Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
GUÍA N° 6 - PLANOS Y RECTAS.
Ecuación del plano. Trazas de un plano. Distancia de un punto a un plano. Posiciones
relativas de dos planos. Ángulo diedro entre dos planos. Distancia de un punto a un plano.
Distancia entre planos paralelos. Haz de planos. Aplicaciones geométricas.
1. Sea el plano de ecuación . Calcular:
a) Un punto de que tenga abscisa 4 y ordenada 3.
b) Un punto de que tenga abscisa 1 y cota 2.
c) Un punto de de abscisa 0 y cuya ordenada es el doble de la cota.
2. En cada caso determinar la ecuación del plano:
a) Que pasa por el punto M (2, 1,-1) y cuyo vector normal es ⃗ .
b) Que pasa por los puntos M (3,-1,2) y N (4,-2,-1) y es perpendicular al vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗.
c) Paralelo a los vectores ⃗ y que pasa por el punto
.
d) Mediador al segmento de extremos A (5,-1,4) y B (-1,-7,1).
El Plano mediador de un segmento es el plano formado por los puntos que son
equidistantes a los extremos del segmento. También se puede definir como el plano
perpendicular al segmento que lo corta por su punto medio.
e) Contiene a los puntos P (3,-1,2), Q (4,-1,-1), R (2, 0, 2).
3. Determinar qué pares de ecuaciones dadas a continuación, determinan planos paralelos:
a) ;
b) ;
c) ;
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
4. Hallar los valores de de modo que los planos:
sean paralelos.
5. Determinar qué pares de ecuaciones dadas a continuación, determinan planos
perpendiculares:
a) ;
b) ;
c) ;
6. Hallar el valor de , tal que, los planos:
sean perpendiculares.
7. Escribir la ecuación del plano que pasa por el punto Q (3,4,1) y es perpendicular a los
planos ; .
8. Hallar la ecuación del plano paralelo al plano y pasa por el
origen.
9. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (2,-1,1) y es perpendicular a los
planos: ;
10. Determinar los ángulos diedros formados por la intersección de los planos siguientes:
a) √ ; √
b) ;
c) ;
d) ;
11. Hallar el valor de para que el ángulo formado por los planos
y sea igual a 30º.
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
12. Escribir la ecuación del plano, según se indica:
a) Pasa por el punto (2,-3,3) y es paralelo al plano XOY.
b) Pasa por el punto (1,-2,4) y es paralelo al plano XOZ.
c) Pasa por el punto (-5,2,-1) y es paralelo al plano YOZ.
13. Hallar los puntos de intersección del plano con los ejes
coordenados.
14. Escribir la ecuación segmentaria del plano que pasa por el punto M (6,-10,1) y se
intersecta con el eje de abscisas en un punto (0,0,-3) y con el eje de cotas en (0,0,2).
15. Un plano pasa por los puntos A (-1,4,1), B (13,2,-10), intersecta a los ejes de abscisas y
de cotas en segmentos de igual longitud y no nulos (partiendo del origen de
coordenadas). Hallar la ecuación de dicho plano.
16. Escribir la ecuación del plano paralelo al vector ⃗⃗⃗ y que intersecta a los
ejes OX y OY en los puntos (3,0,0) y (0,-2,0), respectivamente.
17. El plano intersecta a los ejes coordenados en los puntos
. Calcular:
a) Los valores de .
b) El área del triángulo ABC.
18. Calcular el volumen de la pirámide limitada por el plano y por
los planos coordenados.
19. Si son escalares no nulos. Demuestre que el tetraedro formado por los planos
coordenados y el plano tiene un volumen abc
dV
3
6
1 .
20. Escribir la ecuación del plano que pasa por el punto A (3,1,-1), es perpendicular al
plano y cuya cota al origen es igual a .
21. Calcular la distancia del punto (-1,1,-2) al plano que pasa por los puntos (1,-1,1),
(-2,1,3) y (4,-5,-2).
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
22. Dos caras de un cubo se encuentran contenidas en los planos ;
. Calcular el volumen del cubo.
23. Hallar en el eje OX un punto equidistante a los planos ,
24. Escribir las ecuaciones de los planos paralelos al plano que
distan 5 unidades del origen.
25. Calcular la distancia entre los planos paralelos:
a) ;
b) ;
26. Determinar la condición que cumplen todos los puntos del plano
que equidistan de los puntos A (3,0,-2) y B (1,2,0).
27. Sean los planos y .
a) Demuestre que y son planos paralelos.
b) Calcule la distancia entre los planos paralelos.
28. Sean los puntos A (0,0,1) ; B (1,0,-1) ; C (0,1,2) y D (1,2,0).
a) Halle la ecuación del plano π determinado por los puntos A, B y C.
b) Demuestre que los puntos A, B, C y D no son coplanares.
c) Calcule la distancia del punto D al plano π.
29. Hallar en el haz de planos de ecuación: 0123332 zyxzyx un
plano que pase por el punto (1,-2,3).
30. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos
, y es paralelo al vector )2,1,2(
u .
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
31. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta
02523
0325:
zyx
zyxr y es
perpendicular al plano .
32. Hallar la ecuación del plano que pertenece al haz de planos de ecuación
01345615810 zyxzyx , cuya distancia al punto (3,-2,-3) es igual
a 7 unidades.
33. Averiguar si el plano pertenece al haz de planos de ecuación
.
34. Hallar los valores de m y n , tales que, el plano pertenezca al
haz de planos, cuya ecuación es:
Respuestas:
1.
a) (4,3,-2) b) (1,9,2) c) (0,-2,-1)
2.
a) b) c)
d) e)
3. Los pares a) y c) son planos paralelos.
4. 10;6
5. Los pares a) y b) son planos perpendiculares.
6.
2
1m
7.
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
8.
9.
10.
a) 60° y 120° b) 45° y 135° c) 90° d)
15
2arccos;
15
2arccos
11. 71 kok
12.
a) b) c)
13.(0,0,-4) ; (0,3,0) ;
2
1,0,0
14.
1243
zyx
15. ;
16.
17.
a) ; b) Atriángulo = √
18. Vtetraedro = 12
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
20.
21. d (P0,π) = 4
22. Vcubo = 8
23. (2,0,0) ;
0,0,
43
11
24. ;
25.
a) 6
3, d b)
53
11, d
26.
27. b) 142
1, 21 d
28.
a) c)
2
14, Dd
29.
30.
31. Satisfacen a la condición del ejercicio, todos los planos del haz dado. La ecuación:
00 , tiene infinitas soluciones.
32. ;
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
33. No pertenece al haz de planos dado.
34. 11;5 nm
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
Ecuación de la recta. Posiciones relativas de dos rectas en el espacio. Ángulos entre dos
rectas concurrentes. Distancia de un punto a una recta. Distancia entre rectas paralelas.
Distancia entre rectas alabeadas. Aplicaciones geométricas.
1. Averiguar si los puntos M (5,-5,6) y N (4,-1,12) pertenecen a la recta L de ecuación
2
2
2
1
1
3:
zyxL .
2. Determinar un punto de la recta
21
3
2
:
z
y
x
L que tenga abscisa 4.
3. Hallar los valores de p y q para que el punto qpQ ,,3 pertenezca a la recta
4
3
21
:
z
y
x
r
4. Escribir las ecuaciones simétricas (siempre que sea posible) de las rectas siguientes:
a)
04523
0432
zyx
zyx
b)
05232
05
zyx
zyx
c)
0842
0132
zyx
zyx
5. Escribir las ecuaciones paramétricas de las rectas siguientes:
a)
01253
0432
zyx
zyx
b)
012
062
zyx
zyx
6. Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos dados, en cada
caso:
a) A (3,-1,2) y B (2,1,1) b) C (1,1,-2) y D (3,-1,0) c) E (0,0,1) y F (0,1,-2)
7. Dados los vértices de un triángulo: A (3,6,-7); B (-5,2,3) y C (-5,14,-3); hallar las
ecuaciones paramétricas de la mediana trazada desde el vértice C.
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
8. Sea el triángulo ABC de vértices: A (3,-1,-1), B (1,2,-7) y C (-5,14,-3). Escribir la
ecuación simétrica de la bisectriz del ángulo interno del vértice B.
9. Dados los vértices de un triángulo A (2,-1,-3), B (3,1,-3) y C (5,1,-7). Hallar la ecuación
simétrica de la recta que contiene a la bisectriz del ángulo externo del vértice A.
10. En cada caso y siempre que sea posible, hallar las ecuaciones simétricas de la recta que
pasa por el punto M (2,0,-3) y es paralela:
a) Al vector ⃗⃗⃗
b) A la recta de ecuación: 1
1
2
2
5
1
zyx
c) Al eje OX.
d) Al eje OY.
e) Al eje OZ.
11. Calcular el valor de de tal manera que la recta
4
3
3
:
z
y
x
r
sea paralela a la recta
6;
1
6
5: z
yxs
12. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta L3 que pasa por el punto (3,-3,4) y es
perpendicular a las rectas 5
2
1
3
2
2:1
zyxL
y
3
3
2
72
1
3:2
zyxL
13. La recta
1
3:1
xz
axyL es perpendicular a la recta L2 que pasa por los puntos
aaByaA 2,2,2,0,1 . Calcular los valores de a.
14. Sea el triángulo de vértices A (1,-2,-4), B (3,1,-3) y C (5,1,-7). Escribir las ecuaciones
paramétricas de la altura bajada desde el vértice B al lado opuesto.
15. Calcular las coordenadas de un punto C de la recta
232
32:
zyx
zyxr de tal manera
que forme un triángulo ABC, recto en A con los puntos A (1,5,6) y B (7,6,6).
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
16. Un triángulo tiene vértices en los puntos A (0,0,0) ; B (1,1,1) y el tercer vértice está
situado en la recta
1
2:
z
yxr . Calcular las coordenadas del tercer vértice, sabiendo que
el área del triángulo es2
2.
17. Calcular el ángulo agudo formado por la intersección de las rectas:
2
5
1
32:;
21
2
1
3:
zyxs
zyxr
18. Calcular el coseno del ángulo obtuso formado por la intersección de las rectas:
01922
0266:;
0422
054:
zyx
zyxs
zyx
zyxr
19. Determinar el valor de b, tal que, el ángulo entre la recta
32
5:
xz
bxyL y el eje OY sea
igual a 30°.
20. Estudiar la posición relativa de los siguientes pares de rectas dados, en cada caso y
hallar el punto de intersección, cuando sea posible. (Lo que es equivalente al siguiente
enunciado: Averiguar si los siguientes pares de rectas son paralelas, coincidentes, secantes
o concurrentes o alabeadas).
a)
3
2
2
3
1
2:;
4
1
2
2
3
1:
zyxs
zyxr
b)
2
5
1
4
4
4:;
1
2
2
1
1
1:
zyxs
zyxr
c) 3
11
2:
zy
xr
;
013
012:
zy
yxs
d) 432
1:
zyxr
;
84
63
43
:
z
y
x
s
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
21. Hallar el valor de m para el cual las rectas r y s son concurrentes:
2;
2
3
2
12:;: z
yxsmzyxr
Para dicho valor de m, hallar el punto de intersección de r y s.
22. Sean las rectas
042
0142:;
033
063: 21
zy
aayxL
zax
yxL
a) Hallar el valor de a para el cual las rectas son coplanares. Para dicho valor de a, escribir
la ecuación del plano que contiene a L1 y L2.
b) Determina si es que existen valores de a para los cuales L1 y L2 son paralelas y los
valores que a para los que L1 y L2 son alabeadas.
23. Hallar las ecuaciones simétricas de la recta s que pasa por el punto A (3,-2,-4); es
perpendicular al vector ⃗ ; y corta a la recta 2
1
2
4
3
2:
zyxr
24. Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta L1 que pasa por el punto P1 (2,0,1) y
corta a las rectas
7
315
7
:;
22
5
1
: 32
z
y
x
L
z
y
x
L
25. Calcular el valor de k para el que existe una recta s que pasa por el punto
kkk ,1,1P , corta a la recta
1
2:
z
yxr y es paralela a la recta
0
0:'
y
zxr
26. Hallar los valores de a y b para que las rectas
0
02:
zax
yxr
;
3
3:
zy
byxs
se corten
ortogonalmente.
Para los valores de a y b hallados, calcular las coordenadas del punto de intersección de r y
s.
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
27. Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto medio del
segmento de extremos A (2,4,0); B (0,0,-2) y forma un ángulo de 60° al intersectarse con la
recta que pasa por los puntos Q (3,3,3) y R (-1,3,3).
28. Calcular la distancia del punto P (2,3,-1) a las rectas siguientes:
a) 2
25
4
2
3
5
zyx b)
413
2
1
z
y
x
c)
017223
0322
zyx
zyx
29. En cada uno de los siguientes casos, calcular la distancia entre los pares de rectas:
a) 1
2
2
5
6
21:;
2
3
4
4
3
7: 21
zyxL
zyxL
b)
55
35
45
:;
21
4
24
: 43
z
y
x
L
z
y
x
L
c)
1
3
1
5
3
7:;
022
01022: 65
zyxL
zyx
zyxL
d)
2
2
69
:;2
1
2
5
3
5: 87
z
y
x
Lzyx
L
30. Hallar un punto de la recta
21
3:
z
y
x
r cuya distancia al punto Q (1,0,2) es igual a √
31. Determinar un punto D de la recta 22
:z
yx
L tal que forme con los puntos A (0,0,0);
B (1,0,0) y C (0,1,-1) un tetraedro de volumen 1.
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
32. Un cuadrado tiene uno de sus lados situados en la recta
022
0223:
zyx
zyxr y el otro
lado se encuentra en la recta 2
5
1
1
2
3:
zyxs . Calcular el área del cuadrado.
33. Sean las rectas 14
6
2
8
13:
1
62
21
: 21
zyx
Ly
z
y
x
L
que contienen a las aristas
de un cubo.
a) Estudiar su posición relativa.
b) Calcular el volumen del cubo.
34. Calcular la distancia del punto mmm ,,M a la recta m
mz
m
y
m
mxL
: siendo
35. Sea la recta
073
05:
zyx
yxr . Hallar el punto R de la recta r que equidiste de los
puntos P (1,0,-1) y Q (2,1,1)
Respuestas:
1. El punto M L.
2. (4.1.5)
3. 5;2 qp
4.
a) 47
1
2
2 zyx
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
b) 13
1
12
1
5
zyx
c) 12
2
1
3 zyx
5.
a)
1
1
1
192
7
1
z
y
x
b)
2
2
2
51
32
1
z
y
x
6.
a)
1
21
2
z
y
x
b)
z
y
x
1
3
c)
31
0
z
y
x
7.
2
117
54
z
y
x
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
8. 8
7
3
2
1
1
zyx
9. 7
3
1
1
6
2
zyx
10.
a) 5
3
32
2
zyx
b) 1
3
25
2
zyx
c) Como dos componentes del vector de dirección son nulas, escribimos en la forma
paramétrica:
3
0
2 1
z
y
x
o en la forma reducida:
3
0
z
y
d) Análogamente al punto c), escribimos:
3
2
2
z
y
x
o
3
2
z
x
e) Análogamente al punto c), escribimos:
33
0
2
z
y
x
o
0
2
y
x
11.
2
12.
34
3
83
:3
z
y
x
L
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
13.
2
5;1 aa
14.
193
151
33
z
y
x
15. C (2,-1,1).
16. C (0,0,1) o C (2,1,1)
17. 60°
18. 21
4180cos siendo el ángulo agudo formado por las rectas r y s.
19.
15b
20.
a) r y s son rectas alabeadas.
b) r y s son rectas concurrentes. Se intersectan en el punto (0,3,3).
c) r y s son rectas paralelas.
d) r y s son rectas coincidentes.
21. m = 3; Se intersectan en el punto (1,-1,2).
22.
a) a = 1 . La ecuación del plano que contiene a L1 y L2 es
b) No existe a R tal que las rectas sean paralelas. Las rectas son alabeadas, si a ≠ 1.
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
23. 9
4
6
2
5
3:
zyxs
24.
35
36:1
z
y
x
L
25. 1k
26. 3;7 ba
Las rectas se intersectan en el punto
5
21,
5
6,
5
3.
27.
41
23
171
:;
41
23
171
: 21
z
y
x
L
z
y
x
L
28.
a) 21, rPd
b) 6, sPd
c)
15, tPd
29.
a) 13, 21 LLd
b)
3, 43 LLd
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
c)
15, 65 LLd
d) 7, 87 LLd
30. (1,2,3)
31. D (4,2,4) o D (-4,-2,-4)
32. A cuadrado = 10
33.
a) L1 y L2 son rectas alabeadas.
b) V cubo = 8
34.
2
3M, Ld
35.
1,
2
1,
2
9R
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
Posiciones relativas entre una recta y un plano. Ángulos entre una recta y un plano.
Distancia de una recta a un plano. Aplicaciones geométricas.
1. Demostrar que la recta
45
41
32
:
z
y
x
r es paralela al plano
2. Demostrar que la recta
012
05235:
zyx
zyxs está contenida en el plano:
3. Hallar el punto de intersección de la recta y el plano dados, en cada caso:
a)
0132:;62
11:
zyx
zyxr
b)
0622:;2
3
3
1
2
2:
zyx
zyxs
c)
0932:;3
3232:
zyx
zyxt
4. Hallar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto M (2,-4,-1) y por el
punto medio del segmento de la recta
05233
026543
zyx
zyx contenido entre los planos:
5. Escribir las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto A (2,-3,-5) y es
perpendicular al plano
6. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto B (1,-2,1) y es perpendicular a la recta
02
032
zyx
zyx
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
7. Hallar el valor de c tal que la recta
01434
0323:
zyx
zyxr sea paralela al plano
8. ¿Para qué valores de a y d la recta
3
41
43
:
z
y
x
L
está contenida en el plano
?
9. El plano es perpendicular a la recta
22
35
23
:
z
y
x
r .
Hallar los valores de a y b.
10. Calcular los valores de a y c, de tal manera que la recta 3
5
4
12:
zy
a
xs sea
perpendicular al plano .
11. Hallar la proyección del punto P (2,-1,3) sobre la recta
22
57
3
z
y
x
12. Hallar las coordenadas del punto Q que es simétrico al punto P (2,-5,7) con respecto a la
recta
0322
0124
zyx
zyx
13. Hallar la proyección del punto P (5,2,-1) sobre el plano .
14. Hallar el punto Q que es simétrico al punto P (1,3,-4) con respecto al plano
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
15. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto D (1,2,-3) y es paralelo a las rectas
1
3
2
2
3
5:;
3
7
3
1
2
1: 21
zyxr
zyxr
16. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta
23
32
21
z
y
x
y por el punto
M (2,-2,1).
17. Demostrar que las rectas
21
22
37
:;4
5
3
2
2
1: 21
z
y
x
Lzyx
L se encuentran
en un mismo plano y hallar la ecuación del plano que las contiene.
18. Hallar la ecuación del plano que pasa por las rectas paralelas
2
3
2
2
3
1:;
2
3
2
1
3
2: 21
zyxs
zyxs
19. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta
2
23
31
:1
z
y
x
t
y es paralelo a la recta
0322
0124:2
zyx
zyxt
20. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta 2
2
3
2
2
1
zyx
y es
perpendicular al plano
21. Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta r2 que pasa por el punto R (0,2,-1), es
paralela al plano y se corta con la recta
1;
3
5
4
4:1 y
zxr .
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
22. Hallar la ecuación del plano que pasa:
a) Por el eje OX y por el punto A (4,-1,2).
b) Por los puntos B (3,-2,5) y C (2,3,1) y es paralelo al eje OZ.
23. Hallar los puntos de intersección de la recta
01075
032:
zyx
zyxL con los planos
coordenados.
24. Hallar la ecuación del plano que pasa por recta-intersección de los planos:
y es paralelo:
a) Al eje OX.
b) Al eje OY.
c) Al eje OZ.
25. Calcular, en cada caso, el ángulo que forman la recta y el plano dados:
a) 013:;3
2
7
3:
zyx
zy
xr
b)
0132:;2
5
3
21:
zyx
zyxs
c)
017:;32
1:
zxzy
xt
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
26. Escribir la ecuación de plano que pasa por el punto A (3,1,-2) y forma ángulos agudos
iguales con la recta
2
4
1
:
z
y
x
r
y los ejes coordenados OX y OY.
27. Calcular la distancia de la recta al plano dados, en cada caso:
a)
0343:;
71
3
42
:
yx
z
y
x
r
b)
02:;1
12
2
1:
zyx
zy
xs
c)
012:;4
3:
yx
y
xt
28. Sea la recta r de ecuación zy
x
33
21 y sea el plano de ecuación
. Calcular el área del triángulo ABC, siendo A el punto de intersección de la recta
r y el plano ; B el punto (2,1,2) de la recta r y C la proyección ortogonal del punto B
sobre el plano .
29. Determinar todos los puntos de la recta
0;2
31: x
zys
que equidistan del
plano y del plano .
30. Sea el tetraedro ABCD de vértices A (4,0,0) ; B (0,3,0); C (0,0,2) ; D (3,2,4). Hallar:
a) La longitud de la arista AB.
b) La ecuación general de la cara ABC.
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
c) Las ecuaciones simétricas de la arista AD.
d) El ángulo que forman las aristas AC y AB.
e) La ecuación del plano que pasa por la arista AB y es perpendicular a la cara ABC.
f) Las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el vértice D y es perpendicular a la
cara ABC.
g) La longitud de la altura relativa al vértice D.
h) El ángulo formado por las caras ABC y ACD.
i) El ángulo que forman la arista AD y la cara ABC.
j) El volumen del tetraedro ABCD.
31. Hallar las ecuaciones de los planos perpendiculares a la recta
12250
100
510
:
z
y
x
r que se
encuentan a distancia 2 del punto P (2,-7,1).
32. Determinar todos los puntos de la recta 2
2
3
1
2
1:
zyxr que equidistan de los
planos
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
Respuestas:
3.
a) (2,-3,6)
b) La recta está contenida en el plano. Todo punto de s pertenece a β.
c) (1,2,3)
4. 3
1
5
4
2
2
zyx
5. 5
5
3
3
6
2
zyx
6.
7.
8.
9. 2
9;3 ba
10. 2
3;6 ca
11. (3,-2,4)
12. Q (2,-3,2)
13. (1,4,-7)
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
14. Q (-5,1,0)
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22
2
4
:2
z
y
x
r
22.
a)
b)
23. (2,1,0) ; (0,2,-1) ;
3
1,0,
3
4
24.
a)
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
b)
c)
25.
a)
b)
c)
26. (√ ) ( √ )
27.
a)
b)
3
2, sd
c)
2
5, td
28. A triángulo =9
616
29.
3
5,
3
4,0P;9,4,0P
30.
a) ‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖
b)
c) 42
4
zy
x
Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial
Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería
d)
25
58arccos
e)
f) 6
4
4
2
3
3
zyx
g) 61
29h
h)
6961
2arccos
i)
2161
29arcsen
j) Vtetraedro3
29
31.
32.
10
27,
20
41,
10
3B;
8
5,
16
17,
8
19A
Top Related