Tema 4: Análisis de la respuesta transitoria
¿Cómo es la respuestaante escalón?
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Introducción
SistemaLinealizado
Dobleobjetivo
1
2
G(s)Respuesta temporal
(incrementos)0
f(t)y(t)
t=0
Obtención de un modelo
(caja negra)
t=0 t
U(t)
Ueq
f(t)Y(t)
t=0 t
Yeq
Cond. Iniciales Nulas
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( ))()( 1 syLty −=
Introducción
Cálculo teórico de la respuesta temporal:
t=0
u(t)u(t)
t ( ))()( tuLsu =
G(s))(su )()()( susGsy =
1
2
3
t=0
u(t)y(t)
t
La SALIDA depende de La SALIDA depende de G(sG(s) y de la ENTRADA) y de la ENTRADA
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Índice
Caracterización de la respuesta temporal.Respuesta temporal de sistemas de primer orden.Respuesta temporal de sistemas de segundo orden.Respuesta temporal de sistemas de orden superior.Estabilidad de sistemas lineales.Estimación de modelos caja negra a partir de la respuesta temporal.Análisis de incertidumbre en el dominio temporal.
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Señales de prueba típicas
impulso escalón
rampa
t=0
0
t
t=0
0
t
f(t)
t=0
0t
f(t)
parábola
t=0
0
t
f(t)
u(t) u(t)
u(t) u(t)
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Respuesta transitoria y respuesta estacionaria
La respuesta en el tiempo de un sistema lineal se divide en dos partes:
)()()( tytyty st +=
respuestatransitoria
respuestaestacionaria (régimen permanente)Va desde el estado
inicial al estado final
0)(lim =∞→
ty tt
(tiende a cero cuando el tiempo se hace muy grande. Da idea de la rapidez del sistema)
depende del sistema y de las condiciones iniciales
La forma en que la salida del sistema se comporta cuando t→∞
(permanece después que la transitoria ha desaparecido e indica en donde termina la salida del sistema cuando el tiempo se hace grande)
depende de la entrada aplicada
)()(lim tyty st
=∞→
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Parámetros de caracterización
• Sirven para describir la respuesta temporal:
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
2
4
6
8
10
12
tiempo (s)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
tiempo (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
20
40
60
80
100
120
tiempo (s)
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Tiempo de subida (ts):Tiempo que tarda en evolucionar desde el 5% hasta el 95% del valor en régimen permanente.Tiempo de establecimiento (te):Es el tiempo que se tarda en alcanzar y mantenerse en una banda de ±5% del valor finalSobreoscilación (SO%)Exceso porcentual del primer pico de la repuesta temporal respecto a su valor en régimen permanente.
Ganancia Estática ( K ):Es el valor de régimen permanente de la respuesta a una entrada en escalón unitario.Es el cociente entre la salida y la entrada en régimen permanente.
Parámetros de caracterización
Transitorio:
Permanente:
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Parámetros de caracterización
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
20
40
60
80
100
120
tiempo (s)
ts
tp
te y
rp
A
B
yp
Posc 100(%) ×
−=
rp
rpp
y
yySO
U
yK rp=
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Polos, ceros y respuesta de un sistema
Los polos determinan la naturaleza de la respuesta en el tiempo:
• Los polos de la función de entrada determinan la forma de la respuesta estacionaria
• Los polos de la función de transferencia determinan la forma de la respuesta transitoria
Los ceros y los polos de la entrada o función de transferencia contribuyen a las amplitudes de los componentes de la respuesta temporal
Los polos sobre el eje real generan respuestas exponenciales
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Influencia del polinomio característico en la
respuesta transitoria
Los polos de la función de transferencia van a definir elcomportamiento de la respuesta transitoria.
Respuesta impulsional
Im
Re
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Índice
Caracterización de la respuesta temporal.Respuesta temporal de sistemas de primer orden.Respuesta temporal de sistemas de segundo orden.Respuesta temporal de sistemas de orden superior.Estabilidad de sistemas lineales.Estimación de modelos caja negra a partir de la respuesta temporal.Análisis de incertidumbre en el dominio temporal.
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Sistemas de primer orden
Ecuación diferencial de 1º orden:
)()(01 tbutyadt
dya =+ y(t) = salida
u(t) = entradat = tiempo
a0, a1, b = param. ctesCondiciones iniciales nulas
01)()(
asab
susy
+=
1)()(
0
1
0
+=
saa
ab
susy
=K
=τ
1)()(
+=
sK
susy
τ
La función de transferencia de un sistema de 1º orden en forma estándar
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Sistemas de primer orden
u(s) y(s)
1+s
K
τ
Características de la forma estándar:
• El segundo término del denominador es 1
• K = ganancia del sistema (lims→0 G(s) )
• τ = constante de tiempo (el coeficiente de s)
• El polo del sistema (la raíz del denominador) es –1/τ
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Sistemas de primer ordenComportamiento del sistema ante un impulso en la entrada
0)( :
)0( :0
=∞∞=
==
yt
KUyt
τ
La estabilidad viene determinada por la posición del polo, no por el tipo de entrada
UsK
UsK
syτ
ττ /1
/1
)(+
=+
=u(s)=U y(s)
1+s
K
τ
t=0
u(t)
Ut
τ
τ/)( te
KUty −=
KA/τ
4τ0 t
( ))()( 1 syLty −=
τ >0
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Sistemas de primer ordenComportamiento del sistema ante un escalón en la entrada
ττ
ττ 1/1
/1
)(+
−+=
+=
+=
s
KUs
KUs
UsK
sU
sK
sy
u(s)=U/s y(s)
1+s
K
τ
Resp.Estac.
Resp.Transit.
τ >0:
)(1
lim)(lim00
∞==+
=→→
yKUsKU
sysss τ
)1()]([)( //1 ττ tt eKUKUeKUsYLty −−− −=−==
t=0: y(0)=0t=∞: y(∞)=KU
Resp.Transit.
Se hace cero cuando t-> ∞
u(t)
t=0 t
U
Resp.Estac.
( ))()( 1 syLty −=
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Sistemas de primer ordenComportamiento del sistema ante un escalón
1+s
K
τu(s) y(s)
)()()(
tKutydt
tdy=+τ
)1()( τt
eKUty−
−=
t
y(t)
KUτ > 0 constante de tiempo
Respuesta estable, sin retardo ni cambio de concavidad y sobreamortiguada
Ganancia estática: K = KU/U
u(t)U
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Estabilidad entrada-salida (BIBO)
G(s)u(s) y(s)
Un sistema es estable entrada-salida cuando a una entrada acotada le corresponde una salida acotada
inestable
estable
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Interpretación en el plano s (τ>0)
)1()( τt
eKUty−
−=Plano s
x
polo en la parte real izquierda del plano s
τs+1=0
polo = -1/τSi τ > 0: Respuesta estable, sin cambio de concavidad y sobreamortiguada
1+s
K
τu(s) y(s)
t
y(t)
yrp=KU
u(t) U
KUs
UsK
sssytyysst
rp =+
===→→∞→ 1
lim)(lim)(lim00 τ
Según Th. Valor Final:
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Interpretación en el plano s (τ<0)
t
)1()( τt
eKUty−
−=
τs+1=0
polo = -1/τpositivo Si τ < 0: Respuesta inestable
1+s
K
τu(s) y(s)
y(t)Plano s
x
polo en la parte real derecha del plano s
KUs
UsK
sssytysst
=+
==→→∞→ 1
lim)(lim)(lim00 τ
Según Th. Valor Final:Pero en este caso NO EXISTE EL LÍMITE
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Constante de tiempo (τ)
KUeKUy
eKUtyt
632.0)1()(
)1()(1 =−=
−=−
−
τ
τ
τ
ττ
KUdt
tyd
eKU
dttyd
t
t
=
=
=
−
0
)(
)()(
Derivada en el origen:
1+s
K
τ
u(s)=U/s y(s)
En t=τ , la salida del sistema ha alcanzado el 63,2% de su valor final
La pendiente de la tangente en t=0 es KU/τ
KU
0 τ63
,2%
t
0.63KU
y(t) tKUτ
yrp=KU
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Tiempo de subida (ts) y de establecimiento (te )
ts: Tiempo que tarda la salida del sistema en ir del 5% al 90% delvalor final
KA
0 τ
5%
t
y(t)
yrp=KU
τ3≅≅ es tt
90%
st
KUeKUy
eKUtyt
9.0)1()3(
)1()(3 =−=
−=−
−
τ
τ
te: Tiempo que tarda la salida del sistema en alcanzar y mantenerse en una banda del ±5% en torno a yrp
Para sistemas de primer orden:
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
t
y(t)
0.95KU
Plano s
x
τ1 < τ2
x
-1/τ1 -1/τ2
)1()( τt
eKUty−
−=
1+s
K
τ
u(s)=U/s y(s)
Ts
KU
A mayor constante de tiempo, más lento el sistema (cuanto más cerca esté el polo del origen más lento será el sistema)
Tiempo de subida (ts) y de establecimiento (te)
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Ganancia Estática ( K ):Es el valor de régimen permanente de la respuesta a una entrada en escalón unitario.Es el cociente entre la salida y la entrada en régimen permanente.Constante de Tiempo (τ ):La constante de tiempo del sistema es una medida del tiempo necesario para que el sistema se ajuste al cambio en la entrada (tiempo en el que se alcanza el valor del 63% del valor en régimen permanente).Tiempo de subida (ts = 3τ ): varias definiciones.El tiempo de subida es el tiempo que tarda en ir del 0% al 90% de la salida del valor final. Tiempo de establecimiento (te = 3 τ ):Es el tiempo que se tarda en alcanzar y mantenerse en una banda de ±5% del valor final.Sobreoscilación (%): Nula
Resumen: Sistemas de Primer Orden
Parámetros característicos:
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
τ
τττ 11
)( 22
++−=
+=
s
UKs
UKs
UKsU
sK
sy
y(s)
1+s
K
τt=0 t
τ
τ
ττ
ττ/
/
)(
)(t
t
eKUtKU
eKUKUKUtty−
−
+−=
+−=
0 t
2)(sU
su =Uttu =)(
τττ /)()( teKUtKUty −+−=
Respuesta transitoria
∞=∞∞===
)( :
0)0( :0
yt
yt
Sistemas de primer ordenComportamiento del sistema ante una rampa
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Índice
Caracterización de la respuesta temporal.Respuesta temporal de sistemas de primer orden.Respuesta temporal de sistemas de segundo orden.Respuesta temporal de sistemas de orden superior.Estabilidad de sistemas lineales.Estimación de modelos caja negra a partir de la respuesta temporal.Análisis de incertidumbre en el dominio temporal.
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Sistemas de segundo orden
22
2
2 nn
n
ss
K
ωδωω
++
u(s) y(s)
)()()(
2)( 22
2
2
tuKtydt
tdy
dt
tydnnn ωωδω =++
Respuesta a una entrada salto en u(t)
t=0u=0
u(t)=U
K: ganancia estática (lims→0 G(s) )
δ: coeficiente de amortiguamiento
ωn : frecuencia propia/natural no amortiguada
Situar los polos de la función de transferencia en el plano complejo
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Sistemas de segundo orden
22,1
2,1
22,1
2222222
12
2
negativa real partecon conjugados complejos polos :1)(0 0
iguales negativos reales polos :1)( 0
12
2
negativos reales polos :1)( 0
)1(444 02
δωδωδω
δδω
δ
δωδωδω
δδωωωδωδω
−±−=∆−±−
=
<<<∆
−===∆
−±−=∆±−
=
>>∆−=−=∆→=++
nnn
n
nnn
nnnnn
jj
s
s
s
ss
22
2
2 nn
n
ss
K
ωδωω
++
u(s) y(s)
Ecuación característica del sistema: 0>nω
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Tres posibles casos (sistema estable)
Cuando δ > 1; dos raíces reales y distintasSistema Sobre-amortiguado
Cuando δ =1; dos raíces igualesSistema Críticamente-amortiguado
Cuando 0<δ < 1; dos raíces complejas conjugadasSistema Sub-amortiguado
Respuesta de Sistemas de Segundo Orden
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Caso δ>1Respuesta a un escalón
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−+−−
−
−−−+=++= −−−− btatbtat eeKUeety
12
1
12
11)(
2
2
2
2
δδδ
δδδγβα
))(( bsas
Kab
++
u(s) y(s)⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + 1
11
1s
bs
a
K
y(t)
yrp=KU
Respuesta estable, sin retardo con cambio de concavidad y sobreamortiguada
Ganancia estática: K=KU/U
1
1
2
2
−+=
−−=
δωδω
δωδω
nn
nn
b
a
( )( ) bsasssU
bsasKab
sy+
++
+=++
=γβα
)(
t=0
u=0
u(t)=U
2 constantes de tiempo 1/a, 1/b
U
KUy
y
=∞=
)(
0)0(
Polos reales negativos distintos
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Caso δ>1Interpretación en el plano s
Plano s
x
polos en la parte real izquierda del plano s
x-a-b
btat eety −− ++= γβα)(El polo más a la derecha domina en la desaparición del transitorio
))(( bsas
Kab
++
u(s) y(s)1
1
2
2
−+=
−−=
δωδω
δωδω
nn
nn
b
a
y(t)
KU
t=0
u=0
u(t)=UU
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Caso δ=1Respuesta a un escalón
( ) ( )22
2
)(asasss
U
as
Kasy
++
++=
+=
γβα
2
2
)( as
Ka
+
u(s) y(s)
na δω−=
KUyy
teeKU
teetyat
nat
atat
=∞=+−=
=++=−−
−−
)(0)0(
)1(
)(
δω
γβαy(t)
KU
u=0u(t)=U
uFunción monótona creciente
Amortiguamiento crítico
Polos reales iguales
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Aproximación para δ ≥ 1
y(t)
t
La respuesta del sistema de segundo orden puede aproximarse por la de uno de primer orden con constante de tiempo igual a la suma de constantes de tiempos de cada polo
)1)(1(
))((
21 ++
=++
ss
K
bsas
Kab
ττ
τ≈τ1+τ2≈
1)( 21 ++ s
K
ττ
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Otra aproximación para δ ≥ 1
y(t)
t
La respuesta del sistema de segundo orden puede aproximarse por la de uno de primer orden mas un retardo
))(( bsas
Kab
++
1+
−
s
Ke ds
τ
d≈
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Caso 0<δ<1Respuesta a un escalón en u
[ ]
δδα
αδωδ
ωδωω
δω
2
2
2
1-
22
2
1
)1(1
11)(L)(
2)(
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
−−==
++=
−
arctg
tseneKUsyty
sU
ss
Ksy
nt
nn
n
n
u(s) y(s)22
2
2 nn
n
ss
K
ωδωω
++
t
y(t)
Si δωn>0 Respuesta estable, sin retardo y subamortiguada
Polos complejos conjugados
Ku
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Interpretación en el plano s
Plano s
x
polos complejos conjugados con la parte real en el semiplano izquierdo
x
nδω−
dn ωδω =− 21
t
y(t)
yrp=KU
dnn jj ωσδωδω ±−=−±− 21
Polos:
u(s) y(s)22
2
2 nn
n
ss
K
ωδωω
++
dn ωδω −=−− 21
Re
Im
( )δδ
δα arccos1 2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−= arctgα
nω
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Respuesta típica de un sistemasubamortiguado
0 5 10 15 20 25 300
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
3.05
2.29
19.01.85 time (min)
y(t)
6.30
%5.521000.2
0.205.3aciónSobreoscil% =
−=
28.00.205.3
0.229.2Picos deRelación =
−−
=
Tiempo subida Tiempoestablecimiento
periodo de oscilación
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Caso 0<δ<1Respuesta a un escalón en u
KU)y(;)y(
arctgtseneKUty ntn
=∞=
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
−−= −
00
1)1(
1
11)(
22
2 δδααδω
δδω
u(s) y(s)22
2
2 nn
n
ss
K
ωδωω
++
t
y(t)
Ku
21 δωω nd −=
Ganancia = K = KU/UFrecuencia de oscilación:
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Tiempo de pico
tp
t
y(t)
Ku
dn
pt ωπ
δωπ
=−
=21
tp : Tiempo que transcurre hasta el primer máximo
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
−−= − )1(
1
11)( 2
2αδω
δδω tseneKUty n
tn
0)(
== pttdt
tdy
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Tiempo de subida
ts
t
y(t)
Ku
dn
st ωαπ
δωαπ −
=−
−=
21
ts : Tiempo que transcurre hasta que se alcanza por primera vez el valor de régimen permanente
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
−−= − )1(
1
11)( 2
2αδω
δδω tseneKUty n
tn
rpttyKUty
p==
=)(
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
δ
SO
(%
)
Sobreoscilación
100(%)21 ×= −
−δ
πδ
eSO
tp
t
y(t)
KU
Mp = SobreoscilaciónMp
100)(
(%) ×−
=KU
KUtySO p
Sólo depende de δ
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Tiempo de establecimiento
t
y(t)
KU
te
%5±Régimen permanente
Régimen transitorio
Aproximadamente :
nnet
δωδω54
L=Tiempo requerido para que el transitorio decaiga a un valor pequeño de modo que y(t) esté casi en estado estacionario (dentro de una banda de ± 5%
.
(si δ<0.69)
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega0 5 10 15 20 25 300
2
4
6
8
10
12
tiempo (s)
1
2
0 5 10 15 20 25 300
2
4
6
8
10
12
tiempo (s)
2 1
Parámetros para caso 0<δ<1
net
δω4
=
↓⇒↑ tiemposnω
↓⇒↓⇒↑ (%)SOαδ
21 δωαπ−
−=
n
st21 δω
π−
=n
pt
x
x
Re
Im
1α
x
x
2α
x
x
Re
Im
α x
x
12
AproximaciónAproximación::
nps tt
ωπ2
41×≈≈
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Efecto de mover los polosSistema subamortiguado
x
x
x
x
x
x
Im(s)
Re(s)
Polos con la misma parte real
djs ωσ ±−=2,1
σ−
1djω2djω3djω
1djω−2djω−3djω−
321
321
321
ppp
ppp
ddd
ttt
MMM
>>
<<
<< ωωω
σ4
≅st
Puedo variar la sobreoscilación modificando la parte imaginaria de los polos sin afectar el tiempo de establecimiento (controlado por la parte real de los polos)
1pt2pt
3pt
Cuanto más pequeña es la parte imaginaria, menor es el sobrepico y mayor el tiempo de pico
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Efecto de mover los polosSistema subamortiguado
x
x
x
x
x
x
Im(s)
Re(s)
Polos con la misma parte imaginaria
djs ωσ ±−=2,1
1σ−
djω
djω−2σ−3σ−
tp igual
dpt
ωπ
= 1st2st
3st
Cuanto más pequeña es la parte real, más lenta la respuesta
321
321
321
ppp
sss
MMM
ttt
>>
>><< σσσ
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Efecto de mover los polosSistema subamortiguado
x
x
x
x
x
x
Im(s)
Re(s)
Polos con el ángulo αconstante(δ constante)
djs ωσ ±−=2,1
1σ−2σ−3σ−
α
Mp igual
1pt2pt
3pt
321
321
321
321
ppp
sss
ddd
ttt
ttt
>>
>>
<<<<
ωωωσσσ
Cuanto más cerca están los polos del origen, más lenta la respuesta
1djω
2djω3djω
1djω−
2djω−
3djω−
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Caso δ=0Respuesta a un escalón
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−==
+=
)2
(1)(L)(
)(
1-
22
2
πω
ωω
tsenKUsyty
sU
sK
sy
n
n
n
u(s) y(s)22
2
n
n
s
K
ωω+
t
y(t)Como δ = 0 la respuesta no se amortigua nunca. Respuesta en el límite de la estabilidad
Ku
Polos imaginarios puros
La respuesta transitoria no se extingue
Caso no amortiguado
nnd δωω ω=−= 21
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Caso δ=0Interpretación en s
Plano s
x
x
njω+
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−== )
2(1)(L)( 1- πω tsenKUsyty n
nn jss ωω ±=⇒=+ 0:polos 22
njω−
Polos sobre el eje imaginario: límite de estabilidad
u(s) y(s)22
2
n
n
s
K
ωω+
t
y(t)
KU
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Caso δ<0Respuesta a un escalón
t
y(t)
x
xnδω−
21 δω −n
Polos en el semiplano derecho: sistema inestable
0>nω
01 <<− δ
xnδω−
1−=δ
Polos reales iguales
x
1−<δ
Polos reales positivos
x
Oscilaciones crecientes y(t)
tMonótonamente inestable
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Resumen
ESTABLE INESTABLE
Sobreamortiguado
Subamortiguado
Subamortiguado
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Índice
Caracterización de la respuesta temporal.Respuesta temporal de sistemas de primer orden.Respuesta temporal de sistemas de segundo orden.Respuesta temporal de sistemas de orden superior.Estabilidad de sistemas lineales.Estimación de modelos caja negra a partir de la respuesta temporal.Análisis de incertidumbre en el dominio temporal.
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Respuestas de sistemas
1+s
K
τ
Primer orden:
22
2
2 nn
n
ss
K
ωδωω
++
Segundo orden:
( )( )( )22 11.018.0
305.18
++++
sss
s ?
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Adición de un polo
Conocido: 22
2
2 nn
n
ss
K
ωδωω
++
? ¿Cómo será?
ps
p
ss
K
nn
n
+×
++ 22
2
2 ωδωω
Idea intuitiva:
22
2
2 nn
n
ss
K
ωδωω
++ps
p
+Entrada
suavizada
Salida suavizada
SO(%)
ts
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Adición de un polo
¿Cuánto se suaviza la respuesta? p >> ωn:
22
2
2 nn
n
ss
K
ωδωω
++ps
p
+ poco suavizada
22
2
2 nn
n
ss
K
ωδωω
++ps
p
+
p << ωn:
muy suavizada
Polo despreciable (respecto a otro polo polo dominantedominante) si el módulo del polo es muy
superior respecto al del dominante
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Adición de un polo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2
4
6
8
10
12
14
tiempo (s)
Primer orden Segundo ordenTercer orden
p = 10 ωn :
22
2
2)(
nn
n
ss
KsG
ωδωω
++=
ps
KpsG
+=)(
ps
p
ss
KsG
nn
n
+++=
22
2
2)(
ωδωω
Re
Im
x
xx
-p
ωn
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
0 5 10 15 20 25 30-2
0
2
4
6
8
10
12
14
tiempo (s)
Primer orden Segundo ordenTercer orden
Adición de un polo
p = 0.1 ωn :
22
2
2)(
nn
n
ss
KsG
ωδωω
++=
ps
KpsG
+=)(
ps
p
ss
KsG
nn
n
+++=
22
2
2)(
ωδωω
Re
Imx
x
x-p
ωn
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
0 5 10 15 20 25 30-2
0
2
4
6
8
10
12
14
tiempo (s)
Primer orden Segundo ordenTercer orden
Adición de un polo
p = 0.5 ωn :
22
2
2)(
nn
n
ss
KsG
ωδωω
++=
ps
KpsG
+=)(
ps
p
ss
KsG
nn
n
+++=
22
2
2)(
ωδωω
Re
Imx
x
x-p
ωn
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Adición de un cero
Conocido: 22
2
2 nn
n
ss
K
ωδωω
++
? ¿Cómo será?
c
cs
ss
K
nn
n +×
++ 22
2
2 ωδωω
Idea intuitiva:
22
2
2 nn
n
ss
K
ωδωω
++
ponderación d/dt
SO(%)
tsc
122
2
2 nn
n
ss
K
ωδωω
++s
+
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
0 2 4 6 8 10 12 140
5
10
15
20
tiempo (s)
y(t): Sin cero yc(t): Con cero
0 2 4 6 8 10 12 14-5
0
5
10
tiempo (s)
1/c * dy(t)/dt
Adición de un cero
ts
SO(%)
c > 0 :
Cero despreciable (respecto a polo polo dominantedominante) si el
módulo del cero es muy superior
respecto al del dominante
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Adición de un cero
c > 0 :
Re
Im
xo x-p1-p2
-c
Re
Im
x o x-p1-p2
-c
Re
Im
x ox-p1-p2
-c
c
pp
psps
csKsG 21
21 ))((
)()(
+++
=
= +
)()( 2
2
1
1
ps
K
ps
K
++
+=
t
t
t
t
t
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
0 5 10 15-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
tiempo (s)
yc(t)
Adición de un cero
c < 0 : Cero de fase no mínima (en SPD)
Respuesta inversa Re
Im
o-c
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Al añadir un polo, la respuesta temporal del sistema se hace más lenta y menos sobreoscilatoria.Polo despreciable (respecto a otro polo polo dominantedominante) si el módulo del polo es muy superior respecto al del dominante.Al añadir un cero, la respuesta temporal del sistema se hace más rápida y más sobreoscilatoria.Cero despreciable (respecto a polo dominantepolo dominante) si el módulo del cero es muy superior respecto al del dominante.
Resumen
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Índice
Caracterización de la respuesta temporal.Respuesta temporal de sistemas de primer orden.Respuesta temporal de sistemas de segundo orden.Respuesta temporal de sistemas de orden superior.Estabilidad de sistemas lineales.Estimación de modelos caja negra a partir de la respuesta temporal.Análisis de incertidumbre en el dominio temporal.
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Estabilidad entrada-salida (BIBO)
G(s)u(s) y(s)
Un sistema es estable entrada-salida cuando a una entrada acotada le corresponde una salida acotada
inestable
estable
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Estabilidad de sistemas lineales
G(s)u(t) y(t)
[ ]
...)1(...)(
...2
L...)(
LLLL
)()(
....);2
...)(
()()()(
2
221
21111
1
222
++−+++++=
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
==
+++
+++
++
++
+==
−−−−
−−−−−
−
φδωλγβα
ωδωσλγβα
ωδωσλγβα
δωn
tbtbtat
nn
nn
seneteeety
ssbsbsass
sYLty
ssbsbsasssusGsy
n
La estabilidad y los tipos de respuesta vienen determinados por los polos. Los ceros modifican la forma de la respuesta pero no la estabilidad.
G(sG(s) ESTABLE ) ESTABLE ⇔ ⇔
TODOS SUS POLOS EN SPITODOS SUS POLOS EN SPI
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Índice
Caracterización de la respuesta temporal.Respuesta temporal de sistemas de primer orden.Respuesta temporal de sistemas de segundo orden.Respuesta temporal de sistemas de orden superior.Estabilidad de sistemas lineales.Estimación de modelos caja negra a partir de la respuesta temporal.Análisis de incertidumbre en el dominio temporal.
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Respuestas de sistemas
( )( )( )22 11.018.0
305.18
++++
sss
s ? U
• Estable: Sí (polos en -10, -10, -0.4±0.91j : todos en SPI)
•Ganancia estática: 555 (lim s->0)
•Polos en -10 despreciables respecto a los c.c. (ωn=0.99 rad/s)
•Cero (en -30) despreciable respecto a polos c.c. dominantes
( )( )( ) ( ) )(
18.0555
11.018.0
305.18)( 222
sGsssss
ssG red=
++≈
++++
=
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Respuestas de sistemas
0 5 10 15 20 25 300
100
200
300
400
500
600
700
tiempo (s)
G(s) Gred(s)
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Curva de reacción
SistemaU(t)=Ueq+u(t) Y(t)=
Yeq+y(t)
Condiciones iniciales nulas.
Incrementos en torno a un punto de operación.
Magnitud del escalón.
t=t0
Ueq t
U(t)
t
f(t)Y(t)
t=t0
Yeq
t
f(t)Y(t)
t=t0
Yeq
t
Y(t)
t=t0
Yeq
G(s)u(t) y(t)
1)(
+=
s
KsG
τ
22
2
2)(
nn
n
ss
KsG
ωδωω
++=
( )( )( )11
1)(
21 +++
=ss
sKsG c
τττ
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
1
2
3
4
5
6
7
8
tiempo (s)
U(t)Y(t)
τd τ
u
yrp
= K u
0.63 yrp
Obtención Experimental.Sistema Primer Orden con Retardo
sdes
KsG τ
τ−
+=
1)(
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tiempo (s)
u(t)y(t)
yrp
= K u
u
tp
yp
2π/ωd
S0(%)=(yp-y
rp)/y
rp
Obtención Experimental.Sistema Segundo orden subamortiguado
22
2
2)(
nn
n
ss
KsG
ωδωω
++=
22
2
)ln(
)ln(
pu
pu
SO
SO
+=
πδ
p
nt21 δ
πω−
=
21 δωω−
= dn
o/y
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 201
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
tiempo (s)
u(t)y(t)
τ1
τ2
yrp
= K uu
τc > τ
1 , τ
2
Obtención Experimental.Sistema Segundo sobreamortiguado con cero
( )( )( )11
1)(
21 +++
=ss
sKsG c
τττ
21 , τττ >c
Ajuste por simulación
Re
Im
x ox-1/ τ2 -1/ τ1
-1/ τc
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Índice
Caracterización de la respuesta temporal.Respuesta temporal de sistemas de primer orden.Respuesta temporal de sistemas de segundo orden.Respuesta temporal de sistemas de orden superior.Estabilidad de sistemas lineales.Estimación de modelos caja negra a partir de la respuesta temporal.Análisis de incertidumbre en el dominio temporal.
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Diseño del controlador basado en el modelo.
Especificaciones temporales en bucle cerrado expresadas en términos de localización de polos, ceros y ganancia del sistema en bucle cerrado.
Contrastar con datos experimentales y analizar incertidumbres.
Análisis de incertidumbre
¿Hasta qué punto se puede
confiar en el modelo?
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
Fiabilidad de modelos
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tiempo (s)
y(t)
tiempo (s)
real
modelo
0 1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tiempo (s)
Ince
rtid
umbr
e re
lativ
a
RESPUESTAS ANTE
ESCALÓN
INCERTIDUMBRE RELATIVA
)(
)()()(
ty
tytyt
modelo
modeloreal −=∆
Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega
La fiabilidad de un “modelo para control” depende de las especificaciones en bucle cerrado.
Regla práctica: un modelo es fiable si su respuesta temporal es similar (en porcentaje) a la del sistema real, en los tiempos en los que se pretende controlar el sistema.
Este concepto se justifica más claramente en el dominio frecuencial.
Fiabilidad de modelos
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