04/10/10 Carrera de Bioingeniería 2
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 2
Temas a Tratar
� Introducción y motivación
� Descomposición mediante átomos:� Transformada de Fourier de Tiempo Corto
� Transformada Onditas: Continua, Diádica, Paquetes
� Distribuciones de Energía:� Wigner-Ville
� Choi-William
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 3
S
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les
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iste
mas
Introducción y Motivación
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 4
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les
y S
iste
mas �Es con la intuición que se puede
inventar; pero es con la lógica que uno
puede demostrarlo�
Shie Qian, Dapang Chen, �Joint Time-Frequency
Analysis�, Prentice Hall, 1996.
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 5
S
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les
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iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 5
¿Qué es el Análisis en Frecuencia...?
� Análisis:
� Consiste en aislar los componentes del sistema que tienen
una forma compleja para tratar de comprender mejor su
naturaleza u origen.
� Para el análisis en frecuencia utilizamos familias de
funciones exponenciales.
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 6
S
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iste
mas
Problemas del mundo �real�:
¡Nada dura para siempre...!
(solo lo �ideal�, la Eternidad�)
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 7
S
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iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 7
Señales no estacionarias o transitorias...
� La familia de Fourier está �diseñada� para analizar
señales cuyo �comportamiento� o propiedades no
varien en el tiempo...
� Las exponenciales complejas resultan ser las auto-
funciones de los sistemas LTI �ideales�.
� En otros casos se requiere otra �base� que permita
realizar un análisis más �útil�...
. . . . . .
t Æ¥t Æ-¥
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 8
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 8
0 0.5 1 1.5 2 2.5-1
-0.5
0
0.5
1[A B]
-50 0 500
10
20
30
40
50Transformada de Fourier de [A B]
0 0.5 1 1.5 2 2.5-1
-0.5
0
0.5
1[B A]
-50 0 500
10
20
30
40
50Transformada de Fourier de [B A]
¿Qué es lo que Fourier
no puede �ver�?
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 9
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 9
Entonces...
� Para muchas señales:
� No alcanza con conocer la información relativa al
contenido frecuencial global...
� también necesitamos información acerca de los
tiempos en los que ocurren cambios en el
contenido frecuencial...
� y poder seguir la evolución dinámica de los
mismos.
¿Cuáles señales?: No estacionarias, transitorias o que varían sus
características en el tiempo (derivadas de un sistema no LTI)
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 10
S
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les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 10
¿Porqué Necesito Una Descripción
Diferente?
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 11
S
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y S
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mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 11
¿Porqué Necesito Una Descripción
Diferente?
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 12
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y S
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mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 12
¿Porqué Necesito Una Descripción
Diferente?
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 13
S
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y S
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mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 13
¿Porqué Necesito Una Descripción
Diferente?
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 14
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y S
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mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 14
¿Porqué Necesito Una Descripción
Diferente?
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 16
S
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y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 16
F r e c u e n c i a e n H z4 0 0 0
3 0 0 0
2 0 0 0
0
1 0 0 0
T i e m p o e n s e g .
0 0 . 5 2 2 . 51 . 51
Una solución: análisis por tramos
t
t
t
t
t
t
t
f
f
f
f
f
f 4 , 4 , 2 , 1 , 3 , 3
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 17
S
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iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 17
Otro Ejemplo: EEG
� Fragmento de EEG en el cual la actividad alfa de 10 Hz tipica del cerebro
desaparece entre el segundo 4 y el 10 cuando los pacientes abren los ojos.
Esta interrupción se nota claramente en el espectrograma.
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 18
S
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iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 18
Otro ejemplo: señal FM
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 19
S
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mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 19
¿Porque necesito diferentes representaciones
Tiempo-Frecuencia?
� Representación tiempo-frecuencia de la señal �chirp� de eco-localización del murciélago:
� Espectrograma (i),
� Distribución de Wigner Ville (m),
� Optimal radially Gaussian kernel (d).
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 20
S
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mas
04/10/10 20
0
Am
plitu
d
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Tiempo (mseg.)
0 100 200 300 400 500 600 700
ok m o s e L a m a e l m a R
ok m o s e L a m a e l m a R
x 10
0 4
Fre
cuen
cia
(KH
z)
1
2
3
4
Fre
c uen
cia
(KH
z)
1
2
3
4
Tiempo (mseg.)
0 100 200 300 400 500 600 700
Cuef
rencia
t (
mse
g)
14
ok m o s e L a m a e l m a R
ok m o s e L a m a e l m a R
Fre
cuen
cia
(KH
z)
0
1
2
3
4
Esc
ala
5
1
2
3
4
Fre
cuen
cia
(KH
z)
0
1
2
3
4
Coe
fici
ente
s
1
4
8
12
16
Otros tipos de análisis�
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 21
S
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04/10/10 Carrera de Bioingeniería 21
Clasificación de las representaciones T-F
� Lineales:� Fourier
� Onditas
� Bilineales o Cuadráticas:� Directos o regulares:
� Wigner-Ville.
� Convolucionados o Clase de Cohen:
� Choi-Williams.
� Espectrograma, Escalograma.
� No-lineales:� Series de Distribución T-F (WV)
� Basis Pursuit y Matching Pursuit.
� Best Ortoghonal Basis.
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 22
S
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mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 22
Aplicaciones
� Análisis de cambios de dinámica.
� Detección de eventos.
� Clasificación de señales.
� Limpieza de señales (Denoising).
� Compresión de señales.
� Análisis de comportamiento Fractal.
� Etc�
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 23
S
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04/10/10 Carrera de Bioingeniería 23
Ejemplos: limpieza de ruido acústico
� Automóvil
� Murmullo
� Turbina
� Máquina
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 24
S
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mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 24
Ejemplo: Comportamiento fractal
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 25
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Representaciones basadas en átomos
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 26
S
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04/10/10 Carrera de Bioingeniería 26
¿Qué es un
átomo?
Tiempo
Fre
cuencia
(b) Plano Tiempo-Frecuencia
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 (a) Dominio de la Frecuencia
| FFT(WaveletPacket(3,3,7))|
Fre
cuencia
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.5
0
0.5
1 (c) Dominio del Tiempo
Wave
letP
acket(
3,3
,7)
Tiempo
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 27
S
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mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 27
Transformada de Fourier (FT)
� Ha dominado el análisis de señales por mucho tiempo.
� Su teoría ha sido extensamente estudiada.
� Existe un algoritmo rápido para calcularla (discreta)
� Para señales no estacionarias se utiliza la versión de
corta duración (STFT).
� La STFT posee limitaciones debido a que usa una
única ventana de análisis.
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 28
S
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iste
mas
STFT como ventaneo temporal
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 28
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 29
S
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y S
iste
mas
STFT como banco de filtros
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 29 04/10/10 Carrera de Bioingeniería 30
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 30
Otra forma de verlo...
� Esto puede verse
también como un
cambio en las
funciones de la
�base� que utilizo
para el análisis.
Fourier
STFT (banda angosta)
STFT (banda ancha)
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 31
S
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iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 31
Transformada de Fourier de tiempo Corto
(STFT)
Dada una ventana real simétrica, tal que ( )g t g=Se genera una base al desplazarla y modularla con una frecuencia x,
y se obtiene un �átomo tiempo-frecuencia�:
, ( ) ( )i t
ug t e g t uxx = -
Suponiendo que ha sido normalizada de forma que ||gu,x(t)||= 1, la
STFT o Transformada de Fourier Ventaneada se obtiene mediante
el producto interno <f(t), gu,x(t)>:
*
,( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) i t
uSf u f t g t dt f t g t u e dxxx
+¥ +¥ -
-¥ -¥= = -ò ò
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 32
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 32
Transformada de Fourier de tiempo Corto
(STFT)
En el caso discreto, tenemos las siguientes ecuaciones
equivalentes:
, [ ] [ ]i2 ln
Nm lg n g n m e
p-
= -
1
,
0
[ , ] [ ], [ ] [ ] [ ]i2 lnN
Nm l
n
Sf m l f n g n f n g n m ep--
=
= = -å2
12
0
[ , ] [ , ] [ ] [ ]i2 lnN
Ns
n
P f m l Sf m l f n g n m ep--
=
= = -å
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 33
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 33
Espectrograma
� El módulo
cuadrado de la
transformada
de Fourier
ventaneada
(STFT) es el
espectrograma
de una señal.
¿Y la fase?
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 34
S
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les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 34
Espectrograma
�Constituye una vista
alternativa (3D) de la señal
temporal.
�El eje horizontal es el
tiempo.
�El eje vertical es la
frecuencia.
�La oscuridad o color es
proporcional a la energía
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 35
S
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y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 35
Espectrograma
� Podemos definir matemáticamente al
espectrograma como:
� Es una función de densidad de energía o
descomposición T-F cuadrática.
22
( , ) ( , ) ( ) ( ) i tPsf u Sf u f t g t u e dtxx x+¥ -
-¥= = -ò
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 36
S
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y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 36
Transformada de Fourier de tiempo Corto
(STFT)
� Para la STFT son válidas las siguientes fórmulas de
reconstrucción:
1( ) ( , ) ( )
2
i uf t Sf u g t u e dxxp
+¥ +¥
-¥ -¥= -ò ò
1 1
0 0
1[ ] [ , ] [ ]
i2 lnN N
N
m l
f n Sf m l g n m eN
p- -
= =
= -åå
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 37
S
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y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 37
Diferentes ventanas
Transformada de Gabor
� La ventana g(t) cuadrada no es la más �adecuada�.
� Otras: Hanning, Hamming, Blackman, etc.
� En el trabajo original de Gabor, la ventana usada era una Gaussiana (óptima):
� A la STFT con esta ventana se le llama Transformada de Gabor.
218
2( )t
gaborg t e-
=
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 38
S
eña
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y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 38
Principio de Incertidumbre:
Resolución tiempo-frecuencia
w
t
1930: Heisenberg
descubre que �no
puedes quedarte con
la torta y comerla al
mismo tiempo�
t w
w
w
t
t
f t( )
f t( )
f t( )
F w( )
F w( )
F w( )
Perfectamente
localizado en el
tiempo
Perfectamente
Localizado en la
frecuencia
compromiso
Principio de incertidumbre:
Límite inferior en el producto T-F
Las funciones muy
localizadas en el
tiempo tienen
espectros poco
localizados en
frecuencia y
viceversa.
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 39
S
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y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 39
¿Que pasa si
quiero medir un
evento con una
resolución tiempo
frecuencia
arbitraria?
Principio de Incertidumbre:
Resolución tiempo-frecuencia
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 40
S
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y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 40
Principio de Incertidumbre:
Resolución tiempo-frecuencia
� No podemos conocer las características
temporales y frecuenciales al mismo tiempo y
con una resolución arbitraria.
� Formalmente decimos que:
� la varianza temporal st y la varianza frecuencial sw
de una función satisface la siguiente
inecuación:
( )2( ) Lf t Î �
1
2t ws s ³
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 41
S
eña
les
y S
iste
mas
Localización
� Tiempo medio
� Frecuencia media
� Varianza temporal
� Varianza frecuencial
21( )m
f
t t f t dtE
�
�-= �
21( )m
f
F dE
w w w w�
�-= �
224( ) ( )t m
f
t t f t dtE
ps
�
�-= -�
224( ) ( )m
f
F dE
w
ps w w w w
�
�-= -�
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 42
S
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y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 42
Principio de Incertidumbre:
Resolución tiempo-frecuencia
� Dada una ventana g(t), la inecuación se
convierte en igualdad.
� Para cada valor de u y x, hay un rectángulo de
incertidumbre de lados st y sw, con área de al
menos 1/2.
� En la STFT la función g(t) permanece siempre
igual (solo se desplaza en el tiempo)
Þ Resolución uniforme tanto en tiempo como
en frecuencia
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 43
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 43
Principio de Incertidumbre:
Resolución tiempo-frecuencia
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 44
S
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y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 44
Principio de Incertidumbre:
Resolución tiempo-frecuencia
� Caso discreto: Resolución temporal limitada por la longitud temporal de la ventana:
Dt = Tvent
� Resolución frecuencial está también limitada por ésta longitud:
Df = 1/Tvent
� Por lo tanto tenemos: Dt.Df = 1
� Otra vez, no podemos mejorar una salvo que empeoremos la otra.
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 45
S
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y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 45
Principio de Incertidumbre:
Resolución tiempo-frecuencia
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
40
Tiempo
Fre
cuenci
a
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
40
Tiempo
Fre
cuenci
a
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 46
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 46
Transformada Ondita (CWT)
� Es de aparición relativamente reciente (10 años).
� Su teoría todavía continua desarrollándose
� Está �diseñada� para señales no estacionarias.
� Utiliza ventanas de ancho variable de acuerdo a la
frecuencia (de forma similar al oído).
� Existe un algoritmo rápido para calcularla (diádica).
� Su descomposición jerárquica permite el análisis a
distintas escalas (multiresolución).
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 47
S
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les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 47
Transformada Ondita (WT)
� Una ondita (wavelet) es una función que tiene una duración limitada en el tiempo y tiene valor medio cero.
� Familias de onditas (Coifflets, Daubechies, Haar, etc) con propiedades que las hacen apropiadas para diversos procesamientos.
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 48
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 48
Transformada Ondita (WT)
� A partir de una ondita madre, se obtienen �átomos tiempo-escala�, que permiten análisis por compresión o dilatación, y desplazamiento en el tiempo.
� Análisis similar al de la STFT, descomponiendo la señal en términos de éstos átomos.
WT
STFT
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 49
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 49
Onditas: escala y localización
( ),
1u s
t ut
ssy y
-æ ö= × ç ÷è ø
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 50
S
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les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 50
Familias de Onditas
� Reales o analíticas
� Soporte Compacto
� Simetría
� Regularidad
� Localización Tiempo-Frecuencia
� Otras: Filtros, Modelos, etc.
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 51
S
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y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 51
Familias de Onditas
Meyer
Daubechies
m=4
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 52
S
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les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 52
Familias de Onditas
Splines
m=1, n=9
Vaidyanathan
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 53
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 53
Familias de Onditas
-4 -2 0 2 4-1
0
1
Morlet
0 0.5 1 1.5-2
0
2
Haar
0 5 10 15 20 25 30-1
0
1
2
Coifflets
0 5 10 15-1
0
1
2
Symlets
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 54
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 54
Espectro de una ondita
0 20 40 60 80 100 120-1
-0.5
0
0.5
1Wavelet Daubechies 8
n
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
1
2
3
4
5
6Espectro
w (radianes)
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 55
S
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les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 55
0 20 40 60 80 100 120-1
-0.5
0
0.5
1Wavelet Symlets 8
n
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
2
4
6Espectro
w (radianes)
Espectro de una ondita
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 56
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 56
Transformada Ondita Continua (CWT)
Una ondita es una función con valor medio igual a cero,
norma unitaria y centrada en la vecindad de 0:
2( ) L ( ); ( ) 0; ( ) 1t t dt ty y y+¥
-¥Î = =ò�
A partir de ésta, obtenemos por escalado y traslación el
átomo tiempo-frecuencia:
,
1( )u s
t ut
ssy y
-æ ö= ç ÷è ø
La CWT continua será:
( )*1,( , ) ( ), ( ) ( ) t u
u s ssWf u s f t t f t dy y
+¥-
-¥= = ò
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 57
S
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les
y S
iste
mas
Transformada Wavelet Continua (CWT)Symlets 8
time (or space) b
sca
les a
20 40 60 80 1 4 7101316192225283134374043
Daubechies 8
time (or space) b
sca
les a
20 40 60 80 1 4 7101316192225283134374043
Morlet
time (or space) b
sca
les a
20 40 60 80 1 4 7101316192225283134374043
Meyer
time (or space) b
sca
les a
20 40 60 80 1 4 7101316192225283134374043
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 58
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 58
Resolución T-F CWT
� También cumple con el principio de
incertidumbre de Heisenberg.
� Pero la resolución no es uniforme en el plano
T-F .
� Bajas frecuencias: mayor resolución
frecuencial.
� Altas frecuencias: mayor resolución temporal.
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 59
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 59
Resolución T-F CWT
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 60
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 60
CWT (ondita sobrero mexicano)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
1
2
t
f(t)
u
log 2(s)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-6
-4
-2
0
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 61
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 61
Transformada Ondita Discreta (DWT)
Para calcular la versión discreta, se evalúa en las escalas s=a j con
a=21/v, lo que hace que en cada intervalo [2j,2j+1] haya v valores
intermedios. La función ondita resulta:
1[ ]j jj
nn
aay y æ ö= ç ÷
è øLa Transformada ondita discreta resulta entonces:
1*
0
[ , ] [ ] [ ]N
j
j
m
Wf n a f m m ny-
=
= -åDonde a j pertenece a [2N-1, K-1] y K es el soporte de y (es
distinta de 0 en el intervalo [-K/2, K/2])
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 62
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 62
Resolución T-F DWT
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 63
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 63
Transformada Ondita Discreta Diádica
� Si se restringe el valor de a de manera que a=2, se
obtiene la transformada ondita discreta diádica
(DDWT)
� En este caso se obtiene una base ortogonal y aparece
el denominado análisis multiresolución.
� En general no se evalúa siguiendo la ecuación de la
transformada discreta.
� Se utiliza un algoritmo rápido basado en filtrado
pasa-bajos y pasa-altos con filtros especiales
derivados de la ondita madre.
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 64
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 64
Análisis Multiresolución
� Se define un análisis multiresolución como una secuencia de subespacios que satisface las condiciones:
� (densidad) es denso en L2(R),
� (separación)
� (escalamiento) f(t) V0 <=> f(2-j t) Vj
� (ortonormalidad) es una base ortonormal para V0
V jjÎZU
{ }V jjÎ
=ZI 0 ,
K KÍ Í Í Í-V V V1 0 1
Î
{ }j ( )t kk
-ÎZ
Î
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 65
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 65
Análisis Multiresolución
�
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 66
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 66
Algoritmo DDWT
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 67
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 67
Distribución de los Filtros
f0 2f0 3f0 4f0 5f0 6f0 7f0 8f0 9f0
frecuencia
f0 2f0 4f0 8f0
frecuencia
a)
b)
Ancho de Banda Relativo Constante (WT)
Ancho de Banda Constante (STFT)
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 68
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 68
Resolución Tiempo-Frecuencia
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 69
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 69
Espectrograma
(STFT)
Escalograma
(DDWT)
Sonograma
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 70
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 70
Comparación Discreta-Diádica
0 100 200 300 400 500 6000
0.01
0.02Analyzed signal.
Discrete Transform, absolute coefficients.
j=lo
g2(s
) (s
=2
j )
Tiempo50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1
2
3
4
5
Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 1 2 3 4 5 ...
time (or space) b
sca
les a
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 1 3 5 7 91113151719212325272931
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 71
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 71
Bases y marcos
� Se debe aclarar que el conjunto de átomos definidos para la DWT (o la STFT) no necesariamente constituyen una base ortogonal, sino más bien un marco (más general).
� El caso DDWT si constituye una base ortogonal.
� La teoría de marcos analiza la completitud, la estabilidad y la redundancia de las representaciones lineales de señales discretas, además de los aspectos relacionados con la reconstrucción.
� Intuitivamente podemos pensar que la completitud depende de una adecuada cobertura del plano T-F.
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 72
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 72
Cuadrículas tiempo-frecuencia
Dirac Fourier
t
f
STFT (banda ancha) STFT (banda angosta)
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 73
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 73
Cuadrículas tiempo-frecuencia
WD WP
t
f
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 74
S
eña
les
y S
iste
mas
Distribuciones Tiempo Frecuencia
Cuadráticas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 75
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 75
Distribuciones Tiempo Frecuencia
Cuadráticas
� Bilineales o Cuadráticas:
� Directos o regulares:
� Wigner-Ville.
� Convolucionados o Clase de Cohen:
� Choi-Williams.
� Espectrograma, Escalograma.
� No-lineales:
� Series de Distribución T-F (WV)
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 76
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 76
Distribución de Wigner-Ville (DWV)
� DWT y STFT se calculan correlacionando la
señal con familias de átomos tiempo-
frecuencia.
� Su resolución T-F está limitada por la de los
átomos correspondientes.
� Idealmente quisiéramos definir una densidad
de energía sin perdida de resolución.
� La DWV posee propiedades muy interesantes
en este sentido.
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 77
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 77
Distribución de Wigner-Ville
� Posee otros inconvenientes, como la existencia
de términos de interferencia y la no
positividad.
� Para atenuarlos se requiere realizar una
promediación T-F, lo que resulta otra vez en
una perdida de resolución.
� Se puede demostrar que el espectrograma, el
escalograma y todas las descomposiciones T-F
cuadráticas pueden escribirse de esta forma.
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 78
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 78
Distribución de Wigner-Ville
� Ventana: versión desplazada de la misma
señal.
� Se obtiene comparando la información de la
señal con su propia información en otros
instantes y frecuencias.
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 79
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 79
Distribución de Wigner-Ville
Se define como:
*( , )2 2
i
vP f u f u f u e dtxt tx t
+¥ -
-¥
æ ö æ ö= + -ç ÷ ç ÷è ø è øò
Su versión discreta esta dada por:
21*[ , ]
2 2
i kpN
Nv
p N
p pP f n k f n f n e
p--
=-
é ù é ù= + -ê ú ê úë û ë ûå
Como ésta requiere conocer los valores en muestras intermedias,
se recurre a una interpolación en frecuencias agregando ceros
entre cada muestra.
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 80
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 80
Distribución de Wigner-Ville
� Desventaja: al ser cuadrática con respecto a f,
si f = f1+f2, aparecen términos de interferencia:
1 2 1[v v v vP f P f P f P f= + +donde:
*[ , ]( , )2 2
i
vP h g u h u g u e dtxt tx
+¥ -
-¥
æ ö æ ö= + -ç ÷ ç ÷è ø è øò
Además posee valores negativos.¿Son siempre
malos los términos
cruzados?
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 81
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 81
� Algunas propiedades:
� Real.
� Invarianza a la traslación temporal.
� Invarianza a la traslación frecuencial.
� Condición marginal temporal.
� Condición marginal frecuencial.
Distribución de Wigner-Ville
Parseval
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 82
S
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y S
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mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 82
Distribución de Wigner-Ville
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 83
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 83
DWV, Espectrogama y Escalograma
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 84
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 84
Distribución de Choi-William
� Consiste en convolucionar la DWV con un
núcleo exponencial bidimensional (cuasi
cónico).
� No conserva todas las propiedades de DWV,
pero disminuye los términos cruzados.
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 85
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 85
Distribución de Choi-William
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 86
S
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y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 86
Series de Distribución T-F
� Si descomponemos la DWV en una serie de
funciones bidimensionales tipo Gabor los
términos de interferencia son generalmente los
de mayor orden.
� Entonces puedo eliminar estos términos y
quedarme solo con los que tienen información
importante (no-lineal).
� Puedo conservar la mayoría de las propiedades
de DWV.
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 87
S
eña
les
y S
iste
mas
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 87
Bibliografía: Libros
� Stephane G. Mallat, �A Wavelet Tour of Signal Processing�, Academic Press; 2nd edition, September 1999, Cap. 4.
� G. Strang y T.Nguyen, �Wavelets and Filter Banks�, Wellesley-Cambridge Press, Secciones 2.4 a 2.6.
� L. Cohen, �Time-Frequency Analysis�, Prentice-Hall Signal Processing. 1st edition, January 1995.
� Shie Quian, Dapang Chen, �Joint Time-Frequency Analysis�, Prentice Hall, 1996.
� I. Daubechies, �Ten Lectures on wavelets�, Rutgers University and AT&T Bell Laboratories, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, Pennsylvania, 1992.
� J. Deller, J. Proakis, J. Hansen, �Discrete Time Processing of Speech Signals�. Macmillan Publishing, NewYork, 1993.
04/10/10 Carrera de Bioingeniería 88
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04/10/10 Carrera de Bioingeniería 88
Bibliografía: artículos y sitios WEB
� O. Rioul, M. Vetterli, �Wavelets and signal processing�, IEEE SP
Magazine, vol. 8, no. 4, Oct. 1991, pp.14-38.
� Amara Graps , �An Introduction to Wavelets�, IEEE
Computational Sciences and Engineering, vol 2, no. 2, 1995, pp
50-61, http://www.amara.com/current/wavelet.html
� Wavelet Digest, http://www.wavelet.org/wavelet/index.html
� Wavelet TB http://www.mathworks.com/products/wavelet/
� Wavelab TB, http://playfair.stanford.edu/~wavelab/
� Xwpl, http://www.math.yale.edu/pub/wavelets/software/xwpl/
� P. Flandrin home page, http://www.ens-lyon.fr/~flandrin/
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Agradecimientos
� Leandro Di Persia
� Diego Milone
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