn−1 + · · · + αn−1s + αn (7)
determinar os valores de α1, α2, · · · , αn.
3- Igualar
det|sI − A + BK | = sn + α1sn−1 + · · · + αn−1s + αn (8)
e encontra o valor dos ganhos Ks que formam o controlador K .
ETAPAS PARA O PROJETO DE REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS(C é igual à identidade, o que significa que a saída medediretamente todos os estados do sistema) 1- Verificar se o sistema é controlável. Se o sistema for completamente controlável seguir os próximos passos.
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Alocação de Pólos
Exercício 1 (http://www.youtube.com/watch?v=9hzrYKntYG0&feature=BFa&list=UUMTtePMuQMLsSulV4MInFYA ):
Dada a função de transferência
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = S2 + 4s + 1
1
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 5% e um tempo de pico de 0,3 s:
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Alocação de Pólos
Exercício 1
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
uxx
xdxd
10
4110
)()(
1
0
1
0
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Alocação de Pólos
Exercício 1
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
uxx
xdxd
10
4110
)()(
1
0
1
0
Verificando a controbabilidade:
4
110
4110
AB
141
10det
10
det.)det(
ABcrt
Resposta: SIM! O sistema é controlável
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Alocação de Pólos
Exercício 1
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
uxx
xdxd
10
4110
)()(
1
0
1
0
u(t ) = −K.x(t ) = -[k1 k2].x(t)
1
0
1
0
1
0 2110
4110
)()(
xx
kkxx
xdxd
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Alocação de Pólos
Exercício 1
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
1
0
1
0
1
0
2100
4110
)()(
xx
kkxx
xdxd
1
0
1
0
241110
)()(
xx
kkxdxd
G(s) = 1S2 + (4+k2)s + (1 + k1)
Os ganhos k1 e k2 me permite colocar os polos
em qualquer ligar do plano ‘S’!!!
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Alocação de Pólos
Exercício 1
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = 1S2 + 20s + 209
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 5% e um tempo de pico de 0,3 s:
)100/..(ln
)10 0/..ln (22 OP
OP
= 0.69
Wn = 14.46
desejado
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Alocação de Pólos
Exercício 1
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
= G(s) = 1S2 + 20s + 209
Igualando G(s) desejado com G(s) original + ganhos
desejadoG(s) = 1
S2 + (4+k2)s + (1 + k1)
LogoK1 = 209 – 1 = 208
K2 = 20 -4 = 16
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Alocação de Pólos
Explicação do Exercício 1
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http://www.youtube.com/watch?v=9hzrYKntYG0&feature=BFa&list=UUMTtePMuQMLsSulV4MInFYA
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Alocação de Pólos
Exercício 2Dada a função de transferência (Nise pg: 521 Exemplo 12.1):
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G(s) = s(s + 1)(s + 4)
20(s+5)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo de assentamento de 0,74 s:
Verificar se o sistema é controlável primeiro!Resposta: SIM!
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Alocação de Pólos
Exercício 2
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = s(s + 1)(s + 4)
20(s+5)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo de assentamento de 0,74 s:Usando a função RLTOOL do MatLab
Ponto: -5,4 -+7,2i
Logo já temos duas raízes, como o sistema é de 3ª órdems(s + 1)(s + 4) = s3 + 5 s2 + 4 sDeve-se escolher outro polo.Como existe um zero em ‘-5’ vamosEscolher um polo também em ‘-5’
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Alocação de Pólos
Exercício 2
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = s(s + 1)(s + 4)
20(s+5)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo de assentamento de 0,74 s:
A equação característica final (desejada) deve ser: (s - (-5,4 +7,2i)). (s - (-5,4 -7,2i)).(s + 5)
= s3 + 15.8 s2 + 135 s + 405
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Alocação de Pólos
Exercício 2
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = s(s + 1)(s + 4)
20(s+5)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo de assentamento de 0,74 s:
Sistema de Controle
uxxx
xdxdxd
100
540100010
)()()(
2
1
0
2
1
0
2
1
0
020100xxx
y
s(s + 1)(s + 4) s3 + 5 s2 + 4 s20(s+5) 20s + 100
=20(s+5) 20s + 100
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Alocação de Pólos
Exercício 2
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = s(s + 1)(s + 4)
20(s+5)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo de assentamento de 0,74 s:
Sistema de Controle
u(t ) = −K.x(t ) = -[k1 k2 k3].x(t)
uxxx
xdxdxd
100
540100010
)()()(
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
]321[100
540100010
)()()(
xxx
kkkxxx
xdxdxd
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Exercício 2
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = s(s + 1)(s + 4)
20(s+5)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo de assentamento de 0,74 s:
Sistema de Controle
2
1
0
2
1
0
2
1
0
]321[100
540100010
)()()(
xxx
kkkxxx
xdxdxd
2
1
0
2
1
0
2
1
0
321000000
540100010
)()()(
xxx
kkkxxx
xdxdxd
2
1
0
2
1
0
35241100010
)()()(
xxx
kkkxdxdxd
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Alocação de Pólos
Exercício 2
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = s(s + 1)(s + 4)
20(s+5)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo de assentamento de 0,74 s:
Sistema de Controle
2
1
0
2
1
0
35241100010
)()()(
xxx
kkkxdxdxd
G(s) = 1S3 + S2(5+k3) + (4+k2)s + (k1)
G(s) = 1
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Alocação de Pólos
Exercício 2
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = s(s + 1)(s + 4)
20(s+5)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo de assentamento de 0,74 s:
Sistema de Controle
Outra opção para o cálculo seria por força bruta:
det|sI − A + BK | = sn + α1sn−1 + · · · + αn−1s + αn (8)
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Alocação de Pólos
Exercício 2
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = s(s + 1)(s + 4)
20(s+5)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo de assentamento de 0,74 s:
Sistema de Controle
s3 + s2(5+k3) + (4+k2)s + (k1) = s3 + 15.8 s2 + 135 s + 405
Logo:
K1 = 405k2 = 135 - 4 = 131K3 = 15,8 – 5 = 10,8
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Alocação de Pólos
Exercício 2
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = s(s + 1)(s + 4)
20(s+5)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo de assentamento de 0,74 s:
Sistema de Controle
s3 + 15.8 s2 + 135 s + 405G(s) = 20(s+5)
>> g = 20*(s+5)/(s^3+15.8*s^2+135*s+405)
Transfer function:
20 s + 100
----------------------------
s^3 + 15.8 s^2 + 135 s + 405
>> step(g)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
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Alocação de Pólos
Exercício 3 Dada a função de transferência(Nise pg: 521 Exercício de Avaliação 12.1):
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = s(s + 3)(s+12)
100(s+10)
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 5% e um tempo de pico de 0,3 s:
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Alocação de Pólos
Exercício 3
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 5% e um tempo de pico de 0,3 s: >> s = tf('s');
>> g = 100*(s+10)/(s*((s+3)*(s+12)))Transfer function:100 s + 1000
------------------------s^3 + 15 s^2 + 36 s
uxxx
xdxdxd
100
15360100010
)()()(
2
1
0
2
1
0
2
1
0
01001000xxx
y
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Alocação de Pólos
Exercício 3
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 5% e um tempo de pico de 0,3 s: >> s = tf('s');
>> g = 100*(s+10)/(s*((s+3)*(s+12)))Transfer function:100 s + 1000
------------------------s^3 + 15 s^2 + 36 s
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Alocação de Pólos
Exercício 3
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 5% e um tempo de pico de 0,3 s:
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Alocação de Pólos
FÓRMULA DE ACKERMANN Outro método para o projeto do controlador K é utilizar a fórmula de Ackermann.
···| An−1B ]−1φ(A)(9)
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
sendo φ o polinômio característico do sistema em malha-fechada.
Esta técnica é bastante usada principalmente caso o sistema tenha mais de 2 variáveis!
Projeto de Alocação de Pólos via MatlabK =acker(A,B,p), p é o vetor que contém a posição dos pólos de malha fechada.
Formas CanônicasControlabilidadeObservabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 4 (Dorf pg: 512 Exemplo 11.11)Dada a função em espaço de estado:
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Calcule a matriz de ganhos (k) do sistema através da fórmula de Ackermann para a os pontos -1 +-i:
G(s) = s2
1
A equação característica final (desejada) deve ser: (s – (-1 + 1i)). (s - (-1 - 1i))
= s2 + 2 s + 2
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Alocação de Pólos
Exercício 4
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
G(s) = s2
1
Calcular os ganhos para uma ultrapassagem de 9,5% e um tempo de assentamento de 0,74 s:
Sistema de Controle
1s2 + 0 s + 01
uxx
xdxd
10
0010
)()(
1
0
1
0
Formas CanônicasControlabilidadeObservabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 4
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Verificar se o sistema é controlável primeiro!
Resposta: SIM! É controlável!
A B
01
10
0010
AB
10110
det10
det.)det(
ABcrt
uxx
xdxd
10
0010
)()(
1
0
1
0
Formas CanônicasControlabilidadeObservabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 4
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
A B
1001
222 2s s(A) 22 AA
Substituindo S por A na equação característica final (desejada)s2 + 2 s + 2
1001
20010
20010
0010
(A) Identidade
2022
(A)
uxx
xdxd
10
0010
)()(
1
0
1
0
Formas CanônicasControlabilidadeObservabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 4
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
2022
0110
]10[1
%MatLab>> [0 1;1 0]^-1ans =
0 11 0
A B
uxx
xdxd
10
0010
)()(
1
0
1
0
Formas CanônicasControlabilidadeObservabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 4
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
]22[2022
0110
]10[
k
A B
uxx
xdxd
10
0010
)()(
1
0
1
0
Formas CanônicasControlabilidadeObservabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 4
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
% Resolvendo no MatLab>> A = [0 1; 0 0]A =
0 10 0
>> B = [0;1]B =
01
>> p = [-1+j*1; -1-j*1]; % Desired Pole Location>> K =acker(A,B,p)K =
2 2
A B
uxx
xdxd
10
0010
)()(
1
0
1
0
Formas CanônicasControlabilidadeObservabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 5
Dada a função em espaço de estado:
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Calcule a matriz de ganhos (k) do sistema através da fórmula de Ackermann para a um tempo de estabelecimento de 2 segundos (Ts) e um amortecimento de 0.707:
http://www.youtube.com/watch?v=efcoTYiC95o&list=UUMTtePMuQMLsSulV4MInFYA&index=5&feature=plcp
uxx
xdxd
1
10110
)()(
1
0
1
0
Formas CanônicasControlabilidadeObservabilidade
Alocação de Pólos
Exercício 5
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Tempo de estabelecimento de 2 segundos (Ts) Amortecimento de 0.707
RLTOOL no MatLab
uxx
xdxd
1
10110
)()(
1
0
1
0
Ponto: -2 -+2i
A equação característica final (desejada) deve ser: (s - (-2 +2i)). (s - (-2 -2i))
= s2 + 4 s + 8
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Alocação de Pólos
Exercício 5
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
uxx
xdxd
1
10110
)()(
1
0
1
0
Verificar se o sistema é controlável primeiro!
Resposta: SIM! É controlável!
A B
11
11
0110
AB
21111
det1
1det.)det(
ABcrt
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Alocação de Pólos
Exercício 5
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
uxx
xdxd
1
10110
)()(
1
0
1
0
A B
1001
848 s 4 s(A) 22 AA
Substituindo S por A na equação característica final (desejada)s2 + 4 s + 8
1001
80110
40110
0110
(A)Identidade
7447
(A) Diferente da internet!!!!
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uxx
xdxd
1
10110
)()(
1
0
1
0
A B
7447
1111
]10[1
5.55.17447
1111
1111
det
1]10[
t
Adj
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uxx
xdxd
1
10110
)()(
1
0
1
0
>> A = [0 1; -1 0]
>> B = [1;-1]
>> p = [-2+j*2; -2-j*2]; % Desired Pole Location
>> K =acker(A,B,p)
K =
-1.5000 -5.5000
Utilizando o MatLab função ACKER :
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uxx
xdxd
1
10110
)()(
1
0
1
0
>> A = [0 1; -1 0]
A =
0 1
-1 0
>> B = [1;-1]
B =
1
-1
>> p = [-2+j*2; -2-j*2]; % Desired Pole Location
>> K=place(A,B,[p])
K =
-1.5000 -5.5000
Utilizando o MatLab – função PLACE:
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uxx
xdxd
1
10110
)()(
1
0
1
0
Verificando os Resultados:
u(t ) = −K.x(t ) = -[k1 k2].x(t)
1
0
1
0
1
0 211
10110
)()(
xx
kkxx
xdxd
1
0
1
0
1
0 )5.5()5.1(1
10110
)()(
xx
xx
xdxd
1
0
1
0
1
0
1
0
5.55.05.65.1
5.55.15.55.1
0110
)()(
xx
xx
xx
xdxd
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Exercício 5
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uxx
xdxd
1
10110
)()(
1
0
1
0
Verificando os Resultados:
%YOUTUBE
>> d = eig([-4.6 7.5;-1.4 0.6])
d =
-2.0000 + 1.9339i
-2.0000 - 1.9339i
%Calculado
>> d = eig([1.5 6.5;-0.5 -5.5])
d =
1
-5
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FÓRMULA DE ACKERMANN
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
http://www.youtube.com/watch?v=efcoTYiC95o&list=UUMTtePMuQMLsSulV4MInFYA&index=5&feature=plcp
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Exercício 6
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Determine um controlador K de realimentação dos estados para o seguinte sistema pela fórmula de Ackermann,
o sistema em malha fechada deve responder com um P.O. 10% e um tempo de estabelecimento de 10 segundos.
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