Análisis de Redes Eléctricas Análisis de Redes Eléctricas II
2do Parcial2do Parcial
CORRIENTECORRIENTE ALTERNAALTERNA
Generalidades
Real
Imaginaria
Capacitiva
Inductiva
Z
Impedancia
FUENTES INDEPENDIENTES EN FUENTES INDEPENDIENTES EN CORRIENTE ALTERNACORRIENTE ALTERNA
En estado estable el Capacitor se comporta como un circuito es abierto
Fuente de Voltaje AC
Vac
Fuente de Corriente AC
Iac
Real
Imag.
JXL
JXC
z
z
θ
θ
Inductiva
“Henrios”
Capacitiva
“Faradios”
+=⇒ θ
IMPEDANCIAIMPEDANCIA
CapacitorCapacitor
Es un elemento de un circuito que consiste en dos superficies conductoras separadas por un material no conductor o dieléctrico
V(t)C
∫
∫∫
∫
∫ ∫
+=
+=
=
=
=
=
=
∞−
∞−
t
to
oCap
t
to
to
Cap
t
Cap
dttic
tVV
dttic
dttic
V
dttic
V
dttic
dV
dt
dVcti
cVdt
d
dt
dq
cVq
)(1
)(
)(1
)(1
)(1
)(1
)(
)(
dt
dVctVtP
titVtP
)()(
)()()(
=
=
c
qWc
cVtWC
2
2
2
1
2
1)(
=
=
InductorInductor
Es una bobina que consiste en un alambre conductor de forma de rollo o carrete.Aquí nos interesa la corriente que pasa por el inductor.
∫
∫∫
∫
∫ ∫
+=
+=
=
=
=
∞−
∞−
t
to
t
to
to
t
dttVL
toiti
dttVL
dttoVL
ti
dttVL
ti
VdtL
di
dt
diLV
)(1
)()(
)(1
)(1
)(
)(1
)(
1
)()(
)()()(
tidt
diLtP
titVtP
=
=
2
2
1LiW =
)(ti
)(tV L
Relación dual para:Relación dual para:
Capacitor Inductor
dt
dVcti =)(
dt
diLtV =)(
∫+=t
to
dttic
toVtV )(1
)()( ∫+=t
to
dttVL
toiti )(1
)()(
dt
dVtcVtP )()( =
dt
ditLitP )()( =
2
2
1cVW = 2
2
1LiW =
Combinación entre capacitoresCombinación entre capacitores
SerieC1
C2V(t)21
21
CC
CCCeq +
= 21)( CC VVtV +=
21)( iiti ==
Paralelo
V(t) C2
i(t)
21 CCCeq += 21)( VVtV ==
21)( iiti +=C1
Vc2
Vc1
Combinación entre bobinasCombinación entre bobinas
Serie
Paralelo
21 LLLeq += 21)( iiti ==
21)( LL VVtV +=
21
21
LL
LLLeq +
= 21)( VVtV ==
21)( LL iiti +=
V(t)
V(t)
1L
2L1L
2L
Análisis de Corriente Alterna en Análisis de Corriente Alterna en Estado EstableEstado Estable
SenoidalesXM
-XM
2
π π2
3π π2
T
XM1
-XM1
XM2
-XM2
t
X(t)
t
frecuenciadondeff
segPeríodoT === 1)(
[ ]segradfAngularVelocidadW /2_ π==ntodesfasamieángulo
tsenXtX
tsenXtX
M
M
−→+=
=
φφω
ω)()(
)(
22
11
Condiciones para que dos Condiciones para que dos señales estén en faseseñales estén en fase
Existen 3 condiciones para que dos señales estén en fase:
Las dos ondas alternen la misma frecuencia.Que las dos ondas sean bien senos o bien cosenos.Que las dos ondas estén determinadas como positivas.
)º90377cos(60)(
)º40377cos(100)(
2
1
−=−=
ttV
ttV
Si la alimentación no tiene la misma frecuencia, para resolver el problema se debería utilizar el método de superposición
º50)90(4021 =−−−=−= φφφ
V1(t) se adelantará 50º a V2(t)
V2(t) se atrasa 50º a V1(t)
)301000cos(6)(
)601000(12)(
2
1
+−=+=ttI
tsentI
Primero vamos hacer I2 positiva
)º2101000cos(6)(
)180301000cos(6)(
2
2
+=++−=
ttI
ttI
Ejemplo 1Ejemplo 1
Ejm. 2
Ahora lo llevamos a senos.
[ ]AtsentI
tsentI
)º3001000(6)(
)º902101000(6)(
2
2
+=++=
º2403006021 −=−=−= φφφ
Ahora es mejor tener el ángulo positivo
º120º240º36021 =−=−= φφφ
I1(t) se adelantará 120º a I2(t)
I2(t) se atrasa 120º a I1(t)
Funciones forzantes senoidalesFunciones forzantes senoidales
Si aplicamos una función forzante senoidal a una red lineal los voltajes y corrientes de estado estable en la red también serán senoidales, es decir, si un voltaje de rama es una senoide de alguna frecuencia los otros voltajes de rama deben ser también senoides de la misma frecuencia.
V(t) i(t)[ ]
[ ]Atsenti
VtAsentV
)()(
)()(
φωβθω
+=+=
No conocemos
Ejm.
Encontrar una expresión para i(t)
V(t)
R
L
+VR-
[ ]AR
Ltgt
LR
Vti
dt
diLIRtV
dt
diLV
IRV
VVtV
LVK
tVtV
m
m
L
R
LR
m
−
+=
+=
=
=+=
=
− ωωω
ω
ω
1
222cos)(
cos
)(
:
cos)(+
VL
-
Ecuación de EulerEcuación de Euler
)()(cos)(
)(
cos
cos)(
)(
cos
)(
φωφ
φφ
ωω
ωω
φωφ
ωω
+++==
+=
+==
+=
+tsenJIwtIti
eIti
Jsene
tsenJVtVtV
eVtV
tJsente
MM
tJM
J
mm
tJm
tJ
Parte real Parte imaginaria
Parte real Parte imaginaria
Números ComplejosNúmeros ComplejosImg.
Realx
y
•Rectangular: x+Jy
•PolarMagnitud
Ángulo
22 yxz +=
x
ytg 1−=θ
θ∠=zz
z
Para convertir de polar a rectangular
yzsen
xz
==
θθcos (Real)
(Imaginarios)•Para sumar o restar deben estar en rectangulares.
•Para multiplicar o dividir deben estar en polares
)()(
)(
)())((
212
1
22
11
21212211
θθθθ
θθθθ
−∠=∠∠
+∠=∠∠
z
z
z
z
zzzz
Dominio del tiempo Dominio de la Frecuencia
)cos( θω ±tA
)( θω ±tAsen
θ±∠A
2
πθ −±∠A
Convertir a fasores
[ ][ ]Atsenti
Vttv
)120377(12)(
)º45377cos(24)(
+=−=
º90º12012
º4524
−∠=
−∠=
I
V
Convertir los fasores:
Ejemplo Ejemplo
º7510
º2016
−∠=
∠=
I
V
del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo si la frecuencia es de 1k Hz.
)º752000cos(10)(
)º202000cos(16)(
−=+=
tti
ttv
ππ
πωπω
2000
)2(1
== kHz
Relaciones fasoriales para Relaciones fasoriales para elementos del circuito.elementos del circuito.
•Circuito Resistivo Puro
V(t) R )(
)(
)cos()(
)cos()(αω
φω
αωφω
+
+
=+=
=+=tJ
mm
tJmm
eItIti
eVtVtVi(t)
αφ
αφ
αωφω
∠=∠=
=
=++
mm
Jm
Jm
tJm
tJm
RIV
eRIeV
eRIeV
tRitV)()(
)()(
Fasor Voltaje
Fasor Corriente
RI
Vz
IRV
==
=
Pero en corriente alterna la impedancia:
º0
0
ImRe
∠=
+=
+=
Rz
JRz
agalz
0
αφαφθ
=∠∠⇒∠
=
I
Vz
I
Vz
Voltaje y la corriente están en fase
⇒
Circuito Inductivo PuroCircuito Inductivo Puro
V(t) i(t)L
αωφ
ω
ω
αφ
αωφω
αωφω
∠=∠
=
=
=
=
++
++
mm
JmJm
tJmtJm
tJmtJm
L
LIJV
eILJeV
eJLIeV
edt
dLIeV
dt
diLV
)()(
)()(
LXLJI
Vz L ωω =∴==
0 XL(Reactancia inductiva)
[ ]Ω∠=
+=
+=
º90
0
ImRe
L
L
Xz
JXz
agalz
Circuito Capacitivo Puro Circuito Capacitivo Puro
[ ][ ]
φωαω
ωφα
φωαω
φωαω
∠=∠=
=
=
=
++
++
mm
Jm
Jm
tJm
tJm
tJm
tJm
cVJI
ecVJeI
eVJceI
eVdt
dceI
dt
dVcti
)()(
)()(
)(
V(t)
i(t)
c
c
JX
cJI
Vz
VcJI
C ωω
ω
−=∴==
=
1
[ ]Ω−∠=
−=
+=
º90
0
ImRe
CXz
C
Jz
agalz
ω
XC(Reactancia capativa)
Ω=∗ 3R
mHL 5
1000
==∗ω
Fc µω125
1000
==∗
°∠=°∠=03
0
R
R
z
Rz
º905
º90
5
)5)(1000(
∠=∠=
===
L
LL
L
L
L
z
Xz
Jz
mHJz
LJz ω
º908
º90
8
)125)(1000(
−∠=−∠=
−=
−=
−=
C
CC
C
C
C
z
Xz
Jz
F
Jz
c
Jz
µ
ω
Ejemplo Ejemplo
Circuito R-L Circuito R-L
V(t)
R
L
L
LR
JXRz
zzz
+=
+=
22LXRz +=
IV ∠−∠=∠−∠=
θαφθ
= −
R
Xtg L1θ
Img.
Real
zXL º90º0 ∠∠θ
θ
º4510∠=∗ z
º4510
º45cos10
seny
x
==
Ejm.
V(t)
Ω6
mH8 ?)(
)º301000cos(200)(
=+=
ti
ttV
8
)1000)(8(
JX
mHJX
LJX
L
L
L
=== ω
º30200
º13.5310
86
ImRe
∠=
∠=
+=+=
V
z
Jz
agalz
[ ]AI
I
z
VI
º13.2320
º5310
º30200
−∠=∠∠=
=
[ ]Atti )º13.231000cos(20)( −=
Ejemplo Ejemplo
R
V(t) cc
XJXRz
JXRz
CC ω1=∴−=
+=
22CXRz +=
−= −
R
Xtg C1θ
θ−∠= zz
Img.
Real
XCz
θº0º90 ∠∠− θ
Circuito R-C Circuito R-C
V(t)
Ω3
Fµ500
[ ]?)(
)º30500cos(160)(
=+=
ti
VttV
43 Jzc
JRz
JXRz
−=
−=
+=
ω4
)10*500)(500(
1
1
6
=
=
=
−C
C
C
X
X
cX
ω 5
169
=
+=
z
z
º13.53
3
41
−=
−= −
θ
θ tg
º30160
º13.535
∠=
−∠=
V
z
º13.8332
º13.535
º30160
∠=−∠
∠=
=
I
I
z
VI
[ ]Atti )º13.83500cos(32)( +=
Ejemplo Ejemplo
Circuito R-L-C Circuito R-L-C
R
c
L
JXRz
zzzz
T
CLRT
+=++=
XL-XC
1.-XL> XC; predominantemente inductivo
º90º0 ∠∠θ
2.-XL< XC; predominantemente capacitivo.
La corriente atrasa al voltaje
º0º90 ∠∠− θLa corriente adelanta al voltaje
3.-XL= XC; el circuito entra a resonancia
º0=θLa corriente y el voltaje están en fase
θ
θ
V(t)
Fc
mHL
R
Con
µ250
10
8
:
==
Ω=
?)(
1000cos120)(
==
ti
ttV
4)10*250)(10(
10)10*10)(10(
63
33
JJ
X
JJX
C
L
−=−=
==
−
−
68
)410(8
Jz
Jz
JXRz
+=−+=
+=
º0120
º87.3610
∠=
∠=
V
z
87.3612
º0120
º87.36101
−∠=
∠∠=
=
−
I
I
z
VI
[ ]Atti )87.361000cos(12)( −=
Ejemplo Ejemplo
Circuitos de una sola malla Circuitos de una sola malla
V(t)
i(t)
+ V1 -
+
V2
-
21
21
11
21
2
2
21
zzz
zz
zVV
zz
zVV
voltajedeDivisor
VVV
eq +=
+=
+=
−−+= Suma fasorial
•Circuitos de un solo par de nodos
i(t)21
21
zz
zzzeq +
=
21
21
VVV
III
==
+=21
12
21
21
zz
zII
zz
zII
CorrientedeDivisor
+=
+=
−−
1I 2I+
-
+
-
1z 2z
1z
2z
Transformación de FuentesTransformación de Fuentes
Además se asume que varias fuentes de corriente conectadas en paralelo se suman fasorialmente (deben alternar la misma frecuencia); también se cumple que varias fuentes de voltaje conectadas en serie se suman fasorialmente.
z
V
zIV .=
≡z
I
z
VI =
Diagramas FasorialesDiagramas Fasoriales
Se conoce con este nombre a los diagramas donde se muestran los diversos fasores de la red. El fasor es un vector en movimiento por lo tanto no mantiene una magnitud rígida.
v(t)[ ]
[ ]AI
Vttv
87.3612
1000cos120)(
−∠=
=I
[ ][ ]
[ ]VZIV
VZIV
VZIV
CC
LL
RR
º87.12648)º904(87.3612*.
º13.53120)º9010(87.3612*.
º87.3696)º08(87.3612*.
−∠=−∠−∠==
∠=∠−∠==
−∠=∠−∠==
LV
RVCV
Ω8
Ω∠ º9010
Ω−∠ º904
Pasar de una red del dominio del Pasar de una red del dominio del tiempo al dominio de la frecuenciatiempo al dominio de la frecuencia
1.- En lo que respecta a las fuentes independientes ya sean éstas de voltaje o de corriente deben expresarse por medio de sus expresiones fasoriales. A partir de este momento, el fasor o la magnitud del fasor debe estar en RMS(valores eficaces) es decir:
2MÁX
RMS
VV =
Ejm:
[ ]
[ ]RMSVV
VttV
º30120
)º301000cos(2120)(
∠=
+=
VMÁX
2.- Los elementos pasivos de la red tales como: resistencia, inductancia y capacitancia son representados por sus valores de impedancia o admitancia, según se aplique el método de las mallas o el método de los nodos respectivamente.
V = I . ZFuentes indep. de voltaje
Variables del método
Matriz impedancia
I = V . YFuentes indep. de corriente
Variables del método
Matriz admitancia
3.- Las variables de control de las fuentes dependientes se las representa también por medio de sus fasores de voltaje o corriente según sea el caso de la variable de control.
⇒ XV2−
+Vx
−
+
XVXV2 ⇒
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