“CIRCUITO DE CHUA EN LA SINCRONIZACIÓN DE LOS SISTEMAS
CAOTICOS”
TESIS
Q U E P A R A O B T E N E R E L T Í T U L O D E :
INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA
P R E S E N T A N
Alcalá Martínez Minerva Berenice
Ángeles García Francisco
ASESOR:
DR. ALEJANDRO VIVAS HERNÁNDEZ
MÉXICO, D.F. SEPTIEMBRE 2013
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELECTRICA
UNIDAD PROFESIONAL "ADOLFO LÓPEZMATEOS"
TEMA DE TESIS
INGENIÉRIA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA QUE PARA OBTENER EL TITULO DE TESIS COLECTIVA Y EXAMEN ORAL INDIVIDUAL
POR LA OPCIÓN DE TITULACIÓN ANGELES GARCÍA FRANCISCO
DEBERA(N) DESARROLLAR MINERVA BERENICE ALCALA MARTÍNEZ
CIRCUITO DE CHUA EN LA SINCRONIZACIÓN DE LOS SISTEMAS CAÓTICOS
OBJETIVO DEL TEMA: CONSTRUIR E IMPLEMENTAR UN CIRCUITO DE CHUA PARA SU APLICACIÓN EN LA SINCRONIZACIÓN DE LOS SISTEMAS CAÓTICOS USADOS EN LAS TELECOMUNICACIONES.
PUNTOS A DESARROLLAR:
~ ÍNDICE
~ INTRODUCCIÓN
~ JUSTIFICACIÓN
>- OBJETIVO
~ CAPÍTULO 1 SINCRONIZACIÓN Y TEORÍA DEL CAOS.
~ CAPÍTULO 2 SISTEMAS DINÁMICOS
~ CAPÍTULO 3 DIODO DE CHUA
~ CAPÍTULO 4 CIRCUITO DE CHUA
~ CAPÍTULO 5 APLICACIÓN DEL CIRCUITO DE CHUA EN LAS
TELECOMUNICACIONES. CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA REFERENCIAS APÉNDICE A APÉNDICE B APÉNDICE C
MÉXICO D.F., A 21 DE FEBRERO DE 2013.
ING. PATRICIA LORENA RAMIREZ RANGEL JEFE DEL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE
INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA
Instituto Politécnico Nacional E S I M E
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A mis padres, hermana y
abuelos con mucho amor y
cariño les dedico todo mi
esfuerzo y trabajo puesto
para la realización de esta
Tesis.
Minerva Berenice Alcalá Martínez.
Instituto Politécnico Nacional E S I M E
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A mi madre, por sus enseñanzas e incondicional apoyo.
A mi hermano, por su motivación y confianza.
Ángeles García Francisco.
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Índice Pág.
i. Introducción……………………………………………………..... 7 ii. Justificación……………………………………………………..... 8 iii. Objetivo…………………………………………………………..... 9 Capítulo 1 Teoría del caos, sincronización y método de
Fourier........................................………………………………. 10 1.1 Caos……………………………………………………………..... 11
1.2 Determinismo…………………………………………………….. 12
1.3 Caos determinista……………………………………………….. 12
1.4 Sincronización………………………………………………….... 13
1.4.1 Importancia de la sincronización………………………………. 14
1.5 Análisis de señales por el método de Fourier....................... 14
1.5.1 Serie exponencial de Fourier............................................... 16
1.5.2 Transformada de Fourier..................................................... 19
1.5.3 Propiedad de convolución en el dominio del tiempo............. 23
1.5.3.1 Convolución de una señal con un impulso
unitario .......................................................................... 23
Capítulo 2 Sistemas dinámicos………………………………………...…... 25
2.1 Modelo matemático…………………….……………………….. 26
2.2 Sistemas………………………………………………………..... 27
2.2.1 Sistema no lineal………………………………………………... 28
2.2.2 Sistema complejo……………………………………………….. 29
2.2.3 Sistemas lineales…………………………………………......... 29
2.2.4 Sistemas no lineales………………………………………..….. 30
2.2.5 Sistema determinista……………………………………….…... 31
2.2.6 Sistema dinámico…………………………………………..…... 31
2.3 Espacio de estados……………………………………….….... 32
2.4 Ecuación diferencial…………………………………….……... 32
7
8
9
10
11
12
12
13
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2.5 Reduccionismo………………………………………………........ 33
2.6 Atractor…………………………………………………………..... 33
2.7 Punto fijo…………………………………………………………... 35
Capítulo 3 Implementación del diodo de Chua…………………………...... 36
3.1 El diodo de Chua………………………………………………..... 37
3.2 Análisis del diodo de Chua…………………………………….... 39
3.3 Simulación del diodo de Chua en Pspice…………………….... 41
3.4 Desarrollo experimental………………………………………..... 43
Capítulo 4 Implementación del circuito de Chua………………………...... 46
4.1 Circuito de Chua………………………………………………..... 47
4.2 Simulación del circuito de Chua en Pspice.…………………... 49
4.2.1 Respuesta al impulso del circuito de Chua
obtenida en simulación..............................................................53
4.3 Desarrollo experimental del circuito de Chua………………… 56
4.3.1 Respuesta al impulso del circuito de Chua
obtenida en laboratorio............................................................ 61
Capítulo 5 Aplicación del circuito de Chua en las telecomunicaciones… 63
5.1 Circuito de Chua aplicado en el encriptado y
desencriptado de una señal caótica………....................…….. 64
5.2 Implementación del sistema básico de comunicaciones…… 72
5.3 Pruebas………………………………………………………….. 74
5.4 Consideraciones generales para un buen
funcionamiento del circuito de Chua....................................... 77
Conclusiones………………………………………………………………………….... 84
Bibliografia…………………………………………………… ………………….….... 86
Referencias……………………………………………………………………………... 87
33
33
35
36
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43
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Apéndice A…………………………………………………………………………….... 88
Apéndice B…………………………………………………………………………..….. 97
Apéndice C………………………………………………………………………….…... 99
Apéndice D………………………………………………………………………….…... 103
88
97
99
103
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i. Introducción.
El estudio de los sistemas no lineales en la rama de la ingeniería se había limitado
solamente al aspecto teórico, en la actualidad se ha tomado interés por estudiarlos
de manera más completa, ya sea, llevarlos a la simulación o pasar a un nivel más
complejo, refiriéndonos a su implementación, la cuál es de fácil manejo y
construcción con las herramientas que hoy tenemos al alcance de nuestras manos
gracias a la tecnología, dentro de esta Tesis se desarrolló una de las tantas
aplicaciones que se le puede dar a la teoría del caos, la cuál hace uso de los
sistemas no lineales de un circuito en particular denominado “circuito de Chua”,
empleando recursos electrónicos para su construcción.
En el capítulo uno se abordan los principios básicos de la teoría del caos, partiendo
de simples definiciones de los elementos que conforman dicha teoría, tales como el
determinismo y el caos en si mismo, revisando la sincronización, propiedad
fundamental dentro del circuito de Chua y pieza clave para una transmisión exitosa,
así como el estudio de señales a través del método de Fourier, ya que éste es
fundamental en el tratado de comunicaciones.
Posteriormente el capítulo dos trata los conceptos elementales para comprender la
construcción del diodo de Chua, que consta de un modelo matemático y un sistema
de ecuaciones.
El capítulo tres se enfoca a la implementación de diodo de Chua, ya que se
considera el elemento más importante para el correcto funcionamiento del circuito de
Chua.
Dentro del capítulo cuatro se muestra la construcción del circuito de Chua y la
obtención de la transformada rápida de Fourier (FFT), su respuesta al impulso, su
función de transferencia y el “doble scroll” o atractor de Chua el cuál indica que el
circuito de Chua es un sistema caótico, en base a estos resultados se pudo llevar a
cabo una aplicación mediante un sistema básico de comunicaciones desarrollado
dentro del capítulo cinco.
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ii. Justificación.
Hoy en día se requiere hacer uso de nuevas teorías para la protección de
información dentro de los equipos de comunicaciones, es así que se decidió poner
en práctica lo propuesto por la teoría del caos.
Se decidió implementar un circuito que ayudará en el enmascaramiento de
información a nivel hardware, con esta implementación se comprobó el
comportamiento caótico al simular e implementar una transmisión de datos de forma
segura.
Los resultados obtenidos en la práctica confirman que la teoría que se utilizó puede
trascender fronteras, el uso de estos circuitos como un dispositivo en sí, es de gran
utilidad no limitándonos a las comunicaciones ya que campos de estudio como la
medicina, meteorología, física cuántica y arquitectura entre otros resultarán ser
beneficiados.
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iii. Objetivo.
“Construir e implementar un circuito de Chua para su aplicación en la sincronización
de los sistemas caóticos usados en las telecomunicaciones.”
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CAPÍTULO 1
“Teoría del caos,
sincronización y
método de Fourier”
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Los siguientes conceptos hacen referencia al marco teórico de la teoría del caos y
método de Fourier en los que se fundamenta esta Tesis.
1.1 Caos.
Antítesis del cosmos clásico y, por extensión, todo lo que carece de un orden
discernible. Situación errática en la que toda previsión es imposible.
El caos es la misma esencia del orden [1], si bien establece que cambios diminutos
pueden causar fluctuaciones gigantescas, uno de los conceptos más importantes de
esta ciencia es que aunque resulte imposible predecir exactamente el estado futuro
de un sistema, es algo casi trivial modelar su conducta global [2].
Cualquier sistema que no sea perfectamente aleatorio puede ser caótico [3].
El caos es la conducta efectivamente impredecible a largo plazo, que surge de un
sistema dinámico determinista, la clave para la impredictibilidad a largo plazo radica
en una propiedad que se conoce como sensibilidad a las condiciones iníciales [4].
Para que un sistema dinámico sea caótico debe tener un gran conjunto de
condiciones iníciales que sean altamente inestables, de modo que sin importar con
que precisión se midan, la predicción de su futuro se volverá radicalmente errónea
luego de poco tiempo.
De las observaciones anteriores se establece la teoría del caos, la cuál consiste de
manera muy general, en el estudio de los sistemas complejos siempre cambiantes,
de manera inconstante y aperiódica, que están basados en la recursión y sofisticados
algoritmos matemáticos que se ejecutan a través de un conjunto de ecuaciones
diferenciales sirviendo como modelo a un sistema físico [5].
Trata ciertos tipos de sistemas dinámicos muy sensibles a las variaciones en las
condiciones iníciales. Pequeñas variaciones en dichas condiciones iníciales pueden
implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro; complicando la predicción
a largo plazo. Lo anterior sucede aunque estos sistemas son en rigor determinísticos,
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es decir, su comportamiento puede ser completamente determinado conociendo sus
condiciones iníciales.
1.2 Determinismo.
Movimiento filosófico que pretende establecer la veracidad de que todo hecho o acto
resulta de las causas que lo determinan desde una perspectiva extrema de causa y
efecto.
1.3 Caos determinista.
Se refiere a un comportamiento determinista pero impredecible a largos tiempos, de
sistemas no lineales con muy pocos grados de libertad.
Tres son aquí las palabras clave:
a) Sistemas deterministas. Sistemas descritos, sin ninguna clase de ruido o
fluctuación, por sistemas de ecuaciones diferenciales o por sistemas de
aplicaciones iterativas.
b) Sistemas no lineales. Se trata de sistemas controlados por aplicaciones o
ecuaciones diferenciales no lineales. Esta característica es imprescindible
pues los sistemas lineales no pueden presentar comportamientos Caóticos.
c) No predictibilidad. Aunque un sistema venga descrito por un conjunto de
ecuaciones diferenciales o aplicaciones, se hace necesario conocer un valor
inicial (condiciones iníciales). Y aquí es donde aparece una de las principales
características de esta clase de sistemas: dos puntos iníciales tan cercanos
como se quiera, terminan por evolucionar de forma completamente diferente,
dando lugar a recorridos separados por completo. Esta circunstancia se
conoce como sensibilidad a las condiciones iníciales [6].
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1.4 Sincronización.
Definimos a la sincronización como la satisfacción de restricciones temporales en la
interacción de los procesos. Podemos decir que sincronizar se refiere a que dos o
más elementos, fenómenos, eventos u operaciones sean programados para que
ocurran en un orden y/o momento predefinido de tiempo o lugar.
Los conceptos de sincronización y comunicación se interrelacionan: La comunicación
requiere normalmente sincronización y la sincronización se puede considerar
comunicación sin contenido [7].
Al sincronizar el caos nos referimos a procesos donde dos o más sistemas caóticos
(equivalentes o no equivalentes entre ellos) se ajustan para dar propiedades de
movimiento común debido al acoplamiento o a una fuerza (periódica o ruidosa) [8].
La idea que subyace bajo el fenómeno de sincronización es que dos sistemas
caóticos, que inicialmente evolucionan sobre atractores diferentes, al acoplarse de
algún modo, finalmente siguen una trayectoria común. La sincronización entre dos
sistemas (consultar capítulo 2) se consigue cuando uno de los dos sistemas cambia
su trayectoria a la seguida por el otro sistema o bien a una nueva trayectoria común
a ambos sistemas.
Un factor decisivo dentro de la sincronización es el tipo de acoplamiento, para esta
Tésis y por conveniencia utilizaremos el acoplamiento unidireccional.
El acoplamiento unidireccional consta de un sistema que se subdivide en dos
subsistemas, uno de ellos envuelve y conduce al otro, siendo la respuesta del
sistema esclavizado seguir la dinámica del sistema conductor. Dicho de otro modo,
cuando la evolución de uno de los dos sistemas no es alterada por el acoplamiento,
la configuración resultante es un acoplamiento unidireccional. Este tipo de
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configuración es conocida como maestro-esclavo. Lo cuál resulta óptimo en la
aplicación a comunicaciones seguras.
1.4.1 Importancia de la sincronización.
La sincronía dentro de un sistema de comunicaciones se vuelve crítica conforme la
información a transmitir aumenta, de ahí que nos interese emplear los recursos que
nos brinda la teoría del caos para poder manipularla y obtener un dispositivo
confiable para ser usado dentro de las comunicaciones seguras.
Al existir sincronización se obtiene precisión de la información y la incertidumbre de
tener datos de calidad se reduce, ya que se asegura que los datos intercambiados
entre el transmisor y receptor sean exactos. Se genera la capacidad de detección de
conflictos, por ejemplo, cuando hay algún archivo que no está sincronizado
correctamente (diferentes versiones de ambos lados).
Se eliminan redundancias onerosas en los sistemas y procesos internos. Ya que el
sistema no comparte recursos, no se comunica, no afecta ni es afectado por otros
procesos.
El proceso de sincronización puede hacerse manualmente o automáticamente
utilizando alguna herramienta de software, lo que permite más confiabilidad. Y
aunque en esta Tésis la sincronización solo sea de transmisor a receptor, existe la
posibilidad de compresión de datos, si es que la sincronización se hace a través de
una red.
1.5 Análisis de señales por el método de Fourier.
La idea básica de la serie de Fourier es que toda señal periódica de período
puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo
período , pues la señal de excitación de un sistema esta definida en cada uno de
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sus puntos, por el contrario, la excitación no sinusoidal de un sistema impide
determinar su respuesta.
De ahí que el análisis de Fourier establezca que cualquier señal no sinusoidal
periódica se puede expresar como suma de un número finito o infinito de funciones
sinusoidales.
No esta de más el recordar que el principio de superposición, al que obedecen todos
los sistemas lineales, específica que cuando un sistema queda sometido a un
conjunto de excitaciones, la salida total del sistema (respuesta) es la suma de las
respuestas a cada una de las excitaciones individuales.
En consecuencia, el análisis de Fourier y el teorema de superposición proporcionan
un método para determinar la respuesta de sistemas lineales sometidos a
excitaciones no sinusoidales.
El teorema de Fourier el cuál especifica que cualquier señal periódica se
puede representar en términos de señales sinusoidales en cualquier intervalo
en donde:
Siendo la frecuencia angular de la señal periódica que se forma con base en
en el intervalo , es decir:
Para ( )
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Las constantes y se calculan con:
es el valor promedio de en el intervalo . Es decir, es la
componente de corriente directa de en ese intervalo.
Con esta herramienta podemos analizar una señal periódica en términos de su
contenido frecuencial o espectro, dado lo anterior nos permitirá establecer la dualidad
entre tiempo y frecuencia, de forma que operaciones realizadas en el dominio del
tiempo tienen su dual en el dominio de la frecuencia.
1.5.1 Serie exponencial de Fourier.
La señal es también expresable en términos de componentes exponenciales
en un intervalo :
Considerando las ecuaciones de Euler:
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Retomando la ecuación (1) de una función periódica y sustituyendo en ella
las ecuaciones (5) y (6):
Llamando:
Haciendo referencia a las ecuaciones correspondientes que toman y , y si
toma valores negativos en tanto que , podemos simplificar la
siguiente ecuación:
Sustituyendo las ecuaciones (8), (9) y (10) en la ecuación (7):
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Considerando que:
Obteniendo:
Donde la ecuación (11) es la serie exponencial de Fourier y es el factor de forma.
Para la demostración de considere la expresión obtenida.
Sustituyendo los valores de y , en la expresión:
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Considerando los límites de integración de Fubini:
La serie trigonométrica de Fourier y la exponencial son dos formas diferentes de
expresar la misma serie, ya que los coeficientes de una serie pueden obtenerse a
partir de los coeficientes de la otra, así sumando y restando las ecuaciones
obtenemos:
1.5.2 Transformada de Fourier.
La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una
función (por lo general aperiódica), esta comprende todas las frecuencias contenidas
en todos los tiempos en que existió la señal.
Considerando la serie exponencial de Fourier y que se
puede observar en la figura 1.1 como pasamos de una señal periódica a una
señal aperiódica .
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Figura. 1.1. Si consideramos podemos pasar de una señal
periódica a una señal aperiódica.
La transformada de Fourier presenta un espectro continuo de frecuencia para toda la
función. Por tanto, es más fácil saber sobre que ancho de banda se concentra la
energía de una señal analizándola en el dominio de la frecuencia.
Considerando las ecuaciones (11) y (12):
Sustituyendo el factor de forma en la serie exponencial de Fourier:
Y como:
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Implica que:
Al sustituir este valor de en la ecuación (13) tenemos:
A medida que aumenta aparecen más armónicas en el espectro y, en el límite
cuando , el espectro se convierte en función continua de , que
ahora se transforma en variable continua, es decir , y así:
En resumen cuando :
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Considerando todo lo anterior, la ecuación (15) y sustituyendo en la ecuación (14)
tendremos:
Se obtuvo:
En la ecuación (17) la constituye el espectro de frecuencias de ; se le
llama función de densidad espectral o simplemente espectro de y
matemáticamente se conoce como la transformada directa de Fourier de .
La ecuación (18) es la transformada inversa de Fourier de , es decir es la
transformada inversa de Fourier de . Las ecuaciones (17) y (18) se conocen
como par de transformadas de Fourier; simbólicamente se les representa por:
De esta manera:
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1.5.3 Propiedad de convolución en el dominio del tiempo.
Convolución es un proceso matemático el cuál permite obtener de manera estricta y
sencilla la solución real a la interacción de dos señales en el tiempo y en el espacio.
Esta interacción produce una tercera señal la cuál esta conformada por
características de ambas señales originales.
Dadas dos señales:
y
La operación convolución entre ellas se define de la siguiente manera.
Considerando que:
Entonces:
Que corresponde a:
Hablar de la convolución en el tiempo es hablar de la multiplicación de los espectros
de frecuencia.
1.5.3.1 Convolución de una señal con un impulso unitario
Tomando en cuenta que:
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Empleando el teorema de convolución en el tiempo:
Observamos que la convolución de la función impulso unitario con cualquier
señal reproduce la misma señal .
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CAPÍTULO 2
“Sistemas
dinámicos”
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Para respaldar que la teoría del caos parte de un sistema determinista y predecible a
largo plazo, se tomaron en cuenta los siguientes conceptos.
2.1 Modelo matemático.
Un modelo es una representación ideal de un sistema y la forma en que este opera.
El objetivo es analizar el comportamiento del sistema o bien predecir su
comportamiento futuro. Obviamente los modelos no son tan complejos como el
sistema mismo, de tal manera que se hacen las suposiciones y restricciones
necesarias para representar las porciones más relevantes del mismo. Claramente no
habría ventaja alguna de utilizar modelos si estos no simplificaran la situación real.
En muchos casos podemos utilizar modelos matemáticos que, mediante letras,
números y operaciones, representan variables, magnitudes y sus relaciones.
Obtenemos un modelo a partir de una abstracción de un sistema real eliminando las
complejidades y haciendo suposiciones pertinentes, se aplica una técnica
matemática y se obtiene una representación simbólica del mismo, como se observa
en la siguiente figura.
Figura. 2.1. Construcción de un modelo a través de un sistema real.
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Se utiliza para analizar el comportamiento de sistemas complejos ante situaciones
que resultan difíciles de observar en la realidad.
Los modelos constituyen una traducción de la realidad física para posibilitar la
aplicación de los instrumentos y las técnicas de las teorías matemáticas en el estudio
del comportamiento de sistemas complejos. Siguiendo el camino inverso, pueden
traducirse los resultados numéricos a la realidad física.
Los modelos matemáticos pueden dividirse en:
a) Deterministas. Son aquellos en los que no hay incertidumbre respecto a la
forma del resultado y los datos utilizados son completamente conocidos y
determinados.
b) Estocásticos. Son modelos probabilísticos, ya que no se conoce el resultado
esperado si no su probabilidad.
Respecto a la función del origen de la información utilizada, los modelos matemáticos
pueden clasificarse en:
a) Heurísticos. Se basan en las explicaciones sobre las causas o mecanismos
naturales que dan lugar al fenómeno estudiado.
b) Empíricos. Se basan en las observaciones directas o los resultados de
experimentos del fenómeno estudiado.
2.2 Sistemas.
Vamos a considerar que un sistema es una representación matemática de una
entidad física que ante el estímulo de una o varias magnitudes físicas (señales)
ofrece como respuesta otras magnitudes (señales).
Un sistema es una combinación de varias entidades, físicas y/o lógicas, integradas
entre si para ejecutar una función concreta.
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Un sistema puede ser físico o concreto (una computadora, un televisor, un humano)
o puede ser abstracto o conceptual (un software).
Ahora bien, los sistemas pueden clasificarse en función de que cumplan o no
determinadas propiedades:
a) Memoria. Un sistema es sin memoria cuando la salida en un determinado
instante no depende de valores pasados ni futuros de la entrada. Se dice que
el sistema tiene memoria cuando no cumple esta propiedad.
b) Causalidad. Es también llamado Anticipativo cuando la salida en un
determinado instante no depende de valores futuros de entrada.
c) Invertibilidad. Es Invertible cuando siempre es posible recuperar la entrada al
sistema conociendo la salida.
d) Estabilidad. Existen varios criterios de estabilidad, el más utilizado en el
estudio de sistemas es el denominado “entrada acotada, salida acotada”, es
decir el sistema es estable sí para una entrada dada existe una salida dada.
e) Linealidad. Es lineal si cumple con las condiciones de superposición.
f) Invarianza. El sistema es invariante, o dicho de otra manera invariante en el
tiempo, si el comportamiento del sistema no depende del instante en que se le
aplique la excitación.
2.2.1 Sistema no lineal.
Es aquel que exhibe una desviación de toda correspondencia funcional de
proporcionalidad directa; es decir, aquel en el que las respuestas no son
directamente proporcionales a una variable dada o cuando las interrelaciones entre
las cantidades implicadas se expresan mediante ecuaciones, algunas de las cuales
no son lineales.
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2.2.2 Sistema Complejo.
Es aquel que está compuesto por muchas partes y, de hecho, en el campo de las
matemáticas se conoce como teoría de la complejidad, está integrado por una gran
cantidad de temas complementarios traslapados entre sí; se podría decir que es un
sistema con muchos grados de libertad no equivalentes entre si y, a diferencia del
caos que es el estudio de cómo los sistemas simples pueden generar conductas
complicadas, la complejidad es el estudio de cómo los sistemas complejos pueden
generar conductas sencillas , lo que quedaría ejemplificado por la sincronización de
los sistemas biológicos desde las luciérnagas hasta las neuronas .
Cada sistema existe dentro de otro más grande, por lo tanto un sistema puede estar
formado por subsistemas y partes, y a la vez puede ser parte de un súper sistema.
2.2.3 Sistemas lineales.
En matemáticas una función lineal es aquella que satisface las siguientes
propiedades.
Aditividad:
Homogeneidad:
Estas dos reglas tomadas en conjunto se conocen como principio de superposición.
La linealidad de un sistema permite a los investigadores hacer ciertas suposiciones
matemáticas y aproximaciones, permitiendo un cálculo más sencillo de los
resultados.
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Para poder resolver cualquier ecuación se necesita decidir en que espacio
matemático se encuentra la solución. Podría ser un número real, un vector o, tal vez,
una función con algunas propiedades.
Las soluciones de ecuaciones lineales pueden ser generalmente descritas como una
superposición de otras soluciones de la misma ecuación. Esto hace que las
ecuaciones lineales sean fáciles de resolver.
2.2.4 Sistemas no lineales.
Los sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es
expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Más
formalmente, un sistema físico, matemático o de otro tipo es no lineal cuando las
ecuaciones de movimiento o evolución que regulan el comportamiento del sistema
son no lineales. En particular, el comportamiento de sistemas no lineales no está
sujeto al principio de superposición, como lo es un sistema lineal.
Ya que los sistemas no lineales no son iguales a la suma de sus partes, usualmente
son difíciles (o imposibles) de modelar, y sus comportamientos con respecto a una
variable dada (por ejemplo, el tiempo) es extremadamente difícil de predecir.
Algunos sistemas no lineales tienen soluciones exactas o integrables, mientras que
otros tienen comportamiento caótico, por lo tanto, no se pueden reducir a una forma
simple ni se pueden resolver. Un ejemplo de comportamiento caótico son las olas
gigantes. Aunque algunos sistemas no lineales y ecuaciones de interés general han
sido extensamente estudiados, la vasta mayoría son pobremente comprendidos.
Las ecuaciones no lineales son de interés en física y matemáticas debido a que la
mayoría de los problemas físicos son implícitamente no lineales en su naturaleza.
Las ecuaciones no lineales son difíciles de resolver y dan origen a interesantes
fenómenos como la teoría del caos.
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Las ecuaciones no lineales son mucho más complejas, y mucho más difíciles de
entender por la falta de soluciones simples superpuestas. Para las ecuaciones no
lineales las soluciones generalmente no forman un espacio vectorial y, en general, no
pueden ser superpuestas para producir nuevas soluciones. Esto hace el resolver las
ecuaciones mucho más difícil que en sistemas lineales.
2.2.5 Sistema determinista.
En este sistema el azar no está involucrado en los futuros estados de éste. Es decir,
si se conoce el estado actual del sistema, las variables de ambiente y el
comportamiento del sistema ante los cambios, entonces está totalmente determinado
por el estado futuro del sistema.
Un sistema físico es determinista sí, dado las mismas condiciones experimentales,
repite siempre la misma conducta. En forma más precisa, su conducta es una
sucesión de valores de un conjunto de variables dinámicas que aparecen en el
transcurso del tiempo y que especifican el estado del sistema en cada instante t. Si el
conjunto inicial de estas variables dinámicas es el mismo cada vez, el sistema bajo
estudio experimental pasará siempre por la misma sucesión de valores (evolución
temporal). En términos matemáticos, se le puede asociar al sistema un espacio de
estados y la evolución temporal es una curva si la variación ocurre de manera
continua, o de puntos cuando los cambios son discretos.
En estos casos se recurre a una estructura matemática que se llama sistema
dinámico y se dice que el modelo sigue una evolución determinista. Técnicamente,
se utilizan para la descripción las ecuaciones diferenciales ordinarias y las
ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
2.2.6 Sistema dinámico.
Es un sistema cuyo estado evoluciona con el tiempo. El comportamiento en dicho
estado se puede caracterizar determinando los límites del sistema, los elementos y
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sus relaciones; de esta forma se puede elaborar modelos que buscan representar la
estructura del mismo sistema.
Al definir los límites del sistema se hace, en primer lugar, una selección de aquellos
componentes que contribuyan a generar los modos de comportamiento, y luego se
determina el espacio donde se llevará a cabo el estudio, omitiendo toda clase de
aspectos irrelevantes.
Formalmente un sistema dinámico es el objeto matemático formado por un espacio
de estados y una regla que prescribe como varían estos estados a lo largo del
tiempo.
2.3 Espacio de estados.
Se refiere al espacio de n-dimensiones cuyos ejes coordenados están formados por
variables de estado. El estado del sistema puede ser representado como un vector
dentro de ese espacio.
2.4 Ecuación diferencial.
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o
más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes
respecto de las que se deriva.
Una ecuación diferencial es una relación entre una función y una o varias de sus
derivadas sucesivas. Desafortunadamente no existe un método único para
solucionarlas.
Las ecuaciones diferenciales aparecen en modelos matemáticos que tratan de
describir situaciones de la vida real. Así, muchas leyes naturales pueden ser
traducidas al lenguaje matemático mediante ecuaciones que envuelven derivadas,
como en física, donde la velocidad y la aceleración aparecen como derivadas; en
biología, la derivada se utiliza como una razón de crecimiento de poblaciones; en
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química, como rapidez de reacciones, las ecuaciones diferenciales son muy
utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos
físicos, entre otros más.
En diversos modelos matemáticos, para obtener una ecuación diferencial que
describa un problema real, se asume que la situación se rige por leyes simples. Una
vez que se construye el modelo en forma de ecuación diferencial, lo que viene es
solucionarla y con estas soluciones, se hacen predicciones relativas al
comportamiento del problema en cuestión.
2.5 Reduccionismo.
El reduccionismo indica que todo el resto de la realidad, no es finalmente más
que partículas en movimiento.
2.6 Atractor.
Se define como el punto ubicado dentro de un espacio n-dimensional que genera una
fuerza de atracción hacia si mismo, a partir de un campo infinito y cuyo grado de
atracción, depende de determinada función de la distancia.
Es el conjunto al que el sistema evoluciona después de un tiempo suficientemente
largo. Para que el conjunto sea un atractor, las trayectorias que le sean
suficientemente próximas han de permanecer próximas incluso si son ligeramente
perturbadas.
Geométricamente, un atractor puede ser un punto, una curva, o una variedad.
La trayectoria del sistema dinámico en el atractor no tiene que satisfacer ninguna
propiedad especial excepto la de permanecer en el atractor; puede ser periódica,
caótica o de cualquier otro tipo.
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El punto fijo y el ciclo límite son atractores simples o clásicos. Cuando los conjuntos
son complicados de describir, nos encontramos ante un atractor extraño.
Los atractores, son patrones en un espacio matemático que describen el
comportamiento de los sistemas a lo largo de su recorrido. Los atractores dibujan los
distintos tipos de comportamientos que pueden tener lugar en un sistema teniendo
en cuenta las condiciones que afectan a ese sistema. De alguna manera capturan las
soluciones, también llamadas órbitas, del sistema.
A la transición de un atractor a otro se le llama bifurcación. En la teoría del caos, los
sistemas dinámicos se estudian a partir de su "espacio de fases", es decir; la
representación coordenada de sus variables dependientes.
Existen algunos tipos de atractores:
a) Atractor de punto fijo. Corresponde al más simple, el sistema que cuente con
este tipo de atractor tenderá a estabilizarse en un único punto. Un ejemplo
común es el péndulo, que tiende al punto en el que el ángulo es nulo respecto
a la vertical.
b) Atractor de ciclo límite o atractor periódico. Este tipo de atractor tiende a
mantenerse en un periodo igual para siempre.
c) Atractor caótico. Aparece en sistemas no lineales que tienen una gran
sensibilidad a las condiciones. Un famoso ejemplo de estos atractores es el
atractor de Lorenz.
d) Atractores extraños. Punto que ejerce una fuerza de atracción radial de
manera no lineal y genera una cuenca orbital que produce trayectorias
aperiódicas e irregulares en los objetos que caen dentro de su horizonte de
influencia.
Son trayectorias (órbitas) en el espacio de fases hacia las que suelen tender
todas las trayectorias normales. Los atractores extraños suelen tener formas
geométricas caprichosas, y en muchos casos parecidos o similitudes a
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diferentes escalas. A estas formas que son iguales a sí mismas en diferentes
escalas se les llama "objetos fractales".
Los atractores extraños tiene algunas propiedades: las trayectorias
permanecen confinadas en una región del espacio de fases pero se separan
de sus vecinas a velocidad exponencial.
El mecanismo básico que subyace bajo esta dinámica es conocido como
“estiramiento y plegado” (stretching and folding), en un atractor extraño el flujo
típicamente estira los volúmenes y luego los pliega sobre sí mismo. Este
proceso genera como veremos una dependencia sensible respecto
condiciones iníciales.
2.7 Punto fijo.
También conocido como punto de equilibrio, es el punto correspondiente al estado
del sistema que permanece constante en el tiempo.
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CAPÍTULO 3
“Implementación
del diodo de Chua”
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Una vez presentadas las bases teóricas se dio paso a la implementación del diodo
de Chua.
3.1 El diodo de Chua.
Dentro del desarrollo de los sistemas caóticos existen varios tipos de circuitos
desarrollados para la generación de caos, entre ellos el circuito de Chua, el cuál se
muestra en la siguiente figura.
Figura. 3.1. Diagrama eléctrico del circuito de Chua.
El circuito de Chua es el sistema caótico con mayor facilidad de implementación
(consultar apéndice D), como podemos observar en la Figura 3.1, es un circuito
simple, autónomo y de tercer orden. El circuito de Chua esta formado por elementos
pasivos no lineales, un inductor o bobina (L), dos condensadores o capacitores (C1 y
C2) y un resistor (R).Pero dentro del diagrama del circuito se observa que existe otro
componente que junto con los demás elementos constituyen el circuito de Chua. El
componente antes mencionado es el elemento activo no lineal que es alimentado por
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alguna fuente externa de potencia al que llamamos diodo de Chua (NR; non linear
resistor) o memristor, que es el elemento más importante.
El comportamiento de NR es descriptible a través de una aproximación a segmentos
como una curva de transferencia. Podemos también, llamar a esta curva como una
respuesta de corriente contra voltaje no lineal. Debido a la implementación de este
diodo también llamado resistor activo se da lugar a una curva cuya pendiente es
negativa. Aunque diversos estudios han arrojado resultados en los que la curva de
transferencia puede tener muchas formas, el circuito original de Chua nos especifica
una curva impar o línea por partes, esto es de tres segmentos como se observa en la
siguiente figura.
Figura. 3.2. Muestra de la curva característica de la función lineal (Curva de transferencia del
diodo de Chua).
Para tener una versión más simple y práctica en la implementación electrónica se
consideró utilizar el enfoque propuesto en la referencia [9], debido a que la
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implementación del elemento NR requiere solo de amplificadores operacionales
(consultar apéndice A) y resistores como se observa a continuación.
Figura. 3.3. Síntesis del elemento no lineal NR en el circuito de Chua.
3.2 Análisis del diodo de Chua.
Observemos que el circuito sustituye la resistencia no lineal NR o memristor, se
tienen que tomar en cuenta tres puntos de funcionamiento del amplificador
operacional para el análisis del diodo:
Saturación negativa
Comportamiento lineal
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Saturación positiva
Donde es el voltaje de entrada del amplificador y el voltaje de offset. Tomando
en cuenta que el amplificador operacional tiene una entrada máxima de voltaje, por lo
tanto, consideramos lo siguiente:
Multiplicamos la ecuación (25) por :
Obtenemos:
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Para voltaje máximo de salida:
3.3 Simulación del diodo de Chua en Pspice.
Se estudió el comportamiento del diodo de Chua para ser empleado como circuito
generador de caos. El software Pspice es complejo pero a su vez más exacto en
simulaciones y modelados debido a ello se decidió utilizar dicho software.
Los valores y cantidades de elementos utilizados se muestran a continuación en la
tabla 1, dichos valores tomados para representar no linealidad fueron recomendados
en la referencia [10].
Elemento Valor
OPAM 1, OPAM 2 TL082
R1, R2 220 Ω
R3 1.8 kΩ
R4, R5 22 kΩ
R6 3.3 KΩ
RS 1000 Ω
VSIN 1 10 V,31 Hz
VDC 2 15 V
VDC 3 -15 V
Tabla 1. Valores correspondientes a los elementos empleados para la simulación del diodo de
Chua.
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Para comprobar el comportamiento del diodo de Chua y obtener su curva
característica (Figura. 3.2) el prototipo se simuló inyectando una fuente sinusoidal, el
arreglo experimental para medir dicha curva también funciona en la simulación.
Se aplica un voltaje Vs de una función sinusoidal al circuito en serie compuesto por
una resistencia sensible Rs, y el diodo de Chua o elemento no lineal NR, se
recomienda alimentar al TL082 con 15 V como se observa en la siguiente figura.
Figura. 3.4. Circuito utilizado para la simulación en Pspice del diodo de Chua.
La resistencia sensible Rs fue utilizada para poder medir la corriente IR que fluye por
todo el diodo cuando se aplica un voltaje a sus terminales. Por comodidad Rs es
igual a 1000Ω ya que y esta dada en mA.
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En la siguiente figura se observa la curva característica del diodo de Chua obtenida
por medio de la simulación con el circuito de la figura 3.4.
Figura. 3.5. Curva característica del diodo de Chua obtenida en la simulación.
3.4 Desarrollo experimental.
En base a los resultados obtenidos en la simulación se permitió determinar la
factibilidad del armado de dicho circuito y se llevó a cabo el arreglo experimental del
prototipo (Figura. 3.6), conectando el circuito con las mismas condiciones utilizadas
en la simulación.
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Figura. 3.6. Desarrollo experimental del diodo de Chua.
Como ya se mencionó anteriormente este diodo NR o memristor tiene una respuesta
de corriente contra voltaje no lineal, esta es su principal característica,
experimentalmente obtuvimos una curva impar, que tiene forma lineal por partes de
tres segmentos (Figura. 3.7).
Las variables de estado son los voltajes en el condensador uno, condensador dos y
la corriente a través del diodo de Chua [11].
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Figura. 3.7. Curva característica del diodo de Chua obtenida en el laboratorio.
Al comparar las tres curvas: teórica (Figura. 3.2), simulada (Figura. 3.5) y
experimental (Figura. 3.7), la similitud en ellas es grande, pero si se observa
detalladamente la pendiente negativa del lado derecho de la figura 3.7 se puede ver
que no es totalmente recta y tiende a tomar una forma de curva, esto se debe a que
en la práctica los elementos y dispositivos no son ideales y en la teoría y la
simulación si lo son.
De esta forma se comprobó que los resultados obtenidos en la implementación
corresponden a los resultados en simulación y teoría.
Con el circuito llevado a la práctica confirmamos que el diodo de Chua funciona
correctamente para poder emplearlo como componente no lineal y generador de
caos dentro del circuito de Chua.
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CAPÍTULO 4
“Implementación
del circuito de
Chua”
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Ya analizado el diodo de Chua se dio paso a implementar el circuito de Chua
haciendo las pruebas pertinentes para corroborar su funcionamiento.
4.1 Circuito de Chua.
El circuito de Chua del cuál ya se describió su estructura física en el capítulo anterior
es un circuito muy manipulable en el estudio de los sistemas no lineales ya que es
autónomo, lo que significa que no es necesario que lo alimentemos con fuentes de
A.C, para que produzca un comportamiento caótico, solo es necesaria una fuente
sinusoidal para polarizarlo.
Cabe mencionar que presenta una gran dependencia a las condiciones iníciales
como valores de los elementos y voltajes de entrada.
El circuito esta formado por dos partes como se muestra en la siguiente figura.
Figura. 4.1. Partes que conforman el circuito de Chua: A) oscilador amortiguado; B) elemento
no lineal.
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La parte A la llamaremos oscilador amortiguado ya que esta formada por elementos
pasivos, condensadores, resistores y bobinas. La parte B es el elemento no lineal
denominado diodo de Chua o memristor. Este elemento actúa como una fuente de
energía de todo el circuito, su función es retroalimentarlo y mantenerlo oscilando [10].
El análisis del diodo de Chua el cuál arroja un sistema de tres ecuaciones autónomas
fue tomado de la referencia [10] dichas ecuaciones se muestran a continuación.
Con estas ecuaciones verificamos por medio de la corriente en la resistencia de
pendiente negativa que:
De esta manera observamos que y son los módulos de cada pendiente que
se aprecian en la figura 3.2.
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4.2 Simulación del circuito de Chua en Pspice.
Una vez que el diodo de Chua simulado en el capítulo 3 funcionó correctamente
procedimos a conectarlo al circuito de Chua, para llevar acabo la simulación en
conjunto.
Cabe mencionar que se conecto a una fuente sinusoidal de 15V para que en la
pantalla arrojada por Pspice la imagen sea clara y se pueda observar en forma
correcta, este circuito se muestra en la siguiente figura.
Figura. 4.2. Simulación del circuito de Chua.
Los valores para simular la parte A del circuito de Chua fueron recomendados en la
referencia [10] y se muestran en la tabla 2.
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Elemento Valor
C1 10 n
C2 100 n
L1 18 mH
Rs 1750Ω
Tabla 2. Valores correspondientes a los elementos empleados para la simulación de la parte A
del circuito de Chua.
Las curvas o señales obtenidas (Figura 4.3) corresponden a los valores de voltajes
del C1 ( ) y C2 ( ).
La señal de color azul muestra y la señal de color amarillo muestra
obtenidas en el dominio del tiempo.
Figura. 4.3. Señales obtenidas en el C1 y C2 de la simulación del circuito de Chua.
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Posteriormente obtuvimos las señales en el dominio de la frecuencia (Figura 4.4 y
Figura 4.5) sabiendo que Pspice es capaz de obtener este espectro de una forma
sumamente sencilla.
Simplemente se debe simular la variable seleccionada (en nuestro caso el voltaje en
cada uno de los capacitores) y presionar el botón de transformada rápida de Fourier
(FFT), de inmediato la gráfica se transformará en una señal cuyos puntos máximos
muestran en el eje Y la magnitud de cada onda y en el eje X la frecuencia de dicha
onda.
Figura. 4.4. Transformada rápida de Fourier (FFT) de .
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Figura. 4.5. Transformada rápida de Fourier (FFT) de .
Podemos observar en la figura 4.2 que Rs tiene un valor de 1750Ω, es importante
mencionar que esta resistencia es variable y que este valor es el adecuado para que
junto con las condiciones iniciales el circuito de Chua nos arroje la mejor respuesta
de caos.
Para demostrar esto, la simulación tiene que ser vista en modo XY con las mismas
condiciones que en la simulación en dominio del tiempo, en Pspice a esto se le
conoce como barrido en DC.
Debido a que el barrido en DC aplica como entrada una variable en DC, por lo que,
algunos circuitos que responden a la frecuencia (los que tengan componentes
capacitivos y/o inductivos) no pueden ser adecuadamente estudiados con este
método [11].
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Por esta razón se tomó como imagen del doble scroll la siguiente figura.
Figura. 4.6. Doble scroll o atractor de Chua [12].
4.2.1 Respuesta al impulso del circuito de Chua obtenida en simulación.
Como se estudio en el capítulo uno, la convolución entre la función impulso unitario y
cualquier otra señal tiene como resultado la misma señal, es así como al
implementar un tren de impulsos en la entrada del circuito de Chua se logró conocer
tanto la respuesta al impulso (Figura. 4.8) como la función de transferencia (Figura.
4.9) del circuito de Chua.
Para ello al circuito de simulación (Figura 4.2) se le modificó la fuente de 15V por una
fuente de pulsos cuadrados, como podemos observar en la figura 4.7.
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Figura. 4.7. Circuito de Chua con un tren de impulsos para obtener su función característica.
Es importante mencionar que para que el tren de pulsos cuadrados se aproxime a un
tren de impulsos es necesario que la duración de cada pulso cuadrado sea lo mas
pequeño posible.
Debido a lo anterior se tuvieron que ajustar los parámetros de la simulación, donde
TR: el tiempo que tarda la onda en subir, TF: el tiempo que tarda la onda en bajar y
PW: el tiempo que tarda la onda en estado alto, deben ser completamente iguales y
lo más pequeñas que se puedan, por ello decidimos colocar 1µs como valor de
estos.
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Figura. 4.8. Respuesta al impulso del circuito de Chua.
Si a esta misma gráfica la observamos en el dominio de la frecuencia podemos
obtener su función de transferencia.
Figura. 4.9. Función de transferencia del circuito de Chua.
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4.3 Desarrollo experimental del circuito de Chua.
Manejando las mismas condiciones que en la simulación se llevo acabo la
implementación del diodo del circuito de Chua, primero se construyó un prototipo en
protoboard el cuál se muestra en la figura siguiente.
Figura. 4.10. Prototipo del circuito de Chua en protoboard.
Nuevamente se demostró que el circuito de Chua funciona correctamente ya que se
obtuvieron los mismos resultados vistos previamente en la simulación, la señal de
color azul muestra y la señal de color amarilla muestra (Figura 4.11).
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Figura. 4.11. Señales obtenidas de la implementación del circuito de Chua.
Por medio de la herramienta de la transformada rápida de Fourier (FFT) del
osciloscopio se obtuvieron las señales en el dominio de la frecuencia de
(Figura 4.12) y (Figura 4.13) tal y como se realizó en la simulación.
Figura. 4.12. Transformada rápida de Fourier (FFT) de .
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Figura. 4.13. Transformada rápida de Fourier (FFT) de .
Como ya se mencionó en el capítulo dos, los atractores extraños son aquellos
atractores que exhiben una dependencia extremadamente grande a las condiciones
iniciales o mejor dicho dependen de estas, todas las trayectorias que se encuentren
o comiencen en un atractor extraño se separan de forma exponencial.
El atractor puede considerarse extraño (Figura. 4.6) si el punto ejerce una fuerza de
atracción radial de manera no lineal y genera una cuenca orbital que produce
trayectorias aperiódicas e irregulares en los objetos que caen dentro de su horizonte
de influencia [13].
El circuito de Chua como ya se mostró es un circuito caótico el cual genera como
respuesta un atractor de nombre “atractor de Chua”.
La principal característica del comportamiento caótico es que presenta extrema
sensibilidad a las condiciones iniciales.
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De la misma manera que en la simulación, la forma de corroborar que estamos en
las condiciones óptimas para generar caos es viendo el modo XY en el osciloscopio.
En esta ocación fue posible obtener el atractor de Chua o doble scroll, el cuál se
muestra en la siguiente figura.
Figura. 4.14. Doble scroll o atractor de Chua obtenido en el laboratorio .
Como ya se mencionó la figura anterior es obtenida mediante la medición en C1 y C2
en modo XY del osciloscopio.
Observamos que el sistema evoluciona con respecto al tiempo, teniendo dos polos
(extremo del eje de rotación de una esfera o cuerpo redondeado; extremos o bordes
de un circuito, en este caso gráfica; punto, persona o cosa hacia donde se dirige la
atención) y trayectorias que parecieran estar encimadas o remarcadas, pero no es
así.
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Observemos que la trayectoria se detiene en un punto, permanece invariante hasta
que una perturbación física lo modifique, en nuestro caso la perturbación física esta
dada por el valor del potenciómetro.
A medida que se llega a un valor (1750 Ω) donde las oscilaciones con un mismo
plano de fase muestran una ruta caótica (Figura 4.14).
Esto significa que hay aparición de caos en el sistema o circuito, no es posible
cuantificar las orbitas ya que no se distinguen de manera clara, pero si sabemos que
están oscilando y manteniendo su fase (estados sucesivos de un sistema en
evolución, tienen la misma intensidad pero retrasadas en el tiempo una respecto de
la otra).
Para la figura 4.14 se encuentra el comportamiento dinámico y el plano de fases para
las condiciones donde el circuito de Chua genera caos.
La gráfica que representa el comportamiento del circuito de Chua (Figura 4.6), se
compone de tres señales correspondientes a cada uno de los planos(X, Y, Z).
X toma el valor del voltaje a través del capacitor C1, Y es el valor del voltaje a través
del capacitor C2, y Z representa el valor de la corriente a través de la bobina
(inductor).
La corriente de la bobina determina la trayectoria y el comportamiento de los
primeros valores del doble scroll en el tiempo, debido a esto se observó como el
sistema se acopla a las dos frecuencias de corte (orbitas).
En los primeros milisegundos de encendido, las trayectorias se forman en
oscilaciones temporales, establecen una circunferencia en un punto de frecuencia, e
inmediatamente trascienden hacia otro punto de corte.
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61 | Página
4.3.1 Respuesta al impulso del circuito de Chua obtenida en laboratorio.
Para confirmar que la implementación del circuito de Chua arrojó los mismos
resultados que la simulación se decidió obtener la respuesta al impulso (Figura 4.15)
del circuito de Chua en el laboratorio tal y como se realizó en la simulación, los
resultados se muestran a continuación.
Figura. 4.15. Respuesta al impulso del circuito de Chua.
Una vez obtenida la respuesta al impulso del circuito de Chua podemos obtener su
función característica (Figura 4.16), apoyándonos nuevamente de la misma
herramienta en el osciloscopio, la transformada rápida de Fourier (FFT) de igual
manera que se hizo en la simulación.
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Figura. 4.16. Función característica del circuito de Chua.
Comparando la figura 4.8 con la figura 4.15 y la figura 4.9 con la figura 4.16 se
observa que tenemos una similitud entre ellas, y si se encuentra un poco de
diferencia es debido a que en la simulación se obtuvo un resultado ideal y en
laboratorio un resultado real, con ello se confirmó una vez más que el circuito de
Chua funciona correctamente, y así se obtuvo la función característica de nuestro
circuito para conocer su respuesta en función del tiempo y de la frecuencia.
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63 | Página
CAPÍTULO 5
“Aplicación del
circuito de Chua en
las
telecomunicaciones”
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64 | Página
5.1 Circuito de Chua aplicado en el encriptado y desencriptado de una señal
caótica. En el capítulo anterior se mencionó que el circuito de Chua es de gran utilidad para
producir una señal caótica (cuando obtenemos el doble scroll), esta señal se usa en
la transmisión segura de la información.
El siguiente diagrama a bloques muestra el sistema lineal básico de comunicaciones,
el cual se conforma de un transmisor (Tx), un canal (r (t)) y un receptor (Rx).
Figura. 5.1. Sistema lineal básico de comunicaciones.
La señal caotica se pasa por un buffer para que no se atenue, a esta señal se le
suma la señal del mensaje ( ) una vez sumadas se pasan a
traves de un inversor para que al ser enviadas no cambien su fase. En el receptor
observamos que se tiene un circuito de Chua similar al del transmisor, esto es
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65 | Página
necesario para que la sincronización exista y con ello la señal del receptor se
acople perfectamente con la del transmisor . Al recibir la señal se pasa por
otro circuito similar al del transmisor y después se separan comprobando que se
obtiene la señal tal y cuál se envió.
Cabe resaltar que la transformada de Fourier de la señal es
de suma importancia para corroborar si el circuito del sistema básico de
comunicaciones funciona correctamente, si tomamos la señal:
Y calculamos su trasformada de Fourier (para revisar la transformada de Fourier
algunas señales útiles consultar apéndice B).
Para fines analíticos diremos que, y de tal manera que:
De la cuál su representación geométrica se muestra en la siguiente figura.
Figura. 5.2. Representación geométrica de un seno perpetuo en el tiempo.
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Ya que la función es un seno perpetuo no cumple con la propiedad de
integrabilidad (ya que no es finita):
Por lo tanto, no podemos usar la integral de Fourier para encontrar la transformada
de la función seno perpetuo de la señal.
Para poder usar la integral de Fourier será necesario multiplicar la señal seno
perpetuo por un pulso cuadrado que tenga las siguientes características.
Pulso cuadrado
Del cuál su representación geométrica se presenta en la siguiente figura.
Figura. 5.3. Representación geométrica de un pulso cuadrado (ventana).
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Con ello nuestra función cumplirá con la propiedad de integrabilidad (la señal es
finita) por lo que ahora, calcularemos la transformada de Fourier de la siguiente
señal.
Su representación geométrica la podemos observar a continuación.
Figura. 5.4. Representación geométrica de un seno limitado en el tiempo.
Por lo tanto:
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Sustituyendo a la función seno con las ecuaciones de Euler utilizadas en el capítulo
1:
Factorizando:
Aplicando el límite:
Factorizando el signo (-):
Considerando nuevamente la formula de Euler:
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Sustituimos la función seno por la función
:
Acomodando la ecuación:
Así la ecuación (43) es la transformada de Fourier de un seno limitado en el tiempo.
Para conocer los parámetros que caracterizan la señal se considera que:
Entonces:
Para conocer los nulos de la función:
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Por lo tanto:
Podemos observar la representación geométrica del espectro de la ecuación (43) en
la siguiente figura.
Figura. 5.5. Representación geométrica del espectro de la transformada de Fourier un seno
limitado en el tiempo.
Considerando la siguiente igualdad:
(Seno perpetuo)
De tal manera que si aplicamos el límite a la ecuación (43):
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La representación gráfica de la ecuación (44) se muestra a continuación:
Figura. 5.6. Representación geométrica del seno perpetuo.
Por lo tanto, graficando el valor absoluto de la transformada de Fourier tendremos:
Figura. 5.7. Representación geométrica de la magnitud del seño perpetuo.
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Considerando que la transformada de Fourier es puramente imaginaria, es necesario
calcular el espectro de fase Vs frecuencia (Figura. 5.8), por lo tanto:
Figura. 5.8. Espectro de fase vs frecuencia de un seno perpetuo.
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5.2 Implementación del sistema básico de comunicaciones.
Previamente realizados los circuitos de Chua, se pasó a construir el prototipo del
sistema lineal básico de comunicaciones, de igual manera que se realizó el diodo y el
circuito de Chua primero probamos el prototipo en protoboard como se muestra en la
siguiente figura.
.
Figura. 5.9. Prototipo del sistema.
Debido a que se presentaron problemas en el momento de conectar el circuito de
Chua con el sistema básico de comunicaciones por que se tenían bastantes cables,
se decidió que para una mejor manipulación y presentación los circuitos fueran
llevados a Pcb (consultar apéndice C).
Una vez diseñado el Pcb de cada circuito se prosiguió a llevarlos a su
implementación como se muestra en la figura 5.10.
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Figura. 5.10. Pcb de cada uno de los circuitos.
5.3 Pruebas
Se decidió una vez conectado el circuito mostrar las figuras con las cuáles se
comprobó que la señal enviada fuera la misma que la señal recibida.
Primero, se sincronizaron ambos circuitos de Chua, los dos debian de arrojar la
figura de un atractor doble scroll (Figura. 4.14) y solo en esas condiciones y con esos
valores se tendría sincronización en ambos lados del sistema, tanto en transmisor
como en receptor.
Una vez que fueron sincronizados dichos circuitos se prosiguió a sumar la señal del
mensaje con la señal del circuito de Chua que arroja el
como se muestra en la figura 5.11.
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Figura. 5.11. Señal caótica (azul) y la señal del mensaje (amarilla).
Previamente sincronizados y una vez comprobado que los circuitos tenian las
mismas condiciones iniciales que en la simulación se decidio conectar el canal 1 del
osciloscopio en la señal del mensaje y el canal 2 del
osciloscopio en la señal .
Es importante mencionar que la señal que se obtuvó en el receptor es la misma a la
enviada en el transmisor (Figura. 5.12) gracias al enmascaramiento caótico (Chaos
Masking (CM)) que fue posible mediante el circuito de Chua generador de caos.
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Figura. 5.12. (1) Sincronizacióin en fase señal del mensaje ; (2) señal
desencriptada .
La figura 5.13 muestra otra forma de comprobar que la sincronización fue correcta,
se colocó el osciloscopio en el modo XY para ver su sincronización en fase, ya que si
después separamos ó desconectamos uno de los dos canales se vera nuevamente
el atractor de Chua o doble scroll (Figura 4.14).
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Figura 5.13. Sincronizacion en fase vs .
5.4 Consideraciones generales para un buen funcionamiento del circuito de
Chua.
Llevar acabo la implementación del circuito de Chua fue complicado, esto debido a
errores humanos asi como a variaciones en los dispositivos y elementos que
componen el circuito de Chua.
En la simuación es muy importante precisar que aunque diversos estudios [ 8-10, 13]
mecionan que el circuito de Chua se excita mediante una fuente externa, no precisan
el tipo de fuente que se necesita, siendo este uno de los problemas ya que primero
se exito el circuito con una fuente de corriente directa o pila como se puede observar
en la figura 5.14.
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Figura 5.14. Alimentacion del circuito de Chua con una fuente de CD o pila.
Y solo se obtuvó un gráfica mostrando una linea recta equivalente al valor de la
fuente que colocaba, como se observa en la siguiente figura.
Figura 5.15. Grafica obtenida mediante la alimentacion del circuito de Chua con una fuente de
CD o pila.
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Para obtener un óptimo resultado se decidió seguir la recomendación de la referencia
[10] y fue asi como se obtuvieron los resultados requeridos (Figura 4.3).
Una de las consideraciones más importantes al llevar el circuito a la práctica es
revisar bien y en ocaciones mas de dos veces las conexiones a tierra, asi como las
conexiones de los elementos que componen nuestro circuito, ya que los dispositivos
conectados en protoboard tienden a botarse debido a la defectos de fabrica de éste,
para evitar este último problema recomendamos ensamblar los dispositivos lo mas
cerca a la superficie del protoboard, con esto tambien se evitaran problemas de
ruido. Se recomienda alimentar el circuito de Chua con 15V, ya que es la fuente
correcta para su buen funcionamiento, ya que cuando se comenzaron las pruebas
con el circuito se descubrio que una fuente mas pequeña (5V) no exitaba lo suficiente
a los capacitores (Figura 5.16) y una fuente mas grande arrojaba mucho ruido
(Figura 5.17).
Figura 5.16. Alimentacion del circuito de Chua con una fuente de 5V.
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Figura 5.17. Alimentacion del circuito de Chua con una fuente de 20V.
Como se mencionó en el capítulo 1, el circuito de Chua es un circuito muy sensible a
las condiciones iniciales, debido a ello Rs no debe variar y debe colocarse en un
valor de 1750Ω, para nuestro caso, puede variar 5Ω, pero si se revasa ese margen
de error la gráfica en tiempo y la obtencion del atractor de Chua es imposible.
A continuación se muestran las grafícas obtenidas para cuatro variaciones: Rs=
1500Ω (Figura 5.18), 1650Ω (Figura 5.19), 1800Ω (Figura 5.20) y 2000Ω (Figura
5.21).
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Figura 5.18. Gráfíca obtenida con un valor de Rs = 1500Ω
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Figura 5.19. Gráfica obtenida con un valor de Rs = 1650Ω
Figura 5.20. Gráfíca obtenida con un valor de Rs = 1800Ω
Figura 5.21. Gráfíca obtenida con un valor de Rs = 2000Ω
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Debido a que el prototipo armado es un poco inestable, cabe mencionar que se
presentaron problemas previos en la manipulación del osciloscopio, se recomienda
leer primero el manual del osciloscopio a usarse, esto evitara fallas y pérdida de
tiempo.
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Conclusiones
El circuito de Chua desde su construcción resulta ser un dispositivo aunque simple,
muy eficiente, y al ser implementado con un sistema básico de comunicaciones
fungió como pieza fundamental para la sincronización de transmisor y receptor y así
poder enviar una señal de manera confiable. El circuito de Chua no realiza
encriptación ni es la solución para ello, solo es un respaldo a nivel hardware.
La técnica que se utilizó es la de enmascaramiento caótico de la señal, que no es
más que la suma de la señal de la portadora de la información con la señal caótica y
su posterior separación utilizando una copia exacta del circuito de Chua en el
receptor, ya que tanto el transmisor como el receptor deben contar con el mismo tipo
de circuito para que la comunicación sea llevada acabo exitosamente, no es un clon
exactamente, es una copia por lo que en la práctica nada es ideal, se trató de buscar
los valores mas cercanos para cada uno de los elementos que conforman el circuito
de Chua y el sistema básico de comunicaciones, si esto no es así no habrá
comunicación, para corroborar si el circuito tanto simulado como práctico funcionaron
correctamente se tuvo que utilizar el análisis de Fourier que es una herramienta
básica en el manejo de comunicaciones.
La importancia de lo antes dicho radica en que este dispositivo puede ser
manipulado a conveniencia del usuario, debido a que él únicamente podrá conocer la
información enviada y/o recibida, para emplearla de acuerdo a sus necesidades.
En el aspecto personal, el desarrollar esta Tesis, nos dejo un gran aporte, ya que
supimos dar valor a nuestro tiempo, debido a que, el elaborar un trabajo de esta
índole requiere de constancia y horas de estudio para poder comprender la magnitud
del tema que seleccionamos, además del dinero invertido en consultar libros o
comprarlos así como adquirir el material para realizar la implementación del circuito,
en algunas ocasiones comprar nuevamente los elementos por que llegaron a
dañarse o simplemente no eran los adecuados para el correcto funcionamiento del
proyecto.
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Comprendimos también que el analizar y el construir son procesos muy diferentes
ya que al analizar solo abordamos aspectos teóricos y fundamentos, y el construir
requiere primero, un amplio conocimiento del tema, para después llevarlo a la
práctica y tener un sistema tangible.
Durante el desarrollo de la Tesis, se vivieron momentos de tensión y algunas
discrepancias, qué aunque por instantes hicieron tedioso el proceso, dejaron ver que
el tener diferentes formas de pensar es bueno, ya que se puede observar el
problema desde diferentes ángulos, y que valores como la tolerancia,
responsabilidad, compromiso y muchos otros son necesarios tanto para culminar un
proyecto como para trabajar en equipo.
Por ultimo y no menos importante, comprendimos que los conocimientos adquiridos
durante nuestra etapa escolar empleados dentro de este trabajo, sirvieron para
corroborar resultados o detectar errores, al llevarlos de una simple hoja de papel a la
implementación de un sistema, como fue el caso del método de Fourier.
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Bibliografia
- Robert F. Coughlin. Amplificadores operacionales y circuitos integrados lineales,
Prentice – Hall, 1993.
- Stanley I. Grossman. Algebra lineal, segunda edicion, grupo editorial
Iberoamerica, 1987.
- Stefano Bregni. Synchronization of digital telecommunications networks, John
Wiley & Sons, 2002.
- Paul Horowitz, Winfield hill. The art of electronics, 2nd edition, Cambridge
University Press, 1980.
- Lathi B.P. Sistemas de comunicación, 2da edición, Interamericana S.A de C.V,
México D.F, 1986.
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Referencias
[1] Mainzer, K. Thinking in complexity: The complex dynamics of matter, mind and
mankind. Springer - Verlag, 1994; pp. 47 – 58.
[2] Stewart, I. Portraits of chaos. 1992; pp. 42 – 47.
[3] Marion, R.A, The Edge of organization: A chaos and complexity theory of
social structure. 1995; pp. 22 – 24.
[4] Berry, M.V, Percival, I. Weiss, N. Dynamical chaos, 1987; pp.1 – 9.
[5] Monroy, Olivares Cesar. Teoría del Caos: Tecnologías emergentes de
computo. 1997; pp. 186.
[6] Guemez. Caos determinista. Departamento de física aplicada. 2004; pp. 51.
[7] Carmona López Miguel Ángel. Sincronización y comunicación basada en
variables sistemas de control en tiempo real. Departamento de ingeniería telemática.
UAH. pp. 2.
[8] Sierra Moreno César. Métodos de sincronización de sistemas caóticos. pp. 2.
[9] G. Conde S, G. M. Ramírez A. Estudio de dos circuitos caóticos. Revista
boliviana de física. 2007; Vol. No 13, pp. 59,60.
[10] Ronquillo Arvizu Rey David. Caos determinista y su aplicación en las
telecomunicaciones. Tesis. 2010; pp. 64 - 77.
[11] Mauricio Espinoza, Analisis y diseño de circuitos analogicos asistido por
computadora. 2008; Edicion. No 1, pp.18,39.
[12] Prof. Massimiliano de Magistris. Modulo di teoria dei circuiti, “Una
implementazione del circuito di CHUA con operazionali”. Dipartimento di ingegneria
elettrica. Università di Napoli, IItaly, 2008; Vol. No 1, pp.12.
[13] Rosa María Benito Zafrilla. El caos: La tercera revolución científica de la física
del siglo XX. 1999; Vol. No 1, pp. 51 – 61.
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Apéndice A
Amplificador operacional.
El amplificador operacional (OPAM) es un circuito integrado monolítico que en
primera aproximación proporciona una ganancia y una resistencia de entrada infinita.
Originalmente los amplificadores operacionales se empleaban para operaciones
matemáticas (suma, resta, multiplicación, división, integración, derivación, etc.) en
calculadoras analógicas, de ahí su nombre.
El modelo ideal de un amplificador operacional es un circuito tiene dos entradas y
una salida, una ganancia infinita, una impedancia de entrada infinita, un ancho de
banda también infinito, una impedancia de salida nula, un tiempo de respuesta nulo y
ningún ruido.
El esquema de su modelo ideal se puede observar en la siguiente figura:
Figura. A.1. Modelo ideal de un amplificador operacional.
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Como la impedancia de entrada es infinita también se dice que las corrientes de
entrada son cero. La salida es la diferencia de las dos entradas multiplicada por un
factor (ganancia). Por lo tanto:
El símbolo de un amplificador se puede observar en la siguiente figura:
Figura. A.2. Símbolo de un amplificador operacional.
Sus terminales son:
- : Entrada no inversora (terminal positiva).
- : Entrada inversora (terminal negativa).
- : Salida.
- : Alimentación positiva.
- : Alimentación negativa.
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Tipos de configuraciones del amplificador operacional.
Configuración comparador.
Esta es una aplicación sin retroalimentación, su diagrama básico se puede observar
en la siguiente figura.
Figura. A.3. Símbolo de un amplificador operacional.
Su función consiste en comparar las dos entradas y tiene una salida en función de
qué entrada sea mayor. Se puede usar para adaptar niveles lógicos.
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Configuración seguidor.
En esta configuración (Figura A.4) el circuito proporciona a la salida la misma
tensión que a la entrada.
Figura. A.4. Configuración seguidor.
Se usa como un buffer, para eliminar efectos de carga o para adaptar impedancias
(conectar un dispositivo con gran impedancia a otro con baja impedancia y
viceversa).
Como la tensión en las dos terminales de entrada es igual, tenemos que:
Esta configuración presenta la ventaja de que la impedancia de entrada es
elevadísima, la impedancia de salida prácticamente nula.
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No inversor.
Como podemos observa en la figura A.5, el voltaje de entrada, ingresa por la terminal
positiva, pero como conocemos que la ganancia del amplificador operacional es muy
grande, el voltaje en la terminal positiva es igual al voltaje en la terminal negativa.
Figura. A.5. Configuración no inversor.
Si podemos conocer el voltaje en la terminal negativa podemos calcular la relación
que existe entre el voltaje de salida con el voltaje de entrada haciendo uso de un
divisor de tensión, entonces:
Por lo tanto:
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Sumador inversor.
En esta configuración (Figura A.6) la salida es la inversa de la suma de las tensiones
de entrada, la terminal negativa esta conectada a tierra, debido a ello estará a 0V.
Desde cada una de las entradas circula una corriente hacia la entrada inversora, que
no tiene otro camino de salida que dirigirse a la salida del amplificador a través de la
resistencia de realimentación.
Figura. A.6. Configuración sumador inversor.
Aplicando la primera Ley de Kirchhoff y la Ley de Ohm, se obtiene el voltaje de salida
en función de las de entradas, debido a ello:
Entonces:
Es importante mencionar que la expresión se simplifica bastante si se usan
resistencias del mismo valor.
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Restador Inversor.
Cabe destacar que este tipo de configuración (Figura A.7) tiene una resistencia de
entrada baja, también la tensión de salida es proporcional a la diferencia de las
tensiones de entrada.
Figura. A.7. Configuración restador inversor.
Si conectamos resistencias independientes R1, R2. R3 y R4, tememos la siguiente
expresión.
De igual manera que en la configuración inversor esta expresión puede simplificarse
con resistencias iguales y la impedancia diferencial entre dos entradas es:
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Integrador ideal.
La configuración integrador (Figura A.8) no se usa comúnmente en la práctica ya que
cualquier señal pequeña de DC en la entrada puede ser acumulada en el capacitor
hasta saturarlo por completo; sin mencionar la característica de offset del mismo
amplificador operacional, que también es acumulada. Este circuito se usa de forma
combinada en sistemas retroalimentados que son modelos basados en variables de
estado (valores que definen el estado actual del sistema) donde el integrador
conserva una variable de estado en el voltaje de su condensador.
Figura. A.8. Configuración integrador ideal.
Como su nombre lo dice este tipo de configuración Integra e invierte la señal ( y
son funciones dependientes del tiempo), por lo tanto:
Donde:
= Voltaje de salida en el origen del tiempo.
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Derivador ideal
En la configuración derivador ideal (Figura A.9) la salida del circuito es proporcional a
la derivada en el tiempo del voltaje de entrada. Su análisis es similar al del inversor,
únicamente que la intensidad de entrada es la correspondiente a la intensidad del
capacitor.
Figura. A.9. Configuración derivador ideal.
Su función específica es derivar e invertir la señal respecto al tiempo, como se
muestra en la siguiente expresión:
Este circuito se usa como filtro, pero es importante mencionar que no es común
utilizarlo en la práctica porque no es estable. Esto se debe a que al amplificar más
las señales de alta frecuencia se termina amplificando mucho el ruido.
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Apéndice B
Tabla de transformadas de Fourier de algunas señales útiles.
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Apéndice C
Elaboración de un Pcb mediante Circuit Wizard.
Circuit Wizard es un software de desarrollo y elaboración de Pcb, ofrece
herramientas básicas y de fácil manejo para el usuario, así como una gran flexibilidad
en la manipulación de modificaciones a un Pcb más elaborado y detallado.
Dentro de la implementación del circuito de Chua y del sistema básico de
comunicaciones se decidió llevar acabo la elaboración del Pcb de cada uno de estos
circuitos, para evitar complicaciones de conexión y problemas con ruido para ello se
decidió utilizar el software Circuit Wizard.
Primero se realizó el diagrama eléctrico (Figura C.1) a manera de simulación
haciendo uso del icono “Gallery” que contiene elementos y fuentes que forman parte
del circuito.
Figura. C.1. Diseño de un diagrama eléctrico en Circuit Wizard.
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Una vez que el circuito se terminó, se prosiguió a convertirlo en Pcb utilizando el
icono “Convert to Pcb Layout” (Figura C.2), el software convierte el circuito a Pcb en
la forma que el usuario lo acomodó, y en conexiones que no pueden ser encimadas
utiliza cables para solucionar el problema.
Es importante mencionar que el Pcb que nos presentó el software no fue el correcto,
ya que en circuitos que ocupan amplificadores operacionales es importante tener un
solo plano de tierra para evitar ruido y tener un mejor funcionamiento del circuito.
Figura. C.2. Conversión de un diagrama eléctrico a Pcb.
Cuando obtuvimos el primer Pcb se acomodó de manera que se siguieran las
recomendaciones antes mencionadas, primero los componentes fueron colocados
para que cuando llegara el momento de soldar y perforar la tablilla no tuviéramos
complicaciones de espacio.
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Otra recomendación importante es que todo el Pcb fuera completamente de pistas de
conexión y no tener cables sueltos al final del diseño ya que dichos cables también
generan ruido o fallas al momento de conectar el circuito.
Para lo antes mencionado Circuit Wizard tiene una proyección llamada “Real World”,
como podemos observar en la siguiente figura.
Figura. C.3. Pcb en proyección Real World.
El problema general de todo Pcb es el tener un solo plano de tierra para evitar ruido y
que en las pistas de conexión no tengamos ángulos de 90°, para ello es
recomendable trabajar en la proyección “Artwork” (Figura C.4), debido que en esta
opción tendremos una proyección de como quedara nuestro Pcb en su forma final y a
su vez podemos cambiar los ángulos de las pistas y mover nuestros componentes de
manera que el circuito quede lo mejor detallado que se pueda y con el principal
objetivo de trabajar con un solo plano de tierra.
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En la siguiente figura podemos observa el esquema del Pcb terminado y detallado,
corrigiendo los errores de conexión y siguiendo las recomendaciones antes
mencionadas para un mejor funcionamiento del Pcb.
Figura. C.3. Pcb en proyección Artwork.
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Apéndice D
Costos.
A continuación se presenta una tabla con el costo correspondiente a los elementos
utilizados en la implementación del circuito de Chua, así como el valor total del
mismo.
Concepto Monto ($)
Material 511
Papelería 1 500
Internet 1 000
Transporte 4 800
Recursos humanos 5 000
Total 12 811
Tabla D.1. Gastos realizados en el proceso de la implementación del circuito de Chua.
Es importante mencionar que, en el mercado no se encuentra un circuito de Chua
disponible para su comercialización, ya que los investigadores que han trabajado en
el solo se han dedicado a su estudio y mejoramiento sin fines de lucro.
Debido a lo anterior se hizo un estimado del costo total del circuito con base en la
tabla antes mencionada, obteniendo la cifra de $1000 como precio al público.
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