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Transformada Z

Temas a tratar

• Definición.

• Relación entre TL y TZ.

• Relación entre TF y TZ.

• Mapeos s-z.

• Representación de sistemas de tiempo discreto.

• Función de transferencia en z.

• Respuesta en frecuencia de sistemas de tiempo discreto.

Objetivos

• Utilizar la transformada Z como herramienta para obtener la función de transferencia de un sistema de tiempo discreto.

• Obtener la respuesta en frecuencia de sistemas de tiempo discreto.

• Analizar las limitaciones de las transformaciones conformes utilizadas.

Papel de la TZ

• La Transformada Z juega un papel muy importante en la representación y el análisis de sistemas de tiempo discreto y coeficientes constantes (LTI).

Notas históricas

• 1744: la idea básica de la TZ era ya conocida por Laplace.

• 1947: es re-introducida por W. Hurewicz para resolver ecuaciones en diferencias lineales con coeficientes constantes.

• 1952: Ragazzini y Zadeh, de la Universidad de Columbia, la bautizan con su denominación actual.

HurewicZ

• Función de transferencia.

• Respuesta en frecuencia.

• Análisis de estabilidad.

x

x Re

Plano S

Im

Repaso conceptos generales Transformada de Laplace

2

Ecuaciones diferenciales


Razón de polinomios en s

Transformada de Laplace



Ecuaciones en diferencias

Transformada de Laplace Ecuaciones diferenciales



Razón de polinomios en z


Transformada Z






Transformada Z

???






Transformada Z

Transformaciones conformes

3

La transformada Z nos permite

• Trabajar las ecuaciones en diferencias como ecuaciones algebraicas.

• Representar las funciones de transferencia de sistemas discretos como diagramas de polos y ceros en el plano z.

• Transformar secuencias, representen o no respuestas impulsivas de sistemas.

Definición

• La TZ de una secuencia x[n] se define como:

donde z ϵ C

( ) [ ] n

n

X z x n z

Notación

( ) [ ]X z Z x n

Ejemplo 1: Secuencia general

n

1 1 2 3 4( ) 1.5 1 2 2 2 1.5X z z z z z z

0

x[n]

1

2 2 2

1.5 1.5

[ ] [ 0 1.5 1 2 2 2 1.5 0 ]x n

Ejemplo 2: secuencia causal

• Dado:

• Su transformada Z será:

[ ] [1 2 3 0 4 1]x n

1 2 4 5( ) 1 2 3 4 1X z z z z z

¿Y si no partimos de la definición? Otro Enfoque

(más intuitivo)

4

TF TL

TDF

Relación con otras transformadas...

TF TL


TF TL

TDF


TF TL

TDF TZ


Otro enfoque...

• Un muestreador es un dispositivo esencial en sistemas discretos. Consta de un interruptor que se cierra a intervalos generalmente regulares "leyendo“ la entrada en determinados instantes t = nT

x(t) x(nT)

Muestreador

Otro enfoque...

• Si se toma la salida del muestreador como un tren de impulsos ponderados entonces podemos escribir:

*( ) ( ) ( ) con ( ) ( )T T

n

x t t x t t t nT

5

Otro enfoque...

• Se puede considerar al muestreador como un modulador del tren de impulsos unitarios mediante la entrada x(t):

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

x t x t t nT x nT t nT

Otro enfoque...

• Tomando la transformada de Laplace de la ecuación del muestreador:

* *( ) L{ ( )} ( ) nTs

n

X s x t x nT e

Otro enfoque...

• Tomando la transformada de Laplace de la ecuación del muestreador:

•

*( ) { ( )} ( ) n

n

X z Z x t x nT z

* *( ) L{ ( )} ( ) nTs

n

X s x t x nT e

Y definiendo e-sT = z-1 (Retardo en el dominio temporal)

Otro enfoque...

*( ) { ( )} [ ] n

n

X z Z x t x n z

Relación entre TZ y TL...

• La TZ, X(z), de una secuencia x(nT) no es otra cosa que la TL de la señal muestreada x*(t) con esT sustituida por la variable z.

• Esto define un mapeo entre el plano S y el plano Z denominado mapeo ideal:

s = ln(z/T)

Plano S Plano Z

Im(s) Im(z)

Re(s) Re(z)

1

Relación entre TZ y TL...

z = esT

fm /2

fm =1/T

6

Relación con la TF...

• La TZ de x[n] es función de z compleja:

( ) { [ ]} [ ] n

n

X z Z x n x n z

z e j f 2


• La TZ de x[n] es función de z compleja:

2 2( ) [ ]n

j f j f

n

X e x n e

( ) { [ ]} [ ] n

n

X z Z x n x n z


• En forma equivalente.

2

2

( )

[ ]

j f

n j fn

n

X e

x n e


• En forma equivalente:

[ ]. nTF x n

2 2( ) [ ]j f n j fn

n

X e x n e


• En forma equivalente

Exponencial real

¿Qué ocurre para distintos valores de ?

[ ] nTF x n

2 2( ) [ ]j f n j fn

n

X e x n e


• Como caso particular, cuando =1 o en forma equivalente |z|=1:

2( ) [ ]j fz eX z TF x n

7

Re

Im

Plano S

Re

Im

Plano Z

S = j z = ej

Definición Relación con la TF... Definición Relación con la TF...

Definición

Transformada de Laplace de x(t)

s = j

Transformada de Fourier de x(t)

z = esT Transformada Z de x[n]

z = ej

Transformada de Fourier de x[n]

- < <

= k2 / N, k = 0..(N-1)

TDF de x[n]

Resumen de las relaciones entre transformadas

t ≈ nT

θ ≈ k2π/N

Convergencia

• La convergencia depende de ya que puede forzar a la secuencia original a convertirse en otra que tenga TF.

• Si para x(n) no existe la TF, puede existir la TF de -n x(n) para determinados valores de y tener TZ.

• Puede decirse también que depende de los valores de z. Esto nos permite hablar de regiones de convergencia.

• Causal: plano Z excepto z = 0.

• No causal: plano Z excepto z = .

• Bilateral: plano Z excepto z = 0 y z = . Señales de duración finita

• Causal: |z| > r2.

• No causal: |z| < r1.

• Bilateral: r2 < |z| < r1.

Señales de duración infinita

Definición Región de convergencia

Transformada Z unilateral

Para secuencias causales…

8

TZ unilateral...

• Cuando la suma converge, define una función de z

• A la función X(z) así formada se la denomina Transformada Z unilateral de x[n].

0

( ) [ ] n

n

X z x n z

Sea por ejemplo, la secuencia:

x[n] = [n-2],

entonces x[2] = [0] =1, y x[n] = 0 para n ≠ 2;

luego, X(z) = z-2 y, en general:

[n – k] z-k

TZ unilateral...

Propiedades de la TZ

• Unicidad:

– Para cada secuencia x[n] corresponde una única transformada X(z).


• Linealidad:

– Para una secuencias x[n] y y[n] con transformadas X(z) y Y(z), entonces a a x[n] + b y[n] le corresponde una transformada a X(z) + b Y(z) con a, b R.


• Convolución:

– Si X(z), Y(z) y H(z) son las TZ de x[n], y[n] y h[n]

entonces la TZ de:

y[n] = x[n]*h[n], es Y(z) = X(z)H(z)

Teorema del Desplazamiento

9

• Dada x[n], se forma la secuencia x1[n] = x[n - 1] obtenida desplazando x[n] en una unidad

• Expresando la TZ de x1[n] en función de la TZ de x[n]:

X1(z) = x1[0] + x1[1]z-1 +...+ x1[1]z-n +...

= x[-1] + x[0]z-1 + x[1]z-2+...

= x[-1] + z-1{x[0] + x[1]z-1+...}

Teorema del desplazamiento

Es decir que:

X1(z)= x[-1] + z-1 {x[0] + x[1] z-1+...}


• Es decir que:

X(z)

• Entonces:

X1(z) = x[-1] + z-1X(z)


X1(z)= x[-1] + z-1 {x[0] + x[1] z-1+...}

Resumiendo

x[n] X(z)

x[n-1] z-1 X(z) + x[-1]

Generalizando

Siempre que x[n] sea causal

x[n] X(z)

x[n-m] z-m X(z)






Transformada Z


10

Encuentro la transferencia en Z

B2d2y(t)/dt2 + B1dy(t)/dt + B0y(t) = A0 x(t)

Aproximamos derivados con incrementos finitos:

B2 D2y[n]/T 2 + B1 Dy[n]/T + B0 y[n] = A0 x[n]

Multiplicamos ambos miembros por T 2 :

B2 D2y[n] + B1Dy[n]T + B0 y[n] T 2 = AoT 2 x[n]

Despejamos D2y[n] :

D2y[n] = -(B1/B2)Dy[n]T - (B0/B2) y[n]T 2 + (A0/B2) T 2 x[n]

Recordamos…

Dx[n] = x[n] - x[n-1]

D2x[n] = Dx[n] - Dx[n-1] = x[n] - 2x[n-1] + x[n-2]

y[n] – 2y[n - 1] - y[n-2] =

-(B1/B2) T (y[n] - y[n-1]) - (B0/B2) T 2 y[n]+ (A0/B2) T 2 x[n]

Agrupamos y nos queda la ecuación de recurrencia:

y[n] = b1 y[n-1] + b2 y[n-2] + a0 x[n]

Aplicamos el teorema del desplazamiento:

Y(z) {1- b1 z-1- b2 z

-2}= a0 X(z)

Expresamos como secuencias… Con lo que hallamos la

función de transferencia en Z

0

1 2

1 2

( )( )

( ) 1

aY zH z

X z b z b z

dyn(t)/dt = f (dxm(t)/dt, ... , x(t),dyn-1(t)/dt,...,y(t))

Y(s)

Y(z)

y[n]

ECUACION DIFERENCIAL

ECUACION DE RECURRENCIA

Transformada

de Laplace


Y(s)

Y(z)

y[n]

11

Transformada

de Laplace

Transformada Z

inversa


Y(s)

Y(z)

y[n]

Transformada

deLaplace

Transformada Z

inversa

?


Y(s)

Y(z)

y[n]

Transformada

deLaplace

Transformada Z

inversa

Transformación

Conforme


Y(s)

Y(z)

y[n]

Transformaciones Conformes S Z

Re(z)

Plano S Plano Z

Im(s) Im(z)

Re(s)

1

Transformaciones Conformes

• Transformación “ideal”

• Transformación de Euler

• Transformación Bilineal

12

Transformación de Euler

• La transformación de Euler aproxima la derivada de una función continua dy/dt por un cociente incremental:

dy

dt

y n y n

T

1

T: período de muestreo

De modo que:

Ldy

dtsY s

( )

Z

dy

dtZ

y n y n

T

z Y z

T

1 1 1

se transforma en:


De lo anterior se deduce que el mapeo entre el plano S y el plano Z queda definido por:

s

z

T

1 1


s

z

T

1 1

• Esta transformación puede ser utilizada únicamente en el mapeo de sistemas tipo pasa bajo, con frecuencias de corte bajas, ya que no cumple con todas las condiciones de mapeo.


11 zs

T

Plano S Plano Z

Re

Im

1


Re

Im


fm /2

Transformación Bilineal

sz

T z

2 1

1

1

1

13

1

1

12

1

zs

T z

Plano S

Re

Im

Re

Im

Plano Z

1

Transformaciones conformes Transformación Bilineal

∞ -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 -4

-2

0

2

4

f [Hz]

tita

[ra

d]


-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 -3

-2

-1

0

1

2

3

f [Hz]

tita

[ra

d]

Transformación Bilineal

= T

)tan(.T 2

θ2ω

fm = 1 kHz


|H(j)|

|H(ej)|


Aplicación

¿Cuando usar una transformación u otra?

Consideraciones prácticas

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0

1

2

3

4

5

6

[Hz]

Ma

gn

itu

d

Respuesta en frecuencia del sistema analógico

2

1 0,1( )

0,2 9,01

sH s

s s


Aplicación

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

[rad]

Magnitud

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

[rad]

Magnitud

fm = 5 Hz

fm = 100 Hz

Respuesta en frecuencia del sistema discreto

(Azul: Euler, Rojo: Bilineal)


Aplicación

14

fm = 100 Hz fm = 5 Hz

Euler

Bilineal

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imagin

ary

Part

Lugar de raices: Transformacion de Euler

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imagin

ary

Part

Lugar de raices: Transformacion Bilineal

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imagin

ary

Part

Lugar de raices: Transformacion de Euler

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imagin

ary

Part

Lugar de raices: Transformacion Bilineal


Aplicación

Ecuaciones de Recurrencia

• Cualquier ecuación diferencial ordinaria y de coefs constantes :

An y(n)(t)+...+A1y'(t)+Ao y(t) = Bm x(m)(t) +...+ Bo x(t)

donde y(t) es la salida frente a un estímulo x(t), puede expresarse mediante una ecuación de recurrencia de la forma:

1 0

[ ] [ ] [ ]N M

i j

i j

y n a y n i b x n j

• Partiendo la función de transferencia del

sistema, esta se puede expresar en términos de la transformada Z:

0

1

( )

1

M-j

j

j

N-i

i

i

b z

H z

a z

0

1

( )( )

( )1

M-j

j

j

N-i

i

i

b zY z

H zX z

a z

1 0

( ) ( ) ( )N M

-i -j

i j

i j

Y z a Y z z b X z z

1 0

( ) ( ) ( )N M

-i -j

i j

i j

Y z a Y z z b X z z

• Si anti-transformamos la ecuación:

• Obtenemos:

1 0

( ) ( ) ( )N M

-i -j

i j

i j

Y z a Y z z b X z z

1 0

[ ] [ ] [ ]N M

i j

i j

y n a y n i b x n j

15

Solución ecuaciones de recurrencia por TZ

• Los sistemas LTI pueden representarse mediante una ecuación de recurrencia de la forma:

y[n] + b1 y[n-1] + ... + bM y[n-M] =

ao x[n] + ... + aN x[n-N]

y[n] + b1 y[n-1] + ... + bM y[n-M] =

ao x[n] + ... + aN x[n-N]

• x[n] es una secuencia de entrada conocida, y[n] la secuencia de salida a esa entrada y h[n] la secuencia de la respuesta impulsional.

x[n] y[n]

h[n]

Condiciones inciales

• Para iniciar la recurrencia se necesitan los valores iniciales de y[n] con n variando entre -1 y –m

y[-1] = y-1, y[-2] = y-2, ...

• Si se especifican las condiciones iniciales, la ecuación de recurrencia tiene solución única.

• La respuesta en estado cero es la solución y[n] de la ecuación, con condiciones iniciales nulas

y-1 = 0; y-2 = 0; ...

• La respuesta en régimen libre es la solución de la ecuación cuando x[n] = 0 (ecuación homogénea)

Condiciones inciales

Resolución de la ecuación usando TZ

1- Obtener la transformada de ambos miembros:

{y[n] +...+ bm y[n-m] } z-n = { ao x[n] + ... + am x[n-m]} z-n

Por el teorema del desplazamiento, el segundo miembro es:

(a0 +...+ am z-m) X(z)

y el primero se puede expresar en función de la

transformada Y(z) de y[n] y de las condiciones iniciales.

2-Resolver la ecuación algebraica que resulta para Y(z).

3-Determinar la transformada inversa de Y(z).

Funciones de Transferencia de Sistemas Discretos

16

Sistemas Discretos

• Sistemas Autorregresivos(AR)

• Sistemas Moving Average (MA)

• Sistemas ARMA

Sistemas AR

• Su salida en un instante depende del valor actual de la entrada y de los valores anteriores de la propia salida

0

1

0 1

( )( )

( ) ... m

m

aY zH z

X z b b z b z

Sistemas MA

• Su salida depende solamente del valor actual de la señal de entrada y sus valores anteriores.

1

0 1

( )( ) ...

( )

n

n

Y zH z a a z a z

X z

Sistemas ARMA

• Son los más generales, donde la salida depende de valores anteriores de la entrada y de la propia salida.

1

0 1

1

0 1

...( )( )

( ) ...

n

n

m

m

a a z a zY zH z

X z b b z b z

Sistemas ARMA

• Estos sistemas son causales si, siendo bm es el primer coeficiente no nulo en el denominador (b0= b1=...= bm-1=0), entonces a0= a1=...= am-1=0 en el numerador.

• De otra manera la salida dependería de los valores futuros de la entrada y de la propia salida.

Sistemas ARMA

17

Dada una X(z):

¿Cómo hallar la secuencia x[n] asociada?

El Problema de la Inversión

• Fórmula de Inversión

• Desarrollo en serie de potencias

• Uso de tablas

El Problema de la Inversión

Fórmula de Inversión

• La secuencia x[n] se obtiene resolviendo una integral de contorno por aplicación del teorema de los residuos.

• Frecuentemente esta metodología es muy compleja y por lo tanto poco utilizada.

11[ ]

2

n

c

x n X z z dzj

Desarrollo en serie e inspección

• Se desarrolla

• y se obtienen los valores de x[n] por inspección

0

1 2

( ) ( )

[0] [ ] [2 ] ...

n

n

X z x nT z

x x T z x T z

Tablas

• En este método se intenta expresar la función X(z)

como una suma:

X(z) = X1(z) + ... + Xk(z)

donde X1(z), …, Xk(z) son funciones con transformadas inversas conocidas:

x1[n], ... , xk[n]

• Si X(z) puede expresarse así, su transformada inversa x[n] será la suma:

X[n] = x1[n] + ... + xk[n]

Bibliografía recomendada

• Oppenheim, A. V. and R. W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, Prentice-Hall, 1989.

• Kwakernaak: Cap. 8

• Sinha: Cap. 6

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