República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria

Instituto Universitario de Tecnología de Cabimas

Unidad Curricular: Procesamiento Digital de Señales

Cabimas – Estado Zulia

EJERCICIOS DE TRANSFORMADA Z

Elaborada por:

Profesor: Ing. Iván Ochoa

Sección: 01

Cabimas, Julio de 2012

Generalidades de Transformada Z Función Impulso Discreto

La contraparte en el dominio z de la función impulso continuo es

(kT) = {

A diferencia de su contraparte continua, es una función bien definida. La transformada Z es:

{ } ∑

Al recordar que la transformada de Laplace de también es 1. Por tanto, la

función impulso discreto, es igual que su contraparte continua, representa la inyección instantánea de “energía” en un sistema.

Función Escalón Discreto

A continuación se considera la función escalón discreta

{

La transformada Z del escalón unitario es

{ } ∑

Al multiplicar ambos lados de esta última ecuación por z se obtiene

∑

Un poco de reacomodo da entonces

Función Rampa Discreta Sea

{

Entonces

∑

A continuación se observa

∑

∑

∑

, | |

Por tanto

[

]

| |

Función Exponencial Discreta Sea

{

Entonces

∑

∑

∑

| |

Función Coseno Discreto Sea

{

El primer paso es escoger la representación alternativa

(

)

Entonces

∑

∑

[

]

(

)

[ ]

| |

Actividad Nº 1. (Entregarla Sábado 14/07/2012) Función Seno Discreto Sea

{

Encuentre X(z)

PROBLEMAS EJEMPLOS DE TRANSFORMADA Z INVERSA

Para la función

Encuentre Y(n) Solución: En primer lugar se divide Y(z) entre z se obtiene una fracción parcial que se parece a la de una función de transferencia continua.

En segundo lugar se procede a encontrar las constantes A, B y C: 1er Método:

Eliminando denominadores se tiene que

Empleando el método de los coeficientes indeterminados y reagrupando en polinomio el término de la izquierda de la igualdad queda

Entonces, ahora si podemos igualar los coeficientes

(1) (2)

(3) De (3) despejamos A tenemos A= 1/0.5= 2 Ahora sustituiremos el valor encontrado de A en (1) y (2)

(4) (5)

Si sumamos (4) con (5) se tiene

Sustituyendo B en (4)

2do Método: Para encontrar la constante A se tiene que

|

Para encontrar la constante B se tiene que

|

Para encontrar la constante C se tiene que

|

De manera que

Despejando Y(z)

Ahora aplicando la Transformada Inversa Z

{ } { } {

} {

}

Sea

Encuentre Y(n) Solución: El factor multiplicativo z en el numerador indica que no habrá término constante en la expresión en fracciones parciales, la que puede escribirse como

La evaluación prosigue exactamente como se haría para una transformada de Laplace Para la constante A se tiene

|

La evaluación de prosigue de la misma manera

|

Transformamos de coordenadas rectangulares a polar el numerador y denominador

Transformamos de grados a radianes y se tiene

, de aquí se tiene M= y

De modo que

Aplicamos la Transformada Inversa Z

{ } {

} {

} {

}

| | (√ )

Debemos recordar que para encontrar la frecuencia amortiguada w se realiza de la siguiente manera

Finalmente se tiene que

Sea

Encuentre Y(n) Solución:

Eliminamos denominadores

Reordenamos el polinomio de la izquierda de la igualdad

Ahora aplicamos el método de los coeficientes indeterminados

Tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, sumemos a (2) con (3)

Da como resultado

Ahora sumemos (1) y (4)

Resulta

Sustituimos A en (1)

Para encontrar C sustituimos A y B en (2)

Luego

Aplicamos la Transfomada Inversa Z

{ } {

} {

} {

}

Actividad Nº 2 (Entregarla Sábado 14/07/2012) Encuentre Y(n) en:

1)

2)

3)

PROBLEMA EJEMPLO DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS

1. Considere la siguiente ecuación en diferencias

Con Encuentre Y(n) Solución: Aplicamos la fórmula de la transformada Z de x(k+n), de esta forma { } donde n es un entero positivo. Luego

{ } { } { } { } { } { } { } { } { }= { } Sustituyendo las transformada en la ecuación general Agrupamos a Y(z) (

Despejando Y(z)

Factorizamos el denominador

Dividimos ambos miembros por z

Aplicamos fracciones parciales

Para encontrar A, B y C aplicamos

|

|

|

Luego

Aplicando la Transformada Z Inversa

{ }

{ }

{

}

{

}

Actividad Nº 3 (Entregarla Sábado 14/07/2012)

Resuelva la siguiente ecuación en diferencias

En donde

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