Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ecuaciones diferenciales de Primer Orden.
49 Ecuaciones Diferenciales
2Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Habilidades
1. Usar la técnica para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden separables
3Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial de variables separables es una ecuación diferencial de primer orden en la cual la expresión para dy/dx se puede factorizar como:
Ecuaciones de variables separables
ygxfdxdy
o también como:
ygxf
dxdy
si g(y) 0.
4Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ecuaciones diferenciales
Escribimos la ecuación separable en forma diferencial:
Resolución de ecuaciones separables
dxxfdyyg
1
o también como:
dxxfdyyg
según sea el caso. Luego integramos, con respecto a y en el miembro izquierdo y con respecto a x en el miembro derecho.
si g(y) 0.
5Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ecuaciones diferenciales
Una trayectoria ortogonal de una familia de curvas es unacurva que interseca a cada una de las curvas de dicha familia de forma tal que las rectas tangentes son mutuamenteperpendiculares en cada punto de intersección.
Trayectorias ortogonales
d xycyx
22
Familias de trayectorias ortogonales
6Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ecuaciones diferenciales
Si las pendientes de las rectas tangentes de una familia estánrepresentadas por y1’ y las pendientes de las rectas tangentesde la otra familia están representadas por y2’, luego:
121 ''yyProcedimiento
Encuentre y1’ de la primera familia, expresándola únicamente
en términos de x e y. Reemplácela en la ecuación anterior y luego despeje y2’. Por último encuentre y2, resolviendo la ecuación diferencial que se obtiene.
7Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ecuaciones diferenciales
Un problema típico de mezclado comprende un tanque de capacidad fija V, lleno con una solución completamente mezclada de una sustancia con una cantidad y0.
Una solución de concentración c entra al tanque a una razón fija v y la mezcla, por completo agitada, sale del mismo a la misma razón.
Mezclas
c
v
v
V
y0
8Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ecuaciones diferenciales Si y(t) denota la cantidad de la sustancia en el tanque en el
instante t, entonces dy/dt es la razón a la cual se agrega esa sustancia menos la razón a la cual se extrae:
)()( salida de razónentrada de razón dtdy
Razón de entrada: (masa por unidad de volumen entrante) x (volumen por unidad de tiempo) = cv.
Razón de salida: (masa por unidad de volumen saliente) x (volumen por unidad de tiempo) = .v
Vy(t)
Ecuación diferencial que modela:
00 y) v , y(Vy(t)c
dtdy
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Ley de crecimiento naturalCrecimiento poblacional
Ecuación diferencial que modela:
Ay ,k ,kydtdy
(0)0
Función de crecimiento poblacional:
ktAety )(
Se considera que en condiciones de ambiente y suministro alimenticio ilimitados, la rapidez con la cual crece una población es proporcional al tamaño presente de dicha población. Sea A la población inicial.
10Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ecuaciones diferencialesDesintegración radiactiva
Ecuación diferencial que modela:
000 m), m(km, kdtdm
Función de desintegración radiactiva:
ktemtm 0)(
Se considera que la rapidez con la cual se desintegra un material radiactivo es proporcional a la masa presente de dicho material. Sea m0 la masa inicial del material radiactivo.