!?S52SSHH5I
ANALISIS MATEMATICO ISOLUCIONARIO DEMIDOVICH
TOMO I
I "
o o
1
n X
n = 1
y \
♦ INTRODUCCION AL ANALISIS
♦ DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES
♦ APLICACIÓN DE LA DERIVADA
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
IMPRESO EN EL PERÚ 1 5 - 0 2 - 2 0 0 4
4ta EDICIÓN
DERECHOS RESERVADOS
Este libro no puede reproducirse to ta l ó parc ia lmente por ningún m étodo gráfico, e lectrón ico o mecánico, incluyendo los sistemas de fo tocop ia , registros magnéticos o de a limentación de datos, sin expreso consentim iento del autor y Editor.
RUCLey de Derechos del Autor Registro comercial Escritura Publica
N °10070440607 N °13714 N °10716 N°4484
PROLOGO
Se sabe que la humanidad ha avanzado lentamente hacia la conquista de los
conocimientos y la mayor de estas es la escritura, con ella la humanidad alcanzó el más
alto sitial en la creación; pero tan antiguo como ella, es el concepto de cantidad. Esto
nace aún antes de la escritura por eso la ciencia de los números están importante como
la vida misma.
El avance tecnológico funda sus bases en los conceptos primarios, lo que
estudiados, desarrollados y perfeccionados han llevado al hombre hacia grandes
conquistas.
La aventura del pensamiento nos ha llevado de la mano con la tecnología a
descubrir grandes realidades. Por ello mi deseo es plasmar en las paginas de este primer
tomo, en su cuarta edición del solucionarlo del libro problemas y ejercicios de análisis
matemático por B. Demidovich, el planteo fácil a los diversos ejercicios que se
presentan, además se incluye una colección de gráficos los que ayudarán eficazmente a
la captación de los diferentes problemas.
Mi agradecimiento al lector por la preferencia que brindan a cada una de mis
publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellos una ayuda para su
avance y desarrollo intelectual.
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
' •
INDICE
CAPITULO I
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS
1.1. Concepto de Función 1
1.2. Representación Gráfica de las Funciones Elementales 31
1.3. Limites 88
1.4. Infinitésimos e Infinitos 143
1.5. Continuidad de las Funciones 155
CAPITULO II
DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES
2.1. Cálculo Directo de Derivadas 173
2.2. Derivación por Medio de Tablas 187
2.3. Derivadas de Funciones que no están dadas explícitamente 259
2.4. Aplicaciones Geométricas Mecánicas de la Derivada 276
2.5. Derivadas de Orden Superior 306
2.6. Diferenciales de Primer Orden y de Orden Superior 333
2.7. Teorema del Valor Medio 349
2.8. Fórmula de Taylor 354
2.9. Regla de L’Hospital - Benoulli para el Cálculo de Limites
indeterminados 361
CAPITULO III
EXTREMOS DE LAS FUNCIONES Y APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LAS DERIVADAS
374
423
435
445
3.1. Extremos de las Funciones de un Argumento
3.2. Dirección de la Concavidad - Puntos de Inflexión
3.3. Asíntotas
3.4. Construcción de las Gráficas de las Funciones por sus puntos
Característicos
Introducción al Análisis I
CAPITULO I
INTRODUCCION AL ANALISIS
1.1. CONCEPTO DE FUNCIÓN.-
Demostrar que si a y b son numero reales.
| ¡ a | - | b | | < | a - b | < | a | + | b |Desarrollo
Escribiremos: a = (a - b) + b, tomando valor absoluto
| a | = | ( a - b ) + b | < | a - b | + | b | , por la desigualdad triangular:
Luego: ¡ a | < | a - b | + | b | => | a | - | b | < | a - b | ... (1)
Además: | a - b | = | b - a | > | b | - | a | , es decir: | a - b | > | b | - 1 a | ... (2)
Por tanto de (1) y (2) se tiene: 11 a | - 1 b 11 < | a - b | ...(3)
por otro lado: | a - b | = | a + (-b) | < | a | + | - b | = | a | + | b |
de donde: | a - b | < | a | + | b | ... (4)
Luego de (3) y (4) se tiene: | | a | - | b | | á | a - b | < | a | + | b |
Demostrar las siguientes igualdades:
a) | a .b | = | a 11b | b) \a \2= a 2
c) I7 N 7 7 I . b ; t 0 d > -Ja1 A a |b \b\
2 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
a) 1er Caso: Sí a y b > 0 => | a | = a,| b | = b por definición del valor absoluto
de donde | a 11 b | = ab
Como a >0, b > 0 => a.b > 0 => | ab | = a.b
Por definición del valor absoluto
Luego | a 11 b | = ab = | ab | => | a 11 b | = ¡ ab |
2do. Caso: Sí a > 0 a b < 0
Como: b < 0 => -b > 0 => | ab | = | -(ab) | = | a(-b) |
Como: - b > 0 => por la parte Ira se tiene:
| ab | = | a(-b) | = | a 11 -b | = | a 11 b | => | ab ¡ = | a 11 b |
3er. Caso: Si a < 0 a b > 0 es en forma análoga al 2do caso y se tiene
I ab | = | a 11 b |
4to. Caso: Sí a < 0 a b < 0 => -a > 0 a -b > 0
entonces (-a)(-b) = ab aplicando el 1ro y el 2do caso se tiene:
| ab | = | (-a)(-b) | = | -a 11 -b | = | a 11 b | por lo tanto | ab | = | a 11 b |
b) | a\2= a 2
S í a > 0 => | a | = a => \a\2=a2
S í a < 0 =* | a | = -a => | a |2= ( -a)2 = a2
Por tanto | a |2= a :
Introducción al Análisis 3
*» 'í '- jí l7 1 = 1 «-(7 ) 1=1 «II7 1 por la parte (a) b b b
además | —1=| ¿7 p 1 por la parte (b) b
L»ego: = ¿ - \ { \ - ±
Como | —1=| a || —1=| a | - i - = j^-{, por lo tanto | b b \b | |¿>| ^d) yfa2 = | a |
Sí a > 0 => -Ja2 = a
Sí a < 0 => - a > 0 => -J(—a )2 = —a => a 2 =
Luego por lo tanto -Ja2 = \ a |
Resolver las inecuaciones.
a) | x - 1 | < 3 b)
c) | 2x + 1 | < 1 d)
Desarrollo
a) Sí | x - 1 | < 3 => -3 < x - 1 < 3
de donde - 2 < x < 4 => x e <-2,4>
b \ b \
| x + 1 | > 2
I X - 1 | < | x + 1 I
Eduardo Espinoza Ramos
b) | x + 1 | > 2 => x + l > 2 v x + l < - 2
=> x > l ó x < - 3
-3 -1
La solución es x e <-<=o,-3> U <l,+°°>
c) | 2x + 1 | < 1 <=> -1 < 2x + 1 < 1
<=> -2 < 2x < 0
<=> -1 < x < 0
La solución es x e <-l,0>
d) | x — 1 | < | x + 1 1 => | jc — 11“< | jc + 112
=> x 2 - 2x +1 < x 2 + 2x +1
=> 4 x > 0 = > x > 0
Luego la solución es x e <0,+°°>
Hallar f(-l), f(0), f(l), f(2), f(3) y f(4) sí: f ( x ) = x 3 - 6 x 2 + [ \ x - 6
Desarrollo
Como / ( x) = x 3 - 6x2 +11 x - 6
/ ( - 1 ) = (-1 )3 - 6 ( - l)2 + 11(-1) - 6 = -24
/(0 ) = (O)3 - 6(0)2 +11(0) - 6 = -6
/(1 ) - (l)3 ~ 6(1)2 +11(1) - 6 = 0
Introducción al Análisis 5
/ (2 ) = (2)3 -6 (2 )2 +11(2) - 6 = 0
/(3) = (3)3 -6 (3 )2 + 11(3)-6 = 0
/(4) = (4)3 -6 (4 )2 + 11(4)-6 = 6
5 Hallar f(0), / ( - | ) , f ( - x ) , / ( - ) , - J - Sí f ( x ) = V Í7 I24 * / ( * )
Desarrollo
Como /(jc) = yjl + x 2 entonces /(O) = V l+ 02 = 1
4 V 4 V 16 V 16 4
/( - jc ) = y¡l + ( - x )2 = sll + x2
f i k - J l+ Á 2 = 4 ?X \ X | JC |
1 ___1 _
/(■*) yjl + x 2
6 Sea f(x) = arc.cos(log x). Hallar / ( “ )• f(l) y f(10)
Desarrollo
Como f(x) = arc.cos (log x) entonces
/ (— ) = arccos(log — ) = arccos(-loglO) = arccos(-l) = n
6 Eduardo Espinoza Ramos
K/(1) = arccos(log 1) = arccos(O) = —
f(10) = arccos (log 10) = arccos (1) = 0
7 La función f(x) es lineal. Hallar dicha función sí: f(-l) = 2 y f(2) = -3.
Desarrollo
Como f(x) es lineal => f(x) = ax + b, donde a, b e R
[ / ( —1) = 2 \2 = - a + bLuego < => <
1/(2) = -3 [-3 = 2 a+b
Resolviendo el sistema se tiene los valores de: a = , b = —3 3
Hallar la función entero y racional de segundo grado f(x) sí f(0) = 1 , f(l) = 0 y f(3) = 5.
Desarrollo
Si f(x) es función entero y racional de segundo grado entonces f ( x ) = ax2 + bx + c , donde a, b y c son constantes por determinarse.
Como
/ ( 0) = 1
/(1 ) = 0
/(3 ) = 5
1 = c
0 = a+b + c
5 = 9a+3b + c
ía + b = -1
) 9a + 3b = 4
7 13Resolviendo el sistema se tiene a = —, b = -----
6 6
Luego como f ( x ) = ax2 + bx + c , se tiene
Introducción al Análisis 7
Se sabe que: f(4) = -2 y f(5) = 6. Hallar el valor aproximado de f(4.3), considerando la función f(x), en el segmento 4 < x < 5, es lineal, (interpolación lineal de funciones).
Desarrollo
f(x) es lineal => f(x) = ax + b
[ /(4 ) = -2 Í4a + b = -2 Como ■! => \ resolviendo el sistema se tiene a = 8, b=-34
[/(5 ) = 6 [5a+b = b
Como f(x) = ax + b => f(x) = 8x - 34
Luego f(4.3) = 8(4.3) - 34 = 0.4
Í0 si x < 010 Escribir una sola fórmula que exprese la función: / (* ) = •
empleando del signo del valor absoluto.x si x > 0
Desarrollo
Í0 si jc<0 Como f ( x ) = j
[x si x > 0
x+ \x \Si x < 0 => para f(x) = 0 se tiene
Si x > 0 => para f(x) = x se tiene
2x+\x\
Luego:
11 Determinar el campo de existencia de las siguientes funciones:
a) y = \ x +1
8 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
El campo de existencia de una función también se conoce con el nombre
de dominio de la función.
Luego como y = \[x+1 para que esté bien determinado debe cumplirse
que x + 1 > 0 de donde x > -1 => x e [-1 ,+°°>
El campo de existencia de la función es -1 < x <
b) y = yjx+ 1Desarrollo
Como y = y/x + l => x + 1 puede ser positivo, negativo o cero, luego
el campo de existencia es: < x < +<*>
Desarrollo
Los valores de x para que y = — —=- esté bien determinado es:4 - x
4 - x 2 * 0 => x * ± 2
Luego el campo de existencia de la función es: <-°°,-2> U <-2,2> U <2,+°°>
13 a) y = yjx2 —2Desarrollo
Para que y = \jx2 - 2 esté bien determinada debe cumplirse:
x 2 —2 > 0 => x 2 >2 => x>y¡2 v x<-y¡2
Luego el campo de existencia es: < -°°,-y¡2]U[y¡2,+°° >
Introducción al Análisis 9
14
b) y = x\ lx2 - 2Desarrollo i
Para que y = x 4 x 2 - 2 esté definida:
* 2 - 2 > 0 => x>y/2 v x< -s ¡ 2 1
también para x = 0, y = x ' j x2 - 2 está definida
Luego el campo de existencia es: x = 0, | x | > y¡2
y = ^ 2 + x - x 2Desarrollo
Para que y = V2 + x - x2 esté bien definida debe cumplirse
2 + j c - x 2 > 0 , es decir: j :2 - j : - 2 < 0 =* ( x - 2 ) ( x + l ) < 0
que
15
-1 2
Luego el campo de existencia es: [-1,2]
11 = \f-x-
Desarrollo
Para que y = yf -x +—= L = esté definida, debe cumplirse que: y/2 + X
-x > 0 a 2 + x > 0 , de donde: x < 0 a x > -2
-2 0
Luego el campo de existencia es [-2,0]
10 Eduardo Espinoza Ramos
16 y = -y/jc-jc3Desarrollo
Para que esté bien definida debe cumplirse que:
jc- x3 >0 x(x - l)(x + 1) < 0 de donde:
-1 0 1
luego el campo de existencia es: <-°°,-l] U [0,1]
17 y = log(-^———)2 — x
Desarrollo
2 "f" x 2 + jcPara que y = log(------ ) esté bien definida debe cumplirse que: -----— > 0
2 — jc 2 - x
de donde (2 + x)(2 - x) > 0, pero x * 2
=> (x + 2)(x - 2) < 0, de donde se tiene:
-2 2
Luego el campo de existencia es <-2,2>
18 y = log( jc — 3 jc + 2JC+1
Para que y = log( jc — 3x + 2JC+1
Desarrollo
) esté bien definida debe cumplirse que:
Introducción al Análisis 11
x 2 - 3 x + 2> 0 de donde ( jc - 3jc + 2 )(jc +1) > 0 p a r a x ^ - 1
JC + 1
(x - 2)(x - l)(x + 1) > 0, entonces:
19
-1 1 2
Luego el campo de existencia es: <-1,1> U <2,+°°>
y = arccos(-^-)1 + JC
2 jc
Desarrollo
2xy - arccos(------) ==> eos y =1 + JC 1 + JC
2xpero se conoce que: -1 < eos y < 1, de donde -1 < ----- < 1
1 + JC
, , 2 j : 2 x 2 x- 1 < -------- < 1 <=> - 1 < --------- a -------- < 1
1 + j : 1 + jc 1 + jc
2x 2x <=> 0 < ------+ 1 A ------------ 1 < 0
1 + JC 1 + JC
. ^3jc + 1 x - 1 'n « 0 < ------- A ------< 01 + JC JC + 1
<=> 0 < ( 3 x + 1 ) ( 1 + x ) A ( x - l ) ( x + 1)<0, x * - l
12 Eduardo Espinoza Ramos
Luego (< -oo ,-l > í / [ - i , + o ° > a < —1,1]
X20 y = arcsen (log — ) 10
Desarrollo
X Xy - arcsenfloe— ) => seny = log — 10 10
JC JCcomo -1 < sen y < 1 => - l < l o g — <1 además — > 0 => x > 010 10
Luego - < — <e => — < ,v<10e => jc€[— ,lOe] e 10 e e
21 y = Jsen 2xDesarrollo
Para que y = y]sen 2x esté bien determinado debe cumplirse que: 1 > sen 2x>0
Como 0 < sen ?x < 1 => arcsen 0 < 2x < arcsen 1
n=> 0 < 2x < — de donde se tiene:
2 ’
kn < x < kn + —, donde k = 0, ±1, ±2, ±3,...2
22 , Sea f { x ) = 2xA - 3 x 3 - 5 x 2 + 6 x - 10. Hallar:
<p(*) = [ / w + / ( - * ) ] y =
Desarrollo
Introducción al Análisis 13
Como/( j c ) = 2x4 -3 jc 3 -5 jc 2 + 6 a' —10
/ ( —jc) = 2.r4 + 3a3 - 5.v2 - 6.c -1 0. Luego:
<*>(*) = —[ / ( jc) + / ( - jc)] = 2a4 - 5 jc2 -1 0
/ ( j c ) = 2jc4 - 3 j c 3 - 5 j c 2 + 6 j c - 1 0
/ ( - j c ) = 2 jc4 + 3jc3 - 5 jc2 - 6x - 1 0
IPÍ-*) = ^ [ / ( ■ * ) - / ( - * ) ] = *(-6jc2 + 12*) => if/(x) = - 3 x 3 +6x>
23 La función f(x), determinada en el campo simétrico -1 < x < 1, se denomina par sí f(-x) = f(x) e impar sí f(-x) = -f(x). Determinar cuales de las siguientes funciones son pares y cuales impares:
1a) f ( x ) = ^-(ax +a XJ
Desarrollo
Como /(jc) = — (a* +a x) => f ( - x ) = —( a x +ax)
1 ,Luego f(x) = f(-x) => /(jc) = — (a +a ) es par
b) /(jc) = V 1 + jc + jc2 - V 1-jc + jc2
Desarrollo
/(JC ) = V i + jc + jc2 — -\/l — jc + jc2
/ ( - jc) = Vi — JC + JC2 - V 1 + jc + jc2 = - (V 1-JC + JC2 - V 1 + jc + jc2 ) = - / (jc)
como: f(-x) = -f(x) => f(x) es impar
14 Eduardo Espinoza Ramos
c) f ( x ) = ll(x + l)2 +1¡(X-1)2
Desarrollo
Como f ( x ) = yj(x + 1)2 + y¡(x- l )2 , entonces:
f ( - x ) = í l ( - x+ l)2 + t l ( - x - l f = t ¡ ( x - l ) 2 +l¡(x + l)2 = / ( x )
Luego f(-x) = f(x) entones la función f(x) es par.
d) / ( * ) = l o g ( |^ )1 - JC
Desarrollo
C o m o / ( jc) = lo g ( — — —) / ( — jc) — log(-~— -—) = — log(-j— —— ) = — / ( jc)1 - jc 1 + jc 1 - *
Como f(-x) = -f(x) => la función es impar
24 Demostrar que cualquier función f(x), determinado en el intervalo -1 < x < 1, puede representarse como la suma de una función par y otra impar.
Desarrollo
A la función f(x) escribiremos así: f ( x ) = / ( jc) + / ( - * ) - /( - jc )
/ W = / (*) + / ( - * ) + f W " / ( “ ■*)
/ ( * ) = | ( / W + / ( -J C )) + | ( / ( J C ) - / ( -JC ))
definiremos la función: / (jc) = ^ ( / ( jc) + / ( - jc)) que es par, es decir:
Introducción al Análisis 15
fi(.-x) = - ( f ( x ) + f ( - x ) ) = - ( f ( x ) + f ( - x ) ) = f l(x) =* / ( jc ) es par
f i i - x ) = f ( r i - x ) ) = - - ( . / (x) - / ( - * ) ) = - f 2(x) => / 2U ) es
impar
por lo tanto / ( jc) = / , (jc) + / 2 (jc) es la suma de una función par y otra impar.
función par, mientras que el producto de una función par por otra impar es una función impar.
Sea /(jc) = f x(x ) . f2(x) donde / , ( jc) y / 2(jc) son funciones pares por demostrar que /(jc) = / |( jc ) ./2(jc) es par como / ( jc ) y / 2(x) son pares.
\ f \ (~x) = fi(x)
l / 2 (-Jc) = / 2 ( * )
/ ( —JC) = ( / i f i )(-* ) = f \ <-x). f2 (-■*) = / i ( - * ) - / 2 (*) = /(•*) entonces
/ ( * ) = f \ ( x ) . f 2(x) es par.
Si g(jc) = g ,( j c ) .g 2 (jc) donde (jc) y g 2 (jc) son funciones impares por
demostrar que g(x) = g i (x).g2(x) es par
25 Demostrar que el producto de dos funciones pares o de dos impares es una
Desarrollo
Como ^[(jc) y g 2(x) son impares =>Si(-Jc) = -£ i(* )
g2(-x) = - g 2(x)
8(~x) = ( g \ g 2)( -x) = g i ( - x ) . g2(.-x) = [~gi(jc)][-^2(jc)]
g(~x) = g ,(x ) .g 2(x) = g(x) => g(x) = g l (x).g2(x) es par
26 La función f(x) se llama periódica, si existe un número positivo T (periodo de la función) tal que f(x + T) = f(x) para todos los valores de x pertenecientes al campo de existencia de la función f(x). Determinar cuales de las funciones que se enumeran a continuación son periódicas y hallar el periodo mínimo T de las mismas.
a) f(x) =10 sen 3x
Desarrollo
Como f(x) = 10 sen 3x => f(x + T) = 10 sen (3x + 3T)
2 nComo sen x = sen (x + 2ti) => 3T = 2n => T = —
3
Luego f(x) = 10 sen 3x es periódica y T =
b) f(x) = a sen(A,x) + b cos(Xx)
Desarrollo
Sea f(x) = a sen (Kx) + b eos (Ax) entonces:
F(x + T) = a sen (kx + AT) + b eos (kx + X.T)
Como sen x = sen(x + 2n) y eos x = cos(x + 2n) de donde
2nA,T = 2jr => T = —
A
por lo tanto f(x)=a sen(A.x)+ b eos (Kx) es periódica, donde el periodo
16 Eduardo Espinoza Ramos
Introducción al Análisis 17
C) /(* ) = yJtgXDesarrollo
f ( x ) = yftgX => f (X + T) = y]tg(X + T)
Como tg x = tg(x + j c) => T = n
Para que f(x) = f(x + T), luego: / (x) = yjtgx es periódica con T = n
d) f ( x ) = sen2xDesarrollo
Se conoce que sen (x + 7t) = sen x. eos jc + eos x. sen n = - sen x
De donde sen2 (x + n) = sen2x de donde:
f(x) = f(x + Jt) entonces la función/ (x) = sen2x es periódica con periodo T = Jt.
e) / (* ) = sen(\fx)Desarrollo
Se conoce que \[x * J x + \¡T para T * 0
Luego f ( x ) = sen(4x) =* f ( x + T) - sen(\Jx + T)
Por tanto f(x) * f(x + T) la función: / ( jc) = sen(Jx) no es periódica
27 Expresar la longitud del segmento y = MN y el área S de la figura AMN como función de x = AM construir las gráficas de estas funciones.
18 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
En el A ADE, “x” varia desde A hasta E, es decir:
0 < x < c, por semejanza de triángulos tenemos:
bxy = — para 0 < x < c, ahorac
veremos para los “x” que varia desde E hasta B, c < x < a se tiene y = b,
luego: y ■— x para 0 < x < c c
b para c < x< a
xyahora veremos para el área S de la región s í O < x < c => S = —
b xyPero y = — x , reemplazando se tiene: S = — s í O < x < c c 2
beS i c < x < a S =bx —— , para c < x < a La gráfica es:
Introducción al Análisis 19
28 Las densidades lineales (es decir, la masa de una unidad de longitud) de una barra AB = 1, en sus porciones AC = / , , CD = l2 y DB = /3,
(/, + /2 + Z3 = /) son respectivamente iguales a: qx, q2, q-¡, expresar la masa
m de una porción variable AM = x de esta misma barra, como función de x, construir la gráfica de esta función.
Desarrollo
A ^----- - Y ¿ d------v ^ M
X
Consideremos primero: P ~~j~ ^ m - Ip
Luego sí 0 < x < /, entonces m = x.ql
!l MA . - q,
H X
Sí lx < x < l { +l2 m = l1qi + q2(x - /,)
1] C MA • ------- -------• ------------- • --------------- « B
Ql ^2N — —---- X --------- M
Sí /, +l2 < x < l x + l2 + / 3 entonces: m = l lq] + l2q2 + (x - ( / , + l2))q3i
m = llq i + l2q2 + ( * - / , - l 2)q3
A • ---- !------• ---- í-----• ------------• ---- • B o aH --------------------------- X -------------------------H
Resumiendo se tiene: g
20 Eduardo Espinoza Ramos
xq]
/|4i +(*-/,)<?,si 0 < a < /,
si /| < a < /, + 17
llq]+I2q2+(.x-li - l 2)q3 si /]+/2 < * < / , +/ 2 = i
29 Hallar: cp(v}/(x)) y \|/((p(x)), <¡d(a) = x ~ , i//(a) = 2 *
Desarrollo
Como \¡/(x) = 2x y <p(x) = x 2 entonces:
<P(V(x)) = ((//(a:))2 = (2't )2 = 22* y y/(q>(x)) = 2 ^ x) = 2X
30 Hallar f(f(f(x))) sí / ( a ) =v * —
1 — x
Desarrollo
Como / ( a ) = - i - => / ( / ( a ) ) = -— l—— \-x l - f ( x )
/ ( / ( / ( * ) ) ) = 1! - / ( / « ) 1----------—1-/00
1 - / U )- / (X )
Introducción al Análisis 21
i - 1es decir: / ( / ( / ( * ) ) ) = ■--- ; = — i —í- = — = x . Luego f(f(f(x))) = x
- f ( x ) 1 -1- / ( * )\ - x
31 Hallar f(x + l) sí f ( x - l ) = x 2
Desarrollov ---------------------
Como f ( x - l ) = x 2 => / ( * +1) = / [ ( * + 2 ) - l ] = (jt + 2)2
Es decir: f ( x + 1) = x 2 +4x + 4 = (jc + 2)2
32 Sea f(n) la suma de n miembros de una progresión aritmética. Demostrar que f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) = 0.
Desarrollo
Como f(n) es la suma de n términos de una progresión aritmética. Entonces:
f ( n ) = (2a + ( m - l ) r ) ^ donde “a” es el primer término y “r” la razón
/ ( « + 3) = [2a + (n + 2)r]
n + 2f ( n + 2) = [2a + (n + l)r]
f ( n + l) = [2a + nr]
2
n + 12
calculemos f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n)
(2a + (n + 2)r)n + -3(2a +(n + l)r)n + + 3(2a + nr)——- - (2 a + (n - 1 )r)—2 2 2 2
22 Eduardo Espinoza Ramos
= —[(2 an + 6 a + n2r + 5 nr + 6 r) — 3(2«;i + 4a + n2 r + 3 nr + 2 r) +2
+ 3(2an + 2a + n 2r + nr) - (2an + n 2r - m)] = * [(0) + (0) + (0)] = 0
En consecuencia: f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) = 0
33 Demostrar que, si f(x) = kx + b y los números jc ,, x 2 y * 3 constituyen una
progresión aritmética, también formaran una progresión aritmética los números
/ ( x , ) , f ( x 2) y f ( x 3).
Desarrollo
JC], .t2 y jc3 constituyen una progresión aritmética =} jc ,, x 2 = x, + r ,
jc3 =jc, +2r donde r es la razón, probaremos que / ( * , ) , f ( x 2) y f ( x 3)
constituye una progresión aritmética.
Como f(x) = kx + b entonces / ( jc, ) = kx] +b
f ( x 2 ) = / ( j c , + r) = A:(jc, + r) + b = fcx, + b + kr
/ ( * 3 ) = /( •* 1 + 2r) = k ( x l + 2 r) + b = kx¡ + b + 2 kr
Luego: kxx+b kx{+b + kr fcc, + b + 2 kr
/ ( * 2) /U j)
constituye una progresión aritmética, donde kr es la razón.
34 Demostrar que, si f(x) es una función exponencial, es decir /(jc) = a x , (a < 0)
y los números jc, , jc2 y jc3 constituyen una progresión aritmética, los números
/ ( j c , ) , / ( jc2) y /( jc 3) forma una progresión aritmética.
Desarrollo
Introducción al Análisis 23
35
Como jt, , x 2 y * 3 constituye una progresión aritmética jc, , x2 = x, + r , x3 = x1 + 2 r donde r es la razón
Como / ( x ) = a* entonces:
f ( x l ) = a*'
f ( x 2 ) = /(x , + r) = ax'+r = ar ja*
f ( x 3) = f (*i + 2 r) = o<,+2r =
Luego: a*’ , ar a x' , alr a x \
7 < 5 / ( jr2> 7 o ?
Constituyen una progresión geométrica cuya razón es a r .
Sea / (x ) = l o g ( ^ ^ ) . Demostrar que / (x ) + / ( y ) = / ( — _) 1 — jc 1 + x y
Desarrollo
C o m o / ( jc) = l o g ( | ^ ) , / ( y ) = l o g ( j ^ )1 — jc l - y
r / x 1 / 1 + JCx . , 1 + 3 \ . /O + Xl + y) /(■*) + f ( y ) = log(------) + log(------ ) = Iog(—-----1 — JC 1 - y (1 — JC)(1 — y )
1+ £ ± i / ( i ± i ) = iog(— !± s l , =
1 + xy 1 - x + y 1 + xy
1 + x y - x - y
= ^ (l + x) + (l + x)y q + xXl + y) 5 ( l - x ) - ( l - x ) y ( l - x ) ( l - y )
(1)
(2)
jc + ycomparando (1) y (2) se tiene: f (x ) + f ( y ) = f (------- )
1 + jty
24 Eduardo Espinoza Ramos
36 Sea /(jc) - ^ ( a x +a~*) y V(x) = ( a x - a x) . Demostrar que:
f(x + y) = f(x).f(x) + y(x).v|/(y) y y(x + y) = f(x).v/(y) + f(y).y(x)
Desarrollo
f ( x + y) = - (ax+y+a~x~y) = ~ ( a x ,ay +a~x .a~y)2 2
ax+y a~x- y a-xa y a~xa y axa~y axa~y2
1= - { a x.ay +a~x.ay +ax.a~y + a~x.a~y) + 4
+ - ( a x.ay - a ~ x.ay - a x.a~y +a~xx T y) 4
= - ( a x +a-x) - ( a y + a~y) + - ( a x -< T * )-(f ly - a ' y)2 2 2 2
= f(x).f(y)+\|/(x).\|/(y)
[arcsenx , para — l < x < 037 Hallar f(-l), f(0) y f(l) sí: / ( jc) =
\arctag x , para 0 < jc < +°°
Desarrollo
/ ( - 1 ) = arcsen(-l) = -arcsen(l) = — / ( - 1) = - ^
[/(O) = arcsen(O) - 0
/(1) = arctag( 1) = ^4
/ ( 0) = 0
/ (1) = 74
Introducción al Análisis 25
38 Determinar las raíces (ceros) y los campos de valores positivos y de valores negativos de la función y; si:
a) y = 1 + xDesarrollo
Para que y = 0 se tiene que 1+ x = 0 => x = -1, luego y = 0 cuando x=-l
El campo de valores positivos es cuando y > 0, es decir 1+x > 0 => x > - l
y el campo de valores negativos es cuando y <0 es decir 1+x < 0 => x < -1
Luego y < 0, cuando x < -1
b) y = 2 + x - x 2Desarrollo
Para que y = 0 se tiene que 2 + x - x 2 = 0 , de donde: x = -1, x = 2, luego: y = 0, cuando x = {-1,2} y para los valores positivos y > 0 se
tiene: 2 + x - x 2 >0 => x 2 - x - 2 < 0 (x - 2)(x + 1) < 0, de
donde se tiene:
-1 2Luego x e <-l,2>. Entonces: y > 0 cuando x e <-l,2> y para los valores negativos y < 0 se tiene: 2 + x - x 2 < 0 => x 2 - x - 2 > 0
(x - 2)(x + 1) > 0, de donde se tiene:
+ X / ' - X X +
-1 2
26 Eduardo Espinoza Ramos
Luego x e U <2,+<*>> entonces:
y < 0 cuando x e <-oo,-l>U<2,+°°>
c) y = 1 - x + x 2Desarrollo
Para que y = 0 se tiene que 1 - x + x 2 = 0 de donde x = -— , luego 3
xe R tal que y - 0. Como las raíces no son reales entonces:
1 - j: + x2 > 0 , V x e R => y > 0 para -<*>< x < +<*=
d) y - x 3 - 3xDesarrollo
Para que y = 0, se tiene x 3 - 3x = 0 , de donde: .v = -y¡3 , x = 0, x = y¡3
Luego y = 0 cuando x = {-\¡3,0,\Í3}
Para y > 0, se tiene ,y3 -3 jc > 0 => x(x - y¡3)(x + \Í3) > 0
- 7 3 U y¡3
Luego x e < -y¡3,0 > U < \¡3, +°° > , entonces:
y > 0 cuando x e < - \ Í 3 , 0 >U < y¡3,+°° >
para que y < 0, se tiene que x 3 - 3x < 0 => x(x-y j3)(x + \Í3) < 0
Introducción al Análisis 27
S 0 73
Luego x e < \¡3 >U < 0, V3 > entonces:
y < 0 , cuando xe<-«>,V 3 > í / <0,>/3 >
e) y = log(————)1 + AT
Desarrollo
2xPara que y= 0, debe ocurrir:------= 1 de donde x = 1, luego: cuando x =1
l + x
2xPara que y > 0 ocurrirá cuando------> 1x + l
2x x + l
-1 > 0 de donde:
x - \x + l
> 0 =* (x - l)(x + 1) > 0
luego x e <-«>,-1 > U <l,+o°>
2xpara que y < O debe ocurrir que O < ------< 11 + *
de donde O < 2x(\ + * )< (! + *) O < 2x(l + x) a x < 1
. -1 O
luego x e <0,1 > entonces: y < 0 cuando x e <0,1 >
28 Eduardo Espinoza Ramos
39 Hallar la inversa de la función y, sí:
a) y = 2x + 3 b) y = x 2 -1
c) y = y j l - x 3 d) y = log(^)
e) y = arctag(3x)
¿En qué campo estarán definidas estás funciones inversas?
Desarrollo
a) Como y = 2x + 3, esta función está definida en -«> < x < +°°, despejamos
x es decir:
x = — ( y - 3 ) , -o» < x < °° como jc = — (y -3 ) => -«o < — (y -3 ) < +°°2 2 2
=> -oo < y — 3 < +o° -oo < y < +oo
Entonces: x = ( y - 3 ) , -°°<y<+°°
b) y = x 2 -1 está definida en -<*> < x < +°°
x 2 = y +1 => x = ±yjy + 1 para x = yfy + l se tiene:
0<y jy + l < °° de donde < x < +<*>
para x = J y + l se tiene < -y]y +1 < 0 de donde: -1 < y < +°°
luego x = -Jy + 1 y x = ^Jy + 1 para - l < y < + ° °
c) y = y j l - x 3 , en forma análoga al caso anterior: x = y j l - y3 , -°°<y < +°°
Introducción al Análisis 29
X Xd) v = log(—) está definida para x > 0 como y = log(—)
=$ x = 2AOy como x > 0 => 2.10v > 0 => 10v > 0
-oo < y < +00 entonces: x = 2. J 0 ' para -°o < y < +00
e) y = arctg 3x, en forma análoga a los casos anteriores.
, ■ 1 n ny = arctg3x => x = —t a g y ; para ~ — < y < —
x si x < 0
.r' si x > 0
Desarrollo
Sí x < 0 => y = x => x = y para -°° < y < 0
Si x > 0 => y = x 2 => x = yfy para y > 0
Luego x = I}’ si - 00 < y < 0
J y si 0 < y < + 0 0
41 Escribir las funciones que se dan a continuación en forma de cadena de igualdades, de modo que cada una de los eslabones contenga una función elemental simple (potencial, exponencial, trigonométrica, etc.).
a) y = (2 x -5 )wDesarrollo
Como >> = (2a - 5)10 =* y = u10 donde u = 2 x - 5
b) y = 2cosxDesarrollo
Como y = 2C0S'C y = 2“ , donde u = eos x
c) y = log (tag
Desarrollo
X XComo y = log(f«g —) y = log (u) donde u = tg(v) y v = —
d) y = arcsen(3~x )Desarrollo
Como y - arcsen(yx ) => y = arcsen u de donde u = 3l y v = - x 2
42 Escribir en forma de una igualdad las siguientes funciones compuestas, dadas mediante una cadena de igualdades.
a) y = u2 \ u = sen xDesarrollo
Como u = sen x, y = u 2 => y - s e n 2x
b) y = arctg u, u = \ f v , v = log x
Desarrollo
Como u = yjv => v - arcig \fv donde v = log x
Entonces y = arclg(sJ[ogx)
{2 u si u < O ,
U = X — 1
0 si u> 0
Desarrollo
P a r a u < 0 = > a2 - 1 < 0 =* j r < l => -1 < x < 1 => | x | < l
30 Eduardo Espinoza Ramos
Introducción al Análisis 31
para u > O => jc2 > 1 =* | x | > 1
2 ( jc2 - 1 ) si | jc | < 1
O si | x | > 1
43 Escribir en forma explícitas las funciones y, dadas por las ecuaciones:
a) x 2 - arccos y = n b) 10*+10y =10
c) x + | y | = 2y
Hallar los campos de definición de las funciones implícitas dadas
Desarrollo
a) x 2-arccos)? - n => arccos y - x 2 - k
y — cos(x2 - n ) = eosx2.cosrc + senx2.senre
y — —eosx 2 para \lñ < | x \ < y f lñ
b) 10‘ + 10v = 10 => 10v = 10-10^ =*. y = log(10-10x) , -oo < x < 1
L2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES.-______________________________ ________
La constmcción de las gráficas se hace mediante una tabulación y enseguida uniendo dichos puntos.
Si partimos de la gráfica y = f(x) con ayuda de construcciones geométricas elementales obtendremos las gráficas de las funciones:
1 y¡ = - f ( x ) , que es la representación simétrica de la gráfica respecto al eje OX.
luego como u = x 2 -1 se tiene: y =
32 Eduardo Espinoza Ramos
2 y 2 = / ( - jc) , que es la representación simétrica de la gráfica respecto al eje OX.
3 y 3 = f ( x - a ) , que es la misma gráfica desplazada a lo largo del eje OX en la magnitud a.
4 y 4 = f ( x ) + b , que es la misma gráfica desplazada a lo largo del eje OY en la magnitud b.
Haremos una representación de todo esto.
Construir las gráficas de las funciones lineales (L. Recta)
44 y = kx sí Jfc = 0 ,1, 2, -^ ,-1 ,-2
Como y = kx
7? II O II O
II¿6 => II X
7? II ÍO => XII
2=> XV = —
2
lII => y = -xk = -2 y = -2x
Desarrollo
Introducción al Análisis 33
45 y = x + b, sí b = 0, 1, 2, -1, -2
Desarrollo
46 y = 1.5x + 2
x y0 2
1 3.5
2 5
Desarrollo
Construir las gráficas de las siguientes funciones racionales enteras de 2do grado (parábola).
47 y - ax2, sí a = 1, 2,— 1,—2,0
Desarrollo
Para a = 1 => y = x
34 Eduardo Espinoza Ramos
X y0 0
± 1 i
± 2 4
48 y ■= x 1 + c sí c = 0,l,2,-l
Desarrollo
49 y = (x - jc 0)2 , sí xo = 0 , l , 2 , - \
Desarrollo
Introducción al Análisis 35
50 3, = 3'0 + (* —l)2 , si y0 =0,1 , 2,-1
Desarrollo
51 y = ax2 + bx + c sí: 1 a = 1 b = -2 c = 3
2 a = -2 b = 6 c = 0
Desarrollo
1 Para a = 1, b = -2, c = 3 se tiene y = x 2 - 2 x + 3 de donde
y = (* - 1)2 + 2
2 Para a = -2, b = 6, c = 0 se tiene y - - 2 x 2 + 6x
y = -2 (x2 - 3 x + —) + — => y = - 2 ( x - —)2 + —4 2 2 2
36 Eduardo Espinoza Ramos
52 y = 2 + x - x 2 . Hallar los puntos de intersección de ésta parábola con el eje OX.
Desarrollo
Para encontrar los puntos de intersección con el eje X debe ocurrir y = 0 es
decir 2 + x - x 2 = 0 de donde x 2 - - x - 2 - 0 => (x - 2)(x + 1) = 0 luego los puntos de intersección con el eje X es: x = -1, 2
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES RACIONALES ENTERAS DE GRADO SUPERIOR AL SEGUNDO
53 y = x 3 (parábola cúbica)
Desarrollo
X y0 0
1 i
-1 - i
2 8
-1 -8
Introducción al Análisis 37
54 y = 2 + (jt — l)3Desarrollo
X y0 i
1 2
-1 -6
55 y = x 3 - 3x + 2Desarrollo
X y0 21 02 4-1 4-2 0-3 -153 20
56 y = xDesarrollo
X y0 0
± 1 i± 2 16
X*
38 Eduardo Espinoza Ramos
57 y = 2 x2 - x 4
y = 2 x2 ~ x 4 => y - - ( x 4 - 2x¿ + 1) +1 => y — 1 - (a-* -1 )
Desarrollo
2 , \ 2
HOMOGRAFICAS SIGUIENTES (Hipérbolas)
58 y= -
Desarrollo
X y-1 -i
1 i
59 y =l — x
X y0 i1 22 3-1 1
2
Desarrollo
Introducción al Análisis
60 y =
61
x - 2x+ 2
Desarrollo
x - 2 , 4y = ---- - => y = \ -x+2 x + 2
-2
/m
y = j,0 + ------- , sí -r0 = l . )o = “ ' - m = 6X - X q
Desarrollo
Como *0 = 1 , y0 = —1 , m = 6 se tiene: y = -1 + -
62 2 x - 3 3x + 2
Desarrollo
r •2 x - 3 3* + 2
2 13, 1y = 3 - 9 (- 2 ) *+ —
3
40 Eduardo Espinoza Ramos
63
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES RACIONALES FRACCIONARIAS.
1y = x + — x
Desarrollo
y = jc + —, su dominio es R - {0} y una asíntota vertical es en x = 0 no tiene x
asíntota horizontal.
X i -1 1
2
1
2
3 -3
y 2 - 2 52
52
1 0
3
1 0
3
64*+1
y = -x + l
asíntota horizontal.
Desarrollo
y = x -1 + — — , una asíntota vertical es en x = -1, no tiene * + 1
X i2
0 1 2 32
-2 3
2y 1 0 1 1 9 -4 9
2 2 2 2 2
65
Desarrollo
Introducción al Análisis
En x = O, se tiene asíntota vertical, en y = 0, se tiene asíntota horizontal
X ± i , i + 2 + 3+ —2
y i 4 1 1
4 9
66
Desarrollo
6 7
En x = 0 se tiene una asíntota vertical, en y = 0, se1 tiene una horizontal.
X± 1
2
± 1 ± 2 ± 3
y ± 8 ± 1± 1
8± -L
27
10(curva de Agnesi)
Desarrollo
X 0 ± i ± 2
y 10 5 2
2.x68 y = —---- (Serpentina de Newton)x +1
42 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
69
70
X 0 ± i ± 2 ± 3
y 0 ± i± 1
5± 2
5
1y = x + —
X
Desarrollo
En x = 0 se tiene asíntota vertical
X i
i-1 2 -2 +I
2y 2 0 9
272
92
2 1y = x H— (Tridente de Newton) x
Desarrollo
En x = 0 se tiene asíntota vertical
X i - i 2 -2 3 -3± 1 -
21 1 12 3 2
y 2 0 9 7 28 26 9 7 28 28
2 2 3 3 4 4 9 3
Introducción al Análisis
71
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIO IRRACIONALES SIGUIENTES:
Desarrollo
72
y = yfx está determinado para x > 0
X 0 i 4 9 16
y . 0 i 2 3 4
y = <lxDesarrollo
X 0 ± i ± 8 ± 2 7
y 0 ± i ± 2 ± 3
Y ' II
21
r I11 • i
0 1 4 X
73 y = y[x* (parábola de Neil)
Desarrollo
X 0 ± i ± 8
y 0 i 2
74 ±x\[x (parábola semi-cubica)
Desarrollo
44 Eduardo Espinoza Ramos
75
X 0 l y¡9
y 0 ± l ± 2 ± 3
y = ± 2 5 - x 2 (elipse)
Desarrollo
76 y = ±yjx2 -1 (hipérbola)Desarrollo
’ - ± Jx2 -1 a-2 - / = 1
X ± l ±2 ± 3
y 0 +i i+ Sn
'¡ l-Desarrollo
Introducción al Análisis
78 y = ± x ------ (Cisoide de Diócles)V 4 - x
X 0 i 2 3
y 0
H-
± 2 i+
¡— ...
79 y = ± x \ l 2 5 - x 2 (para el estudiante)
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DF. LAS SIGUIENTES FUNCIO TRIGONOMÉTRICAS
80 y = sen xDesarrollo
81 y = eos xDesarrollo
46 Eduardo Espinoza Ramos
82 y = tg x
X 0
2
±71+ —
2
y 0 o o 0 OO
X 0± -
2
± 71 +1
y oo 0 oo 0
Desarrollo
y = ctg xDesarrollo
83
84 y = sec x
X 0± —
2
± 71 ± 27C
y i OO -1 1
Introducción al Análisis
85 y = ese xDesarrollo
86 y = A sen x, sí A = l, 10, —,-22
Desarrollo
Si A = 1 => y = sen x. su gráfico es:
X 0± -
2
± 7 1± £
2
± 2 n
y 0 ± 1 0 ± 1 0
Si A =10 => y = 10 sen x, su grafica es:
48 Eduardo Espinoza Ramos
X 0 ± jt
2
± * L2
y 0 0 ± i ± 1
87 y = sen (nx), sí n = 1, 2, 3, ^
Desarrollo
Si n = 1 y = sen x es similar al ejercicio 86,
Si n = 2 => y = sen 2x su grafica es:
X 0
4 2 2
± n
y 0 ± 1 0 ± 1 0
Introducción al Análisis
En forma similar para n = 3, —
88 y = sen (x - <p) sí <p = -0 , —, —2 2 4Desarrollo
y = sen (x - tp) = sen x. eos <p - eos x. eos <p => y = sen x. eos (p - eos x. c
para cp = 0 se tiene y = sen x el gráfico es el mismo que el ejercicio 86.
Para (p = —, y = - eos x. Su grafica es:
X 0+ 1
2
± K
y - i 0 ± 1
En forma similar para <p =2 4
89 y = 5 sen (2x - 3)Desarrollo
Sea x' = x ~ — => y ’= 5 sen 2x' donde el origen del nuevo sistema es (
Y el gráfico se hace en forma similar al ejercicio 87.
N> | U
>
50 Eduardo Espinoza Ramos
9 0 y = a sen x + b eos x, sí a = 6, b = -8
Desarrollo
Para a = 6, b = -8, se tiene y = 6 sen x - 8 eos c. Su gráfico es:
X 0+ -
2
± 71 +i
± 2 tc
y -8 ± 6 8 -6 -8
91 y = sen x + eos xDesarrollo
X 0
4
n 3 K 7t 5 ni 3 ;r 1 k 271 9 n n
2 4 2 2 4 4 4
y i y¡2 1 0 -1- J 2
-1 0 1 V 5 0
Introducción al Análisis
92 y = eos* x
X 0
2
± Jt
1 0 1
Desarrollo
93 y = x + sen xDesarrollo
X 0 7T
~2
Jt n
~ 2
-Jt
y 0* + 12
Jt- — - 1
2
-Jt
94 y = x sen xDesarrollo
X 0
i+
±7t
£1
"+1 3n
~~2± 2 n
y 0
2
0 3 71 3tc 0
2 2
95 y = tg2xDesarrollo
52 Eduardo Espinoza Ramos
X 0 n n 5?r ± 7t+ — + — ± —4 2 4
y 0 1 + oo 1 0
96 y = 1 - 2 eos x
Desarrollo
X y0 - i
2
i
± n 3
+ 14
-0.41
97 y = sen x — sen 3*3
Desarrollo
X
Introducción al Análisis
X 0+ZL
2
± JC £ 1 ™
+i1
y 0 ± 1.33 0 + 1.33
Desarrollo
X 0 n+ — ± —2 2
y 3 1 -0.717
2 2
í ]
l i■
i
i
Y
f
' 3
2
\r \
\ A )
K 7t
1
1
n 3 n
\ l J
X
-0.717
54 Eduardo Espinoza Ramos
99 y = cos(—) x
Desarrollo
X i
3
i
3
1 -1 1
4
1
4
y - i 1 -1 -1 1
4
1
4
100 y = inserí x
-1
Desarrollo
y - ±-yJsenx , sen x > 0 => x e [0,7i] U [2n,3n].... [-27t,-n]
Introducción al Análisis
CONSTRUIR LAS GRAFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIC EXPONENCIALES Y LOGARÍTM ICAS
101 y = a x sí a = 2 , e2
Desarrollo
Sí a = 2 => y = 2x
Desarrollo
X y0 i1 i
2-1 22 1
4-2 4
102 y = lognJC sí a = 10, 2, e
Desarrollo
Sí a =10 => y = log10A: => x = 10y
56 Eduardo Espinoza Ramos
103
104
X y
1 0
10 i
1
10
-i
y = sen hx, donde sen hx = — (e r - e x )2
Desarrollo
X y
0 0
1 e - e l
2
-1 e~x - e
2
y = eoshx; donde coshx = — ( e x + e x )2
Desarrollo
X y
0 i
1 e - e ~ x
2
-1 e + e~l
2
Introducción al Análisis
105 y = tg hx, donde tghx =
106
107
senhx
coshx
Desarrollo
, t e -t g h x - ----------
íf + e
cuando x —» +°° , y —> 1
x —> -co , y —> -1
iy = 10*
X y1 10-1 1
10
1 100
2
1 1
2 100
Desarrollo
y = e x (curva de probabilidades)
Desarrollo
X y0 i
± 1 i
e+ 2 1
4e
Yr
58 Eduardo Espinoza Ramos
108 y = 2
Desarrollo
—T 1 1y = 2 ¿ = — j- => y = —— , cuando x —» 0 , y —»0
27 27
X 0 ± 1 ± 2 ±3 ±4y 0 1 i i i
2 112 ]y¡2
109 3> = lo g *2
Desarrollo
jc2 > 0 => x e <-°°,0> U <0,+»°>X ± i ± 2 ±3 ±4
+ 12
+ 13 + i4y 0 Log 4 Log 9 Log 16 - log 4 -log 9 - log 16
Y
Introducción al Análisis
110 y = log2 *
Desarrollo
y = ( lo g x ) 2 está definida para x > 0
X i 2 3 1 1 .2 3
y 0 Ü og2 )2 (log 3)2 (log 2 )2 (log 3)2
111 y = log (log x)Desarrollo
y = log (log x ) está definido para log x > 0 => x > 1
v = ------logx
Desarrollo
y = ----- - está definida para x > 0, x * 1log*
60 Eduardo Espinoza Ramos
X 0.2 0.5 1 2 3 4
y -0.625 -3.325 - OO 3.32 2.09 1.66
113 y - log (—)x
Desarrollo
y = log (—) está definido sí —>0 => x > 0 x x
X i 2 3 4 5 0.5 0.4
y 0 -0.3 -0.47 -0.60 -0.69 0.3 0.9
114 y = lo g (-x )Desarrollo
y = log (-x ) está definido sí -x > 0 => x < 0
Introducción al Análisis
X i
2
0 -1 -2 -3
y -0.3 -oo 0 0.3 0.48
115 y = log2( l + Jc)
Desarrollo
lo g2( l + * ) = lo g2 10. lo g10( l + jc)
X -i 0 1 2 3 4 5
y -oo 0 0.9 1.5 1.9 2.3 2.5
116 y = log (eos x )
Desarrollo
62 Eduardo Espinoza Ramos
y = log (eos x ) está definido sí eos x > 0. entonces
. 2n + l rr 2/1 + 1 _ x e < 2 n n , ---------n > U < — n , 2 n n >
n n WI 3n 5n ,, x e < —,— > U < — ,— >U...
2 2 2 2
11)Desarrollo
X 0 K n + 3* 27t n -Ti 37T -2 Jt
2 2 2 2y 0 0.33 0 -0.038 0 -2,97 0 0.038 0
Introducción al Análisis
118
119
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIC TRIGONOM ETRICAS INVERSAS
y = arcsen x
Desarrollo
El dominio de y = arcsen x es [-1,1]
Z 7Z ,El rango de y = arcsen x es [— ,—]
2 2
X -i- A
2
0 VI . 2
1
y rz 7Z 0 n 7Z
2 4 4 2
y = arccos x
Desarrollo
El dominio de y = arccos x es [-1,1]
El rango de y = arccos x es [o,Jt]
X y-1 n0 TZ
21 0
En forma análoga para las demás funciones el cual damos su gráfico.
120 y = arctg x
Desarrollo
64 Eduardo Espinoza Ramos
121 y = arctg x
X y0 n
2oo 0oo n1 K
4
122 y = arcsen— x
Desarrollo
Introducción al Análisis
1 1y = arcsen — =$ sen y = —
x x
- l< s e n y < l => -1 < --< 1 => x e <-°°,l] U [l,+°°> x
123 y = arccos — x
Desarrollo
y = arccos— => cosv = — como -1 < eos y < 1X ' JC
-1 < — <1 => x e <-<*>,-1 ] U [ 1 ,+«■> x
124 y = x + arctg xDesarrollo
X 0 x —> +°° X —> -ooy 0 y —» +oo X —» +oo
66 Eduardo Espinoza Ramos
125
CONSTRUIR LA GRAFICA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES
y = I x |Desarrollo
Se conoce que: |x|=x , x > 0
—x , x < 0
Sí x > 0 => y = x
x < 0 => y = -x
X y0 0
± 1 i
±2 2
± 3 3
12 6 y = - ( x + \ x |)
Desarrollo
Si x > 0 => | x | = x, Luego y = (x+\x\) = ^ (x + x) = x y = x
Si x < 0 => | x | = -x, Luego y = -^(x+|x|) = -^ (x -x ) = 0 => y = 0
Introducción al Análisis
127 a) y = x | x |Desarrollo
Si x > 0 => | x | = x, pero
y = x|jr|=x(*) = x 2 y = x 2 para x > 0
y = x \ x \ -x ( -x ) = - x 2 => _y = -A-2 para x <
b) ^ = logV2 I ^ IDesarrollo
yy = log^|x| <=> x = (y¡2y => | v | = 22
_yparax> 0 => | x | = x => x - 2 2
y
x < 0 => | x | = -x => - x = 22
X y± 1 0
± 2 2 .
± 3 2 ln3
ln2
± 12
-2
± 14
-4
128 a) y = sen x + | sen x |
Desarrollo
Se conoce que y = sen x tiene por gráfico:
68 Eduardo Espinoza Ramos
Si x e [0,7t] => | sen x | = sen x
Como y = sen x + | sen x | = 2 sen x para x e [0,rc]
Sí x e [7t,27t] => | sen x | = - sen x => y = 0
Generalizando para n e Z consideramos el intervalo [n7C,(n+l)rc]
Si n es par | sen x | = sen x
Si n es impar | sen x | = - sen x
{2senx para n par cuando xe [nn.(n + l)/r]
0 para n impar cuando x e < nK,(n +1 )n\
b) y = sen x - 1 sen x | en forma similar el ejemplo (a).
Introducción al Análisis
129 y =3 - x 2 para |x|<l
— para |x|>lx
Desarrollo
Si | x | < 1 => -1 < x < 1
| x | > 1 => x > l v x < - l
además x > 1 => |x| = x a x < - 1 = > | x |= -x
Luego y =
3 - x 2 para -1 < x < 1
2— para x > 1 x2
— para x < -1 x
130 a) y = [x], b) y = x - [x]
donde [x] es la parte entera del número x, es decir, el mayor numero ei
menor o igual a x.
Desarrollo
a) y = [x] = [n] => n < x < n + 1, n e Z
70 Eduardo Espinoza Ramos
Sí 0 < x < 1 => y = 0
1 < x < 2 y = 1 y
2 < x < 3 => y = 2
- l < x < 0 y = -l ---------- "------- O.
-2 < x < -1 => y = -2
-3 < x < -2 => y = -3
b) y = x - [x], [x] = n => n < x < n + l , neZ
Sí 0 < x < 1 => y = x
1 < x < 2 => y = x - l
X
-3 < x < -4 => y = x + 3
-4 < x < -5 => y = x + 4
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES EN EL SISTEMA DE COORDENADAS POLARES (r, <p) (r > 0)
jc"*131 r = 1 (circunferencia)
Desarrollo
Se conoce que x = r eos 0 , y = r sen 0
Introducción al Análisis
r = yjx2 + y 2 , 6 = arctg — x
como r = 1 y r - yjx2 + y2 , luego: yjx2
(circunferencia)
132 r = (espiral de
‘p R
0 01 1
2
Jt Jt
2 4
-n Jt
2
n Jt
2
Arquímedes)
Desarrollo
133 r = e<p (espiral logarítmica)Desarrollo
Eduardo Espinoza Ramos
r = 2 eos <p (circunferencia)
Desarrollo
Se sabe que: x 2 + y2 = r 1, x = r eos 9 , eos(p = —r
2x 'y 2 2Como r = 2 eos q> => r = — , de donde r =2x => x + y - 2 x
Introducción al Análisis
Luego x 2 - 2 x + y 2 =0 => ( jc2 - 2x + 1) + y 2 =1
(x - 1) : + y 2 =1 circunferencia de C(I,0) y radio 1
136 r = —!— sernp
Desarrollo
ySe conoce que y = r sen (p => semp = —
rY
1 1 r 1Como r = —----=> r = — r = —
seníp y yr
Como r * 0 => y = 10 X
1137 r - sec ^ (parábola)
Desarrollo
2 Í> l (p , , , y x sec — = — ----- pero x = r eos— de donde eos — = —2 C0S=2 2 2 <•2
-> <p 1 1 r2 7como r = sec — => r = = —— de donde r = — => x - r
2 cos2^ *2 r2
74 Eduardo Espinoza Ramos
para r * 0, además r = yjx2 + y2 => x 2 + y2 = r 2
luego: x 4 - x 2 = y2 . Sea: x 2 - x 4 => x, = x 2 además y 2 = y 1
Entonces: x 2 - x, = v,
2 1 1Completando cuadrados se tiene: x[ - x, + — = y, + —
4 4
(x, - ~ )2 = (_y, + parábola de vértice V (^ , - ~ ) y se abre hacia arriba
138 r = 10 sen 3<p (rosa de tres pétalos)
Desarrollo
9 0° 15°
OOm
45° 60° 75° 90°
OlOO
120° 135° o 0 165°
r 0 7.05 10 7.05 0 -7 -10 -2.60 0 7.05 10 7.05
<P
OOOO 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 330° 345° 360°
r 0 -7.05 -10 -2.60 0 7.05 10 7.05 0 -10 -2.60 0
Introducción al Análisis
139 r = a(l + eos (p) (a > 0) (Cardioide)
Desarrollo
<P 0° 15° U> o 0 45°
0Ov© 75°
R 2a 1.97a 1.87a 1:71a 1.5a 1.26a
«P 90° 105° 120° 135°
OO
165°
r a 0.74a 0.5a 0.29a 0.1 a 0.03a
<P 180° 195° 210° 225° 240° 255° 270°
r 0 0.3a 0 .1a 0.29a 0.5a 0.74a a
9 285° 300° 315° 330° 345° 360°
r 1.26a 1.5a 1.71a 1.87a 1.97a 2a
Eduardo Espinoza Ramos
140 2 2 r = a
<p 0° 15° W Oo 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165°
r a a\¡3
J2
a
V2
0 3 3 3 3 3 3 3 3
eos 2(p (a > 0) (Lemniscata)
Desarrollo
Introducción al Análisis
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIO DADAS EN FORMA PARAM ÉTRICA
141 x = t3, y = t2 (parábola Neil)
Desarrollo
t X y0 0 0
1 1 1
-1 -1 1
2 8 4-2 -8 4
142 x = 1 0 co s t, y = sen t (elipse)
Desarrollo
.r. 2 Xx = 10 eos t => eos t = ----100
y = sen t => sen2t = y 2
eos2 1 + sen2t = —— i-y2 de donde + y2 = 1 (elipse) 100 ' 100 ' 1
78 Eduardo Espinoza Ramos
143
144
x = lOcos3 i , y -1 Osen11 (astroide)
Desarrollo
jx = lOcos3/
[y = 10 sen't
3 x eos t = ---103 ysen' t = — 10
2 2. x ^ ,y .
2 X
eos t - (---) 310
sen~t = (— ) 3 10
sen~t + eos t = (— ) 3 + (— ) 3 de donde 10 10
2 22 2
1 —(— )3 -h(— ) 3 =» jc3 + y 3 = 103 10 10
x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t - 1 eos t) (desarrollo del circulo)
Desarrollo
x - a(cos t + tsent)
y = a(sent-t eos t)
= eos2 1 + 2t eos t sent + 12 sen21
- = sen2t — 2t eos tsent + 12 eos21 a2
—r + ~ r — \ + t2 => x 2 + y2 = a 2( l + t2) a a
( x - a(eos t + tsent) envolvente (desarrollo de la circunferencia <
[y = a(sent - t eos t)
Introducción al Análisis
145 x - ■at
1 + /.3 ’y =
Desarrollo
atx ~ -----7
1 + /3
at2
l + r a
t x a atLuego: - = —
l + r at x y
Como: x =at
1 + í3X =
ax3 y
1 +x(x3 + y 3)
146 x = y =
Desarrollo
80 Eduardo Espinoza Ramos
x =V Ü 7 y =
at
s f íT ?
t 0 ± 1 ± 2 ± 3
X a a a a
V io
y 0 + a + 2 a + 3 a& ~ V 5 V io
147
148
x = 2 ' + 2 y = 2 ' - 2 ' (rama de una hipérbola)
Desarrollo
t 0 1 -1 2 -2X 2 5 5 17 17
2 4 4y 0 3 3 15 15
2 2 4 4
jc = 2cos2 /; y = 2sen2t (segmento de recta)
Desarrollo
Jjc = 2 c o s T
[ y = 2sen2t
x 2— = eos t2y 2— = s e n t 2
- + — = sen2t + e o s 21 => —+ — = 1 => x + y = 22 2 2 2
Introducción al Análisis
Desarrollo
t 0 1 -1 2 -2 3 -3X 0 0 -2 -2 -6 -6 -12
y 0 0 2 -4 12 -18 27
150 x = a(2cosí - eos' 21), y = a(2 sen t - sen 2t)
Desarrollo
t 0 K n
4 2
X a a j 2 a
y 0 a \ l2 2a
CONSTRUIR LA GRAFICA DE LAS FUNCIONES DADAS EN FC IM PLÍC ITA
151 x 2 + y2 = 25 (circunferencia)
Desarrollo
82 Eduardo Espinoza Ramos
152 xy = 12 (hipérbola)
Desarrollo
X y± 1 ± 12
± 2 ± 6
±3 + 4±4 ±3± 6 ± 20 OO
153 y 2 = 2 x (parábola)
Desarrollo
X y0 0
1 ± i
22 ± 2
9 ±32
8 ± 4
154 —— t-— = 1 (elipse) 100 64
Desarrollo
Introducción al Análisis
155
y = O, x = ± 10
x = O, y = ± 8
y 2 = x 2(100- x 2)
Sea w = y 2, z - x 2
Desarrollo
y ¿ = l O O x - x * => w = 100z-zz =» w = - ( z ¿ -lOOz)
completando cuadrado se tiene: vv - 2500 = - (z + 25)2 => V(-25,250(
2 2 2
156 jf3 + ^ 3 = a 3 (astroide)
x = 0 , y = ± a
y = 0 , x = ± a
Desarrollo
84 Eduardo Espinoza Ramos
157 x + y = 10 log yDesarrollo
Para y > 0, log y está definida:
x = 10 log y - y, aquí damos valores arbitrarios para y donde y > 0.
X -i-1 0 1 o g 2 - i
10 log 2 - 2
y i 1
2
2
158 x = eos yDesarrollo
x2 =cosy => y = arccosx2
t arcig-159 sjx + y - e * (espiral logarítmico)
Desarrollo
x - r cos0(—)2 = eos2 6
Introducción al Análisis
tgO = — => 6 = arclg — x x
n Y arclg-Como y¡x + y = e x
r = e0 en coordenadas polares
160 x 3 + y3 - 3xy = 0 (folio de Descartes)
Desarrollo
Pasando a coordenadas polares se tiene: x = r eos 0 , y = r sen 0
r 3 eos3 9 + r 3sen30 - 3 r 2sen9cosO =0
r3 eos3 6 + r 3sen36 = 3r2sendeos6
3sen6 eos 6r = ----t- ----— r-
cos 9 + sen 9
161 Hallar la formula de transición de al escala de celsio (C) a la de Fahrenhei
si se conoce que 0°C corresponde a 32°F y 100°C a 212°F- Construir la gr
de la función obtenida.
Desarrollo
Para 0°C => 32°F
100°C => 212°F => (0,32), (100,212)í
Sea F = me + k => 32 '= m(0) + k ^ k = 32
212 = lOOm + 32 => lOOm = 212 - 32 => 100m = 180 => m=1.8
86 Eduardo Espinosa Ramos
f = 1.8c+ 32
162 En un triángulo, cuya base es b = 10 y su altura h = 6, esta inscrito un
rectángulo. Expresar la superficie de dicho rectángulo y como función de x.
Construir la gráfica de esta función y hallar su valor máximo.
h
Desarrollo
La figura dada en el problema ubicaremos de la forma siguiente:
Area del rectángulo Y es: Y = Bx
También en el área del rectángulo “y” se puede expresar:
... (1)
bh , , . , . J , ZB t x (h -B ) Á B ( b - x - Z ) y = - - ( \ + A ,+ A 3) donde = ~ ^ ----- A3 = ------ ------
bh 1Luego y = — - —(ZB + x h - xB + B b - B x - BZ)
Introducción al Análisis
bh 1y = -------- (xh -2Bx + Bb) como b=10, h = 6 se tiene:
2 2
y = 3 0 - — (6x -2Bx + l0B)
de (1) se tiene B = — , reemplazando (2) se tiene: x
y = 3 0 -—(6 .í-2y + ^ ) , de donde y = 0.6(10 - x)2 x
como y = 0.6x(10-x) => y = -0.6jc + 6x => y -13 = -0.6(jc-5 ) '
La gráfica de la función es:
El valor máximo es cuando x = 5, max y = 13
164 Resolver la ecuación: 2x~ - 5x + 2 = 0
Desarrollo
2x 2 - 5 x + 2 = 0 =$ x2- —jc+1 = 0 x2- - x = - l
completando cuadrados se tiene:
2 5 25 , 2 5 x — x + — = - l + -
2 16 16, 5,2 9 , , , 1( x — ) —— de donde x ,~ —, x,
4 16 1 2 "
88 Eduardo Espinoza Ramos
165 Resolver el sistema de ecuación: xy = 10, x + y = 7
Desarrollo
Como x + y = 7 => y = 7 - x , además: xy = 10 => x(7 - x) = 10
7 x - x 2 -10 = 0 => x 2 -7 x + 10 = 0 => (x - 2)(x - 5) = 0,
de donde se tiene: x, = 2, x2 = 5
1.3. LIMITES.-
LIM ITES DE UNA SUCESION.-
E1 número “a” recibe el nombre de limite de la sucesión x j,x2,...,x„,..., es
decir: l im x „= a <=> V e > 0, 3 N > 0 / \xn - a |<£ V n > Nn—
LIM ITE DE UNA FUNCIÓN.-
lim / (x ) = A <=> V e > 0, 3 8 > 0 tal que: |f(x) - A| < e para 0 < |x - a| < 6x —>a
LIM ITES LATERALES.-
Si x < a y x -4 a, escribiremos convencionalmente x - » a - 0, de la misma
manera si x > a y x —* a, escribiremos x => a + 0 y a los números
f ( a - 0) = lim f ( x ) y f ( a + 0) = lim f { x ) se llaman limites laterales porx—>fl—0 x —>a+Q
la izquierda y por la derecha en el punto “a” respectivamente. Para que exista
lim / (x ) es necesario y suficiente que se cumple la igualdad f(a- 0) = f(a+ 0) !x -* a
Introducción al Análisis
PROPIEDADES DE LIM ITES
Si existen los lim / ,(* ) y lim f 2 (x ) . Entonces se tiene:x —>a x —*a
1 lim (/ i (x ) ± f 2( jc)) = lim /, (jc) ± lim f 2(x )x -* a x—*a x—>a
2 lim /,( x ) . f 2(x ) = lim / ,( jt). lim f 2(x )x~>a x — x -* a
f ( x \ Vimf i (x )3 lim —---- = ------- donde lim / i ( jc) * 0
x->a f 2 (x ) lim f 2(x)J:->«
NOTA: Los limites siguientes se usa continuamente.
lim SenX = 1 y lim (l + — Y = lim (l+ a )“ = ex-»0 X Jr-»~ X a -* o
166 Demostrar que, si n —> el limite de la sucesión 1,— es i4 9 V
cero. ¿Para qué valores de n se cumple la desigualdad — < e (siendcn~
número positivo arbitrario)?. Efectuar el cálculo numérico para:
a) e = 0.1 b) e = 0.01 c) e = 0.001
Desarrollo
Probaremos que lim — = 2, es decir:n-»o° n -
dado un e>0 , 3 N = ?/|-Í--0|<£ V n > Nn
| - i.- °| = | -L | = -L < £ => n2 > —, n > J Í = N n1 n2 n2 e Ve
90 Eduardo Espinoza Ramos
lim -^ = 0 o V e > 0 , 3 N n2
A r - 0 ¡ < £ Vn2
por lo tanto la desigualdad < e se cumple V n > J —n V s
a) Para e = 0.1 se tiene w = TÍO => n >4'í 0.1
b) Para e = 0.01 se tiene n > . l— - = 100.01
c) Para e = 0.001 se tiene n > J ———■ = -71000 => n>32V 0.001
167 Demostrar que el limite de la sucesión: x = -----•, (n - 1,2,...), cuando« + 1
n —> oo es igual a 1. ¿Para qué valores de m > N se cumple la desigualdad
| xn — 11< e (siendo e un número positivo)?.
Hallar N para a) e = 0.1 b) e = 0.01 c ) e = 0.001
Desarrollo
lim xn = lim —— = 1 es por demostrar.n—><*» / ! —»'>3 W + l
Dado e> 0 , 3 N = ?/ | jc „ - l| < e ,V n > N
|jc — 11=| ——— 1|=|— — 1=—L < e => /I + i > i => n > ——l = N n + 1 n + 1 n + 1 £ e
Introducción al Análisis
Luego: lim — = 1 <=* V e > 0, 3 N = — -1 «-*— n +1 e
I X I C f V Ȓ A/i + l e
a) Para e = 0.1, = - - 1 = 9e
b) Para e = 0.01, N = 1 -1 = 99£
c) Para e = 0.001, W = i - 1 = 999£
168 Demostrar que lim x 2 = 4. ¿Gómo elegir para el número positivo dado ir-*2número positivo 8 de modo que de la desigualdad ¡x — 2| < 8 se deduzc
Xdesigualdad | x - 4 1< £ . Calcular 8, para:
a) e = 0.1 b) e = 0.01 c) e = 0.001
Desarrollo
lim x 2 =4 <=> V e > 0 , 3 8 > 0 / \x2 -4|<ex—*2
Siempre que 0 < |x - 2| < 8
1 j c 2 - 4 |<|(.r + 2)(x - 2)\=\x + 2\\x — 2\< £
Sea |x - 2| < 1 => -1 < x-2 <3 => l < x < 3 => 3< x+2 <5 =* |x + 2| <
Luego: |jc2 —4|=|jc + 2|!jc — 2|<5|jc — 2|<e- => | x-21<-^ = <5
92 Eduardo Espinoza Ramos
Luego es suficiente tomar S = — (e < 1)
E 1a) Para £ = 0.1 se tiene 5 = — = - = 0.2
5 5
b) Para e = 0.01 se tiene 8 = — = = 0.025 5
f 0 001c) Para e = 0.001 se tiene 8 = — = —---- = 0.002
5 5
169 Dilucidar el sentido exacto de las notaciones convencionales:
a) lim ln**-»o‘
b) lim 2X = +°°X —><»
c) lim f ( x ) = oo
Desarrollo
i‘ Y
/ y = log x
/ lim logx = -«/ x->0
-L
0 X
170 Hallar los limites de las sucesiones:
2 3 4 n
. . 2 4 6 2nb) —.............-
1 3 5 2w + l
d) 0.2, 023, 0.233, 0.2333,
Desarrollo
Introducción al Análisis
( - 1)"-1 1a) Sea xn = -------- , entonceá: Si n es par lim xn = lim — = 0
n n - * o o n—>°° n
Si n es impar lim xn = lim 1 = 0« —»<*> /i—»«> fi
Luego lim xn = l im (- l)n = 0m—»«*> n
. . „ 2n 2n 2 2b) Sea x„ = -------, entonces: lim --------= lim ----- - = ------= 1
2 n + 1 n— 2n + 1 ^ 1 2 + 0
n
c) o. = V2 = 22
___ ¿ i +j_a2 = y [Ü 2 = 22.24 = 22+4
i i i í i ir ■ ■■ ------- l l i l I i
a3 = V2V2Ñ/2 = 22.24'.2* = 22+4+8
1 1 1 1—I—rH—r+4.,H—-a = 22 2’ 2 r
1 , 1 1 1, ,<l+,-+p-+"+T^)Luego an = 22 2 2 2 ... (1
, 1 1 1 ., , . 1 entonces 1 + —+ — + ... + -^r¡- es una progresión geométrica r = ^ ' yri<N<N 2n~\
1 ~ ( { r= 2(1- 4 )
2"i - i2
es igual a: ------— = 2(1----- ) ... (2
-.2(1--!L) !_-L.Reemplazando (2) en (1) tenemos: an = 2 2 2 = 2 2"
Como para hallar la suma de una sucesión es suficiente calcular el j limite del término n-esimo cuando n —» es decir:
lim an = lim 2 2” = 21-0 = 2n— n—»<*>
d) 0.2, 0.23, 0.233, 0.2333, 0.2333...3, ... el término n-esimo es
xn =0.23333...3
x„ = 0.2 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + ...0.000...3
94 Eduardo Espinoza Ramos
„ , 3 3 3 3xn — 0.2 + (----- 1-------- 1————h...H--------—)
100 1000 10000 100" - '
X = 0.2 H----- (1 H------1---“ + ...H------ -)100 10 lo 2 10,M
1 l - ( — )" 7 10(1----í—)xn = 0.2 + -— - (.....10— ) = o ,2 + ---- .------= 0.2 + — (1--------------- )
100 J__L 100 9 30 10"10
lim = lim [0.2 + — (1— —)] = 0.2 + — = — = — «-x*, 11 „_>„L 30 ion 30 30 30
H A LLA R LOS LIM ITES:
, . . 1 2 3 n - 1.171 hm(— + — + — + ...h----—)
n->~ n n n n
Desarrollo
Se conoce: l + 2 + 3 + ... + n - l = — (n -1 )2
Introducción al Análisis
1 2 3 n -1 1 + 2 +3 + ... + (n-1 ) lim (— + — + — + ... + —— ) = lim ------------ -— -----i
n n n n~ n"
i - illm íl< íz l> = ,im ü _ ^ = lim « - 1- 0 . 1
n - » o o /j2 n->~ 2n n->°° 2 2 2
172 lim ( í l l X » + 2X » + 3)
Desarrollo
lim = 1¡m (« i x £ + 2 )< ;+3 )«-> oo 7 «-*» n n n
= lim (1 + - )(1 + - )(1 + - ) = (1+ 0)(1 + 0)(1 + 0) = n n n
173 lim (l + 3 + 5 + 7 + ... + (2 n - l ) _2n + l ) n-»~ n +1 2
Desarrollo
Se conoce que l + 3 + 5 + ... + (2 n - l ) = n2
174 lim
1 + 3 +5 + 7 +... + (2n — 1) 2n + l n2 2n + llim (--------------------------------------- ) = lim (--------------- )«-»■» n +1 2 «-»— n +1 2
' 2n2 -2 n 2 - 3 n - l 3n + l 3 + ñ 3 + 0 = lim --------------------- = - lim --------= - lim -----= -----------
2(n + l) «-+~ 2n + 2 " ->°°2 + 2 + 0n
» + ( - ! ) "n->~ « - ( - 1)”
Desarrollo
96
175
176
Eduardo Espinoza Ramos
Si n es par se tiene:
Si n es impar se tiene:
Luego: hm-----------n - ( - l ) n
2',+l +3n+llim -------------
2" + 3”
H + 1 1 + „ 1 + 0 , lim ----- = lim ------ = ----- = 1n—>oo n — 1 n— 1 1 — 0
i - I, «~ 1 , n 1~ ° , lim — = hm----— = -----= 1n->~ ll + l «->=■> 1 1 + 0
= 1
Desarrollo
2n+I + 3,,+l 2.2” +3.3" . . . . . . ,lim -------------= lim -------------- , dividiendo entre 3w-*o„ 2” + 3" 2” +3rt
= 1¡m^ ! = M ±2 = 3n_>“ (—1" +1 ^ + ^
3
, . , 1 1 1 1 .lim (— i----1— ---- )«->” 2 4 8 2n
Desarrollo
Usando la suma de una progresión geométrica: S = cl . cr , donde a es el1 - r
primer término y r la razón.
i _ i ( V1 1 1 1 2 2 2 , A r . Luego: - + - + - + ... + — = —— — = l - ( - ) n2 4 8 2" j _ i 2
\
Introducción al Análisis
lim ( 7 + 7 + I + -• + 4 r) = lim (1 - ( ! ) " ) = 1- 0 = 12 4 8 2 n'>“ 2
1 1 1 ( - 1)177 lim [1 - - + — — — + ...+ - — ]
3 9 27 3
Desarrollo
De acuerdo al ejercicio anterior ‘ e tiene:
, 1 . 1 I . 3 - 3<4 >"1-----1----------H... H-------■— = ----------- = --------------3 9 27 3 1 + 1 4
3
, 1 1 1 (-1 )" '1, 3 _ 3 (_ 3)n 3 -3(0) 3lim fl— + --------+ ... + -— - r - ] = hm---------— = ----- — = -n_,oo 3 9 27 3" «->«• 4 4 4
, _0 l2 + 22 +32+...+n2178 lim -----
n3Desarrollo
1 + 2 + 3 + ... + n = —(n + l )(2n + l)6
I2 +22 +32 + ... + /12 n(n + l)(2n + l) lim ------------ ------------= hm---------- --------
n «-*« 6 n
= l im l (— ) ( ^ ± 1) = i- lim (1 + —)(2 + —) = — (1 + 0 X 2 + 0 ) = — «-»“ 6 n n 6 «-*» n n 6 3
179 üm(\fñ+\ -y fñ )rt—>00
Desarrollo
98 Eduardo Espinoza Ramos
180
18 1
.. , r "77 v (*v/« + l - >/«X>/w+~l + >/n) lim (v« + l ~ v « ) = lim -j = — ~ n->~ «->«> Vn + 1+ V «
n + l-n 1 1hm ..— j= = lim —= = — j= = — = O
vn + 1 + v « n~>°°yjn + l+yjn 00
l ¡ m = ^ n-»~ n2+ l
Desarrollo
V n e Z + , -1 < sen (n!) < 1, como — — > 0n~ +1
n nsen(n!) n Entonces: — -— < — ------ <
n2 +1 n2 +1 n2 +1
• n ^ nsen(nl) nhm — 5----< hm — ------ < lim —-----«-*» n +1 n +1 »-*“ « +1
OS lim ¡ 2 ? ^ S O *d o n d e Üm í í 2 i í l 5 = 0 n_>“ n~+l ■/!->•» « -+ 1
Para hallar limite de la razón de dos polinomios enteros respecto a x, cuando
x —> se divide los dos términos de la razón por x " , donde n es la mayor
potencia de estos polinomios.
También en muchos casos se emplea este procedimiento cuando se trata de
fracciones que contienen expresiones irracionales.
Ct + 1)2limx2 +1
Desarrollo
Introducción al Análisis
. (a + 1) “ x2 + 2jc+1 lim —------= lim ----- -------- dividimos entre
„ _ > < » + 1 x¿ + i
2 J_i- x x2 1 + 0 + 0 = lim ------- = ---------------= 1n->°° 1 + 0
X2
.. 1000*182 lim —-----
x -1Desarrollo
1000* * . lim — -----= 1000 lim — — , dividiendo entre
n — >oo | n —>oo _ j.
= 1000 Hm — í — = 1000(— ) = 01 1 - 0
x2
183 limx2 - 5 x + l
n->~ 3jc + 7
Desarrollo
Dividiendo entre ,r2 tenemos:
5 J_jc2 - 5 ; c+ 1 JC + jr2 1 - 0 + 0 1
hm------------ = hm — — = — ——- = —«->“ 3 x + l n->~ 0 + 0 0
* x2
2 x 2 — x + 3184 lim
«-►“ x — 8 a + 5Desarrollo
Dividiendo entre a 3 se tiene:
100 Eduardo Espinoza Ramos
,im = lim = , o = o„_>oo r3 _ g Jt _J_ 5 n->oo |__8 ( 5 1 -0 + 0 1
2 3JC JC
185 lim Í £ ± ^ ) ^ L Í L Jt + 5
Desarrollo
(2x + 3 )\ 3 x -2 ) 2 72jt5-204;c4 -562.v3-26 Lr-174 ;t + 9hm-----------------— - = hm--------------- ------ --------------------------
je + 5 x + 5
204 562 261 174 9
,im x x 2 x 3 x4 V ._ 7 2 - 0 - 0 - 0 - 0 + 0 _ ?2n—><*> | 5 1+0
7
1C, r 2x2 - 3 x - 4186 lim ----=====—
yjx4 + 1Desarrollo
Dividiendo entre x2 el numerador y denominador se tiene:
3 4
lim 2^ 4 = |im 2 - i _ i ^ 2 - 0 - 0 = 2
yjx4+ 1 n ~ r r v í+ ó
2jc + 3187 hm
Desarrollo
Dividiendo el numerador y denominador entre x se tiene:
Introducción al Análisis
32x + 3 v 2 + 0 „
lim —--—J= - lim -----==r - ------ = 2
1 + 3/---Hx2
x2188 lim
] 0 + Xy/xDesarrollo
Dividiendo el numerador y denoi unador entre x 2 se tiene:
* 2 1 1 lim -------- =- = lim --------=r = — = oon-*~10 + xyjx 10 ÍT 0io IT
7 + t x
2 + ln—>°° x + l
Desarrollo
Dividiendo el numerador y denominador entre x se tiene:
t l s V i vlim ---------= hm
1 1
* + jc3 _ VóTó = o = 0«-»“ JC + 1 n->” j + 1 1+0 1
190 limn—o
\Jx + \lx+ Jx
Desarrollo
Dividiendo entre \fx al denominador y numerador se tiene:
102 Eduardo Espinoza Ramos
Cuando P(x) y Q(x) son polinomios enteros y además P(a) * 0 o Q (x )*0 , él
P (x ) A . P(x)------ es decir lim------Q(x) x->« Q(x)P (x ) ^(-^)
limite cuando x —> a de ------ es decir lim ------ se encuentra
P (x )directamente. Cuando P(a) = Q(a) = 0, se simplifica la fracción Por e*
binomio (x- a), una o varias veces.
191 limx3 +1
x -> -\ x " +1
Desarrollo
x3+ l ( - 1)3 + 1 -1 + 1 0 „ lim z = -----t— = ------ = - = 0*-*-«jt2 + l ( - 1)2 +1 1 + 1
i- x - 5 * + 10192 lim---- ---------*->5 x — 25
Desarrollo
x2- 5 x + 10 52 - 5 (5 ) +10 0 + 10 10 hm..... . ......... = ------ --------- = --------= — = oo
x -2 5 (5 ) - 2 5 0 0
193 limx2- l
x->-i x2 +3x + 2Desarrollo
lim = lim lim ^ = ± ± = -2+3x + 2 *-»-»(*+ !)(•*+ 2) x->-\x-2 -1 + 2
x2 - 7 x194 lim —----------
x~*2x -4 x + 4Desarrollo
t
Introducción al Análisis
' x~ — 2x jc( jc- 2 ) 2 1lim —----------- = h m ---------------- = lim-------= — = oox - * 2 x 2 - 4 x + 4 * - » - 2 ( j C - 2 ) ( j C — 2 ) * - > 2 j c ~ 2 0
jc3 — 3 jc + 2195 lim
jc4 - 4 jc + 3Desarrollo
x3 - 3 x + 2 (x + 2 )(jc -1 )2 jc+2 3 1lim— -------------= lim— ------------------- — - = lim—-------------- ----- = -
jc — 4jc + 3 •»-»i (jc +2jc + 3 )(jc -1 ) x~*l x + 2 x + 3 6 2
x 2 ~ ( a + l ) x + a196 hm-
3 3 *->“ x - aDesarrollo
x —(a + l ) x + a jc - a jc - jc + a jc(jc— l ) - a ( x - l ) hm------------ ------ = hm------------ -- = hm------- ----- -------x -> a x - a x - ,a x - a x~ *a x - a
( j c - a ) ( x - l ) jc — 1 a - 1: h m ------------------------ — = hm —------------ = — —x~*a (x — a)(x + ax + £?**) x~>“ x +ax + a 3a
,97h-> 0 h
Desarrollo
(x + /i)3 - x 3 x 3 + 3 x 2h + 3xh2 + h 3 - X 3h m -----------------= lim ------------------------------------A-> 0 h h-*0 h
3jc h + 3xh~+lr 2 , 2 - . 2= hm — --------------- — = hm(3jc +3xh + h ) = 3x~
o h a-»o
198 lim(—-----*- »> 1 - x 1 - jc3
’ Desarrollo
104 Eduardo Espinoza Ramos
V / 1 3 , Xr lim(------------- - ) = lim-----x ->\ l - x 1 — JC x ->\ i
x 2 - x + \ - 3 .. x 2 + x - 2 = lim-
- JC-3 *-»« 1 — JC3
(jc + 2 ) ( j c - 1 ) x + 2 3= lim----------------- — = - lim --------- - = - - = -1
*-»• (1 - x ) ( l + jc + x ) *-> i1 + jc + jc 3
199 limyf x— 1
Jt-»l X — 1
Desarrollo
Sea x - y 2 => \[x = y , además cuando x —> 1, y —» 1, luego tenemos:
4 x - \ y - 1 y -1 1 1 hm------- -- lim—-— = hm---------------= hm------ = —jc—»i x-\ y-»i v -*l y-*1 (y —i )(y +1) y -*!y+ l 2
i- V* - 8200 lim —7=----x -,6 4 1 ¡X -A
Desarrollo
Seajc = y 6 => \[x = y2 a Ifx = y2
Cuando x - » 64, y —> 2, luego tenemos:
y[x—& y3- 8 (y - 2 ) (y 2 +2y + 4) lim - 7=---- = lim = - l im ---------------------------*->64 4 y^2 y - 4 y->2 (y —2)(y + 2)
y2 + 2y + 4 4 + 4 + 4 ,= hm ------- ------= -----------= 3
y->2 y + 2 4
201 lim ^E - 1
Desarrollo
Seajc = y 12 => \¡x = y4 a ifx = y3
Introducción al Análisis
Cuando x —» 1, y —» 1, luego tenemos:
V x - l , / - l (v 2 - l ) ( y 2 + l)lim- 7=— = lim-ir----= lim --------x-*i>Jx -l — 1 > -> i(y -l)(y + y + l)
_ üm (y + 1) (y2 + 1} _ (2)(2) „ 4
y-*i y2 + >’ + l 3 3
202 l i m ^ L i ^ l i* - * i ( jc — l ) 2
Desarrollo
l I 7 - 2 l f c + \ ( V I - 1)2lim----------- ----- = lim---------—*->< ( * - l ) 2 Gx-l) 2
Sea x = _v3 => ifx = y cuando x —» 1, y —>
y [7 - 2 l f ¿ + \ (V ^ - l ) 2 ( v —l )2lim----------- ----- = lim--------- = lim ^ r— ^x -> i ( jc — 1 ) *-*!■ ( jc — 1 ) y ~ > i ( y - 1 ) '
( y - i ) 2 i i-lim------- -— ---------- - = lim — ---------- — = —y-> i(y - l ) : (y + y + \)~ y-*i(y2 + y + 1) 9i!
203 lim L J jL JL x~*i x - 49
Desarrollo
1, luego tenemos:
„ . .. Jt~8204 hm
106 Eduardo Espinoza Ramos
^ r x - 2Desarrollo
Sea x ~ y :' =» ifx = y cuando x - » 8, y - » 2, luego tenemos:
limtt=—- = lim ( -V 2)(>" + 2:.' + l ) = lim (y2 + 2y + 4) = 4 + 4 + 4 = 12x- m <Jx - 2 y-»2 y - 2 y-*2
jc-*> Vjc -1Desarrollo
Sea x = y (> => 71 = .y3 a sfx = y2
Cuando x -> 1, y -+ 1, luego tenemos:
sjx- 1 y3- l (y - lX y ^ + y + l) y2 + y + l 3hm -j=— = hm — = lim ~ ----- ----- i----- = hm----------— = -
— l ,v-»l y — 1 y-*i (y — lXy + 1) y-*1 y + 1 2
.. 3 — y¡5 + X206 hm
■*-* 1 - V5-.VDesarrollo
.. 3 — \¡5 + x . (3 — V5 + x)(3 + \¡5 + ,v)(l + \j5 — x)hm----- ------= lim--------,----- -------7= = ------- 1*-*> 1 -^ 5 -a* *-** (1 - n/5 + x )(1 + n/5 + x )(3+ V5 + * )
g| .[n ,9 . 5 - >> ltN g r i , = ||m(4 - .vX, ^ ) = - i . n|i± ^
x-»4 (l - 5 + ,x)(3+ v5 + x ) a-^4 ( jc-4 X 3 + V 5 + x ) ^->43 +%/5 + x
Introducción al Análisis
207*->0 X
Desarrollo
'J l + X —'J l — X (\/l + X - \ ¡ l - x ) ( - j l + X + \ j l - x )hm----------------- = lim-------------- ----------
x X~*0 x(yjl + x + y j l - x )
. 1 + jf — 1 + j: 2 2= lim -7= ----p==r = hm —¡ = ----= = = ---- = 1
*-*0vl + * + x / I - j c Vi + jc + VI - x 1 + 1
->no i- 'Jx + h - -x/x 208 lim -h-*0 h
Desarrollo
y/x+h-yfx (y¡X + h - yfx)(yjX + h + yfx)hm-------------- = lim------------ • -------- ¡=--------A-*° h A-* 0 h(y¡x + h+y[x)
(x + h ) - x 1hm---- ;■■■ ■ ----= - = hm -
209 lim
h >°h(\lx + h + yfx) h y f x + h+yfx y/x + 0 + \fx
U T + h - l f ch-> o h
Desarrollo
yjx+h -y fx (\Jx + h - i fx ) (^ l (x + h)2 + lx{x + h)+yfx2) lim-------------- - hm------------—¡r ■■■--------- ■■ y — = --------h ° h h ° h tf j (x+h )2 + l jx (x + h )+ l j x 2)
x + h - x 1 = lim---- ;--------------------------- ==r- = lim
h-*°h (íj(x + h)2 + $Jx(x+h) + tfe2) h ° t ¡ (x + h)2 + l ]x (x + h )+ l j
_____________1_____________ 1________ 1
yJ(x + 0)~ + yjx(x + 0) + yfx2 yfx2 + yfx2 + yfx2 3 yfx2
108 Eduardo Espinoza Ramos
yfx2 - 2 x + 6 - v x 2 + 2 x - 6210 lim-------------------------------—
*->3 x -4 x + 3Desarrollo
y ]x2 - 2 x + 6 - \¡x2 +'.2 x - 6
(>/x2 -2x+-6 - + y [x2 ^ - 2 x - 6 )
'J x 2 — 2x + 6 + \[x2 + 2x - 6
( x 2 - 2 x + 6 ) - ( x 2 + 2 x - 6 ) -4 x + 12
\[x2^ 2 x + 6 + yJ^ + 2 x - 6 yjx2 - 2 x + 6 + tJx2 + 2 x - 6
yjx2 - 2x + 6 - V x 2 + 2x - 6 = ,......- ... ...= L------ 5\¡x2 - 2 x + 5 + V-*2 + 2x - 6
yjx2 - 2x + 6 - \lx2 + 2x — 6 hm——*->3 x2 - 4 x + 3
—4 (x —3)hmA_>3 (x - 3)(x- 1 ) ( V j c 2 - 2x + 6 + y j x 2 + 2 x - 6 )
-4= hm
J[“ >3 ( x - 1) ( a/x 2 - 2 x + 6 + V x2 + 2 x - 6 )
________________ -4 ______________ -4 _ 4 _ 1
(3 - l ) (> / 9 -6 + 6 + V 9 + 6 - 6 ) 2(3 + 3) 12 3
211 lim ( y j x + ü —yfx)X —>+oc,
Desarrollo
/------ /—. ( y j x + a — yfx) ( -J X + ü + yfx)hm ( y j x + a - y / x ) = hm ------------ =====— = ----------
■*->+•» yjx + a + yjx
Introducción al Análisis
_ ,.m x + a - x _ a a n
Jx + a + J x ~ - ~
212 lim (yjx(x + a ) - yfx)X —>4-«>
Desarrollo
lim lim ( ’I X i + r t - i K M " * ) * * )*->+“ AT-»+~ yjx(x + a) + X
x ( x + a ) - x 2 ax a a= hm f-------------- = hm ■:---------- — = hm ^— = —*->4~ yjx(x + a ) + x <->+“ y]x(x + a) + x *-»+- L + a h ¡ 2
213 hm ( J x 2 - 5 x + 6 - x )X - > + o o
Desarrollo
r / l~T~Z 7 s (V* 2 - 5X + 6 - x)(VX2 - 5x + 6+ x ) lim (\lx - 5 x + 6 - x ) - hm ---------------= = = = . ------------------
I_*+“ yjx2 - 5jc + 6 + jc
x 2 ~-5x + 6 - x 2 -5jc + 6 = lim ,--------- = ---- = hm
x~i+~ J x 2 - 5 x + 6 + x X y j x 2 - 5 x + 6 + x
6x -5 + 0= lim --y-.;.-— A
214 hm x i ' Jx2 +1 - x )
r , ¡~2 7 s i- X(\lx2 +1 - x ) ( J x 2 +1 lim jc(V jc +1 -J t) = iim —.................- ---------
*~*+~ ylx2 + 1 + Jt
x-*+°° f. 5 ( f , 7 l - 0 + 0 + l 2'1----+ -^r + l
X X
Desarrollo
+ jc)
110 Eduardo Espinoza Ramos
x ( x 2 + \ - x 2) X = hm — =====----- = lim
Jr_*+~ \¡X2 + \ + x x-*+~ J X2 + l + X
, . 1 1 1= lim , — = = = — = —
i 1 , V l+0 + 1 21 + - =- + 1
215 hm ( x + y j l - x 3).V—>+oo
Desarrollo
, t,[, JN (x + y j l - x 3)(x2- x Z j l - x ? + % j ( l -x i ) 2) lim (x + <Jl~x ) - h m ----------------- =====---- -------------------
*->+~ x2
= lim.í3+ 1 - * 3
t2 — x\l 1 - .t3 + y j ( \ - x 3) 2
= lim ---------. 1---- ¡7- - .....- = — = 0x2 - x l j 1 - X3 + V (1 - * 3 ) 2 00
En muchos casos en él calculo de limites se emplea la formula hmx—>0
además se supone que: lim senx = seria y lim eos x = eos ax—*a x—la
„ .. serve216 a) lim
jc—>2 JC
Desarrollo
se/uc sen 2 hm----- = ------Jt—>2 JC
sen*b) lim -----
senje ,— = i . y
X
Introducción al Análisis
Desarrollo
1 SCtlXSe conoce que ~1 < sen x < 1 además: — < ------< —X X X
a a a i- senx . .. 1 _ ^ .. senx ^ _ de donde: lim — < lim ------< lim — => 0 < lim -------< 0X Jt->“ X Jt-*“ X jc— x
217
218
i íe/Ur nlim ------= 0
sen3x hm-------Jc—>0 X
sen5x lim ——t-jc-»o senlx
Desarrollo
sen3x 3sen3x „ lim ------- = lim----------= 3(1) = 3J t—>0 A' J t—>0 3x
Desarrollo
sen5x lim ------- = lim
5sen5x5x
jt—>o sen 2x_ 5(1) _ 5
Ise n lx 2(1) 2 _2x
219 sen(nx) lim----- :-----jt—»o s e n (3 ^ jc )
Desarrollo
seimx
l¡mi£ * I Í > - = l im . " ¡ S "jc—>0 s c h {3 k x) x-*o ^^sen(37tx).)
3nx
7T(1)3tt(1)
112 Eduardo Espinoza Ramos
220 lim (nsen —)n—>°° 11
Desarrollo
lim (nsen —) = lim = 1n— n x—>0 x
. . . .. 1 — eos X221 h m -------—
*“*0 x 2Desarrollo
1-COSJC ( 1 - cosa)(1 + cosjc) l - c o s 2 * h m ----- --— = h m ------------------------------ = lim -x-+0 x 2 •t->° X2(l + COSX) •t- >0 * 2(l + COS.V)
sen2x sen2x 1 , , 1 . 1= hm —-------------= lim .................... = l(— ) = —
(1 + cos a) x" 1 + eos x 1 + 1 2
___ senx - sena222 lim ----------------
x -*a x — aDesarrollo
, x + a „ , x - a . + ^ , x - a .2 cos(------ ).sen(------ ) cos(------ ).se/í(------ )sen x-sen a 2 2 >• 2 2lim ---------------= lim ------------ ------------ -— = h m --------------------- -—
*-»o X — a x->a x — a x -* a x — a
x - a se n (-------)
.. , x + a^ .. 2 a + alim cos(------ ). hm -------- -— = eos — — (1) = eos ax-*a 2 x~a jQ x a 2
Introducción al Análisis
223
224
cos.v-cosa lim ---------------x—*a x - a
Desarrollo
. ,* + <a , x - a . eos x - eos a = -2sen(------ ).sen(------ )
. , x + a. , x - a .—2 sen(------ ).sen(------ )co sx -co s a ? ?h m --------------- = lim ------------~......... ....... -—x -HI x — a x->a x — a
,x + a , x - a -sen (-~ -) .sen (—- ~ ) = Vim----------2------------ 2_
x—ya X — a
. x - a .sen(------ )x + a 2= - lim sen(------ ). lim -------- -—x-*a 2 x—la X — a
= -sen (—-— = -sena
l im M ÍÍ*-*-2 X + 2
Desarrollo
lim = lim ^ . s ea y = x + 2, cuando x -» -2, y —» 0x —>—2 X + 2 x+2—>0 X + 2
,im J í2 i L ,im 2 M = limS Í Z ± 3 )x —*-2 x + 2 x+2->0 x+ 2 y
tgny + tg2n tgn y + tg 2n
lim ‘ -“ W ' » 2» = l im B < Z ± y lim ■ f . 'W - '» * * - = | im ' M Iy—>0 y y--»0 y y~> 0 y >>-->0 y
Eduardo Espinoza Ramos
= Um J S S 1 L = ,¡m £ £ £ ? £ ! .< _ L _ , = „ „ < „ = „y->0 yco sn y y->0 Jty eos 71 y
sen (x + h) - senxlim ------------------------a-* o h
Desarrollo
,2 x + h s ,x + h - x .sen (x + h ) - s e n x = 2cos(---------).sen(------------ )
2 2
y2 x + /r , x + h - x ., , 2cos(---------) .s e n ------------ )íí7 i(x + t t ) - s e n x 2 2
h m ................. ...............= lim ------------- -------------------------a-> o h /«—»o h
, 2^ * , ” 4 ' > + » , , . j” <!)= lim cos(------- - ) . — = lim co s(--------•). lim — -—/.—><) 2 « />->o 2 /í—*o /i
2x + 0= COS(---------)(1) = COS JT
2
senx - eos xl i m ------- ---------
1-fg*4
Desarrollo
senx - eos x s e n x - cosxlim ---------------= lim ----------------
K 1 — tsx K . senxx -* — 1 & *-»— 1 _______4 4 1 COSX
cos xisenx — eos a*) .. - cos x(senx-cos x)= lim ----------------------- = lim --------------------------
x-+l eos x - senx senx - cos x
Introducción al Análisis
227 a) lim xsen —jt-»0 x
Desarrollo
1 .. 1 .. senz um xsen — = lim — senz = lim — — jt-»0 x z
Pero -1 < sen z < 1, además — — < Sen~ < —, de dondez z z
lim = lim — = 0 , por lo tanio lim —— = 0z —>°° v z —>°° Z ~—°° Z
v 1 senz n lim xsen — = ln n ------= 0x—>0 x z
1b) lim xsenx
Desarrollo
Sea y = —, cuándo x —» <», y -> 0 x
lim xsen(—) = lim = ]a: y->o y
228 lim(l - x)tg —x - »i 2
Desarrollo
„ . Jtx . . . TTjr _ nxhm(l-A:)?g — = -lim (.x -l)fg — = - lim (jc — 1 ) t g —jc->1 2 jr—>1 2 jc-1-»0 2
Sea y = x - 1, cuando x —» 1, y —> 0
116 Eduardo Espinoza Ramos
229
,■ , , n x ,■ , ,s K x ■■ lim(l -x ) tg — - = - lim (* - l) /g — .i—»i 2 -í i - ->o 2
-lim y tg ^ - (}>+l) =.v—»o 2
- lim
, n y K. y sen{— + —) 2 2
y->o ti y n . cosí—— — ) 2 2
limy—>0
n y k k tí .y (sen eos — + eos — sen -) 2 2 2
7ty n n \ neos — . eos----sen - .sen —2 2 2 2
V - limy-» 0
Tíy0 + eos — )
0 - íe n 7T.y= lim
ycos(^y)
v—»o ny sen{——) 2
cos-Tty
limv->0 s e n ( ~ ) K 2
2 7vy_2
2 _ cos(0) _ 1Tí
- ( 1) - 2 2
2TC
lim cig2x.ctg(— - x ) jt-»o 2
Desarrollo
X C,£ctg (— - -V) = -/gx => c/g (2 x) = — -------2 2cígx
7 47T . C t2 “X — 1= lim ctg2x.ctg{---- a) = lim ------------.(-rgA)
*-»o 2 j(->o 2rtgjc
= lim (cíg2* - l)/g: A' = — lim(l - tg 2x) = " ( 1- 0) = “2 j:->0 2 JT->0 2 2
1 - sen(—)230 lim --------- 2_
n - x
Introducción al Análisis
Desarrollo
l - s e n ( —) l- s e « (—) lim --------- — - lim --------- —x-> n K — X x -n -* 0 U — X
Sea y = x - n => x = y + 7t, además cuando x —> n, y —>0
l - s e n ( - ) l~sen(— 1 -s e n (—--— ) lim --------- — = lim --------- — - iimjT-«r n —x *-!r->0 tc — x y->o n — y
, y n y n y1-sen — .eos---- eos - .sen — 1-c o s —= - lim -------— ------- -------- =------ 2- = _ ijm -----2
y->0 y v->0 y
V V ?(1- c o s —)(1 +eos—) 1-co s7 9 = - lim ---------------------- — = - lim -
2. ,, „ mi - i - * - 3 *
3
v-»o . y . y->o)>(l + cos—) y(l + cos
y y sm sen = (------ X ------— ) = = -^ (0 ) = 0
» l+cosi 2 1 + 1 22
Desarrollo
l - 2 cos.x l - 2 cosj¡-lim ------------= lim -------------x-JL n - ' i x n - 3 x
3 3
Sea y - x ~ — => x = y + — . Cuando x — => y -> 03 3 3
118 Eduardo Espinoza Ramos
l - 2 cosx l - 2 cosx * 2 cos(y+ ) lim — ---- - = lim ------------ = lim
JE n - 3 x n - 3 x ?->o _ „ , ?r,3 J
l - 2 cos(y + —) . l - 2(cosy.cos---- seny.sen—): lim - ...-............ •*- = — lim ----------------—----------------—y-*o 3 y 3 >-»o y
1 * 2(c°s J seny) 1-c o s y \Í3seny : — hm -— -------= — lim(----------- + - ------- )
3 y-*0 y 3 y-*0 y
' l;r.i- ' ~"V' r 3 >-»o y (l+cosy) y
1 lim[(f f 2 X- f2 2 _ ) + V5 ) ] » - i ( i ( 0 ) +73 )= - - L3 ;y-»o y l + cos;y y 3 V 3
. . . cos mx - COS «X232 hm --------- ---------
*->0 xDesarrollo
m + n „ m — ncos mx - cosnx = - 2 sen{-------)x.sen(------- )x2 2
j n + n.sen(-------)a sen(-------)acosm x-cosnx 1 2 lim --------- ----------- 2 hm --------- ------ .---------------jt->0 x j;->0 A' X
,m + n .sen(-------) , sen(------- )x. . . m + n i m + n 2= - 2 h m -------.----------— .-------.---------------a~>o 2 m + n 2 m ~ n x
Introducción al Análisis
2 2 , m - n . 1 , 2 2 \ -(— - — -) = - ( « -m ) 2 2
.. tgx-senx233 lim —— ------x->0 x 3
Desarrollo
senx - senxtgx-senx rosx .• >ve«.v(l - c o s a ) lim —— ------= lim - --■■■■ ------ = lim ------------------x —>0 x x—>0 x x—>0 x
¿ 'í7 z a ( 1 - c o s a ) ( 1 + c o s a ) .vmv(l - eos2 a )= lim ---------- ----------------------- = lim — ------------------
x (1 + eos x) *-*o x (l + eos x)
senx.sen x senx 3 l 3 1 1= lim —------ — — = lim (-------) (------------) = (1) (— ) = -
a ( I + cosa) *-»o x 1 *f eos x 1 + 1 2
234 limx->0
aresenx
Desarrollo
Sea z = aresen x => x = sen z ; cuando x —> 0, entonces z 0
.. aresenx z 1 1 . lim ----- — = lim ------= lim -jc—>0 z->o senz senz 1
235 lim arctg( 2x)í-»o sen(3x)
Desarrollo
lim arctg( 2x)arctgdx) arctglx
lim--t—>o senCix) v->0 sen(ix) ,. sen3x lim --------
_t-»0 x
120 Eduardo Espinoza Ramos
Calculando lim Se”- X- = 3Jf->0 x
a r c te l x _ „ 1lim -----2— = 2 , donde z = arctg2x => x - —tgzx->o x 2
a rc tg lx z . . . z »hm -----2— = lim — - = 2 lim — »= 2Jt-*0 X z->0 tgz z-»0 tgZ
T
sen3.r ar c tg lxLuego, lim------- = 3; lim----------- = 2 . ..(2)jt-*o jc *->o x
arctg(2x)í/rc/j?(2jc)
Reemplazando (2) en (1) se tiene: lim----- ——— = limjí—>o sen(3x) -«->0 sert(3x)
x
236 lim l - * 2*->1 sen (n x )
Desarrollo
I - a -2 (1-jrXl + x)lim---------- = hm ----------------x —>i sen(7cx) sen (n x )
Sea z = x - 1 => x = z + 1 ; Cuando x —» 1 => z -> 0, luego:
\ - x 2 (I-JCXI+JC) (1-Z-1X1 + Z + 1)lim -.....— = lim --------- ------- = l im ---------------------------x-*i sen (n x ) x-i-*o sen (n x ) z->o se n n (z + 1)
= -lim-------z(2± -z)------z-»o sen n z eos n + se n n .c o s n z
z(2 + z) 2 + z 2 + 0 2= - lim ----------= lim — —-— - --------= —¿->o —se n n z ;-»o Tcsen(nz) tt(1) n
n z
U> | t
o
Introducción al Análisis
237 I im x - Senax)x + sen(3x)
Desarrollo
, sen(2x) , ^ sen(2x)x - s e n (2 x ) x ~ 2x 1 - 2 1hm --------- — - = hm -------- ^ — = hm --------- —— = ----- = —x->0 x + sen(3x) « o . , sen{3x) x->o, sen(3x) 1 + 3 41 H-----------1 + J-
3xn xcos(— )
238 lim -—— 2l — \[x
Desarrollo
cos(— ) (l + Vx)cos(— ) (1 + yfx)cos(— )0--------------------------------O "J hm -------t=-— lim ------- j= = hm — --------------- —*->! \ - \ ¡ X *-l->0 (l_V x)(l + yfx) *-l-*0 1-X
Sea z = x — 1 => x = z + l ; Cuando x —» 1, entonces z —» 0
cos(— ) (l + V*)cos(— ) (1 +>/z + l)C0S“ ( j + l)hm ------ lim --------------------------— = lim ------------ ------~ -.......—jr->1 1 - y j x JT—1—*0 1 — X z—>0 — z
, , , I “ T w 71Z 71Z 71 (l + Vz + l)(cos------sen - . s e n —)- - lim -
z-»02 2
xz
(1 + y¡Z +1 )(0 - sen — ) ___ -sen(— )■ - lim------------------------- — = - lim(! + Vz+T)(-------- -—)
z— >0
f K Z \sen{— ) ___ •: lim(l + y f l + l ) -------2 - . - = (1 + Vo+T)(l)(—) = 2(—) = jtz-»o tí 2 2 2
2
122 Eduardo Espinoza Ramos
2 3 ,*-»o j:2
Desarrollo
1 - Veos A' ( 1 - Vcosx)(l +Vcosx) 1 -c o s x lim ------ ------= lim -------- --------,------ ------- = lim -*->o x2 ,t->n x 2(l + ^ s x ) x2(l +Vcosx)
(1- cosa)(1+eosx) 1 -eos" x lim —-------■== ------------- = lim-*->0 x 2 (1 + Veos a- )(1 + eos x) x 2 (1 + Veos i )(1 + eos x)
sen2x ,senx^ 1= lim —-------p = ---- --------- = lim(——-)
x2(l + Veosx)(l +cos a ) i'->° x (1 + Veos x)(l + eos x)
1 1= (!)(■
(1 + VT)(1 + 1) (2)(2) 4
. . . \[\ + senx —VI — senx 240 lim ---------------------------x—>0 .V
Desarrollo
■ Vi + serve - Vi - senx (Vi + senx — Vi - senx)( J 1 + senx + Vi - senx)lim -------------------------------------------------------------- = lim — --------- — -------- — j = r — y : - ;= — z = -----------------------------------
x x->o A(Vl + senx + sj\- senx)
1------------+ senx - (1- senx) 2 senx = lim ---- , ---- r-------- = lim -x —>0 (Vi + senx + Vi — senx) x(\¡\ + senx + Vi — senx)
= 2(l)(—,---- --~-i----- ) = 2¿ ) = 1V i+ o + v i—o ^
Para hallar los limites de la forma: lim t^(x)]v' <JI> = c ... (a)
se debe tener presente:
Introducción al Análisis
241
242
1 Si existen los limites finitos: lim<p(;c) = A; lim = B , entoix —>a x-*a
c = a b
2 Si lim (p(x) = A & 1 y lim y/(x) = ±°° , en este caso él limite de (ax—>a x —>a
halla directamente.
3 Sí lim (p(x) = 1 ; lim y/(x) = °° , se supone que <p(x) = 1 + ot(x), dex —>a x —>a
a(x) —> 0 , cuando x —> a y por consiguiente:
irrírUnir'í lima(x).w(jc) lim[<p(x)~l]y/(x)
C - lim[(l) + a(jc) c**] 9 = e™ = e*->°x-*a
Siendo e = 2.718... él número de NEPER.
2 + x . j flim(------ )x->o 3 - x
Desarrollo
, . 2 + x 2cp(x) = — => lim <p{x) = — * 1 3 - x *->o 3
,2 + X . x ,2 + X .U m x 2SQLuego lim(------ ) = hm(------ )‘~*° = (—) =1
x->o 3 - x *->o 3 - x 3
u m ( 4 — r +]x —lDesarrollo
lim(4 _L)«-> = lim(-----— -----)*+1 = lim(— )x+lx->\ x 2 - \ x ^ l (JC-1)(JC + 1) x-»l JC + 1
124 Eduardo Espinoza Ramos
1 —243 l¡m (-y)*+l
Desarrollo
2 x 2x | J lira—— -lim (—r-)-r+l = ( lim — )'—x+l = (0 ) ' = 0
x x “
244 lim('í - senx
. ,jc - 2 j c + 3 v—Jt-*® x -3 * + 2
Desarrollo
9 _ _ senx o _ _ se/u: _ _ _ _x2 - 2 x + 3 — x2 - 2 x + 3 '™— , 0 - 0 + 3 , 3lim(—-----------) * = (lim —-----------)"° * = ( = -
*->o x2 - 3 x +2 í -*ox2 - 3 x + 2 0 - 0 + 2 2
•y2 + 2 )-2 2x2 +1
245 lim — )x
Desarrollo
, X 2 +2 ^ 2 /-* + 2 lim/ 1 _ lim(— -— )x = ( lim = ( - ) = 0*-** 2x +1 2x +1 2
246 lim (1 -1 )"«—><>«» A?
Desarrollo
lim (1- 1 )" = lim(l + - ! ) n =[(1 + — )-n](- 1) = e - ’ = 1n —>°° /? n— Yl t i C
247 lim (1 + —)*A
Desarrollo
2 2 - lim(l + —)* = lim[(l + —)2]2 =é’2*->«» A' JC
Introducción al Análisis
248 lim(— )**-»“ X + l
Desarrollo
. JT+l - X -JtX —1 --- (--- ) lim--- ,lun (------) = lim[(lH------- )-* ] *+l = e ~ x+l = e =*->“ x + l *-*<» x + l
* ~ K , +2249 lim (------ )x + 3
Desarrollo
rJf- lvjr+2 _ x+2 ......... ~4JT-4-3
lim(------)x+~ = lim(l + ------ )x+¿ = limf(l + —— ) ~4*-*“ x + 3 *-*«■ x + 3 Jt->~ x+ 3
.. -4(x+2)lim-------- ._ ~ jc+3 - e~*
Desarrollo
lim (1 + - ) " = [ lim (1 + - ) * f = exn— n n—»<■= n
251 limíl + jenx)*x->0
Desarrollo
1 senx senxhm-lim(l + senx)* = Iimj(l + senx)senx ] * =e'~° x = e
x—>o
252 a) lim (eos x)*x —>0
Desarrollo
- 4 ( a ~+2 )
I j r + 3
126 Eduardo Espinoza Ran
Como lim \í í ( x ) = 1, donde vj/(x) = eos x, entonces.t—>o
\j/(x) = 1 + a(x), donde a(x) —> 0 , cuando x —> 0 es decir:
y(x) = 1 + (eos x - 1)
1 cosx-I
limaos*)-* = lim[l + (cos.r-l)] •* = lim[[l + (c o s x -1)] cos* '] *x-+Q x —>0 a —►()
COSA—I l~ C O S Xlim------ -lim - -limsenx senx
= e - ( lx 5 ) „o
b) lim(cos.t)A"x-*0
Desarrollo
Análogo al caso anterior se tiene:
1 CO S.Y -1
lim(cosx)-r = lim[l + (cosA —l)]x = lim([l + ( c o s x - l) ] cosr-1) *x —>0 x —>0 x —>0
.. cos.r-1 lim- -lim-_ e >-o X* _ e «-** (1+cos x) _ e 2 _
Te
253 lim [ln(2x +1) — ln(x + 2)]
Desarrollo
lim[ln(2 jt + l) - ln (x + 2)]= lim ln(x + 2
.. 2x + l , ,2 + 0 . _ = ln( lim -— —) = ln(------ ) = ln 2
1 + 0
Introducción al Análisis
254 lim 'OS»1* 10*)x->0 X
Desarrollo
lim *°g(1 + 10-v) _ |jm j0g j + iojc)-* = [log lim(l + lO*)* ]>0 X X~>0 x—*0
255 lim - lnx —*0 X VI — JC
1= Iog[lim((l -t- 10jc)10jr ]10 = loge10 = 101og<?
x—>0
Desarrollo
1 l¡ + x 1 ,1 + jc,^ .. 1 , ,1 + j: .- 1 . 1 + jc - lim —l n ------= lim —ln(-------)2 = lim —ln(------)* = —ln[lim(------)*x->0 x \ 1 - x x-+0 x 1 - x JC—>o 2 1 — JC 2 x—>o 1 — JC
i I1 , r r , 0 + , 1 1 , rT. ,(1 + * ) ' , 1 , r lÍ'S a + J = —ln[lim(-------- -)] = —ln[lim(-------= - l n -----------2 jt->o I 2 x~*o i 2
(1—*)* (1-.*)* lim (l-.*x~>0
= —ln(-^-) = —lne = lne = le~2 v 1: 2
256 lim jc[ln(jc + 1) — ln jc]
Desarrollo
X~\~ 1lim 41nQt+1) - ln jc] = lim xln(----- )X—*°° X— X
= lim ln(l + — Y = ln( lim (1 + — )x) = ln e = 1r->°o x *-»«*> x
128 Eduardo Espinoza Ramos
257 l t a í * £ ? í >*->0 X
Desarrollo
lim n<c° s = Hm ln(cos jc)*2 = [lnOimícosx)*' )]x —>0 x x —>0 x —>0
y de acuerdo al ejercicio 152 b se tiene
lim nfc° S A - lntlimCcosx)*2 ] = lne 2 = --^-lne =x—>0 x jt—>0 2 2
ex -1258 lim -------
*->o xDesarrollo
Sea y = ex - 1 =* ex = y + 1 => x = ln (l+ y ).
cuando x —> 0 entonces y —» 0
ex - l y 1 1 1 1 ,hm — = lim ---------- = hm —------------ = hm ------------ — = ---- = - = 1*-*o x y-*oln(l+v) y—>o 1 . . . . . v-+o I lne 1
- ln(1 + ^ ln(l+ y)y
259 lim ----- -*-»o x
Desarrollo
x , ln(a + l) „ _Sea a - a - 1 => x = -—-— —. Cuando x —> 0, entonces a —> 0lna
ax - 1 a lna lna lna ,hm — — = lim ——------ = hm —------------ = h m ------------ — - -—- = ln a-V—>0 jc a-»oln(l + or) a-»o 1 . . a-»o _L Ine
' !„ a — ln ( l+ a ) in( i+ a ) «
Introducción al Análisis
260 lim « (í¡ /a -l) , k > 0n —
Desarrollo
Sea y = — n = — . Cuando n —> entonces y -» 0n y
1 *" CL 1lim n(yfa - 1) = lim — (ay -1 ) = lim ------- de acuerdo al ejercicio 259
n—>°° y—>0 y v—>0 y
I— £7^—1 lim n(\Ja - 1) = lim ------- = lna/i— y—>0 y
e“x - ebx261 lim-
X->0 *Desarrollo
J ) X
lim-x —>0
(e — 1) —(e - 1) eM -1 = lim ----------------------- = lim-------x —*i) -t-*0 X
- limx -»0
e6jr -1
= limj:->0
(ear - 1 (eb)-
y de acuerdo al ejercicio 259 se tiene:
e T - e f " (ea)x - 1 ( « V - l lim -----------= lim --------------lim -----------jt-*0 A jr—>o x *->o x
= lne° - l n e b = a ¡ n e - b ln e = a - b
262 limx->o íe/tv
Desarrollo
130 Eduardo Espinoza Ramos
ex1 - e~x ex - \ e*hm -------- = hm --------- = hm — -------
jt->o senx *->o exsenx e* senx
1 — £de acuerdo al ejercicio 258 se tiene: hm -------- = hm
j£-»o senx *->o
. . . . senhx263 a) hm --<->() X
Desarrollo
C — é?Se conoce que senhx ----------
senhx 1 ex - e x I elx -1hm ------- = — hm ----------- = — hm ---------jt->o x 2 *—>0 x 2 a—>o xex
de acuerdo al ejercicio 259 se tiene:
senhx 1 (e~ )x - 1 1 1 2 1 1lim ------- = — hm -—------ (— ) =•—lne (— ) = —.v—*o x 2 x-*o x ex 2 e 2
coshA- 1 b) hm -----------x->0 x "
Desarrollo
Se conoce que cosh x = e- -+ e ■
— £-------= --------- = ]ex senx e°(i)
X
(2 ln é?) = 1
Introducción al Análisis
264
265
1 ,. ex +e~x - 2 1 ,. el x - 2 e x +l 1 ,. (ex - l ) 2= — lim------- -------= — lim -----------------= — lim — r------2 »o x 2 x->o X~ex 2 *->o x ex
a , im(£ i i i )2. ±2 x—*o x ex
1 , 1 1de acuerdo al ejercicio 258 se tiene: = —(1)“ —2 e 2
HALLAR LOS SIGUIENTES LIMITES LATERALES.
a) lim X
Desarrollo
lim —t = ¿ = = lim —¡ r = lim , - = - ix-*— yJx2 + 1 x^ - ~ J x 2 +l x^~° (1 + J _
b) lim■y/.x2 +1
Desarrollo
1 1lim . x - = lim 'x..— = lim . ^ = 1
x-*+"yJx2 + 1 Vx2 + 1 1 + J _ Vl + O
a) lim tghx
Desarrollo
tghx =Jt e2A - l
e *+<r* e2r + l
132 Eduardo Espinoza Ramos
266
267
b)
lim tghx = limX — »— oo X ~ ) ~ o ° £
lim tglix
eZx- [ 0 -1= -1
+ 1 0 + 1
Desarrollo
lim tghx= lime2x- l
*-*+~ e2x +\
1-= lim *2* _ í - ° =1
1 + 1 + 02x
a)
b)
lim
\ + ex
lim1
limX—
2l + ex
1
\ + e x
lim -X —» + ~
1
a) lim
\ + ex
ln(l + e't)
Desarrollo
1 + e 1 + 1 1 + 0
i ]+ e+
Desarrollo
Desarrollo
lim *EÍLt£_2 _ ¡jm in(l + e^)x =ln[ lim (1 + e'1)AJ
1 ex !im —= ln( lim [(1 + e*)e ] •*) = ln(e'“ ' J - l n e = lnl = 0
Introducción al Análisis
,, .. ln(l+«x) b) lim -----------
Desarrollo
Análogo al ejercicio (a) es decir:
,n,U i> í, ln<rJI(l + -i-) lne*+ln(l + -!~) ln(l+e ) ex e* lim ----------- = lim ------------^— = lim ---------------- -—
x *-»+—
;dne + ln (l+ — ) iX J —
= lim -------------------— = lim lne + ln(ln-----)■*X — *+~ x gX
v .• I I268 a) lim*—>o x
Desarrollo
i t a l i í ü í l . l t a - Ü E . - ix >0' x x-><r x
|í« u r | b) lim ---------Jc—>0* X
Desarrollo
\s e n x \ senx , lim --------1 = lim ------= 1x-»0* X Jt—»o* x
269 a) lim - í —í- Jt— | jc — 11
Desarrollo
lim ——í- = lim — —— = lim -1 = -1 *->r|jc—1 | jt-*r — ( x —1) Jt-»r
134 Eduardo Espinoza Ramos
b) Km*->r | x - l |Desarrollo
lim —— = lim ——- = lim 1 = 1*->r jc-1 *-> fjc-l x->r
270 a) iimX — 2
b) limx-tz~ x - 2
a) limx-+2~ X - 2
b) limJC—>2' X - 2
Desarrollo
CONSTRUIR LA GRAFICA DE LAS FUNCIONES
271 v = lim (eos2" x)
Desarrollo
y = lim (eos2” x) = lim (eos2 x)"n —> oo
Sí x re, k = 0,±1 ,±2..... eos2 x < 1 entonces >’ = lim (eos2 .t)" = 0 => y = (1
Sí x = kn , eos2 x = 1 entonces y = lim (eos2 -r)" =1 => y = 1n—>oo
Introducción al Análisis
272
Desarrollo
X XSí 0 < x < 1 => lim jc„ = 0 Luego: y = lim ------- = ——
n—»*» 1 -f. x*1 1 + 0y = x
Cuando x = 1 => y = lim —— => y = — «->-1 + 1 2
Cuando x > 1 => y = lim —:— = limr/l-l
"“♦“ I+jc" 1 | | 0 + 1y = o
Resumiendo y = •
x si 0 < jc < 1
1 ,— SI X = 120 si x > 1
273 y = lim \lx2 + a 2a-+0
Desarrollo
y = lim \lx2 + a 2 = \¡x2 + 0 =| jc| => y = |re—>0
Eduardo Espinazo Ramos
274
2'
lim arctg (nx)/I—>°°
Desarrollo
Sí x < 0 => lim arctg (nx) = arctg( - 00) = -
Sí x = 0 => lim arctg(nx) = 0 =i> y = 0n—*°©
Sí x > 0 => lim arctg(nx) = arctg(°°) = —n—>00 2
K
27 y = lim yjl + x" , (x > 0)
Desarrollo
Sí 0 < x < l => 0 < .v" < 1 => 1 < 1 + jc" < 2
lim 1 < lim yjl + x" < lim 2”n—> 00 n — n—»«»
y = lim yjl + x" = 1 => y = 1
7T7
Y
?r"2
Sí x > 1 => y = Yim yjl+x" = x => y = x 0
fl si 0 <A-<1 Resumiendo: y =
si * > 1
Convertir en ordinaria la siguiente función periódica mixta: a = 0.13555...
Desarrollo
tx
Introducción al Análisis
277 ¿Qué ocurrirá con las raíces de la ecuación cuadrada ax2 + bx + c = 0 . : coeficiente “a” tiende a cero y los coeficientes “b” y “c” son constantes, sic b * 0?
Desarrollo
2 . - b ± \¡b2 -4ac.ax + bx + c = 0 => x — -2a
_ -b + \/b~ - 4 ac .. -b + yjb' - 4 ac Para a-, = ------------------- => lim a, = lim -------------------2a «“>0 a-*o 2a
(—b + 'Jb2 -4ac)(b + \[b2 —4ac) b2 - 4 a c - b 2lim a , = lim ------------------- ------------------- — = lim - ........................
“-*0 2a(b + yjb2 -4 a c ) a^ ° 2a(b + - 4 a c )
—2 ac c= lima-*°a(b. + \lb2 -4 a c ) h
Luego cuando a -> 0, a , —»b
-b - \ lb ~ - 4 ac -b-yjb~ -4 a c Para x-, --------------------- => lim x = lim -------------------
2a o-»o * o->o 2a
(b + J b 2 - 4 ac)(b-\¡b2- 4 ac) 4acl i m A , = - l i m -------------------------- ■■■ ........... .................. = lu l l -fl_*0 - a_>o 2a(b-yjb2 -4ac) a~M}2a(b+y]b2-4ac) 0
Luego cuando a - » 0, a 2 — » — OO
278 Hallar él limite del ángulo interno de un polígono regular de n lados sí n —> °°
Desarrollo
138 Eduardo Espinoza Ramos
279
La suma de los ángulos internos de un polígono regular de n lados es:
S¡ - K(_n - 2)
SComo nos piden él limite de un ángulo interno cuando n - > » es decir: i = —
n
. / r ( / í - 2) Tt(n-2)Osea: i = ---------- => lim i = lim ---------- = nf t >°o //—» ° ° / j
Hallar él limite de los perímetros de los polinomios regulares de n lados inscritos en una circunferencia de radio R y de los circunscritos a su alrededor, sí n —» oo.
Desarrollo
TíPara el caso de los polinomios inscritos se tiene: 2Rnsen —
11
Luego lim 2Rnsen— para calcular este limite haremos nn
Luego cuando n —» oo, x —¥ 0 tenemos:
Entonces: lim 2Rnsen — = lim — senitx = 2Rn hm seuKx. - 2Rn11-+°° n «—»«> x x —>°° t c x
Para el caso de los polinomios circunscritos se tiene: IRntg —n
Luego hm 2Rn tg — haciendo n = — . n —>■», x —>0 n-^~ n x
hm 2Rn tg — = 2R lim — tgnx = 2Rk hm - - - -- = 2Rn n->°° li Jt—>o n x
Introducción al Análisis
280 Hallar él limite de la suma de las longitudes de las ordenadas de la c
y = e_*cos nx trazadas en los puntos x = 0 ,1,2 ,....n, s i n —»°°
Desarrollo
Para x = 0,1,2,..,,n los valores de y = e"x cosnx son:
1_ _1____ 1 _1____1_’ « V e3 ' + e4 ’ e ? " “
Sea = 1 - 1 + 1 — L + - L - l + ... + (- 1)"_L + ... e e~ e e e e
es la suma de una progresión geométrica.
Además Sn = — ——- donde “a” es el primer tennino y r es la razón.1- r
r a ( l - r " ) 1Luego: Sn = ----------- donde r = -
1- r e
S„ ----------------— r" reemplazando se tiene: 5 ' = —í—— — —
1" r l ~ r 1 + 1 1 + 1 ee e
S„ - lim S„ = —1— - 0 = —— lim 5„ = e
281 Hallar él limite de las áreas de los cuadrados construidos sobre las ordena de la curva y - 2l~x como bases, donde x = 1,2,3,...,n, con la condición que n —> °°.
Desarrollo
140 Eduardo Espinoza Ramos
El área de cada uno de los cuadrados son:
1 2 — 3 — 4 — 5 — 22 ’ 22 ’ 23 ’ 24 2" +1
o , 2 3 4 nS =1 + —+ — + -T -+ , ,. . ,— ----2 2 2 2 - 1
- / I 2 3 4S = 2(---b ——H— —“ +...--- ) — 2/í(—)2 2 2 2 2" 2
J.
lim 5„ = lim 2.«(-)" = 2(— ^ — ) = 4n —>oo / I—>oo 2 ^ A . 2
~ 2
282 Hallar él limite, cuando n -> °°, del perímetro de la línea quebrada j M 0, M „ inscrita en la espiral logarítmica r = e~(p si los vértices de esta ;
TCquebrada tienen, respectivamente, los ángulos polares. (p0 = 0 , , '■
nn 9" - 2
Desarrollo
Teniendo en cuenta la magnitud del ejercicio daremos algunas reflexiones j iniciales:
Introducción al Análisis
a) En la espiral r = e 9 , r es un radio vector, V valor de <p.
b) La quebrada inscrita en la espiral significa que a cada vértic corresponde un vector.
c) Cada segmento de al quebrada esta obviamente entre 2 vén consecutivos.
d) Cada segmento es el lado de un triángulo cuyos otros dos lados son radios vectores correspondientes a estos vértices consecutivos. Entoi
se aplica la formula: c 2 = a 2 + b 2 - lab eos 6
e) A cada vértice M k le corresponde un radio vector
f) El k-ésimo segmento de la quebrada S k esta comprendida entre
radios vectores rt _, y rk , los cuales forman el k-ésimo: (<pk - <pk_t )
g) Calcularemos el k-ésimo segmento S k :
rk =e Vt donde ipk . .(1)
... (2)
Simplificando los exponentes y efectuando operaciones
\e-k* ¿ ' + e - kK-2e-**e* e o s -K
2
... (3)
142 Eduardo Espinoza Ramos
h) Calculo del perímetro de al quebrada finita: M 0, M „
n n
ekK¿=i *=i
e* +1(4)
P „ = ^ S k = ^ I ( ± + - ¿ . + 4 r + ... + -4 r+ .. .) - ( 5 )3>r wr*=1 ^2 e 2
_ Je* +1 „ 1 1 1 />„ = --------- .(1 + — + + ... + -----+ ...)w 7T 7T 27T H7T
e 2 e 2 e 2
Pero la suma de una progresión geométrica. Sn r *1 —r
7T/1
2 ar e2 e 2 —1 e 2 —1
i) calculo del perímetro llevando él limite para n —> °°
d r d i- ^ e>C + 1 / i ? •, V e” + 1 , nP =lxm P , = lim ----------(1 -e 2 ) = ---------- (1 -0)2 £ e 2 —1 e 2 —1
p = y ^ + 'K_
e 2 - 1
Introducción al Análisis 1
1.4. INFINITÉSIMOS EINFINITOS.-
u) INFINITÉSIMOS.- Si lima(jc) = 0 es decir: Si | <x(x) | < e cuarx-*a
0 < |x - a| < 5(e), la función a(x) se llama infinitésiicuando x —> a, en forma similar se determina la función infinitésima a( cuando x —» OO
OBSERVACION.- La suma y el producto de un número limitado infinitésimo, cuando x -» a, es también un infinitésin
cuando x —» a.
ct(jc)Si a(x) y p(x) son infinitésimos, cuando x —> a y lim ------ = c donde c es/í ( x )
número distinto a cero las funciones a(x) y (3(x) reciben el nombre infinitésimos de un mismo orden, si c = 0 , se dice que la función a(x) es i infinitésima de orden superior respecto a f$(x). La función a(x) se denom
Ct(jt)infinitésima de orden n respecto a la función B(x), sí: lim ----------= c , dor[p (x ) ]n
cc(x)0 < | c | < +°°; Si lim ------ = 1 las funciones a(x) y |J(x) se lian
x -* a fí{x)
equivalentes cuando x -» a: a(x) ~ (3(x).
Él limite de la razón de dos infinitésimos no se altera, si los términos de misma se sustituyen por otros, cuyos valores respectivos sean equivalentes,
acuerdo con este teorema, al hallar él limite de la fracción: hm , dorx->a P(x)
a(x) —> 0 y P(x) —> 0 cuando x —> a, el numerador y denominador de fracción pueden restársele (o sumársele) infinitésimos de orden super elegidos de tal forma, que las cantidades resultantes sean equivalentes a anteriores.
144 Eduardo Espinoza Ramos
b) INFINITOS.- Si para un número cualquiera N, tan grande como se dese^, existe tal 8(N) se verifica la desigualdad | f(x) | > N.
La función f(x) recibe el nombre de infinito, cuando x —» a, análogamente f(x se determina como infinito cuando x —>
senx . i288 Demostrar que la función / (x) = ------ en infinitamente pequeña, cuand'
x
x -» oo. ¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad | f(x) | < e?
Si e es un número arbitrario? Hacer los cálculos para
a) e = 0.1 b) e = 0.01 c) e = 0.001
Desarrollo
Por definición se tiene: Si lim a(:t) = 0 o lim a(x) = 0 a(x) se liax —>a .v—>oo
infinitésimo.
senxEs decir que debemos demostrar que lim — — = 0 , pero se conoce que:
*->«*> x
-1 < sen x < 1 => — < < — y además sabemos que:X X X
1 .. senx ^ 1 sen x^ n A A lim — < lim ------< lim — => 0 < lim -------< 0 de donde:X-*oo X X-*oo x x->°° x x-*™ x
senx senx lim ------= 0 => f ( x ) = ------- es infinitamente pequeña. Veremos los valox-*°° x x
i . i /--x senx , senx 0 , i , de x para que | f(x) | < e como f ( x ) = --------=> | -------- 1< | —| < e de don
Introducción al Análisis
a) para e = 0.1 => | x | > 10
b) para e = 0.01 =* | x ¡ > 100
c) para e = 0.001 => | x | > 1000
289 Demostrar que la función f ( x ) = 1 - j t 2 , es infinitamente pequeña cuai x —> 1, ¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad | f(x) | < e.
Si e es un número positivo arbitrario?. Hacer los cálculos numéricos para:
a) e = 0.1 b) e = 0.01 c) e = 0.001
Desarrollo
Para que f(x) sea infinitamente pequeña cuando x —» 1 se debe de demosl
que: es decir lim f ( x ) = lim(l - jt2) = 0 => f(x) es infinitamente pequeJC—»1 X ->1
determinaremos los valores de x para que se cumpla |f(x)| < e
I /(■*) I = | 1- x 2 | = | 1 - x ||1 + x | < £
£ £|x—11 |x+l| < e pero | jc — 11 < ------— de donde | x - 11 < —, puesto que x
a) para e = 0.1 => | x — 1 | < 0.05
b) para e = 0.01 => | x — 1 | < 0.005
2*>0 Demostrar que la función / ( * ) = - - — es infinitamente grande cuando x —>x - 2
¿En qué entorno |x - 2| < 5 se verifica la desigualdad |f(x)| > N.
Si N es un número positivo arbitran >?
Hallar 5, sí a) N = 10 b) N = 1 0 0 c) N=100»
146 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
Se procede en forma similar a los casos anteriores.
Luego: | / ( * ) | > N => | —! —| > W => | * - 2 | < — = 8x - 2 N
a) Sí N = 10 =*> 8 = — = 0.110
b) Sí N = 100 => 5 = — = 0.01100
c) Sí N = 1000 =* 8 = —-— = 0.0011000
291 Determinar el orden infinitesimal:
a) De la superficie de una esfera.
b) Del volumen de la misma, si su radio r es un infinitésimo de la Ira ord( ¿Cuál es el orden infinitesimal del radio y del volumen, respecto al áre esta esfera?
Desarrollo
:
Se conoce que: si y es infinitesimal de orden “n” se escribe y = knx" + <¡>(xíy
de donde — = kn . Luego “n” es el orden infinitesimal.
a) Superficie de la esfera y = 4nr , x = r
_2 _24 nr— 4n => — = 1 =s> r2 — rn
Luego n = 2, la superficie es de segundo orden respecto al radio.
Introducción al Análisis
b) Volumen de la esfera:4n r 4 r 3------ = —tc — = 1 => r =t3rn 3 r"
de donde n = 3, el volumen de la esfera es de tercer orden respe radio. Además tenemos que:
(4/rr-)2— = ((4?r)'T l -? = = = # t e ) ,T
íy(4 n r 2)n
iir" _i - 7
----- - = (4n) => rn - r => n - —4 n r ‘ 2
4n 3 4— r - n 3 _ 3
(4 n r 2)n (4*)"
y /r ."[^ñ «1^7r \ 3 _ _ _■ y 3
y[(4ñr2)n y](4jl)n
r" = r2 de donde n = --o
292 Sea a el ángulo central de un sector circular ABO cuyo radio R tiende a Determinar el orden infinitesimal:
a) De la cuerda AB b) De la flecha del arco
c) Del área del AABD, respecto al infinitésimo a.
O
148 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
aa) En la figura se observa que AB = 2AC además AC = Rsen —
id a a2Rsen— sen — j a---------2- = — => 2. = _ cuando a -> 0 = > ---------->0 de donde
a n 2 a " 2 2
a a a ■ T i „ ,sen — = — => a - a => n = l2 2 a n 2
i Cfb) En la figura se observa que: CD = R( 1 - jl - sen" — ) de donde
R ( \ - A \ - s e n 2 —) —— —9 1 4 /y"— = R(— + , ....C- — -)
a" a " L ■» a1 -se n —
1- . , 2 « 1 1 . 2 ct1-sen — , —— — 1- s e / r — , .
2 1 4 g" _______ 2 . _ i _ J _a" a" 2 a a " 4 a ”,11 - je n —
V 2
sen2-2 1 n 01 n A A A a -------— = — pero sen a —> 0 => sen-----»0 de donde sen(—) ~ — .
a n 4 V 2 2 2
2 « , a 2sen T (T a 2 1
Por lo tanto: -------— = — - ■ = ----- = — => n = 2a" a ” 4 a ” 4
c) Área del AABC = AB.CD = 2 R2 sen —2
Introducción al Análisis
(1 - J l - s e n 2 Entonces:
2R2sen — ( \~ ._____ 2 Vi 2 « , 1 - s e n —)
2 2 R ¿a
8(1 +
a . , , -> a . sen — (1-1 + sen —) .2 2 _ 1
a 8
3 a se n — .____ 2 _ i
a" 8
3 ase n — 3 ,2 « 1 3 n-------— = -----= - => a - a =» n = 3
a" 8a" 8
293 Determinar el orden infinitesimal respecto a x„ cuando x ~»0, de las funcic siguientes:
b) J x + yfx
e) tg x. sen x
Desarrollo
C) yfx* - yfx'
2x
a) Sea /(jc) = —— de donde se tiene que: = — ------ = 21 + JC jc" (l + jc)jcn
2xcuando x —> 0 => x + l —> 1 entonces — = 2 => x" = x => n -
xn
150 Eduardo Espinoza Ramos
b) Sea f ( x ) = \¡x + yfx de donde se tiene que:
^y](x+síx? _ tjx(x + l + 2yfx) _
X X
yfx ~ 1entonces — - = 1 => x" = x 4 => n = —
x" • 4
c) f ( x ) = \ / ? - V ? de donde se tiene que:
5 3cuando x - » 0 , 1 — jc6 —> 1 entonces — = 1 => n -
xn 3
d) f(x) = 1 - eos x de donde se tiene: -— ^ S6n * = 1xn xn
, í, 2 1 2 l - l + sew2* , además v i - s e n x ~ l-sen~x => --------------- = l
cuando x —» 0 se tiene sen2x —* x 2 => — = l => n = 2
e) f(x) = tg x - sen x de donde se tiene:
tgx-senx _ senx 1 - -J\ - sen2x _ x" eos* xn
cuando x —> 0 => Vi - sen2x ~ 1 - sen'x
tg x ( \ - \ + sen x) _ tgx(sen a) _ sen x _ x" xn xn eos x
Introducción al Análisis
x3cuando x —»0, sen x —» x, cos x —» 1 => — = 1 n = 3
294 Demostrar que la longitud de un arco infinitesimal de una circunferenc radio constante, es equivalente a la longitud de la cuerda que tensa.
Desarrollo
Se debe de considerar a(x) = lrngitud del arco infinitesimal y ¡i(x) = Ion
de la cuerda tensa; para que a(x) y P(x) sean equivalentes se debe proba
a(x) ,h m ------ = 1 y esto es inmediato.
fi(x)
295 Son equivalentes un segmento infinitésimo y la semi circunfei infinitésima construida sobre el como diámetro?
Desarrollo
,. OC(x) ' Tt d K 71Se conoce que hm ------ = 1 entonces lim ----- = hm — = —x—>£i y3(x) i/->o 2d d—*o 2 2
Como * 1 no son equivalente.
. . . sen3x.sen5x296 hm —x-to ( x - .r3)2
Desarrollo
sen3x.sen5x senx.sen5x 3sen3x -5sen5x _ , hm --------- — = lim------ ;------ = lim---------- .--------- = 3(1) .5(1) = 15* -> 0 ( x - x 3)2 *->o X 2 ) * -> 0 3x 5x
arcsen(—j—— -)297 lim---------- V i- * 2
x-*o ln(l - x)
152 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
- J L - ) _ LV i- * 2 _
arcsen(-' -x2 .. x 12
lim —— — ——- — = lim — ——- = lim ----- ? ..... - = lim — • = -.1x—>0 lll(l - x ) x - iO - x x~>0 _ XAy i _ x 2 x - * 0 _ yJ ^ _ x 2
298 lirrí Como ln x = x y 1 - x = - x *->i 1 - *
Desarrollo
In.r x lim----- = hm — = -1JC—>1 l — X jt—>1 —A'
299 l im£2H r E ^ Íx->0 1 — COS X
Desarrollo
eos x — cos 2x eos x -e o s 2 x+ serrxhm ----------------- = lim ----------------------------*-*0 1 — COS X x-iO 1 — cos x
cosa( 1 - cosx) + (1 - cosx)('1 + cosa)= lim----------------------------------------------
*->o l - eos X
= lim (cos a + 1 + cos.v) = 3x-*0
300 Demostrar que cuando x —> 0, las magnitudes ~ y •Jl + x - l son equivalentes
entre sí, empleando este resultado, mostrar que, cuando | x | es pequeño, se
verifica la igualdad aproximada >/l + x ~ \ + ~ (1). Aplicando la formula (1)
hallar aproximadamente:
a) VT06 b) V097 c) >/í0 d) VÍ20
Desarrollo
Introducción al Análisis
Para que a(x) = y ¡3(x) = V 1 + x - l sean equivalentes se debe de prc
x.. a(x) , , . 2 1 i- xque: l im—— = l e s decir: lim ———— = —.lim*-»o /}(x) x—>o Vl + x - 1 2 *->o-VÍ + x _ 1
Luego a(x) y fi(x) son equivalente es decir: a(x) - fS(x) de donde:
— = yjl + x - 1 y — +1 = y/l + x es decir V í+ x = 1 + —2 2 2
a) v O ó = Vi + 0.6 »1 + — = 1 + 0.03 => Vl 06=VT+01$=1.032
b) V 0 9 7 = >/l-0 .0 3 = 1 + ^ => VoÍ97 = 1.02962
c) VlO = V I+9 = ^9(1 + 1 ) = 3 f 1 =3(1 + 0.556) = 3.167
301 Demostrar que, cuando x -> 0, se verifican las igualdades aproxima siguiente, con precisión hasta los términos de orden x 2 .
1a) ------= 1 — x b) Va + x ~ a + — , ( a > 0)1 + x 2a
c) (1 + x)" = 1 + nx (n, es un # natural)
d) log (1 + x) = Mx, donde M = log e = 0.4342944 partiendo de e¡ fórmulas calcular aproximadamente.
1 1 1 I—1) — — 2 ) — 3 ) ------ 4 ) V i;
1-0 .2 0.97 105
5) 1.043 6) 0.93 7) log(l.l)
154 Eduardo Espinoza Ramos
302 .
303
Desarrollo1
1 _j_ \r
Para demostrar que — - ~ \ - x se debe probar que: lim —:— = 01 + x *->o 1 - x
1
i ± i = l i m — ,*->0 1 - x *->0 1 - x L
Luego: lim - ---- = lim ——- = 1
En forma similar con los demás ejercicios.
Demostrar que,- cuando x—><*>, la función racional entera
p(x) = a0x n + a \xn~x + a2x n~2 +... + an ( a 0 * 0 ) es una magnitud
infinitésimo, equivalente al término superior a0x n .
Desarrollo
Para que sea equivalente se debe probar que: lim = 1, es decir:*-*“ a0x n
anx" + a, x"~l +ajxn~2 + ... + a„ lim —--------5----------4-------------- — =
“o-1
= lim(l + - ^ - + — + ... + -^ ÍL- ) = 1 + 0 + 0 + ... + 0 = 1 *-»« %x a0x ¿ %xn
Luego P(x) y a0x" son equivalentes.
Supongamos que x —* °o tomando a x como magnitud infinito de 1er orden determinar el orden de crecimiento de las funciones:
5a) jc2 -lOOjt-lOOO b) c) y¡x + yfx
x + 2
d) y j x - 2 x 2
Desarrollo
Introducción al Análisis
De acuerdo al ejercicio 293 se tiene que:
a) el orden de crecimiento2 . b) el orden de crecimiento¿
c) el orden de crecimiento — d) el orden de crecimiento2
1.5. CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES.-
lera. DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD.- La función f(x) es continix — X q ( o en el punto x0 ) s í :
1 Dicha función está determinada en el punto x0 es decir que existe /
2 Existe y es finito él limite lim / (* )
3 Este limite es igual al valor de la función en el punto x0 , es
lim f ( x ) ~ f ( x 0) . . . (1) haciendo la sustitución x = x 0 + Ax0 d,x-*x0
Ax0 -> 0 , se puede escribir la condición (1) de la siguiente forma:
lim A f(x)= lim [ / U 0 + A*0) - / ( * 0)] = 0A0—>0 Axq—>0
Si la función es continua en cada uno de los puntos de un campo determii se dice que es continua en este campo.
•«2do. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.-
Si dice que una función f(x) es discontinua en punto x0 , que pertenei
campo de existencia de la función f(x) tiene finitos:
156 Eduardo Espinoza Ramos
Pero los tres puntos / ( * 0) , f ( x 0 - 0) y f ( x 0 + 0 ) son iguales entre sí,
entonces x 0 recibe el nombre de discontinuidad de Ira. Especie. En particular,
si f ( x 0 - 0) = f ( x 0 + 0) , x0 se llama punto discontinuidad evitable para que
la función f(x) sea continua en el punto x0 , es necesario y suficiente que:
/ ( * o ) = / ( * o ~0) = f ( x 0 + 0 )
304 Demostrar que la función y = x 2 es continua para cualquier valor del argumento x.
Desarrollo
y = f ( x ) = x 2
i) f(x) está definida para todo x e R
ii) 3 lim f ( x ) = xo*-**<>
iii) lim /(jc) = /(jc0) = Xq luego f ( x ) = a 2 es continua en todo valor del
argumento x.
305 Demostrar que la función racional entera p(x) = a0x n + a lx n"1 +... + an es continua para cualquier valor de x.
Desarrollo
i) P(x) está definida V x € R
ii) 3 lim p(x)= lim a0x " + a íx n~] + ... + anX - * X Q X — tXo
iii) lim p(x) = p (xQ) = ü0Xq + 0 , ^ ' ' + ... + anX - Í X q
Luego p(x) = a0x n + a,jc"-1 + ... + an es continua para cualquier valor de x.
Introducción al Análisis
306
307
Demostrar que la función racional fraccionaria.
v a^x" +a,x"~l +... + an _R(x) = -----------!---- ------------ . Es continua para todos los valores cU
b0xm +blx"^+ . . .+ b mexcepción de aquellos que anulan el denominador.
Desarrollo
i) R(x) está definida para todo x e R, a excepción de aquellos valore anulan a b0x m + ¿>, A m_l +... + bn = 0
-i i- r»/ *• anx'1 + a,xn l +... + a +... + a u) 3 lim R(x) = lim -2 ------- ----- ¡--------- - = ------------2-* ^ b 0xm +blxm- l +... + bm b0x ^ + b lx^~l +... + bm
üi) lim R(x) = R(x0) = —^ +—+anV C + V o +•••+*«
luego R(x) es continua a excepción de aquellos valores de x que anuí denominador.
Demostrar que la función y = yfx es continua para x > 0.
Desarrollo
i) y = / (x ) = \fx está definida para x > 0
ii) 3 lim / (a) = J x q donde x0 e [0,+°° >
üi) lim f ( x ) = /(a q ) = yfx^ => y = / ( a ) = -fx es continua V x e [0,+c
308 Demostrar que la función f(x) es continua y no negativo en el intervalo (a,l
función / ( a ) = <Jf(x) también es continua en este intervalo.
Desarrollo
158 Eduardo Espinoza Ramos
309
310
0 / (x) - \J f(x ) está definida que: f(x) > 0 V x e (a,b)
ii) lim /(jc) = I lim / ( jc) = yj f (x0) y] j
¡i» ) lim / ( J C ) = f (Xq) - yj f (x0 ) = » f ( x ) = yj f (x) es continua V x e (a,b)x->*v
Demostrar que la función y = cos x es continua para cualquier valor de x.
Desarrollo
a) f(x) = cosx está definida para: | c o s x | < l , - o o < x < ° °
b) lim f ( x ) = /(jc0) = J f ( x 0) = lim -2 sen (X + ^ V----- ).se>i(2* * fo :) x—»x0 Ax—>0 2 2
A*sen — - . Ay
= lim -------- — „se/j(—----- -)A v= (-1) sen x (0 ) = 0Ar-X) X 2
2
Luego y = cos x es continua en < x < °°
Para qué valores de x serán continuas las funciones:
a) tg x b) ctg x
Desarrollo
a) tg x es discontinua en los puntos donde tg x =
senx , _Como tgx = ------ =$ tg x = <*> cuando cos x = 0
Introducción al Análisis
Cuando x * h n ± — , 0 < | c o s x l < l2
senx , , , , n t g x - ------ donde x * / ú r i
cos* 2
lim tgx= lim tg(x+ A x)- tgx= l im -------------- ------&x—*0 Ax—*0 A x—>0 COS( JC + Ax) COS X
tg x es continua en x * h ± — donde h = 0 , ± 1, ±2 ,...
b) ctg x es discontinua en donde ctg x = °°
eos*como ctgx = -— - = o® <=> sen x = 0
senx
pero sen x = 0 <=>. x = hit, h e Z
lim A.ctgx = lim (ctg (x + Ax) - ctgx) = 0Ax—»0 Ax-»0
entonces ctg x es continua en donde x * hit, h e Z
311 Demostrar que la función y = | x | es continua, construir la gráfica de función.
Desarrollo
y = M =x si x > 0
- x si x < 0
Para que sea continua debe cumplirse:
i) y = | x | está definida en x = 0
ii) 3 lim | x | para esto se tiene lim ¡ x | = lim | x | = 0 => lim 3 1 x |x-*0 x-»0* x-*0~ x-»0
160 Eduardo Espinoza Ramos
312
313
iii) lim | x | = /(O) => 0 = 0x—>0
Por lo tanto es continua V x 6 R
Demostrar que la magnitud absoluta de una función continua es también una función continua.
Desarrollo
Sea f(x) = | f(x) | está definida para todo f(x) y por ser f(x) continua, está también definida para todo x.
Af(x) = | f(x) + Af(x) | - | f(x) |
A /U ) = yl(f(x) + A f(x ))2 - y¡f(x)2
lim A/(*) = lim y¡(f(x) + Af(x))2 - y ¡ f ( x ) 2A f(x)-> 0 /V(jc)—»0
lim 4A *)[2 /(x ) + A/(x)]2 f (x ) + Af(x)
Una función está dada por la formula / ( x) =x — 4--------, cuando x * 2x - 2
A , cuando x = 2
¿Cómo debe elegirse el valor de al función A = f(2), para que la función f(x), completado de está forma sea continua cuando x = 2? Construir la gráfica de : la función y = f(x).
Desarrollo
A = / ( 2 ) = lim x 2 - 4x->2 X — 2 x->2
= l im(jt+2) = 4
Luego A = f(2) = 4 es como debe de elegirse para que sea continua.
Introducción al Análisis
314
315
Luego f ( x ) =
Su gráfico es:
- — x * 2 ¡x + 2, x * 2x - 2 de donde f ( x ) = {
4 . x - 2 I 4 ’ 11* 2
El segundo de la igualdad f ( x ) = \ - x s e n — carece de sentido cuando xx
¿Cómo elegir el valor de f(0) para que la función f(x) sea continua en punto?.
Desarrollo
Para esto tomamos él limite de f(x) cuando x —> 0
/ ( 0 )= lim(l - xsen —) = 1 — 0 = 1 *->o x
Luego elegiremos a f(0) de la siguiente manera: f(0) = 1. Es decir:
/ ( * ) =1 - x s e n — para x * 0
x1 para x = 0
La función f ( x ) = arctgx - 2
carece de sentido cuando x = 2, ¿Pu
elegirse el valor de f(2) de tal forma que la función completada sea contin cuando x = 2?
162 Eduardo Espinoza Ramos
316
Desarrollo
/ ( 2) = lim arctg —?— 3 ; luego no se puede elegir f(2) de tal manera que seax->2 x - 2
continua.
La función f(x) es indeterminada en el punto x = 0. Determinar f(0) de tal forma que f(x) sea continua en este punto, sí:
(1 + vy _ ia) f ( x ) = ———— (n es un # natural).
Desarrollo
/ ( 0) = lim ■ + x — - sea 1 + x = a, x = a - 1, cuando x —> 1 ; a —» 1x->0 X
a + * ) " - l a " - l/(O) - lim ------------- = lim —■—- = nx—»0 x a->l a - \
= lim (an_l + a"~2 + ... + 1) = 1 +1 +... +1 = «o->l
a" —1Luego /(O) = lim f ( x ) = lim ------- = n
x—>o «->i a — 1
, , . 1 -C O S JCb) f ( x ) = ----- -—X
Desarrollo
. 1-COSJC l - c o s 2 x/(O ) = lim / (x) = lim ----- —— = lim
x -» 0 ' x->o x 2 jc-* 0 jc¿ (1 + c o s .x )
sen x l 1 1= lim — — .(---------- ) = (l).(-— ) = -
x->0 x~ l + cos* 1 + 1 2
Introducción al Análisis
En forma similar para:
,• ln(l + x ) - ln ( l -x ) .c) / (0 ) = lim / (x) = lim — ----- ------i----- = 2*-*o *-»() x
d) /(O) = lim / ( a ) = lim -------jt->0 jt—>0 X
■ = 2
317
c) /(O) = lim f (x ) = lim a2sen— = Oi-»0 ' x—>0 X
f) /(O ) = lim x ctgx = 1x->0
AVERIGUAR SI SON CONTINUAS LAS SIGUIENTES FUNCIONE!
3’ = x - 2Desarrollo
318
La función y = — es continua en todo R, menos en x = 2, es decir qut a - 2 h
x = 2 es discontinua de 2da especie.
y =1 + A 1 + A
Desarrollo
164 Eduardo Espinoza Ramos
319
320
t
y =1 + x 3 _ (1 + . x ) ( 1 - * + jc2 )
1 + X 1 + X
2
, de donde para x * -1
y = 1 - x + x , luego la función tiene una discontinuidad en x = -1 evitable.
Su gráfica es:
V 7 + I - 3
Desarrollo
\¡1 + x — 3 (V^ + X — 3 ) ( y j l + X + 3) l + x - 9
y =
U 2 -4 )(> /7+ 7 + 3) (x2 - 4)(y¡T+x + 3)
x - 2 1(x - 2)(;c + 2)( \¡T+x + 3) (x + 2)(tJ T + x + 3)
Luego en x = -2 es un punto de discontinuidad segúri especie y en x = 2, es un punto de discontinuidad evitable.
y = l
Desarrollo
S í x > 0 => | x | = x => y = l
x < 0 => | x | = -x => y = -1
Introducción al Análisis
Luego la función en el punto x = 0 tiene una discontinuidad de pri especie.
321 y = sen — x
Desarrollo
La función y = sen— carece de sentido cuando x = 0, pero esx
1 Kdiscontinuidad de 2da especie, puesto que lim sen — 3
Jt-»0 x
322 y = - Xsen x
Desarrollo
La función en x = 0 carece de sentido, pero es una discontinuidad evit
X 1puesto que: y(0 ) = lim ------ = lim -------= 1sen x jc—>o senx
x
Además en x = krr (k = ±1, ±2,...) son puntos discontinuidad infinita.
323 y = ln(cos x)Desarrollo
Para que la función y = in(cos x) esté definida debe cumplirse que cos x Luego quitaremos los puntos donde cos x = 0, y además cos x < 0, es de<
x = 2k n ± ~ (k = 0, ±1, ±2,...). Luego los puntos de discontinuidad son:
x = 2 k n ± - (k = 0 , ± 1, ±2 ,...)2
324 y = ln(/g
Desarrollo
166 Eduardo Espinoza Ramos
329
En forma similar el ejercicio 323 se obtiene que los puntos de discontinuidades x = kn (k = 0 , ± 1,...) (infinita).
325 y = arctg — x
Desarrollo
La función y = arctg — carece de sentido cuando x = 0, luego la función es x
discontinua en x = 0 , de la especie.
326 y = (1 + x).arctg (— ^ )1 - x
Desarrollo
La función tiene en x = -1 un punto de discontinuidad evitable y en x = 1 es un punto de discontinuidad de segunda especie.
i327 y = ex+1
Desarrollo
La función en x = -1 carece de sentido, luego en x = -1 es un punto de discontinuidad de segunda especie.
i328 y = e
Desarrollo
La función en x = 0 carece de sentido, luego la función en el punto x = 0 tiene una discontinuidad evitable.
1i
l + e 1~xDesarrollo
Introducción al Análisis
La función en el punto x = 1 carece de sentido, en este caso es un punt discontinuidad de primera especie, es decir que f ( x 0 - 0 ) y f ( x 0 + 0 ) ,
diferentes.
Sí x < 3 => y = x 2
x > 3 => y = 2 x + l
331 Demostrar que la función de Dirichlet X(x), que es igual a cero > irracional e igual a 1 cuando x es racional, es discontinua para cada uno de valores de x.
330 x , x < 3 2jc + 1 , x > 3
. Construir la gráfica de esta función
Desarrollo
Y
0 3 4 X
Desarrollo
Supongamos que es continua; luego
V e > 0, 8 > 0 tal que 0 < | x - a | < S = > | f(x) - L | < e
tomamos x t e I (Irracional), . r ¡ e < 0 - 5 , a + <5>
=> | f(x) - L | < e => 10 — L | < e | L | < e L = 0
168 Eduardo Espinoza Ramos
además como x2 € 2 y x 2 e < a - S , a + 5 >
=> | f ( x) - L | < e => 11 - L | < e => 1 - L = 0
Luego L = 1. Llegamos a una contradicción. es discontinua.
AVERIGUAR SI SON CONTINUAS Y CONSTRUIR LA GRAFICA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES
332 y = lim ------- (x > 0)«-»“ 1 + x"
Luego lim ------- = 0n~*°" 1 + xn
333 y = lim (x arctg nx)
Desarrollo
Desarrollo
y = lim (xarctg nx) = xarctg(°°) = K x
Como y = — la función es continua en todo x.2
334 a) y = sig(x) b) y = x Sig(x) c) y = Sig(sen x)
donde la función Sig.x se determina por la formula: s ig (x ) -1, x > 0 0 , x = 0
- 1, a- < 0
Desarrollo
Introducción al Análisis
1 <
‘ Y
• 0
>-1
X
La función en x = O es un punto de discontinuidad de la primera espi
335 a) y = x - E(x)
b) y = x E(x), donde E(x) es la parte entera del número x.
Desarrollo
Sí x e [0,l> => E(x) = 0 => y = x
x e [ l , 2 > => E(x) = l => y = x - l
x e [2,3> =» E(x) = 2 => y = x - 2
x e [ - l , 0 > = > E(x) = -1 => y = x + 1
x e [-2,-2> => E(x) = 2 => y = x + 2
E(x) = k, k e Z, son puntos de discontinuidad de la primera especie.
170 Eduardo Espinoza Ramos
336
237
Dar un ejemplo que demuestre que la suma de dos funciones discontinuas
puede ser una función continua.
Desarrollo
Consideremos las funciones / (x ) =
definidas en x = 3.
x2 - 9
jc — 3
x - 4 x + 3y í W = -------------- que están]
x - 3
x 2- 9 x2- 4 x + 3 Pero si sumamos: f { x ) + g (x ) ---------- +
x — 3 x - 3
¿V ■> , / x ( jc- 3 ) (^ + 3) ( jc- 1 ) ( í - 3 ) , u j: + 3 + j: - 1í _ ^ i ,f ( x ) + g (x ) = --------- — — + --------- ------= U —3)(--------------- ) = 2x + 2
(x - 3 ) x - 3 x -3
.-. f(x )+g(x)=2x+ 2 está definida V x, por lo tanto (f+g )(x ) es continua V x eR
Sea a una fracción propia positiva que tiende a cero (0 < a < 1) ¿se puede
poner en la igualdad E(1 + a ) = E(1 - a ) + 1, que se verifica para todos los
valores de a, él limite de la cantidad a?
Desarrollo
E(1 + a ) = E(1 - a ) + 1 donde E(1 + a ) = E(x) donde x = 1, lim a = 0a-»0
entonces reemplazando: lim a , por el valor de a.a-»0
Introducción al Análisis
lim £( 1 + a ) = lim £(1 - a ) + 1 = E( l - 0) +1 = £(1) + 1 = 1 + 1 = 2a - » 0 a-*0
Luego £(1) * lim £(1) entonces E(x) es discontinua en x = 1 en el inter a-> o
[ 1,2> entonces no se puede reemplazar a por lim aa-»0
338 Demostrar que la ecuación x i - 3.í +1 = 0 tienen una raíz real en el inter
(1,2). Calcular aproximadamente esta raíz.
Desarrollo
Por fórmula de Cardano se tiene: X = A + B, donde
además x 3 + px + 1 = 0 de donde x 3 - 3jc + 1 = 0 , reemplazando se tiene
339 Demostrar que cualquier polinomio p(x) de grado impar tiene por lo menos i
172 Eduardo Espinoza Ramos
Si n > 3 ry = a + i¡5 , p * O es una raíz de p(x) => r2 - iP también es raíz
de p(x). Luego por el teorema del factor se tiene.
p (x ) = (jc - r, ) (x - r2) , R (x ) = ( x 2 - 2ax + P 2 + a 2) R (x) donde grado
de R(x) = n - 2 > 1 siendo n - 2 impar. Por ser n impar.
si razonamos por inducir opinamos de que R (x) tiene una raíz real y que
también es raíz de P(x).
340 Demostrar que la ecuación tag x = x tiene una infinidad de raíces reales.
Desarrollo
Si: x e [0,1> => E(x) = 0 => y = x
x e [ l , 2 > => E (x )= l => y = x - 1
x e [2,3> => E(x) = 2 => y = x - 2
x g [-1 ,0 > = > E(x) = -1 => y = x + 1
x e [-2,-l> E(x) = -2- => y = x + 2
E(x) = k, k e Z, son puntos de discontinuidad de primera especie.
ii
Diferenciación de Funciones
CAPITULO II
DIFERENCIACION DE FUNCIONES
2.1. CALCULO DIRECTO DE DERIVADAS.-
a) IN C R E M E N T O D E L A R G U M E N T O E IN C R E M E N T O DE FU N C IÓ N .-
Si X\ y x 2 son valores de x, mientras que y, = f ( x i ) e y2 = f ( x 2)
los correspondientes valores de la función y = f(x ), Ax = x2 - a
llama incremento del argumento x en el segmento [jc, , jc2
Ay = y2 - > ’i ° sea Ax = / (x 2 ) - / ( * , ) = / ( * , + A x ) - / ( * , )
llama incremento de la función y = f(x ) en el mismo segn
Ay[x l , x2 ] . (En la figura donde Ax = M A y Ay = A N ) la razón
Av
representa el coeficiente angular de la secante M N de la gráfica c
función y = f(x ) y se llama velocidad media de la función y, e
segmento [a , , x, + A c ] .
174 Eduardo Espinoza Ramos
dyb) D ERIVAD A.- Derivada y ’ = — de la función y = f(x ) con respecto
dx
al argumento x se llama él limite de la razónAy
Ax
Aycuando Ax tiende a cero, es decir: y ' = lim — si dicho limite existe.
*-»o Ax
La derivada y '— f ' ( x ) representa la velocidad de variación de la función
en el punto x.
c) D ER IVAD AS LA TE R ALE S . Las expresiones
¿ o , ) » Iini y ,¡m / < - » - * « > - / «A.t—>-0 Ax A*->+0 A x
341
Se llama derivadas a la izquierda y derecha respectivamente de la función
f(x ) en el punto x.
Para que exista f ' ( x ) es necesario y suficiente que f l ( x ) = /+ (x )
d) D E R IV A D A IN F IN IT A .- Si en un punto determinado tenemos que
/ (x + Ax) - / (x )lim
Ax->+0 Ax■ = «>, se dice que
la función continua f(x ) tiene derivada infinita en el punto x.
Hallar el incremento de la función y = x 2 , correspondiente al paso del]
argumento.
a) de x = 1 a Xi = 2
c) de x = 1 a x, = 1 + h
b) de x, = 1 a x 2 = 1.1
Desarrollo
a) Ay = f(x + Ax) - f(x ) donde y = / (x ) = x
Diferenciación de Funciones
342
343
además Ax = x, - * = 2 -1 = 1 => Ax = 1
/ (* , + A *) = / (* ] + !) = (* , +1 ) 2
/ (x + A *) = (x + A x )2 , reemplazando se tiene:
/ (I + 1) = / (2) = 22 = 4 y f ( l ) = l
Ay = f ( l + 1) - f ( l ) = f(2 ) - f ( l ) = 4 - 1 = 3. Luego Ay = 3
b) Ay = / (x , + Ax) - / (x , ) donde Ax = 1.1 - 1 = 0.1
Ay = f ( l + 0 . 1 ) - f ( l ) = f ( l . l ) - f ( l )
Ay = ( l . l ) 2 —1 = 1.21 — 1 =0.21
Hallar Ay para la función y = Z[x sí:
a) x = 0, Ax = 0.001 b) x = 8, Ax = -9
c) x = a, Ax = h
Desarrollo
a) Ay = f(x + Ax) - f(x )
Av = / (0 + 0 .0 01 )-/ (0 ) = /(0.001) = 3/0.001 =0.1 . Luego Ay = 0.1
b) Ay = f(8 - 9) - f (8) = f ( - l ) - f (8). Luego Ay = -1 - 2 = -3
¿Por qué para la función y = 2x + 3, se puede determinar el incremento i
conociendo solamente que el incremento correspondiente es Ax = 5, mient
que para la función y = x 2 no puede hacerse lo mismo?
Desarrollo
176 Eduardo Espinoza Ramos
Ay = f(x + 5) - f(x ) donde f(x ) = 2x + 3
f(x + 5) = 2(x + 5) + 3 = 2 x+13 por lo tanto f(x ) = 2x + 3, luego:
Ay = f(x + 5) - f(x ) = (2x + 13) - (2x + 3) = 10 y mientras que para la función
y = x 2 se tiene:
Ay = f(x + Ax) - f(x ) => Ay = f ( x + 5) - f ( x ) = (x + 5)2 - x 2
344
de donde se tiene: Ay = -10x + 25
AvHallar el incremento Ay y la razón — para las funciones:
Ac
a) y = — — T ( * - - 2)2
, cuando x = 1 y Ax = 0.4
b) y - y f x , cuando x = 0 y Ax = 0.0001
c) y = log x, cuando x = 100,000 y Ax = -90,000
Desarrollo
a) Ay = f(x + Ax) - f(x ) => Ay = f ( l +0.4) - f ( l ) = f( 1.4) - f ( l )
f ( x ) =(x 2 - 2 ) 2
f (1-4) =1(1-4)2 — 2]2
= /(1.4) =1 1
(-0 .4 )2 0.16
/ (1) = — -—- = 1, reemplazando y efectuando tenemos: (1 - 2)
Diferenciación de Funciones
345
346
_21 21A y 9 9 S 2 1— = —— = ~ = ------ , en forma similar para b) y c).Ax 0.4 2 10
AyHallar Ay, —- , correspondiente a la variación del argumento desde x \
Ax
x + Ax, para las siguientes funciones:
, 1a) y = ax + b b ) y = x c) y = —
x
d) y = y[x e) y = 2x f ) y = ln
Desarrollo
a) Ay = f(x + Ax) - f(x )
Como f(x ) = ax + b => f(x + Ax) = a(x + Ax) + b;
Ay = f(x + Ax) - f(x ) = ax + aAx + b - a x - b => Ay = a Ax,
de donde se tiene: — = a — = aAx Ax
en forma similar para las demás funciones.
Hallar el coeficiente angular de la secante a la parábola y = 2x - x 2 . Si
abscisas de los puntos de intersección son:
a) x¡ = 1 , x 2 = 2 b) Xj = 1, x 2 = 0.9 c) x x = 1, x2 = 1 ■+
Hacia que el limite tiende el coeficiente angular de la secante en el ultimo c
si h 0?
Desarrollo
178 Eduardo Espinoza Ramos
AyCoeficiente angular de la secante = —
Ax
Ay = / (x t + Ax) - / (x , ) donde Ax = x2 - x x
Ay = f ( l + 1 )- f ( l ) donde Ax = 1 entonces: Ay = f(2 ) - f ( l )
Como / (x ) = 2 x - x 2 => f(2 ) = 4 - 4 = 0 y f ( l ) = 2 - 1 = 1
Luego Ay = f(2 ) - f ( l ) = 0 - 1 = -1
Ay 1 AyCoeficiente angular de la secante = — = — = -1 — = -1
Ax 1 Ax
en forma similar para los demás.
347 ¿Cual es la velocidad media de variación de la función y = x 3 en el
segmento 1 < x < 4?
Desarrollo
AyLa velocidad media de variación es = —
Ax
Ay = f(x + Ax) - f(x ), donde Ax = 4 - 1 = 3
como / (x ) = x 3 => f ( l + 3) = f(4 ) = 64 y f ( l ) = l
Ay = f(4 ) - f ( l ) = 64 - 1 = 63 reemplazando se tiene: — = — = 21Ax 3
348 La ley del movimiento de un punto es S = 2r2 + 3í + 5 donde la distancia se da
en centímetros y el tiempo t en segundos. ¿A que será igual la velocidad medi¡
de este punto durante el intervalo de tiempo comprendido entre t = 1 y t = 5?
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
La velocidad media = —At
AS = S(t + At) - S(t) y At = t2 - t l es decir At = 5 - 1 = 4 => At = 4
AS = S( 1 + 4) - S ( l ) = S(5) - S ( l ) = 70 - 10 = 60
, A i 60 , ,c mLuego: — = — = 15-— -
At 4 seg
349 Hallar la pendiente de la curva y = 2X en el segmento 1 < x < 5
Desarrollo
AvPendiente media de la curva = —
Ax
Ay = f(x + Ax) - f(x), donde Ax = 5 - 1 = 4
Ay = / (I + 4) - / (1) = / (5 ) - / (1) = 25 - 2 = 2( 24 - 1)
2(24 — 1) 24 - l 15 pendiente media de la curva = -----------= --------= — = 7.5
4 2 2
350 Hallar la pendiente media de la curva y = f(x ) en el segmento [x, x + Ax]
Desarrollo
AyPendiente media de la curva = — donde Ay = f(x + Ax) - f(x )
Ar
, i- j- , f ( x + Ax) — f ( x )Luego pendiente media de la curva = --------------- ------
Ax
351 ¿Qué se entiende por pendiente de la curva y = f(x ) en un punto dado x?
Desarrollo
180 Eduardo Espinoza Ramos
352
353
Se entiende por pendiente de la curva y = f (x ) en un punto dado x al limite de
la pendiente media de la curva Ax - » 0, el cual denotaremos por f ' ( x ) , es
f ( x + A x ) - f ( x )decir: / ’(x ) = lim
á.v->0 Ax
Definir: a) La velocidad media de rotación.
b) La velocidad instantánea de rotación.
Desarrollo
Sea (p(t) la magnitud del ángulo de rotación en el instante t.
a) La velocidad media de rotación ^ >- - -At
A cp(t) 3<p(l)b) La velocidad instantánea de rotación = lim —
A/->0 A t dt
Un cuerpo calentado e introducido en un medio, cuya temperatura sea menor,
se enfría. ¿Qué debe entenderse por:?
a) Velocidad media de enfriamiento.
b) Velocidad de enfriamiento en un momento dado.
Desarrollo
Sea T = la temperatura en el instante t.
A Ta) Velocidad media de enfriamiento =
At
b) Velocidad de enfriamiento en un momento dado = lim —— = —&->o At dt
Diferenciación de Funciones
354 ¿Qué debe entenderse por velocidad de reacción de una sustancia en
reacción química?
Desarrollo
Sea (p(t) = cantidad de sustancia en el instante la velocidad de reacción deA(p(t)
sustancia en una reacción química es: lim -A/->0 At
355 Sea m = f(x ) la masa de una barra heterogénea en el segmento [0,x] que
entenderse por:
a) Densidad lineal media de la barra en el segmento: [x, x + Ax]
b) Densidad lineal de la barra en el punto x?
Desarrollo
En forma similar al ejercicio anterior se tiene que:
a) La densidad lineal media = — -Ax
b) La densidad lineal en el punto x = = lim — -dx jc-»o Ax
Ay 1356 Hallar la razón — , para la función y = — en el punto x = 2:
Ax x
a) Ax = 1 b) Ax = -1 c) Ax = O.C
¿A que será igual la derivada y' cuando x = 2?
Desarrollo
Ay = f(x + Ax) - f (x ) ==> Ay = f(2 + Ax) - f(2 ) donde f ( x ) = —x
1 1 -A *Ay = -
2 + Ax 2 2(2 + Ax)
182 Eduardo Espinoza Ramos
357
358
a)
- A y
Ay _ 2 (2+ Ar)
Ax Ax
1
2 (2 + A x )donde Ax = 1 reemplazando tenemos:
4? .A x
- = -0.166 6
Ay
Axb)
1 Ay ------- donde Ax = 0.1, —
2 (2 + A t ) A x: — — —0.238
21
Ayademás y '= lim — = lim
1
a*—»o A í Ax->o 2 (2 + A v )
Hallar la derivada de la función y = tg x
Desarrollo
y ’ = lim — , donde Ay = f(x + Ax ) - f(x ) Ax—>0 Ax
Ay = tg(x + Ax) - tg x
Ay tg (x + A x )- tg x senAxy = lim — = lim — -------------2- = h m -------------------------
Ax—>o Ax Ax-»o Ax a*-»o Avcosx.cos(x + Ax)
Ay sen Axy = lim — = lim
1= 1( -
1-) = ■
1• = sec x
Ai->oAx Ar—>0 Ax cosx.cos(x +Ax) eos x. eos X eos X
AvHallar y ' = lim — para las funciones:
Ar—>0 A t
a) y' = x b) y = — c) y = \fx d) ctg xX
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
359
360
Ay = f(x + Ax) - f(x )
= f ( x + A * )3 - * 3 = 3jc2(Av) + 3a(Ax) 2 + (A t ) 3
Av 3x2 Ax + 3xAx2 + Ax3y ’ = lim _ Z = l im --------------------- ^ ¿ - ' e n forma similar para los dem¡
Aí -^o Ax A*->0 Ax
Calcular / ’ (8) sí f ( x ) = \fx
Dt -¡arrollo
/'(8>= nro ¡imA i ->0 Ax A.r->0 Ax
(W + t e - 2 )(V (8 + Ax)2 + 23v/8 + Ax + 4) - hm — — — — ■____1..= ^ ----------------------
Ar_>0 Ax(-y(8 + Ax)2 + 2^8+ Ax + 4)
= l im ------ -------------------------------= lim -y --------- =--------------------A*“*° A x (y (8 + Ax)2 + 2^8+ Ax + 4) /(8 + Ax)2 + 2^8+ Ax + 4
1 1 1 ~ ^64+2^8 + 4 ” 4 + 4 + 4 ~ 12
Calcular / '(O ), / ' ( ] ) , / '(2 ) sí / (x ) = x ( x - l ) 2( x - 2 ) 3
Desarrollo
/X 0) = lim lim / ( A » ) - / ( 0)Ajr-->0 Ax Ax-»0 Ax
Ax( Ax - 1)2 (Ax - 2)2 - 0 ,= l im ---- --------------------------= lim (Ax - l )" (A x - 2) = -8
Ax—>0 Ax Ax—>0
361 En que puntos la derivada de la función / (x ) = x 3 coincide numéricamc
con el valor de la propia función es decir: / (x ) = f ' ( x )
184 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
/ W = lim / ( * + * »> -/ (*> = HmAx-»0 Ax Ar-»0 A.Í
x3 +3jc2Ax + 3jcAx:2 + A.V3 - x 3 „ 2 , A . 2 o 2 = l im -------------------------------------- = lim 3 jT+3*.A * + Aa¿ = 3xz
Ax-->0 Ax* Ax—>0
como f ( x ) ~ f ' ( x ) entonces jt3 = 3.v2 => x 2( jc -3 ) = 0 => x = 0, x = 3 ¡
Luego la función coincide numéricamente en los puntos x = 0.3, x = 3
362 La ley de movimiento de un punto es 5 = 5/2 , donde la distancia S viene dado i
en metros y el tiempo t, en segundos. Hallar la velocidad del movimiento en el ¡
instante t = 3.
Desarrollo
S '( t )V ( t ) = — = lim 5(? + A f) S (t) dt A/—>o At
,//x ,■ 5(/ + A i ) 2 - 5 (?)2 5 í2 + 10/.A/ + A i2 - 5 t 2V (t ) = lim ■■ -.................= lim —
Aí-*0 At A/—>0 At
V (t ) = lim 10/ + At = 10/ V (3 ) = 30 m/segA;-» 0
3 6 3 Hallar el coeficiente angular de la tangente a la curva y = 0 .1 a 3 , trazada en el
punto cuya abscisa es 2.
Desarrollo
Coeficiente angular de la tangente es = lim — = y ' \x=2a*->o Ax
Diferenciación de Funciones
y = lim f U t tol - f V K lim 0-U2 + A » )3- ( 0.1)8A*-»0 A i A*-»0 Ax
= lim 1.2 + 0.6Ax + Ax2 =1.2Ajc->0
364 Hallar el coeficiente angular de la tangente a la curva y = sen x en los pu
(7t,0).
Desarrollo
sen(x + Ax) - senx senx. eos Ax + eos x.senAx - senx y = l im ----------------------- = h m ------------------------------------------
a*-*o Ax ajt-»o Ax
r senx(cos Ax -1 ) eos x.senAx,= hm [-------------------- + -------------- )
a«->o Ax Ax
y — senx(0) + cosx => y '= cosx por lo tanto / |A.=7r = eos 7T = —1
365 Hallar el valor de la derivada de la función: / (x ) = — en el punto x =x
( xo ^ 0 )•Desarrollo
1 1
f ( x 0 + A x ) - f ( x 0) _ x„/ W = lim lim -■
At->0 Ax &x—>0 Ax Aí - »0 X q ( x 0 + Ax)
________1____ _ _ J _
X o(*o+0) x¿
366 A que son iguales los coeficientes angulares de las tangentes a las cur
1 2y = — y y = x ,en e l punto de intersección?. Hallar entre estas tangentes,
x
Desarrollo
186 Eduardo Espinoza Ramos
367
J 1 iComo y = — e y = x , entonces el punto de intersección es: — = x" x
y ' U = lim ~
í
1 + AxAt-*o A x
(1 + Ax) -1
Ar—>0 Ax= 2 = k.
íg0=A_ÍL = JLÍ = 3l + *,Jfc2 1-2
Demostrar que las siguientes funciones no tienen derivadas finitas en losj
puntos que se indican:
a) y = \[x^ en el punto x = 0
b) y = \ f x -1 en el punto x = 1
2k + 1c) | cos x | en los puntos x = — - — n (k = 0, ± 1,...)
Desarrollo
, _VA, ¡J(0 + Ax)2 - 0 tÍAx1 .. 1a) / (0) = hm —-----------------= l im ---------= lim —= = <
A r-»0 Ax Ar -*0 Ax &c-*0yjAx
b) / ’( l ) = l imA*-»0
^(1 + Ax) — 1 - 0 VAx 1 ------------------------ l im ------ = 1 ,m ---------== lim
Ax Ar—>0 Ax Ar-*0 5j^ . 4
i ,2k + 1 . , , 2k + \ |cos(— — 7T + Ax)|
c) h m ----------— ------------2 A r-»0 Ax
senAx -senAx ,= lim ---------- - = l im ---------- -1
Ar—>0 Ax Ar-*0 Ax
Diferenciación de Funciones
, 1k +1 |cos(— — jr + Ax)|— ?r)= Hm------- 2-----------2 A*-* A t
I senAx I senAx , = lim i 1 = l im --------= 1
a *->o Ax Ajt-»o Ax
,\,2k + \ . ,\,2k + \Como /J(— -— K ) f j ( — -— n ) => y = | cos x | no tiene deriva
2* +1 ,en los puntos x = — -— , k = 0, ± 1,
12.2. DERIVACION POR MEDIO DE TABLAS.-
a) REG LAS PR IN C IPA LE S P A R A H A L L A R L A D E R IV AD A:
Sea k una constante, u = f(x ) y v = g (x ) dos funciones derivab entonces:
1) ( * y = 0 2) U ) ’ = l
3) (m ±v )' = m'±v' 4) (hu )'=ku '
5) (mv) = MV +VM 6) (—) = ■V v2
7) (* )■ — * £ . » * 0V V
b) T A B L A DE LA S D ERIVAD AS DE LAS FU NCIO N PR INC IPALES.-
1) ( * " ) ’ = /te" -1 2) ( , £ ) ' » J _2v *
3) ($¿njc)’ = cos.x; 4) (cos jc)' =
188 Eduardo Espinosa RamoS
l o 1 25) ( tgx)'= = sec“ .x 6) (ctgx) = - = -c o se r x
eos x sen x
7) (aresenx) ' =V i- * 2
x < 1
8) (a rcpsx )' = - X <1
9) ( arctg x ) ' - ■1
l + x¿
11) (f lJ)' = flM nfl
10) (arcctg x ) ' = — ----- •x + l
12) (e x )' = e x
13) (ln x )' = — , x > 0x
14) (log0 x )' =xlna x
15) (íe«/jx)'=-coshx 16) (cosh x)' = -senhx
17) (tghx)' = -1
cosh 'x18) (ctghx)'-
1
senh~x
19) (aresenhx) ' =n/T+x2
20) (are cosh x ) ' = -V x ^ T
21) (arctg hx)' = -\ - x ¿
I x I < 1
22) (arcctgh x ) ' = — ^ ^ I x | > 1 x -1
Diferenciación de Funciones
c) R E G LA P A R A C A L C U L A R LA S FUNCIO NES COM PUESTAS.
Sea y = f(u) donde u = g(x), Es decir: y = f(g (x )) donde “y” y “ u”
derivables, entonces y'x - y'u ,u'x en otras notaciones:
dy _ dy du
dx du dx
esta regla puede aplicarse a cadenas de cualquier numero finito
funciones.
368
1)
y =
dy
dx
FUNCIONES ALG E B R AIC AS .
x 5 - 4 x 3 + 2 x - 3
- y ' = 5x4 - I2x2 +2
Desarrollo
369
370
371
y =
y '=
y =
— = - - + 2 x -2 x 3dx
= ax" + bx + c
dyy ' = ^ = 2ax + b
dx
y = -5jS
a
Desarrollo
Desarrollo
Desarrollo
dy__ 1 5jc
dx a
190 Eduardo Espinoza Ramos
372 y = al'" + bt’n+n
Desarrollo
y ' = ^ l = a,nt"'-' +(rn + n)btm+" - 1 di
ax6 +b373 y = -
y U + b 2
,_ d y _ 6ax~
dx J a 2 + b2
Desarrollo
374 >> = — + ln2JC
dy _ n
xdx -2
2 5375 y = 2,xi - 2x2 + x ^
I 3
Desarrollo
Desarrollo
y ' = — = 2x 3 - 5 x 2 -4 x ~ 5 dx
376 y = x 2y[x2
Desarrollo
2 8 d ' S -• = x2^[x2 - x2x* = jc3 , derivando tenemos: y ' = — = - x 3
dx 3
377 3' = - í = ----
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
, , 2 4a b a b ~z - r .
y = —¡ = — -=r = — ------- => y = ax 3 - b x J , derivando tenemos:tfx2 xlTx 2 *r 3 v 3
, </y 2 - I 4/? —r í/v 2a 4¿> y = — = ----ax 3 + — x 3 =* y = — = ------ — ------ = ?' dx 3 3 dx 3x yfx 3x3/7
378 y fl + í *c + dx
Desarrollo
, _ dy _ (c + dx)(a + b x ) ( a + fcx)(c + d x ) '
(c + dx) 2
, _ dy _ (c + dx)b - (a + bx)d _ be - ad
dx (c + d x)2 (c + d x )2
2x + 3379 y =
x - 5 x + 5Desarrollo
¿y _ (x - 5 x + 5 )(2x + 3 ) '- (2 x + 3 )(x “ —5x + 5 )'
V dx (x 2 - 5 x + 5 )2
, _ d y 2 (x2 - 5 x + 5 ) - (2 x + 3 )(2 x -5 )
¿x (x 2 — 5x + 5 )2
, dy _ (2 x2 - 1 Ox + 10)- (4 x2 - 4 x - 15) , _ ¿ y -2 x 2 - 6 x + 2f
dx (x 2 - 5 x + 5 )2 y dx (x 2 - 5 x + 5 )2
2 1380 y =
2 x - l x
Desarrollo
192 Eduardo Espinoza Ramos
. , _ d y _ 0 ( 2 x - l ) ’ —(jc ) ’ y i 'ydx ( 2jc — 1) “ x2
4 1------- ~ + ~(2 x - l )~ x
- 4 x + 4 x -4jc + l
, dy l-4 .r
dx x2( 2 x - l j
3811 + 'Jz
Desarrollo
, dy ( l - y [z )0 + y [z y -Q + J z )Q -y fz y
y dz (1 -VI)2
1 — yfz 1 + Vzv .r. af>’ _ 2V I 2V I ■ dy 1
dz ( 1- V z )2 dz V z ( l - V z )2
2) FUNCIONES TR IG O N O M E TR IC A S Y C IR C U LA R E INVERSAS.-
382 y = 5 sen x + 3 cos xDesarrollo
y ' - — = 5 cos x - 3 senx dx
383 y = tg x - ctg xDesarrollo
dx (senlx)
Diferenciación de Funciones
384
385
senx - cos xy = ---------------
senx - cos xDesarrollo
y '_ d y _ ( senx - cos x)(senx + cos x) (senx + cos x)(senx - cos x ) '2dx (senx — cos x )
, _ d y _ (senx - cos x)(cos x - senx) - (senx + cos x)(cos x + .ye«x)
dx (senx - cos x)2
í/ y -(senx - cos x )2 (senx + cos jc )2
dx (senx - cos x )2
y,_ d y _ -s e n x + 2senx.cosx-cos~x-sen~x — 2senx.cosx — cos~x
dx (senx- cosjc)2
, dy -2 (sen2 x + cos2 x ) -2y
dx (senx - cos x )2 (senx - cos x )2
y = 2tsent - ( t 2 - 2) cos t
Desarrollo
y ' = — = 2sent + 2 tco $ t-2 tco s t + ( t2 - 2 )sent di
y ' = — = 2sent2 + tsent - 2sent = t2sent — = t2sdt dx
386 y = arctg x + arcctg xDesarrollo
194 Eduardo Espinoza Ramos
387 y = x ctg xDesarrollo
. dy xy = — = ctg x -
dx sen2x
388 y = x arcsen xDesarrollo
, dv xy = — = arcsenx +
dx V i - * 2
3g9 _ (1 + x 2)a rc tg x -x
y 2Desarrollo
, d\ 1 1 , d \y = — = xarctg x + -------= x arctg x => y = — = xa rctgx
dx 2 2 dx
3) FUNCIONES EXPO NEN CIALES Y LO G A R ITM IC AS .-
390 y = x 'e x
Desarrollo
y ' = — = 7x6ex + x 1ex = exxb( l + x) => y ' = - = * V ( * + 7) dx dx
391 y = ( x - l ) e x
Desarrollo
y ' = Q - = ex + ( x - l ) e '= x e dx
6392 y = —
*Desarrollo
Diferenciación de Funciones
, dy x 2( e * ) ' - e * ( x 2) ' x 2ex - 2xex , dy ex( x - 2 ) y = ~ r = -----------5--------- = -------- 5------ => >' = -r - = ------3—
dx a x dx x
x53 9 3 y = —
exDesarrollo
, _ d y _ e x (x 5) ' - x 5(e x y _ 5 x 4e * - x 5e* _ dy _ a4( 5 - x )
" d x ~ <>2x ~ T 7 ^ v 7
394 f ( x ) = e x c osx
Desarrollo
/ ' ( a ) = e Jt(cosA )’ + (é^VcosA = e x cosa - e x senx , de donde se tiene:
/ ' ( x ) ~ e x (cos x — senx)
3 9 5 y = ( x 2 - 2x + 2 )e x
Desarrollo
y ' = — = (2 x - 2 )e x + (a 2 - 2 x + 2)ex v ' = — = x 2exdx dx
3 9 6 y = e x aresenx
Desarrollo
< dy x ex , d y X/ 1y = — = e aresenx + ■..... . => _y = — = e (aresenx-i— . )
^ ^ V l^ A 2
397 y = — ln a
Desarrollo
, dy _ ( ln x )2 x ~ x , dy _ x {2 \ n x -\ )
dx (ln a ) 2 y dx (ln a ) 2
196 Eduardo Espinoza Ramos
~3398 y = x3 ln x - —
3Desarrollo
, dy . 2 i 2 2 i dy _ 2 iy = — = 3x ln x + x - x => y = — - 3 x lnx
dx ' dx
1 lnx399 y = — + 2 ln x ----- *-
x x
dy
dx
Desarrollo
1 2_i___ x(ln x ) (
7i-------
A' x2
i 2 1 ln x— —+ —
x2 x2x2 X, 2 1 2 ' 2 r ^ 2 dx x x x ' x ‘ * jc* a:
, _ d y _ 1 2 L ln * , .< _ d y _ 2 2 ln x
"V dx x2 * x2 J
400 y = ln x. log x - ln a. loga x
Desarrollo
, _ d y _ log x ln x ln a dy _ 2 ln x 1
dx x (ln lO )x x lno dx xlnlO x
4) FUNCIONES H IPE R B Ó LIC A S E H IPE R B Ó LIC A S INVERSAS.-
401 y = x senh (x )Desarrollo
y 1 = — = senhx + cosh x dx
402 y = Xcoshx
Desarrollo
dy _ 2xcosh x - x " senhx
dx cosh2 x
Diferenciación de Funciones
403 y = tgh x - xDesarrollo
, dy 1 , l - c o s h 2Jc , dy senh2xy = — = — — 1 = — - 5— =* ^ = ~ r - ------ - ¿ - = - t g h - >
dx cosh x cosh 'jc dx cosh x
404Inx
D< sarrollo
. 1 . 3 cighx 31nx.(---------— ) ------ - - -
y ' = — = ----------- senh. x ------- a— ^ (jon<je se t¡ene:dx ( ln x )
, _ d y _ —3(.v ln x + senhx. cosh x)
dx x ln2 x.senlrx
405 y = arctg x - arctgh xDesarrollo
, d\ 1 1 ( 1 - a 2) - ( 1 + a 2) , dy -2 x 2y = - r = :— T - : — r = — — 5— — t t =» y - — = •
dx l + x 2 \ - x 2 (1 + x2 ) ( l - x 2) dx \ - x 4
406 y = (arcsen x)(arcsenh x )Desarrollo
dyy = — = (arcsenx) arcsenhx + arcsenxXarcsenhx)', de donde se tiene:
dx
, dy _ arcsenlix arcsenx
d* - J l - x 2 J l + x'2
arccos hx407 y = ------------
Desarrollo
198 Eduardo Espinoza Ramos
---- -- árceos hx r——, _ d y _ \ l x2 -\ _ x -y jx - 1.árceos hx
y _ _ _ _ _ _
dx
, dy x - yjx2 - 1. árceos hx
y = T x = '
408 y :arctghx
Desarrollo
1 - x 2
y- = f » = Z Z H¿JC
- ( - 2x)(arcctghx)
(1- x 2)2y =
dy 1 + 2 jc arcctgh x
dx ( 1- X 2)2
409
E) FUNCIONES COM PUESTAS.
y = (l + 3jc-5jc2) 30
Desarrollo
y ’ = — = 30(1 + 3jc- 5 .v2)29(1 + 3jc- 5 jc2) ' dx
y ' = — = 30(1 + 3jc- 5 jc2) 29(3 -1 0 jc) dx
4,0c
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
411 f ( y ) = (2a + 3by)2
Desarrollo
f ' ( y ) = 2(2a + 3by)(2a + 3by)' => f ' ( y ) = 6b(2a + 3by)
412 y = (3 + 2* 2) 4
Desarrollo
y ' = — = 4(3 + 2*2)3(3 + 2 *2) ' =* y ' = = 16*(3 + 2* 2)3 dx dx
413 3____________ 1_____________1
V 56(2*- l ) 7 24 (2*- l ) 6 40 (2 *- l ) 5
Desarrollo
y = — (2 x - 1)“7 - — (2x - 1)-6 - — (2* - 1)"5 56 24 40
y '= ^ r = (2x - 1F8.2 - ¿ ( - 6X2* - 1)-7.2 - i - (-5X 2 * dx 56 24 40
, dy -3 1 1 y = —— = ------------ + ---------------h------------
dx 4 (2 *- l )8 2 (2 *- l )7 4(2* - l )6
, dy -3 + 2 (2 * - l ) + ( 2 * - l )2 4 *2- 4 _ * 2- l
y dx 4 (2 *- l )8 4 (2* - l )8 ( 2 * - l )8
414 y = V i - * 2
Desarrollo
____ iy = Vi-*2 = (1 - x2) 2 , derivando tenemos:
200 Eduardo Espinoza Ramos
dx 2
dy
dx
-2x— por lo tanto
2(1 - a-2) 2
415 ’ = yja+bx3
Desarrollo
y = y[a + bx} = (a + bx3) 3 , derivando tenemos:
2
y ' = - = - (a + b x 3) H a + b x 3) ' dx 3
y ' - dy _ bx"
y ' = f = -dx
3 bx1
3(a + bx )■3\3
d* \]a + bx3
4162 2 3
y = (a 3 - jc3 ) 2
Desarrollo
J O ' 2 2 i 2 2y ' = — = — (a 3 - jc3 ) 2 ( a 3 — a:3 ) '
dx 2
I í 2” 1 , dy 3 , 5 | 2 -3
; = — ~ — \ a 3 —x (— a 3dx 2
3)
2 2 2 2
, _ d y _ ya3 - x 3 _ \a3 - x 3
y dx V x 2 dx V A
417 y = (3 -2 . «? n A )s
Desarrollo
, dyy ' = — = 5 (3 - 2senx) (3 - 2 senx)' y ' - — = - lOcos x(3 -2senx)
dx dx
Diferenciación de Funciones
1 , l ,418 y = t g x - - t g i x + - t g ' x
Desarrollo
y ' = ~ r = — — !s 2x(tgx)'+tgAx(tgx) 'dx eos x
y ' - d y - 1 t g 2 x I t g 4 x = * y ' = É .
dx eos2 x eos2 x cos‘ x ’ d:
419 y = yjctgx - yfctga
Desarrollo
l _, _ d y _ (c tg x )' n _ dy sen2x
} ~ dx ~ 2-Jctgx y ~ d x ~ l^fctgx
420 y = 2jc + 5cos3 x
Desarrollo
y ' = — = 2 + 15cos2jc(cosjc)' => y ' = ^ - - 2 dx dx
421 x = co s e c2t + sec2 t
Desarrollo
dxx '(í) = — = 2 eos ecl.(eos e c t) '+ 2 sec í.(sec í )'
dt
1 - t g 2x + tg4x
eos2 x
1
2sen~ xyfctgx
15 eos" x.senx
202 Eduardo Espinoza Ramos
422
423
dx 2ctgt 2tg t . dx 2(cos4t -s e n 4t)x ( , ) = — = -----v + — V = > X W = - r - --------3----- 3—
dt sen t eos t dt sen t. cos t
dx 2(cos2 1 + sen2t)(cos2 t~sen2t)x ( t ) = — = -------------------r------ ---------------
dt sen /.eos t
dx 2(cos 2t -s e n 2t) 16cos2rx ( t ) = — = ------------- ------— = — — t—
dt ( sen2t 3 sen32t2
f ( x ) = -6 (1 -3 cosjc)
Desarrollo
1 (1 - 3 cosjc) 2 , ./ ( a ) = ------------------- - = ------------------ , derivando se tiene:
6 (1 -3 cosa ) 6
2(1 - 3 cos jc) -3 (1 - 2 c o s a ) ’f (x ) = ------------------------------------ , de donde se tiene:
6
. (1 -3 c o s a ) (isenx) senxf ( x ) = ---------------------------= ---------------- T
3 ( l - 3 c o s x )
1 1y =
3 eos3 x eos xDesarrollo
y _ eos— x _ cos i (jerivan(i0 se tiene:
, -3COS-4 jc( cosjc) ' , senx senxy = ------------------------+ cos jc( cos jc) => >' = ----- ----------- —
3 ' cos x eos" x
Diferenciación de Funciones
424
425
se«.v(l - eos2 -v) sen x4COS JI COS4 X
y-3senx- 2 cos x
~~5Desarrollo
3senx - 2 cos x _ 3senx - 2 cos x ^
1 .3senx —2cos jc .- t 3senx- 2cos.v , > = - < -------- 5-------- 1 H -------- --------- )
1 „ 3senx - 2 cos a ~ r , 3 cos x + 2senx _ y = — (------------------ ) 2(-------------------)
2 5 5
, dy 1 ,3 c o s a + 2 í« ix . 1y = — = t ( -------- 1-------- )-
dx 2 5 3senx-2cosx
i5y<_dy _ 3cosjc+ 2 í«u t
dx 2\/l5senx-lO cos x
y = yj ser.2 x +eos3 A
Desarrollo
y = 3 a + cos 3 a , derivando se tiene:
, dy 2 —t _4 dy 2 cosa 3sejy = — = — sen i x .(senx)-3cos a (cosa ) • ==> y ' = -¿ - = — + -----
dx 3 dx 3 ^ & eos4
204 Eduardo Espinoza Ramos ,
246 y = VÍy = V l + aresenx
í/v _ (1 + aresenx)'
~ dx ~ 2V Í + aresenx
1
Desarrollo
, de donde se tiene:
dy _ s j ] - x 2 _________________ 1 _
dx 2V l + aresenx 2yJ\-x2 VTT aresenx
427 y = yfarctgx — (aresenxJ'
¿y (aretgx) '
Desarrollo
3(aresetix)2 (aresenx)'2 yfarctgx
1
í/y 1 + r2 ?- ‘ 3(arcsenx)~ (aresenx)
dy 1
428 y =
3(arcsenx)~
dx 2(1 + a-2)y¡ aretgx \ ¡ l - x 2
1 _
Desarrollo
aretgx
dy (aretgx)'
dx (aretgx) dx (aretgx)' (1 + x 2)(aretgx)2
429 y = yjxex + a-
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
, _ dy (xex + jc) ’ _ ex + xex +1
dx 2\¡xe' + x 2\¡xex + x
430 y = ^2ex - 2 X + l + l n 5 x
Desarrollo
11
y = (2ex - 2X + 1)3 + ln4 jc , derivando se tiene:
2
y ’ = ^ = ~ (2 e x - 2* + 1)_3 (2ex - 2X + 1 ) ’+ 5 ln4 .t(ln jc) dx 3
, dy 2ex —2X 51n4 jcy = — = — + -----------
dx 3y](2X - 2 X + 1)2 x
431 y = sen3x + cos + tgyfx
Desarrollo
y '= ~ = eos 3 x (3 x )s e n (~ ) ( j ) ’+ — ^ —= (y fx ) ' dx 5 5 eos v j c
, dy 1 x 1y = — = 3 cos 3 jc— sen — +----^
dx 5 5 2-v/jccos “ vjc
432 _y = sen(x2 -5 jc + l ) + tg —jc
Desarrollo
206 Eduardo Espinoza Ramos
y ' = — (2x —5) cos(a2 - 5x + 1 )------- ------d x 7 Qx eos —
433 f(x ) = eos (ax + 3)
Desarrollo
f ' ( x ) - - s e n (a x + ¡5 ) . (a x + p ) ' => f ' ( x ) = -a s e n (a x + p )
434 f(x ) = sen t. sen (t + (p)
Desarrollo
f ' ( t ) = ( sent)' senír + (p) + sent.[sen(t + (p)]'
, f ' ( t ) = eos t.sen(t + (p) + sent. eos (í + (p)
seti(2t + (p) sen(2t + (p) . . . . .. ,/X 0 = ---- + ---- - y = » f ' ( t ) = sen(2t + (p)
4351 - eos 2.v
y = ------------1 + cos 2x
Desarrollo
dy _ (1 - eos 2jc)(1 + eos 2x) (1 + eos 2x )(l - eos 2x) 1
dx ’ ( 1- c o s 2a)2
, _ d y _ -2sen2x(l - eos 2x) - (1 + eos 2x)2sen2x
dx (1 - eos 2a ) 2
, dy -Asen2x -4sen2x , , , y ' = — = --------- ---------- -— - = --------— , de donde se tiene:
dx ( 1-cos x + sen x ) 4sen x
dy _ -2senx.cosx _ -2 co s x^ i 4 3ax sen x sen x
Diferenciación de Funciones
436 / ( jc) = a .c tg (- ) a
Desarrollo
f \ x ) = a.{------------ ) ( - )• = - 12 , x \ a 2/x \sen (—) sen ( —)
437 y = — — cos(5jT ) - —eos* 2 20 4
Desarrollo
y ' = — = — sen(5x2 )(5jc2 ) '+ — senx2 (x 2) dx 20 4
, dy IOjc .. i , 2 , dy x , 2y = — = -----jen (5x ) + — jenjc => y = — = —sen5x 4
á 20 4 dx 2
438 y = arcsen 2xDesarrollo
y ' - ^ L - ( 2 ; C ) ' - 2
dJC \ ¡ l -4 x 2 V i - 4 . r
439 y = arcsen —JC~
Desarrollo
í L v _ - 2 .
y ,= ^ = _ v i _ = _ ¿ _ = _____^ y = ^ :
^ L i V * — i jc3 Vjc4 —i
*
440 f (x ) = aiccos(yfx)
Desarrollo
^ 2 — senx2
-2:7x4 -1
208 Eduardo Espinoza Ramos
V i - ( V * ) 2 - t i - */ ’(* )= ■
2-V* Vi - X 2 y j x - x 2
441 y = arctg —
Desarrollo
y =( i » '
X
1+ 1 JC2 +1
, dy 1=> y = — = - j —
dx x +1
442,1 + JC.
y = arctg (------)1 — JC
Desarrollo
] + x (1 - jc )- (1 + jc)(-1 )
4 , d - A
dx , . /1 + JCX2 . (1 + jc)2l + ( ^
1 —JC1 +
(1-JC)2
y , _ dy _ 1 - jc +1 + jc
dx (1 — jc)2 + (1 + jc)2 1 — 2 x + x 2 +1 + 2.C + JC- , de donde se tiene:
y =d\ 1
dx 1 + jc2
443 v = 5e~Desarrollo
y ' = — = Se~* (- jc 2) ' = -1 Oxe~x! dx
Diferenciación de Funciones
444 y = - 15*
Desarrollo
, dy (5* ) ’ 2x5* ln5 , dy 2xln5 „ ey ’ = — = — - ; — => y ’ = — = ------— = 2x.5 ln5
dx (5* )2 52x' dx 5X'
445 y = x 2\02x
Desarrollo
y ' = — = (x2) ' 102jt jc2 (102 ) 1 => y ' = — = 2x .l02* + x2102jr21n l0 dx dx
y ' = — = 2x .l02j:(l + x ln ]0) dx
446 f ( t ) = t sen 2'
Desarrollo
f ' ( t ) = s e n 2 '+ ts e n 2 '(.2 ') ' => f ' ( t ) = sen2 '+2 't\n2 .sen2 '
447 y = arcsenex
Desarrollo
y ' _ dy _ edx
448 y = ln (2x + 7)
e2x
Desarrollo
y = dy = (2 x + lY _ 2
dx 2x + 7 2x + 7
449 y = log (sen x)Desarrollo
210 Eduardo Espinoza Ramos
, dy (senx)', cosx , , dy ,v = — = ---------log<? = -------loge => y = — = ctgx.\oge
dx senx senx dx
450 y = l n ( l - x 2)
Desarrollo
dy _ ( 1- x 2) ' _ -2 x
dx 1 —x2 1- x 2
451 y = ln2 x - ln(lnx)
Desarrollo
/ = = =» ? . ± = l t o ,X - - Í -dx ln x dx x ln x
y ,_ d y _ 2 lnx 1
dx x x ln x
452 y '= lnCe"1 + 5senx - Aarcsenx)
Desarrollo
ex + 5 co sx --4
C I U VVO A . ----- -
,_ d y _ (ex + 5senx- 4 aresenx) ' , _ dy _ ______________y l - x 2
dx ex +5senx-Aarcsenx ¿x e r + 5.?e«x - Aarcsenx
y _ d y _ (e* + 5 cos x )v l - x2 - 4
dJC \j 1 - x2 (ex + 5senx - Aarcsenx)
453 y = arctag (ln x) + ln (arctag x)
Desarrollo1
.2. , _ d y _ Qnx)' | (aretgx)' ^ ^ dy __ x | | + x
dx 1 + (ln x)2 aretgx dx l + (lnx )2 aretgx
Diferenciación de Funciones
456
dx x(l + (ln a ) 2 ) (\ + x 2)arctg x
454 y = V lnx + 1 + ln(Vx + l )
Desarrollo1
, dy (ln a + 1) ’ I , dy x l y = — = . ■■■■ + --------- => y = — - ■ ....+ .
dx V21n A + l 2 (a + 1) dx y]2\nx + l 2 (a + 1)
. dy 1 1y = . ~ f - = t + :
dx 2x\/ln x +1 2(a + l)
6) FUNCIONES D IVERSAS:
3 2455 y = sen 5a . cos —
Desarrollo
y ' = — = 3sí,« 25a ( sí,/i5a ) 'cos2 — + se/i3 5x.2 cos—(eos —) ' dx 3 3 3
, dy 2 e r l , * s 2 •>_ _ X Xy = — = ]5 íen 5a.cos5x.cos (—) — sen 5x.2cos — sen— d x 3 3 3 3
11
2 ( x - 2 ) a - 2
Desarrollo
dx 2 ( x - 2) ( x - 2)2
•= * = n _ 4 ^
dx 2 ( x - 2)4 ( x - 2)2
212 Eduardo Espinoza Ramos
, _ d y _ 11 4 , _ ¿/_y _ 11 + 4 (jc — 2)
y dx ( x - 2 ) 3 ( jc- 2 ) 2 V dx ( x - 2 ) 3
15 10 14^7 y = --------------------------- -------------- -
4 (x -3 ) 3 (x -3 ) 2(x - 3)
Desarrollo
y = - ( x - 3 )-4 - y ( x - 3 )-3 - ^ ( x - 3 )"2
y ' = = 15(x ■- 3)-5 + 10(x - 3 )^ + (x - 3)~3 dx
, dy 15 10 1>' - ~ r - - — 7 T + ~.— r r + -
dx ( x - 3 )5 ( x - 3 )4 (x - 3 )
, dy 15 + 10(x - 3) + (x - 3)2 , dy x2 + 4 x -y = — = --------------- —:---------- => y = —
dx ( x - 3 ) dx (x - 3 )
458 y = X
459 y =
8(1- x 2)4
Desarrollo
dy l [ ( l - x 2)4.8x7 - x8.4 ( l - x 2)3(
dx 8 (1 - * 2)8
dy x7( l - x 2) + x9 x7
dx (1- x 2)5 (1-JC2)5
y jlx 2 - 2x + l
XDesarrollo
4x + 3
(- v -2)3
Diferenciación de Funciones
, dy x(y¡2x2 - 2 x + \ ) \ ¡ 2 x 2 -2 x + \y _ _ _ _ _
v ' - dy - 2\¡2x2 - 2 x + l ________________dx x2
, dy x ( 2 x - l ) - ( 2 x ' - 2 x + l ) , dy x -1y = ~ r = -------........ .....■ =— =* y
t e x2y jlx2 —2x + l ' dx x2y¡2x2 -2 x + \
460 y = ----- . X ......a2 4 a 1 + x2 , „2
Desarrollo
, dy 1 J a 2 + x 2 -x (\ la 2 + x 2)'y ' = — = — (------------------ ------------ ) , de donde se tiene:
dx a a '+ x '
+ xy ' = — = — (____________J a 2 + x 2- j 2 v ^ 2 7dx a a ~ + x
dv 1 a2 + x 2 - x 2 dy 1
^ « 2 (.a2 + x2 )y¡a2 + x 2 dx y](a2 + x 2)3
461 y =3 /(1 + x2)3
Desarrollo
7 (1+ X2)73.v2 - x3 i 3! 1 - 2-2^_ _ 1 ____________________ 2V (l + .t2)3 ^
¿v 3 (1 + x2)3
Eduardo Espinoza Ramos
dy l ( 3;c2( l + x 2)3 -3 ;c4( l + .r ! ) : i i
dx 3 (\ + x2)3J(\ + x 2)3
dy _ x2(l + .t2) - * 4 \ '- ^ y - *
dx (\ + x2)yj(l + x2? dx J o + x 2?
3 i n 18 b r 8 3r j 16 , 6r-— \¡x H-----xyjx-b— X\X H----- x~\jx2 7 5 3
Desarrollo
3 | l 8 | 9 f ó ^— x* H— .v6 + — x } h— ~x° , derivando se tiene:2 7 5 13
, _1 1 ' 2 7 > 2= A 3 + 3 * ft+ 3 * 3 + * 6 =* y ' = - - = - V + 3x6 +3ji-3 +A;
dx í/a ix 3
i 1 dy _ 1 + 3a2 + 3x + x 2
dxv3
¿^/(1 + a:3) 8 - 1 3 / cI - hjc3) 5O J
Desarrollo
1 3 ? 1 3 -— (1 + x ) 3 — (1 + x ) 3 , derivando se tiene: 8 5
— = - (1 + a:3 ) 3 3a:2 - - (1 + a:3 ) ’3 3a 2 dx 3 3
— = (1 + .v3) 3[(1 + a :3 ) a :2 - a:2 ] => y ' - — = x5yj(Í+ x3)2 dx dx
r- |
Diferenciación de Funciones
464 y = í J x 13 \ x + 2
Desarrollo
y = — — i-)4 , derivando se tiene:3 x + 2
y • = *L = I (£ l l w , ( £ ± 2>ZÍ ÍZ Í> )dx 3 x + 2 (x + 2 )2
V .V+2
465 y = x 4( a - 2 x 3) 2
Desarrollo
y ' = — = 4x3(a - 2 x 3 )2 + 2x4 (a - 2x3 ) ( - 6x 2) dx
y ' = — = 4x3(a - 2 x 3) (a - 2 x 3-3 x 3) => y ' = — = 4x3 (a - 2x3 )(a - 5 j dx dx
¿¿ir ,a + b x ” s„466 y = --------- ) "a - bx
Desarrollo
y = * = m (£ ± ^ l ) - . (2 1 í ! : ) . dx a -fex " a-fox"
, _ d y _ a + b x " m-¡ (a -b x " )n b x " 1- ( a + bxn)(-n b xn~l )
dx a -b x n ( (a -b x n )2
Eduardo Espinoza Ramos ---------------------------
dy a + b x '\ 2 a n b . x n 1 d\ ,JL. = w (------- )«• i ( --------- ) => y ' = = 2« « w¿7a"¿.v a — ¿?a (a -b x ) dx
3 2
5 (x + 2 )5 (x + 2)4 (x + 2)3 2(x + 2)2
Desarrollo
^ (x + 2)~5 - 3(x + 2)~4 + 2 (x + 2)~3 - - ( a : + 2)~3
— = -9 (x + 2y 6 +12(x + 2y 5 - 6 (x + 2) -4 + ( jc + 2)~ dx
dy 9 12 6 1
¿x ( jc+ 2 ) 6 ( jc+ 2 ) 5 ( x + 2)4 (x + 2)
dy _ -9 + 1 2 (x + 2 )-6 (x + 2 )2 + (x + 2 )3
d x ( jc + 2 ) 6
rfy -9 + 12x + 2 4 -6 x 2-2 4 x -2 4 + x3+ 2 x2 +12 + 8
( jc + 2 )
dy jc3 - 1
6
dx ( jc+ 2 ) 6
( a + a ) - x
Desarrollo
r— (a + jc )(- l)y j Q — \ +-
2\[a~- x
l------ a + x 2 ( a - x ) - ( a + x ) , dy ay/a — x — - — - ” - -
2yJa — x 2\¡a - x dx 2>
(a + b x " ) '" - '
(a - bx” )'"“ '
- 3 jc
Diferentiación de Funciones
469 y = J (x + a )(x + b )(x + c)
• Desarrollo
(x + a )(x + b )(x + c ) = x 3 + (a + b + c )x 2 + ( ab + ac + bc)x + abe
[(jc + a )(x + b )(x + c )]' = 3x2 + 2 (a + b + c )x + ab + ac + be
y = J (x + a )(x + b )(x + c ) , derivando se tiene:
, dy [ ( * + a)(jc + í>)(j:+ £-)]' y — — = — y— , de donde se tiene:
dx 2-J(x + a )(x + b ){x + c )
,_ d y 3x2 + 2(a + b + c )x + ab + ac + ba
dx 2y](x + a )(x + 6)( x + c)
470 z = %jy + y[y
Desarrollo
iz = (y + J y )3 , derivando se tiene:
2 2
^ r ^ ^ y + J y ) 3( y + y [ y ) ' => 7 - = (y+7?) 3 (]+tt= )dy 3 dy 3 2^/y
dz _ 2yfy+l
dy 6yJ(y + \¡y)2 \[~y
471 / (r ) = (2r + 1)(3/ + 2)n/3í + 2
Desarrollo
4
/(/) = (2í + 1)(3í + 2) 3 , derivando se tiene:
218 Eduardo Espinoza Ramos
4 £
f ' ( t ) = 2(3/ + 2) 3 + 4(2/ + l)(3/ + 2) 3
i i/ '(/) = 2(3/ + 2)(3í + 2)3 + 4(2/ + 1)(3/ + 2) 3 => / ’(/) = 2(7/+4)^3/+ 2
1
■ f la y -y 2
Desarrollo
dx 1 _-x = (2 a y -y 2) 2 , derivando se tiene: — = — (2a y - ;y 2) 2(2f l v - v 2) '
dy 2
* t , y ~ a- = - - ( 2a y - y ) 2 ( 2a - 2y ) = - = = = = =^ 2 ' V (2a v - / ) 3
473 y -\ n (\ ll + ex -\ )-\ n (y ll + ex +1)
Desarrollo
, dy ( 7 Í T 7 - 1 ) ' ( J l + ex - I ) *y - — = — ..... .............. =====----- , derivando se tiene:
dx \ l + ex — 1 v l + e ' + l
y ' - - dy - 2-y/l + eA 2/ l + e*
dx 7 l + V -1 V l + Z +1
- j - L - - t - í — ,d* 2\\ + ex v l + e* —1 v l + e * + l
y ,_ d y _ ex ^Jl + ex + l — yjl + ex - 1) y . _ d y _ ___ ]_
d* 2-Jl + ex ( l + ex) - \ dx + e
Diferenciación de Funciones
474
475
1 , 2 v = — eos' x(3cos x - 5 )
15Desarrollo
eos5 x eos3 X . y = -------------------, derivando se tiene:
y ’ = — = eos4 x(cosx ) eos2 x(cos x ) ' de donde se tiene: dx
. dy 4 2y = — = — cos x.senx + cos" x.senx
dx
dy 2 i dy *> 2y = — = cos x.$enx(l—cos x) => y ’ = — - cos“ x.saix(sen x )
dx dx
. tfy 3 2 y = — = sen x. eos xdx
_ ( f g 2x - l ) ( / g 4x + 10f,g2x + l )
3tg3x
Desarrollo
Efectuando el producto se tiene:
tg x+9 tg x -9 tg x -1 1 3 „ „ I -3’ = - -------- * 3 -------= - t g i x + 3 tgx-3 tg 1x - - t g 3>
3/g x 3 3
O O ^ o ”> / l oy '= rg x.sec x + 3sec x + 3tg~ í.sec x + íg ~ .sec x
, sen2x 3 3 . eos2 xy - — — + — ~ + — 2~ + — 4 eos x cos x sen x sen x
, sen6x + 3s« í4x .cos2 x + 3sen2x.cos4 x + eos6 xy = --------------------- ------ ---------------------
sen x.cos x
220 Eduardo Espinoza Ramos
, _ (sen2jc + eos2 x)3 _ 1y 4 4 4 4sen x.cos x sen x. eos x
476 y = tg 2 5x
Desarrollo
y ' = — = 2tg5x.(tg5x)' = 2tg5x.scc2 5x(5) => y ' - — = 10rg5x.sec2 5x dx ' ax
477 V = — JíTlA'22
Desarrollo
, dy 1 ?/ 2\i cosx2 . , dy 2v = — = —cosx (x ) = -------- (2x ) => y = — = xcosx
dx 2 2 dx
478 y = sen2t 3
Desarrollo
y' = — = 2sent3(sent3) ' = 2sent3 cosr3(/3)' dx
y ' = í - = 6t2sent3 cosí3 = 3t2sen2t3 dx
479 y = 3senx. eos x + sen x
¿¡yy ' = — = 3 eos x + 3senx.2 eos (-senx) + 3sen~ x.cos x
dx
Desarrollo
y' - — - 3eos3 x - 6sen2x.eosx + 3se«2x.eosx dx
Diferenciación de Funciones
480
481
, dy . 3 jy = — = 3cos x - ís e n xcosx
dx
d\ ty ' = — = 3 cos x (cos' x - sen 'x ) = 3 cos x. cos 2x
1 3y = - t g x - t g x + x
Desarrollo
. dy 2 , \t 1 , , í/v /j?‘ xy = — = tg 'x ( tg x )------ — + 1 => y=-f- = -
dx eos2 x é/x eos2 jc
, _ d y _ fg2x - l + cos2 x
¿x eos2 x
, _ dy _ tg x - s e n 'x _ s e n 'x -s e n 'x .cos x' T Z ____4 ~~~dx eos x cos x
, dy íen2x (l-cos^ x) sen4x 4y = t = -----------5--------- = — 4- = ' * *
«x cos X eos X
cosx 4
Desarrollo
v , _ —1 íen3x(cos x ) cos x.3sen2 x(senx)' 4 ^
3 sen6x 3sen2x
1 - íen 4x -3 c o s 2 x.sen2x , 4 y =--( í------ )--
3 sen5x 3sen2x
1 ,sen2x + 3cos2x, 4y = r ( ---------- 3-------- ) —
3 sen* x 3sen2x
1
eos2 x
Eduardo Espinoza Ramot
4sen x
, 3cos2 jc -3 serCx eos 2x-----5--------= ------T3 sen x sen x
’ = yja.sen2x + ¡ ic o s 2
Desarrollo
y =
y =
(asen2x + /}eos2 x )' _ 2asen x .cosx-2/Jsenx.cosx
2^Ja7éñ2x + ^^o^~x 2y ]asen2x + ¡3eos2 x
(a -/J) senx. cosx
\]asen2x + p eos2 x
2 2aresenx + arccos x
Desarrollo
y -(x - ) ' (x ) ' 2x 2x
Vi — x4 -v/l - J r4 \ ¡ l - x 4 -v/l — x4y = o
>• = -^(aresenx)2 arccos x
Desarrollo
' = arcsenx(arcsenx)' arccos x + — (a resenx)' (arccos x ) '
aresenx. arccos x (aresenx)
y fí^ x2 2\¡\-x2
1 .2 arccos jc - aresenx. Bv = —arcsenx(--------- --------------- ) ]' 2
Desarrollo
■ wwmm ------ y ~
unció
Desarrollo
22 Eduardo Espinoza Ramos
, V 1- x 2 + x árceos x , x árceos x - \ l\ - x 2
y = 3Vi-A 2 2(1 * }
48.' y = —j=- arcsen(x. —) -Jb Va
Desarrollo
2V
\fb yfb
\[a _ \[a
'Jb [i J2 b r- \¡a — x2b -J a -x 2b \ ¡a -x 2by = J ___>/á ________ Va - ? => y - = ----- I
r ~2 f •*48 y = \a - x +aarcsen —a
Desarrollo
a { -Y- x a . x ay '= r -...... + - f= ík = =* > ' = - = = + - - . ---------
yja2- x 2 L _ x2 yja - x 2 V a2 - x 2O
a - x y ja -x y ja - x l a - x , í a - xy = , — = - ------- --------= ------- =• y = , ------ para a > 0 .
_^2 (a - * ) ( « + * ) \ a + x \ a + x
I--------- x49 y = x\ a 2- x 2 + a 2arcsen —
a
Desarrollo
2 a ( ~ ) 2 2 2 2x „ , a - x - x a,.......... + , g--~ =* y ' = — , ■ + - , ----------
\la2 - x 2 2 yla2- x 2 yja2 - x 2
Diferenciación de Funciones
, 2a2- 2 x 2 . n -----2y ■ ....— = 2\¡a - x •; a > 0
J J ^ 2
491 y = arcsen(l - x ) + y ¡2 x -x 2
Desarrollo
_ d y _ ( 1 - jc } ' , ( 2 jc - x - ) '
dx y j l - a - x ) 2 2\¡2x- X2
, dy -1 1 — jc , dy - xy = ~ r ~ ' i , + - - => y -
t e -s/l — 1 -+-2jc — jc2 \ ¡2 x -x 2 te yj2x x 2
492 v = ( x - —)arcsen(yfx) + —y ]x - x 22 2
Desarrollo
v ' = = (jc — —) ' arcsenyfx + (jc- — )(arcsen\[x) '+ — ( te 2 2 2
, dy r 1 (V jc)' 1 1- 2.Íy = — = aresenyjx + ( x - —) - )
te 2 Vi —Jtr 4 V x ^ v 2
, dy /- 2 jc — 1 1 — 2 jc , dy r-y = — = arcsenyjx H-----+ — ■===■ => y = — = aresen^x
dx 4 -J x -x 2 4 v j c - jc2
493 y = ln(arcsen 5x)Desarrollo
_d y _ (arcsenSx)' _ -Jl — 2 5 í l ^ . = £ .
d* arcsen5x arcsen5x ' dx V l-2 5 x 2 .arcsenSx
494 y = arcsen (ln x)Desarrollo
J.
y dy ■ ( ln* ) ' ■■ X y . . .d y _ 1
dx \¡\ - (ln x )2 yj\- (\nx)2 dx xyj\- (\nx)2
226 Eduardo Espinoza Ramos
.... . xsena495 y = arctg (— — — )
1 — xco&aDesarrollo
xsena (1 - -V cos a ).sena - xsena (- cos a )
y ' - dy - ( l-A -coso:J ^ y- = l = __________ (I -A c o s a )2___________dx i | ( xsena ^ ' dx (1 - x cos a )2 + x2 sen2 a
1-jccosa ( l - A c o s a )2
, dv sena - xsena. eos a + xsena. cos a , dy sena■ y = - •
dx l - 2jccosa + x2cos2o: + x2se/i2a dx l - 2xcosa + x2
x .2 5 2 + 4
496 y = —arctg-----------3 3
Desarrollo1
5,gf + 4 ,
, _ d y _ 2 ( 3 Y , dy 2 ( C0S~2
* 3 5 íg - + 4 3 9 + (5 fg| + 4)2
5(9)
, .dy _ 2 ( 6c0s2 2~ ) ^ y , _ dy _ 2 (____________15___________ }
* 3 9 + 5(rg — + 4)2 dx 3 2 eos2 ^ (9 + (5fg + 4)22 2 2
Diferenciación de Funciones
y ' - 5
dx cos2| (9 + 25í£2-* + 40/gí + 16)
, dy 5 y = — = ---------------------------------------, de donde se tiene:
dx eos2 - (25(1+ /g2^ ) + 4 0 ^ | )
y ' = ^ - =
dx eos2 — (25 sec2 — + 40 tg —)2 2 2
, dy 1 , dy 1y = — = -------------------- => y = -¿ - =
dx « . o x ___•* dx 5 + 4se/uc5 + 8íe/j —cos—2 2
497 y = 3b2arctg I— ---- (3b + 2x )\ lb x -x 2V b - x
Desarrollo
( I x ) '
y ' = 3b2— * b ~ ± . -----2 y jb x -x2 ~ (3b + 2x) {bxZ l L
l + ( , / - ^ - ) 2 ly jb x -x 2V —jc
b ____
■ — , ( t - 2, )
2,/ta- * 1b - x
' -31.2/ b (b - x ) f i 2 (3¿>2 + 2fo*-66.r-4jc2) y = 3 ¿ ( ----- = = ----------- = - ) - 2 s lb x -X A ----------------pr: ---------
2 b y ¡b -x (b -x y ¡x ) 2\¡bx - x 2
228 Eduardo Espinoza Ramos
499
3b2 4 (b x -x 2) + 3b2 -4 b x -4 x 2
3 yfb^xyfx 2 s jb x -x 2
3b2 8 x 2 - 3 b1 , 3b2 + 8 a 2 -3 b 2 8 a 2
y = — r -— : r + — -v ~2 y lb -x y [x 2 s ]b x -x 2 2yfxylb — x 2 y jb x -x 2
4x2 \[x , I xy - ■ = 4a y = 4a.
\ fx y jb -x y ¡b -x \ b — x
498 _y = —y¡2arcctg - a v 2
Desarrollo
# )*■ = _V¿(— VL_)_1 =* v' = V2( ^cop-) - 1
1 + ( * S )2 ' 2+..V2 2
2cos2 a + sí,« 2a 1+cos2a 1 + cos2a I + co s 'a
eos2 A
< = 4 ¡rDesarrollo
, (eaxy aeax a y = — ¡ = = — j = = —yje
2'Jeax 2s¡eax 2
500 y = esenx
Desarrollo
y - e sen x (sen 2x )'= 2 s e n x .co s x .e sm x => y '= sen2x.escn x
Diferenciación de Funciones
501 F ( x ) = (2mamx + b )p
Desarrollo
F '(* ) = p(2mamx + b )p~' (2mamí + b ) ’ . derivando se tiene:
F '(jc ) = p(2mamx + b )p~' 2m2a mx lna
F ' ( x ) = 2m2p(2ma,nx + b ) p- ' a inx lna
502 F ( t ) = eca cos f i t
Desarrollo
F ' ( t ) = a e c“ c o s p t - P ewsenP t => F ' ( t ) = ea (a eos P t - P senp t)
( a senp x - P eos P x)eax503 y = ---------— —í-— ——--------
a + p -
Desarrollo
, _ (a eos /3x + b2senp x)eax + a eax (a senp x - P eos xp v)y =- , .
a + p~
. (/} + a )senp xeax a ,V = ---------- r------f-------- = senp xe
a + p
é504 v = ---- (3sen3x - eos 3*)
10Desarrollo
íT* íT*y = ---- (3sen3x - eos 3.v) H------ (9 eos 3* + 3sen3x)
10 10
ey = ---- (~3sen3x + eos 3* + 9 eos x + 3sen3x)
10
230 Eduardo Espinoza Ramos
505
y' = --(10cos3x) = e a cos3a
10
y = x na x
Desarrollo
y' = nxn- ' a - x2 + x na - x\ - 2 x ) l n a => y '= a '* * x " - \ n - 2 x 2 lna )
506 y = 'Jcosx.a'^cosx
Desarrollo
y ' = - ^ £ L a ^ x + y í ^ . a ^ rx(y í ^ ) '\ n a 2vcos;t
senx.a °*x senx.yfcosxM osx ln ay =
2 sf<COS A 2veos a \
1 i--- Jcosx,senx senx j—— .= — veos x.av [--- + --- .Veos a ln a]
eos a eos x
y ' = — VcosA.fl'W (ígx + tgx.-Jcos a ln a)
y ' = —i %/cos a^cos *?&*(! + Veos A.ln a)
507 y =3i
« « -
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
i1 C t g -
, ctg- ln 3 3 * ln 3
y =3 T_;— r = — T ~x2sen2 — ( xsen —)2
508 y = \n(ax2 + bx + c )
Desarrollo
, (a x '+ b x + c ) ' 2 ax + by =-
a * 2 + bx + c ax2 + bx +
509 y =; ln(;t + \la2 + x 2)
Desarrollo
1 + - *v ' _ ( x + yla2 + x 2) ' yjq2 + x 2
x + V a 2 + x 2 x + y]a2 + x 2
4~a2 ' ~2+ x + x
J a 2 + x 2(x + \la2 + x 2) y¡a2 + x 2
510 y = x -2 y fx + 2\n(l + yfx)
, , 1 , 2(1 + yfx)' , 1 yfxy = 1 — pr h---------- = — => y = 1 — = h— — = = 1 -
Desarrollo1
1 1
yfx 1 + yfx yfx l + yfx yfx yfxX + X
_ yfx + JE-(1 + yfx) + l _ X _ _ yfx
yfx(l + yfx) yfx(l + 'f x ) 1 + yfx
511 y = \n(a + x + y]2ax + x 2 )
Desarrollo
232 Eduardo Espinoza Ramos
512
, _ (a + x + ' J lax + x2 ) ' a + x \ 2a x + x 2
. a + x1 +v =
%/ la x + x~ J l a x + x 2 + x + a
a + x + \Jlax + x 2 Vla x + x 2 (a + x + y¡lax + x 2) yjlax + x 2
1
xDesarrollo
ln2 x
i _-)y ' = — — = (ln jc ) “ => v'- - 2(ln x ) (ln x ) ' , de donde se tiene
ln x
y ' = -2 ln-3 x (—) = -x jdn 'jc
513 y = ln(cos ——-) x
Desarrollo
Lcos(--- •)] - s e n (--- )(----). ______ x _______ x x
, j r - l .cos{----- ) cos(----- )
JC X
. J C - 1 . . . 1 . , JC — 1. 1 . , 1 , x - l .y = t g ( ----- )(1— ) = - t g ( - ---- ) (— ) => y = — 5-tgC------)
X X JC JC- X ~ X
. ( * - 2)5514 y = ln-------- r(X + D3
( x - 1 ) 5
Desarrollo
y = ln — — ^ - = ln (x -2 )5- ln (x + l )3 => y = 5 1 n (x -2 )-3 1 n (x + l)( x + l )
Diferenciación de Funciones
515
516
5 3 2x + 11 , 2x + 11y = — « — --- r =» yx - 2 x + l x — x —2 x - x —2
„ U - l ) ^ - 2)
x - 3Desarrollo
y - in í í — l l l í í — - ln (x - l )3( x - 2) - l n ( x - 3) x - 3
y = ln (x - l ) 3 + ln (x - 2 ) - ln (x - 3) => y = 3 ln (x - 1) + ln (x - 2
3 1 1 , 3x2+16x + 19y = ------ - + -------------------- => y ' = .
x -1 x - 2 x - 3 (x - l ) (x - 2)(x - 3)
y - ------^ + ln(fgx)2sen'x
Desarrollo
sen 2x , 2sen 3x(senx)' (tgx)' y = -------— + In(í^x) => y ' = ---------- i------L + A A jL
2 2 tgx
cos x sec2 x , cosx 13 J 3sen x tgx sen x cos" xJgx
cosx 1 , cos2x + íen2x 1y = — — + - ----------- => y =------- ----------- = - j - --------
sen x senx.cosx sen xcosx sen x.cosx
1v =
sen3x. cosx
- ln (x
517 y = ^ i j x 2 - a 2 - ~ “ ln(x + yfx^+a2)
Desarrollo
234 Eduardo Espinoza Ramos
1 + - *n 2 2 # 2 p; 7V. _ V * , * _______
2 <-» n ? 2 . /~2 r^ 2V-V - a ^ x + yjx - a
, x 2 - í i 2 + j c 2 a2 Vx2 - a 2 + jcy = ----/ . ~ T < r
, 2x2-a2 a2 2x2-2a~ , r "¿ 2
^ " a
518 y = ln(ln(3 - 2 jc3 ) )
Desarrollo
6a2
. [ln(3 — 2jc ) ] ’ _ 3 - 2jc3 ^ _________ 6x~
ln(3 — 2jc3 ) ln(3 — 2jc3 ) (3 - 2x3) ln(3 - 2x3)
519 y = 51n3(ax + fc)
Desarrollo
y '= 151n2(ax + ¿)[ln (av + b)]' => y ’ = 151n2(£ur + ¿>).
y
ax + b
, _ 15aln '(ax + b)
ax + b
J x 2 + a 2 + x520 y = ln(- ,----------- ,
yjx2 + a 2 - xDesarrollo
y = ln( ^.A~ + ü— — ) = ln(Vx2 + a 2 + x ) ~ ln ( yjx2 + a~ - x )yjx? + a2 - x
Diferenciación de Funciones
521
522
, ( y¡x2 + a 2 + a ) ' (-y/*2 + a 2 - x ) ' . y = — ; ------------ ,...... ....... , derivando se tiene:
■Jx2 + a 2 + a -Jx2 + a 2 - x
x + i - J L - - i, _ yjx2 + a2 f x 2 + a 2
y =
y =
\lx2 + a 2 + x yfx2 + a " - x
x + y j x 2 + a 2 x - - J x 2 + a 2
■Jx + a2 (>Jx + a 2 + x ) ( -Jx2 + a 2 - x )yjx2 + a 2
1 1 _ 2
■<Jx2 + a 2 \Jx2 + a 2 yjx2 + a 2
m, , 2 2x n , x ~ay = — ln(A - a ) + — ln------
2 2 a x + a
Desarrollo
y = — ln(A2 - a 2) + — [ln (.t-o )- ln (.v + a )]2 2o
, /n, 2x N w , 1 1 'y = — (— — —r) + — (----------------) , de donde se tiene:
2 x — a 2a x —a x + a
mx n ,x + a - x + a sy = —— 2 + ^r (— 2— — >x - - a 2 a x -a ~
2 2 2 2 J 2 2* - a * - a x - a
y = A.sen(ln a- - —)4
Desarrollo
236 Eduardo Espinoza Ramos
5 2 3
y ' - sen(\nx- —) + ;ccos(ln.*- — )(ln x - —) ', derivando se tiene:4 4 4
K Xy ' = sen( ln x ---- ) + cos(ln x ---- )
4 4
y ' = .«jn(ln a ) c o s — - cos(ln x)sen — + cos(ln x) cos— + ,sen(ln x)seti —4 4 4 4
V2 V 2 72 V 2y ' = — sen (ln x )-— cosíln a ) + — cos(ln v) h----- sen(lnx) ,por So tanto
2 2 2 2
’ = v 2íen(ln a )
1 , , x . 1 cosx y = -ln (/g
2 ' “ 2 ' 2 ~ ~ 2sen xDesarrollo
(í? —) 21 6 ? 1 sen x(-senx) - cos x.lsenx cos a
y = 2 T T - " 2 -----------------^ ----------------
tg2
1 2 a". - C O S — 3 , i 21 2 2 sen x + 2 eos x.senx , .
y = — —-------— + -----------— 7-----------, de donde se tiene:
Diferenciación de Funciones
1 eos2 x + l . 1 eos2 x + ly = ------ r + —— i— =* y =-
4cos- . s e n - 2sen' x 2senx 2sen' x2 2
sen"x +eos2 x + l 2 , 1y = ----------------------------- = ------------- y = -
2sen^x 2sen3x sen'x
524 / ( x ) = yjx1 +1 - liix
Desarrollo
Aplicando propiedad de logaritmo
/ (x ) ~ V x2 +1 - ln(l + Vx2 + 1) + ln x , aplicando la derivada se tiene:
/ w = 'V x2+ 1 1 + v x +1 *
* * 1f (x ) = ,----- - — =====------ . + --v/x2 +1 Vx2 + l ( l + Vx2+ 1) *
2(1 + Vx2 + l ) - x 2 + V x 2 +1 (1 + Vx2 + 1)f \ x ) = X~
f ' ( x ) X
r2f \ x ) = —
x+Jx2 + l(V x 2 +1 + 1)
2(l + >/x2 +1 - l ) + yjx2 + 1(1 + Vx2 + 1)
xVx2 +í(l + Vx2 +1)
\Jx2 + l + \ l x 2 + l ( l + \Jx2 + 1)
xy¡x2 + l ( l + V x2 +1)
238 Eduardo Espinoza Ramos
525
526
r v * 2 + i W x + i V x + i ( i + V x + i ) . _ V-v2 + 1/ ( x ) = --------- f = = - = ------------7= = = — => ./ ( a ) = ---------
x(l + Vx2+ l ) x(l + Vx‘ + l ) *
y = ~ln(1. . x2 - 2x +1
3 x2 + x +1Desarrollo
y = —[ln(jc2 - 2x + 1) - ln(x2 + jc + 1) ] , aplicando la derivada se tiene.
1 ( j c 2 — 2 j c + 1) ’ ( jc 2 + jc + 1 ) ’ , 1 2 x - 2 _________2 x + l
3 jc2 — 2jc + 1 jc2 + jc + 1 ' 3 x2 - 2 x + \ x : + x + l
, 1 r 2 ( j c - l ) ( j r + jc + 1 ) - (2 jc + 1) (jc - 2jc + 1 ) .-V = - [--------------- .2 S S ln J i ------------------------13 (x - 2 x + l ) (x + jc + 1)
. 1 r2(x3 - l ) - ( 2x3 -3 x 2 + l ) ny = - [ ------------ ----------- i---------------- J
3 ( j c - 1 ) ( j c 3 - 1 )
, l r 3x2 - 3 . x2- l x + 1 , x —1y ' = _ [ ----------------------------------] = ---------------------------------- - -------------- = > y = --------------
3 ( x - l ) ( x 3 - l ) ( x - l ) (x 3 -1 ) x3- l x3 — 1
y = 2arcsen x + (1 — arCCOS3x)2
Desarrollo
y '= 2“rcseni*(arcsen3x)' ln 2 + 2(1 - árceos 3x)(l - árceos 3x)’
y ’ = 2arcse"*x + 2( l - arccos 3x) - 3V l- 9 x 2 V í- 9 x 2
y ' = L — (2arcsenix ln 2 + 2(1 - arccos 3x))V l - 9 x 2
Diferenciación de Funciones
senax . 3— 1 sen ax
527 y = 3C0S<U + —3 eos3 bx
Desarrollo
senax . 3----- 1 sen ax
y = 3cosat + ---------- aplicando la derivada se tiene:3 eos bx
,.. = 3= l n 3 ^ Y H — )2(— ycos bx cos bx cos bx
. - sen2a x ,, a cos tacos ax + bsenax senbx „y = ( 3 COSb x j n 3 + --------- --------) ( ------------------------------------- ----------------------------------- )
cos eos bx
t g * + 2 -7 31 6 9528 y = _ i n ( — 2----------- )
^ . « í + 2 + 73
Desarrollo
.y = -p[ln (/# + 2 - 73 ) - ln[rg + 2 + 73] n/3 2 2
(* * 1 + 2 - 7 3 ) ' ( íg ^ + 2 + 73 )'
> '= - } - [ — 2----------------------------------- J73 t g í + 2 -7 3 t g ~ + 2 + S
1 12 A' _ 2 *
, 2 COS — 2 COS —y = _ L [ ----------- 2------------------2— j
n/3 í g - + 2 -7 3 í g - + 2 + 73
2 * 2 « sec — sec —L . [ ---------- 2------------------3_ J
273 tg ^ + 2 - j 3 tg ~ + 2 + 73
240 Eduardo Espinoza Ramos
529
530
. sec2 ^ (íg ^ + 2 + a/3) - sec2 ^-(tg - + 2 -\ ¡3 )y ’ = [ -------- 2 ------ 2-----------------------------2------ 2-----------------j
( t g ± + 2)2 - 3
R 2 * 2 X 2. 2V3 sec — sec — sec
.v = , - U -------------2-1 - -2 -(,s | + 2)! - 3 ( , g í + 2)! - 3 is 2 Í + 4 i s Í + 4 - 3
2 X 2 ■*sec - sec9 0 y ' = ------------- -------- = ------------------, por lo tanto:
( tg2 — + l ) + 4 t g - sec2—+ 4tg —2 2 2 5 2
1t , a x , a. x 1 + 2senx1 + 4 sen — + 4 tg —
2 2
y = arctg (ln x)Desarrollo
\(ln.v)' x • 1y = ----------— = ------i ------ = > y = ------------ ------
l + ln2x l + ln2,r x (l + ln2x)
y = ln (aresenx) + in2 x + arcsen( ln x)
Desarrollo
, (aresenx)' , „ ( ln x ) ’y = - ----------—+ ln x (ln x ) + =
aresenx ^1 - ln2.
1
, _ Vi - r2 , ,n * , 1•y _ -------------------- + -----------+ ....... ........' '
aresenx x x V l- ln
* I <n
|
Diferenciación de Funciones
, 1 ln a: 1y = - = = --------- + — + -
\ll — x2 arcsenx x x-J 1 — ln~ x
531 y = a/rfg(ln-í-) x
Desarrollo
0“ - ) , , v x (- ln x )y - •*--------- «l + ( l n i )2 l + ln2A A ( l + ln2A)
y¡2 X 1 , X -1532 y = ----arctg—¡= + — ln
3 6 V2 6 x + l
Desarrollo
(— Y —, ^ \Í2 l r 1 1 , . S , y¡2 , l r 2 .
J # T ^ í ' T f í - ' = T (^ 7 , + 6 [7 r r '1 + — ----------- —
2 2
, yfí 2 . 1 . , 2 1^ = - r ( - ? r 7 :— — ) + ■ ■ .- - - => y = .
3 \¡2(2 + x2) 3 ( a 2 - 1 ) 3 ( 2 + a 2 ) 3 ( a 2 - 1 )
1 2 a 2 - 2 + 2 + a 2 , , 1 3 a 2 s a 2y ' = ( .... . ..- - => y ' = - ( — -----=— -) =
3 ( a + 2 ) ( a - 1) 3 a + x~ - 2 a + a " - 2
, l + V senx . /-----533 y = ln----- 7= '+ ¿arctg \¡ senx
l — yjsenx
Desarrollo
y = ln ( l + \ lsenx )- ln(l - \lsenx) + larctg Vícwa
242 Eduardo Espinoza Ramos
534
, (1 + yjsenx)' (1 -y jsenx) ' 2( yjsenx)'y = -------7 = = ----------- 1------" + ~— -------
\ +yjsenx 1 - y ] senx 1 + serve
COS JC COS JC COS JC
y ' = — senx i 2 V senx | y]senx1 + \/senx 1 - Jsenx 1 + senx
cosjc 1 + 1 + 1
yjsenx 2(1 + Vsenx) 2(1 -y jsenx) 1 + senx
cos x 1 1 — yj~señx +1 + \fseñx 1y = /— (---------:-------- :---------) + :
-v/senx 2 1 -senx \ + senx
c o s j c 1 1 , c o s j c r l + senjc + l-.se/u;,y - - = = [ - -------------- + - ----------------- ] = > y = - = = [ - ---------------- — ---------------- - ]
yjsenx 1 - senx 1 + senx yjsenx (1 - senx)(l + senx)
c o s j c 2 , c o s j c „ 2 N y ' = - ¡ = ==■[-------- — ] y = - p = = r (---- — ) = •
y]senx 1 - sen2x \lserve eos2 jc ~yf.senx cos a
3, x - l 1, , jc-1 . 1y = - ln(— ---- ) + - ln(------) + - aretgx
4 jc2 +1 4 jc+ l 2
Desarrollo
V = — [ln(A'2 + l ) - ln (A 2 - 1)] + — ln í.v -1) - — ln(x + l) + — aretgx4 4 4 2
Diferenciación de Funciones
535
536
-3x x2 +1 + x2 -1 3x x 2 x2 - 3 xy ' = -----------------1-------------------------------------= > y = ----------------------------1----------------- -------------------------
x4 -l 2(jc4 - 1) x4 - l x4 -l x4 -l
/ (x ) = i ln(l + jc) - i ln(x 2 - x + 1) + arctg ( 1)2 6 V3 V3
Desarrollo
J2
f \ x ) = ---- ------------ \X ~ X + -------- J L2(1 + *) 6(x2 - j c + 1) ^3(1 + (— ——)2 ]
V3
/ ,( t ) - 3U2 - A + l ) - ( 2jc - l ) ( * + l) |
6(x3 +1) 3 + 4 * 2 —4 jc+1 _ /
. 3jc2 -3 x + 3 -2 x 2 - x + l 2 / ( x ) = ---------- — 5— ----------- + -
6(jc3 +1) 4x2 - 4x + 4
x 2 - 4jc + 4 1 x2 - 4 x + 4 1 / ' ( x) = — — --------- + — 7 — ------- => / ( x ) = ------:-------+ -
6(x 3 + 1) 2x2 - 2x + 2 6(x3 + 1) 2(x 2 - x + l)
4 (x 2 -4 x + 4 )(x + l) + 3x + 3 ... . x3-3 x 2+ 4 + 3x + 3/ (x ) = ----------------t----------------- => / (x ) = ----------- -----------
6(x + 1) 6(x + 1)
v 3 - ' i r 2f ( x ) =
x3 -3 x 2 +3x + 7
6(x + 1)
DesarrolloV T -x 2
Eduardo Espinoza Ramos
V i - * 2(arcsenx + . X •«) -
/ 'u ) = ------------------- Vl Z L + ..V i ~ Z .1-JC2 V i- *2
„ . _ - 2
/ '( * ) =y j l - x " arcsen x + x , - x
l - x 2 ( l - * 2)
„ V i- JC2arcsenx , t/ \J\-x2 arcsenxf \ x ) = ----------- 5------ => / ( * ) = ----------- 2------
( l - x 2 ) 1 — jc2
y = senh 2x
Desarrollo
y '= 3senh2 2x.cosh2.r(2) = 6senh 2 2 a . cosh 2x
y = « “ * cosh [ix
Desarrollo
y' = <?“ * cosh p x + /3e°“ senh/5 x => y' = e “ (a cosh /lr + /? senh ¡ix)
y = tg 3h 2x
Desarrollo
y ' = 3tgh22x.------r----= 6tgh22x (\ - tg h 22x)cosh" 2x
y = ln(senh 2x)
Desarrollo
, (senh2x ) ' 2cosh2xy ' = ---------- - = ------------= 2ctgh2x
senh2x senh2x
Diferenciación de Funciones
541 y = arcsenh{—~) a '
2*2
V =2*
Desarrollo
2x
542 y = arccosh (ln x)
, dy (ln x) '
Desarrollo
1* , dy 1_ ____________ _ ----- í -------- —\ y — —i . — ----- . ----
dx y](\nx)2 -1 ^ (ln * )2 -1 dx x^J(\nx)2 -1
543 y = arctgh (tg x)Desarrollo
1, _ d y _ (tgx)' _ eos2. 1
dx 1 - ( t g x ) 1 - ( t g x ) cos2 x(1 —
COS X
y =1 1
eos2 x — sen2 x cos 2*y -
i
eos 2x
544 y = arcctgh (sec x)Desarrollo
, dy (sec * )' secxtg x sec* 1 , dyy =- r=— i— : = --- ^ L- = — — = --- =* y =dx sec x -1 t g 'x tgx senx dx se
545 y = arctghi 2X ) l + x
Desarrollo
246 Eduardo Espinoza Ramos
2 x (1 + x ~ ) 2 - 2 a ( 2 a
. « W v 0 + ^dx i / 2 x ^ (1 + a 2) 2 - 4 a 2
l - * 2 ~ ( l + A2)2
, dy 2 + 2a 2 - 4 a 2 _ 2 - 2 a 2 , 2 ( 1 - a 2) _ 2
dx 1 + 2a 2 + a 4 - 4 a 2 1 - 2 a 2 + a 4 ( I - a 2) 2 I - jc2
l JC546 y = —(a -\ )arctghx + —
Desarrollo
, dv , .A2 -l l . Iy — “ ■ — a arctgh a + ---------7 ) + -
dA 2 l - a 2
, dy l l , dyy = — = xarctghx — + — => y = — - xarctghx
dx 2 2 dx
.A2 1 A-v/l + A2547 y = (— + —)arcsenhx-------
2 4 4
Desarrollo
A2 1. 1 \ 1-A2 Ay ' = a arcsenhx + (— + —)
V Í-J
2 4 y]i + x 2 4 4\¡\ + x
2 a 2 + 1 1 1 + a 2 — a 2
,2
4 Vl + A2 4\ll + X 2
,2 x ¿ + 1 1 2 a 2 + 1V1 = xarcsenhx + (---------) —=====------. ■■■ ■■■■■ =» y '-xarcsenhx
4 V Ü 7 4 V Í T 7
Diferenciación de Funciones
548 Hallar y' sí:
a) y = | x |Desarrollo
. | . X si A > 0 , f 1 SÍ JC>0Si y =| *l= i . „ derivando y =\ .
-x ii x < 0 -1 si x < 0
Luego y' =1 , cuando x > 0 y / = -1
Cuando x < 0 y y' (0) no existe
b) y = x | x |Desarrollo
. , í x2 si x > 0 í 2x si x>X)y = jcjc=-^ derivando y ’
- x 2 si j c < 0 \ ~ 2x si x <0
549 Hallar y' sí: y = ln | x |, (x * 0)
Desarrollo
jc' 1 , 1y = _ = _ = * y
X X X
550 Hallar / ' ( jc) si: / ( jc) =1-jc cuando j c < 0
e~x cuando j c > 0
Desarrollo
/ '(•*) =1 cuando jc < 0
- e ~
551 Calculo / '(O ) sí: f ( x ) = e x c o s 3jc
Desarrollo
248 Eduardo Espinoza Ramos
f ' ( x ) = e~x ( -3 s e n 3 x ) -e x c os3jc => f ' ( x ) = e~A(3sen3x + cos3x)
f ' ( 0 ) = -e°(3sen0 + c o s 0 ) - - l => / '(0 ) = —1
552 /(jc) = ln(l + x ) + arcsen^. Hallar / '(1 )
Desarrollo
1 + J[ / j 7 1 + Jf y¡4 - x 2
f \ d = I + - L => / ’(1) = - + —2 V3 2 3
553 y = rg3 — . Hallar ^ 6 ¿jc jt=2
Desarrollo
, „ 17tx 2 n x n n , 7T.c y = 3 t g — .sec- ’— — = — (tg — sec— )-
6 6 6 2 6 6
,i dvy U 2= y -dx
= > ^ .se cf)24(V3.2)24(3)(4) = 62 3 3 2 2x=2
554 Hallar /+(0) y /_7(0) para la función / (x ) = yjsenx2
Desarrollo
Por definición /+ (0) = lima->+o /i
Como / (jc ; = yjsenx2 , f(0 ) = 0, /(O + A) = yjxen h ?
Diferenciación de Funciones
555
556
Luego: f l (0) = lim ---- - = lim -yjsenh2 - 0
h
senh2h1
h-t+0 h A-» 0 h
= 1=1A—>+0 1 1
/.'(O) = lim / (0 + * ) - /<0) = lim/i—»—O /l A-» O /l
yjsenh2
/_/(0)= lim — ^ — = lim ^
senh2
h2 — -~r => / _ (0 ) = - la-*-o h /i->-0 -1
—h
Dada la función / (jc) = e - * . Hallar / (0 ) + jc/ ’ (0)
Desarrollo
Como /(jc) = e - * derivando se tiene / ’ (jc) = - e ~ x
/ ’ (0) = - l y f(0 ) = 1. Luego /(O) + x / '(0 ) = 1 - x
Dada la función / ( jc) = \ll + x . Hallar: / (3 ) + ( x - 3 )/ ' (3)
Desarrollo
Como /(;c) = VT+x derivando se tiene / '(jc) = — ~2\fl + x
Luego f(3 ) = 2 y / ’(3) = 4
/ ( 3 ) + (jc - 3 ) . / ' ( 3 ) = 2 + Z - l =
250 Eduardo Espinoza Ramos
557 Dadas las funciones f(x ) = tg x y <p(x) = ln( 1 - x). Hallar
Desarrollo
f(x ) = tg x =* / ' ( * ) = sec2 x
<p(x) = ln( 1 - x) =* <p'(x)= 1l - x x - \
f \x) - sec2 x \ f\ x ) = 1 / ’(0) 1i => < . Luego: -------= — = -1
cp\x) = — U>X*) = -1 <P\ 0) -1jc — 1
558 Dadas las funciones f(x ) = 1 - x y <p(x) = l - s e n ( — ) . Hallar yr~~
Desarrollo
f ( x ) = l - x => / ’ ( * ) = -1 => / ' ( l ) - - l
a>(x) = \- sen(— ) => (p\x) = — cos(— ) => ^ '(x ) = — (0) = 02 2 2 2
<P’( 1) _ 0 _ Q / '( l ) - i
559 Demostrar que la derivada de una función par es una función impar y la de una
función impar, es par.
Desarrollo
Sea f(x ) una función par, entonces: f(-x ) = f(x )
f ' ( - x K - x y = f ' ( x ) - f ' ( - x ) = f ' ( x ) => f ' ( —x ) = —f ' ( x ) .
Luego f ' ( x ) es impar.
Diferenciación de Funciones
Si g (x ) es impar g(-x) = - g (x ) g ' ( - jc ) ( - x ) '= - $ ' ( * ) => - g ' ( x ) = -g '\
g ’ ( - x ) = g ’ (x ) . Luego g ’ ( * ) es par
560 La derivada de una función periódica es una función periódica.
Desarrollo
Sea f(x ) una función periódica cuyo periodo sea T, es decir f(x + T ) = f(x),
f ' ( x + T ) ( x + T ) ' = f ' ( x ) => f ' ( x + T ) = f ' ( x )
/ ' ( * ) es periódica
561 Demostrar que la función y = xe~x , satisface a la ecuación xy'= (1 - x )y .
Desarrollo
Como y = xe~x => y '= e~x - xe~x => y' = e~x ( \ - x )
xy '= xe~x ( \ - x ) =$ xy'= ( l - x)xe~x = (\ - x )y => xy' = ( l - x ) y
e-x2562 Demostrar que la función y = —y - satisface a la ecuación x y ' - ( \ - x 2)y
Desarrollo
^ .Como y = ----- derivando se tiene:
252 Eduardo Espinoza Ramos
563
564
Demostrar que la función y = ------------- satisface a la ecuación1 + x + lnjc
xy'= y (y ln jc - 1)
Desarrollo
1 , (1 + jc + ln x )'y = ------------------ =}■ y = -------------------- -
1 + jc+ ln x ( l + jc + ln x )
1+ X * + 1 . * + * 2
y = ------------ --— 7 = -------------------------7 => y = -----------y(1 + x + lnjc) jc(l + jc + ln.v)“ ■*
jcy' = - ( j c + l ) y 2 — ( 1)
Como y = ------ - — ■ =* y( 1 + x) = 1 - y ln x, de donde se tiene:1 + jc + ln ,v
y 2(l + x ) = y (l - yln.v) — (2)
Reemplazando (2) en (1) se tiene: xy' = - y ( l - y ln jc)
xy'= y (y ln * - 1)
7) D E R IV A D A L O G A R IT M IC A .-
v ' /*Sea y = f(x ). Entonces (ln y ) ' = — = ------- . Hallar y ', sí:
y /(*)
3 f~ 2 1 - X 3 2y = \ x -------sen jc.cos xl + x 2
Desarrollo
2 -> ln y = ln x - ln(l + x ) + ln(l - jc) + 31n senx + 2 Incos jc
Diferenciación de Funciones
y ' 2 -1 2x 3 cosjc 2 senx~— = ---- K-------------- - + -------------------y 3jc \ - x 1 + jc senx cos jc
. , 2 1 2 jc „ xy - y (~— -------------- 7 + 3ctgx - 2tgx)
3x l - x 1 + a
565 Hallar y ' , sí y = (senx)x
Desarrollo
Tomando logaritmos se tiene: Ln y = x ln (sen x.)
— = In(smv) + -------- y '= y(ln senx + jc ctgx)y senx
y' = ( senx)* (ln senx + xctgx)
566 y = (x + l)(2x + l)(3x + 1)
Desarrollo
Ln y = ln (x + 1) + ln (2x + 1) + ln (3x + 1)
y ' 1 2 3 , , 1 2 3 x— = ----- H---------- 1-------- => y = y(----- ■ + ------- + --------)y jc + l 2jc + 1 3jc + 1 jc + 1 2jc + 1 3jc +1
y' = (2 jc + 1)(3jc + l ) + 2 ( jc+ 1)(3jc + 1) + 3 (jc + 1 )(2a + 1)
567 y =( x + 2)2
(jc + 1)3(jc + 3 ) 4
Desarrollo
ln y = 2 ln (x + 2) - 3 ln (x + 1) - 4 ln (x + 3)
y ' 2 3 4 . , ^— = ------------------------ , de donde se tiene:y jc + 2 jc + 1 jc + 3
254 Eduardo Espinoza Ramos
568
, 2(x + 1)( x + 3) - 3(x + 2)(x + 3) - 4( x + 2)( x + 1)
(x + 2 )(x + l)(x + 3)
-5x2 -19x-20 ( x + 2 )2 5x2 +19x + 20
y ^ (x + 2 )(x + l) (x + 3 ) (x + 3)4(x + l )3 (x + 2 )(x + l)(x + 3)
, (x + 2)(5x2 + 19x + 20)
(x + l )4(x + 3)5
O
Desarrollo
ln y = - i [ ln x + ln (x - l ) - ln ( x - 2)]
y = I + ( I + J ______ 1_ ) ^ y ( x - l ) ( x - 2) + x ( x - 2) - x ( x - l )
y 2 x x -1 x - 2 2 x ( x - l ) ( x - 2)
- íx (x -1 ) 1 x~ - 3 x + 2 + x~ - 2 x - x ~ + x
x - 2 '2 x ( x - l ) ( x - 2)
, y jx ( x - l ) x2 — 4 x + 2 , x2 -4 .V+2y = J r - 7 = = - ( — ---- ITT---- — ) ^ •2\Jx- 2 x (x - I)(x - 2) 2y l x ( x - l ) ( x - 2)
569 y = x dx2
x2 +1Desarrollo
ln y = ln x + ^[ln x2 - ln(x2 + 1)]
- = - + { ( % — p ~ ) => i L = i + i ( 2 _ _ | £ _ )y x 3 j r jc -t-1 y x 3 x x + 1
Diferenciación de Funciones
y ' 1 2 2 jc , , 5 2x 5jc2 + 5 - 2 j c 2— = — |------------------ => y = y (--------------------) = y (----------------- )y x 3x 3(jc2 + 1 ) 3x 3(jc2 + 1) 3jc(jc2 + 1)
, , 3x2 + 5 N J x 2 , 3x2 + 5 . , 3x2 + 5 J x 2
y ~ y 3 x (x2 + 1) 1 x 2 + 1 3 x (x2 + 1 ) ^ V 3(jc2 + 1 ) V x 2 + 1
570 y = . . .
V U - 1)5( j c - 3 ) "
Desarrollo
ln y = 9 ln(* - 2 ) - 1 [ 5 ln (* - 1) + 11 ln(jc - 3 ) ]
z : = _ 9 _ _ i (J _ + _ I L )y j t - 2 2 x — 1 jc — 3
, 1 8 ( jc - 1 ) ( jc - 3 ) - 5 ( jc - 2 ) ( jc - 3 ) - 1 1(jc - 2 ) ( jc - 1 ) ,y = y (-------------------------------------------------------------)
2 ( jc—1)( jc — 2 ) ( jc—3 )
( j c - 2 ) 9 , 2jc2 - 1 4 * + 2
^ V ( j c - 1) 5( j c - 3) u 2 U - 1 ) ( j c - 2 ) ( j c - 3 )
(jc — 2 )8 (jc2 - 7 j c + 1)y = ----------------------- -------
( j c - 1 ) ( j c - 3 ) V ( ^ 1 ) 5( j c - 3 ) 11
CIA V X - I5 7 0 y = , — , ----- -
y](x + 2)2 iJ(x + 2)3Desarrollo
ln y = l ln ( jc - l ) - - j ln ( jc + 2 )- l ln ( jc + 3 )
256 Eduardo Espinazo Ramos
Z - = ---- ----------------------- (------ )y 2 ( x - l ) 3 ( x - 2 ) 2 jc + 3
, /3(a + 2)(x + 3 ) -4 (* - lX J f+ 3 )-9 ( jc - l ) ( . t + 2 )y - y ( ------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------)
6U -D (jc + 2 )(x+3 )
• - - 5x2 - x + 24 )
\f(x + 2)2 -J(x + 2)3 3 {x - l )U + 2X* + 3)
5jc2 + x -2 4
3(jc- 1 )2(jc + 2 )3(jc + 3 )2
572 y = x x
Desarrollo
ln y = ln x x = x ln x , derivando
y '— = ln x+ l => y '= y ( ln x + l) => / = x*(lnjt + 1)y
573 y = jt' 2
Desarrollo
ln v = ln x x = .v2 ln x , derivando se tiene:
V 2— = 2x ln ;t+ jt => y' = y (2x ln x + x ) = x x ( 2x ln .* + x ) , de donde se tiene:y
/ = .r * 2+1(21n.í + l )
i574 y = yfx = x*
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
ln y = ln x* => ln y = , derivando se tiene: x
y ' 1 — ln jc , 1 — ln jc , xr - 1 -ln jci - i n j f , f - 1 - i n j cy = y ( — r - ) => y = W — t ~)>y J y / ' J v ' 9
y x¿ x ¿ x¿
575 y = JC^
Desarrollo
lny = ln jc^ = V lln jc
/ ln.v Vx lnjc 1 , ^ 2 + lnjc.— = — r + — =* y , = y ( - r + - r ) => v ’ = xv* (— - = - )y 2 v j c X 2 v j c VJC 2 V jc
v
r * - 1- 1_y' = jc 2(1 + —ln jc)
576 y = x x
Desarrollo
ln y = ln x x — x x ln jc , derivando se tiene:
= xx ( - ) + (jc* ) ' ln jc = ( jc* ) ’ = j c1 (ln jc + 1)
~~ = xx(—) + jc* (lnjc + 1)ln.v => v' = y [ x x( — + ln2 jc + lnjc)]y x x
y ' = xx jc* (— + ln2 jc + lnjc)JC
577 y = x smx
Desarrollo
258 Eduardo Espinoza Ramos
ln y = ln x senx = senx. ln x , derivando se tiene:
— - cos x .ln x + S€nX => y ' = y(cosx.lnx + ^ - ) , de donde se tiene:
y ’ s ¡x™ * ( — +coax.lnx)
578 y = (co sx )5í7,j;
Desarrollo
lny = ln (cosx )""* = senx. ln(cos x ) , derivando se tiene:
— = cos x. ln(cos x ) - - - => y '= y [cos x. ln(cos x ) - íewx.fgx] y cos x
y' = (cos x ) senx (cos x. ln(cos x ) - senx.tgx)
579 y = (l + V x
Desarrollo
I r - 1 ln y = ln(l H— ) = xln (l + —) , derivando se tiene:
x x
. 1 , 1
= ln(l + 1) + x x = » y ’ = y [ ln ( l+ - ) + x x ]V X 1 X x + 1 J X + —
X X
y '— y[ln (l + 1) + x (— => y ’= ( l + 1) Jci n [ ( l + S - 1x x (x + l ) x x x + 1
580 y = (arctgx)x
Diferenciación de Funciones
Desarrollo
ln y = \n(arctgx)' = jcln(arctg x ) , derivando se tiene:
1
V = ln (arctgx) + x *LnC'8 ^ = > y '= y [ l n (arctg jc) + j c - + x ] y arctg x arctgx
Xy' = (a rctgx)x [ln (arctg x ) + ---------------— ]
(1 + x )arctg x
Í2.3. DERIVADAS DE FUNCIONES QUE NO ESTÁN D; 1 EXPLICITAMENTE.-_______________________________
a) D ERIVAD AS DE L A FUNCIÓN INVERSA.-
Si la derivada de la función y = f(x ) es y'x * 0 , la derivada de la
/ I dx 1inversa x = f ( y ) será. jc = — , osea — = —-
y y x dy dydx
b) D ERIVAD AS DE FUNCIONES EN FO R M A P A R A M É T R IC
medio del parámetro t.
Si la dependencia e m re la función Y y el argumento x viene d¡\x = (p(t)
[y = y ( t )
, ^ dy
Se tiene y ' = ' en otra notación es: V =x, dx dx
dt
c) D ER IVAD A DE L A FUNCIÓN IM P L ÍC IT A :
Si la dependencia entre x e y viene dada de forma implícita F(x,y)=
para hallar la derivada y'x = y' en los casos mas simples, bastará:
260 Eduardo Espinoza Ramos
1) Calcular la derivada con respecto a x del primer miembro de la
ecuación (a ) considerando a y como función de x.
2) Igualar esta derivada a cero, es decir, suponer que: ^ F (x ,y ) = 0dx
3) Resolver la ecuación obtenida con respecto a y ' .
581 Hallar la derivada x'y , si:
a) 3* + x 3 = y
Desarrollo
dy „ „ 2 dx 1 / 1- = 3 + 3* =3 = — r => X = — —r- d* dy 3 + 3* 3 + 3*
. 1b) y = * — senx7 2
Desarrollo
y;/ _ dy _ cos x d x • 2
dx 2 dy 2 - c o s *
JC
c) y = 0.1* + e2
Desarrollo
i dy n , e 2 dy 0.2 + e 2 dx 2y = — = 0.1 + — => — = ---- ----- => — = ----------
dx 2 dx - 2 dy0.2 + e2
, 2 i 2 10 / 10y = -------- 7 = » T = -------7 =» *> = ------ I
0.2 + e2 - + e2 \ + 5e2 l + 5e2
Diferenciación de Funciones
C A L C U L A R L A D E R IV AD A y ' — — de las funciones siguientes daddx
forma paramétrica.
582jc = 2/ — 1
y = t3Desarrollo
x = 2t - l
y = t3[ ' , derivando tenemos: — = — =[>i = 3 t 2 dx x[ 2
583* = - + 1
t
/+ !Desarrollo
jc = — »-1 i
y = ( ~ ) 2 í + i
xi = —( t + l f
y,i t
derivando se tiene:
( í + 1)3
21dy _ y1, _ (r + D*dx / + !
( í + D2
584
JC = -2at
Ü 7
a ( i - t 2)
l + r2Desarrollo
262 Eduardo Espinoza Ramos
x =
y = -
2 at
Ü 7
a ( l - t 2)
l + t2 y' .=
2a ( \ - t 2)
(1 + t2)2 —4at
( l + t2)2
—4at
dy , yj ( l + t2)2 _ y* j .2,2dx 2a ( l - l )
(1 + f 2)2
2/
l - t 2dy
dx
21 \ - t 2
585
x = ■3 at
i ^ 7
3 at2 1 + r3
Desarrollo
x =
y =■
3at
1 + f3
3 at2 1 + í 3
3a/(l-2/ )
(1 + í3)2
, 3 a t (2 - t3)
>v = ( i+ < 5) !
3 a í (2 - r )
/ >’/ U + *3)2 _ >(2 -> 3)
dx y* x¡ 3a (l—2í3)2
(1 + í3)2
1 - 2 Í3
dy _ / _ í ( 2 —í )
d t _Vj: l - 2í3
586
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
\x = S t
[ y = t í
y,,=w
i
dy= i _ y j _ 3 ¡ [ i2 _ 2 yft _2_
dx _ L 3 # 3\/f2sít
^ = v / = _ dx * 3V ,
587-* = Vf¿ + l
/ - I
V/2+1
: = VÍ2 + 1
> =f^-l
V ^ T Í
Desarrollo
tVr +1
1 + r
( r + 1)2
l + f
dy _ ../ _ y/ _ ( t 2 + 1)2 (l+j)V l+r \+t y* / * 7
V i + / 2 ( f2 + i ) 2/(i+/2)
dy _ „ / _ l + /
d x ~ y* ~ ,(\ + t2)
588x = a(cost i-1 sent)
y = a (s e n t - t cos t)
Desarrollo
(n I*;
264 Eduardo Espinoza Ramos
a(cosf + tsent) j.v, = atcost
a (s e n t - tc o s t ) [y, =atsent
dy _ / _ y, _ atsenl _ sent
dx x x1. atcost cosí= tgt
dy ,- j L = yx = t g ‘dx
589x —a eos21
[ y = bsen2t
Desarrollo
acos21 I x¡ = - 2a sent cos t
■ bsen2t [ y¡ = 2bsen t cos t
i _ y, _ 2bt sen t cos t _ b
x x[ —2a sen tcost ad l = y ' = - *dx a
590: = a cos t
> - bsen3t
Desarrollo
x = ¿reos t
bsen^t
\xl, - -3 «c o s 2 t.sent
[y/ = 3b sen21. cos t
dy_
dx. y ’ = Z i . = ■yx
y1. 3b sen2 tcost
x[ -3a eos21 sent
b— tgta
dy / b~ = y'x = — tgtdx a
591
x =eos31
\fcos2t
sen3t
>/cos2/Desarrollo
Diferenciación de Funciones
x =
y =
eos3t
Veos 21 sen3t
Veos 21
r/ _ eos4 t.sen t - 3cos2 t.seri't
cos 2t .Veos 21 ¡ _ 3eos3 l.sen2t - sen4t.cost
cos 2;.Vcos2?
592
jc = arccos -
y = aresen
Desarrollo
-Y, =-íV i + 7
3
/(1 + f2) 2Vl-'-r
y = aresenVi
y, =■+ r
1
Ví^ 1, de donde se tiene:
¿ydx
_ y! _ V l + r2
Ví^7
= -1
593= e
2/
Desarrollo
266 Eduardo Espinoza Ramos
594x = a(lntg —+ cos t - s e n t )
y = a(sent + cos /)
Desarrollo
x = a(ln tg — + cos t -s e n t )
a - cos — j .x[ = --------- - - a s e n t -a c o s t => xL = a ( - ctg — sent-cos t)1 2 2
2 sen — n
y = a(sen t + cos t), derivando se tiene: y¡ = « (c o s í - sent)
dy y[ _ a (c o s t - sent)
x' A ti a ( —ctg — -sen t - c o s t)
„ , , dy k \ x - a ( t - s e n t )595 Calcular — para t — , si: <1
dx 2 [y = a (l-cos/ )
x = a(t - sent)
y = a ( l - c o s í )
Desarrollo
¡x¡ = ü (l-co s r )
[y/ -asent
dy _ i _ y, asent _ sent
dx Vjt x[ a (l-c o s r ) 1 -eos/
596 Hallar — para t = 1, si:dx
x = t\nt
_ ln/
dy
dx
sen-2 1
, * . n 1 -0 <=-z l - c o s —
2 2
= 1
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
x = /ln/
_ n í t
x¡ = ln / +1
=-1 — ln/
/
1 -ln/dy
dx = y * = ^ r =1 -ln/
x¡ 1 + ln/ / (1 + ln/)
dy
dx
l - ln ( l ) 1 -0
,=1 l(l + ln (l); 1 + 0= 1
dy
d x ,
„ .. dy n . \ x - e cos/597 Hallar — para /= — , si: <
dx 4 \ y - e ‘sent
Desarrollo
x - e cos/
[y = e sent
I .x¡ - e ' cost -e 's e n t
[y/ =e'sen t - e ' cosí
dy _ , _ y¡ _ e' (sent-c o s /) _ sen t - cos t
dx x x 't e' (cos t - sent) cos t - s e n t
dy
dx
n n ^2 >¡2sen---- cos— — -------
4 4 _ 2____ 2n n \¡2 %Í2 ocos— sen— j l í l _ JLz4 4 o
0= ----- ~ OO
598 Demostrar que la función y, dada por las ecuaciones paramétr
jjc = 2/ + 3/*
[y = /2 + 2í3satisfacen a la ecuación:
Desarrollo
dx dx
268 Eduardo Espinoza Ramos
x = 2t + 3t2 \ x ¡ = 2+61y = t2 + 2l 3 [y/ = 2t + 6t2
dy _ y ' t _ 2/(1 + 30 _ f
dx x¡ 2(1 + 31)
(— )2 + 2(— )3 = t2 + 2t3 = y dx dx .
599 Para x = 2 se cumple la igualdad x 2 = 2 x , ¿se deduce de esto que
( * 2) ’= ( 2jc)' para x = 2.
Desarrollo
Si ( x 2) '= (2 x ) ' => 2x = 2, para x = 2, se tiene que 4 = 2, es falso.
Luego para x = 2 se tiene x 2 = 2x no se cumple que ( x 2 ) '= (2x)' para x = 2.
600 Sea y = \Ja2 - x 2 . Se puede derivar miembro a miembro la desigualdad de
x 2 + y 2 = a 2 .
Desarrollo
Como x 2 + y 2 = a 2 => 2x + 2y' = 0 ded on d ey ' = - —y
n 2 dy - x A a a dy x Ahora como y = v a - x = » — = de donde— = —
^ \la2 —x2 dx y
• dyLuego se cumple, puesto que es una identidad. Hallar la derivada y ' = — de
las siguientes funciones implícitas y.
601 2 x - 5 y + 10 = 0Desarrollo
Diferenciación de Funciones
2 x -5 y + 1 0 = 0 => 2 - 5 / = O de donde y ' =
x2 y2602 ^ + ~ - = l
a2 b2Desarrollo
2x 2y ’ n y , x , b2x— + -T - = 0 => -¿ ry ' = — =■ => y ' = ----r -a~ b~ b a a y
603 x 3 + y 3 = a 3
Desarrollo
X3 + y 3 = a 3 => 3x2 + 3 y 2y' = 0 => y 2 y ' = - j r 2 => v ' . -2
604 x 3 + x 2y + y 2 = 0
Desarrollo
3x2 + 2xy + x 2y 'x + 2yy' = 0 =* ( x 2 + 2 y )y '= - (3 x 2 + 2xy)
3x" + 2xyy = — 5-------- --
x + 2y
605 \[x + yfy = -Ja
Desarrollo
1 v ' i y ’
2-v/x 2 yfy yfx yfy
y ' _ 1 \fy [y
V T ~ 7 ? ^ y = ' 7 I ^ * = V *
Ui |
K>
270 Eduardo Espinoza Ramos
6 0 6 y fx 2 + y fy 2 =
Desarrollo
2 2 2 jc3 + y 3 = a 3
\ iy zy ' = - x 3
607 y3 = Í Z 2x + y
Desarrollo
, 2 , U + y X i - y O - U - y X i + y )
y y ( * + y ?
3 y 2(x + y )2y ’ = x + y - ( x + y )y ,’- ( x - y ) - ( jc - y) y’
3y2( x + y ) 2y '= 2 x -2 x y ' => (3y (x + y)2 + 2 x )y '= 2 y
2 y 3 x — y 3 /y = — ----------------- como y- = — — => y ( x + y) = x - y3y¿( x + y Y +2x x + y
2y 2 y2Luego y = — ~------------------------- = ------------------------—
3y (x+'_vXjc+>') + 2jcy 3 (jc -y )(x + ty) + 2xy
, 2 y 2 _ 2y2
3y3(x + y )(x + y) + 2xy 3 ( x - y ) ( x + y ) + 2xy
2 y1y 3(x2 - y 2) + 2xy
' + - y 3y' = 0
l/vy = - 3 l l
Diferenciación de Funciones
608 y - 0.3 sen y = xDesarrollo
y '-0 .3cosy .y '= l => y '( l -0 .3 c o s y ) = l
1 1 10y = -------------- = ----- =-----— =r—— -------- => y = ---
l-0 .3 cosy , 3 1 0 -2 cosy 101----- cos y 710
609 acos2(x + y ) = ¿>
Desarrollo
2a cos(x + y )[- íew (x + y )( l + y ' )] = 0 , de donde se tiene:
-2acos(x + y ) í f7j(x + y )( l + y ') = 0
-asen2(x + y )( l + y ') =Q => l + y ' = 0 => y' = — 1
610 tg y = xyDesarrollo
sec2 y.y1 = y + xy’ => (sec2 y - x )y '= y
■ _ y _ y eos2 y
sec2 y - x 1- x eos2 y
x611 xv = arctg (—)
yDesarrollo
10
3 cos y
272 Eduardo Espinoza Ramos
xy y , A + x 2 + y \ , \ - x - yxy + — ------ 2" = 2------2 ~ y =* ^ ---- 2------— ) = y (— 2— ~ }
x2 + y 2 j r + y 2 x¿ + y¿ x¿ + y~
2 2jty'ü + x 2 + y 2) = y(l--Jt2 - y 2) => y ’ = 2 ( i l Í L Z 2 L )
x 1 + x + y"
612 arctg (x + y ) = xDesarrollo
1 + >’ — = 1 => 1 + y' = 1 + (jc + y ) 2 => y' = (.x + y ) 2l + O + y ) -
613 e y = x + y
Desarrollo
e y .y' = l + y' => e y.y '- y '= l => y ' (e y - l ) = \ey -1
_y614 \nx + e * = c
Desarrollo
1 -1 jcv' - v “— + e x (— ---- ) = 0 => x + e x (- jc y '+ y ) = 0x x
e y(. -xy '+ y ) = —x => - x y '+ y = - x e x => xy' =■ xex + y
y
/ = e ; + i X X
615 ln v + — = cy
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
616
617
— + - — ~ = o => yv'+}'-JO ' ' = 0 *=» ( y - * ) y ' + y = o y y
( y - x ) y ' = - y => y ' = ---- — y ' = - yy — x x - y
y i > / 2 2\arctg = - ln ( jT + y¿)
Desarrollo
x y ' - yx2 x + y.y' x y ' - y .x+y.y '
- ^ — = • ^ — 2- =» - T t = 2 2 => x y - y = x + yy l + (Z )2 ■* + r j r + y x + y
X
X +¿yx y ' - y y ,zzx + y => ( x - y ) y ' = x + y => y' -------—
* ~ y
í2 2 yx + y = c.arctg —
xDesarrollo
x y ' - y
x + yy' = c x2 ^ x +yy ' _ r x y ' - y
>Jx2+ y 2 l + ( ^ ) 2 \lx2 + y2 x2 + y2
xy - y , cxy' cyx + y y = c . / 7 => y y — p = ¿ = = — - = ± = ¿ = - x
yjx2 + y2 yjx2 + y2 yjx2 + y2
y yjx2T y 2 - ex cy + xy¡x2 + y2y ( u. .. - ) ( )
yjx + y sjx + y
y x r f ? 7 7 - a ) . - ( c y + « ¡ 7 7 7 ) = » ^ * 4 ^ ?c x -y ^ x 2 + y2
274 Eduardo Espinoza Ramos
618 j c '= y *
Desarrollo
ln x v = ln y x , derivando se tiene:
y i ,, xy' y + y'xln jc y ln y + jy ' — + / ln jc = lny + — => - — ---------= - — ---------
— + y 'ln x = ln v + — => y 'ln jc -— y ' = ln y~ — X X V x
^ y ln x -J t * l n y - y ^ y ( jc ln y - y )
y jc jc yln jc-jc
619 Hallar y' en el punto M ( 1,1) sí: 2y = l + Jty ?
Desarrollo
2 y '= y 3 +3jcy2y' => 2y '-3xy2.v'= y 3 => (2 - 7>xyz )y '= y 3
y' = r ~ — 2 ^ y ' l M ( U ) = i i =_1 ^ y'Lvf(i,i)= -12-3jcy -2-J
620 Hallar las derivadas y' de las funciones y, que se dan a continuación en los
puntos que se indican:
a) (x + y)3 = 2 7 ( x - y ) cuando x = 2 e y = 1.
Desarrollo
3(jc + y )2(1 + y ’ ) = 27(1 - y ') => 3( j c + y ) 2 + 3 ( j c + y )2y '= 2 7 -2 7 y ’
Diferenciación de Funciones
( 3 ( x + y ) 2 +21 )y ' = 2 1 - 3 (x + y)2 => y ' - 21 3 (jr+ -v)3 (x + y )2 +21
_ 21 -3 (2 + Y)2 _ 27-3 (9 ) _ O _n _n^ P(2,1) 3 (2+ 1)2 +21 3(9)+ 27 54 ^ V ip(2J)
b ) yey = ex+l, cuando x = 0 e y = 1
Desarrollo
, ex+i y 'e y + yeyy '= ex+ => --------
ey + yey
,, e _ e _ 1 _ 1y W " - e + e ~ T e ~ 2 ^ y 'p m ) ~ 2
c) y = x + ln— , cuando x = l e y = 1x
Desarrollo
x y - y
2yy' = l + — c-'_. => 2yy' = \ + ^ - => 2yy' = l + ? - - - y xy y xX
2 yy'-----= 1-----=> y '( ----------- ) = ------ => yy x y x x (2y2 — 1)
276 Eduardo Espinoza Ramos
2.4. APLICACIONES GEOMÉTRICAS MECÁNICAS DE LA DERIVAD A.-
a) E C U A C IÓ N DE L A TAN G E N TE Y DE L A N O R M AL.-
La ecuación de la tangente a la curva y = f(x ) ó f(x,y) = 0 en el punto
A/ú 0,;y0) es: y - yo = y ¿ (* ~ *o ) donde y '0 es el valor de la
derivada y' en el punto M ( x 0,y Q) .
La recta perpendicular a la tangente, que pasa por el punto de contacto de
esta con la curva recibe el nombre de normal a dicha curva y su ecuación
es:
x ~ xo + y ' o ( y - yo )=:0
b) A N G U LO ENTRE CURVAS.-
E1 ángulo formado en las curvas y = ( jc) e y = f 2( x ) en su punto
común M ( x 0,y 0) está dada por la fórmula:
i g w - f l ) — f\ (*o )
l + //(-»b)-/2 (^o)
c) SEGM ENTOS, R E LAC IO N AD O S CON L A TA N G E N TE Y L A N O R M A L , P A R A E L CASO DE UN S ISTEM A DE CO O RD ENAD AS CARTESIANAS.-
La tangente y la normal determinan los cuatro segmentos siguientes (En
la figura).
t = TM , llamado segmento tangente S, = T K , sub tangente
m = NM, segmento normal S„ = KN , subnormal
Diferenciación de Funciones
Como K m =|y0 | y tg(p = y '0 se tiene: t - TM = \ + \y0
M = N M =\y0J l + (y'0) 2 \
S , = T K \ ^ \ ; Sn =\y0y'0 \
d) SEGM ENTOS R E LAC IO N AD O S CON L A T A N G E N TE Y N O R M A L P A R A E L CASO DE UN S ISTE M A CO ORDENADAS PO LARES:
Si la curva está dado en coordenadas polares por al ecuación r = f((f
ángulo ja, formado por la tangente M T y el radio polar r = OM (fi
14) se determina por la fórmula tgn = r ^ - = — .dr r ’
La tangente M I' y la normal M N en el punto M, junto con el radio p
del punto de contacto y la perpendicular a dicho radio trazado por el ¡
O, determinan los cuatros segmentos siguientes:
t = MN, segmento de la tangente polar
m = MN, segmento de la normal polar
S, = O T , subtangente polar Sn = O N , subnormal polar; do
m = M N = yjr~ + ( r ’)2 , Sn = M N = r'
278 Eduardo Espinoza Ramos
621 ¿Qué ángulos (p forman con el eje OX las tangentes a al curva y = x - x~ en
los puntos abscisas son:
a) x = 0, b ) x = -2
c) x = 1
Desarrollo
a) tg(p ■■dy
dx= (1 —2jc) |l=0= l =>' tg tp = 1 => <p = 45°
x -0
dyb) t89 = - r dx
= (1 - 2x) | , = 1-1 = 0 => tg <p = 0 =* cp = 0°X — —
2
c) tgcp =dy
dx= (l-2 .v )x=1 - 1 - 2 = -1 => tg(p = -l => (p=135c
Y
x=\
Diferenciación de Funciones
622 ¿Qué ángulos forman con el eje de abscisas, al cortarse con este en el orig
coordenadas, las sinusoides y = sen x e y = sen 2x?
Desarrollo
Sea y = f(x ) = senx => / ' ( x ) - c o s x => / ’ (0 ) = 1
y = g(x) = sen2x => .? '(*) = 2 cos2x => g ' ( 0 ) - 2
Luego tg(p = / '(O ) = 1 => tg cp = 1 => <p = 45°
tgV = g ' ( 0) = 2 => tg <p = 2 => <p = arctg 2 => cp = 63°26’
623 ¿Qué ángulos forma con el eje de abscisas, al cortarse con este en el orig
coordenadas, la tangentoide y = tg x?
Desarrollo
dy tg<p = —
dx= sec2 x |x=0= sec2 0 = 1 = » tg tp = 1 => cp = 45c
A=Ü
0.5*624 ¿Qué ángulos forma la curva y = e con la recta x = 2, al cortarse con <
Desarrollo
Sea tg<p = y |<=2= 0.5eOSx \x=2= 0.5e = -
e etg(p = — =* (p — arctg — = 36°21 ’
625 Hallar ¡os puntos en que las tangentes a la curva y = 3x4 +4.v3 - \ 2 x 2 sean paralelas al eje de abscisas.
Desarrollo
Sean I , la recta tangente y L el eje de abscisas
280 Eduardo Espinoza Ramos
Como L t ¡ IL => m L , - m L \ pero mL, = 12x3 + \ 2 x2 - 2 4 xy => mL = 0
Como mL, = mLt => 12jc3 +12jc2 -2 4 x = 0
12x ( a -2 + x - 2 ) = 0 => 12x(x + 2)(x - 1) = 0.
Luego: Para jc, = 0, y, =20 => P¡ (0,20)
Para x2 = -2 => y 2 = 4 => í *2 = ( _ 2,4)
Para ic3 = l => y 3 = 15 => P3(l,15)
626 ¿En qué punto la tangente a la parábola y = x " - l x + 3 es paralela a la
recta 5x + 7y - 3 = 0?
Desarrollo
Sea L, = ? y L: 5x + y - 3 = 0, tal que L , // L
= (2x —7) |p( ojVo)= 2x0 —7dx
p (v > o )
mL = -5, luego como: L, I IL => m L ,= m L => 2x0 - 7 = -5
como 2x0 = 2 => a0 — 1, y o = -3
Luego P (l,-3 ) es el punto pedido.
627 Hallar la ecuación de la parábola y = x 2 +bx + c que es tangente a la recta
x = y en el punto ( 1,1).
L, : x — y => mL, — 1
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
628
629
mL, U ) - f = ( 2x + b)\x=l=2 + b — l => b = -lpU.l)
Luego y = x - x + c , pero como es tangente en el punto (1,1) es decir:
1 = 1 — 1 + c => c = 1 y = x 2 - x + 1
Determinar el coeficiente angular de la tangente a la c
x 3 + y 3 - xy - 7 = 0 , en el punto (1,2).
Desarrollo
Coeficiente angular de la tangente, lim — = - -Ax-*o Ax dx ( 1.2 )
Como x 3 + y3 - xy - 7 = 0 , entonces:
3x" + 3y2y ' - y - x y ' = 0 (3.y2 - x )y ’= y - 3x2
3>’2 - xdy_dx
2 -3 1
(1,2)1 2 - 1 11
¿En qué punto de la curva y 2 = 2 x 3 la tangente es perpendicular
recta 4x - 3y + 2 = 0?
Desarrollo
Sea L: 4x — 3y + 2 = 0 mL =4
Como y2 =2.Y3 => 2y .y '=6x2 => y ' =3x-
Sea L, la recta tangente mL, = y ' :3.v
282 Eduardo Espinoza Ramos
630
, , , , 1 3a2 1 3a2 3 2Como L, 1 L => mí* -------- = > -------= — - => ----- = — => y = 4x
' ^ wL >- 4 y 4
Como y 2 = 2 x 3 => ( —4^^ ) 2 = 2JC3 =* 1 6 a 4 = 2a3
, 1 2a (8a - 1) = 0 , de donde: a, = 0 , a2 = -
8
Para: Aj = 0 , y, = 0 => P{(0,0)
1 _ 1 D /1 UX2 ~ S ' y2~ \6 ^ 8 ’ 16
Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la parábola y = V a en
el punto cuya abscisas es x = 4.
Desarrollo
r > * i dy1 — Va =* y = — t= => mL, = —-2 Va dA .r-4
1
4
Lr : y - y0 = mL, (a - a0 ) como a 0 = 4 => y0 = 2
Luego L : y - 2 = -í-(A -4 ) => L, : a - 4y + 4 = 04
Como mL = — => mLN = -44 w
Ljy : y —a = - 4 ( a - 4 ) => : 4 A + y —18 = 0
631 Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva
y = a 3 + 2a 2 - 4 a - 3 , en el punto (-2,5).
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
y '= 3 x 2 + 4 x - 4 => m L ,= —dx
= 3 (-2 ) + 4 (-2 ) - 4 = 0 => mL, =(-2,5)
Luego: L, : y - >'0 = mL, ( x - x 0)
L, : >’ - 5 = 0(x + 2) => L, : y - 5 = 0
Como mL, = 0 => mLN = <*>
y — 5L N : y - 5 ~ m L N (x + 2) => : : ■■■■=<» => L v : x + 2 = 0
x + 2
632 Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y = v x — 1
punto ( 1,0).
Desarrollo
= <x> entoncesJC—1
3/— 7 . 1 7 dyy = \Jx-l =$ y = —77= como mL = —3 y x - l dx
: y ~ y o = m L , ( x - x 0)
L, : y — 0 = °°(x — 1) =? ¿j : ——- = °° => L, : x —1 = 0x — 1
633 Hallar las ecuaciones de las tangentes y de las normales a las siguientes cu
en los puntos que se indican:
a) y = tg 2x en el origen de coordenadas.
x — 1b) y = arcsen(----- ) en el punto de intersección con el eje OX.
c) y = arccos 3x en el punto de intersección con el eje OY.
d) y = ln x en el punto de intersección con el eje X.
284 Eduardo Espinoza Ramos
. 2y - e en los puntos de intersección con la recta y = 1.
Desarrollo
a) y = tg2x => / = 2sec2 2x => mL, - y '|x=0= 2
L, : y - y0 - mL, (x — jc0 ) =¡> L , : y - 0 = 2(x - 0) => L, : 2x - y - 0
L , : x - 2 y - \ = 0 y LN : 2x + y - 2 = 0
bir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva.
1 + /
z3j en el punto (2,2).
212 + 21Desarrollo
x = 2 => t = l
y = 2 => t= 1
mL, = y ' L i =2 => mL< = 2
Diferenciación de Funciones
/ yyx = de donde •
/ -3 -2/
6 - í*< = - .32/-’
y ~ z L 2(3+20 / i _>{ x; t (6+ o * } * u - x¡
10 r: — = mL,7 '
L, • y - y 0 = m L , ( x - x 0) => L, : y - 2 = y ( * - 2 )
L, : 7 x - 1 0 y + 6 = 0 y : 7y-r ,r» r - 3 5 = 0 ■
635 Escribir la ecuación de la tangente a la curva x = t cos t,
origen de coordenadas y en el punto t = ~~-
Desarrollo
y [ - s e n t + t c o s t , x¡ = eos t - 1 sen t
y, sent + tcost mL, = - L = ----------------
x cos t — t sen t= 0 reemplazando se tiene:
r=0
: y - 0 = 0 (jc -0 ) L, : y = 0
4 + nmL, =
sent+tcost
cost - t s e n t t = K_ 4 - n4
n n n ,para t = — => x = — , v = — reemplazando se tiene:
286 Eduardo Espinoza Ramos
636 Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva
jc3 + >'3 + y 2 + 2x - 6 = 0 en el punto cuya ordenadas es y = 3.
Desarrollo
Para y = 3 => x 3 + 2x + 3 = 0 , de donde x l = - \
Luego el punto de tangencia es P (-1,3)-
Como mL. = — dx
mL, = — dx
i 2 — 3x2entonces: 3x* +2y.y'+2 = 0 => y ' = ---------
p(-i.3) ' 2“y
- 2 - 3 5
L, ■ y - y 0 = m L t ( x - x 0) => L, : y - 3 = - — (x + 1) de donde se tiene:6
Lt : 5x + 6y -1 3 = 0
c . , 5 6Si mL, = — => mLN = —
6 5
Luego: L N : y - y0 = mLN (x - x0)
Ln : y - 3 = ^ (x + l) =* L n : 6 x - 5 y + 21 = 0
63) Escribir la ecuación de la tangente a la curva x'5 + y 5 - 2Ay = 0 , en el punto
( 1.1).Desarrollo
Como x 5 + y 5 -2 x y = 0 => 5x4 + 5y4y ’- 2 y - 2xy' = 0
o .4_ , , _y —5x'De donde y = — ------ -, ademas:
5y - 2 x
Diferenciación de Funciones
d\ 2 y - 5x4 2 - 5mL = ' = - = -1
dx p(i.D 5 y - 2 x v (I1) 5 - 2
Luego L, : y - y 0= m L , ( x - x 0)
L, : y — 1 = —(jc — 1) => L, : j t + y - 2 = 0
638 Escribir las ecuaciones de las tangentes y de las normales a
curva y = (x - l ) (x - 2)(x - 3) en sus puntos de intersección con el eje
abscisas.
D esanV ’ n
Hallaremos los puntos de intersección con el eje X es de
para y = 0 => (x - l ) (x - 2 )(x -3 ) = 0, dé donde: jc j=1, jc2 = 2 , x3 ='.
Luego se tiene los puntos P](1,0), P2( 2,0), P3(3 ,0 ).
y = (x - l) (x - 2)(x - 3) => y = jc3 - 6x 2 + 11jc-6
y' = 3jc2 - 12jc + 11 y además mL, = y ' |A=1 = 2 => mL, = 2I
Lt - = m L , ( x - x 0)
L, : y - 0 = 2(x - 1 ) => L, : 2x - y - 2 = 0
Como mL, = 2 => mLN = y L N : y - y0 = mLN ( x - x0)
Ln : y - 0 = - i ( x - l ) => LN : x + 2 y - l = 0
en forma similar para los demás puntos.
2K8 Eduardo Espinoza Ramos
639 Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva
y 4 = 4x4 + 6x7 en el punto (1,2).
Desarrollo
y 4 =4 x 4 + 6-xy ==> 4y3>,,=16x3 + 6y + 6xy'
(4 y 3 - 6 x )/ = 1 6 x 3 + 6 y =* )> '= 8 \ + 3v2y — 3a
,, 8x3+ 3 ymL, = y l(i.2)= t i — —
2 y — 3jc
14= — y L, '■ y - y 0 = m L , ( x - x 0)
( 1.2 )
L, : y - 2 = j ^ ( A - l ) => L , : 14A -13y + 12 = 0
14 13Como m L ,= — => y l n : y - y 0 = mLN ( x - x 0)
Ln : y - 2 = - — ( jc- 1 ) => LN : 13a + 14y - 41 = 0 14
640 Demostrar que el segmento de tangente a la hipérbola xy = a 2, comprendido
entre los ejes de coordenadas, esta dividido en dos partes por el punto de
contacto.
Desarrollo
Por demostrar que p es punto medio de A y B para esto hallaremos los puntos
A y B, primeramente encontraremos la recta tangente.
2 2 Como xy = a 2 => y ' = ~ => mL, = —
X Aq
L, '■ y ~ yo ~ mL, (a - a0 ) reemplazando se tiene
Diferenciación de Funciones
U ■ y -y o = - ^ T ( x ~ xo') xo
Hallaremos el punto A para esto y = 0 => x = 2x0 => A (2x0,0)
Para x = 0 y = 2y0 => /?(O,2x0)
,_ A (x ,0 ) + fl(0,jO A(2xo,0) + B(0,2yo)P (x0, v0 ) - - - -
(2x, + 0,0 + 2 1 ‘= ---------—-----— Ub>. i => P ( xo> Jo) es punto medio
2 2 2
641 Demostrar que el astroide x 3 + y 3 = a 3 el segmento tangente, comprend
entre los ejes de coordenadas, tiene magnitud constante e igual a: a.
Desarrollo
Por demostrar que d(A.B) = a
2 2 2
Para esto hallaremos la recta tangente. Como x 3 +_y3 = a 3 entonces:
—x 3 + —y~*y' = 0 => > ' = - £3 3 Vx.
mL> = y ’ lP(*>.y0) = } — y L t ■ y - y 0= i n L , ( x - x 0)
A : y -y o = ? — ( * - * 0 )' Xn
Determinaremos el punto A para esto y = 0 se tiene:
290 Eduardo Espinoza Ramos
1 2 2 \_ 2 \_ 2 x = x¿ ( x 3 + y03) = xfia3 => A (x¿a3 ,0)
Ahora determinaremos el punto B para esto x = 0
1 2 2 ¿ 2 I 2
y = >'o Oo + y$ ) = => fi(°> Vn3a3)
I n 1 2 /~2 4 2 ~
d(A, B) = y(xíja3 ) 2+ ( y ¿ a 3) 2 - \ x^ m 3 +
I T I 1 f l í"= \¡(x3 + y¿ ) a 3 = \ a 3.a3 = \ f a 2 = a
642 Demostrar que las normales a la envolvente de la circunferencia
x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t - t cos t) son tangentes a la circunferencia
x 2 + y 2 = a 2.
Desarrollo
2 , 2 - 2 x + y = ax
y = — y
y '——ctg t => m L ,= -c tg t ( 1)
Ahora calcularemos la pendiente de las normales a la envolvente de la circunferencia:
Diferenciación de Funciones
. . . (2)
dxx = a(cos t + t sen t) => — = at cos t
dt
, dyy = a(sen t - 1 cos t) => — = at sen t
dt
dxdx dt at cos t , — ;-------------
mLN = — — = — — = ---------- = -c tg t . Luego mLN = -c tg tdy ay_ at sent ------------------
dt
De (1) y (2) queda demor,rado que las normales a: •
x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t - t cos t)
son tangente a la circunferencia x 2 + y 2 - a~
643 Hallar el ángulo de intersección de las parábolas y = ( x - 2 )2
y — 4 + 6x - x 2 .
Desarrollo
Hallaremos los punto de intersección como:
y - ( x - 2 )2 e v - 4 -r 6 .v - x 2 , completando cuadrados
( x - 2 )2 - ~ 4 + 6 x - x 1 => x 2 - 5x + 4 = 0
de dondex¡ = i, yi = 1 p¡ ( 1,1)
x2 = 4, y2 = 4 p 2 (4 ,4 )
[ y[ = 6 -2 x y ( 0 ) = 4
[y'2 = 2 x -4 y2V ) = ~2
292 Eduardo Espitioza Ramos
644
645
y £ (i )- y / (i ) - 2 - 4 -6 6Luego tga = —1—-----=> tga = ---------------- = — = -l + y ííD .^O ) 1-8 -7 7
6 6tga - - => a = «/-erg (—) = 4 0 ° 3 6 '
¿Qué ángulo forma entre si las parábolas y = x 2 e y - x 3 al cortarse?
Desarrollo
Encontraremos los puntos de intersección como:
y = * 2 e y = x 3 => x 2 = x 3 => a 2( a - 1 ) = 0
a, = 0, yt = 0 ^ /?! (0 ,0 )
* 2 = 1, y2 = l p 2( U )
[ > ’[ ( a ) = 2 a ^ | y [ ( 0 ) = 0
j j ^ C a ) = 3 a 2 1 ^ 2 ( 0 ) — 0
t g a = = — = 0 = a = 0°1 + J Í(0) . ^ ( 0 ) 1 + 0
esto quiere decir que son tangentes entre si, ahora para el punto /72(1,1)
|yi/W = 2A | y[ O) = 2
| y2 ( a ) — 3 a 2 1 ^ ( 1 ) = 3
A w - y í m = 1 - 2 = , i
1 + J Í ( M ( 1 ) 1 + 6 7 V ^ 7
Demostrar que las curvas _v = 4 a 2 + 2 a - 8 e y = x 3 - a + 10 son tangentes entre si en el punto ( 3 , 3 4 ) . Ocurrirá lo mismo en ( - 2 , 4 ) ?
Desarrollo
Diferenciación de Funciones ---------- j---------------------------
Para que sean tangentes entre sí debe ocurrir que tg a = 0.
Como _V[ = 4x2 + 2jc — 8 => y{ = 8.t + 2 => y[\x=i=26
y2 —x i - x + 10 => y2 = 3x2 -1 => ^ 1 ^ 3 = 2 7 -1 = 26
>2 (3) - y! (3) 26-26tga = j-----1t— = --------- = 0 => tg a = 0
l + yí(3).}'2(3) 1 + 26
Luego son tangentes entre sí. En el punto (-2,4) no son tangentes sí, por que tg a * 0
646 Demostrar que las hipérbolas . c y -u 2 y x 2 - y 2 = b 2 se cortan er
formando un ángulo recto.Desarrollo
Para que las curvas que se cortan forman un ángulo recto sus tangentes
ser perpendiculares. Es decir:
Si L[ y L, son las rectas tangentes. Luego L¡, J.L , => mllr L, ~ -\
demostrar .
■> / a"Como xy = a => mL, = — — = y '
x
r 22 2 i 2 r i xx - y = b => m L ,= y = —
a~
J , X 2 a ~ x X2donde y = — pero xy = a => y = — y ' = —- = -— = mLt y x a 2 a2
l!,.mL, = ( - - r ) ( - r ) = -1 => í¡, -L L, => forma un ángulo recto. x a '
294 Eduardo Espinoza Ramos
647 Sea la parábola >’2 - Ax, calcular la longitud de los segmentos: tangentes,
normal, subtangente y subnormal en el punto ( 1,2 ).
Desarrollo
Longitud de la tangente = / =| — yj1 + (y '0 )2y'o
2 2 ,Corno y = 4 x => 2y>'’ = 4 y - - =* Vf,ioj — 1
y'j _
Reemplazando en la longitud de la tangente se tiene: / =| y VT+11= 2y¡2
n = longitud de la normal -| y0yjl + (>’ó ! => « =| 2Vi + 1 1= l 4 l
Longitud de la subtangente S, =|■— | => 5, = | — ¡— 2yo 1
Longitud de la subnormal =S„ =| y 0 -.v ó I =* — 12(1) |= 2
648 Hallar la longitud del segmento subtangente de la curva y = 2X en cualquier
punto de la misma.Desarrollo
S, = Subtangente r=| — | como >■ = 2X => y’= 2 x ln2 => y l0 —2x°\n2>’o
s . l - í - l — L' 2 * la 2 In2
649 Demostrar que la longitud del segmento normal de cualquier punto de la
hipérbola equilátera x 2 - y 2 - a 2 es igual al radio de dicho punto.
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
n = longitud de la normal =| yoy¡\ + (y¿)~ |
Como x 2 - y 2 - a 2 =* v' = —y
- =1 y o j l + t * - )2 !=v % yo
Luego la longitud del segmento normal es igual al radio polar de dicho p
650 Demostrar que la longitud del segmento subnormal de la hij
x 2 - y 2 - a 2 , en un punto c. úquiera de la misma, es igual a la absi
dicho punto.Desarrollo
Sn - longitud de la subnormal =| y0.yó |
/-i 2 2 ° i X /Co;no x - y = a => y = — => yó= —y y0
n “ I y0(— ) l= x0 >0
x2 v2651 Demostrar que los segmentos subtangente de la elipse —- + = 1 >a~ b
circunferencia x ? + y 2 = a 2 en los puntos de abscisas iguales, son i
entre sí. ¿Qué procedimiento de construcción de la tangente a la eli desprende de lo ante dicho?
Desarrollo
Los puntos de abscisas iguales tanto para
la elipse como para la circunferencia son
p¡(a ,0 ) y p 2( - a ,0 ) . Por lo tanto se
tiene que:
296 Eduardo Espinoza Ramos
a) de la ecuación de la elipse se tiene: yp¡¡ = — J a 2 - x j j
/ * —bxn ademas yp¡¡ = ■ , p0(x 0,y 0)
a 'yja -x ¿
b) De la ecuación de la circunferencia x 2 + y2 = a 2 se tiene:
’ = yja2 - x 2 = > y ' = - = = ^
x 2
El segmento subtangente de la elipse es:
5 - i y P° i - i (fl2--»o> i_ i q2-*oy'Po aA0 OXo2
Sea p0 (x0 ,y0) = p,(a,0) => 5, =0
El segmento de la subtangente de la circunferencia
s¡ =| üá: | = - 1 ) |=|a: .I .fo | yPo xo xo
Sea p 0(x 0,y 0) = p,(a,0) => S 1, = 0
En forma similar se hace para p 2 ( -a ,0), concluyendo que S, = S[ . De
todo lo obtenido se concluye que la tangente a la elipse se obtiene,
trazando por los puntos de abscisas iguales una recta paralela al eje Y y
puesto que como S, = 0 , esto nos indica que no hay proyección de la
tangente sobre el eje X; por lo tanto la tangente es vertical.
Diferenciación de Funciones
652
653
Hallar la longitud de los segmentos tangente, normal, subtangente y subnoi
a la cicloide x = a(t - sen t), y = a(l - cos t), en un punto cualquiera t = t0
Desarrollo
Ix = a - cos t \y, - a sen ¡; y = a (l-co s t) =* j
y, = a -a c o s t0 ry, -a s e n
/ _ y'a _ a (l-cos f0) _ l-c o s í0
x x!t asentQ sent0
x0 a(t0 - sent0) \ sent0
3
. l-C O S / n [-— — ——- (1 —cosín) 2t = I---------—J 2 - 2 cosr0 | => r = 2 ----------
t0 - sent0 lQ - sentü
Hallar el ángulo que forman entre sí la tangente a la espiral logarítn
r = aek<í> y el radio polar del punto de contacto.
Desarrollo
El ángulo formado entre la tangente y el radio polar está dado por:
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar el ángulo entre la tangente y el radio polar del punto de contacto para la
lemniscata r 2 — a 2 cos2 (p .
Desarrollo
d (p 2 2Como tgu = r —L~ y como r = a cos2<p derivando se tiene:
dr
„ dr „ 2 dr a2senl(p dip r2 r ----= - 2a ¿sen2(p =* — = - --------- - => — = — ---------
d(p d(p r dr a-sen2(p
d(p , r tgu = r ~ r - = r (— — = ■
dr a senlíp a sen2(p
tgua~ cos 2(p
= ------------ — = —ca sen2<p
ctg 2(pn
tg u = - ctg 2cp => u = — + 2(p
Hallar las longitudes de los segmentos polares: tangente, normal, subtangente, subnormal y el ángulo que forma entre sí la tangente y el radio polar del punto
de contacto para la espiral de Arquímedes r = a<p en el punto de ángulo polar
(p = 2n.
Desarrollo
Longitud de la tangente = t - -— - J r 2 + ( r ')2k ' l
Como r = acpdr
d(p- a reemplazando se tiene:
t = — yja2(p2 + a 2 = (payjip2 +1 => t = 2nayj4n2 +1 para ip = 2n
fLongitud de subtangentes St =| —
2 2 2St = -f— = a = acp2 paracp = 2íi reemplazando se tiene: S , - 4 a n 2
K 'l a
Diferenciación de Funciones 2
Longitud de la subnormal = Sn = |r '| de donde Sn = a para r ' - a
d(p dr d(p 1ígM = r —^ pero r = acp y — = a => —— = —
dr d(p dr a
reemplazando se tiene: tgu = (a<p)(—) - ( p => tg u = (p ; tg u = 2na
656 Hallar las longitudes de los segmentos polares, subtangentes, subnorm
tangente y normal; y el ángulo que forman entre sí la tangente y el radio po
para la espiral hiperbólica r = — en un punto arbitrario <p = (p0 \ r = r0 .<P
Desarrollo
a ar — => r ,2
apara <p = <p0 se tiene r0 =
a
<P
a
%
rademás tgO = — = ~(p0 => tgO = ~(p0 de donde 0 = a rctg (-(p0)
300 Eduardo Espinoza Ramos
657
658
La ley del movimiento de un punto sobre el eje OX es x = 31 -1 ' . Hallar la
velocidad del movimiento de dicho punto para los instantes t0 = 0 , t, = 1 y
t2 - 2 (x se da en centímetros y, t en segundos).
Desarrollo
V U ) = — = 3 -3 t2 dt
V (t0) = V ( 0) = 3— ; V (r,) = V (l) = 3 -3 = 0seg
V(í2) = V ( 2) = 3-3 (4 ) = -9 —seg
Por el eje OX se mueve dos puntos que tienen respectivamente las leyes del
t2movimiento x = 100+5t y x = — donde t > 0. ¿Con qué velocidad se alejaran
estos puntos, el uno del otro, en el momento de su encuentro (x se da en
centímetros y t en segundos)?
Desarrollo
Para el tiempo del encuentro se tiene que V¡ - V2
Donde: V, - — = 5 => V, = —- = t , de donde t = 5 seg.1 dt 2 dt
Z =tv¡ + tV2 =5 t + r
velocidad con que se aleja = - ~ = (5 + 2 0 U s = ^/=5 dt
= 5 + 10 = 15 —1=5 s e 8
2
Diferenciación de Funciones
659
660
Los extremos de un segmento AB = 5 m. Se deslizan por las reí perpendiculares entre si OX y OY (ver figura). La velocidad desplazamiento del extremo A es igual a 2 cm/seg ¿Cuál será la velocidad desplazamiento del extremo B en el instante en que el extremo A se encuei a una distancia OA = 3 m del origen de coordenadas.
Por pitágoras en el AOBA se tiene:
z 2 = x 2 + y 2, de donde para x = 3, z = 5, entonces y = 4.
Como z2.= x 2 + y 2 , derivando se tiene:
. dz „ dx n dy dy dx , dy2z— = 2x— + 2y— - => y - = - x — => 4-^-= -3(2)
dt dt dt dt dt dt
por lo tantody
~dt
3 cm
2 seg
La ley del movimiento de un punto material , lanzado en el plano vertical ’
Y (ver figura), formando un ángulo a respecto al horizonte, con una veloci<
inicial V0 viene dada por las formulas (sin tomar en consideración
t2resistencia del aire). x - V 0tc o s a , y = V0t sena - g — , donde t es el tiemp
y la aceleración de la fuerza de gravedad. Hallar la trayectoria del movimie y su alcance, determinar también la magnitud de la velocidad del movimíent su dirección.
302 Eduardo Espinoza Ramos
Para calcular la trayectoria eliminaremos el parámetro t de las ecuaciones.
x = Vntco$a => t ~ -V0cos a
y = Vnt s e n a -—t 2 0 2 V0 cosa 2 v¿ eos2 a
y = ( t g a )x - g x 22V02 eos2 a
Su alcance es el punto A y para esto se tiene y = 0:
( t g a )x -2Vq eos2 a
* 2 = 0(2Vq2 cos2 a Jga )x - gx1 _
2Vq eos" a0
2V¿ cos2 a.tga - gx = 0 => 2V02 cosa.sena - g x - 0
V0 sen2a — g x - 0 => jc = —Vnsen2a
8
Ahora veremos las proyecciones de las velocidades sobre los ejes, es decir
dy , , , dx ,, dy „y — , de donde: — = V0cos a , — = V0sena - gt
dt dt dt
dx
dt
Diferenciación de Funciones
661
662
Calcularemos la magnitud de la velocidad, es decir:
( y )2 + ( y )2 = yjv¿ eos2 a + V(fsen2a + y2t2 - 2V0sena
= yJv2+ g 2r - 2 V 0sena
Un punto se mueve sobre la hipérbola v = — de tal modo, que su abscisx
aumenta uniformemente con al velocidad de una unidad por segundo. ¿Con
velocidad variará su ordenada, cuando el punto pase por la posición (5,2)?
Desarrollo
Por dato se tiene — = 1 dt
dy 10 dx . dy 10 2— = — - ( — ) para x = 5, se tiene: — = -----(1) = — = -0.4dt x 2 dt 1 dt 25 5
Luego decrece a una velocidad de 0.4 por segundo.
¿En qué punto de la parábola y 2 = 18* la ordenada decrece dos veces má
prisa que la abscisa?Desarrollo
Debe cumplirse que: — = 2— de donde y = 3s¡2x =>dt dt dt y¡2x dt
_ dy „ dx 3 dx „ dxComo — = 2— - = — - 2 —
dt dt s j2 x dt dt
,— 9 93 = 3v2x => 9 = 8x =í> x = — entonces y = —
8 2
9 9el punto que cumple las condiciones del problema es: (— )
8 2
304 Eduardo Espinoza Ramos
663 Uno de los lados de un rectángulo tiene una magnitud constante a = 10 cm
mientras que el otro b, es variable y aumenta a la velocidad constante de 4
cm/seg. ¿A qué velocidad crecerán la diagonal del rectángulo y su área en el
instante en que b = 30 cm?
Desarrollo
Z = diagonal del rectángulo
Z = J a 2 + b 2 =i = yfl00 + b2 , derivando se tiene:
dZ
dt
b db dZ 30
yllOO+b2 dt dt Vi 00+ 900
dZ 12
(4) =120
10 VÍÓ
de donde se tiene:dt
- = = 3.8— VÍ0 seg
la diagonal crece a una velocidad de 3.8 cm/seg.
l. dA .- dA Ar,cm-A = ab => — = o— 10(4) = 40 => — = 40-------
dt dt dt seg
El área crece a una velocidad de 40cm
seg
664 El radio de una esfera crece uniformemente con una velocidad de 5 cm/seg. ¿A
qué velocidad crecerán el área de la superficie de la esfera y el volumen de la
misma, cuando el radio sea igual a 50 cm?
Desarrollo
2Área de la esfera = A = 4nr
dAdA dr — = %nr— dt dt dt
= 8tt(5)(50) " = 2000* ™dt
2
seg
Diferenciación de Funciones
cfVolumen de la esfera = V = —n r * , derivando se tiene:
3
— = 4 n r 2— => — = 4tt(50)2 (5) = 6000/rdt dt dt seg
665 Un punto se mueve sobre la espiral de Arquímedes r = a(p (a = 10 cm
modo que la velocidad angular de rotación de su radio polar es constan
igual a 6o por segundo. Determinar la velocidad con que se alarga d
radio polar r en el instante que r = 25 cm. r
Desarrollo
dr dm , , dtp 6° n ,— -= a — donde —- = ---- = — / segdt dt dt seg 30
dr , _, 7T . dr n cm— = 10(— ) => — = -------dt 30 dt 3 seg
666 Una barra heterogénea AB tiene 12 cm de longitud. La masa de la parte de
de la misma crece proporcionalmente al cuadrado de la distancia del pi
móvil respecto al extremo A y es igual a 10 g, cuando AM = 2 cm. Hall;
masa de toda la barra AB y la densidad lineal en cualquier punto M d
misma. ¿A qué es igual la densidad lineal de la barra en los puntos A y B?_
Desarrollo
Condición del problema m = fcx2, donde m es la masa y k el factor
proporcionalidad.
, 5Cuando AM = X = 2 cm, m = 10 gr. De donde 10 = /:(2) => = 2
306 Eduardo Espinoza Ramos
? 5 •>Luego m (x ) -k x => m ( x ) - —x~2
La masa de la barra AB es cuando x = 12 y m = 360 gr. y la densidad en
cualquier punto de M es: —— = 5x—dx cm
Ahora veremos la densidad en los puntos A y B
. « „ dm „para el punto A: x = 0 => — = 0dx
para el punto B: x = 12 => — = 60—dx cm
2.5. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.-
PRIM ERO: DEFINICION DE LAS DERIVADAS DE ORDENES SUPERIORES.-
A la derivada de la derivada se llama derivada de segundo orden o derivada
segunda de una función. y = f(x), es decir y " = (/ ) '
La derivada segundo se designa así: y ' ' o — ^ , o / " (x)dx
d 2xSi x = f(t) es la ley del movimiento rectilíneo de un punto — — es la
dt2aceleración de dicho movimiento.
En general, la derivada de orden enésimo de la función y = f(x) es la derivada
de la derivada de orden (n - 1), la derivada enésima se designa por:
Diferenciación de Funciones 3i
SEGUNDO: FÓRM ULA DE LEIBNIZ.-
Si las funciones u = f(x) y v = g(x) tienen derivadas hasta de orden enésir
inclusive, para calcular la enésima derivada del producto de estas funciones
pueden emplear la formula de Leibniz:
( mv) '1 = m V + nun~lv + u(" - 2) v « v(n )
1.2
TERCERO: DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR DE FUNCION! DADAS EN FORM A PARAM ÉTRICA.-
\x = (p(t)Sí < sus derivadas
[y = y (f )
y 1 = — , y " - — — puede calcularse sucesivamente por las fórmulas* dx x dx1
y' = 1 i y« y111 = í 2£ 2I , ete.
Para la derivada de segundo orden se cumple al formula:
a) DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR DE LAS FUNCION EXPLICITAS.-
Hallar las derivadas de segundo orden de las funciones siguientes:
667 y = a-8 + l x 6 -5 x + 4
Desarrollo
Eduardo Espinozu Ramos
x h + l x b - 5.v,+ 4 , derivando se tiene:
Sx1 + 42x5 - 5 => ,v" = 56x6 +210x4
Desarrollo
e*’ =» y' = 2xexl
= 2ex' + 4x2ex~ => y "= 2eJ ,( l + 2x2)
sen 'x
Desarrollo
sen2x , derivando se tiene:
2sen xcosx -sen 2x => / ' = 2 cos 2x
ln yjl + x 2Desarrollo
____ i .\r\yjl + x2 = ln (l + * 2)3 = -ln (l + x2)
2x „ 2 \ + x2 - 2x2^■.-----------— => y = - ( ----------- ) =>3(1 + x ) 3 (1 + x2)2
ln (x + \ja2 + x 2 )
Desarrollo
ln(jc + \[a2 + x 2) , derivando se tiene:
„ = 2(1 - x 2) i
3(1 + x 2)2
Diferenciación de Funciones
1y = .... => y ” = —
y¡x2 + a2 y](x2 + a2)
672 f ( x ) = (\ + x 2)arctgx2 \iragx
Desarrollo
-> 1 + X/(x ) = (1 + x )arclgx => / '(*) = 2x.arclgx +
1 + * 2
2.x/ '( * ) = 2x arctgx +1 => / "(x) = 2 arctgx + -
l + x2
673 y = (arcsenx)2Desarrollo
, 1 y = (arcsenx) => y ' = 2 arcsenx(-
-x
2x arcsenx2 h-----.------ — i-----—
, laresenx „ v i - * 2 .. 2 v l - x 2 + 2 a arcsen
y = T 7 ^ * = i - x 2 " y = 3a - * 2) 2
674 y = a cosh —
Desarrollo
y = a cosh —, derivando se tiene: a
x 1 JCy ' = senh — => v " = — cosh(—)
a a a
x~ 4- 2jc 4* 2675 Demostrar que la función y = ------------- satisface a la ecuación diferenc
l + y '2=2yy"
310 Eduardo Espinazo Ramos
Desarrollo
y - .1 =* y '= x + i => y = ix~ + 2x + 2
y + y ' 2 = l + ( x + l )2 = ( x 2 + 2 x + 2 ) = 2 y ' y " l + y '2 = 2 yy"
jc2676 Demostrar que la función y ~ ~ e* satisface a la ecuación diferencial
y " - 2y'+y = ex .
Desarrollo
* 2 t , r x 2 ,V = — e => y = x e + — e ' 2 2
x 2 jc2y" = ex + xex + xex + — ex => y " = ex + 2xex + — ex
2 2c-
r2 r2y % 2y '+ y = ex + 2xex + — e* - 2xex - x2ex + — ex = e x . ‘ 2 2
y " - 2 y '+ y = eJC
677 Demostrar que la función y = c {e~x + c2<T2x para cualquier valor de las
constantes c, y c2 satisface a la ecuación y"+3y'+2y=0.
Desarrollo
y = Cj£_* + c 2e~2x => y' = — c¡e~x — 2c2e~~x => y " = c,e x + 4 c 2e 2x
y"+3y'+2y = c¡e~ x + 4 c 2e~2x -3 c ¡e ~ x —6c 2e 2x + 2 c xe x + 2 c 2e 2x
= 3c¡e x —3c¡e x + 6c2e ~x —6c 2e 2x =0 + 0
/. y"+3y'+2y =0
Diferenciación de Funciones
678 Demostrar que la , función y = e 2xsen5x, satisface la ecuac
y "—4y'+29y = 0 ..j '
Desarrollo
y — e~xsen5x => y '= 2e2xsen5x + 5e2x cos5x
y "= 4e2'sen5x + \0e2x cos5x + I0e2x cos5x - 25elx sen5x
y " = 20e2x cos5x — 2 le 2x sen5x
y"~4y'+29y= 20e~Á cos5x-21e2xsen5x-&e2xsen5x-20e2x cosx + 20e2xseni
y"-4y '+29y = 20e"x cos5x - 20e2x cos5x - 29e2xsen5x + 29e2xsenx = 0 -
y "—4y'+29y = 0
679 Hallar y " ' , sí y = x3 - 5x2 + 7x - 2
Desarrollo
y = x 3 -5 x 2 + I x - 2 => y' = 3x2 -10x + 7
,y "= 6x - 1 0 => y " ' = 6
680 Hallar / ’ " (3 ) sí / (x ) = ( 2 x - 3 )5
Desarrollo
/ (x ) = (2 x -3 ) 5 =* / ’ (x ) = 5(2x - 3) 4 (2)
/ " (x ) = 80 (2x-3 )3 => / " ' (x ) = 480(2x - 3) 2
/ '" (3 ) = 480(6- 3 )2 =480(4) =» / " '(3 ) = 4320
Eduardo Espinoza Ramos
681 Hallar y y para la función y = ln(l + x)
Desarrollo
y = ln( 1 + x) => y ' - —— => y ” = - 1x + l (1 + *)2
24y =------7 => y =- ,
( l + .v )3 (1 + jc) 5
682 Hallar y v para la función y = sen2x
Desarrollo
y = sen 2x
y ' = 2 cos 2x y " = -Asen2x
>■= - 8 cos 2x => y 'v = \ 6sen2x
yv = 32 cos 2x y v = — 64sen2x
683 Demostrar que la función y = e x cos jc , satisface a la
y iv + 4 y = 0 .
Desarrollo
y = e~x cosx =* y '= -e ~ x cosjc - e~xsenx
y ''= e ^cosjc + e Xsenx + e Xsenx — e x cosjc => y'
y” ' = - 2e xsenx+ 2e~x cosx
y 'v = - ( - 2 e~xsenx + 2e~x cosjc) - 2e~x cosjc - 2e~x senx
y 'v = 2e~xs e n x -2e~x c o s x - 2e~x c o s x - 2e~xsenx
y ,v + 4y = -4 e ~ x cosjc + 4e~x cosjc = 0
ecuación diferencial
= 2e~xsenx
y ‘v = -4e~x cosjc
y ,v+ 4 y = 0
Diferenciación de Funciones
684 Hallar / (O ),/ '(O ),/ "(O ),/ '" (O ), sí f ( x ) = exsenx•„r v.
Desarrollo
/ (.v ) - a*senx => / (0 ) = e ° (0 ) = 0
f ' ( x ) = exsenx + e x cosjc => / '(0 ) = 1
f " ( x ) = exsenx ■¥ ex cosx + ex cos x - e x senx
f " ( x ) = 2ex cosx => / " ( 0 ) = 2
•« . f " ' ( x ) = 2ex cos-T — 2e xsenx => / ' " ( 0 ) = 2
685 La ecuación del movimiento de un punto sobre el eje OX
x = 100 + 5r - 0.00I r ' . Hallar la velocidad y la aceleración de dicho punto
los instantes t0 = 0 , /, -* 1, t2 = 1 0 .
Desarrollo
dxV(t< ))= — = 5-0.003/2 =» V(/0) = V(0) = 5
dt
y ( f|) = V (l) = 5 - 0.003 = 4.997
V(r2) = V(10) = 5 - (0.003)(10)2 = 5 - 0.3 = 4.7
d 2xa (t ) = — — = -0.006r => a (t0) = a (0 ) = 0
dt
a (tx ) = a (l) = -0.006 => a(t2) = «(10) = -0.006(10) = -0.06
<14 Eduardo Espinoza Ramos
686 Por la circunferencia x 2 + y 1 = a 2 se mueve un punto M con una velocidad
angular constante W. Hallar la ley del movimiento de su proyección M , sobre
el eje OX, si en el momento t = 0, el punto ocupa la posición M 0(a ,0) (según
figura). Hallar la velocidad y la aceleración del movimiento del punto M ( .
¿A que es igual la velocidad y la aceleración del punto M , en el momento
inicial, y en el momento en que pasa por el origen de coordenadas?
¿Cuáles son los valores absolutos máximos de la velocidad y de la aceleración
del punto M , ?
Desarrollo
x dxEn el AO M xM se tiene cos(vví) = — , de donde x = a cos wt, V = — = -aw
a dt
es la velocidad en el momento t.
a = — — = -aw 2 cos wt es la aceleración en el momento t. dt2
V |,_0 = 0, velocidad inicial
a |,_0 = -a w 2, la aceleración inicial.
Diferenciación de Funciones 3
687 Hallar la derivada de orden n-esimo de la función _y = (ax + b ) " , donde n es
numero entero.Desarrollo
n-1y = (ax + b )n => y '=na (ax + b)
y " = (n - \)na2(ax + b )" 2
y ' " = ( n - 2 ) (n - 1 )na i (ax + b )n 3
y ín> = 1.2.3....(n - 2)(n - \)nan(ax + ¿>)° => y (n) =n\an
688 Hallar las derivadas de orden n-esimo de las funciones:
a) v = —í— b ) y = yfxl - x
Desarrollo
1 . 1a) y =l - x ( \ - x )2
2y =
( l - * ) 3
2.3y =
( l - x )4
/ «> = .( I - * ) '
n- 1
316 Eduardo Espinoza Ramos
689 Hallar la derivada n-esima de las funciones:
a) y = sen x b) y = cos 2x c) y = e 3'
1 _ 1 + xd) y = ln( 1 + x) e) y = ----- f) y = -----
l + x \ - x
g) y = sen2x h) y = ln(ax + b)
Desarrollo
a) y = sen x => >’ ' = cos x = sen(x + —)
y " = -senx = sen(x + n )
y"' = -c o s x = sen(x + - )
ív , xy = senx = s<?n(x + — )
y(,,) = sen(x + ~ )
Kb) y = cos2x => y ' = - 2se«2x = 2 cos(2x + —)
y " = - 2 2 cos 2jc = 2 2 (cos( 2* + 2(^-)))
y ” = 2* senlx = 2J cos(2x + - )
^(n) = 2" cos(2.v + )
en forma similar para los demás casos.
Diferenciación de Funciones
690 Empleando la formula de Leibniz. Hallar y (n) sí:
a) y - x e x b) y = x 2e~2x c) y = (1 - a 2)cc
d) y = ^ S e) y = A3 lnAVA
Desarrollo
(m v ) (,,) = u(n) v + nu<n~,\ ’ •+ ' l ( n ~ l ) u ( " ~ 2)v " + ... + uvM1.2
a) y ln ) = ( e xx ) ( n ) = ( e x ) w x + n ( e x ) (n- l ) ( x y => y ln) = xex + nex
b) yM = ( e - 2x.x2) M = ( e ~ 2x) (n)x2 + n ( e ^ x ) (n- l )2x +
« (n -1 ) 2jt („_2)
1.2 1 ‘
y(n) = ( e ~ 2xjc2) M = ( - l ) n 2" e~2xx2 + ( - \ ) n i,2n e~2x +
+ (-1 )" w(w -1 ) " ~2 2e~2x
_ 2"~l e~2x[ 2 ( - l ) n x2 + 2jc(—1)" + '-(y ?) ( - l )'1 ]
En forma similar para los demás ejercicios.
691 H allar/<n)(0 ), s í /(A-) = ln(— )l - x
Desarrollo
/ ( a) = ln(— —) => f(x) = -ln( 1 - x)1- A
318 Eduardo Espinoza Ramos
/ ’(*)= 11 -JC
1
( l - * ) 2
/ ”(*)= 2( l - * ) 3
2 3
( 1- x )4
/ (•> (, )= í í l _ í 2!.( l - x ) n
Luego / (n,(0) = ( « -1 )!
b) DERIVADAS DE ORDENES SUPERIORES, DE FUNCIONES DADAS EN FORM A PARAM ETRICA Y DE FUNCIONES IM PLICITAS.-
d2y692 Hallar — f para las funciones siguientes:
dx '
a)íx = ln/ (x = arctg t
b) c)\y = t
2[y = ln (l+/ ) 1
x -a res en t
y = V l - r 2
Desarrollo
Diferenciación de Funciones 3
cII II
i => t =>II L
y ! =3/2 •
x " = - — "*tt n
d y
dx2
1 .6, - ( — L)3f 2i _______ r
<i)’t
= f3(6 + 3) = 9/ 2d '\ i — f = 9/ 3 dx2
b)x = arcfg t
y = ln(l + r )l + r
1 + r
1 2 - 2 t 2
21
(1 + í2)2
/ = 2 - a(1 + / 2)2
- ( ---- —— )(—— )2\2 V(1 o 'r u _ x, -y " - x " -y , _ i + r (i+í2)2 ( i + r ) 2 i+ í2
-A3 !
(7 - 2 } l + /‘u ; r
2 — 2/ 4í- + -
/ » = q - 2)3 , 0+/2)3 = 2 - 2f2 + 4/2 = 2f2 + 2
(1 + í2)3
en forma similar para la c).
693 a)x = a cos /
y = asenrb)
jt = a eos t
[ y = asen t
c)x = a ( t - sent)
y = a (l-co s í)d)
x = a (s e n t-t cos t )
y = a (cos t+ t sent)
Desarrollo
320 Eduardo Espinoza Ramos
fx = acos/ í*' = -a sen / í* = -acos/í => => *[ V = asen/
k = acos/ = -a sen /
n _ xf .y¡¡ - .y, _ -asent(-asent) - ( - a cos t)a cos i
(x ¡ )3 ( - asent)3
// a2sen2t + a 2 eos2 /y « = -
- a 3sen3t asen't
b) x — a eos3 / => x ¡ = -3a eos2 1.sent => = 6acost.sen21- 2 a eos ' t
y = asen3t => y[ = 3asen2!.cost y[[ = 6asent.eos2 1-3a sen3t
ti
// _ -3aeos“ t.sent(ñasent.cos t-3asen t)y xx ~
(-3a eos2 1.sent )3
3asen2t.cost(6acostsen~t -3 a eos31)
(-3a eos2 t.sent)3
n - IS a 2sen2t.eos4 t + 9a2 eos2 t.sen4t ----
-27a3 eos6 t.sen3t
18a2sen4/ —eos2 1-9 a 2sen21.eos4 1- 21a3 eos6 /.sen3/
// _ -9a"sen"/.eos t-9a~sen /.eos /Xa: _ _ 3 a 3 ~
-27a eos r
// -9a2 sen2/, eos2 /(eos2 / + sen2/) = ~
-27a3 eos6 /.sen3/ 3a eos4 /.sen/
Diferenciación de Funciones
,x = a (t -s e n t) I x! = a -a c o s t \xc) '! . => \ . =* 1
y — a(l cosí) \ y [= a sen t [y ‘
„ _ x¡.y¡¡ -x ¡ ¡ .y ' _ (a -aeos/ ).a c o s í —asent.asent
(X ¡)3 ( f l ( l - c o s / ) )3
= a sen t
= acost
// _ a2 c o s í - a 2 eos21- a 2sen21y& ~
a3( l - c o s í )3
// _ a2 c o s t -a 2 ( 1-cos/)X cr
« 3( l - c o s í)3 a (l-c o s ?)3 a (l-c o s / ) 2
v" = - - 1 - 1/ r r
á(sen2 —)2 asen4 -2 2
En forma similar para el siguiente ejercicio:
1<*)
atsen^r
I x = cos 2/ \x = e694 a) b)
U’ = W / {y = eal
Desarrollo
a)* - eos 21 í = -2 sen 2t í x/y = -4 cos 2/
2 ^ i ^ i y -s en ~ t [y 1, = sen2í [ v1/ = 2 cos 2r
n _ x ll .y[l - x f .y' _ (-2.ven2f).2cos2í-(-4cos2t).sen2t
-V-“ " o j f " ( - 2sen2t )3 "
Eduardo Espinoza Ramos
- -a e
' = a e * (// _ - 2 - a tx n — a e
..// 2 at
(-ae~a' )a2ea' - a 2e * - a 2e- a,.aea'
( -a e - * ) 3
-3a/ —3at
Desarrollo
b)y =
1-/
x = arctg t
ry - - z y ,"= i
2í
( 1 + í 2 ) 2
1 2 r l + r + 2/2
1+ ' 2 <1+ ' V = (1 + ,>)(3, * + „
(-i,)*1 + í 2
(——y )3 1 + f2
(1- 0 -
1 2
x " = ~ — ' t2
í (1 - í )3
d - í r
2,+(1_r)i - í f2( - / ) 3 _ í ( í+ i )
1 ( i - í )3
Diferenciación de Funciones
696
697
d 2x . \x = e 'cos t Hallar — — si <
dy I y = e'sent
Desarrollo
d 2x v' jc, , - vi ijci— ~ ~ ~ —" —L de donde se tiene: dy2 (y !)3
x = e 'c o s t => x ¡ - e 'c o s t - e 's e n t =* x [[ = - 2e'sent
y = e ’sent => y¡ - e'sent + e‘ cosí => y'/, = 2e‘ cosí
d 2x _ ( e'sent + e1 cos t ) . ( - 2e' sent) - 2e' cost(e ' cosí-e 's en t)
dy2 (e1 cos t + e'sent)3
d~x _ - 2e2'(sen2t + sentcosí+ eos2 t - s e n tcosí)
dy2 e3'(cos t + sen tf '
d 2x - 2e2' - 2
dy"' e ' (cost + sent) e1 (cost + sent)
u u , n , jx = ln(l + í2)Hallar — — para t = 0, si <
t/A2 L = ,2
Desarrollo
324 Eduardo Espinoza Ramos
At 2 t (2 - 2 r )
d 2x _ y j j f i - y".x't _ l + r (l + r ) 2
dy2 (y ,7)3 <rVl + r
d 2y [4r(2 + /2) - 4 / ( l - í2)](l + f2) d 2y , , d2y — = i ^ ----- —------ 1 => — ¿- = i + r => — fdx- 8í3 dr2 dr"
= 1(=0
698 Demostrar que y, determinada como función de x por las ecuaciones
x = sen t e y = aeN2 + be~' 2 satisface la ecuación diferencial
(1 - x 2) —— - — x~— = 2 y , cualquiera que sean las constantes a y b. d r ' dx
Desarrollo
jc = sent X, = cosí
[y = ae' 2 +be
x'¡ = -sen t
y1/ = 2ae,'ñ + 2be~lyf2
y ' = 4 la e 'Í2 - b ^ i e '"12, derivando se tiene:
^ l = y = * - =dx >x xí
y¡2ae,sl2 - b ^ l e ''42cos /
d2y _ jc[.y1,1 -x '/ .y í _ cost (2a e 'j2 + 2¿>e~'v- ) + s e n t^ a e "12 - J j b e ”" 12)
dx2 ~ ( j* ') 3 eos31
2 d y dy „ ( l - x 2) - f - j : f = 2y
dx djc
Diferenciación de Funciones
699
2 cos t(2ae''¡ i + 2be-’'f í ) + sent(2ae‘ 'ñ - 2be"l'ñ ) (1 - s e n 't ) ^ ’
eos31sent(y/2ae' 2 -b \ ¡2e ,y‘2)
----------------------------------= 2 aecos t
cos t(2a e '^ + 2be~,'Ji) + sent(42ae,'ñ - j i b e ' " 12)
cos t
s e n n A e ^ - b J l e ^ - ) = + ^ = 2<(¡c, J5 + J2 } = 2 cos /
,, 2,d y dy (1 x ) — - - x — = 2y dx dx
,, m d3y . . . „ Í.v = secíHallar y = —— para las siguientes funciones: \
dx3 [y = ig t
Desarrollo
( J 'V lni _ <y.u) d d n xry,j__ -y,y xxx / u u t y xx . ¡ "j
X, (X ¡)3
, j i / _ (-4 )}¡4-y!¡ + ¿i-y'm - xZ ■>’! - 4 -y1, i K - ^ - ^ - y , ' ^ ) 2-^/] ( ^ ) 6 t f )3
rv// V ( ■ ~ xm y't)~3(x! )2x¡¡(x¡y'¡ -4 .y 't )
( y~ ' _ (* / )6
l .■// y _ -y/ + 3 (4 )2 y,7(y * } ' " (* ,V
..//,/ M f y n i - A - Z - y ' . - M - A - y 'ñ + 3 u ")2y,'( y « ) ; = - ./ \4
326 Eduardo Espinoza Ramos
700
Z2 Í Í Á
x = sect => x [ - sec t.tg t => x '1, = sec ’ í + sec2 t.tg t
x " = sec: fÜ + tg í) => 4 u ~ sec;41 + 2 sec2 t.tg í(l + tg t)
y = tg t => y ¡= s e c 2 r => y¡¡ = 2 sec2 t.tg t
y '¡¡, - 4sec2 t.tg t + 2 sec4 t => y1//, = 2sec2 t(2tg t + sec2 1)
/// .. x\ (x¡ y " - ) - 3 4 (x¡ .y'!, - 4 -y¡ > c ,V
de donde al simplificar:sen t
1x = e~' cos t
y = e~'sent
Desarrollo
x = e~ 'cos t => x [ = -e ~ ' c o s í - e~‘ sen t
x\ = -e ~ l (sent + cos t ) => 4 ~ 2 e~'sent
y=e~ 'sen t => y, = —e~‘ sent + e~' cos t
Diferenciación de Funciones
701
—e ' (sent + cos t ) ( - 2e 'c o s / )-2e 'sent.e ' (cosí — sent)
-e 31 (sent + cos t)
_ // _ le [(sent coS t + eos' t) — sent cos í + sen í]
—e 3' (sent + cos t)3
y " = . 2 ~ 2 * '-r xve '(sení +cosí)3 (sent + cos í )3
// / _ e'(sent + cosí)3 -3(sen/ + eos/)2(c o s í-sent)elo & > := - 2i-
(sent + cosí)^
t j i j _ -2e '(sen t + cos í-3cos í+ 3sení) Ox»)/ — ■ "4 ~~
(sent + cost)
, / l j_ -2 e '(4 s e n t -2 c o s t ) _ t ^ _ -4 e '(2 s e n t-co s t) (yxjc)t ~ ■ -4 ^ v X c r ' / — 73
(sen/+ eos/) (sen/+ cosí)
../// _ _ ~ 4 e '(2 sen t-cos í) /// _ 4e2'(2sen í-cosí)xu; — / — 177 TT ^ — ^
x, -e (sen/+ cosí) (sent + cos t )
¡ x ~ e
[y = t3Desarrollo
328 Eduardo Espinoza Ramos
702
703
( y « ) í = (6/ + 6)e2' +2(3/“ + 6/)e2' = e2'(6/2 +18/ + 6)
= ( ¿ i = £:[<Éf-.--tl gL± É> = (6/2 +18/ + 6)x, -e '
= - 6c3' ( / 2 +3/ + 1)
f jc = ln / Hallar — sí 1
<¿c" y = t"
Desarrollo
Como x = ln t => t = ex y = t
y'x = m emx y'L = m 2emx y 'L = m"e
y = e
3 tnx
y i n ) = m n e ' r ny(") ~ mn (e x ) m y (O —mntm
Conociendo la función y = f(x), hallar las derivadas de jc" y jc" 1 de la
función inversa x = f ~ l (y )
Desarrollo
y = f(x ) => y ' = j - = f \ x ) => y = 7 T \dx dy f (a)
d 2x - f \ x ) dx f \ x ) d 2 x / " (* )
dy2 [ f \ x ) ] 2 dy [/ '(x )]3 dy2 [/'(jc)]3
d 3x d d 2jr f 'X x )
dy3 dy{ dyz ) dy{ [ f \ x ) f)
[ (/ Xx))3f "Xx)- f "(*).3( / \ x ))2. f "(x)] dx
I f ’(* )] d\
Diferenciación de Funciones
[ f X x )1 (/ '((-*)/ ‘"(jc)- 3/ "(a)2)] 1 l f ' ( x ) f f \ x )
d 3x _ 3[,/’U )]2 - / ’(*)•.f ' X x )
dy3 [ / U ) ] 5
704 Hallar y " sí x 2 + y 2 =1
Desarrollo
x 2 + y 2 = l => y = \ J l - x 2 derivando se tiene y ' = —
_______________ - E Z
„ JC2 -1 - JC2 1 1 y = --------- = * y = -------------- r =
( l - * 2)2 ' ( l - x 2)2
DETERMINAR LAS DERIVADAS y " DE LAS SIGÜIEN1
FUNCIONES y = f(x) DADAS DE FORMA IM PLIC ITA .-
705 y 2 - 2 px
Desarrollo
2 y y '= 2 p => y ' = £y
330 Eduardo Espinoza Ramos
707
708
Desarrollo
2a 2y , , b2x+ - f y = 0 => y = — 7
« 2 fc2 ya
( y - x ( ----- - ) )b- y - x y ' ^ b__________ ya
y a2 y2 a2 y2
2 fctb 2 ^
y" = - — (----- — ) = - — (•a y a
b2 b2x2 + a2 y2 ,
a2y3
y = x + arctg yDesarrollo
yi+ y
(1------- r )y ' = l1+ y
i+ y 1’ = 7 * 1
y - = - 2y-v = - ^ - , . . 4 ( i ± ^ , . - * ± 2 ¿y3 y3 y y
d d xDesde la ecuación y = x + ln y. Hallar — — y ——
dx2 dy2
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
'• ^ d2y = ( y - l ) y ' - y - y ' ^ - y '
dx2 ( y - 1)2 ( y - 1)2
d 2y _ i ( y ) - ydx2 ( y - l )2 y - l ( y - 1)3
709 Hallar “y” en el punto (1,1), sí: x 2 +5xy + y 2 - 2x + y - 6 = 0
Desarrollo
2x + 5y + 5xy'+2yy'-2 + y' = 0 => (5* + 2y + l)y ' = 2 - 2x - 5 y
2 - 2 j - 5 y ^ (5jr+2y + l ) (-2 -5 y ')- (2 -2 ;c -5 y )(5 + 2y') 5x + 2y + l (5.v+2y+ 1)2
Al simplificar y hacer la evaluación en el punto (1,1) se tiene: y" |(11)= ~
710 Hallar y " en el punto (0,1) sí x4 - * y + y 4 = l
Desarrollo
4x3 - y - jcy'+4y3y' = 0 => (4y3 - x )y '= y - 4 x3 => y ' = — r—-4y - x
„ _ (4y3 - j r ) (y 1 2 * 2) - (y - 4* 3 )(12y2y 1)
(4y3 - x )2
y — 4x3Reemplazando y ' = en y " y evaluando en el punto p(0,1) se tiene
4y - x
332 Eduardo Espinoza Ramos
La función “y” está dada implícitamente por la ecuación
x 2 + 2xy + y 2 - 4 x + 2 y - 2 = 0 . Hallar — ^ en el punto(1,1).dx
Hallar sí x 2 + y2 = a 2 dx3
Desarrollo
a) 2x + 2y + 2xy '+2yy ' -4 + 2y' = 0 =* ( 2x + 2 y + 2 ) y ' = 4 - 2 x - 2 y
4 - 2jc - 2y
y ~ ( 2 x + 2 y + 2 )2
. (2x + 2 y + 2)2 ( - 2 - 2 y > - (4 - 2x - 2y )2 (2x+2y + 2)(2 + 2 y ) '
( 2x + 2 y + 2)4
„ _ (2x + 2 y + 2) ( - 2 - 2 y ’) - 2 (4 - 2 * - 2 y )(2 + 2 y ’)
( 2x + 2y + 2 )3
711 a)
b)
Simplificando y calculando y '" , y evaluando en (1,1) se tiene:
Diferenciación de Funciones
2.6. DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y DE ORDE SUPERIORES.-____________________________ _________
a) DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN:
Se llama diferencial (de primer orden) de una función y = f(x) a la
principal de su incremento lineal con respecto al incremento Ax = i
la variable independiente x, la diferencial de una función es ig
producto de su derivada por la diferencial de la variable indepen
dydy = / ' (x )d x , de aquí, que y ' = — .
Si MN es el arco de la gráfica de la función y = f(x), MT la tangei
el punto M(x,y) y PQ = Ax = dx.
Tendremos que el incremento de la coordenada de la tangente A T =
el segmento AN = Ay.
b) PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS DIFERENCIAL
1 de = 0, donde c = constante 2 dx = Ax
3 d(cu) = c du 4 d(u ± v) = du
5 d(uv) = udv + vdu 6 d (—) =v v2
1 </(/(«)) = /'(«)<*«
334 Eduardo Espinoza Ramos
c) APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL PARA LOS CALCULOS APROXIMADOS.-
Sea y = f(x) la diferencial dy y el incremento Ay de dicha función es
aproximadamente iguales entre sí Ay ~ dy.
Es decir f ( x + Ax) - f ( x ) ~ /' (x )A x , de donde:
f ( x ) + f\ x )A x = f ( x + Ax)
d) DIFERENCIALES DE ORDENES SUPERIORES.-
Se llama diferencial de segundo orden a la diferencial de primer orden
d 2 y = d(dy ) , en forma similar se define de tercer orden si y = f(x ) y “x”
es la variable independiente, se tiene:
d 2y = y " (d x )2
d 3y = y " '(d x ) 3
d ny = y (n)(d x )n
Cuando y = f(u), donde u = \|/(x) se tiene:
d 2 y = y " (du)2 + y' d 2u
d 3y = y '" (d u ) 3 + 3 y ''du .d2u + y 'd 3u
712 Hallar el incremento Ay y la diferencial dy de la función y = 5x + x
para x = 2 y Ax = 0.001Desarrollo
Ay = f(x + Ax) - f(x) => Ay = f(2 + 0.001) - f (2 )
Diferenciación de Funciones
Ay = /(2.001) - / (2 ) = 5(2.001) + (2.001) 2 - 1 0 -4
Ay = 2.001(5 +2.001)- 14 => Ay = 2.001(7.001) - 14 = 0.009001
dy = y 'dx = (5 + 2x)Ax => dy = (5 + 4)(0.001) = 9(0.001) => dy = 0.C
713 Sin calcular la derivada, hallar d ( l - x 3) , para x = 1 y Ac = - y .
Desarrollo
d ( l - x } ) = -3 x 2dx = -3 x 2Ax => d(\ - x 3) = —3(1)(——) = 13
714 El área S de un cuadrado cuyo lado es igual a x, viene dada por la foi
S = x 2 , hallar el incremento y la diferencial de esta función y determir
valor geométrico de esta ultima.
Desarrollo
dS = 2x.Ax y AS = S(x + Ax) - S(x)
AS = (* + Ax)2 - x 2 => AS = jc2 + 2a:.Ac + (A t ) 2 - j:2
por lo tanto se tiene: AS = 2x.Ax + (Ajc) 2
715 Dar la interpretación geométrica del incremento y de la diferencial d<
siguientes funciones:
a) del área del circulo S = kx2 . b) del volumen del cubo v = x
Desarrollo
a) El incremento de la función es: AS = S(x + Ax) - S(x)
AS = 7T(x + Av2) = 2nx.Ax + k.Ax 2
Calculemos la diferencial es decir:
336 Eduardo Espinoza Ramos
dS = S '(x )d x => dS = 27ix.dx = 2kx .Ax
Como AS = 2tdc.Ax + k .Ax 2 y dS = 2jt.x.Ax y como Ax->0.
entonces: AS = dS
b ) El incremento de la función es Av = v(x + Ax) - v(x)
Av = (x + Ax) 3 - x 3 => Av = x3 + 3x2.A* + 3x.Ax2 - x 3
de donde se tiene: Av = 3x2 .Av + 3x.Ax2
Calculemos la diferencial es decir:
dv = v '(x )dx dv = 3x 2dx => dv = 3x2 .Ax
Como Ax - » 0, => Av = dv
716 .Demostrar que cualquiera que sea “x” , el incremento de la función y = 2x ,
correspondiente al incremento de “x” en una magnitud Ax, es equivalente a la
expresión 2X Ax. ln 2, cuando Ax -> 0.
Desarrollo
Ay = dy como dy = y' dx - y'.Ax
y = 2 x y ' - 2x ln2
Ay = dy = y'.Ax = 2X ln 2.Ax
717 ¿Para qué valor de “x” , la diferencial de la función y = x no equivale al
incremento de esta* misma función cuando Ax —» 0?
Desarrollo
Como y = x 2 => dy = 2x.Ax
Diferenciación de Funciones
Ay = (x + Ax) 2 - x 2 = 2x.Ax + Av2
para que Ay ¿ dy el valor de x debe ser cero es decir x = 0.
718 ¿Tienen diferencial la función y = | x | para x = 0?
Desarrollo
Como dy = y'dx luego y = | x | no es diferenciable en x = 0, por lo tanto
no tiene diferencial.
719 Empleando la derivada, hallar la diferencial de la función y = cos x jk n
x = — y Ax = — .6 36
Desarrollo
Como y = cosx => dy = y'dx => dy = - sen. Ax
dy = -sen —. — => dy = - — *= -0.04366 36 72
2720 Hallar la diferencial de la función: y = —¡= para x = 9 y Ax =-0.01
yjx
Desarrollo
2 — y = —¡= => dy = y'dx como y - 2x 2
yjx
- f , 1 y = - X 2 = * y
X2
dy = y'dx = —^ => dy - — => ¿y = —-— = 0.000373 1 ’ 2700
x2 92
338 Eduardo Espinoza Ramos
K 1Z721 Calcular la diferencial de la función y = tg x para x = — y Ax = ---- .
3 3 180
Desarrollo
y = tg x => dy - sec2 x.dx = sec2 x.ísa
dy = sec = — - 0.06983 180 45
H A LLAR LAS DIFERENCIALES DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES PARA CUALQUIER VALOR DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE Y
DE SU INCREMENTO.
722 y = —
Desarrollo
y = - í— => y = x m => dy = —mx m ldx => dy = ------- —xm xm+ l
723 y =l — x
Desarrollo
^ j t J , ( Í - jc )- jc (- I ) , 1Como dy = y dx entonces y = ----------- ----- => y = ------- r-
(1- x )2 ( l - * ) 2
Luego dy = y 'd x= —( l - * ) 2
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
x . ay = aresen — => y -a 1 _ ( £ ) 2 'Ja2 - x 2
dxcomo d y=y 'd x =
I 2 2 y¡a - x
725 v = arctg — a
Desarrollo
y = arctg — =$ y ' = — -— => y ' = °' l + ( * ) 2 fl2+ * 2
a
adxcomo dy - y d x - — ---- -
a + x~
726 y = e~x
Desarrollo
2 2 Como ;y = e => y '= -2 x e
_ 2 _ 2 Además dy = y 'd x - -2xe v dx => dy = -2.ve * dx
727 y = x ln x - xDesarrollo
y = x l n x - x => y '= lnx +1 - 1 = lnx
dy = y'dx = ln x.dx => dy = ln x.dx
340 Eduardo Espinoza Ramos
728 y = ln —1 + *
Desarrollo
y = ln -—— = ln(l - x ) - ln(l + ,r) l + x
1 1 - l - x - l + jt , 2y = - - ------ -— = --------- -— => / = - -
l - x l + x \ - x2 l - x 2
, , . . 2dxcomo dy = y dx => dy = ------- -1 — x
729 r = ctg tp + ese 9Desarrollo
2 , 1 eos cp 1 + cos (pr — — esc (p-ese(p.ctgcp => r = ------ ---------- — = ------- 5—
sen (p sen cp sen (p
j . j j l + cos<pcomo dr = rd (p => dr = ------- -— d(psen~(p
730 S = arctg e ‘
Desarrollo
' = arctg e ' => S ’ = -----l + e
e' dtcomo dS = S 'dt => dS = S 'd t =
l + e21
731 Hallar dy sí x 2 + 2xy - y 2 = a 2
Desarrollo
2xdx + 2xdy + 2ydx - 2ydy = 0 => (2x +2y)dx = (2y - 2x)dy
Diferenciación de Funciones
2x + 2y x + y , , x + y ,dy = --------- dx => dy = ------ dx => dy = --------d x
2y - 2x y - x x - y
H ALLAR LAS DIFERENCIALES DE LAS SIGUIENTES FUNCK DADA DE FORM A IM PLIC ITAS
732 ( x + y ) 2 ( 2 x + y ) 3 =1
Desarrollo
2(x + y )(2x + y )} (dx + dy) + 3(x+ y )2( 2x + y )2(2dx + dy) = 0
2(2x + y)(dx + dy) + 3(2dx + dy)(x + y) = 0
2(2x + y)dx + 2(2x + y)dy + 3(x + y)2dx + 3(x + y)dy = 0
(lOx + 8y)dx + (7x + 5y)dy = 0 => dy - -jl dxl x + 5y
X
733 y = e y
Desarrollo
X X xv yd x -xd y s ~~ dx x ~ ,
dy = e y( - - ------— - ) => dy = —e y — + —^e ydyy y y
(1 — ^r-e y )dy = ~ - — dx => (y2 -x e y )dv = -y e ydxy y
, ye y dx y.ydx , y J y ,dy = ----------- = — ----- => dy = ---- ?— dx = —?— dx
y -x y y -x .y y - x x - y
734 ln <Jx2 + y2 = arclgc —x
Desarrollo
Vi 5 y i 2 2 yx + y~ - a re tge— => — ln(x + y ) = a retge— x 2 x
xdv - ydxxdx + ydy x2 xdx + ydy _ xdy - ydx
9 9 .. -y ix + y l + ( —) 2 x ' + y x ' + y~
x
xdx + ydy = xdy - ydx => (y - x)dy = -xdy - xdx
X+ y(x - y)dy = (x + y)dx => dy = ------dx
x - v
342 Eduardo Espinoza Ramos
735 Hallar dy en el punto (1,2) sí y 3 - y = 6x 2 .
Desarrollo
Como y 3 - y = 6x 2 => 3y2dx - dy = \2xdx => (3y2 — \)dy = \2x.dx
\2x J J 12 dx 12 .ay = — -----dx => ay = -------= — dx
3y - 1 1 2 - 1 11
736 Hallar el valor aproximado del sen 31°
Desarrollo
Sea x=arcsen30o = — y Ax = arcsen]0 =6 180
Pero f ( x + A x ) ~ f ( x ) + f ' ( x )d x
sen31° ^ sen30° + cos30(-^~) => sen31° = 0.500 + 0.017— = 0.515 180 3
Diferenciación de Funciones
737 Sustituyendo el incremento de la función por la diferencial, calc
aproximadamente:
a) cos 61° b) tg 44° c) e0'2
d) log 0.9 e) arctg 1.05
Desarrollo
a) cos 61° => x = 60° y x = \°180
/ (x + Ax) = / (* ) + f ( x )d x
cos61° = cos60° — sen600-^— => cos61° = ----- -— .-^ - = 0.485180 2 2 180
b) tg 44 => Sea x = 45° y Av = 1 ° = — —180
f ( x + Ax) « f ( x ) + f ' (x )d x
tg44° = ?p45° - sec2 45°(-^~) => íe44° = l - 4 (— ) = 0.965 180 180
738 ¿En cuanto aumenta aproximadamente el volumen de una esfera, si su r¡
r=15 cm, se alarga en 2mm?
Desarrollo
4 i ,V = - J i r => dv = 47Tr~dr
3
¿/v = 47r(15)2(0.2) = 180tt =565 cm 3
Eduardo Espinoza Ramos
Deducir la fórmula aproximada para valores de | Ax | pequeños en comparación
con x. yJx + Ax ~ 4~x-
VÍ7, V70 y Vó40.
con x. yJx + Ax = yfx 4— y con ella, hallar los valores aproximados de \¡5 , 2 va
Desarrollo
Sea f ( x ) = y[x => f ( x + Ax) = yjx + Ax
como f ( x ) = \[x => / '(* ) = —2y¡X
luego / ( j c + Ac) = f ( x ) + / ' (x)dx
y/x + Ax ~ \¡X + — 7= . Como \Í5 = V Í T T => x = 4 2yfx
f ( x + Ax) ~ f ( x ) + f ' (x )d x
= => y¡5 = 2 + ~ = 2.252 yíx 4
Deducir la fórmula aproximada: y/x + Ax ~ y jx + —- j= y hallar los valores3 Va2
aproximados de l f\0 , \¡T0 , \¡200 .
Desarrollo
Sea f ( x ) = \ f x = $ f \x) - — [ =3 ^ 7
Como f ( x + Ac) = f ( x ) + f (x )d x . Como yJx + Ax = \fx H----p=r3\x2
pero Vio se tiene ^8 + 2 => / (jc) = Va
Diferenciación de Funciones
oLuego \¡Í0 ~ \¡% + 2 ~ h— ==
3 #
V Í0 = 2 + — => y/lÓ = 2 + — = 2 + 0 .16 =* \¡Í0 = 2.16 3(4) 6
741 Hallar los valores aproximados de las funciones:
a) y = x 3 - Ax2 + 5 a: + 3 para x = 1.03
b) f ( x ) = \lx + 1 para x = 0.2
Desarrollo
Usando la fórmula f ( x + Ax) = f ( x ) + f ' ( x )d x
Como x = 1.03 = 1 +0.3 Ax = 0.03
f ( x ) = x 3 ~ 4 x 2 + 5x + 3 => f ' ( x ) = 3x2 - 8x + 5
/(1.03) = /[I + (0.3)] = / (l ) + / '(l)A v
f( 1.03) = 5 - 0(0.03) = 5 => f( 1.03) = 5
742 Hallar el valor aproximado de tg 45°3’20''
c)
d) y = e l x para x = 1.05
Desarrollo
Sea f(x) = tg x donde x = 45°, Av = 3’ 20’ '
346 Eduardo Espinoza Ramos
f ( x + Ax) = f ( x ) + f '(x )d x
tg 45°3'20'' = t g 45° + sec2 45(3'20'' ) => íg45°3'20"= 1.0019
743 Hallar el valor aproximado de arcsen 0.54.
Desarrollo
Sea f(x) = arcsen x donde x = 0.5 y Ax = 0.4 además / ’(x )x2V T
f ( x + A x ) ~ f ( x ) + f '(x )d x
arcsen 0.54 = arcsen 0.5 + —= = £ ¿ = arcsen 0.54 = 0.54
V l - ( 0 . 5 ) 2
744 Hallar el valor aproximado de y/\7
Desarrollo
Sea f ( >x ) = \[x donde x=16 , Ax = 1
f ( x ) = \[x => / '(■*) = — ! = , reemplazando a la ecuación:4 t [¿
f ( x + Ax) = f ( x ) + f ( x )d x
V í l = V Í6 + —^ = = 2.03 4 ^ 6
E745 Demostrar basándose en la fórmula de la ley de ohm / = — , que una pequeña
Rvariación de la intensidad de la corriente, debida a una pequeña variación de la
resistencia, puede hallarse de manera aproximada por la fórmula AI = - — AR ,R
Diferenciación de Funciones
746
747
Desarrollo
£Como I = — aplicando la diferencial de un cociente con respecto a R.
Jr R d E -E d R JT, Adi = ------- ------ pero dE = 0
R2
, £cM? E ,dR s j /Luego: d i - —— — = — (— -) => AZ = ---- A/?
6 R2 R R R
Demostrar que un error relativo de 1% cometido al determinar la longitui
radio, da lugar a un error relativo aproximado de un 2%, al calcular el áre
circulo y la superficie de la esfera.
Desarrollo
Usar la formula siguientes: Área del circulo = A = n r1
Superficie de la esfera = S = 4/rr2
Calcular d 2 y , sí y = cos 5x
Desarrollo
y = eos 5x => dy = -5 sen 5x dx
d 2 y = -25 cos 5x(dx)2
748 u = \jl — x2 , hallar d 2u
Desarrollo
348 Eduardo Espinoza Ramos
749 y = arccos x, hallar d 2 yDesarrollo
2dx , x (dx) y = arccos x =* dy = — ------ => d y -
J b ^ x 2 ' l ¡ ( \ - x 2)2
750 y = sen x. Ln x, Hallar d 2y
Desarrollo
senx , , senx dy = cos x. ln x.ax + ------ dx => dy = (cos x. ln x + ------ )dx
X X
j 2 / , cosx. . ,2 .xcosx - s e n x . . . 2d y - (-senx. ln x + —— )(dx) + ( -------- -------- )(dx)
x x~
,2 , , 2 cos a senx 2 d y = (-senxlnjcH----------------— )(dx)X X
751 z = hallar d 2zx
Desarrollo
1 — ln jc , ,2 2 x - 3 . . ,2dz = ---- — dx => d z - — ■:— (dx)
X X
752 z = x 2e~x , hallar d 3zDesarrollo
dz = ( 2xe~x - x 2e~x )dx =í> d 3z = - e ~ x( x 2 - 6x + 6) (dx)3
753 z = — — , hallar d 4z2 - x
Desarrollo
384En forma similar a los anteriores d*z = -------- r (d x )
( 2 - x ) 5
Diferenciación de Funciones
754 u = 3 sen (2x + 5), Hallar d nu
Desarrollo
du = 3cos(2x + 5 )d.x = 3.2sen(2x + 5 + — )d.x?
d 2u = 3.22 cos(2 jc + 5 + ~ ) (d x )2 = 3.22sen(2x + 5 + 2 (| ))(< ¿ c )2
d 3u = 3.23 sen(2x + 5 + 3(—)) (d x ')
d nu = 3.2" sen(2x + 5 + « ( —))(dx)n 2
755 y = excosxsen (xcosa ), hallar d ny
Desarrollo
dy = (cosa.eACOS“ sen(xcosa) + cosa e xcosa cos...( x cosa))dx
d " y — ex‘~osa sen(xsena + n a ) (d x ) tl
2.7. TEOREMA DEL VALOR MEDIO.-
a) TE O R E M A DE RO LLE.-
Sea y = f(x ) una función continua en a < x < b y que existe f ' ( x
cada x e (a,b) y f(a ) = f(b ) existe z e (a,b) tal que / ’ (z ) = 0
b) TE O R E M A DE LAG R AN G E .-
Sea y = f(x ) una función continua en [a,b] y que existe / '
para cada x s (a,b) => f ( b ) - f ( a ) = ( b - a ) f \ z ) donde a < z <
350 Eduardo Espinoza Ramos
c) TE O R E M A DE CAU CH Y.-
Sean f(x ) y F(x) funciones continuas en a < x < b y existe / ' ( jc) y
F '(jc ) para cada x e (a.b) y sí f (b )* f (a ) . Entonces:
m - f ( a ) f ' ( z ) ..............t--------------- = --------, donde a < z < bF [ b ) - F { a ) F ' (z )
756 Verificar que la función / (jc ) = x - jc3 satisface a las condiciones de teorema
de Rolle en los segmentos -1 < x < 0 y 0 < x < 1. Hallar los valores
correspondientes de z.
Desarrollo• - ... . . i.. -11, i
La función f(x ) es continua y derivable para todos los valores de x, y
además f ( - l ) = f (0) = f ( l ) = 0
Luego el teorema de Rolle se puede aplicar. Ahora hallaremos z para esto
/ ' ( * ) = 1-3a ;2 => / '( z ) = l - 3 z 2 = 0 , de donde: ^ i = J ~ Ó Z 2 = ~\j^
Siendo - l < z 2 < 0 y 0 < z , < l
757 La función / ( jc) = %J(x-2)2 en los extremos del segmento [0,4] toma valores
iguales / (0 ) = / (4 ) = . ¿Es valido para esta función el teorema de Rolle en
el segmento [0,4]?
Desarrollo
2
Comp / ( jc) = ( jc - 2 ) 3 => f ' ( 2 ) l
Es decir que f(x ) no es derivable en (2,4).
Luego no es valido el teorema de Rolle.
Diferenciación de Funciones
758 ¿Se cumple las condiciones del teorema de Rolle para la función f(x ) =
el segmento [0, n]?
Desarrollo
No se cumple, porque f(x ) = tg x no es continua en (0,Jt) es decir
discontinua en x = — .2
759 Sea f(x ) = x(x + l )(x + 2)(x + 3). Demostrar que la ecuación / '(x ) =
tres raíces reales.
Desarrollo
Como f(x ) = x(x + l ) (x + 2)(x + 3) => f ( x ) = x 4 + 6x 3 + 11* 2 + 6x
/ '(x ) = 4x3 +18x2 +22x + 6
Como / ' (x ) = 0 => , 4x3 + 18x2 + 22x + 6 = 0
De donde 2x3 + 9x2 +1 l.t + 3 = 0
y por la formula de Cardano se obtiene las tres raíces reales.
760 La ecuación ex = l + x , evidente tiene una raíz x = 0. Demostrar qi
ecuación no puede tener otra raíz real.
Desarrollo
Sea f ( x ) = ex - (1 + x) es continua en todo R.
Además es derivable => existe z e R, de tal manera que f ' ( z ) - 0
Como f ( x ) = ex - (1 + x ) , derivando se tiene:
f ' ( x ) = ex -1 => f ' ( z ) = e z - 1
pero f ' ( z ) = 0 => e z - 1 = 0 => e z = 1 => z = 0
352 Eduardo Espinoza Ramos
761 Comprobar si se cumple las condiciones del teorema de Lagrange para la
función f ( x ) ~ x - x 3 en el segmento [-2,1] y hallar el correspondiente valor
intermedio z.
La función es continua y derivable, entonces:
/ ' ( * ) = l - 3 x 2 como f ( b ) - f ( a ) - ( b - a ) f ' ( z )
/ ( l ) - / (2 ) = [1 - (-2 )]/ ' (z ) => 0 - ( - 2 + 8) = 3 / '(z ) / ’ ( z ) = - 2
l - 3 z 2 = - 2 => - 3 z 2 = - 3 = * z = + l
se toma solamente z = -1 puesto que -2 < z < 1
762 Comprobar si se cumple las condiciones del teorema de Lagrange y hallar el
correspondiente punto intermedio z para la función f ( x ) = x 3 en el segmento
Desarrollo
4
Desarrollo
4
f ( x ) = x 3 = x es continua V x e R
además / ’(z ) =/ ( ! ) — / (—1) _ 1 — 1 _ 0
l - ( - l ) 2
como f ' ( z ) = 0 => ^ y [ z = 0 => z = 0
como -1 < z < 1, luego se cumple para z = 0
Diferenciación de Funciones
763 En el segmento de - la parábola y = x 2 comprendido entre los puntos A(1
B(3,9). Hallar un punto cuya tangente sea parábola a la cuerda AB.
Desarrollo
Sea f \ z ) — — í - -a-~ donde a = l , b = 3 b - a
f \ z ) = ~ - ^ = 4 como f ( z ) = z2 =* f ' ( z ) = 2x
como f ' ( z ) = 4 => 2z = 4 => z = 2
Luego el punto será (z, f(z )) = (2,4)
764 Aplicando el teorema de Lagrange, demostrar la fóra
sen(x + h) - sen x = h cos£ donde x < £ < x + h
Desarrollo
Sea f(x ) = sen x, es continua en [x, x + h] por el teorema de Lagrange
tiene: f ( x + h ) ~ f ( x ) = ( x + h - * )/ ' (£ )
f ( x + h ) - f ( x ) = h f\ ^ ) donde f\ ¿ ; ) = cos¿;.sen(x + h ) - senx = hcos£
donde 2; = a + 0(x - a) y O < 0 < 1
caso particular para a = 0, se tiene la formula de Machaurin.
f ( x ) = m = x f X 0 ) + ^ - f "(0)+...+ - £ - L . /<”-'> ( 0 )+ 4 / <B) (5)21 ( « - ! ) ! . n i
donde£ = x y O < 0 < 1
354 Eduardo Espinoza Ramos
765 a) Comprobar si se cumple las condiciones del teorema de Cauchy para las
funciones f ( x ) = x 2 + 2 y f ( x ) = x 3 - 1, en el segmento [ 1,2] y hallar £
b ) Idem para f(x ) = sen x y F(x) = cosx en el segmento [0, ~ ]
Desarrollo
, „ . , ^ f ( b ) - f ( a ) / '(£ )a) Por el teorema de Cauchy se t ie n e :--------------- = ----- — 1 < s < l
F (b ) — F (a ) FX Z )
f(2 ) = 6, f ( l ) = 3 y / '(£ ) = 2 í
f(2 ) = 7, F ( l ) = 0 y / '( § ) = 3§
/ ’( £ ) _ 6 - 3 3 ^ _2_ = 3 ^ . 1 4
F '(£ ) 7 - 0 7 3£ 7 9
b) f(x ) = sen x => / ' ( jc) = cosjc
nF(x) = cos x => F ’ ( jc) = - s e n jc , 0 < <; < —
cos£ 1- 0 . ' t ^-----—- = ----- => ctg £ = 1 => C = —
0 -1 4
2.8. FÓRMULA DE TAYLOR.-
Si una función f(x ) es continua y tiene derivadas continuas hasta de grado
(n - 1) inclusive en el segmento a < x < b (o b < x < a) y para cada punto
interior del mismo existe una derivada finita /(jt) , en este segmento se
verifica la fórmula de Taylor.
Diferenciación de Funciones
f ( x ) = f ( a ) + ( x - a ) f \a) + - f "(a) + f " '(« ) +
( n - 1)! ni
766 Desarrollar el polinomio f ( x ) = x 3 - 2 x 2 + 3 x + 5 en potencias enterc
positivas del binomio x - 2.
Desarrollo
f ( x ) = x 3 - 2x2 +3x + 5 => f ' ( x ) = 3x2 - 4 x + 3
f " ( x ) = 6 x - 4 , f " ' ( x ) = 6 , f M (x) = 0
para n > 4 de donde f ( 2 ) = l l , / '(2 ) = 7 , / ” ' ( 2) = 8 , / " ’ ( 2) = 6
f ( x ) = a3 - 2x2 + 3jc+ 5 = / (2) ■+ / X2)(x - 2) + - (a - 2) + ( * - 2;
jc3 - 2x2 + 3x + 5 = 11 + 7(x - 2) + 4(x - 2) +... + ( x - 2) 3
767 Desarrollar la función f ( x ) = ex en potencias del binomio x + l , hast¡
termino que contenga (x + 1) .
Desarrollo
Como f ( x ) = ex => f in)( x ) = ex y / (n)( - l ) = -e
ex = f ( - l ) + f X - i y . x + l ) + ^ ( x + l ) 2 + £ ^ ( x + l ) 3+ £ ^ ^ ( x +\)42! 3! 4!
x 1 1 , „ 1 (JC + 1)2 1 (JC + 1)3 (x + l ) 4 £e* = - + - ( * + 1) + —i----- — + - - ------ — + - ----- — e?
e e e 2! e 3! 4!
donde £ = -1 + 0(x + 1 ), 0 < 0 < 1
768 Desarrollar la función f(x ) = ln x en potencias de x - 1, hasta el término con
356 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
f(x ) = ln x => /'(x) = — => f "(x) = \ => f ”(x) = — x x - xr
f ( l ) = 0, / ’ ( 1) = 1, / " ( 1) = - 1 , / " ' ( 1) = 2
= e + donde f 1S ) = j ¡2 . i . q
lnx = ( x - l ) - ( X~ 1)2 + 2 U ~- 1)3- donde £ = l + 0 ( x - l ) y O < 0 < 1 2 ! 3!£3
769 Desarrollar la función f(x ) = sen x en potencias de x, hasta el término de x 3 y
hasta el término x 5.
Desarrollo
» f(x ) = sen x , derivando se tiene:
/ ' ( x ) = c o s jc , f " ( x ) = -s e n x , / ' " ( x ) = - c o s x , f n ( x ) = senx
/ v ( x ) = c o s x , f v>( x ) = -senx
f (0) = 0, / ' ( 0) = 1, / " ( 0) = 0 , / " ' ( 0) = - l , / ív(0) = 0 , / v(0) = l
x3 x5a) senx = x — — + — / v(¿;) donde / v(£) = cos^ , = 6xx , O < 0 [< 1
Diferenciación de Funciones
x3 x5 x1 ••b) senx = x ~ — + - - — f v" (£ ) donde / v,'(£ )= - c o s £
3! 5! 7!
donde £ = 0 2jc , O < 0 2 <1
770 Desarrollar la función / ( jc) = <?* en potencias de x hasta el término de
Desarrollo
/ (jt ) = e* => / (n)(jc) = e* => / <n)(0) =1
/ ( * ) = / ( O ) + / ' ( O ) * + x 2 + . . . + ^ ....I ( 0 ) jc" -1 + jc"2 ! (n —1)! n\
x2 jc" ' 1 jc" f.f ( x ) = ex =1 + jch------------K . . + — — — + — e ’ d o n d e £ - 6tc,y O < 0 < 1
2 ! (n—1)! n\ y
771 Demostrar que la diferencias entre sen(a + h) y sen a + h cos a, no es m¡
de — h22
Desarrollo
Sea "(x) = sen x haciendo el desarrollo en potencias de x - a
(x - a )2 (x - a )3senx = sena + (x - a ) cos a ------------ sena-------------cos o + ...
2! 3!
haciendo x =a + h, de donde se tiene:.
. , h2 h3sen(a + h) = sena + h cos a ----- sena------cos a + ...
2! 3!
h2 h h2sen(a + h ) -s e n a -h c o s a = — ( -sena----a ------sena + ...+) ...(1)
2 3 12
358 Eduardo Espinoza Ramos
h h h2 , , h2 . . h h}-sena— cosaH— cosa+— sena+... = sena(-H----- K..)+cosa(— H— +...)
3 3 12 12 3 20
donde -1 + — + ...<1 => - — + —— k ..<1 12 3 20
además 0 < sen 0 < 1 y 0 < cos 0 < 1
y además cuando sen a 1, cos —> a y cuando cos a -+ 1, sen - » a
/ i * 2 , , h h3 sena{ - 1 + — + ...) + cos a(— + — + ...) < 1 12 3 20
h2r , , h2 s . h h3 fc2 ...— [sena(-\-\---- + ...) + cosa(— H----- + ...) < — ... (2)2 12 3 20 2
reemplazando (2) en ( 1) se tiene: sen(a + h )~ sena - h cos a < ~
772 Determinar el origen de las formulas aproximadas:
a) yJ\Vx = l+ ~ — i I x | < 1 b) \Zl + Jc«l + y - -^ - ,| x | < l
y valorar el error de la fórmula
Desarrollo
a) Mediante el desarrollo de Taylor se tiene:
r.----- . x x 2 3V l + * = 1 + -------- + ------------t el error es:
2 8 3 1 6 (l + <^)2
x x 2 3 „ x x2 1( 1 + T - ^ + -------------r ) - ( l + - — — ) = ■
2 8 í ‘ 2 8 5 16(l + ¿ ;)2 16(l + 5 ) 2
Diferenciación de Funciones
___ ~ y-2 v3b) y j l+x =1 + --------- 1-— (--------- ) el error es:
3 9 81 *(1+ S ) 3
(1 + -------- + ----------- r ) - ( l + -------- ) =3 9 * 3 9 - -
8 1 (l+ £ )3 81(1 + < )3
donde I; = 0x y O < 0 < 1
773 Valorar el error de la fórmula: e - 2 + — + — + —2! 3! 4!
Desarrollo
* . x2 x3 x4 x5 ,V/C.= 1 + jt + — + — + — + — f \ t )
2! 3! 4! 5!
e r = <? cuando x = l entonces se .tiene:
ex = 2 + - + - + - + - / v(£ ) donde / v(£) = ^2! 3! 4! 5!
Luego el error será: — donde i; = 0x = 0(1) = 0
Pero 0 < 0 < 1, el máximo error que puede tener ex = 2 + — + — + — <2! 3! 4!
cuando se toma el mayor £, es decir- que debe lomarse el máximo valor de (
pero el máximo valor 0 aproximado y siempre menor que í, entonces tomand
e0 = 1, el error < — donde e < 3.
5!
3 1Luego redondeando se tiene error < — = '— = 0.025
5! 40
360 Eduardo Espinoza Ramos
774
775
Un hilo pesado, bajo la acción de la gravedad, se cambia formando la catenaria j
y = a cosh — . Demostrar que para valores pequeños de | x | la forma que toma a
x 2el hilo puede representarse aproximadamente por la parábola: y = a + —
2a
Desarrollo
Como |x| es pequeño utilizaremos la formula de M ACLAURIN.
Sea / ( jc) = y = acosh(—) => f(0) = a a
x jc2 jc4/ (.t) = acosh — = a + — + ---- - + ... como | x | es pequeño entonces ¡x| = 0
a 2a 4 \a
x4 x6 Luego ---- r + ---- —+...
4 !a3 6 la5o puesto que
n ía"- 'o para | x | => 0
JC x2 x4 x2Luego a cosh — = a + — + a + -— = y
a 2a 4 \a 2a
X XPor lo tanto a cosh — ~ a-\-----
a 2a
Demostrar que cuando | x | < a, con una precisión hasta de (—)2, se verifica laa
igualdad aproximada ea -a + x
a - x
Desarrollo
------ 1 1 1 2a + jc x ^ „ j c - t x .z , x x------ =( 1 + —) 2(1— ) 2 de donde (1 + —) 2 = 1h------------ -a - x a a a 2a 8a
Diferenciación de Funciones
JC 4 , X 3x2 ' " ■'(1----) 2 = l + _ + _ Aa 2a 8a~
multiplicando ambos miembros se tiene que: ------ = 1 + — + — - ... -í a - x a 2a
— xahora haciendo el desarrollo de ea en potencias de — :
a
x 2 - JC JC
é?a « l + - + — — ... i a 2a2
. ■ a + x de ( 1) y (2) se tiene que: ------ ~e°
I a — x
2.9. REGLA DE L ’ HOSPITAL - BERNOULLI PARA CÁLCULO DE LIMITES INDETERMINADOS.-
a) C Á LC U LO DE L IM IT E S IN D ETER M IN AD O S DE LAS FOR
Consideremos f(x ) y g (x ) dos funciones derivables para 0 < | x - a
sin que la función g(x ) se reduzca a cero, si f(x ) y g(x ) son infinitai
pequeño o infinitamente grandes cuando x => a, es decir si la fra
/ ( jc)------ representa en el punto x = a, una expresión indeterminadag{x )
forma — o — , tendremos que:0 °°
lim Z í f l = iim -L- X) a condición que este limite de las derivadas e>* - * « g (x ) g ’(x )
362 Eduardo Espinoza Ramos
f ' ( x)También esta regla se aplica cuando x => <*>, si la fracción------- es una
g ' (x )
expresión indeterminada se vuelve a aplicar esta regla.
b) O TR AS FO R M AS IND ETERM INAD AS.-
Para hallar los limites de expresiones indeterminadas de la forma
0, oo, se transforma los correspondientes productos f l ( x ) . f 2( x ) donde
lim (x ) = 0 y lim f 2{x ) - 00 en la fracción.
/ iW ,c 0 N t f 2(x ) oo——— (forma — ) o también —=-— (forma — )
1 0 1 oo
f 2(x ) f {(x )
Para el caso de las indeterminadas de la forma oo - oo se transforma laf . (x )
diferencia (x ) - /2 (x ) en el producto f¡ ( x ) [ l— -— -] y se calcula élf i ( x )
f <x) f (x )limite de la fracción — ---- , si él limite — — = 1, esta expresión se
f i ( x ) f i ( x )
reduce a la forma:
j f 2(x )
~ M x ) (forma —)1 0
M x )
Los limite cuyas expresiones de las determinadas son de la forma
1~ , 0° y oo°.
Se calculan primero tomando logaritmos y después se levanta el
logaritmo.
Diferenciación de Funciones
H A L L A R LOS L IM IT E S QUE SE IN D IC A N DE LAS FUNCIC SIGUIENTES:
776 limx 3 - 2x2 - x + 2
x3 - 7 x + 6Desarrollo
x 3 - 2 x 2 - x + 2 3x 2 - 4 x - 1 3 - 4 - 1 - 2 1lim :— ----------------= lim - - -*-»i x3- l x + (> 3x - 7 3 - 7 -4 2
x c o s x - senx777 lim --------- --------
Jt_>o x
Desarrollo
x cosx-senx cos x - xsenx — cos xh m ------ — --------= hm --------------- ------------•*->o x *-*0 2>x
xsenx 1 senx 1 = lim-------— = — lim — — = —
3a2 3 t->o x 3
778 lim- 1 *, K X1 — sen —
9
779 lim
Desarrollo
1- l ~ x V - 1 2 1 2 1lim — *----------= lim ------------- = — lim -----------= — (—) = <-V—>1. K X jr—»1 K K X J i a->I K X n 0
1 - s e n — — cos— cos —2 2 2 2
coshx-1
*-*o 1- c o s x
Desarrollo
coshx- 1 senhx e —e e + e 2 lim ------------= lim -------- = lim ----------- = hm----------- = - = 1x—>o 1 —cosx *->0 senx .*->0 2senx *->0 2cosx 2
364 Eduardo Espinoza Ramos
780 I i m * Í Z f £ í íjt->o x - senx
Desarrollo
tgx-senx sec x - c o s xlim ------------ = lim ------------------*->o x -s e n x *->o 1 - c o s j c
1 - cos3 jc 1 + cosjc+ cos2 jc „= lim— ---------------= lim----------- r-------- = 3
eos jc( 1 - cosjc) -t-»0 eos x
781 l i m * * 1 * - 2' * *1 + cos4jc
4
Desarrollo
sec "jc -2fpjc 2sec x./j?x-2sec jc 2 «• t g x - llim - -- ...... — ■ = lim ----------- 5-------------- = 2 lim sec x. lim ------------x , » 1 + cos4jc -4sen4x x * X 1 -4sen4x
4 4 4 4
rr .2 ,. t g x - l .. t g x - l .. sec2 X (V 2) 2 1= 2(V 2 y lim — ------- = - lim --- ----- = - lim -----------= --------- - = -
-4sen4x ' X-JL sen4x x 4 cos 4x 4 ( - l ) 24 4 4
782 lim tgXx-**tg5 x
2Desarrollo
tgx .senx. cos 5x cos x. cos 5x - 5senx.sen5x 0 -5lim — — = lim --------------- = lim ------------------------------------- = ------— = 5
tg5x x cosx- sen5x x ,n -senx.senSx + 5cosx.cos5x -1 + 02 2 2
783 limx-*°° X
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
784 lim
Desarrollo
1
lim = lim — —- = 3 lim — = 3 lim = 3(0) = 0x — >oo 3 / ^ - • X—>oo 1 _ _ X X -* o o
i r 3 r3
n
785 lim — —*->o nx
cts —
Desarrollo
n n x n 1 2 nx— n tg — — sec —- 2 2
lim— £— = lim------2- = lim—--------= £ _ ( i ) = £ _j;-*0 7TX x —*0 X x—>0 1 2 2
“ í y
786 lim*->o ln (senx)
Desarrollo
m cos mxln (senmx) senmx ,■ senx.cosmx
lim ----------- - = lim ---- ----- = m lim ---------------*-*o ln(senx) *->o cosx *->0cosx.senmx
senx
■ m limtgx sec2x sec2x 1 ,
- m lim ------------ = hm — ;------= - = 1*->o tgmx x->a msec mx J'->0 sec mx 1
787 lim (1- cos x)cr,gx jc-*0
Desarrollo
366 Eduardo Espinoza Ramos
(1 — cos x) COS X 1-cosx lim (l - cos x)ctgx = hm ---------— —— = lim --------— . lim cos xx —>0 '■ senx »o senx *-»o
788 lim(l - x)tg —*->1 2
lim SenX-. lim cos x = ( 0) ( 1) = 0 *->0 COS -V x—>o
Desarrollo
K Xsen — , _ i
lim (l - x ) ------— = lim----- í - . l im sen-— = lim ---------(1)x—>1 ' K X x —>1 K X x —>1 2 K X
COS---- COS----- COS-----2 2 2
-1 2 ,. 1 2 /1 2= lim -------------- = — hm—--------= — (- ) = —
*->1 k k x n jc-*i k x n i n---- sen — sen —
2 2 2
789 lim arcsenx.ctgx *->0
Desarrollo
cos x arcsenxlim arcsenx.ctgx = hm arcsenx.------ = hm----------- . hm cos xx - > o jt->o senx *->o senx *->o
arcsenx . . . . . 1 1 ,= hm---------- .(1) = hm—= = ------- = ■-------— = 1
x->o senx ^ V I - jc2 c o s j c V i- 0 (1)
790 lim jc"e x , n > 0AT-+0
Desarrollo
hm jc"e 1 = hm jc” . hm e x = 0n.e 0 = (0)(1) = 0jr—>0 jc—>0 x—>0
Diferenciación de Funciones
791 lim xsen(—) x
Desarrollo
a a asen — — j cos ~
lim xsen{—) - lim — —¡— = lim —- — -— — = a lim eos — = a.cos 0 = a.l = aX —>oo X X — >°° 1 JC— »<*> 1
x " 7
792 lim x"sen— , n > 0 x
Desarrollo
a „ a asen— a cos— cos-
lim sen— - lim — - lim — -— — =na lim ---- ;£. = - ( - ) = «>, para n >• X —>oo X X —^oo 1 x — 2 1 “ ^ JC— >o® H 1 / | 0
Xx" x”
Sí n = l =» lim xsen— - a
Sí n < 1 => lim x"sen— = 0
793 limlnx. l n ( x - l )*->i
Desarrollo
lim ln x. ln(x -1 ) = lim — — = 0, por la regia de L ’ HospitalX—>1 JC—>1 1
ln (x - l )
794 lim(— -------— )jt-»i x — 1 lnx
Desarrollo
368 Eduardo Espinoza Ramos ]
r x 1 . jclnjc-jc + l lnxlim(------------- ) = hm--------------- = hm------------- -x-*\ x — l lnjc t-»i (jc - l)ln jc *~>i ■* —1
Í_
= l im ....l i m - J L - . - L - l, 1 « i l . 1 1 + 1 2
ln jc + 1— x x + 7
795 lim(x->3 x - 3 x - x - 6
Desarrollo
5 x " - 6x + 9 ( jc—3) -) = hm-----------;---------- = hm -lim (-----------, , - , - ..... ,
jf—*3 x - 3 x - x - 6 *-»3 (jc- 3 ) ( jc - jc- 6 ) ^->3(jc- 3 ) ( jc - x - 6 )
x - 3 1 = hm — --------- = lim-
x -*3 x2 — x —6 2 jc — 1 6 — 1 5
796 lim(-------- = ------------t=-)*-»• 2(1- V jc) 3(1- v jc )
Desarrollo
, 1 + Vjc l + l ¡x + y ¡ ¿ , 3 + 3 > / I - 2 - 2 ^ - 2 ^ / jc 2lim(----------------------------- ) - hm---------------------------------*-.1 2 (1 - j c ) 3 (1 - j c ) x - * i 6 (1 - j c )
= lim*->i
2yfx 3 Vjc2' 3^1 _ 2 3 3 _ 2___ __ 2 _ 1-6 -6 -6 12
797 lim (— --------— )x ,* ctgx 2 c o s j c
2
♦
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
.. .xsenx n . ■ Ixsenx- nlim (-------------------) = lim --------------x cosjc 2cosx 2 cosa
2 2
798 lim x*JC— >0
.. 2senx+2ACOSA 2(1)+7T(0)= lim -------------------- = --------------
x tK - 2senx - 2(1)2
Desarrollo
ln* ,
T 'T±lim '** = lim e lnx = lim e* ]nx = l ime r - e - e *,r—>0 -v—>0 * - » 0 x—>0
\_
799 lim x xX — ><*
Desarrollo
1 i ln * ln * 1~ invT ----- lim----- lim — _
lim x x = lim e = lim e x - e '~ x = e '"~ x = e = 1X —>óo+ * —»<*>+ X —><=o+
800 lim — ------*-»o x + ln a
Desarrollo
3
l im f .-*_1
e x
801 lim a " "x ->0
Desarrollo
lim —— ---- x..i.Jt-»0 A + ln A x->0
31n*lim
31n*ln—-—-— ——-— mu--------
= lim e x +ln 1 = lim ee +ln* = e"~°‘i+tnx =jc - » 0
370 Eduardo Espinoza Ramos
HnjJüi- lim-lim x senx = lim elnx = lim esenxAnx - e' >0coSí,“ = e ' -co$ecx.tgxx—>0 x —>0 x—>0
sen x senx-h m ---------- -Jim ----------------- .tgx , ,n, n
- e x~*°xcosx — e *-*o x — __ ü J
802 l im (l- x ) 2JC—>1
Desarrollo
K X nx 7TX , K X , , ,cos— . . . « * r eos-— .in (l-jc) límeos— .in (l-jc) n
lim(l - x ) 2 = U m e w ~x) = lime 2 = e " ‘ 2 = e ° = ]X -* \ JC— »1 J C -» 1
12-,803 lim (l + j r )
jt->0Desarrollo
lim [(l + .i2)-'2 ] = e'™* = e° = 1x—>0
1804 lim x l~x
X -> 1
Desarrollo
1 I ln JC 1 ----- , ]” ----- lim---- . 1
lim *1--* = l ime = ü m e ]- x = e " ‘ x =e~ ‘ = -x—>1 jc->i jc—>1 e
K X. n xjs -r-
805 lim(/g — ) 2x -> i 4
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
lim(fg — ) 8 2 = lim eX —>1 2 JC—>1
. . nx 'g~ ln(/¿— ) 2
4
ln (tg— )lim--------—
n x . , nx *->i nx ctgx—
= lime ¿ 4 - e ¿x—>1
806 lim ícígx)1"*.r-»0
lim -sec (— )
4
Desarrollo
ln ctgx .. ln ctgx -------- lim---------
-cos ecx.ctgx
Ctgx
lim(c/gjt)lnjt = lim eln(rt®Jt)“ = lim e ln-,t = ln;t =x—>0 x -»0 x->0
lim-Jtcosecx lim----------. 1— gx -*o — g x~>° senx = g 1 = __
807 lim (—)'*-t x-*0 x
Desarrollo
in - .1 x ln * l
ln ( - ) t g x ~ — — [im -(-c o s e cx .c tg x )lim (—) gx = lim e * = lim e gx = lim e gx = e‘ Mxx - * 0 X x —>0 *->0 x —>0
i- 1 .. senx_ e *-°xcosec.ctgx _ e * ™ x JgX _ ^1(0) _ ^0 _ j
808 limícígx)*x—*Q
Desarrollo
lim(cíg;c)SCTU = lim e lnic,gx)“" = lim = lim e- sewtM'gx), t - » 0 * - > 0 ; c- » 0 jc- » 0
372 Eduardo Espinoza Ramos
809
ln(/ex) 'gx- lim senx.ln(tgx) -lim ----------- } 2 rn, r t m r
: e x - > 0 5 - e *-*cosecx - e x °-cosecx.ctgx
lim-®*mu----------- mu j mu-------- 7 A •— g ,_*° cos ecx — £ *-*c o s x — ^ * -* °c o s jc = e 1 = = \
Demostrar que los limites:
x2sen~x ,a) lim --------— = 0 b) lim ---------- = 1jt—>o senx x-+°° x+senx
No pueden hallarse por la regla de L ’Hospital - Bemoulli. Hallar estos limites
directamente.
Desarrollo
2 1 1 .. 1x sen— xsen— limasen— „a) iim --------— = lim ------ ----------------- * = H = 0
x—>o senx jc—>o senx hm senx 1x—>0
donde hm xsen — = 0 , puesto que z = — , cuando x —» 0, z —»«>x —>0 X X
1 SCTIZ 1lim — senz = ? => -1 S sen z < 1 => — < ------s= —
z z z z
.. 1 .. senz ^ .. 1 _ n . senz . „ .. senzhm — < hm ------< hm — => 0 < hm ------ < 0 . . hm -------= 0
z - » “ Z Z z - + ~ Z Z Z
. . .. x -sen xb) hm ---------- = 1
*-*“ x + senx
j senxx-senx x 1 -0 . . . senx
hm ----------= hm -------— = -----= 1 donde lim------ = 0 , ver parte a)x-*~ x + senx x-»~ j + senx 1 + 0 x-*~ x
x
Diferenciación de Funciones
810 Demostrar que el área de un segmento circular con una ángulo cer
pequeño, que tiene la cuerda AB = b y la sagita CD = h (según figu
2aproximadamente igual a: S ~ —bh
Con un error relativo tan pequeño como se desea, cuando a —> 0
Desarrollo
Sea R el radio de la circunferencia, el área del segmento esta dada exactí
R2 2por la formula: S = — (a - sena) , para demostrar que: S = —bh
Calculemos lim —— y esto debe ser aproximadamente igual a 1.
3
Según la figura b = R cos a
H = R - b = R( 1 - cos a )
2 2—b h - — R 2 c o s a (l-c o s a ) 3 3
(a -s e n a )Luego lim —— = lim ■ = lim — (-
O
a - sena
a ^ o 2 bh “ -*0 2^2 a_>°4 c o s a (l- c o s a )3 3
)
\374 Eduardo Espinoza Ramos
CAPITULO III
EXTREMO DE LAS FUNCIONES Y APLICACIONES GEOMETRICAS DE LAS DERIVADAS
3.1. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE UN ARGUMENTO.-__________________________________________
a) C R E C IM IE N TO Y D E C R E C IM IE N TO DE LAS FUNCIONES.-
Diremos que la función y = f(x ) es creciente en un intervalo determinado sí
para cada par de puntos x, y x2 de dicho intervalo.
Se cumple que sí x x < x2 => /(jc, ) < f ( x 2)
Diremos que la función y = f(x ) es decreciente en un determinado intervalo si
para cada par de puntos cualesquiera x, y x2 de dicho intervalo se cumple
que sí x, < x2 =* f ( x x) > / (x 2)
Aplicación de las Derivadas
Si la función f(x ) es continua en el segmento [a,b] y / ' ( jc) > 0 para a < :
la función es creciente.
En el segmento [a.b]. Si la función f(x ) es continua en el segmento [a,
/ ' ( jc) < 0 para a < x < b la función es decreciente en |a,b]
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones.
811 y = 1 - 4 jc — jc2
Desarrollo
y ' = - 4 - 2jc => y '= 0 para los puntos críticos, es decir:
- 4 - 2x = 0 => x = - 2 punto critico.
-2
Como y = f(x ) => / = / ' ( jc) = - 4 - 2 jc => y' = - 2 ( jc + 2 )
Si x< -2 , y ' > 0 =í> f(x ) = y, es creciente en <-<*>,-2>
Si x> -2 , y '< 0 f(x ) = y, es decreciente en <-2,°o>
376 Eduardo Espinoza Ramos
812 y = ( x - 2 ) 2
Desarrollo
y = ( x - 2 ) 2 => y ' = 2 ( x - 2 )
Como >•'=0 para obtener los puntos críticos entonces:
2(x - 2) = 0 => x = 2 punto critico.
2y ' = 2 ( x - 2 )
Si x < 2 => y'<0 => y = f(x ) es decreciente en <-~>,2>
S i x > 2 = » y’> 0 = > y = f(x) es creciente en <2,«>>
813 y = (x + 4)3Desarrollo
y = (x + 4) 3 =* y’=3U + 4) 2
Como y ' = 0 , para obtener los puntos críticos es decir:
3(jc + 4) 2 = 0 , de donde x = -4
S i x < - 4 => y '< 0 => f(x ) = y es crecimiento en <-°°,-4>
y' = 3(.x + 4 )2
Si x > - 4 => / > 0 => f(x ) = y es crecimiento en <-4,°°>
Aplicación de las Derivadas
814 v = jc2( jc — 3)
Desarrollo
y = x 2 ( x - 3 ) = x 3 - 3 x 2 => y '= 3 x 2 - 6x => y' = 0
para obtener los puntos críticos es decir:
3x2 - 6x = 0 3 x ( x - 6 ) = 0 => x = {0,6} puntos críticos
---------0 ------------------ 0 ---------0 6
y' = 3;c(;ir-6)
Si x < 0 , y ' > 0 => f(x ) = y es creciente en <-°°,0>
Si 0 < x < 6, y '< 0 => y = f(x ) es decreciente en <0,6>
Si x > 6 => y '> 0 y = f(x ) es creciente en <6, °°>
815 v = ———x — 2
Desarrollo
( x - 2) - x -2y ' = ----------— = -------— como y' = 0 , para obtener los puntos críticos.
( x - 2)2 ( x - 2)2
i-2
Es decir: -------- r = 0 . Luego 3x tal que y ' = 0( x —2)
Además x = 2 es punto de discontinuidad
378 Eduardo Espinoza Ramos
816
817
Si x < 2 => y ' < 0 =* y = f(x ) es decreciente en <-=»,2>
S i x > 2 => y '< 0 y = f(x ) es decreciente en <2,°°>
1y = -
( * - 3 )2
( x - 3 y
Desarrollo
■, para obtener puntos críticos debe ocurrir que 0
Como v ’ : ■, no 3 x, tal que y ' = 0U - 3 Y
Además x = 3 es punto de discontinuidad
Si x < 3 => y ' < 0 => y = f(x ) es decreciente en <-«\3>
S i x > 3 => / < 0 => y = f(x ) es decreciente en <3,°°>
x~ — 6jc — 16Desarrollo
, (x 2 - 6x - l 6) ( x ) ' - x ( x 2 - 6 x - 1 6 )y =
-x —16
(x 2 - 6 x -1 6 )2( x z - 6 x - 1 6 y
Para hallar los puntos críticos debe ocurrir que: y ’ = 0
Para que v ’ = 0 => - x 2 ~16 = 0 => x 2 = -1 6 3 x e R
Aplicación de las Derivadas
Además x = -2, x = 8 son puntos de discontinuidad
/ = / '( * ) = -(x 2 +16)
(x 2 - 6 x - 1 6 )2
-oo < x < -2 / = / ’(*)< o-2 < x < 8 / = / ’ ( * ) < 0
8 < x < oo / = / ’ ( * ) < 0
Luego la función y = f(x ) es decreciente en: <-2,8>, <8,°°:
818 y = (x -3 )\ fx
Desarrollo
Calcularemos su derivada
y ' = ( x -3 ) 'y jx + { x -3 ) (y [x ) ' => / = , £ + £ * = » y ' = ?-* ~2 VA* 2y¡X
Hallaremos los puntos críticos para esto debe cumplirse que y' = 0 V 3 y'
Si y '= 0 => 3 x - 3 = 0 => — 1 puntos críticos
Sí 3 y' => 2\[x = 0 => x 2 - 0
380 Eduardo Espinoza Ramos
819
x < 0, y = ( a - 3 )71 no esta definida
0 < x < 1, y' < 0 => y = —j3 - es decreciente en <0,1; y¡x
x — 31 < x < o®, y'> 0 => y — —j=~ es decreciente en <l,°o>
■v x
y = -3 - r x
Desarrollo
Calcularemos la derivada y ' = —----- 1 = =3 3 ^ 7 3 ^ 7
Ahora hallaremos los puntos críticos, para esto hacemos que y' = 0 y 3 y'
Si y '—O => \ / 7 - l = 0 => x = ± 1
Si 3 y' => 3\¡x2 = 0 => x = 0
Puntos críticos
, y [x *~ 1 (1/x + lK lJx -Y )
' = = 3 Í ? '
-oo < x < -1, y '< 0 y = ^ - - l f x es creciente en <-oo,-l>
Aplicación de las Derivadas
- l < x < 0, y '< 0 y = f(x ) es decreciente en < -l,0>
0 < x < l , y ' > O =* y = f(x) es decreciente en <0,1 >
1 < x < °° => y' > 0 => y = f(x ) es creciente en <1 ,«>>
820 y = x + sen xDesarrollo
Calculando la derivada y' = 1 + cos x , ahora encontraremos los puntos críi
para esto debe ocurrir y' = 0 ' ' 3 y'
Si y' = 0 => l + c o s x = 0 -- cosx = -l => x = 7t(2n + l )
ahora veremos si y '> 0 v y '< 0
pero se conoce que -1 < cos x < 1, V x e R
sumando 1 se tiene 0 < 1 + cos x < 2, V x e R
luego y '> 0 V x e R, por lo tanto y = x + sen x es creciente en:
821 y = x ln xDesarrollo
s -1 1y' = ln x + 1, luego v' = 0 se tiene: lnx = -l => x = e = -e
y para que 3 y ' , se tiene x = 0
como la función esta definida para x > 0 entonces:
Como y ' = ln x +1 se tiene:
382 Eduardo Espinoza Ramos
0 < x < - , >’’ < 0 => y = x lnx, es decreciente en < 0, - > e e
1 1— < x < ° ° , v '> 0 => y = x lnx , es creciente en [—,°° > e ' e
822 y = aresen (1 + x)Desarrollo
1 , 1 Calculando la derivada y ' = —= = = = = de donde y -
-y/T— (1 + a ) 2 ylx2 - 2 a
para hallar los puntos críticos hallaremos los valores de x de tal manera, que
3 y. .
Luego yj- a 2 - 2 a = 0 => - a ’ - 2 a = 0 => -x(x + 2 ) = 0 a , = 0 , a 2 = - 2
puntos críticos
t] - ( x 2 + 2 X) y ]~x (x + 2)
-oo < x < -2, 3 j ' es decir que no es y ' > 0 ni y '< 0 , por lo tanto no hay
intervalo de crecimiento y de decrecimiento.
-2 < x < 0, y '> 0 => y = aresen (x + 1) es crecimiento en: <-2,0>
823 y = 2e*2~4xDesarrollo
Aplicación de las Derivadas
Calcularemos su derivada y ' - 2ex 4i (2 j c -4 ) , luego para hallar los pu:
críticos haremos y' = 0 , es decir: 2elx ~4x>(2x - 4) = 0, de donde x = 2
2y '= 4 e x(x- 4) ( x - 2 )
- «> < x < 2, y '< 0 =$> y = 2e x ~4x es decreciente en: <-°°,2>
2 < x < ° ° , y’> 0 => y = 2ex ~4x es creciente en: <2,°o>
iS24 y = 2x~a
Desarrollo
— -1Calcularemos su derivada y ’ = e *~a (-------- —) ln 2
(.x - a ) 2
19 x~a
y • — — ----- _ ln 2 , ahora halaremos los puntos críticos, para esto veremos( x - a )
valores de “x” , de tal manera que 3 y ' .
Luego x - a = 0 =* x = a punto critico
384 Eduardo Espinoza Ramos
- ° ° < x < a , y '< O =* y = l -*-0 es decreciente en:
a < x < o®, v '< 0 => y = 2 1-0 es decreciente en: <a,oo>
825 y = —
Desarrollo
Calcularemos su derivada y' = ahora hallaremos los puntos críticos,JC"
para esto debe ocurrir que: y = 0 V ¡ _v'
Sí y' = 0 => ex ( x - ! ) = 0 => x = 1
Sí 3 y' => x 2 = 0 => x = 0
, ex( x - l )y = — i—
-oo < x < 0, y '< 0 => y = — es decreciente en: <-oo,0>x
0 < x < 1, y ’ <0 v = — es decreciente en: <0,1>x
1 < X < oo, y' > 0 y = — es creciente en: <1 ,°o> x
Aplicaciones de las Derivadas
Averiguar los extremos de las funciones siguientes:
826 y = x 2 + 4x + 6
Desarrollo
y ’ = 2x + 4 => y' = 0 , para obtener los puntos críticos
es decir: 2x + 4= 0 => x = -2
y " = 2 => y " ( - 2 )> 0 => x = -2
se tiene un punto mínimo de donde y = 2
827 y = 2 + x - x 2Desarrollo
y ' = \ - 2x y '= 0 => l - 2x = 0 de donde x = ~ punto critico
y " = - 2 => y " (^ )< 0 => en el punto a = i se tiene en máximo
9 9 1de donde y = — , es decir: v = — es un máximo cuando x = —
4 ’ 4 2
828 v = a 3 - 3 a 2 + 3 a + 2
Desarrollo
y ’ = 3a 2 - 6a + 3 =í> y ' = 0 , para obtener los puntos críticos, es decir:
3x2 - 6 v + 3 = 0 => x = 1. punto critico
y " '= 6x - 6 => y " ( l ) = 0 =s> y = x 3 - 3 x 2 +3x + 2
no tiene máximo ni mínimo por lo tanto no tiene extremos
386 Eduardo Espinoza Ramos
829 y = 2x3 + 3 x 2 -12x + 5
Desarrollo
y '= 6x 2 + 6x -1 2 => y '= 0 para los puntos críticos
6x 2 + 6x -1 2 = 0 de donde: x ¡ = - 2 , x2 = l
y ' ' = 12x + 6 => y " ( - 2)< 0 => en x4 = - 2
se tiene un punto máximo de donde y = 25
v " ( l ) = 18>0 ^ en x2 = l se tiene un punto mínimo de donde y = -2
830 y = x 2(x - 12) 2
Desarrollo
y = x 2( x 2 - 24x +144) => y = x4 - 24x3 + 144x2, derivando se tiene:
y' = 4x3 - 7 2 x 2 +288x, hacemos y' = 0 para obtener los puntos críticos
es decir: 4x3 - 7 2 x 2 +288x = 0 => x, = 0 , x2 = 6 , x3 =12
y " = 12x2 - 144x + 288
y ' ' (0) = 288 > 0 => en x¡ = 0 se tiene un mínimo de donde y = 0
y " (—6) = —144 < 0 => en x 2 = 6 se obtiene un máximo de donde y = 1296
y ' ' ( 12) = 288 > 0 => en x3 =12 se obtiene un mínimo de y = 0
831 y = x (x - l ) 2(x - 2) 3
Desarrollo
Hallaremos su derivada y '= (x - 2) 2 ( 6x 3 —\6x l + 12x — 2)
Aplicaciones de las Derivadas
ahora hallaremos los puntos críticos y para esto:
y' = 0 , es decir: (x - 2) 2(6x 3 - 16x2 + 12x - 2) = 0
de donde: x¡ = 1. x 2 = 0.23, x3 = 1.43, x4 = 2
y " = 2( x - 2) ( 6x~ - 1 6 x 2 + 12x - 2) + ( x - 2 ) z(18x2 - 3 2 * + 12)
y ” = 2 (x -2 ) [6 x 3 - 16x2 + 12x — 2) + (x - 2 )(9x2 -16x + 6)]
y " = 2 (x - 2)(15x3 - 50x2 + 5 0 x -1 4 )
y " ( l ) = - 2 < 0 => hay un punto máximo en: x = l , de donde y = 0
y ' ' (0.23) > 0 => hay un punto mínimo en x = 0.23 de donde y = -0.76
y "(1 .4 3 )>0 => hay un punto mínimo en x = 1.43 de donde y = 0.76
y " ( 2) = 0 , no hay máximo ni mínimos.
x3832 y =
x +3Desarrollo
, . . . , , ( x " + 3 ) 3 x 2 - 2 x 4 3x + 9 x - 2 x Calculando su derivada y = ■ ~
( x 2 + 3 ) 2 ( x 2 + 3 ) 2
, x2(x 2 + 9) uy = — -z------5- hacemos y = 0
(x - +3 )
para obtener los puntos críticos es decir, Jt (x + 9) = 0 de donde x = 0
y " = 2 x ( x 2 + 3 ) ( - x 4 — 7xf + 9 )
y ” (0) = 0 => no hay máximos ni mínimos por lo tanto no hay extremos.
388 Eduardo Espinoza Ramos
833 y = -x - 2x + 2
x — 1Desarrollo
x2 - 2xCalculando la derivada se tiene: y ' = :------- r- , hacemos y' = 0 para obtener
( x - 1)2
los puntos críticos, es decir: x ‘ - 2x = 0 => x, = 0 , x 2 = 2
„ 2 (x - l ) ( - x + .3 x - l)
( x - 1)4 .
y " ( 0 ) = - 2 < 0 => en x, = 0 hay un punto máximo de donde y = -2
y ' ' ( 2) = 2 > 0 =}■ en x2 = 2 hay un punto mínimo de donde y = 2
834 y =(x —2) (8- x )
Calculando su derivada y =
Desarrollo
- (1 0 x -3 2 ), haciendo y' = 0
para obtener los puntos críticos es decir: - (1 0 x -3 2 ) = 0 => x = 3.2
y = -- (lO x -3 2 ) „ 20x - 96
y ~ 4
/ ' ( 3.2) < 0 => hay un máximo en el punto x = 3-2 de donde y ■10
835 y =16
x (4 - x )
Desarrollo
Aplicaciones de las Derivadas
, 16(3jt - 4 ) , ,y = ------- — ■, hacemos y = 0 para obtener los puntos críticos, es deci
x ( 4 - x y
16(3jc‘ — 4) = 0 => x, = — , x7 = —¡=73
„ _ 1 6 ( - 1 2 x 7 + 2 x 5 - 1 2 8 a : 3 + 128 jc )
^ " ■ x \ 4 - x 2)4
2p y —. \ J ------r J — X^/V/ 11V11V U li 1UUAÍ111U WJl -A,] -------------------=■ 1
& V3y "(— j=) < 0 => y = f(x ) tiene un máximo en x¡ = — — de donde y = -3>
4836 y =
yjx +8Desarrollo
—4jcCalculando su derivada y ' = ----------—, haremos y ' = 0
( x 2 + 8)2
para encontrar los puntos críticos. Es decir: -4x = 0 => x = 0
’ ' m - - r T ° - 7 h >(x +8)2
y "(0) = — ~ < 0 => en el punto x = 0 hay un máximo de donde y = \Í2
82
837 y = *y[x2~—4
Desarrollo
390 Eduardo Espinoza Ramos
x -1 2Calculando su derivada se tiene: y ' = ............ - , haciendo / = 0 para
3(.r2- 4 ) 2
obtener los puntos críticos, es decir: x2 -1 2 = 0 => x, = 2\¡3 , x2 = -2 ^ 2
„ x ( 2 S - x 2)y = ----------- T
3(x2 - 4 ) 2
y"(2yÍ3) > 0 => hay mínimo en x¡=2y¡3 de donde _y = V3
y "(—2\Í3) < 0 => hay un máximo en el punto x2 = -2\¡3 , de donde y = -\¡3
838 y = l j ( x 2 - l ) 2
Desarrollo
AxCalculando su derivada se tiene: y ' = -----------haciendo = 0 para
3U2 - 1 )^
obtener los puntos críticos, es decir: 4x = 0 => x = 0
4(x2 - 3) iy " ---------— => y " ( 0 ) < 0 => hay un máximo en x = 0. de donde y = 1 1
9(jc2 - 1 )3
además a-2 -1 = 0 => x = ± l son puntos críticos
/ ' ( ± 1 ) > 0 en x = + l hay un máximo de donde y = 0
839 y = 2 sen 2x + sen 4xDesarrollo
y' = 4 cos 2x + 4 cos 4 x = 4(cos 2x + cos 4 x)
y '= 8cosjtcos3a: , haciendo y' = 0 para los puntos críticos, es decir:
Aplicaciones de las Derivadas
840
841
8 cos x. cos 3x = 0, de donde: cos x = 0 v cos 3x = 0
o ' n . 1. nnSi cos x = 0 => x = ( n — )n => jc = — + k 6 2
cos 3x = 0 => jc = ( « + —) , n = 0,±1,±2 6
y ' ' = -4 senx. cos 3* —12 cos x.senZx
7t 3 ^y ”(n ---- ) > 0 hay un mínimo en: x = - —\Í3 de donde y = - -
6 2 í
y "(n + —) < 0 => hay un máx imo en: x = n + — de donde y =6 6
X Xy = 2 cos — + 3cos—
2 3Desarrollo
De igual manera que el ejercicio 839
De donde x = 12kn, hay un máximo; de donde y = 5 y en x = 12(k +
Hay un máximo de donde y = 5cos-^-
Cuando x = 12(k ± j ) 7T hay un mínimo de donde: y - -5 cos y
Cuando x = 6(2k + l)Jt, hay un mínimo de donde y = 1
y = x - ln (l + x)Desarrollo
1 XCalculando su derivada se tiene: y ' = 1--------=> y 1 = -
1 + x 1 + JC
I <N
392 Eduardo Espinoza Ramos
haciendo y' = 0 , para obtener los plintos críticos es decir: x = 0
y " = --------- => y ' ' (0) > 0 => en x = 0 hay un punto de donde y = 0(1 + JC)2
842 y = x ln xDesarrollo
Calculando su derivada se tiene: y '= ln x + 1 , haciendo y ' = 0, es decir:
ln x + 1 = 0 => x — e 1 => jc = -e
y " = — => y "(—) = e > 0 => en el punto x = — hay un mínimo de donde: x e e
, 1 1 1 1 y = — ln — = — cuando x — —
e e e e
843 y = A:ln2x
Desarrollo
y' = ln2 x + 2 ln x , haciendo y' = 0 para obtener los puntos críticos
ln2 jc + 21n.x = 0 => l n x ( l n x + 2) = 0
de donde se tiene: ln x = 0 => x = 1
lnx + 2 = 0 => x = e 2
„ 21n.v 2y ’ = -------+ -
x x
y " (1) = 2 > 0 => en x = 1 hay un punto mínimo de donde y = 0 cuando x = 1
Aplicaciones de las Derivadas
, 4 2 1y "(e ) = — — + - 3 - < 0 => en x = — hay un punto máximo de donde
e e ~ e ‘
y = - i- (ln e "2)2 = 4 - =* y = 4 -e e e .
844 y = cosh xDesarrollo
,Y — A'— £Calculando la derivada y ' = s e n h x - ---------- , haciendo y' = 0
2
para obtener los puntos críticos, es decir:
ex — e~x---------- = 0 => e -1 = 0 => x = 0
, C “f- £y " = ---- ----- => y” (0) = 1 > 0 => en x = 0 hay un punto mínim<
donde y = 1.
845 y = xex
Desarrollo
Calculando su derivada y' = e x + xex = ex (1 + x)
haciendo y' = 0 , para obtener los puntos críticos, es decir:
e * ( l + jc) = 0 => ex = 0 v l + x = 0, de donde x = -l
y " = ex + e x + xex
„ _1
y " = ( 2 + x)e => y " ( l ) = e > 0 enelpunto x = -1, hayunmíni
de donde: y = - — cuando x = -le
846 y = x 22~x
394
Desarrollo
Eduardo Espinoza Ramoí
Calculando su derivada se tiene: y '= 2xe x - x 1 e x = x e x ( 2 - x )
haciendo y ’= 0 , para obtener los puntos críticos es decir:
xe~x (2 - x ) = 0 de donde: x, = 0 , x2 = 2
y " = 2e~x - 2xe~x - 2xe~x + x 2e~x => / ' = ( 2 - 4x + x 2 )e~x
y " ( 0) = 2 > 0 => en el punto x = 0
hay un mínimo de donde y = 0 cuando x = 0
haciendo y' = 0 para obtener los puntos críticos, es decir:
e x(x - 1) = 0 de donde x = l
e
máximo de donde: y = 4 e ~2 cuando x = 2
ex847 y = —
xDesarrollo
Calculando su derivada se tiene: y 1 =ex( x - l )
Aplicación de la Derivada
848
849
„ ex(x 3 - 2x 2 + 2x) „ ex(x 2 - 2x + 2)y = ----------- ----------- => y = --------- ---------X X
e ( l- 2 + 2)y (1) = ------ ------- = e > O => en el punto x = 1 hay un mínimo de d
y = 0 cuando x = 1
y = x arctg xDesarrollo
Xy ' = arctgx + — — haciendo y '= 0 para obtener los puntos críticos, es de
l + x¿
X -y Xarctgx + ----- — = 0 => ( l + ,v )arctgx+ x = 0 => arctgx = --------- => x =
1 + jc" 1 + jc2
1 l + x 2 - 2x2 „ 1 l - x 2 „ n ny = ------- 5-+ ----------- y — => y = ------- j + ---------5- 5- => y (0) = 0
1 + X (1 + A- ) " 1 + X ( l + A " )
=> no hay máximo ni mínimo.
Determinar los mínimos y máximos absolutos de las siguientes funcione
los segmentos que se indican (cuando los segmentos no se indican,
mínimos y máximos absolutos, de las funciones deben determinarse en toe
campo de existencia).
Ay
l + A 2
Desarrollo
, . . . , (1 + a 2 ) - 2 a 2 1 - aCalculando su derivada se tiene: y - -
( l + A 2 ) 2 ( l + A 2 ) 2
haciendo y ' - 0 , para obtener sus puntos críticos, es decir: 1- a 2 = 0 => x=
396 Eduardo Espinoza Ramos
(1 + jc)(1 — Jf)y i
a + * 2)2
-o» < x < — 1, y ' < 0
- I c j c c I , y '> 0existe en x = -l un mínimo.
Por lo tanto e! valor mínimo es y = -1
- 1< * < 1, y ’ > 0 ] 1> => existe x = 1 un máximo y el valor máximo es y = —
1< j í< °o , y ' < 0 J ‘ 2
850 ’ = yjx( 10-A T )
Desarrollo
5 — x . ,Calculando su derivada se tiene: y ' = ■ ' ' haciendo y' = 0 , para
V-<(10- x )
obtener los puntos críticos es decir: 5 - x = 0 de donde: x, = 5, además 3 y'
es decir: -^x (lO -x ) = 0 => jc2 = 0 y j t 3 =10
Como y = -y/xO 0 - x ) su campo de existencia es:
x(10 - x) > 0 => x(x - 10) < 0
Aplicación de la Derivada
O 10
Luego esta definida para el intervalo [0,10]
5 —xy = -
7 * 0 0 - jc)
0 < J t< 5 , y ' > 0
5 < jc < 10, y ' < 0existe en x = 5 un mínimo de donde y = 5
además en los extremos, es decir en x = 0 el valor de y = 0 y en x =
valor de y = 0.
Luego el valor mínimo cuando x = 0, 10 es: y = 0 y el valor máximo ci
x = 5, es: y = 5
851 y = sen x + eos4 x
Desarrollo
Calculando su derivada se tiene:
y '= Asen3 x cos x — 4cos3 x.senx => y '= A senx eos x(sen2x —eos1 x )
haciendo y' = 0 , para obtener los puntos críticos se tiene:
Asenxcosx(sen2x - c o s 2 jc) = 0 -4sen x. cos x. cos 2x = 0
de donde se tiene: sen 2x. cos 2x= 0
de donde: jc = ( 2fc + l)-^- y x = k ^ , (k = 0, ± 1, ± 2,...)
para x = ( 2k + 1) ^ hay un mínimo y su valor mínimo es: y = ^ , y ci
nx = k — hay un valor máximo y su valor es: y = 1
852 y = arccos xDesarrollo
Calculando su derivada se tiene: y ' = —?====■ haciendo que 3 y' para
398 Eduardo Espinoza Ramos
obtener los puntos críticos es decir: y j l - x 2 = 0 de donde x = ± 1, evaluando
en la función y ( l ) = 0, y (- l ) = 7t
Luego cuando x = 1, hay un valor mínimo y = 0 y cuando x = -1, hay un
valor máximo y = n
853 y = x 3 en el segmento [-1,3]
Desarrollo
y' = 3x 2 => x = 0, punto critico haciendo la evaluación en la función se
tiene: y(0) = 0, y (- l ) = - l , y(3) = 27
Luego cuando x = -1, se tiene un valor mínimo en y = -1
y cuando x = 3, se tiene un valor máximo en y = 27
854 y = 2x3 + 3x2 —12* + 1
a) En el segmento [-1,5] b) En el segmento [-10,12]
Desarrollo
y ' - 6x 2 + 6x - 12, y haciendo v '- 0 , se obtiene los puntos críticos, es decir:
ó* 2 + 6. x - 12 = 0 => x 2 + x ~ 2 = 0 de donde x, = - 2 , x 2 - 1 , P ara
a) consideremos x 2 = 1, como puntos críticos.
Aplicación de la Derivada
Luego evaluando se tiene: y ( l ) = -6 , y (- l ) = 14, y(5) = 266
Luego cuando x = 1 se tiene un valor mínimo en y = -6
y cuando x = 5 se tiene un valor máximo en y = 266
855 Demostrar que para los valores positivos de “x” , se cumple la desigual
x + - > 2 x
Pesar rollo
Por hipótesis se tiene x > 0 => y/x y están bien expresado, luego:\¡X
( J x ----- 1 = )2 > 0 = > JC - 2\ J x ( - j = ) + — > 0V JC v X X
j c - 2 + — > 0 = * jc + — > 2JC JC
856 Determinar los'coeficientes “p” y “ q” del trinomio cuadrado y = x 2 + px
de forma que y = 3, será un mínimo de este trinomio cuando x = 1, d:
explicación geométrica del resultado obtenido.
Desarrollo
Calculando su derivada se tiene: y '= 2 x + p , haciendo y ' - O paraobtenei
puntos críticos se tiene: 2x + p = 0 jc = - y por dato se tiene que y
cuando x = 1, es decir: = 1 => p = -22 • v
Sí y = 3 cuando x = l = > e n y = jc2 +/7jc + ^ . = > 3 = l - 2 + q = > q =
Luego los valores de “p” y “q” son: p = -2 y q = 4
857 Demostrar la desigualdad: ex > 1 + x para x * 0.
Desarrollo
Consideremos la función f (x ) = ex - (1 + x ) de esta función se tiene:
f(x ) > f (0) para x * 0
Como / ( jc) = ex - (1 + jc) => ffO) = 0
Como f ( x ) > f ( 0 ) => ex - ( l + x ) > 0 => ex >\ + x p a r a x * 0
Demostrar las desigualdades:
x3858 x - — < senx < x para x > 0
6x2
859 cos x > 1 - :— para x * 02
JC2860 * - — < In(l + j c ) < . t para x > 0
861 Dividir un número positivo dado “a” en dos sumandos, de tal forma que
producto sea el mayor posible.
Desarrollo
Sean “x” e “ y” los dos sumandos. Luego a = x + y de donde y = a - x
Además p (x ) = xy = ax - x 2 producto de los sumandos
Luego p ' ( x ) - a - 2 x de donde p ' ( x ) = 0
~ . a aSe tiene jc = — como y = a - x => y - —
Luego cada uno de los sumando debe ser igual a: ^
Aplicación de la Derivada
862
863
Torcer un trozo de alambre de longitud £, de manera que forme un rectái
cuya área sea la mayor posible.
Desarrollo
= 2x + 2y ; área = xy
l - 2xcomo i = 2x + 2y => y = -
Luego A (x ) = xy = x ( -— - ) = — - x 2
i
A '(* ) = — - 2x => A' (x ) = 0 para obtener los puntos críticos, es decir:
— - 2x = 0 => x = —2 4
/x = —
4i4 "U ) = -2 => A "(—) ~ - 2 < 0
4
se obtiene el área mayor posible.
/
-V = 4
¿Cuál de los triángulos rectángulos de perímetro dado igual a 2p, tiene m
área?
Desarrollo
2p = x + y + z, donde z - \Jx2 + y2
x + y + y]x2 + y2 = 2 p => J x 2 + y 2 = 2p - ( x + y)
x 2 + y 2 = 4 p 2 - 4p (x + y) + x 2 + 2xy + y 2 =* 0 - 4 p 2 - 4 p x - 4 p y + 2
402 Eduardo Espinoza Ramos
864
de donde y =2p x - 2p~
x - 2 p
2 2 x - 2p x - 2 p
a x , ) = 3 £ £ z Í E í ± 1 ¿ „ A' ( „ _ o( x - 2 p)~
para los puntos críticos, es decir: 2p x 2 - & p 2x + 4 p 3 => x = 2p ± \ Í2p
es decir x = 2p + \¡2p , y = 2p - \¡2p , son los triángulos isósceles
Hay que hacer una superficie rectangular cercada por tres de sus lados con tela
metálica y lindante por el cuarto con una larga pared de piedra, ¿qué forma será
más conveniente dar a la superficie (para que su área sea mayor), si se dispone
en total de 1 m. lineales de tela metálica?
Desarrollo
Pared de piedra
2x + y = t =$ y = f . - 2x
A (x ) = xy = x ( l - 2x) = xl - 2 x2
A ' (x ) = l - 4x = » /4'(x) = 0 , es decir: x = —4
como y = 1 - 2x y =1
Luego las dimensiones debe de ser una el doble de la otra.
Aplicación de la Derivada
865 De una hoja de cartón cuadrada, de lado a, hay que hacer una caja recta
abierta, que tenga la mayor capacidad posible, recortando para ello cua
en los ángulos de la hoja y doblando después los salientes de la figura en
de cruz, así obtenido.
Desarrollo
Área base = (a — 2x)
Vol = V(x ) = (a - 2jt) 2 jc
V (x ) = (a 2 - 4x + 4 x2 )x
V(x ) = 4x - 4 x " +a~x
V \ x ) = \2x2 - 8x + a 2 V '( * ) = 0 , es decir:
o o Cl &\2x - 8x + a = 0 => x, = —, x, = —
' 6 2 2
V "(x) = 24x - 8 => V "(—) = -4 < 0 en x, = — hay un máximo6 6
V "(—) - 4 > 0 => e n x = — hay un mínimo2 2
Luego el lado del cuadrado que se corta debe ser igual a —6
866 Un deposito abierto, de hoja delata con fondo cuadrado, debe tener capa
para V litros. ¿Qué dimensión se debe tener dicho deposito para que <
fabricación se necesita la menor cantidad de hoja de lata?
Desarrollo
El área lateral = x 2 + 4xy
404 Eduardo Espinoza Ramos
867
V = x 2y = Volumen
V
(2)
4V
A '(x ) = 2x - ~ = 0 => x = lÍ2V x"
V \[2V por lo tanto y = y x =
V 4V2 2
¿Cuál de los cilindros de volumen dados tienen menor superficie total?
Desarrollo
A * ( / 2Vc = Tcr^h., derivando se tiene: Vc (r ) = n(2rh + r t i )
pero V/ (r ) = 0 por ser constante
2h=> . 2r/i + r~ t i= 0 t i - -
r
A, - 2w /7 + 2ro-2, derivando se tiene
A/ (r ) = 2rih + 4flr + 2;rr/?'
.. (1)
... (2)
, . 2/íreemplazando (1) en (2) At (r ) = 2nh + n r + 2nr (----- )
r
igualando a cero se tiene: 2jch + 2n r (—— ) + 4jtr = 0r
h - 2h + 2r = 0 => h = 2r. Los cilindros cuya altura es igual al diámetro q|
la base.
Aplicación de la Derivada
868 Inscribir en una esfera dado un cilindro de volumen máximo.
Desarrollo
Sean r = radio de la base del cilindro
2h = altura del cilindro
R = radio de la esfera
pero r 2 + h 2 = R 2
V = l n r 2h
d h _ _ r
d r ~ h... (1]
... (2)
= 2n ( r 2 — + 2r h ) , reemplazando ( 1) en (2) dr dr
¡/V , / r , n dV „— = 2,n (— + 2rh) como -— = 0 dr f h dr
27C(-----+ 2rh) = 0 =» r = 2hh
R 2 RComo r - + h = R ~ => 2h + h - R ~ => h = —= 2h = —=
V3 V3
2 R ¡2Luego el volumen será máximo cuando 2h = —== y el radio r = R, I—
V 3
Inscribir en una esfera dada un cilindro que tenga la mayor superficie latei
posible.
Desarrollo
Altura del cilindro = 2h
406 Eduardo Espin >za Ramos
r = radio del cilindro
r2 + h2 = R 2 => r = y¡ R2 - I
A, - 4nrh = 4rth\¡R2 - h 1
A¡(h) - 4n(y¡ R2 - h 2 — 7= = = ) => A¡(h) = 4jc(R2 - h 2 - h 2
^Jr2 - h 2 V ^2"
A¡(h) =4n(R2 -2 h 2)
J r 2- iA ¡ (/i) = 0, para obtener los puntos críticos.
sil
870
Luego 4n (R 2 - 2 h 2) = 0 => h = — R => 2h = \/2R
Luego la altura del cilindro en <¡2R para que tenga la mayor superficie lateral
posible.
Inscribir en una esfera dada un cono de volumen máximo.
Desarrollo
Sea h = altura del cono , r = radio del cono
x 2 = R 2 - r 2
además x = ( h - R) = h “ - 2hR + R~
x 2 = R 2 - r 2 => R 2 - r 2 - h 2 - 2hR + R2
=> r - ' [ r 2 - h2 por otro lado se tiene:
= \Jh2 + 2 h r - h 2 => z = \¡2Rh
Aplicación de la Derivada
Ai c =Jtrz => Alc = Kyhhr - R2 s¡2Rh
- o es decir Rh(4R - 3h) = 0 => h = — R dr 3
4Luego el volumen es máximo cuando la altura h = — R donde R es el radie
la esfera.
872 Circunscribir en tomo a un cilindro dado un cono recto que tenga el me
volumen posible los planos y centros de sus bases circulares coinciden?
Desarrollo
Sean H = altura del cono
R = radio del cono
h = altura del cilindro
r = radio del cilindro
dA,c 2Ry¡2Rh-h2 J2 R h (2 R -2 h )s— - = n (— - 7= ------ --— , ■■■■_■ )■dh 2 y¡2Rh 2\l2Rh-h2
d Kdh
AR2h -3 R h 2l l
(2Rh)2(2 R h -h 2)2
408 Eduardo Espinoza Ramos
H - h H ' Hr------- = — => R = --------r R H - h
(1)
V. = — r 2h => VC^ H (— )2 c 3 c 3 H - h
V, =71 H 3r2
c ~ 3 ( H - h )2
dVcomo — — = 0 =;
dH
de donde H = 3h
dVc _ n r 2 3h2( H - h ) 2 - H 3l ( H - h )
dH ( H - h )4
Kr2 3h2(H - h )2 - H 32(H - h )
3 ' ( H - h f= 0
... (2)
3rreemplazando (2) en ( 1) se tiene K = —
Se tendrá el menor volumen posible cuando el radio de la base del cono es
donde “r” es el radio del cilindro dado.
873 ¿Cuál de los conos circunscritos en tomo a una esfera tiene el menor volumen?
Desarrollo
Por semejanza de triángulo se tiene:
Aplicación de la Derivada
x h , h2R2 2 hR1----- — -------------------------- —\ = ................ . — S y ~ ________ -
R '¡h2 -2 h r h2 -2hR h -2 R
A - „ 1 2 , 1 1./ \ademas V,. = - n x h = -/r/i(--------)r 3 3 fc-2/?
v _ /r/z2# 2 _ dVc _ n h2R2 -4 h R 3 ■ C~ 3 ( h - 2 R ) =* dh ~~3 (h -2 R )2 }
Luego —— = 0 =>• h2R2 -4 h R 1 - 0 de donde h = 4R rí/z
Por lo tanto el cono circunscrito en una esfera de menor volumen es cuandc
altura “h” es igual a 4 veces el radio de la esfera, es decir: h = 4R
874 Una faja de hoja de iata de anchura “a” debe ser encorvada longitudinalme
en forma de canelón abierto (fig. N° 26) ¿Qué ángulo central debe tom;
para que el canelón tenga la mayor capacidad posible?
Desarrollo
A = área de la parte sombreada es = ?
A = área del sector circular
410 Eduardo Espinoza Ramos
875
Área del A AoB
A = ^ R2_ Rsencp R_2 2 2
dA R2 „ , „— - = — - (l-c o s < p ) = 0 d(p 2
Luego como 0 < cp < n
Por lo tanto para detener la mayor capacidad posible se tiene <p = n ■-
De una hoja circular hay que cortar un sector tal que enrollado nos dé un
embudo de la mayor capacidad posible.
Desarrollo
Se observa que la generatriz del cono es el radio del circulo R = g
Además r 2 = R 2 - h2
Tí /" hVolumen del cono =V, = ------ como r = R ~h~
3
3 3
Aplicación de la Derivada
876
V' = - ( R 2 -3 h 2) = 0 => h =3 V3
Un recipiente abierto esta formado por un cilindro, terminado por su p
inferior en una semi-esfera; el espesor de sus paredes es constante ¿
dimensiones deberá tener dicho recipiente para que, sin variar su capacidac
geste en hacerlo la menor cantidad de material?
A, = 2nRh + 2nR 2
Desarrollo
2nRi
c = R~h +2j:R í
R
h =3 c -2 n R i
3 jtR2
reemplazando (2) en (1)
... (2) v í C 7
3c — 2nR\ =2 nR(--------— ) + 2k R- = — + — R-
3 kR2 R 3
-> 3 c6c + 4nR- = 0 => i? = — reemplazando en
, 3c -2nR 3c - 3 ch = --------— = ------— = 0 => h = 0
3 kR2 3kR
La altura de la parte cilindrica debe ser igual a cero, es decir, el recipiente d
tener forma de semi-esfera.
412 Eduardo Espinoza Ramos
877 Determinar la altura mínima h = OB que puede tener la puerta de una torre
ABCD, para que a través de ella se puede introducir en la torre una barra rígida
MN, de longitud t, cuyo extremo M resbalará a lo largo de la línea horizontal
AB. La anchura de la torre d < í
Haciendo rodar la barra por ambas paredes a una distancia “d” , desde la pare
vertical, la barra se levantara una longitud H del suelo.
El problema nos pide este máximo levantamiento, para esto por semejanza d
triángulo se tiene:
/cos0 /cos0 , , , .. IcosO -d------- = --------s de donde H = ------------= (/cos0-d)tgO
H IsenO ctgO
Aplicación de la Derivada 4
dH(/cos6 - d )sec' 9 + tg9(-lsen9) = 0
dG
Ic o s d -d _ lsen29
cos26 cos0eos3 9 = — , de donde se tiene:
sen9 = J l - ( y ) 3COS0 * ?/—V /
H = (lyfd ~d )
simplificando se tiene que: H = (l/c2 -y fd 2 )2
878 En un plano de coordenadas se da un punto, M 0 (x0, yQ), situado en el prim
cuadrante. Hacer pasar por este punto una recta, de manera que el triángu
formando entre ella y los semi ejes positivos coordenados tenga la menor ári
posible.
Desarrollo
Sea L: y - y0 = tg9 (x - x0) donde mL = tg 0
Haciendo las intersecciones con lo.s ejes coordenados.
y = 0 => x = x0 - y0ctg9 ; x = 0 => y = y0 - x0tg9
Y
414 Eduardo Espinoza Ramos
879
A =(-vo - yoctSd)(y0 ~ x0tgd) _ 2x0y0 - x^tgO - ylctgd
dA _ .v0 sec" O yñ cos ec~6 _
d 0 ~ 2 2 ~0
yo _ sen2G
x¿¡ eos2 0
de donde tgd = ± — reemplazando en la ecuación de la recta L, se tiene:
L: y - y 0 = - — (x - x 0) puesta que tgO = ± —
L : xy0 + xy = 2jc0;ycX V
L : ---- + - ^ - = 12*o 2 Jo
Inscribir en una elipse dado, un rectángulo de la mayor área posible que tenga
los lados paralelos a los ejes de la propia elipse.
Desarrollo
Y( a b )
0
(x,y)
(a,0) X
2 2 uX y oLa ecuación de la elipse es: — + —r- = 1 de donde y
a2 b~ a
A = xy = — yja2 - x 2 derivando tiene que:
b r~ i 2 = — \a - x
Aplicación de la Derivada
880
dA b n 2 bx— = — Va - x ----- = = = = = 0dx a a j a 2 - x 2
x =V I
como yb ¡~2 2
= — Va - x y =V2
Luego las dimensiones del rectángulo son: 2x - -^L = y¡2a, 2y = ~ = = \V2 V 2
Inscribir un rectángulo de la mayor área posible en el segmento de la pará
y2 —2px cortado por la recta x = 2a.
Desarrollo
2 ' y2 y3A = (2a - x) y, como y = 2px se tiene: A = (2a------)y = 2av~ — ■2p " ' 2p
dA „ 3 y2 _ , _ lap -> 2a— = 2a -------= 0 => y - ± 2 — como y~ = 2px => x = —dy 2p V 3 ' 3
Luego los vértices deben estar en (2-^,±2
416 Eduardo Espinoza Ramos
881 Hallar el punto de la curva y = — , en el que la tangente forme el eje OX el1 + x
ángulo de mayor absoluto posible.
Desarrollo
La gráfica es simétrica por lo tanto el ángulo esta en el primer cuadrante
entonces el ángulo varia entre 0o, 90°.
Luego a mayor ángulo será la tangente del mínimo.
dyy = — (tangente del ángulo)
dx
d2 yLuego — — = 0 nqs da las coordenadas del punto de tangencia del ángulo
dxmencionado.
2x d2y „ r 1 4x2 , n-V = -------- r r => — r = _ 2í— r --------
(1 + x ) dx 1 + x (1 + x )3
=> 8x 2 = 2( l + .x2) => x2 = - => x = ± 'V5
1 3 1 3para x = ± - j = , y = —, por lo tanto el punto es: P í l - ^ - )
J882 Un corredor tiene que ir desde el punto A que se encuentra en una de las orillas
de un río, al punto B, que se halla en la otra, sabiendo del movimiento por la
orilla es k veces mayor que la del movimiento por el agua, determinar bajo que
ángulo deberá atravesar el río, para llegar al punto B en el menor tiempo
posible. La anchura del río es h; la distancia entre los puntos A y B (por la
orilla), es d.
Desarrollo
Aplicación de la Derivada
Como e = v.t => t = — donde V,„ = velocidad del movimiento
V = velocidad del agua
Reemplazando t = ——~~~~ calculando valores críticos
dt dt h _2. . h , 1 . .— = 0 => — = — ( - l ) s e n O.cosO— - ( ------— ) = 0dQ d9 v kv sen 6
cos 0 1
sen 9 ksen~9cos 9 =
19 = arccos
1
883 En el segmento recto AB = a, que une entre sí dos focos luminosos A i
intensidad p) y B (de intensidad q). Hallar el punto de menos iluminado M
iluminación es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al fe
luminoso).
Desarrollo
AI,=P -
Ma - x
B- I2 = q
E, = iluminación total = /, + 12
418
dx0 = Z 2 * _ « ( 2)
jc ( a - x )( a - x )3
Eduardo Espinoza Ramos
884 Una lámpara esta colgada sobre el centro de una mesa redonda de radio r ¿A
qué altura deberá esta la lampara sobre la mesa para que la iluminación de un
objeto que se encuentre en el borde sea la mejor posible? (la iluminación es
directamente proporcional al coseno del ángulo de incidencia de los rayos
luminosos é inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco de
luz).
885 de un tronco redondo de diámetro d, hay que cortar una viga de sección
rectangular. ¿Qué anchura “x” y altura “y” deberá tener esta sección para que
la viga tenga la resistencia máxima posible?
Desarrollo
3 1
= ( r 2 + x 2)2 - 3 x2( r 2 + x 2)2 = 0 = ( r 2 + jc2) [ r 2 + x 2 - 3 jc2] = 0
■n/2
a) a la comprensión. b) a la flexión
Aplicación de la Derivada ¿
Observación:
y = yjd2 —.
a) Rc = kA2 = kxy = kxyjd2~—x*
\Rc = k(d2x2 - x 4)2
^ = 0 = k ( - ) ( d 2x2 - x4)~2(2d2x - 4x3 ) = > 0 = - k - - d ' ~ ~ 4x^ dx 2 2 „ „ I
(d2x2 - x 4)2
2d2x - 4 x 3 =0 --=> 2rf2* = 4x3 por lo tanto x = , > =-^=V2 V 2
b) RF - xy2 del gráfico se tiene: y-2 = d 2 - x 2 ... (a )" f f ,
RF =kx(d 2 - x 2) => RF = k (d 2x - x 3) , derivando se tiene:
— k(d2 - 3 x 2) => d 2 - 3 x 2 de donde x = -4= dx sjT,
j 2En (a ) y2 = d 2 - ( - j =)2 => y2 = d 2- ~ - => y
886 Una barra AB, que puede girar alrededor del punto A, soporta una carga de 1
kg. a la distancia de a cm. del punto A y se mantiene en equilibrio por medí
de una fuerza vertical P, aplicada en su extremo libre B. Cada uno de longitu
de la barra pesa q kg. Determinar la longitud x de la misma, de tal forma que 1
fuerza P sea la mínima posible y hallar P mínimo.
La resistencia de la viga a la comprensión es proporcionad
área de su sección transversal, mientras que a la flexión es
producto de la anchura de esta sección por el cuadrado de
altura.
Desarrollo _
420 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
Densidad lineal d = q— de donde d - — S° ^ cm long T
M a = 0X ( ] 9
Px = Q a + w(—) , donde w = qx por lo tanto Px = Q a + —x
... (a )
dr 2
reemplazando (p) en (a ) tenemos:
Qa
Qa Q——■ = — => x ■ x2 2
2<2a
P =m in
... (P)
887 Los centros de tres esferas perfectamente elásticas A, B y C están situadas en
las línea recta. La esfera A, de masa M, choca a una velocidad “v” con la esfera j
B, la cual, recibiendo una determinada velocidad, choca a su vez con al esfera j
C, cuya masa es m. ¿Qué masa deberá tener la esfera B para que la velocidad
de la esfera C sea la mayor?
Desarrollo
A con B: Luego B con C
Aplicación de la Derivada
888
2Mv
- • <a)
vc = ^ ... (P,m + x
r\ / \ /0-> ,, 2.r 2mv D e (a )y (p ): Vc = ------ (m + x x + M
4xM„ 4
(w + x )(M + x) x2 + (m + M )x + mM
dVc _ q _ 4AÍ„ ( * 2 +x(m + M ) + mM -x {2 x + m + M ) )
dx (x2 + (m + M )x + m M )2
x 2 + x(m + M ) + mM = 2x2 + (ir? + M )x m M - x 2 => x = \jMin
Si tenemos N pilas eléctricas idénticas, con ellas podemos formar baterías
procedimientos distintos uniendo entre sí grupos de “n” pilas en serie
Ndespués los grupos así formados, (un número — ) en derivación. La intensic
n
de la corriente que proporciona una batería de este tipo se determina poi
NnEformula: / = -------- — , donde E es la f.e.m. de una pila, r su resisten
. m + n-r
externa. Determinar para que valor de “n” es mayor la intensidad de
corriente que proporciona la batería.
di _ q _ (NR + n2r ) -n 2 n r
dn NE(NR + n2r )2
Desarrollo
422 Eduardo Espinoza Ramos
NE
, , £ M . , = , l = í M2NR 2 2 \Rr
889 Determinar que diámetro “y” deberá tener la abertura circular de una presa,
para que le gesto de agua por segundo Q sea el mayor posible, si
Q = Cy s jh - y donde “h” es la profundidad del punto inferior de la abertura
(tanto g, como el coeficiente empírico C, son constantes).
Desarrollo
____Q = Cy4 h Z y = C (h y 2 - y i )2
^ - = Q = c U h y 2 - y i ) 2(.2h y - l y 2) => 2hy = l y 2 => ~ = y dy 2 3
890 Si x l ,x2,-- ,xn , son resultados de mediciones igualmente preciso de la
magnitud “x” , su valor más probable será aquel para el cual la suma de losn
cuadrados de los errores S = ^ ( x - x , )2 , tenga el valor mínimo. Demostrarí=i
que el valor más probable de la magnitud “x” es la media aritmética de los
resultados de las mediciones.
Desarrollo
n *S = ^ j ( x - x ¡)2 , derivando se tiene:
i=i
“ = 0 = ¿ 2(x - x¡ ) =* S = ' £ ( x - x ¡)2 dx i=i i=i
Aplicación de la Derivada
X * .
3.2. DIRECCIÓN DE LA CONCAVIDAD.- PUNTOS I INFLEXIÓN.-________________________________ _____ ____
Ira. CONCAVIDAD DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.-
Consideremos una función y = f(x) diferenciable en (a,b) diremos c
y = f(x) es cóncava hacia arriba en (a.b). Si / ” ( jc) > 0, V x e (a,b)
es cóncava hacia abajo en (a,b) sí / " (.v )< 0 , V x e (a,b).
2do. PUNTO DE INFLEXIÓN.-
E 1 punto (jc0 , / ( jc0 )) es punto de inflexión sí / " ( jc0) = 0
H A LLAR LOS INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y LOS PUNTOS I INFLEXIÓN DE LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES
891 ,y = jc3 - 6 jc2 + 1 2 jc + 4
Desarrollo
y '~ 3 j c 2 - 1 2 jt + 1 2 = > y' = 0
para obtener los puntos críticos, es decir: 3.v 2 - 12.t +12 = 0 de donde x =
y " = 6x -\2 => y " (2) = 0 , no hay máximo ni mínimo, hallaremos li
puntos de inflexión.
_y" = 0 es decir 6x - 12 = 0 => x = 2
n n
0 = xn - x¡ => xn = ^ x ¡ => x
424 Eduardo Espinoza Ramos
Intervalos f(x) f ' W / " ( * ) Conclusión
-oo < x < 2 + - Cóncava hacia abajox = 2 12 0 0 Puntos de inflexiónx > 2 + + Cóncava hacia arriba
Luego en: <-«>,2> es cóncava hacia abajo
<2,o=> es punto hacia arriba
(2,12) es punto de inflexión
además en: <-■*>,2> y <2,°o> es creciente
892 y = ( jc + 1)4
Desarrollo
/ = 4(jc + 1) 3 => y'= 0
para los puntos críticos es decir: 4 (a: + 1) 3 = 0 => x = -l
y = 4(x + l) 3
Aplicación de la Derivada
< x < -1, / < 0
-1 < x < « , >>'>0
existe un punto mínimo en x = -l y su valor es: y = 0, es decir que (-1,(
punto mínimo y los intervalos <-<*=,-1> es decreciente y en c - l , » ;
creciente.
Sea y"=12(x + l ) “ (x + l ) 2 = 0 x = -1
y" > 0, V x e R => ia gráfica es cóncava hacia arriba en: -OOOO
893 y =x + 3
yi
Desarrollo
=> x = -3(x + 3)“
punto critico no existe máximos ni mínimos
426 Eduardo Espinoza Ramos
-3
- °°< x < -3 , y'<0 => y = ------ es decreciente en <-°°,-3>jc + 3
-3 < x < ° ° , y '<0 => v = ------ es decreciente en <-3,°°>' x + 3
„__2_ U + 3)3
-°°< x< -3 , v "< 0 =» es cóncava hacia abajo en <-°°,-3>
en -3 < x < °° , y "> 0 => y = ----- es cóncava hacia arriba sobre <-3,°°>x + 3
Luego en: <-«>,-3> cóncava hacia abajo
<-3,°°> cóncava hacia arriba
x = -3 punto de discontinuidad no hay punto de inflexión.
Aplicación de la Derivada
894 > = —x + 12Desarrollo
* V + 3 6 ) ^
U ! + 12)
para ios puntos críticos es decir: (x 2 + 36) = 0 de donde x = 0
< x < 0, / > 0 => es creciente en: <-°°,0>
0 < x <=«,>•'> 0 => es creciente en: <0,°°>
2 4 . r ( 3 6 - jc2 )
(x2 + 12)3y " - 0 , para los puntos de iafiexión es decir:
2 4 jc( 3 6 - x " ) = 0 dedond^ x, = - 6 , x2 = 0, x3 - 6
9 9para * , = - 6 , y ¡ = - - =* ^ ( - 6, - - )
x2 = 0 , y2 = 0 => P2 (0,0)
* 3 = 6 , >’3 = — => / j(6,—)
puntos de inflexión
428 Eduardo Espinoza Ramos
Si - ° ° < x < - 6, y "> 0 => es cóncava hacia arriba sobre <-°°,-6>
-6 < x < 0, y” < 0 => es cóncava hacia abajo sobre <-6,0>
0 < x < 6, v” > 0 => es cóncava hacia arriba sobre <0,6>
6 < x < <*>, y " < 0 => es cóncava hacia abajo
895 y = \Ux3 - ] 2 x
Desarrollo
(4x3 — 12x) 3
para los puntos críticos, es decir: 4(x2 -1 ) = 0 de donde x, = 1, x2 = -1
3
y también sí 3 y' es decir (4x3 — 1 2jc) 2 =0 => x-, = 0, x4 = ~y¡3 , x5 = a/3
, 4(x + l)(x -1)y = ----------“ T
(4x3 -12x ) 3
Aplicación de la Derivada
< x < - n/3 , y > o
-y¡3 < x < - 1, y’>0 *
-1 < x < O, y'< O V
3
... ................i‘.< x < y Í3 , y'> O V
x<y ¡3 , y'>0 w
< x < ° ° , y ' > O *
-1 < x < 0, y '< 0
O < x < 1, y ’ < 0
1-
no existe máximo ni mínimo
existe un máximo en x = -l y su val y = 2 => p , (- l ,2)
no existe máximo ni mínimo existe un mínimo ei x = 1 y su valor es y = -2 => p2( 1,-2)
l < x < ¡3 , y ’> 0
< x < °° , y'
„ -32(x" +1)
3 máximo ni mínimo
y =■ de aquí los puntos de inflexión son:
(4.r3 — \2x)3
x¡ - 0 , x2 = -V 3 , x3 - \ ¡ 3 de donde (0,0), (—>/3,0) , (-73,0)
-3 0 3
-oo < x < -\ ¡3 , y "> 0 => es cóncava hacia arriba sobre < >
-y¡3 < x < 0 , y " < 0 => es cóncava hacia abajo sobre < —s/3,0 >
430 Eduardo Espinoza Ramos
896
0< .v< V 3 , y "> 0 => es cóncava hacia abajo sobre <0,\Í3>
yÍ3<x < 00, y ' ' < 0 => es cóncava hacia abajo sobre < >
y = cos xDesarrollo
y' = senx => y ' = 0 para los puntos críticos es decir:
sen x = 0 => x = 0, ±71, ±2n, ±371,...
y” = -cos ;t => y "= 0 para los puntos de inflexión:
x = ( lk + \ ) - , k = 0, ± 1, ± 2,...2
' e
dedondey = 0 => ( (2/fc + 1 )^ ,0 ) punto de inflexión si
( 4 k + l ) ^ < x < ( 4 k + 3 ) ^ , y "> 0 es cóncava hacia arriba sobr
Aplicación de la Derivada 4
(4k +3 )— < x < (4k + 5)— , y "< 0 => es cóncava hacia abajo sol
< (4 * + 3)—,(4* + 5)— >2 2
897 y = x - sen xDesarrollo
y'= 1 - cosx => y ' - 0 , para obtener los puntos críticos, es decir:
1 - cos x = 0 de donde cos x = 1 => x = 0 , 2n, 47t , ...
y"=senx => y " ( 2kn) = 0 no existe máximos ni mínimos.
Además para (2k - 2)n < x < 2k7t, y' > 0 => es creciente en I
intervalos <(2k - 2)n, 2kn> para k = 0, ± 1, ±2,...
Como y" = senx => y " = 0 para los puntos de inflexión
decir sen x = 0 => x = ±jt, ±2n, ...
luego para x = 2kji, y = 2krc => p(2kn, 2k7c) punto de inflexión
- 2tc -ji 0 n 2n
432 Eduardo Espinoza Ramos
2k < x < (2k + 1) ir, y"> 0 => es cóncava hacia arriba en los
intervalos <2kít, (2k + l)rc>
(2k + l )7t < x < (2k + 2)7t, y " < 0 => es cóncava hacia abajo en los
intervalos. <(2k + 1 )Jt, (2k + 2)n>
898 y — x~ ln xDesarrollo
y' = 2x ln x + x => / = 0 para los puntos críticos es decir:
2x ln x + x = 0 => x(2 ln x + 1) = 0 ==> x{ = 0 no esta definido en:
-i 1 1x2= e , x¡ = - = , x4 = — -== Ve Ve
Aplicación de la Derivada
y ”(—¡=) = 2 > O hay un mínimo en x = —=Ve Ve
2 1 2 de donde y = — => ^ (-7=,— )
e Ve e
y "(— \=) 3 máximo ni mínimo ve
como y"=21nx + 3 => y" = 0 para los puntos de inflexión tenemos
3
2 ln x = -3 => x 2 = e 3 =í> x = e 2
899 y = arctg x - xDesarrollo
xy = arctg x - x => y = —— —l + x
0
x < 0, y " > 0 es cóncava hacia arriba
x > 0, y " < 0 es cóncava hacia abajo
x = 0, y = 0 luego p(0,0) punto de inflexión
434
900
Eduardo Espinoza Ramos
y - ( \ + x 2)ex
y '= 2xe* + { x J +\)ex
Desarrollo
y ' - e x(x - f l ) 2, haciendo y '= 0 , para los puntos críticos, es decir
e*(;t + l ) 2 = 0 de donde: x = -l
Si x < -1, y > 0 la función no tiene máximo ni mínimos y además es
creciente en los intervalos: <-°°,-l> y <-l,=»>
x > - l , y'> 0
como y '= e x(x + \)2 => y "= <?■*(*+ l)(.r + 3) haciendo y " = 0 , sel
obtiene los puntos de inflexión, es decir ex(x + l)(x + 3) = 0 de donde:]
jcj = —1, x2 = — 3 .
2 10 Luego />j(-l,—), p2( - 3,— ) punto de inflexión
-3 -1
Si x < -3, y" > 0 => es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <-°°,-3>
Si -3 < x <-1, 7 "< 0 => es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-3,-l>j
S i x > - 1 , y” >0 => es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <-l,°o>
Aplicación de la Derivada
3.3. ASÍNTOTAS.-
a) DEFINICION.-
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una curva y = f(x) de
forma que por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infin
mientras que la distancia entre este punto y una recta determinada tiene
cero, esta recta recibe el nombre de “asíntota” de la curva.
b) ASÍNTOTA VERTICALES.- (paralelos al eje OY).
Si existe un número a tal, que lim f ( x ) = ° ° , la recta x = a es asíntX—>ü '
vertical.
c) ASÍNTOTA OBLICUAS.- (respecto a los ejes coordenados)
f (■*-)Si existen los limites lim ----- - = y lim [/ ( jc) — A:, jc] = £>, la reX — > +°° X X — >+°o
y = kix + b¡ será asíntota (oblicua a la derecha o bien, sí k¡ =
horizontal derecha, paralela al eje OX).
f (x)Si existen los limites lim ------- k 2 y hm [ f ( x ) - k 2x\ = b2 la rec
y = k2x + b2 es asíntota (oblicua a la izquierda o bien, cuando k2 =
horizontal izquierdo paralela al eje OX).
La gráfica de la función y = f(x) (que se supone uniforme) no puede ten
más de una asíntota derecha (oblicua u horizontal) ni más de una asínto
izquierda (oblicua u horizontal).
436 Eduardo Espinoza Ramos
H A LLAR LAS ASINTOTAS DE LA CURVA:
1901 y =
(.x - 2)2Desarrollo
Para obtener las asíntotas verticales haremos el denominados igual a cero, es
decir: ( jc - 2 ) 2 = 0 => x = 2 es una asíntota vertical.
Ahora buscaremos las asíntotas oblicuas cuando x —> +°°
v 1 = lim — = lim --------- T = ®
*->+“■ x x— x(x — 2)
bx = lim [ y — A:, jc] = lim ---- -— ;- = 0X —* + ° ° X —> - H » ( j f — 2 )
por lo tanto la asíntota horizontal es y = 0
902 y = — ^-----x - 4 x + 3
Desarrollo
Para obtener las asíntotas verticales se tiene:
x 2 - 4 je + 3 = 0 de donde j c , = 1 y jc2 = 3 asíntotas verticales, ahora
buscaremos las asíntotas oblicuas cuando- x —» +°°
y 1¿i = lim — = lim —---------- = 0
AT-+-H» X *-*+“ x - 4 jc + 3 »
Xbx= lim ( y - k i x ) = hm —---------- = 0
x-»+~ x - 4 x + 3
como y = klx + bx entonces y = 0 es una asíntota horizontal.
Aplicación de la Derivada
Desarrollo
Para obtener las asíntotas verticales se tiene: x 2 - 4 = 0 de
x { = - 2 , x 2 =2 asíntotas verticales, para las asíntotas oblicuas.
kx = lim — = lim —r—— = 0*->+“> x *-»+<» x — 4
x2bx = lim [.y-& !* ]= lim —----- = 1
X—t+ oo x —> + °o _ 4
como y = k{x + b¡ => y = 1 asíntota horizontal.
jc2904 V = —r----
x2+9Desarrollo
Para obtener las asíntotas verticales se tiene: x 2 +9 = 0 pero 3 xe /
que x 2 + 9 = 0 por lo tanto no hay asíntota verticales, para obten»
asíntotas oblicuas se tiene:
k, = lim —--------= lim —----- = 1*->+” O + 9) x x +9
jr3 — x3 — Qxb, = lim (—-------x) = lim------5--------
*-*+“ x + 9 x +9
como y = kix + bl => y = x asíntota oblicua a la derecha.
905 y = V *2- l
Desarrollo
438 Eduardo Espinoza Ramos
No tiene asíntotas verticales. Veremos para las asíntotas oblicuas:
*, = lim — = lim — — - = 1j C - » + o o X .V— > + oo X
- lim ( y - k {x )= lim (J x 2 -1 - x ) = 0JC— > + o o JC -> + c o
Como y = klx + bl = > y = x es asíntota oblicua a la derecha
k2 = lim ^ -= lim — ..- 1 = -1
hm (y - k 2x) = lim (\]x2 -1 + x) = 0
como y = k2x + b2 => y = -x es asíntota oblicua a las derecha.
906 y =' 3
Desarrollo
Para las asíntotas verticales se tiene que:
x 2 +3 = 0 pero 3 x e R tal que x 2 +3 = 0
por tanto no hay asíntotas verticales, para las asíntotas oblicuas se tiene:
y 1 k{ = lim — = hm ----- _ = 0
*-*+-* *->+“ V* 2 +3
bt = lim ( y -k ¡x ) = hm —===== = 1 JC_>+“ Vx2 +3
como y = k¡x + bt => y = l asíntota oblicua a la derecha.
Aplicación de la Derivada
yk2 = lim — = lim
yjx2 + 3= O
x - > - o o X X ~ >
Xb2 = lim (y -k^x ) = lim ( - = = - 0) = - l
\lx2+ 3
Como y = k2x + b2 => y = -1 asíntota oblicua izquierda.
x2+\
y = 4 x ^ xDesarrollo
Para las asíntotas verticales se tiene x 2 -1 = 0 de donde x = -1
son asíntotas verticales ahora'calcularemos las asíntotas oblicuas.
. .. y x2 + \= lim — = hm — ...... = 1
x -> + °° X XJ X 2 _ j
bx = lim = Hm < - A + • - x ) = 0
Como y = kxx + bx y - x asíntota oblicuas a la derecha.
.2
v x 2 -1
como y = k2x + b2 => y = -x asíntota oblicua a la izquierda.
440 Eduardo Espinoza Ramos
908 y = x - 2 +x^ + 9
Desarrollo
Para las asíntotas verticales se tiene x 2 +9 = 0 pero como 3 xe R tal que
x 2 + 9 = 0, por lo tanto no tiene asíntotas verticales.
Ahora calcularemos las asíntotas oblicuas:
k¡ = lim — = lim ( í —- + - = = L = ) = 2 *->+«■ x *-»+“= x J x - + 9
bx = lim = lim ( x - 2 + - 2x) = -2xL+9
como y = klx + bl => y = 2x - 2 asíntota oblicua a la derecha.
k2 = lim — = lim (——- + ■■■—-■— ) = 1-1 = 0 x x yjx2 + 9
x — 2 xb2 = lim (y - k 2x )= lim (—— H— - ■■■■) = -2
xí +9
como y = k2x + b2 => y = -2 asíntota horizontal a la izquierda.
909 y = e~x' +2Desarrollo
Como V x e R, e~x + 2 > 0, entonces no tiene asíntotas verticales.
Para las asíntotas oblicuas se tiene:
v é fj r +2 fe, = lim — = lim (--------- ) = 0
X - * + o ° X X —> + o o X
Aplicación de la Derivada 4
bx = lim ( y - k lx) = lim (e * + 2) = 2X — > + ° o JC— > + ° o
Como }' = i ix + fe1 => y = 2 asíntota horizontal a la derecha.
v é~x + 2 kn - lim — = lim (--------- ) = 0
X x -> -~ X
b2 = lim (y - k2x) - lim (e~x + 2) = 2X — » - o o . X — >-<*>
como y = k2x + b2 => y = 2 asíntota horizontal a la izquierda, por ]
tanto en y = 2 se tiene una asíntota horizontal.
910 y = — —1- e
Desarrollo
Para las asíntotas verticales se tiene:
\ - e x = 0 => ex = 1 => x = 0 asíntota vertical, para las asíntotas oblicuas.
= lim — = lim (---------- ) = 0x->+°° x x->+°° x(l — ex)
by = lim (y - í : ,x) = lim (— -— ) = 0X—> + °o x —»+ o o \ — g X
como y = kix + bl => y = 0 asíntota horizontal a la derecha.
442 Eduardo Espinoza Ramos
911
como y - k 2x + b2 => y = 0 asíntota horizontal a la izquierda, por lo
tanto en y = 0 se tiene una asíntota horizontal.
Desarrollo
Para obtener las asíntotas verticales — = °° x = 0, que es una asíntotax
vertical. Para obtener las asíntotas oblicuas.
kx = hm — = hm (— ) = 0X-í+oo X *->+«> X
/>! = lim (y — k{x )= lim (ex )~\x —>+oo X—
como y - k xx + bx => y = x asíntota oblicua a la derecha.
k2 - lim — = hm (— ) = 0x x
912
b2 = lim ( y - k 2x )= hm (e-t ) = lX—>—oo X—>—oo
como y = k2x + b2 => y = l asíntota horizontal a la izquierda.
senx
Desarrollo
Para obtener la asíntota vertical se tiene x = 0 y para calcular las asíntotas
oblicuas se tiene:
Aplicación de la Derivada
913
914
i r y v ,senx &i = lim — = lim (— —) = OX — > + ° o X X —> + ° °
fe, = lim ( y - k xx )= lim ( - ^ i ) = lX—>+°° X
como y = kix + b] => y = l asíntota horizontal a la derecha
í i- y i- .senx k2 = hm — = lim (— — ) ■ 0
b2 = lim (y - k 2x )= lim ( Se,1X) = 1
como y = k2x + b2 => y = 1 asíntota horizontal a la izquierda, p(
tanto en y = 1 se tiene una asíntota horizontal.
y = ln( 1 + x)Desarrollo
Para las asíntotas verticales se tiene 1 + x = 0 de donde x = -1 es una asín
vertical, para las asíntotas oblicuas.
, y .• ,ln(l + x). _ kt = hm — = hm (----------) = 0X —>-foo X X ~ > + °° X
fe, = lim ( y — klx) = lim (ln(l + x )) = °°X —>+oo x —>+«-
por lo tanto no tiene asíntota oblicua ni horizontales,
x = t, y = t + 2 arctg tDesarrollo
Como x = t => y = x + arctg x
Como esta definida para todos los reales no tiene asíntotas verticales.
444 Eduardo Espinoza Ramos
Ahora calcularemos las asíntotas oblicuas.
k . Iim Z = l m { x + 2 a a * x ) = \X— X X—>+oo X
bx - lim (y - k{x) = lim (a* - larctgx - jc ) = nX—>+°° A—>+°°
como y - k xx + bt => y = x + 7t, asíntota oblicua a la derecha.
b2 = lim ( y - k 2x )= lim (x + larctgx - x ) = - n
como y = k2x + b% => y = x asíntota oblicua a la izquierda.
915 Hallar la asíntota de la espiral hiperbólica r - —<P
Desarrollo
Como r = — no se tiene asíntota verticales (P
Además se tiene x = — cos <p = a(<p), y = —sencp = P(tp) <P <P
cuando x —»«>, q> —» 0
t = lto,£ííí> = lim^=E = 0<¡p->o ce(<p) <p—»o eos <p
6 = lim(/J (<p) - ka((p)) = l im— sen(p = a <p—*0 ?>->0 (p
como y = kx + b entonces y = a que es una asíntota horizontal.
Aplicación de la Derivada
3.4. CONSTRUCCION DE LAS GRAFICAS DE FUNCIONES POR SUS PUNTOS CARACTERÍSTICOS.
Construir las gráficas determinando el campo de existencia de cada fundó
puntos de discontinuidad, los puntos extremos, los intervalos de crecimie
decrecimiento, los puntos de inflexión de su gráfica la dirección <
concavidad y las asíntotas de la gráfica.
916 y = x 3 - 3 x 2Desarrollo
Como y = ,r3 - 3 x 2 es un polinomio, su campo de existencia es todo números reales R.
y = x - 3x => y '=3x - 6.v = 0 para los números críticos => {(
números críticos.
y '= 3 x (x -2 )
para x < 0, y '> 0 WT
0 < x < 2, v ’ < 0 *
2 < x < <*>, y ’ > 0 V
3 máximo en x = 0, (0,0)
3 mínimo en x = 2, (2,-4)
es creciente en <-°°,0> y <2,°®> y decreciente en < 0,^ >
y' = 3x2 -6 x => y "= 6 x - 6 = 0
446 Eduardo Espinoza Ramos
917
para los puntos de inflexión => 6x - 6 = 0
inflexión.
x = 1, ( 1,-2) punto de
y " = 6{ x - \ )
Para x < l , / '< 0 la gráfica es cóncava hacia abajo sobre
Para x > l , y " > 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <1,°°>
No tiene asíntotas.
y - -6 x 2 - x 4
El campo de existencia de y =
Desarrollo
6x2 - x 4
y =6x2 - x4
y = -
9
12x-4x3
es el conjunto de los números reales.
9 9
{0 ,-73,73 } son los críticos.
= 0 para los números críticos de dond
Aplicación de la Derivada
y' = —-x ( x - 3 ) ( x + 3 )
para x < —J 3 , y '> 0
~y¡3 < x < 0 , y '< 0~
O < x < \¡3 , y’> 0+
\¡3 < x < ° ° , y'< (T
es creciente en los intervalos <-<*>,-3>, <0,3>
es creciente en los intervalos < —v/3,0 > , <3,°°>
)))
3 máximo en x = >/3, (-3,1)
3 mínimo en x = 0, (0,0)
3 máximo en x = >5, (V3,l)
, 12x - 4xy =— «— „ 12- 12x2 n
y =— «— =°1
•<Cf
para obtener los números críticos, es decir —( 4 - 4 * ) = 0 de donde ■> 3
•o ' -4-
x = - 1, y = —, puntos de inflexión
^ = - - U - l ) ( x + l)
448 Eduardo Espinoza Ramos
918
para x < - l , y"<0 => es cóncava hacia abajo sobre el intervalo < -«> ,—</3 >
para -l<x< 1, y” > 0 => es cóncava hacia arriba sobre el intervalo < -\¡3, \¡3 >
para x > 1, y ''< 0 => es cóncava hacia abajo sobre el intervalo < >/3,°° >
no tiene asíntotas.
Desarrollo
y = x 3 - 3 x + 2 su campo de existencia es y '=3x2 - 3 = 0 para los número:
críticos de donde {- 1,1} son los números críticos.
/=30c + l ) U - l )
para x < 1, y '> 0+
-1 < x < 1. y '< 0_
x > i, y > o +
máximo en x = -l, (-1,4)
mínimo en x = 1, ( 1,0)
Aplicación de la Derivada
919
Los intervalos donde es creciente son <-°°,-l>, <1,°°> y dond
decreciente es < -l,l>
Como y '=3x2 - 3 => y " = 6x = 0 para los puntos de inflexión,
decir x = 0, (0,2) es un punto de inflexión.
y" = 6x
p a r a x < 0, y "< 0 la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,0>
para x > 0, y" > 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,<*»
no tiene asíntota
(.x - 2f ( x + 4)
Desarrollo
Su campo de existencia es todo los números reales
y = -x3 - \ 2 x + 16
y =■3jc — 12
= 0
para los números críticos, es decir (-2,2 ) números críticos.
450 Eduardo Espinoza Ramos
-2 2
y ' A x + 2X x - 2)4
para x < -2, y' > 0+
=> 3 máximo en x = -2, (-2,8)
-2 < x < 2, y '< 0
=> 3 mínimo, en x = 2, (2,0)
2 < x < °°, y ’> 0+ í¿
la gráfica es creciente en los intervalos <-°°,-2>,<2,«>> y es decreciente en el
intervalo <-2,2>
para los puntos de inflexión, es decir x = 0 de donde (0,4) punto de
inflexión.
para x < 0, y" < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-°o,0>
para x > 0, y "> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre e intervalo <0,°°>
no tiene asíntotas.
0
Aplicación de la Derivada
920 y ~ -( * 2 - 4 )3
125Desarrollo
Su campo de existencia es todo los números reales
(x2 - 4 )3 , 6x(x2 - 5 ) 2= 0
125 124
para los números críticos de donde: {—75,0,^5} son números críticos
, 6x(x2 - 5)2
y = — ¡ S T -
para x < -y ¡5 , y'< 0 “
-\ Í5 < x < 0 , y '< 0~ 4*
0 < x < 5, / > 0+ *
5<x<oo , y > 0+ «
3 máximo ni mínimos en x = —75
3 mínimo en x = 0, (0,-1)
3 máximo ni mínimos en x = V5
La gráfica es creciente en < 0, V5 > , < -75, °o > y decreciente en los interval
< -«>,—75 > , < —75,0>
452 Eduardo Espinoza Ramos
Como y ' = - — — => y- = — (jc2-5)(jc2-1 ) = 0 125 25
Para los puntos de inflexión se tiene: {—V5, —1,1, V5 > de donde (—v/5,0)
64 64 r-(-1,------ ) , (1,— — ) , (75,0) puntos de inflexión.
125 125
-7 5 -1 1 75
y- = -^ r (* + 7 5 X * -7 5 X *+ lX * - l )
para x < —>¡5 , y " > 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < -75 >
para —75 < jc < — 1, >’" < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre
< -7 5 ,-1 >
para -1 < x < 1, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobe < -l,l>
para 1 < jc < 75 , y "< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre < 1,75 >
para 75 < jc < °° , y ' ' > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < 75, °° >
no tiene asíntotas.
Aplicación de la Derivada
921 y = -x - 2x + 2
x -\Desarrollo
Su campo de existencia es R - {1 }
x2 - 2x + 2 , x(x - 2)
jc —i
números críticos.
= »> -= -U - l )
= 0 para los puntos críticos es decir {
■y' = -x ( x - 2)
( x - l f
* y ' - v
< X < ° ° , y' > 0+ *
=> 3 máximo en x = 0, (0,-2)
=> 3 máximo ni mínimo en x = 1
=> 3 mínimo en x = 1, (2,2)
la gráfica es creciente en los intervalos <-°°,0>, <2,°°> y decreciente en
intervalos <0,1 > y < 1,2>.
Como yx ( x - 2)
U - l )2y *■
( jc - i r
Por lo tanto no hay pühto de inflexión, y " = -( x - l ) J
para x < 1, y "< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,l>
454 Eduardo Espinoza Ramos
para x > 1, y "> O , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,°o>
Calculando las asíntotas para las verticales se tiene:
x - l = 0 => x = 1 asíntota vertical.
Para las oblicuas se tiene:
i : __ x 2 - 2 x + 2 _ ,Kj — lim — h m ----------— 1X ■*-»+«> x ( x — 1)
x2 “ 2x + 2b{ = lim ( y - k lX) = hm ( - ---- ---------jc) = -1
X—>+«> X — 1
como y - k lx + bl => y = x - l
es una asíntota oblicua.
922 y =x
Desarrollo
Su campo de existencia es todo los reales R - {0 }
jc4 - 3 , 3 (jc4 + 1 ) „ , , . 4 , ny = ------- => y = — —----= 0 para los números críticos, como jc + 1 = 0 ,
x x ■3 jc e R ; no tiene punto críticos, por lo tanto no tiene máximos ni mínimos.
Aplicación de la Derivada
, = 3(x4 + l)
x2
para x < 0, / > 0 , x > 0, y'<0
Luego la gráfica es creciente en los intervalos: <-o°,0>, <0,°°> como:
X 2 X 3
para obtener los puntos de inflexión de donde { - 1,1 ]
Luego (-1,2), (1,-2) puntos de inflexión
„ _ 6(x2 + l)(x + l)(x - 1)
a3
para x < - l , v "< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-<»,-1>
para - l < x < 0, y" > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <-l,0>
para 0 < x < 1, jy"< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <0,1 >
para 1 < x < oo, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba <l,oo>
Calculando las asíntotas se tiene:
Para las asíntotas verticales, se tiene x = 0 para las asíntotas oblicuas.
456 Eduardo Espinoza Ramos
y y y X4 + 3 k, = lim — = hm — -— :
X —>+°o x x—»+°° X
no tiene asíntotas
923 y =x4 +3
Desarrollo
Su campo de existencia es todo los reales R - {0 }
x4 +3 , 3(x4 -1 ) . . v , . . , ,,y = ------- => y = ----- -— = 0 para los números críticos, es decir: { - 1,1 ]
numero críticos.
Aplicación de la Derivada
para x < -1, y '> 0+
=> 3 máximo en x = -l, (-1,-4)-1 < x < 0, y'< 0
=> 3 máximo ni mínimo en x = 0
0 < x < 1, _y'< 0
=> 3 mínimo en x = l , (1,4)1 < X < oo, j ’> 0 +
La gráfica es creciente en los intervalos <-oo,-l>, <l,oo> y decreciente er
los intervalos <-l,0>, <0,1 >
Como y '=,_3(a-4 -1)
=> y " = 6(x
Para los puntos de inflexión, pero como 3 xe R tal que y" = 0 , 1 gráfica
tiene puntos de inflexión.
parr x < 0, / '< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,0>
para x > 0, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,oo>
Calculando las asíntotas se tiene:
Para las asíntotas verticales, se tiene x = 0 y para las asíntotas oblici tenemos:
v x ‘* + 3k¡ = lim ^ = lim — ^ = oo
*—>+<" X x —>+<>= x
no tiene asíntotas oblicuas.
0
„ _ 6(x4 + l)
458 Eduardo Espinoza Ramos
924 2 2 y = x + — x
Desarrollo
Su campo de existencia es todo R - {0 }
2 2 y = X + —X
= 0 para los números, es decir x = 1
para x < 0, y' < 0+
0 < x < 1, y' < 0_
1 < x < <», y’> 0+
)
)
3 máximo ni mínimo en x = 0
3 mínimo en x = l , (1,3)
La gráfica es creciente en el intervalo <1,<»> y decreciente en los j
intervalos < -oo? 0>,<0,1>
Aplicación de la Derivada 4
Como y ' =2 ( jc - 1)
=> y„ 2(jc + 2)
= 0JC JC
Para los puntos de inflexión, es decir: x = -^ 2 , (-^2 ,0 ) punto de inflexic
„ 2(x 2 - l ¡2 x + 4 ) (x + l/ 2 )y = --------------------7------------------
para x < - I f l , y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < -oo, -\¡2 >
para - l ¡2 < x < 0 , y "< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <
para x > 0, y' ' > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,°o>
Ahora calcularemos las asíntotas. Para las asíntotas verticales se tiene x = 0y 2
para las asíntotas oblicuas: kt = lim — = lim (x + — ) = oo
no tiene asíntota oblicuas.
460 Eduardo Espinoza Ramos
925 y = -i
x2 + 3Desarrollo
El campo de existencia es todo los números reales
1 , - 2xy = — — => y = — r — 7 = 0
x + 3 (a:- + 3)
para obtener los números críticos, es decir x = 0
U 2+3 )2
para x < 0, y' > 0+
X > 0, y'<0
3 máximo en x = 0, (0, - )3
- 2x „ 6(x2 - 1)como V = — r----- - => V = — ,.....= o
(x +3) (a +3)
para obtener los puntos de inflexión es decir: {-1,1}. Luego (—1,—) , (l,- -)
son los puntos de inflexión.
Aplicación de la Derivada 4
para x < - l , y" > O , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <-<*>,-1>
para -1 < x < 1, >’" < 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < -l,l>
para x > 1, y "> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < 1,°°>
ahora calcularemos las asíntotas. Para las asíntotas verticales x 2 +3 = 0,
existe.
y 1Para las asíntotas oblicuas se tiene: k¡ = lim — = lim —------ •= 0
x -*->+“ (x + 3)
= lim (y-fc,*) = limX—>+°°
lim — = 0*->+•» j r +3
como y = klx + bi => y = 0 asíntota horizontal.
Y 1
3
1_________ L *■-1 0 1 X
9268
Desarrollo
El campo de existencia de la gráfica es: R - {-2,2}
= 0 , para los números críticos es decir: x =
462 Eduardo Espinoza Ramos
y =- I 6x
( x 2 - 4 ) 2
para x < -2, y’> 0+
-2 < * < O, / > 0+
O < x < 2, y '< 0~
2 < x < oo, y ' < 0”
=> 3 máximo ni mínimo en x = -2
=> 3 máximo en x = 0, (0,-2)
=> 3 máximo ni mínimo en x = 2
La gráfica es creciente en los intervalos <-°®,-2> <-2,0> y decreciente en los
intervalos <0,2> <2,°°>
Como )-' = ..- * 6 a(x —4)
y* _ 16(3* +4 ) _
y (.x2 — 4) 3
Para los puntos de inflexión => 3x2 +4 = 0, 3 xe R por lo tanto no hay
punto de inflexión
-2 2
x < -2, y " > 0 , cóncava hacia arriba <-<*>,-2>
-2 < x < 2, y "< 0 , cóncava hacia abajo <-2,2>
x > 2, .y " > 0 , cóncava hacia arriba <2,°o>
Aplicación de la Derivada 4
927
ahora calcularemos las asíntotas. Para las asíntotas verticales se tiene: x = +:
y 8Para las asíntotas oblicuas se tiene: k = lim — = lim ---- ------ = 0
*—>+00 x x(x — 4)
b{ = lim (y-fc[jc)= lim —■ ■ ■ ■ = 0
como y = kx + b => y = O, es una asíntota horizontal.
4x
Desarrollo
Su campo de existencia es todos los números reales
4x , 16 —4jc2y ~ 2 ^ y — -,~y
4 + x~ (4 + jc' )
comoy'=Opara los números críticos 16 -4x2 =0 de donde x = ±2 númerc críticos
464 Eduardo Espinoza Ramos
para x < -2, y'< O
-2 < x < 2, y '> 0
y < 0 \
, N » > * , y > o + ?
< x < °°, y ' < 0~ *
3 mínimo en x = 2, (-2,-1)
=> 3 máximo en x = 2, (2,1)
La gráfica es creciente en el intervalo <-2,2> y decreciente en los
intervalos <-°°,-2>,<2,°°>
como y, 16-4 x
(4 + x2)2y = -
- 8a ( a - 2a - 12 )
(4 + a2)3
como y " = 0 para los puntos de inflexión, entonces:
- 8 a ( a 2 - 2 a - 1 2 ) = 0 = > a , = 0 , a 2 = — 1 — s/T3 , a 3 = - l + 7l3
Luego (0,0),(-1-n/Í3,-2 + 4VÍ3) , (- l + 7l3,l 1 + 57Í3) puntos de inflexión.
-1 -7 3
„ _ — + 1 + yfl3)(x +1 — VÍ3)
(4 + A2)3
-1 + 75
para a < - 1 — 7Í3 , y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en el intervalo
< —oo,—l — -\/T3 >
para -1 - 7Í3 < a < O, y '' < O, la gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo
< - l - 7 Í3 ,0 >
para 0 < a < -1 + 7 Í 3 > , y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en el
intervalo < 0,-1 + 7l3 >
Aplicación de la Derivada
928
para -1 + V i l < x < ° ° , y " < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo ei
intervalo < - l + V Í3,°°>
ahora calcularemos las asíntotas verticales se tiene: 4 + .v2 = 0, 1 xe R
k = hm — = lim — — r = 0x x->+°°4 + x2
b = lim ( y - t c) = limX —> + °o
4x= 0
4 + x
como y = kx + b => y = 0 asíntota horizontal.
y =4x — l2
U - 12)2
Desarrollo ------------ *--El campo de existencia es R - {2 }
Luego el campo de discontinuidad es x = 2
4*-12 , -4 U -4 ) , „ „ ,y = ---------- => y = — ----- t - => y = 0 se tiene x = 4 numero critic(
( jc -12) ( x - 2)3
466 Eduardo Espinoza Ramos
ira x < v <■ u
< x < 4, y > o + *
< x < °°, y '< 0~ «
=> 3 x = 2 por punto de discontinuidad.
=> 3 máximo en x = 4, (4,1)
en los intervalos <-°°,2>, <4,°°> es creciente y decreciente en el
intervalo <2,4>
_ —4 (jr -4)
(x - 2) 3
„ ...8 U - 5 )
V ( x - 2 )4= > y " = .0 x = 5, (5 ,- ) punto de
inflexión
„ _ 8(jr-5)
^ U - 2)4
para x < 2, y " < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo <-°o,2>
para 2 < x < 5, y"> 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo <2,5>
para x > 5, y" > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en el intervalo <5,°°>
I
Aplicación de la Derivada 46
929 y =x2- 4
Desarrollo
El campo de discontinuidad es R - {2,2}
Los puntos de discontinuidad es x = -2, x = 2
x + 4y =
x2 - 4 ( x 2 - 4 ) 2= 0
para los números críticos, es decir x 2 - 4 - 0 , 3 x e R tal que x 2 - 4 = 0
por lo tanto no hay números críticos.
v = -x + 4
U 2 - 4 )2
para x < - 2, y '< 0 , -2 < x < 2, y '< 0
para x > 2, y'< 0 , luego la gráfica es decreciente en los intervalo:
<-°°.-2>,<-2.2>,<2,“ »
x + 4 „ 2x(x2 +12)y = -----r — y => / ' = ----5----- r -
(x —4) ( jc - 4 )
y " = 0 para los puntos de inflexión => x = 0, (0,0)
y =-2 x ( x 2 + \ 2 )
(x2 - 4 ) 2
468 Eduardo Espinoza Ramos
930
para x< -2, y" < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-°°,-2>
para -2<x<0, y" < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-2,0>
para 0<x< 2, y "> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <0,2>
para x > 2, y” > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <2,oo>
Asíntotas: Verticales se tiene x = + 2
y 1 Oblicuas k = lim — = lim —---- = 0
b = lim (y - fc v )= lim —---- = 0•»->+“ x - A
como y = kx + b => y = 0 asíntota horizontal
16
x 2{x - A )
Desarrollo
El campo de existencia es R - {0,4}
Los puntos de discontinuidad son x = 0, x = 4
Aplicación de la Derivada
y = -16
x 2( x - 4 )
16(3.r-8)
' ~ x \ x - 4 )
como y' = 0 => 3 x -9 = 0 x = — punto critico
, 1 6 (3 * -8)v = ------------
jc3(x -4 )
para x < 0, y' < 0
0 < x < , y’ > 0 -v 3 ' \
- < x < 4 , v '<03
4 < x < oo, y'< 0
a , . 8 8 273 máximo en x = —, ,----- )
3 3 16
en los intervalos < - o o ,0 > , < - ,4 > , < 4 ,o o > la gráfica es decreciente y en
8intervalo < 0, - > es creciente.
3
. _ — 16(3jc —8) „ -512U -3 )
x \ x - 4 fy
x2( x - 4 )3
y" = 0 => x = 3, punto de inflexión
Eduardo Espinoza Ramos
. -512U -3 )
> x2(x - 4 )3
para x < O, y " < O, la gráfica es cóncava hacia abajo en <°°,0>
para 0 < x < 3, y "< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en <0,3>
para 3 < x < 4 , y "> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en <3,4>
para x > 4, y' '< 0, la gráfica es cóncava hacia abajo en <4,°°>
para las asíntotas: Verticales se tiene x = 0, x = 4
Oblicuas: k = lim — = hm16
■ = 0*->+»> x *->+“ x (x - 4)
b = lim (y - fc c )= hm —r-— ----*_>+<» x ( x - 4 )
= 0
Como y = kx + b => y = 0
Asíntota horizontal.
Aplicación de la Derivada ¿
9313.v4 +1
Desarrollo
y = 3x + — => el campo de existencia es: R - {0 }
luego el punto de discontinuidad es x = 0
1 , o 3 3(.t4 -1 ) y = 3x + — => y = 3 - — = ----- —
X X X
y'—O => be4 —1=0 => {-1,1} puntos críticos
y '= 3 (x2 + l ) ( x + l ) ( x - l )
para x < 1, y' > 0+
-1 < x < 0, y'< 0~ *
> 3 máximo en x = -l, (-1,-4)
0 < x < 1, y ' < 0 -v
1 < x < °°, y'> 0+ *
3 mínimo en x = l , (1,4)
La gráfica es creciente en <-°o,-l> , <l,oo> y decreciente en <-l,0> , < l,°o>
Como y' = 3 - ~ - =¡> y" = T x x
3 xe R tal que y " = 0 , por lo tanto no hay punto de inflexión.
472 Eduardo Espinoza Ramos
para x < 0, y "< O, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,0>
para x > 0, y "> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,<»>
para las asíntotas: Verticales se tiene x = 0
,• y ,• 3x4 +1 Oblicuas: k = lim — = lim -----j— = 3
*->+“ x x
b = lim ( y - k x )= lim (■-*- ■ -3 a ) = lim — = 0X—>+®° x —»-H~ X * Jf- >+°° X
como y = kx + b y = 3x
Asíntota oblicuas
932 y = \fx + \ ¡4 - x
Desarrollo
Aplicación de la Derivada
Para determinar el campo de existencia se tiene:
x > 0 a 4 - x > 0 => x > O a x < 4
O 4Luego el campo de existencia es [0,4]
y = yfx + y j4 -x => y ' = — = -----2y/x 2\ l4 -x
, ' j4 - ,x -y fx n . y = — = O para los números críticos
2y[xy[4^x
como v' = 0 => y ¡4 -x - J x = 0 => x = 2 números críticos
para 0 < x < 2, y '> O4
=> máximo en x = 2, (2,2\¡2)
2 < x < 4 , y'<0~
La gráfica es creciente en el intervalo <0,2> y decreciente en el intervalo <2,
, y ¡4 -x -y [x „ 1 1 y sr............. ..... = 0 = > y — --------------------- = = = •
2 jxs ¡4 '-x ' 4^/(4- x )3
y " = 0 para los puntos de inflexión.
- (> / (4 -jc)3 + V ? )
4y¡¿y¡(4 -x )3■ = 0 y j ( 4 - x 3) = —v/jc3" , x e R tal que y ' ' = 0
474 Eduardo Espinoza Ramos
Para x e [0,4], v "< 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre [0,4]
No tiene asíntotas
Desarrollo
Para determinar el campo de existencia se tiene:
8 + x > 0 a 8 - x > 0 => x e [-8,8]
Luego el campo de existencia es el intervalo [-8,8]
y = yjs + x -y/s~x => y' = — ,i--- : H----2y/& + X 2yJ8-X
, yj8 — x + yj% + x , , .y = ------=====— = 0 , para los números críticos
2\j6x - x 2
es decir V8 -jc + \J8 + jc = 0 => 3 jce R
por lo tanto no hay números críticos
para x e [-8,8], y'> 0 la gráfica es creciente
y ’V 8 — x + yj& + x 8( v 8 + x — V8 — x )
- => y = ------------ ;---2y¡64-
2(64- jc 2) 2
Aplicación de la Derivada <
y '' para los puntos de inflexión, es decir:
yj&~x + \/& + x = 0 => x = 0, (0,0) punto de inflexión
-8 0 8
_ 8(^871y 1
2(64 - x 2)2
para -8 < x < 0, y" < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en <-8,0>
para 0 < x < 8, y" > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en <0,8>
asíntota no tiene
934 y = x\/x + 3
Desarrollo
Para determinar el campo de existencia se tiene:
x + 3 > 0 =* x> -3 = > x e [-3,°°> es el campo de existencia
I — , 3(x+2) ,y ~ xs¡x + 3 y = ■ = 0 para los números críticos.
* 2 v x + 3
476 Eduardo Espinoza Ramos
Es decir 3(x + 2) = O => x = -2
3(.v+2)
2-Jx + 3
para -3<x< -2 , y '< 0 -v
-2 < x < « , y ’ > 0 *3 mínimo en x = -2, (-2,-2)
La gráfica es decreciente en <-3,-2> y es creciente en <-2,°°>
, 3U +2)
2V Í+3y " - - O
4(x+3 ) 2
para los puntos de inflexión, es decir: x = -4 e [-3,°°>
Luego no hay punto de inflexión
Para x e [-3,°°>, y "> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <-3,°°>
No tiene asíntotas.
Aplicación de la Derivada 4
935 y = \¡x3 -3.x
Desarrollo
Para determinar el campo de existencia se tiene que:
x 3 - 3 x > 0 => x (x -y ¡3 ) (x+y f3 )>0
3U + 1K £ -1)
2 a/*3 —3x
para -3 < x < -1, / > 0+
-1 < x < 0, v '< 0~
3 < x < «>, / > 0 +
)=> 3 máximoen x = -l (-1 ,72 )
La gráfica es creciente en los intervalos < -7 3 ,-1 > y
decreciente en <-l,0>
3(x - 1)
2a/aJx= -3 x
inflexión
„ (x - 6 x - 3 ) 3 „ , , ,y = ------------- — = 0 , para calcular los puntos <
4(x3- 3 x ) i
como ;y" = 0 => x - 6.x - 3 = 0 de donde se tiene;
x = ± , P ^ U [7 3 ,0 ]U [7 3 ,oo>
por lo tanto no hay*puntos de inflexión
Aplicación de la Derivada
y =--2x
3 y J ( l - X 2) 2
para - ° ° < x < - l , y ’ > 0
-1 < x < O, y'> O 5
0 < x < 1, y '< O V
1 < x < oo, y '< 0 ^
3 máximo ni mínimo x = -l
3 máximo en x = 0, (0,1)
3 máximo ni mínimo x = 1
La gráfica es creciente en <-l,0> y decreciente en <0,1> y <1,°°>
, -2 x , 2(3x2 - 4 x - 3 ) n y = ... ...... .. => y' = ------=====---- — 0
3 y j( l -x 2)2 V i- * 2
para determinar los puntos de inflexión, es decir:
^ - 4 , - 3 = 0 =»3 2 3
T 2 -V l3 4V Í3 -8 . 2 + VÍ3 . - (4 + 4VÍ3L Luego p¡ (— -— ,3 ---- ----- ) , p2(— -— ,3 ------------- ¿)
3 V 9
Son los puntos de inflexión
480 Eduardo Espinoza Ramos
937
■-)_2^3Para x < — — — , y" > 0, es cóncava < -«>,----- > hacia arriba.
3 3
2 -V Í3 2 + Vl3 „ , 2 -V Í3 2 + s/ñ ,---------< x < ---------- , y < 0 , es cóncava en < ----------,----------> hacia
3 3 3 3abajo
2 + VÍ3 „ n . 2 + VÍ3 , . .,Para x > --------- , y > 0, es cóncava en < ----------,°°> hacia arriba.
No tiene asíntotas.
Desarrollo
El campo de existencia es todos los números reales
y = y j l - x } => y ’ = -—x
• o
para los números críticos => x = 0, además 3 y' , es decir 1 - x = 0 => x = 1
por lo tanto los números críticos son { 0,1}
Aplicación de la Derivada 4Í
para x < O, y' < O
0 < x < l , y '<0 3 máximo ni mínimo
1 < x < o», y'cO
La gráfica es decreciente en <-oo,0>, <0,1 >, <1,°°>
x2 2x
l ] ( l - x 3) 2 } Ü l - x 3
de donde los puntos de inflexión son (0,1), ( 1,0)
para x < 0, y "> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en <-°°,0>
para 0 < x < 1, _y"< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en <0,1 >
para x > 1, y "> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en <l,°o>
no tiene asíntotas
482 Eduardo Espinoza Ramos
938 y = 2x + 2-3^J(x + V)2Desarrollo
El campo de existencia es todos R
y = 2x + 2 - $ I ( I + r f => y' = 2 —
2y' = 2 - . = 0 para determinar los números críticos.
Vx + 1
2 - —= = = 0 => x = 0 además 3 y ' , es decir l + x = 0 => x = -1 </* + l
por lo tanto los números críticos son {-1,0 }
para x < -1, / > 0 >>
-1 < x < 0, y ’ > 0 *
0 < x < o», y ’ > 0 *
3 máximo en x = -1
3 máximo en x = 0
La gráfica es creciente en <-<x>,-l>, <0,°°>, <-l,0>
y ’ = 2 -I fT + i
= o y =3l¡(l + x )‘
: = 0
Para los puntos de inflexión pero 3 jte/ í tal que y " = 0 por lo tanto los
puntos de inflexión son en x = -l yen x = 0 es decir (-1,0) y (0,-1).
Aplicación de la Derivada i
Asíntotas no existe.
939 y =
Desarrollo
El campo de existencia es todos los reales
y = l / x + l - l í x ^ i „
determinar los números críticos. Es decir:
i j ( x - l )2 - l ] ( x + 1)2 = 0 => U - l ) 2 = (x + l ) 2 => x = 0
además 3 _y' es decir x2 - 1 = 0 => x = ± 1
Luego los números críticos son {-1,0,1}
-1 0 1
, \j(X~ \ ) 2 —y j ( x + l ) 2y = —--------;— -------
yjx2 -1
484 Eduardo Espinoza Ramos
para x < -1, / > 0
3 máximo en x = -1
y'
iara x < -i, y >u
1 < x < 0, / > 0 *
j = > 3 mínimo en x = O, (0,2)O< x < 1, y ’< 0 K
)1 < x < «o, v < 0 *
=» 3 máximo en x = 1
La gráfica es creciente en <-oo,-l>, <0,1 > y decreciente en los intervalos
< -l,0 > y <l,oo>
1__________ 1____ , „ _ 2 (V u + l )5 - V u - l ) 5)
y lj(.x + l)2 l l ( x - l )2 y 3 l ¡ (x2 - » 5
como 3 xe R , tal que y " = 0 por lo tanto para x = ± 1 3 y' entonces en
x = ± 1 hay puntos de inflexión, es decir: (1,-/2 ) , (—1,3 2 )
, „ _ 2 (^/ (I^ l)? - V ( x - l ) 5)
3 t j (x2 - l )5
para x < - l , y "> 0 , es cóncava hacia arriba
-1 < x < 1, y " < 0 , es cóncava hacia abajo
para x > 1, y "> 0 , es cóncava hacia arriba
Asíntotas Verticales no tiene para las oblicuas se tiene que:
Aplicación de la Derivada
940
b = lim (y-fcc) = lim (3/1 + 1 = 0.V—>°o X — >00
Luego y = kx + b => y = 0 es asíntota horizontal.
y = \J(x + 4 )2 - y ] ( x - 4 ) 2
Desarrollo
El campo de existencia es todo los números reales R
, 2 \ J x - 4 —yJx + 4y = \J(x + 4 )2 - y J ( x - 4 ) 2 => y ’ = - (-
\ x 2 -
3 y ’ para x = ±4 puntos críticos
16
, 2 yJx-4 -yJx+4
y
)para x < -4, y '<0
-4 < x < 4 , y ’> 0 +
4.
3 mínimo en x =
3 máximo en x ¡
4, (-4,-4)
4, (4,4)
486 Eduardo Espinoza Ramos
Es creciente en <-4,4> y decreciente en los intervalos, <-°°,-4>, <4,°°>
, _ 2 , l f 7 ^ 4 - H 7 ^ 4 , . „ 2 ,t¡ (x + 4)4 y " 3 ( 3 / 7 1 ^ =* v ~ 9 3
luego y" = 0 se cumple para x = 0, (0,0) es el punto de inflexión
para x < 0, y" > 0 es cóncava hacia arriba
0 < x < oo, y" < 0 es cóncava hacia abajo
Asíntotas verticales no tiene, para las oblicuas.
Ux + 1 - y j x - 1 k = hm----------------- = 0
¿> = lim (y-fcc) = lim(^/(x + 4) 2 - ^ ( x - 4 )2) = 0.x—>oo r—>00
Luego y = kx + b => y = O asíntota horizontal
941 y = ^j (x-2)2 +^/(x-4 )2
Desarrollo
Aplicación de la Derivada
Dominio es todo los números reales
j// t.2 3// ~72 t .\J~X~—4 +• yjX — 2y = <J (x -2) + V U -4 ) 2 => y = ~ (3 < J x -2 l lx -4
y'= 0. 3 y' para los puntos críticos de donde 2,3,4 son los números críticc
para x < 2, y'< 0 “
2 < x < 3, _v'>0+
3 < x < 4, y'cCT
3 mínimo en x = 2, (2, v 4)
3 máximo en x = 3, (3,2)
3 mínimo en x = 4, (4,3/4)
4 < x < 00, v '> 0 + t¿
La gráfica es creciente <2,3> y <4,°°> y decreciente en <-°°,2> y <3,4>
, 2 i/x^~4 +•lJx~—2 ,-v ~ r ( , — - - . f ---------- ) = > y = o
7x^-4
para los puntos de inflexión 1 xe tal que y " = ü , por lo tanto no hay pun de inflexión.
488 Eduardo Espinoza Ramos
942' 7 ^ 7
Desarrollo
El campo de existencia 4 - x2 > 0 => x e <2,2>
4 . 4xy = y' = 0 para x = 0
(4 - jr2) 2
para -2 < x < 0, y '< 0 -v
0 < x < 2, >-'>0+ *
3 mínimo en x = 0, (0,2)
en <-2,0> es decreciente y en <0,2> es creciente.
4x 4 (2 * + 2)
(4 — A"2 ) 2 (4 —jr2) 2
como 3 x e R, y" = 0 entonces no tiene puntos de inflexión
Luego para x e <-2,2>, y ” > 0 . la gráfica es cóncava hacia arriba.
Tiene como asíntotas verticales; x = -2, x = 2
Aplicación de la Derivada 41
t\J x2 -<■Desarrollo
El campo de existencia es <-°°,-2> u <2,°°>
2U 2 - 2)y = -
;yjx - i=> y = —
x2(x2 —4) 2
Luego para x = ±\¡2 , y' = 0 no son puntos críticos porque ±\Í2 no están e
el campo de existencia.
y -■2(x - 2)
3
jc2(jc2 - 4 ) 2
„ 1 6(3jc -10* +16)y = -----------------i—
x 3( x 2 - 4 ) 2
como 3 x€ R tal que y " = 0 , no hay punto de inflexión, tiene como asíntot
vertical a x = ± 2 y como asíntota horizontal a y = 0.
944 y =
Desarrollo
El campo de existencia es R -{-1,1}
490 Eduardo Espinoza Ramos
y =l jx 2 - l } 3y¡(x2 - 1)4
para x = ± 3, y' = 0 , que son los puntos críticos
x -3
- y ¡ 3 < x < - l , y '< 0
- 1 < X < 1 , y ' < 0 •
l < x < j 3 , y ' < 0 *
=> 3 máximo en x = \Í3, (-V3,--^E )
3 máximo ni mínimo
3 máximo ni mínimo
3 mínimo en x = y¡3, (>/3,^(E)<J 2
x > y ¡3 , y '> 0
es creciente en < —oo,—J 3 > , <y¡3,°°> y decreciente en < —J3,—1 > ,
< -!,!> , < 1,>/3 >
y =■x2 - 3 „ - 2 x ( x 2 -9 )
3y](x2 - l ) 4 ' 9yJ(x2 - l ) 1
3 3entonces para x = 0, x = ±3, y " = 0 de donde (0,0), (3,—), ( -3 , -—) son los
puntos de inflexión.
Como asíntotas verticales tiene a x = ± 1 y como asíntotas oblicuas no tiene.
Aplicación de la Derivada
945l l (x -2 )2
Desarrollo
El campo de existencia es <-oo,2> u <2,oo>
x —6r - ------- - ----y y — - =
t y x - 2)2 3 1 ( x - 2 )para x = 6, _v’ = 0
para x < 2, y' > 0
2 < x < 6, >>'<0
x > 6, / > 0
=> 3 mínimo en x = 6, (6,—=r)Ü2
es creciente en <-oo,2> y <6,oo> y decreciente en <2,6>
x -6 .. - 2( x - l 2)y
3yJ (x -2 )5 ' 9 y j ( x - 2 )para x = 12,
A
y
492 Eduardo Espinoza Ramos
12y ''= 0 => ( 1 2 , - 7= ) punto de inflexión.
Vioo
2 12
Para x < 2, y "> 0 , cóncava hacia arriba
2 < x < 12, / ’ > 0 , cóncava hacia arriba
x > 12, y " < 0, cóncava hacia abajo
946 y = xe- *
Desarrollo
Su campo de existencia todos los números R.
y = xe~* => y ' = e ~ x ( \ - x ) p a r a x = l , y' = 0 puntocritico
para x < 1, y ’> 0
1 < X < oo, y '< 0
3 máximo en x = 1, (1 ,-) e
Aplicación de la Derivada
es creciente en y decreciente en < 1,«=>
y' = ex( \ - x ) y " = e x( x - 2) para x = 2, y " = 0
2Luego: (2,— ) punto de inflexión
e
Para x< 2 , y''< 0 es cóncava hacia abajo
x > 2, y">0 es cóncava hacia arriba
tiene como asíntota horizontal a y = 0
2 x
947 y = (a + — )ea a
Desarrollo
Su campo de existencia es R.
2 x x 2 /xx x - - x 2x „y = ( a + — ) e a => y = e a (— + — + 1)
a a a
Luego para x = -a, se tiene y' = 0
494 Eduardo Espinoza Ramos
Pero en x = -a no hay máximo ni mínimo.
ea(x + a)2a2
para x < -a, / > 0w ^ -a , y ^ -v
x > -a, / > 0 *3 máximo ni mínimo
la curva es creciente en <-°°,-a> y <-a,°°>
, ea(x + a)2 _ ea (x + a)(x + 3a)y = --------— => y = ------------5----------
a a
para x = -a, x = -3a, se tiene y " = 0
Luego ( - a ,— ) y ( - 3 a , ^ ^ - ) son puntos de inflexión
-3a -a
Para x < -3a, y" > 0 , es cóncava hacia arriba sobre <-°°,-3a>
Para -3a<x<-a , y " < 0, es cóncava hacia abajo sobre <-3a,-a>
Para x > -a, y " > 0 , es cóncava hacia arriba sobre <-a,°°>
No tiene asíntotas verticales
Tiene como asíntota horizontal a y = 0
Aplicación de la Derivada
948 y = e8x—x -14
Desarrollo
Su campo de existencia es R.
y = e&x - x ¿ - 1 4 y' = (8 - 2x)e8x~x ~14, para x = 4, y '--
para x < 4, y'> 0
3 máximo en x = 4, (4, e )
x > 4, y’ < 0 *
La gráfica es creciente en <-<*>,4> y decreciente <4,°°>
y ’ = (8 - 2x)e &x - x ¿ - 1 4 y "= (4 x 2 - 32x + 62)e8x~x ~'4
„ 8 + V2 8 -V 2y = 0 , cuando x = --------, x? = --------
1 2 2 2
y ,8 + 72 | 8 - 7 2 f .Luego (--------,e¿) y (—------ , e ¿) punto de inflexión
2 2
0 punto critico
5
496 Eduardo Espinoza Ramos
8 - V 2 8 + V 2
2 2Para jc < ---------- , y " > O , es cóncava hacia arriba
8 + -v2 , . .< jc < --------, y < O, es cóncava hacia abajo
8 + V2 ,, , , ..jc > --------, y > 0 es cóncava hacia arriba
2
no tiene asíntotas verticales en y = 0, tiene asíntota horizontal.
949 y = (2 + jc2)e - *2
Desarrollo■*
Su campo de existencia es todo R
y = (2 + x 2)e~*2 y' = — 2 x ( x 2 + 2 ) e ~ x'
* para x = 0 se tiene y' = 0 punto de inflexión
Aplicación de la Derivada 4
para x < 0, y ’ > 0
3 máximo en x = 0, (0,2)x > U, y
La gráfica es creciente en <-°°,0> y decreciente en <0,°°>
y’= ~2x (x2 + 2) e => y " = 2e~xl ( 2x 4 - x2 - 1)
3 3de donde para x = ± 1, y '' = 0 punto de inflexión (1,—), ( - 1,—)
e e
-1 1para x < -1, y” > 0 , es cóncava hacia arriba
-1 < x < 1, y" < 0 , es cóncava hacia abajo
x > 1, y " > 0 , es cóncava hacia arriba
no ti :ne asíntotas verticales, pero en y = 0 tiene asíntota horizontal.
498 Eduardo Espinoza Ramos
950 y = 2\x\-x2Desarrollo
El campo de existencia es todo R
Para x > 0, y = 2x - x 2 => y '= 2 - 2 x = 0 se tiene x = l
x < 0, y = - 2x - x 2 =» y '= - 2 - 2x = 0 setienex = -l
Luego los puntos críticos son {-1,0,1}
1 < x < / < 0
es creciente en <-=°,-l>, <0,1> y decreciente en <-l,0>, < 1,°°>
/ = 2 - 2jc = 0 , para x > 0 => y” = 0 , 3 x e i ?
y '= -2 - 2x = 0 , para x < 0 => y" = 0 , 3 x e R
por lo tanto no tiene punto de inflexión.
Pero en x = 0 no es diferenciable, entonces
-1 0 1
=> 3 máximo en x = -1, (-1,1)-1 < x < 0, y'<0
=> 3 mínimo en x = 0, (0,0)
=> 3 máximo en x = 1, (1,1)
Aplicación de la Derivada
951
Para x < O, y" < O, es cóncava hacia abajo
x > 0, y” < 0 , es cóncava hacia abajo
no tiene asíntotas
ln x
\fxDesarrollo
El campo de existencia es <0,°°>
ln x , 2 - ln x 2 , „y = —■=■ =* y = — = - para x - e , y - 0
v * 2 \lx3
para x < e , y '> 0
23 máximo en x - e 1, (e2,—)
e
x > e , y '< 0
es creciente en el intervalo < 0,e1 > y decreciente en < e 2,°°>
, 2 - ln x ,v(31nj:-8)y' = — 7==- => y =-
2- 4x
500 Eduardo Espinoza Ramos
para x = e3, / ' = 0 entonces (e3,— - ) punto de inflexión
3é>3
8
8
para x < e3, y " < 0 , es cóncava hacia abajo
8
x > e3, y" > 0 , es cóncava hacia arriba
tiene asíntota vertical en x = 0 y tiene asíntota horizontal en y = 0
Desarrollo
El campo de existencia es todo R
y = — ln — => y ' = jc(ln — + —) para x = ~ , y ' = 02 a a 2 -Je
T
Aplicación de la Derivada
para x < —¡=, y '< O \ Ve '
x > -^ = , y'> O ve
. a a a . => 3 mínimo en x = —j=, ( - p , ----- )
Ve ve 4e
es creciente en < >» y decreciente en < >ve Ve
y 1 = Jt(ln — + —) =¡> y" = ln —+ — a 2 « 2
— — -3a2para x = ae 2 , y ” = 0 , (ae 2,— —) punto de inflexión
4e
3a
4e33a
para x < ------, y " > 0 , es cóncava hacia arriba
x >3er
4e3
4e
, y " < 0 , es cóncava hacia abajo
en \ = 0 es asíntota vertical no tiene asíntota horizontal.
502 Eduardo Espinoza Ramos
953ln jc
Desarrollo
El campo de existencia es todo R f
>’ =ln x
. lnjc-1 n / = — -— = 0 , para x = e
ln“ Ji
para 0 < x < 1, y<ou v. a. ^ i , y «v
1 < x < e , y < 0 *
para x <e, y '< 0 -\
>e, y > o *
3 máximo ni mínimo en x = 1
=> 3 mínimo x = e, (e,e)x > e, y
es decreciente en <0,1>, <l,e> y creciente en <e,°°>
, ln jc - 1 „ 2 - ln xy = — => = — —ln2 jc jcln jc
para jc = e2, y” = 0 , Luego (e2,— ) punto de inflexión
para jc < e2 , y " > 0 , es cóncava hacia arriba
jc > e 2 , / ' < 0 , es cóncava hacia abajo
en x = 1, se tiene asíntota vertical, no tiene asíntota horizontal.
Aplicación de la Derivada
954 y = (A + l)ln 2(x + l)
Desarrollo
El campo de existencia es x > - l es decir x e <-l,*>o>
y = (x + 1) ln2(x + 1) => y = ln (* + l)[ln(x + l) + 2]
para x = 0, x = - l + — se tiene y '= 0 punto críticos e~
-1 +
-1 + — < x < 0 , y '< 0 ' e
0 < x < o®, y’> 0+
3 mínimo en x = 0, (0,0)
504 Eduardo Espinoza Ramos
La gráfica es creciente en < - l , - l + — > , <0,°°> y decreciente ene~
< - l + -V ,0 >e2
y' = ln(jc + l)[ln(jc + 1) + 2] => y " = -x + l
para x = - l + - se tiene y " = 0 luego (-1 + - , —) es punto de inflexión e e e
-1 < x < -1 + - , v " < 0 , es cóncava hacia abajo e
-1 + — < x < ° ° , y " > 0 , es cóncava hacia arriba e
955
Desarrollo
Aplicación de la Derivada
El campo de existencia es x € <-«>,-1> U <1,°°>
y = ln(x2 - 1) + — 1x‘ - l
, _ 2x ( x - - 2)y o o
O r - l ) 2
para x = 0, x = ± 2 se tiene y ' = 0 puntos críticos x = +V2
3 mínimo en x = -yÍ2 , ( -V 2,l)
3 mínimo en x = \¡2 , (V2,1)
\¡2 < x < ° ° , y'> 0
La gráfica es creciente en < —v/2,-1 >, <\¡2,°°> y decreciente
< > y < 1, V2 >
, 2x0c2 - 2) „ -2 (x3 - 3x2 - 2)
( * 2 - l )2y = -
( * 2 - i )3
para x = ± -^ - = +1.89 se tiene y " = 0
Luego (1.89, 1.33) y (-1.89, 1.33) puntos de inflexión
506 Eduardo Espinoza Ramos
Para x < -1.89, y " < 0, es cóncava hacia abajo
-1.89 < x < -1, y" > 0 , es cóncava hacia arriba
1.89 < x < o®, y " < 0, es cóncava hacia abajo
1 < x < 1.84, y '' > 0 , es cóncava hacia arriba
tiene asíntotas verticales en x = -l, x = l
Luego y'= 0 para x= 0, pero x = 0e R + — {0} por lo tanto no hay punto de
inflexión
Para x > 0, y' > 0 , la gráfica es creciente.
Y n
-1.84 1-1 1 | ^ 2 1.84 X
xDesarrollo
El campo de existencia es /?T - {0 }
Aplicación de la Derivada
957
, _ yjx2 + 1 - 1 „ _ ylx2 + 1 - 3 - 2jc2 .
a ( x 2 + 1 - > / a 2 + 1 ) y y¡x2 + l ( x 2 + l - y ] x 2 + \ ) 2
3 xe R tal que y" = O por lo tanto no hay puntos de inflexión.
Luego para x > 0, y "< 0, la gráfica es cóncava hacia abajo.
Para x = 0 es una asíntota vertical.
, V a-2 + 1 - 1ln------------
k = lim — = lim -------- ------ = 0a A
b = lim(>>-fcc)= lim ln * + — - = 0x—>°° x— X
como y = kx + b => y = 0 es una asíntota horizontal
Desarrollo
El campo de existencia es todo R.
y = ln(l +e~x) => y '= — - í —e +1
508 Eduardo Espinoza Ramos
3 jc 6 R , y' = 0 por lo tanto no hay punto de inflexión para x e
gráfica es decreciente.
y —i
r = - 3 xe R , y " = 0ex + l (ex +\Y
por lo tanto no hay punto de inflexión.
Para x e R, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba.
No tiene asíntotas verticales. Cuando x y = 0
y ln(l + e x) k{ = hm — = hm------------ = 0
JC JC
= lim (y -/ ir) = limln(l + e ■*) = 0
luego y = 0, x —> +°°
y ln(l + e x) ex k2 = hm — = lim ------------ = hm -------- - = -1
x-»-~ JC jc—*— l + ex
b2 = lim (y - k 2x )= lim [ln (l+ « ' * ) + * ] = 0
Luego y = k2x + b2 => y = -x asíntota oblicua
R, y '< 0 , la
Aplicación de la Derivada
958 y = ln(e + —)x
Desarrollo
El campo de existencia es < -oo,—— > U < 0, <» > es decir que no esta defiie
pero [ - - , 0] e
w . 1y = ln(e + —) => y = —x x(ex + 1)
3 x e R tal que _y' = 0 , no hay puntos críticos
_ ! 0 e
x < - —, y ’ < 0 es decreciente e
x > 0, y'< 0 es decreciente
1 „ 2ex +1 1y --------------=í> y = ———— - para x = --------
x(ex + l ) x (ex+ l) le
y " = 0 pero — —e< - o o , - l > U < 0,°° >, por lo tanto no tiene punto le e
inflexión
para * < - —, y" < 0 es cóncava hacia abajo e
x > 0, y " > 0 , es cóncava hacia arriba
510 Eduardo Espinoza Ramos
asíntota vertical es x = 0, x = —e
ln(e + - )k = lim — = lim ------- — = 0 para L'Hospital
•*-*— x ■*-»” JC
b = lim ()’ -foc) = lim ln(e + —) = 1x —*°° jc—»«> X
Luego como y = kx + b => y = l asíntota vertical
959 y = sen x + cos x
Desarrollo
El campo de existencia es todo R
Como y(x) = y(x + 2rt) la función es periódica con periodo x = 2n
y = sen x + cos \ => y' = cos jc - senx = 0 => cos x = sen xi
de donde jc = — + 2kn , x = — + 2kn , k = 0, ±1 , . . .
Aplicación de la Derivada
K0< x < — , y ’> O4
n 5n ,— < x < — , y < O ^4 4 \
5 n ti— < x < 2n , y > O4
3 máximo en x = — , (—, >/2 )4 4
-i - 5/r ,5n /-N=» 3 mínimo en x = — , (— ,-V 2 )4 4
3a:y' = cos x -sen x => y " = -senx - cos x = 0 => senx = - cos x =* x = ---- y
4
para x < ~ , y "< 0 es cóncava hacia abajo
x > — , y '' > 0 , es cóncava hacia arriba4
para (— + krc, 0) puntos de inflexión4
512 Eduardo Espinoza Ramos
n ,n senlx960 y = senx + —— —
2Desarrollo
El campo de existencia es todo R
Como y(x) = y(x + 2n) la función es periódica con periodo x = 2n
sen2xy = senx + - y '= cos jc + cos 2 jc
y '= 0 => cos x = -cos 2x =» jc = —+ 2kn , x = — + 2kn para k = 0, ± 1, ±2,... 7 3 3
para x < — , y > 0 ^
K 5k ,— < jc<— , y < 0 x 3 3 A
iz 3>/3x3 x = —+ 2 k n , ( ,— + 2kn,-----)
3 3 4
n - • 5?r -ii oí 3-733 mínimo en x = — + 2kn , (---- 1-2kn,------- )3 3 4
y' = cosjc + cos2jc => y" = -senx - 2sen2x
y" = 0 => -sen x - 2 sen 2x = 0 => x = k7t
Aplicación de la Derivada
961 y = cosx-eos2 x
Desarrollo
El campo de existencia es todo R
y = cosx -eo s2 x => y'= -senx+ 2senx.cosx
y' = 0 => - sen x + 2 sen x. cos x = 0 => x = ± — , x = ± it3
como y(x) = y(x + 2jt) la función es periódica
para x <±rc, y ’ < 0
en x = ±7t 3 mínimo (±Jt,-2)
x > ±7t, y '> 0
x < ± — , y ' > 03
x > x — , y <03
y' = -senx + 2senx. cos x => y "= -c o s x + 2cos2x
y "= 0 => -cos x + 2 cos 2x = 0 => x = ±0.57, x = ±2.2
Luego f(±0.57) = 0.13 =» (±0.57,0.13)
f(±2.2) = -0.95 => (±2.2,-095) con los puntos de inflexión
514 Eduardo Espinoza Ramos
962 y = sen*jc + c o s 3 jc
Desarrollo
El campo de existencia es todo R.
y = sen3Jc + cos3 jc => y'=3sen¿x .cosx -3cos¿ x.senx
y' = 0 => 3sen2x co s x -3 co s 2 x.senx = 0
3 sen x. cos x (sen x - cos x) = 0
. 71 K 571 3kde donde x = 0, jc = — , jc = — , x =n, x = — , jc = — ,x = 2it
4 2 4 4
como y(x) = y(x + 2n) la gráfica es periódica con periodo \ = 2n
Aplicación de la Derivada
x < 0, y'>0
0 < x < — , y '< 04
n< x < n , y'<0
k < x < — , y ' > 0 4
5;r 3;r , . — < * < — , v <0 4 4 '
3/r . ,— < x < 2n , y >0 5
x > 2k, y'<0
B máximo en x = 0, (0,1)
. K n y/23 mínimo en x = — , (—,----)
4 4 2
3 mínimo en x = n, (rc,-l)
_ 5it 5n yÍ23 máximo en x = — , (-—-,------)
4 4 2
, . 7>k 3k3 mínimo en x = —-, (— 1)
2 2
3 mínimo en x - 2n, (2n, 1)
t.
516 Eduardo Espinoza Ramos
963 y = .senx + cos x
Desarrollo
Como y(x) = y(x +2n) la función es periódica con periodo x = 2n luego los
puntos de discontinuidad es — también en x = ——4 4
y = -í
senx + cos xcosx—senx
(senx + cos x)1
para x = — + 2 kn setieney' = 0 ; x = - — + 2kn se tiene y' = °° 4 4
?>K . npara: x < ----- , y > 0 \A
x > - — , y '< 0 ^4
, . 3n , 3n ->¡23 máximo en x = ----- , (------ + 2kn,------ )
4 4 2
n . nx < y <o \4
71 . r . W jc> — , y > 0 *•4
7T 7T V23 mínimo en x = — , (— + 2kn.— )
4 4 2
Aplicación de la Derivada
964 y = •senx
sen(x + —)4
Desarrollo
Como y(x) = y(x + n) la gráfica es periódica con periodo x = n ademá
puntos de discontinuidad son x = , x = —4 4
y =senx
=> y\¡2 (senx + eos x) 2(senx + cos x)*
3 j e í , tal que y' = 0 por lo tanto no hay puntos críticos
V2 >/2 (cos x-senx) „ ->/2 cos2xy - 7 -------------------- =* y = — :---------------- =» y =■2{senx + cos x )“ (ié-MX + cos x) (1 + sen2x)~
y " = 0 => cos 2x = 0 => 2x = — x = — => x = — + kn2 4 4
Luego los puntos de inflexión: (— + k n ,^ - )4 2
V
518 Eduardo Espinoza Ramos
965 y = sen x. sen 2x
Desarrollo
El campo de existencia es todo R.
Como y(x) = y(x + 2n) la gráfica es periódica cuyo periodo es x = 2n
Calculando los extremos en el intervalo [0,rt] se tiene:
y' = 4senx. cos1 x — 2sen3 * = 0 de donde:
2 1 2senx(3cos x - l ) = 0 => x = 0, x = 7t, x = arccos(±—= )73
para x < 0, y '< 0
3 mínimo en x = 0, (0,0))0 < x < arccos(-Lr) , y ’ > 0 * \
73 '
=> 3 máximo en x = arccos(—|=),73
, 1 , , l t n í 1 4 ,arccos(—=r) < x < arccos(— ■=), y > 0 \ (arccos—--,— r=)
73 73 ' 'l R73*373
• 3 mínimo en x = arccos(— j = ) ,73
1 * 1 4arccos(— -=) < x < n , y '> 0 > (arccos(— ^ ) , —-=)
v3 \ v 3 3v3
3 máximo en x = Jt, (7t,0)x > 7t, y '< 0
y' = 4senx.cos2 x - l s e n 3x =* y "= 2 c o s x (2 -9 sen2x)
Aplicación de la Derivada 5
7¡r V2 x/2para a = — , x = arcsen(— ) => x -n -a r c s e n (— ) se tiene y" = O por
n y¡2 4y¡7 s¡2 4^7tanto: (—,0) , (arcsen(----),----- ), (n -aresen— ,--------) son los puntos
2 3 27 3 27
inflexión.
X
966 y = cos x. cos 2x
Desarrollo
El campo de existencia es todo R.
Además y(x) = y(x + 2n) la función es periódica x = 2n
Calcularemos los extremos en el intervalo [0,7tJ
y = cosx. cos 2x => y'= s e «x ( l -6cos2 jc)
luego para y '= 0 => s e n x ( l -6cos2 x) = 0
de donde: x = n, x - arccos(-^=-)v 6
, x = arccos(— ==■), x = 0Vó
520 Eduardo Espinoza Ramos
Si x <0, y ’>0
0 < jc < arccos(-p), y' < 0 v 6
3
arccos-4 = < jc < arccos(— j= ), y '> 0 V6 V6
arccosí— 7= ) < x < n , y' < 076
=> 3 máximo en x = 0, (0,1)
3 mínimo en x = arccos - 7= ,V6
1 2N (arccos—= , -----=r)\ y¡6 3y¡6
3 máximo en x = arccos(— = ) ,v 6
arccos(— =■)< x < n , y '< 0V6
x > 7t, y '> 0 ) 3 mínimo en x = m, (n,-l)
y '= je / u (l-6cos x) y” = cosx(13-18cos“ x) para * =
jc = arccos , x = arccos(- ) se tiene y " = 0. Luego: (— ,0 ), V18 V18 2
13
18
13 4 113.(arccos./— , — ./— ), (arccos(-J— ) , - —,/— ) son los puntos de inflexión.
'ÍIS 9 V18 V18 9 V18
Aplicación de la Derivada
967 y = x + sen xDesarrollo
El campo de existencia es todo R
y = x + senx => y' = l + cosx dedonde y' = 0
1 + cos x = 0 => x = n
como x < 7t, y '> 0 , x > ji, y ’ > 0 no hay máximo ni mínimo, la gráfii
creciente.
y '= l + cos* => y ''= -senx = 0 => x = k7t, k = 0,±1,±2,...
Luego (k7t,kjt) puntos de inflexión
Para x < 7t, ;y"<0, es cóncava hacia abajo
x > 7t. y " > 0 , es cóncava hacia arriba
968 y = arcsen( 1 - \fx*)
Desarrollo
El campo de existencia [—2 V2, 2>/2 ]
522 Eduardo Espinoza Ramos
969
y = arcsen( 1 — yfx2) =¡> y 1 = — ¡= —-----f =3 ^ 7 7 2 - 7 7
Luego y ' = <x> cuando x = 0. x = ±2%/2
Luego x = ±2\¡2 son los extremos del campo de existencia de donde
(±272,-1.57)
Para x < 0, y ’ > 0 ^
j =£ 3 máximo en x = 0, (0,1.57) x > 0, y'< 0 *
2
V ' . ______Ú ._____ « y " = ^ 3 - 4 )
2y" = 0 => 3x3 - 4 = 0 => x = ±1.54 de donde (± 1.54,-0.34) son los
puntos de inflexión.
y = ^ 7Desarrollo
Aplicación de la Derivada
970
aresenx . y j l - x 2 - xarcsenxy = - ¡ = = T => y =
V i - J E 2 V(l -A '2)3
xe R tal que _y' = 0 además / = ° ° cuando x = ± l pero estos valore;
pertenecen al campo de existencia por lo tanto no tiene máximos ni mínimo
, \ J l - x 2 - xarcsenx „ .v(l - x2 - arcsenx(3x + J ( \ - x 2)3 ))
" = V a - 2)3 " * = ^
y " = 0 cuando x = 0 de donde (0,0) es punto de inflexión, tiene asín
verticales en x = ± 1
y = 2x - tg xDesarrollo
y = 2x - t g x => / = -sec x de donde:
iy '-O =* 2 ~sec2 jc = 0 => sec.r = ±V2 entonces: x = — + k ; t , x ~ — + k
4 4
j r- -j n 2k + l ,no esta definida para x = — , x = — ^— tt para k = 0, ± 1, ± 2,...
524 Eduardo Espinoza Ramos
no esta definida para x = — , x = -^-Í^jr para k = 0, ± 1, ± 2,...2 2
71 I npara x < — , y > 04
3ít , _ d x > — , y > 0
4
=s> 3 máximo en x = — + kn , ( - + kK,— + 2k -\ )4 4 2
- i x - 3tt , ,3/r , 3k ,=>3 mínimo en jc = — + — + í:7r,---- i-l + 2&7r)
4 4 4
y ’ = 2 -s e n 2x => y" = 2sen2 x.tgx
para y" = 0 se tiene x = kn, donde k = 0, ± 1, ±2,...
por lo tanto (kn, 2kn) son los puntos de inflexión.