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2. MOVIMIENTOS OSCILATORIOS.
2.1 Introduccin.-
El mundo esta lleno de cosas que se mueven, sus movimientos pueden ser divididos
(a groso modo),e n dos clases.
1. Objetos que al moverse permanezcan cerca de un lugar. 2. Objetos que se trasladan de un lugar hacia otro.
Un pndulo oscilante, las cuerdas de un violn, electrones vibrando en tomos, luz
rebotando de un lado a otro entre espejos de un lser, son ejemplos de la primera clase.
Los movimientos de traslacin al patinar sobre una pista de hielo una vibracin viajando
por una larga cuerda estirada al ser pulsada en uno de esos extremos, las olas agitadas del
ocano, el haz de electrones en un tubo de televisin, el rayo de luz emitido por una estrella
y captado por el ojo son movimientos de la segunda clase.
Muchas veces un mismo fenmeno puede presentar una y otra clase de movimiento
dependiendo esto de nuestro punto de vista.
Por ejemplo:
Las olas del mar viajan hacia las (orillas) playas, pero el agua (y el pato que se
encuentra en la superficie) se mueven hacia arriba y hacia abajo, adelante y hacia atrs, sin
trasladarse.
Por lo tanto comenzaremos nuestro estudio de objetos que permanecen en una zona y
oscilan vibran alrededor de una posicin promedio.
Cuando estudiamos la fsica, el curso comnmente es divido en :
Mecnica, electricidad, ptica, etc... Y uno estudia un tema despus del otro. Por
ejemplo este curso trata principalmente la mecnica, pero una cosa rara sucede (con
frecuente) una y otra vez. Es que las ecuaciones que aparecen en los diferentes campos de
la fsica y an en otras ciencias, son a menudo o casi exactamente iguales, de manera que
muchos fenmenos tienen analogas en estos diferentes campos, para dar un ejemplo
sencillo la propagacin de ondas sonaras es en muchos aspectos anlogo ha propagacin de
ondas luminosas.
El oscilador armnico, que estamos a punto de estudiar, tiene analogas ntimas en
muchos campos, aunque empezamos con un ejemplo mecnico de una masa fija aun resorte
un pndulo con una pequea amplitud algunos otros dispositivos mecnicos, realmente
estamos estudiando una cierta ecuacin diferencial.
Esta ecuacin aparece una y otra vez en la fsica y en otras ciencias y de hecho
pertenece a tantos fenmenos que su estudio a fondo bien vale la pena.
Algunos de los fenmenos que incluye esta ecuacin son:
- Oscilaciones de una masa en un resorte. - Las oscilaciones de las cargas que fluyen de una parte a otra en un circuito elctrico. - Las vibraciones anlogas de los electrones en un tomo que generan ondas
luminosas.
- Complicadas interacciones en reacciones qumicas.
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- Los zorros que se comen a los conejos que se comen el pasto etc... Todos estos fenmenos obedecen a ecuaciones que son muy similares entre s y esta
es la razn por la cual estudiaremos el oscilador mecnico con detalle.
Las ecuaciones se llaman Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes
constantes
2.2 El oscilador armnico simple.
Consideremos una masa unida a un muelle de constante K (resorte) suspendida desde
un punto (techo) como se muestra en la figura
Fig.2.1 Sistema masa Resorte .
- 0x
-
posicin de equilibrio
x
3emgw
+ 0x
F .
Hacemos un diagrama de cuerpo libre para
Representar las fuerzas que actan sobre l
)(... 012
2
21
1
1 tfxadf
dxa
df
xda
dt
xda
dt
xda
n
n
nn
n
n
3)( exKT
3emgw
)1.2(00
0
0
)(
)(
2
2
2
2
333
3
3
3
33
xm
k
dt
xdx
m
k
dt
xdm
amF
kxF
ekxFekxeF
ekxF
ekkxmgF
exkmgF
exkemgF
3ek
3)( exKT
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Esta es una ecuacin diferencial lineal de 2do orden de coeficientes constantes el paso
siguiente es encontrar una solucin para la ecuacin (2.1), puede resolverse de diferentes
formas
a. Resolver mediante tcnicas apropiadas b. Integrando para x c. Ensayar una cierta funcin que satisfaga (2.1)
En (2.1) hagamos lo siguiente:
(2.2)
porqu tiene que ser positiva? veamos, multiplicamos por )2.2(,2 ax
(2.3)
Aqu esta la razn de porque c2 >0 pues el primer miembro consta de una suma de
cantidades positivas.
Al dividir entre c2 se tiene
Esta ecuacin nos recuerda a 122 SenCos ; mejor an si se tiene en cuenta que en un sumando esta x y en el otro su derivada.
Escribamos entonces
pero:
positivateconsunaescdondecxxsea
xxdt
xdxseax
dt
xd
m
k
tan
00
2222
0
2
2
02
22
02
22
0
ctexx
xxxx
xxxxxx
22
0
2
22
0
222
0
2
2
0
2
0
0)(0)()(
0220
1
11
2
0
22
2
2
2
0
2
xcc
x
c
x
c
xx
cc
x
Cos Sen
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donde es un a constante arbitraria y cuyo valor debemos determinar, entonces la
ecuacin buscada es:
(2.4)
El mximo valor de )( 0 tSen es 1, correspondiente al mximo valor de )(tx
que es 0x (mxima elongacin), por lo que 00xc , finalmente:
(2.5)
es la ecuacin que corresponde al movimiento armnico simple (M.A.S)
0x es la amplitud mxima de oscilacin, depende de las condiciones iniciales .
0 la frecuencia natural (o pulsacin) del sistema que est relacionado a las
propiedades fsicas del sistema tiene unidades de rad / s .
( t0 ) es la fase.
es la constante de fase, y depende de las condiciones iniciales..
Las caractersticas de un M.A.S. son:
Como los valores mximo y mnimo de la funcin seno son +1 y -1, e l movimiento
se realiza en una regin del eje X comprendida entre + 0x y - 0x .
La funcin seno es peridica y se repite cada 2, por tanto, el movimiento se repite
cuando el argumento de la funcin seno se incrementa en 2, es decir, cuando
transcurre un tiempo (t+T)+= t++2 .
tegrando
tCosc
cCos
luegoCosc
xSenc
x
0
00
0
0
00
int
)(
;
)( 00
tSenc
x
tSenxtx 00)(
masadeunidadpor
entodesplazamideunidadeporretornodefuerza20
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2T ; se llama perodo de la oscilacin se mide en s..
2
00 f ; se llama frecuencia de oscilacin del sistema, y tiene unidades de
ciclos / s (o Hertz)
Observacin.
Como solucin de la ecuacin diferencial (2.1) , bien puede considerarse ,
soluciones del tipo
tCosxtx 00 , o tBCostASentx 00
2.3 Cinemtica del M.A.S.
En el movimiento rectilneo, dada la posicin de un mvil, obtenemos la velocidad
derivando respecto del tiempo, luego, la aceleracin derivando la expresin de la velocidad
con respecto del tiempo.
La posicin del mvil que describe un M.A.S. en funcin del tiempo viene dada por la
ecuacin
tSenxtx 00 Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del mvil
tCosxtv 000 (2.7)
Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleracin del mvil
(2.8)
2.4 Dinmica del M.A.S.
La segunda ley de Newton nos da la fuerza necesaria para que un mvil de masa m
describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a
ste.
Dicha fuerza es conservativa y la energa potencial Ep correspondiente se halla
integrando
xmmaF 20
tSenxta 02
00
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Fig.2.2 Representacin grfica de la posicin, velocidad y aceleracin versus el tiempo en el M.A.S.
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(2.9)
Se ha tomado como nivel cero de la energa potencial Ep=0 cuando el mvil est en el
origen, x=0.
La energa total ET es la suma de la energa cintica EK y de la energa potencial Ep.
Se puede verificar que la energa total es constante e igual a
(2.10)
2.5 Curvas de energa cintica y potencial del M.A.S.
A continuacin vamos a interpretar grficamente las relaciones energticas mediante
la representacin de la curva de la energa potencial de un cuerpo de masa m unida a un
muelle elstico de constante k, Ep=kx2/2. Esta funcin representa una parbola cuyo vrtice
est en el origen, que tiene un mnimo en x=0 cuyo valor es Ep=0.
. .
Fig.2.3. Presentacin grfica de las energas cintica y potencial del M.A.S
Las regin donde se puede mover el cuerpo est determinada por la condicin de que
la energa cintica color rojo ha de ser mayor o igual a cero Ek>=0. O bien, que la energa
total sea mayor o igual que la energa potencial E>=Ep. Si la partcula tiene una energa
2
2
1KxEP
2
2
1mvEK
TE
0x0x
xmEluegoxdxmEdx
dEF p
x
p
p 2
0
0
2
02
1;
22
02
1
2
1mvKxEEE PKT
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total ET el cuerpo solamente se podr mover en la regin comprendida entre - 0x y + 0x ,
siendo 0x la amplitud de su M.A.S.
En el grfico podemos observar como cambian los valores de la energa cintica (en
color rojo) y potencial (en color azul) a medida que se mueve la partcula a lo largo del eje
X .La intensidad y el sentido de la fuerza viene dado por la pendiente de la recta tangente
cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que acta sobre la partcula es negativa a la derecha
del origen y positiva a la izquierda.
En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situacin de equilibrio, que por
coincidir con un mnimo de la energa potencial es de carcter estable.
2.6 Energas cintica y potencial medias.
Es importante hacer un clculo de la media respecto del tiempo de las energas
cintica y potencial del M.A.S.
(2.11)
siendo el perodo 02 , como la integral se extiende a un perodo completo, no tiene
importancia el valor que tenga la fase y puede convenientemente ponerse 0 .
Entonces si escribimos 20,0 yentoncesty , luego:
(2.12)
de manera anloga el valor medio de la energa potencial resulta ser
(2.13)
siguiendo los argumentos para obtener (2.12), se tiene lo siguiente:
(2.14)
podemos observar que PK EE ,
luego (2.15)
0
2
0
0
2
2
0
2
0
0
22
1
0
dttCos
xmT
dtE
E
T
K
K
2
0
2
0
2
0
22
0
2
04
1
4
1xmdyyCosxmEK
0
2
0
0
2
2
0
2
00
22
1
0
dttSen
xmT
dtE
E
T
P
P
2
0
2
0
2
0
22
0
2
04
1
4
1xmdyySenxmEP
2
0
2
02
1xmEE TT
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2.7 El pndulo simple.
El pndulo simple se compone de una mas puntual m en el extremo inferior de una
varilla de longitud l sin masa, que oscila libremente alrededor de su posicin de equilibrio.
Este problema puede resolverse planteando en forma apropiada la segunda ley de
Newton, o en forma mucho ms prctica, partiendo de la ley de conservacin de la
energa, o de otro modo, basado en el momento cintico (momentum angular). Nosotros
plantearemos segn este ltimo.
Z
O1
l
m
X Fig.2.4. Oscilacin de un pndulo simple. Y
Tomemos el eje X normal al plano del movimiento. El momento N (Torque)
respecto a este eje es el siguiente
(2.16)
Considerado, respecto al eje de giro del pndulo. El pndulo oscila en el plano YZ; La
fuerza debido a la atraccin gravitatoria es de magnitud mg , en direccin Z, El Torque N est en la direccin +X.
El momento cintico (Angular ) respecto al mismo punto es:
(2.17)
lSen
lmgSenFxrN xx
FxrN
2,, mlpxrJluegolmpdondepxrJxx
gm
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r
Fig.2.5 Representacin del momento cintico
adems, se sabe que xx
Ndt
JdentoncesN
dt
Jd
, , finalmente obtenemos la
ecuacin deseada.
(2.18)
La ecuacin (2.18) es una ecuacin trascendente, cuya solucin, puede obtenerse
numricamente. Sin embargo, si se consideran pequeas amplitudes angulares de
oscilacin, podemos hacer uso de una expansin en serie de la funcin Sen , como sigue:
(2.19)
Fig.2.6 Representacin grfica de
La aproximacin de mgSenF
Con mgF (F versus )
considerando una aproximacin hasta el primer orden, con (2.19) en (2.18) resulta
(2.20)
La ecuacin (2.20) es exactamente igual a (2.2) que es la ecuacin del oscilador armnico
, y l
g20 , cuya solucin est dado por : simple, donde se ha cambiado
(2.21)
0
Seng
l
!5!3
53 Sen
0,0 20
g
l
xpor
tSent 00
F
4
mgF
mgSenF
4
mg
mg
p
r
J
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29
0 es la amplitud angular mxima de oscilacin, depende de las condiciones iniciale
t0 es la fase
es la constante de fase, y depende de las condiciones iniciales.
l
gf
2
10 , es la frecuencia de oscilacin.
g
lT 2 , es el perodo del movimiento.
2.8 Pndulo de torsin.
Es un disco suspendido mediante un
alambre por el centro de masa del disco. El
alambre est firmemente unido (fijo) a un soporte
y al disco.
Cuando el punto P del disco es rotado hacia
el punto Q, el alambre se tuerce, este alambre
torcido ejerce un momento sobre el disco y como
ambos estn unidos firmemente el disco tiende a
regresar a su posicin inicial de equilibrio.
El momento, es un momento restaurador,
este momento restaurador es proporcional al
grado de torsin angular (esto dentro de los
lmites de linealidad cumpliendo con la ley de
Hooke). Entonces:
N (2.22) Fig.2.7 Disco sometido a un momento de torsin ejercido por el alambre, unido al disco
En esta ecuacin tiene propiedades fsicas del alambre y se denomina constante de torsin. El signo (-) pone de manifiesto que el momento es de sentido contrario al
desplazamiento angular.
Segn las ecuaciones del movimiento circular
2
2
dt
dIangularinIxaceleracN
(2.23
R
Q
OP
punto fijo
0
I
R
02
2
2
2
Idt
d
dt
dII
dt
dI
dt
dI
dt
dJN
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30
Esta ecuacin corresponde a un M.A.S siendo entonces la solucin dado por :
(2.24)
0 es la amplitud angular mxima de oscilacin, depende de las condiciones iniciales
t0 es la fase es la constante de fase, y depende de las condiciones iniciales.
I es el momento de inercia del disco.
If
2
10 , es la frecuencia de oscilacin.
IT 2 , es el perodo del movimiento.
Ejemplo 1.
Una varilla delgada de masa 0.10 Kg. y longitud 0.10 m. se suspende de un alambre
que pasa por su centro y es perpendicular a su longitud. Se tuerce el alambre y la varilla se
pone a oscilar, se encuentra qque su perodo es de 0.2 s . Acto seguido se suspende de
manera similar un cuerpo plano de forma triangular equiltero desde su centro de masa, se
observa que su perodo de oscilacin es 6.0 s. Encintrar el momento de inercia del tringulo
con respecto al eje de rotacin.
Fig.2.8 varilla y triangulo sometidos a un momento de torsin ejercido por el alambre.
)()( 00 tSent
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Solucin
, (a)
(b)
dividiendo (a) entre (b), y resolviendo resulta que:
2.9 Pndulo fsico. Un cuerpo cualquiera, de tamao finito, montado de manera que oscile en un plano
vertical alrededor de un eje que pase por l, perpendicular al plano de oscilacin , es un
pndulo real, llamado pndulo fsico.
En la Fig. adjunta , por O pasa un
eje sin friccin perpendicular al plano de
oscilacin, el cuerpo se desplaza un
ngulo de su posicin de equilibrio y se deja oscilar.
G es el centro de masa y la
distancia dde O a G es d , el momento de
inercia del cuerpo con respecto a un eje
que pasa por O es I, y la masa del cuerpo
es M.
El momento restaurador para un
desplazamiento angular es:
Considerado, respecto al eje de giro
del pndulo fsico. El pndulo fsico
oscila en el plano YZ; La fuerza debido a
la atraccin gravitatoria es de magnitud
Mg , en direccin Z, El Torque N est en la direccin -X.
El momento cintico (Angular ) respecto
al mismo punto
Fig.2.9 Dinmica de un pndulo fsico
sTv 0.2
sTt 0.6
12
2mlI v
?tI
vv IT 2
tt IT 2
v
v
t
t IT
TI
2
O
MgCos
MgSen
d
G
Mg
dSen
dMgSenFxrN xx
,pxrJ
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adems, se sabe que xx
Ndt
JdentoncesN
dt
Jd
,
finalmente obtenemos la ecuacin deseada.
(2.26)
Aqu, asumiremos las consideraciones de aproximacin para el desplazamiento
angulares hechas en al pndulo simple.
(2.27)
la ecuacin (2.27) tiene solucin ya conocida y es:
(2.28)
Observacin
.
en esta ltima expresin, todas las cantidades de la derecha son medibles, por lo tanto el
momento de inercia del pndulo fsico puede hallarse. En particular si la masa de un cuerpo
est suspendida de una cuerda de peso despreciable, entonces
Ejemplo 2.
Encontrar la longitud de un pndulo simple cuyo perodo es igual al de un pndulo fsico
dado.
0
SenI
Mgd
0,0 20
I
Mgd
IMgdSen
)()( 00 tSent
2
2222
04
4,
MgdT
IMhd
IT
I
Mgd
lgldmMmlI 202 ,,
Md
IlTTcomoMgdITglT fsfs ,2,2
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33
Es decir, la masa de un pndulo fsico puede considerarse concentrada en un punto del
cuerpo, cuya distancia desde la articulacin es MdI / .Este punto se llama centro de
oscilacin del pndulo simple equivalente.
Ejemplo 3.
Un disco est articulado en su borde como se observa en la figura . Encontrar su perodo
para pequeas oscilaciones y la longitud del pndulo simple equivalente.
+Z
RR
2
3
2
3,
232
,: 20
Rleseequivalentpendulodellongitudelay
g
R
MgR
IT
esperodosuluegoMRIIesZejedelrespectoldiscodeinerciademomentoEl
z
z
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34
2.10 Oscilador armnico amortiguado.
En los sistemas oscilatorios idealizados que hasta ahora hemos estudiado, no se ha
considerado fuerza dicipativa alguna. La amplitud de oscilacin de cualquier resorte o
pndulo real disminuye con el tiempo, lentamente hasta el equilibrio, un sistema as se
llama oscilador armnico amortiguado, y el movimiento que realiza este, se denomina
movimiento armnico amortiguado.
Al incluir la fuerza amortiguadora en el sistema masa resorte, inicial, la fuerza total que
actua sobre el oscilador armnico libre en una dimensin es:
3ex
3ek
3)( exKT
3emgw
3ex
3emgw 3)( exKT
3emgw
O
0x
0x
my
m
K
donde
xxxxm
Kx
mx
mentredividiendoKxxxm
xKKxmgxxKmgxm
1,
)29.2(01
0
,0
2
0
2
0
Fig.2.10 Sistema masa resorte en el que se aprecia tres situaciones. El primero es el resorte colgante, el segundo resorte y masa en la posicin de equilibrio y el tercero, luego de ser desplazado de su
posicin de equilibrio mediante una fuerza externa, hasta 0x , para luego ser abandonada.
Fig.2.11 Diagrama de cuerpo libre de Las fuerzas que actan sobre el cuerpo.
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35
es el coeficiente (o constante) de amortiguamiento.
es el tiempo de relajacin (tiempo que requiere el sistema para llegar al estado de equilibrio).
La Ec.(2.29) es una ecuacin diferencial en x ; sera igual a la Ec. (2.5) , si no fuera
por el trmino adicional
x . La resolucin de esta ecuacin es sencilla. No entraremos
aqu en detalles , mas bien sugerimos intuitivamente como solucin la ecuacin siguiente.
(2.30)
Donde las constantes y, se determinan con las condiciones iniciales o de frontera .
Por sustitucin directa se tiene:
(2.31)
tSentExpxtx 0
tSentExpx
tCostExpxtSentExpxx
tCostExpxtSentExpxx
0
2
00
2
00
2
Fig.2.12 Representacin grfica de las funciones Sen(t) , Exp(-t), Exp(-t)Sen(t) y diferentes valores de la constante de amortiguamiento. Se observa que, a medida que el amortiguamiento decrece, la
amplitud crece, esto pone de manifiesto que para un amortiguamiento ser el tiempo de relajacin ser
grande.
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36
Reemplazando las Ec.(2.30), (2.31), en (2.29) y reagrupando trminos semejantes tenemos
Como las funciones Seno y Coseno son L.I. sus coeficientes que lo acompaan son todos
nulos, de los cuales s4e obtienen soluciones para y , dados por:
(2.32)
Se puede ver claramente que, el rozamiento disminuye la pulsacin(frecuencia angular) del
sistema, de modo que, 0 nicamente si el tiempo de relajacin es infinito
( fsicamente significa sin rozamiento).
Como y estn determinadas por (2.32), entonces la ecuacin (2.30) es una
solucin de la ecuacin diferencial (2.29), entonces:
(2.33)
Fig.2.13 Grafica de la Ec.(2.33) que muestra el movimiento armnico amortiguado, en caso cuando la constante de =0, el perodo cuando no hay amortiguamiento dado por la curva de color gris. Las otras curvas a colores representan los diferentes valores que toma la constante de
amortiguamiento.
0)()()2()()()( 002
0
22
tSentExpxtSentExpx
2
0
02
11,
2
1
y
}2
11{
2
21
2
00
tSen
tExpxtx
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37
Una solucin an ms general es la siguiente:
(2.34)
consiste de una superposicin de dos solucines L.I. con dos constantes arbitrarias, que
pueden determinarse con las condiciones iniciales (o de frontera) 00
xyx . Pueden
obtenerse dos soluciones independientes si hacemos 2
,0 o
tBCostASent
Exptx
2
Fig.2.14 Grafica de la Ec.(2.33) que muestra el movimiento armnico amortiguado, en el caso
cuando la constante de fase = 2/ , y la amplitud ha sido multiplicado por el facor 1.8; Se puede observar adems, curvas que representan los diferentes valores que toma la constante de
amortiguamiento . Amplitud versus el tiempo)
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38
(2.35)
donde
(2.36)
De este modo la frecuencia es menor y el perodo mayor que para el M.A.S. (Sin embargo,
la mayor parte de los casos prcticos de un amortiguamiento dbil, difiere solo un poco
de 0 ).
Es preciso sealar la importancia de le Ec.(2.36), el cual presenta tres casos lmite.
2.11 Casos lmite del oscilador armnico amortiguado.
a) Cuando 10 se dice que el movimiento es dbilmente amortiguado.
Entonces:
(2.37)
tSentCost
Expxtx
entoncesB
AB
Ax
BxxBSenAx
2
1
2
:,2
02
0
00
0
00
2
0
2
0
2
2
11,
2
1
y
:2
:,12
1;11,
00
0
00
esgrficasolucincuyatCost
Expxtx
pordadoestsolucinlaluegotSen
Fig.2.15 Representacin grafica del desplazamiento versus el tiempo del Movimiento Armnico Amortiguado Ec. (2.37).
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39
b) Cuando 0,2
10
y el movimiento se llama crticamente amortiguado.
No hay oscilacin del sistema y la masa vuelve a su posicin de equilibrio en el ms
breve tiempo.
Al reemplazar las condiciones antes impuestas en la Ec.(3.35) se tiene lo siguiente:
(2.38)
21
20
ttExpxtx
Fig.2.16 Obsevece cmo el movimiento se va amortiguando para cuando la constante de amortiguamiento crece crece en la Ec. (2.37)
Fig. 2.17 Representacin grfica del movimiento crticamente amortiguado Ec. (2.38)
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40
c) Cuando
2
10 ; Entonces se dice que el sistema est sobre amortiguado, esto
implica que la Ec.(2.35) ya no es solucin de (2.29), y i , donde
2
0
2
2
1
en este caso, es pequeo y es muy grande , el cuerpo vuelve a su posicin de
equilibrio.
Los trminos usados en los casos descritos lneas arriba derivan del uso para los
sistemas amortiguados prcticos como el mecanismo de cierre de puertas y los
amortiguadores de un automvil. Estos se disean por lo comn para dar el
amortiguamiento crtico; paro cuando sufren desgastes, se presenta el amortiguamiento
dbil (sub amortiguado) una puerta se cierra de golpe, un auto brinca varias veces cuando
pega en un tope. Las agujas de los instrumentos electrnicos de medicin ( voltmetro,
ampermetro, indicadores de nivel de audio) por lo regular estn amortiguadas crticamente
dbilmente amortiguadas.
Ejemplo 4.
Calcular la energa disipada por unidad de tiempo para un oscilador armnico
amortiguado, en el lmite del amortiguamiento dbil.
Solucin.
Sabemos que en lmite del amortiguamiento dbil 10 , luego la solucin para el
desplazamiento est dado por
y la energa cintica se escribe como .
haciendo uso de los valores medios de Sen y Cos definidas anteriormente se tiene
tCostExpxtx 00 2
2
2
1 xmEK
Fig.2.18 Representacin grfica del movimiento sobre amortiguado.
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41
Esta expresin nos dice que la energa cintica decae exponencialmente.
Del mismo modo hallamos la energa potencial media
Observamos que los valores medios de las energa potencial y cintica son iguales, esto era
de esperar, luego:
, y la potencia media disipada es:
, es decir
Observemos de que los valores medios hallados contienen el tiempo, lo que ocurre ,
es que estamos observando el movimiento de un oscilador amortiguado a lo largo de
muchos ciclos, y lo que aqu hemos calculado es la energa ( cintica o potencial ) media
( en un ciclo dado) para un tiempo dado. Como la energa se est disipando en forma de
calor , es de esperar que la energa media ( en un ciclo ) disminuya segn va completando
mas ciclos.
2.12 Factor de calidad Q. La Q o factor de calidad de un sistema oscilante es un trmino que se utiliza muy
frecuentemente. Q se define como 2 veces la razn entre la energa almacenada y la prdida media de la energa por perodo:
E
E
P
E
fP
EQ
2
Obsrvese que Q carece de unidades .
Para el oscilador anmnico dbilmente amortiguado ( 10 ) se tiene
2.13 Oscilador armnico forzado. Cuando un sistema que vibra se pone en movimiento, vibra a su frecuencia natural .
Al iniciar este captulo desarrollamos expreciones que relacionan la frecuencia natural ( o
pulsacin del sistema) con las propiedades del sistema tales como los resortes y pndulos.
Sin embargo, un sistema a menudo no oscila por s mismo, sino que puede estar
sometido a una fuerza externa que oscila con una frecuencia dada. Por ejemplo un
columpio, que bsicamente es un pndulo con su propia frecuencia natural; cuando
empujamos a una persona en un columpio, tenemos un oscilador armnico forzado.
El movimiento forzado de un oscilador armnico amortiguado, es de mxima importancia.
Si adems del rozamiento existe una fuerza externa tF ( ver Fig. 2.19).aplicada al oscilador, la ecuacin de movimiento es
(2.39)
tExpxm
tExpxmxEK
2
0
2
0
2
0
2
0
22
4
1
22
1
4
1
2
1
t
ExpxmxKEP2
0
2
0
2
4
1
2
1
t
ExpxmET2
0
2
02
1
tExpxmE
dt
dP T
2
0
2
02
11
T
EP
0Q
m
tFx
xx
)(20
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42
.
Fig.2.20 Diagrama de cuerpo libre de Las fuerzas que actan sobre el cuerpo.
En la ecuacin (2.39) 0 es la frecuencia
natural del sistema , en ausencia de
rozamiento y en ausencia de cualquier
fuerza externa impulsora.
Cuando al sistema se le impone una
fuerza externa de frecuencia distinta a la
frecuencia natural , la respuesta del
sistema viene dada con la frecuencia
impuesta y no con la frecuencia natural.
Cuando la fuerza impuesta es eliminada repentinamente, el sistema vuelve a una
oscilacin amortiguada, cuya frecuencia coincide aproximadamente con la frecuencia
natural, en el lmite del amortiguamiento dbil.
Supongamos que
De modo que la fuerza impulsora es sinusoidal con frecuencia , por lo tanto la Ec. (2.39) se convierte en
(2.40)
La integral de (2.40) est dado por dos integrales, una txg en ausencia de fuerza
externa impulsora, y otra txp en presencia de la fuerza externa impulsora, por lo tanto:
(2.41)
3)( exKT
3emgw 3ex
tF
3)( exKT
3emgw 3ex
tF
m
FdondetSen
m
tSenFmtF 000
0 ,
tSenxx
x
0
2
0
txtxtx pg
Fig.2.19 Sistema masa resorte el cual es impulsado por una fuerza externa
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43
La integral txg representa los efectos transitorios (es decir, aquellos efectos que dependen de las condiciones iniciales) el cual se anula al cabo del tiempo a causa del factor
exponencial, o sea 0 tBCostASentExptxg , cuando el tiempo es grande.
La integral txp representa los efectos transitorios y contiene toda la informacin
para el caso para cuando
1t .
La solucin en el estado estacionario es de gran importancia prctica, y es la que se
mantiene despus que ha desaparecido cualquier efecto transitorio. La frecuencia del
sistema en el estado estacionario, ser precisamente la frecuencia impulsora. De otro lado la
diferencia de fase variar con el tiempo, sta es una caracterstica de un oscilador armnico
forzado. Ahora bien, busquemos una solucin de la Ec. (2.40) de la forma
(2.42)
Donde a partir de la ecuacin del movimiento, hemos de encontrar los valores de la
amplitud 0x y de la constante de fase . En la Ec. (2.42) es la frecuencia de la fuerza
impulsora y es la diferencia de fase entre la fuerza impulsora y el desplazamiento del
oscilador. As pues, tiene aqu un significado completamente diferente del que tena en
el oscilador armnico no amortiguado (libre), en el que se relacionaba con las
condiciones iniciales del problema. En el oscilador forzado no interesan las condiciones
iniciales, nicamente se considera el estado estacionario.
Hallemos entonces las derivadas , primera y segunda de (2.42)
(2.43)
Entonces la ecuacin de movimiento (2.40) se escribir como:
(2.44)
La Ec.(2.44) pude simplificarse haciendo uso de las siguiente relaciones
trigonomtricas.
(2.45)
Reemplazando (2.45) en (2.44) , y agrupando trminos semejantes se obtiene
(2.46)
La Ec. (2.46) se satisface si los coeficientes que acompaan a tCos y tSen , son nulos
y se cumplen cuando:
tSenxtxp 0
tSenxdt
xdtCosx
dt
dx0
2
2
2
0 ,
tSentCosxtSenx
000
22
0
SentSenCostCostCos
SentCosCostSentSen
tSentCosxCosSentSenxSenCos
00
22
00
22
0
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44
(2.47)
(2.48)
(2.49)
(2.50)
Con ( 2.49 ) y ( 2.50 ), reemplazando en ( 2.48 ), sta se reduce a la siguiente expresin:
(2.51)
La Ec. (2.51) expresa la amplitud del movimiento. Pues bien, ahora, conociendo 0x y
la fase conoceremos la respuesta del sistema bajo la fuerza impulsora tSenmF 0 .
Luego:
(2.52)
El estudio de esta ltima ecuacin (2.52) es importante, pues, en ella podemos
examinar los casos lmite, pero suponiendo siempre un amortiguamiento dbil
( 10 ).
2.14 Casos lmites del oscilador armnico forzado.
a) Frecuencia impulsora baja , cuando 0 .
Se observa que 0;0,1 SenCos . Esta respuesta a baja frecuencia
se dice que est en fase con la fuerza impulsora, entonces
(2.53)
Fig.2.20.Tringulo para hallar
22
0
CosySen
2122220
22
0
Cos
21
2222
0
Sen
SenCos
x
22
0
0
0
22
0
Cos
SenTan
21
2222
0
00
x
22
0
1
21
2222
0
0
TantSentx
K
F
K
mx 00
2
0
0
0
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Esta ecuacin nos dice que el resorte (muelle) ( y no la masa ni el rozamiento)
condicionan la respuesta en este lmite.
b) Respuesta de resonancia, cuando 0 .
La respuesta puede ser muy grande en la resonancia, para 0 la resonancia
impulsora se hace igual a la frecuencia natural del sistema en ausencia de rozamiento.
(2.54)
Cuanto ms bajo es el amortiguamiento mayores son 0xy , manteniendo 0F
constante. La relacin entre la respuesta en la resonancia y la respuesta a la frecuencia
cero est dado por:
(2.55)
La Q en la resonancia puede ser muy grande ( 410 ) o mas . Significa que el amortiguamiento condiciona la respuesta en la resonancia.
Observacin.
La respuesta mxima 0x no se presenta exactamente cundo 0 , esto puede
hallarse tomando la derivada con respecto a de la Ec. (2.51), e igualando a cero, el cual resulta ser:
(2.56)
0
0
02,1,0
xluegoSenCos
Qx
x
0
2
0
0
0
0
00
0
2
2
0
2
2
1
Fig. 2.21 Representacin grfica de la amplitud en funcion de la frecuencia angular en
la resonancia , para diferentes valores de Q.
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Esta es la posicin de respuesta mxima de la curva de 00 xx , el mxima est muy cerca de 0 . Puede parecer extrao que la respuesta mxima se obtenga con
el ngulo de diferencia de fase igual a 2
, es decir, cuando la fuerza est desfasada
exactamente 2
respecto al desplazamiento. Podra parecer lgico que la resonancia
se presente cuando 0 y no cuando 2
. Pero el secreto est en que la
potencia absorbida por el oscilador no depende directamente de la fase entre la fuerza
impulsora y el desplazamiento, sino ms bien de la fase entre la fuerza y la velocidad.
Solo hay que reflexionar un momento para ver que obtendremos las desviaciones
mayores cuando la velocidad est exactamente en fase con la fuerzas impulsoras. De
este modo la masa resulta empujada en lugar y momentos precisos. Cuando el
desplazamiento es cero, la velocidad tiene su valor mximo. Si en este punto se est
moviendo en sentido positivo, nos conviene que la fuerza alcance en ese instante su
mayor valor con el objeto de tener el mximo movimiento. En los puntos extremos en
los que la velocidad cambia de sentido conviene, para que se presente la resonancia,
que la fuerza cambie de sentido del mismo modo que lo hace el movimiento en ese
mismo instante. As, pues, la resonancia, se entiende mejor en funcin de la fase entre
la velocidad y la fuerza impulsora. Sabemos que la velocidad adelanta a su
desplazamiento exactamente en 90 , as, pues, para la resonancia con fuerza y
velocidad en fase , debemos tener la fuerza 90 adelantada al desplazamiento, de modo
que 2
.
c) Frecuencia impulsora alta, cuando 2 .
Aqu
(2.57)
En este lmite la respuesta, decrece como 21.La inercia de la masa condiciona la
respuesta en lmite de altas frecuencias.
Observemos adems que la fase del desplazamiento x respecto a la fuerza
impulsora F empiesa en cero a frecuencias bajas , pasando por 2
en la
resonancia y llegando a a frecuencias elevadas. Es decir, el desplazamiento
siempre se retrasa respecto a la fuerza impulsora.
Ejercicio.
Hallar la media en tiempo del trabajo realizado por unidad de tiempo sobre el sistema
oscilante por la fuerza impulsora externa que viene dada.
Solucin.
Sabemos que
..;0;12
0
2
0
2
00
m
F
m
mxSenCos
tCostSen
mxFP
2222
0
2
0
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Desarrollando el tCos y recordando que, 0;212 tCostSentSen , y sabiendo que
, entonces la expresin anterior se reduce a:
, este resultado muy importante , pues, la absorcin de
potencia en la resonancia , para cuando 0 est dado por
, aqu se observa que la absorcin de potencia en la resonancia crece
con el tiempo de relajacin, adems se puede observar que la absorcin de potencia se
reduce a la mitad del valor en la resonancia cuando 2
1var ena , pues podemos,
apreciar el grafico de la potencia media versus la frecuencia, adems podemos escribir lo
siguiente:
As mismo el factor de calidad puede expresarse como
22220
Sen
22220
22
0 /
2
1
mP
202
1mPres
2
1000
22
0 2
2
1
0
02
Q
Fig. 2.21 Representacin grfica de la potencia media como funcin de la frecuencia.
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Fig.4
PROBLEMAS
1.- Un peso oscila armnicamente a lo largo del eje X, con una frecuencia f = 5 Hz. En t = 0 su desplazamiento es x = 10 cm y su velocidad de 314,16 cm/s.
a) Determinar la expresin del desplazamiento, velocidad y aceleracin en funcin del tiempo.
b) Determinar la velocidad para t = 0,5 seg
2.- Una varilla de longitud l oscila alrededor de un eje horizontal que pasa por uno de sus extremos. A que distancia d del eje de giro se puede acoplar una masa m a la varilla de modo que el periodo del sistema sea igual al inicial?. Fig. 1.
3.- El desplazamiento de una partcula en t = 0.25 s est dado por la expresin x = 5
cos (4 t + ) donde x esta dado en metros y t en segundos. Determinar:
a) La frecuencia y el periodo de movimiento b) La amplitud del movimiento c) La constante de fase d) El desplazamiento de la partcula en t = 0.25 s e) La velocidad y aceleracin en t = 1/3 s f) La velocidad y aceleracin mxima
4.- Se tiene un pndulo modificado, de longitud 1.2m. Para un ngulo inicial de 5, hallar
el periodo. Fig. 2.
Fig 1. Fig. 2 Fig. 3
5.- Hallar el periodo de oscilacin del sistema. Fig 3.
6.- Una plancha horizontal tiene una masa M y longitud
L, tienen un pivota en uno de sus extremos y en el
otro un resorte de constante K.
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El momento de inercia de la plancha respecto del pivote es (M L2
)/3, si la plancha de
desva un ngulo pequeo respecto de la horizontal, demuestre que se mueve con M.
A. S. Cul es su frecuencia angular?.
7.- Cuando el pndulo simple forma un ngulo ( ) con la vertical, su rapidez es v. a)Calcule la energa total del pndulo como una
funcin de v y . b)Para ngulos pequeos, cual es la energa potencial?.
8.- Para oscilaciones calcule la frecuencia natural de las
masas:
a) Varilla de masa despreciable respecto de m
b) En su resultado haga K = 0 Qu obtiene?.
9.- Un cuerpo de masa 100 gr. Pende de un resorte. Se estira el resorte 10 cm, y se suelta
oscilando con un periodo de 2 s.
a)Cul es la velocidad de la masa al pasar por la posicin de equilibrio.
b)Cul es la aceleracin cuando se encuentra a 5cm por encima de su
posicin de equilibrio?
10.- Determine el periodo del M.A.S. generado cuando la esfera de radio r se desplaza ligeramente del punto A y rueda sin resbalar.
AYUDA:
2
5
2mrIC
11.- Un cuerpo de seccin normal constante A y densidad flota en un lquido desplazando un volumen V en el equilibrio.
a) Hacer un diagrama de fuerzas del sistema b) Usando (a) hallar la ecuacin del movimiento para pequeas oscilaciones c) Demuestre que el periodo de pequeas oscilaciones en torno a la posicin de
equilibrio es gAVT /2
g es la aceleracin de la gravedad.
O
R
r
C
A
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50
12.- En la figura 2 un lquido de longitud l se
encuentra en reposo dentro de un tubo doblado
en V. Si mediante un mbolo modificamos el
nivel del lquido. Determine la frecuencia de
oscilacin del lquido al retirar abruptamente el
mbolo.
13.- Hallar el movimiento resultante de la superposicin de los movimientos oscilatorios
x1 = 3 cos (5 t + 53) y x2 = 4 cos (5 t + 37).
14.- Un disco de masa M y radio R se le hace oscilar en torno a un agujero a una distancia
r del centro de masa. Haga una grfica del periodo en funcin de r (para ngulos
pequeos).
15.- Se construye un dispositivo que consta de 2 MAS perpendicular y estn unidos a un
lapicero de tal manera que ste se mueve segn los MAS. Si los MAS son descritos
por:
x = 30 Sen 20 t
Y = 40 cos 40 t
donde X, Y estn en cm y t en segundos. Halle
a) La posicin del lapicero en funcin del tiempo b) La fuerza sobre el lapicero en funcin del tiempo
16.- Un objeto de 2 kg de masa oscila con una amplitud inicial de 3.00 cm con un resorte de constante k = 400 N/m.
Hallar:
a) EL periodo de oscilacin b) La energa inicial total c) Si la energa disminuye en un 1% por periodo. Determinar la constante de
amortiguamiento
d) Finalmente halle el factor de calidad Q, definido como 2 veces la razn entre la energa almacenada y la prdida media de la energa por perodo.
17.- Una masa de 200 g se mueve en el extremo de un resorte de constante elstica igual a
100 N/m sometida a una fuerza amortiguadora. Si la constante de amortiguamiento
es1 kg/s
a) Cunto tiempo transcurre en reducirse la amplitud a la mitad de su valor inicial? b) Cunto tiempo transcurre en reducirse la energa mecnica a la mitad de su valor
inicial?
Fig
Embolo
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e) Finalmente halle el factor de calidad Q, definido como 2 veces la razn entre la energa almacenada y la prdida media de la energa por perodo.
18.- En el sistema mostrado en la figura b (en kg/s) es el coeficiente de
amortiguamiento, k (en N/m) es la constante elstica del resorte y m es la
masa del bloque (en kg). Si el bloque desplaza ligeramente de la posicin
de equilibrio y se suelta.
Halle la ecuacin diferencial de movimiento
a) Demuestre que x = Ae-t sen (wt + ) donde m
b
2
es el factor de
amortiguacin, 22
0 ww es la frecuencia angular de oscilacin,
m
kw 0
, A amplitud inicial y fase inicial
es una solucin de la ecuacin diferencial
b) Cunto tiempo tarda la amplitud en reducirse al valor A/2? 19.- La media en el tiempo del trabajo realizado por unidad de tiempo sobre un sistema
oscilante por la fuerza impulsora se define como p = < F x >
a) Demuestre que en la resonancia 202
1Mp
b) Demuestre as mismo que la anchura completa a la mitad de la potencia mxima
est dado por Q
ww 02/12
c) A continuacin considere un oscilador armnico con masa M = 1 gr; constante
k = 104 dinas/cm y tiempo de relajacin seg2
1
c-1) Hallar w0, w y Q
c-2) El tiempo para que la amplitud se amortige hasta e-1 de su valor inicial,
luego hallar
d) Haga ahora que el sistema sea impulsado por tSentSenMF 90100 dinas
d-1) Hallar 0 , w, x0 y la fase
d-2) Comparar las amplitudes en el lmite cuando w 0 y con la que se presenta en la resonancia
d-3) Hallar (a) y (b)
k
m
b