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lgebra Booleana y
Simplificacin LgicaM. en C. Erika Vilches
Parte 1
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Operaciones Booleanas
y Expresiones Variable, complemento y literal son lostrminos utilizados en lgebra booleana.
Variable smbolo utilizado pararepresentar una cantidad lgica Complemento el inverso de una variable
y se indica con una barra sobre la variable Literal una variable o el complemento de
una variable
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Suma Booleana: Equivalente a la operacin OR
Multiplicacin Booleana: Equivalente a la operacion AND
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Leyes del Algebra Booleana
Leyes conmutativas
Para la suma de dos variables se escribe:
A + B = B +A
El orden en que se OReen las variables no hace diferencia.
Para la multiplicacin de dos variables se escribe:AB = BA
El orden en que se ANDeen las variables no hace diferencia
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Leyes asociativas
Para la suma de tres variables se escribe:
A + (B + C) = (A + B) + C
Para la multiplicacin de tres variables se escribe:
A
(BC
) = (AB
)C
Cuando se ORean ms de dos variables, el resultado es elmismo sin importar la agrupacin
Cuando se ANDean dos o ms variables, no importa elorden en que se agrupen las variables
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Ley Distributiva
Se escribe para tres variables como:
A(B + C) =AB +ACORear dos o ms variables y ANDear posteriormenteel resultado con una sola variable es equivalente a
ANDear la variable sola con cada una de las dos o msvariables y despues ORear los productos
El proceso inverso (factorizacin) tambin esexpresado por esta ley. Una variable comn se
factoriza de los trminos.
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Reglas del Algebra
BooleanaReglas tiles para manipular y simplificar
expresiones Booleanas.
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Regla 1. A + 0 =A. Una variable OReada con 0 essiempre igual a la variable.
Regla 2. A + 1 = 1. Una variable OReada con 1 es
siempre igual a 1.
Regla 3. A 0 = 0. Una variable ANDeada con 0 essiempre igual a 0.
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Regla 4. A 1 =A. Una variable ANDeada con 1 essiempre igual a la variable.
Regla 5. A +A =A. Una variable OReada con sigo misma
es siempre igual a la variable.
Regla 6. . Una variable OReada con sucomplemento es siempre igual a 1.
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Regla 7. AA =A. Una variable ANDeada con ella mismaes siempre igual a la variable.
Regla 8. . Una variable ANDeada con su
complemento es siempre igual a 0.
Regla 9. . El doble complemento de una variable essiempre igual a la variable.
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Regla 10. A +AB =A. Esta regla se puede probar
aplicando la ley distributiva, la regla 2 y la regla 4.
A + AB =A(1 + B)=A1
=A
Factorizacin (ley distributiva)Regla 2: (1 + B) = 1
Regla 4: A1 =A
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Regla 11. . Esta regla se puede probar como
sigue:
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Regla 12. (A + B)(A + C) =A + BC. Esta regla se puedeprobar como sigue:
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Teoremas de DeMorgan
El complemento de un producto de variableses igual a la suma de los complementos delas variables
En otras palabras: El complemento de dos oms variables ANDeadas es equivalente alOR de los complementos de las variablesindividuales
Primer Teorema de DeMorgan
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El complemento de la suma de variables esigual al producto de los complementos delas variables.
En otras palabras: El complemento de dos oms variables OReadas es equivalente al
AND de los complementos de las variablesindividuales
Segundo Teorema de DeMorgan
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Para el primer teorema de DeMorgan
Para el segundo teorema de DeMorgan
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Los teoremas de DeMorgan pueden ser aplicados aexpresiones con ms de dos variables.
Ejemplos:
Tres variables
Cuatro variables
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Cada variable en los teoremas de DeMorgan puederepresentar una combinacin de otras variables.
Ejemplo:Si aplicamos a la expresinobtenemos
Si a los 2 trminos del resultado anteriory les aplicamos individualmente el teorema
nos queda
Si volvemos a aplicar el teorema de DeMorgan ay a nos queda
El resultado se podra simplificar ms con las reglas y leyes
Booleanas, pero ya no ms con con los teoremas de DeMorgan
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Aplicacin de los teoremas de DeMorgan y algebraBooleana a la expresin
1. Identificar los trminos a los que se les puede aplicarlos teoremas de DeMorgan y pensar en ellos como sifuesen 1 sola variable. Tomemos y .
2. Dado que ,
3. Utilizar la regla 9 para cancelar las barras doblessobre el trmino de la izquierda (esto no es parte delos teoremas de DeMorgan)
4. Aplicar el teorema de DeMorgan al segundotrmino
5. Utilizar la regla 9 para cancelar las barras dobles
sobre
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Ejemplo: Aplique los teoremas de DeMorgana la siguiente expresin
Tomemos y . La expresin
se encuentra en la forma y se puedereescribir como
Ahora, aplicar el teorema de DeMorgan altrmino
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Ejemplo: Aplique los teoremas de DeMorgana la siguiente expresin
Tomemos y . La expresin
se encuentra en la forma y se puedereescribir como
Ahora, aplicar el teorema de DeMorgan a
los trminos y
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Ejemplo: Aplique los teoremas de DeMorgana la siguiente expresin
Tomemos , y . La expresin
se encuentra en la forma y se puedereescribir como
Ahora, aplicar el teorema de DeMorgan a
los trminos , y