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Planaridad
Algoritmos y Estructuras de Datos III
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¿Por que planares?
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¿Por que planares?
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¿Por que planares?
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Grafos planares
Definiciones:Una representacion planar de un grafo G es un conjunto depuntos en el plano que se corresponden con los vertices de G
unidos por curvas que se corresponden con las aristas de G ,sin que estas se crucen entre sı.
Un grafo es planar si admite una representacion planar.
Dada una representacion planar de un grafo G , una region es
el conjunto de todos los puntos alcanzables desde un punto(que no sea un vertice ni parte de una arista) sin atravesarvertices ni aristas.
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Grafos planares
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Grafos planares
Toda representacion planar de un grafo tiene exactamente una
region de area infinita, la region exterior.
La frontera de una region es el circuito que rodea a la region(puede tener vertices y aristas repetidos).
El grado o tamano de la region es el numero de aristas quetiene su frontera.
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Grafos planares
Propiedad: K 5 y K 33 son grafos no planares. K 5 es el grafo no
planar con el menor numero de vertices y K 33 es el que tiene elmenor numero de aristas.
K 5
u 1
u 2
u 3
u 4u 5
K 33
u 1
u 2
u 3
u 4
u 4
u 4
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Grafos planares
Propiedad: K 5 y K 33 son grafos no planares. K 5 es el grafo no
planar con el menor numero de vertices y K 33 es el que tiene elmenor numero de aristas.
K 5
u 1
u 2
u 3
u 4u 5
K 33
u 1
u 2
u 3
u 4
u 4
u 4
Propiedad: Si un grafo contiene un subgrafo no-planar esno-planar.
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Grafos planares - Subdivision y homeomorfismo
Definiciones:
Subdividir una arista e = (v , w ) de un grafo G , consiste enagregar u /∈ V un vertice a G y reemplazar la arista e por dos
aristas e
= (v , u ) y e
= (u , w ).
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Grafos planares - Subdivision y homeomorfismo
Definiciones:
Subdividir una arista e = (v , w ) de un grafo G , consiste enagregar u /∈ V un vertice a G y reemplazar la arista e por dos
aristas e
= (v , u ) y e
= (u , w ).
Un grafo G es una subdivision de otro grafo G si G se puedeobtener de G por sucesivas operaciones de subdivision.
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Grafos planares - Subdivision y homeomorfismo
Definiciones:
Subdividir una arista e = (v , w ) de un grafo G , consiste enagregar u /∈ V un vertice a G y reemplazar la arista e por dos
aristas e
= (v , u ) y e
= (u , w ).
Un grafo G es una subdivision de otro grafo G si G se puedeobtener de G por sucesivas operaciones de subdivision.
Dos grafos G y G se dicen homeomorfos si hay unisomorfismo entre una subdivision de G y una de G .
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Grafos planares - Subdivision
u 1 u 2
u 3u 4
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Grafos planares - Subdivision
u 1 u 2
u 3u 4
u 1 u 2
u 3u 4
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Grafos planares - Subdivision
u 1 u 2
u 3u 4
u 1 u 2
u 3u 4
u
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Grafos planares - Subdivision
u 1 u 2
u 3u 4
u 1 u 2
u 3u 4
u
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Grafos planares - Homeomorfismo
G u 1
u 2
u 3
u 4 u 5
G
v 1
v 2
v 3 v 4 v 5
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Grafos planares - Homeomorfismo
G u 1
u 2
u 3
u 4 u 5
G
v 1
v 2
v 3 v 4 v 5
u 1
u 2
u 3
u 4 u 5u
v 1
v
v 2
v 3 v 4 v 5
G f l T d K ki
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Grafos planares - Teorema de Kuratowski
Propiedad: Si G es una subdivision G , entonces G es planar si ysolo si G es planar.
G f l T d K ki
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Grafos planares - Teorema de Kuratowski
Propiedad: Si G es una subdivision G , entonces G es planar si ysolo si G es planar.
Propiedad: La planaridad es invariante bajo homeomorfismo.
G f l T d K t ki
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Grafos planares - Teorema de Kuratowski
Propiedad: Si G es una subdivision G , entonces G es planar si ysolo si G es planar.
Propiedad: La planaridad es invariante bajo homeomorfismo.
Corolario: Si un grafo G tiene un subgrafo que es homeomorfo aun grafo no planar entonces G es no-planar.
G f l T d K t ki
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Grafos planares - Teorema de Kuratowski
Propiedad: Si G es una subdivision G , entonces G es planar si ysolo si G es planar.
Propiedad: La planaridad es invariante bajo homeomorfismo.
Corolario: Si un grafo G tiene un subgrafo que es homeomorfo aun grafo no planar entonces G es no-planar.
Teorema (Kuratowski, 1930): Un grafo es planar si y solo si no
contiene ningun subgrafo homeomorfo a K 33 o K 5.
G f s l s T d Whit
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Grafos planares - Teorema de Whitney
Definiciones:
La operacion de contraccion de una arista e = (v , w ) consisteen eliminar la arista del grafo y considerar sus extremos comoun solo vertice u /∈ V , quedando como aristas incidentes a u
todos las aristas que eran incidentes a v o a w .
Un grafo G es una contraccion de otro grafo G si se puedeobtener a partir de G por sucesivas operaciones decontraccion. En este caso se dice que G es contraible a G .
Grafos planares Teorema de Whitney
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Grafos planares - Teorema de Whitney
Definiciones:
La operacion de contraccion de una arista e = (v , w ) consisteen eliminar la arista del grafo y considerar sus extremos comoun solo vertice u /∈ V , quedando como aristas incidentes a u
todos las aristas que eran incidentes a v o a w .
Un grafo G es una contraccion de otro grafo G si se puedeobtener a partir de G por sucesivas operaciones decontraccion. En este caso se dice que G es contraible a G .
Teorema (Whitney): G es planar si y solo si no contiene ningunsubgrafo contraıble a K 33 o K 5.
Grafos planares Teorema de Whitney
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Grafos planares - Teorema de Whitney
Definiciones:
La operacion de contraccion de una arista e = (v , w ) consisteen eliminar la arista del grafo y considerar sus extremos comoun solo vertice u /∈ V , quedando como aristas incidentes a u
todos las aristas que eran incidentes a v o a w .
Un grafo G es una contraccion de otro grafo G si se puedeobtener a partir de G por sucesivas operaciones decontraccion. En este caso se dice que G es contraible a G .
Teorema (Whitney): G es planar si y solo si no contiene ningunsubgrafo contraıble a K 33 o K 5.
¿Se podrıan usar estos dos teoremas en la practica para decidir siun grafo es planar?
Grafos planares Teorema de Euler
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Grafos planares - Teorema de Euler
Teorema (Euler, 1752): Si G es un grafo conexo planar entoncescualquier representacion planar de G determina r = m − n + 2regiones en el plano (ecuacion poliedral de Euler).
Grafos planares Teorema de Euler
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Grafos planares - Teorema de Euler
Teorema (Euler, 1752): Si G es un grafo conexo planar entoncescualquier representacion planar de G determina r = m − n + 2regiones en el plano (ecuacion poliedral de Euler).
Corolario: Si G es simple, sin loops, conexo y planar con n ≥ 3,
entonces m ≤ 3n − 6.
Grafos planares - Teorema de Euler
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Grafos planares - Teorema de Euler
Teorema (Euler, 1752): Si G es un grafo conexo planar entoncescualquier representacion planar de G determina r = m − n + 2regiones en el plano (ecuacion poliedral de Euler).
Corolario: Si G es simple, sin loops, conexo y planar con n ≥ 3,
entonces m ≤ 3n − 6.
Corolario: K 5 es no planar.
Grafos planares - Teorema de Euler
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Grafos planares Teorema de Euler
Teorema (Euler, 1752): SiG
es un grafo conexo planar entoncescualquier representacion planar de G determina r = m − n + 2regiones en el plano (ecuacion poliedral de Euler).
Corolario: Si G es simple, sin loops, conexo y planar con n ≥ 3,
entonces m ≤ 3n − 6.
Corolario: K 5 es no planar.
Corolario: Si G es simple, conexo, bipartito y planar con n ≥ 3,
entonces m ≤ 2n − 4.
Grafos planares - Teorema de Euler
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Grafos planares Teorema de Euler
Teorema (Euler, 1752): SiG
es un grafo conexo planar entoncescualquier representacion planar de G determina r = m − n + 2regiones en el plano (ecuacion poliedral de Euler).
Corolario: Si G es simple, sin loops, conexo y planar con n ≥ 3,
entonces m ≤ 3n − 6.
Corolario: K 5 es no planar.
Corolario: Si G es simple, conexo, bipartito y planar con n ≥ 3,
entonces m ≤ 2n − 4.
Corolario: K 33 es no planar.
Grafos planares - Grafo dual
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Grafos planares Grafo dual
El grafo dual G ∗ de un grafo planar G tiene un vertice por cada
region de G y una arista uniendo dos vertices correspondientes ados regiones r 1 y r 2 de G por cada arista en la frontera entre r 1 yr 2 en G .
Grafos planares - Grafo dual
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Grafos planares Grafo dual
Notar que el grafo dual de un grafo simple podrıa tener aristas
multiples y loops.
Distintos dibujos de un mismo grafo planar podrıan llevar a dualesdistintos. Eso no pasa para grafos 3-conexos (tienen esencialmenteuna unica representacion planar).
Testeo de planaridad
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p
Algoritmo de Demoucron , Malgrange y Pertuiset
Esquema:
Comienza con una representacion planar R de un subgrafo S
de G y la expande iterativamente hasta obtener unarepresentacion planar de todo el grafo G o concluir que no esposible representarlo en forma planar.
Si el grafo es planar, cada componente c (componenteconexa) de G \ R tiene que estar completamente contenidadentro de una region de R .
Si el grafo es planar, las aristas que conectan a c con elconjunto W de vertices de R no pueden cruzarse con otras,entonces todos los vertices de W deben estar en la frontera deuna misma region de R (pueden estar en la frontera de masde una region).
Testeo de planaridad
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p
Algoritmo de Demoucron, Malgrange y Pertuiset
Notacion y definiciones:
Llamamos parte p de G relativa a R a:1. Una componente conexa de G \ R junto con las aristas que la
conectan a vertices de R (aristas colgantes ).2. Una arista e = (u , v ) de G \ R con u , v ∈ R .
Dada una parte p de G relativa a R , un vertice de contactoes un vertice de R incidente a una arista colgante de p .
R es extensible a una representacion planar de G si se puedeobtener una representacion planar de G a partir de R .
Una parte p es dibujable en una region f de R si existe una
extension planar de R en la que p queda en f .
Una parte p es potencialmente dibujable en f si todovertice de contacto de p pertenece a la frontera de f .
Llamamos F (p ) al conjunto de regiones de R donde p es
potencialmente dibujable.
Testeo de planaridad
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p
Algoritmo de Demoucron , Malgrange y Pertuiset
R := una representacion planar de cualquier ciclo de G
mientras R no sea una representacion planar de G hacerpara cada parte p de G relativa a R calcular F (p )
si para algun p , F (p ) es vacıo entonces
retornar FALSO
si para algun p , F (p ) = {f } entonceselegir p y f
sino
elegir cualquier p y f ∈ F (p )
buscar camino/circuito q en p que empieza y termina en
dos aristas colgantes diferentes si es posible; caso
contrario, q es el camino formado por la unica arista
colgante
R := R ∪ q
retornar VERDADERO y R representacion planar de G
Testeo de planaridad
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p
Algoritmo de Demoucron , Malgrange y Pertuiset
Teorema: El algoritmo de Demoucron es correcto, es decirencuentra una representacion planar de G si existe, o si G es noplanar lo reconoce correctamente.
Complejidad: La complejidad de este algoritmo es O (n2)
Existen algoritmos para detectar planaridad de complejidad menor.Hopcroft y Tarjan propusieron un algoritmo de complejidad O (n),
mas complicado de describir que este.