02 Transformada Z

CONTROL DIGITAL

Universidad de Cuenca Departamento de Ingeniería Eléctrica,

Electrónica y Telecomunicaciones

SESIÓN 2 TRANSFORMADA Z

Ismael Minchala Avila

AGENDA

•  Introducción •  Definición Transformada Z •  Transformada de Funciones Elementales •  Propiedades de la Transformada Z •  Transformada Z Inversa

–  División Directa –  Método Computacional –  Fracciones Parciales –  Integración Compleja

•  Tarea 02 2

INTRODUCCIÓN(1)

•  En un sistema de control en tiempo discreto, una ecuación en diferencias lineal caracteriza la dinámica del sistema. Para determinar la respuesta del sistema a una entrada dada, se debe resolver dicha ecuación en diferencias.

•  Señales en Tiempo Discreto. Las señales en tiempo discreto surgen si el sistema involucra la operación de muestreo de señales en tiempo continuo. La señal muestreada es x(0), x(T), x(2T), ... , donde T es el período de muestreo.

3

INTRODUCCIÓN(2)

4

t

x(t)

T

0

2T 3T 4T 5T kT

…

( )∑∞

=

−=0k

T kTtδδ

TRANSFORMADA Z(1)

•  Tren de pulsos (señal portadora)

•  Señal continua (moduladora), x(t)

•  Señal muestreada, x*(t):

5

( )∑∞

=

−=0k

T kTtδδ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑

∑∞

=

∞

=

∞

=

−=−=

−==

00

0

*

*

kk

kT

kTtkTxkTttxtx

kTttxttxtx

δδ

δδ

TRANSFORMADA Z(2)

6

( ){ } ( ){ } ( )

( ) ( )∫∞

∞−

−=

=⇒

dtetxzX

zXkTxZtxL

st*

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫∑∫∞

=

∞−

∞

=

−∞

−=−=0 00 0 k

st

k

st dtekTtkTxdtekTtkTxzX δδ

( ) ( )∑∞

=

−=0k

kTsekTxzX

TRANSFORMADA Z(3)

•  Considerando eTs como un adelanto temporal y e-Ts como un operador de retardo:

7

z

ezez

Ts

Ts

lnT1s

RetrasodeOperadorAdelantodeOperador

1

=

∴

→=

→=−−

X z( ) = x kT( ) z−kk=0

∞

∑

FUNCIONES ELEMENTALES(1)

•  Delta de Kronecker

8

( )⎩⎨⎧

≠

==

0001

0 kk

kδ

( ){ } ( ) k

k

k zzzzkkZ −−−∞

=

− +++==∑ 0...01 10

000 δδ

( ) 10 =Δ z

FUNCIONES ELEMENTALES(2) •  Escalón Unitario

9

( )⎩⎨⎧

<

≥=

0001

kTkT

kTx

( ){ } ( ) k

k

k zzzzkTxkTxZ −−−∞

=

− ++++==∑ ...1 21

0

Considerando que la serie: 1 + r + r2 + r3 + … + rk = (1 – r)-1, siempre que |r| > 1, entonces:

( )11

11 −=

−=

− zz

zzX

FUNCIONES ELEMENTALES(3) •  Rampa Unitaria

10

( )⎩⎨⎧

<

≥=

000

kTkTkT

kTx

( ){ } ( )

( ) ( )kk

k

k

k

k

k

kzzzzTzX

kzTkTzzkTxkTxZ

−−−−

∞

=

−∞

=

−∞

=

−

+++=

=== ∑∑∑

...32 321000

( )( ) ( )221

1

11 −=

−=

−

−

zTz

zTzzX


11


12

PROPIEDADES(1)

•  Linealidad

•  Prueba

13

( ){ } ( )( ){ } ( )( ) ( ){ } ( ) ( )zGzFkgkfZ

zGkgZzFkfZ

βαβα +=+

=

=

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ){ } ( ){ }( ) ( ) ( )zGzFzX

kgZkfZzX

zkgzkfzkgkfzX

kgkfZkxZzX

k

k

k

k

k

k

βα

βα

βαβα

βα

+=

+=

+=+=

+==

∑∑∑∞

=

−∞

=

−∞

=

−

000

PROPIEDADES(2)

•  Multiplicación por ak

•  Prueba

•  Ejemplo:

14

( ){ } ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=azFkfaZ k

( ) ( ){ } ( ) ( )( ) ( )∑ ∑∞

=

∞

=

−−−− ====0 0

11

k k

kkkk zaXzakxzkxakxaZzX

{ } ( ){ }( ){ }

( ){ }( ) az

zazza

kaZ

zkZ

kaZaZ

k

kk

−=

−=

−=∴

−=

=

−−−

−

111

1

11

111

111

1

PROPIEDADES(3) •  Traslación Real

•  Ejemplo

15

( ){ } ( )

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )

( ){ } ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=+

−=−−=−=−=+

=−

∑−

=

−

−

−

1

0

1 1...10n

k

kn

nnn

n

zkxzXznkfZ

nkzfkfzkfzzFznkfZ

zFznkfZ

( ) ( ) ( )( ){ } ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )010

1

11

11

zxzzXzXzxzzXkxZkxkxkx

zzXzXzzXkxZkxkxkx

−−=−−=∇

−+=∇

−=−=∇

−−=∇−−

PROPIEDADES(4) •  Traslación Compleja

•  Ejemplo

16

( ){ } ( ) ( )( ) ( )∑ ∑∞

=

∞

=

−−−− ===0 0k k

aTkaTkakTat zeXzekTxzekTxtfeZ

{ } ( ){ }( ){ }

( ) ( ) aTaTaT

atat

ezz

ezzeFzF

zkZ

keZeZ

−−−

−

−−

−=

−==

−=

=

1

1

11

111

1

EJERCICIO

•  Hallar la transformada z de la función sin(ωt).

17

( ){ }

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) 1cos2

sin1cos2

sin221

21

21

2sin

2

2

2

22

+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++−

+−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=

−−

−

−

−

TzzTzzF

TzzzTj

jzF

ezeezzezzez

jezz

ezz

jzF

jeeZtZ

TjTjTjTj

TjTj

TjTj

tjtj

ωω

ωω

ω

ωωωω

ωω

ωω

ωω

PROPIEDADES(5) •  Valor Inicial

•  Ejemplo

18

( ) ( )zFtfzt ∞→→

= limlim0

( )

( ) 11

1lim0

11

1

1

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

−=

−−∞→

− −

zex

ezX

aTz

aTz

PROPIEDADES(6) •  Valor Final

•  Ejemplo

19

( ) ( ) ( )[ ]zFztfzt

1

11limlim −

→∞→−=

( )

( ) ( ) 01

11lim

11

11

1

1

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=∞→

−=

−−−

→

− −

zeztx

ezX

aTz

aTz

PROPIEDADES(7) •  Diferenciación Compleja

•  Ejemplo

20

( ){ } ( ){ } ( )dzzdFzTkTkTfZttfZ −==

{} ( ){ }

( )( )21

1

1

1

111

−

−

−

−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−==

zTzzF

zdzdzTkTkTZtZ

TRANSFORMADA Z INVERSA(1)

•  Método de División Directa –  Numerador y denominador en potencias ascendentes de z-1

–  El método no produce una expresión en forma cerrada para x(k), excepto en casos especiales.

•  Ejemplo. Hallar la transformada z inversa de la siguiente función de transferencia:

21

( ) 321

21

027.02135.003533.01135.0

−−−

−−

+−−

+=

zzzzzzF


22

TRANSFORMADA Z INVERSA(3) •  Método Computacional

–  Numerador y denominador de X(z) en potencias de z-1

–  X(z) = G(z) U(z), con U(z) = 1, u(kT) = δ0(kT) –  Se obtiene una ecuación de diferencias para x(k), que

posteriormente se evalúa y luego a través de un programa en un computador se hallan los valores de x(k), para k = 0, 1, 2…

•  Ejemplo

23

( )24.0

382 +−

+=

zzzzX


24

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) 112

8100

2318224.013824.0

24.0138

2121

21

21

=

=

=

−+−+−−−=

+=−−

+−

+=

−−−−

−−

−−

xxx

kukukxkxkxzUzzUzzXzzXzzX

zUzz

zzzX

TRANSFORMADA Z INVERSA(5) •  Expansión en Fracciones Parciales

–  Utilizar X(z)/z si X(z) posee al menos un cero en el origen. –  Recuperar X(z) para relacionar cada término de la expansión

con una forma reportada en tablas, pe:

25

( )

( )1

21

1

11

1

1

1

1

1

11

111

−

−

−

−−

−

−

−

−

−

−

−

k

k

k

kaazz

aazz

aaz

kz

TRANSFORMADA Z INVERSA(6) •  Ejemplo

26

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( ) 1

1

1

14.0

2

6.01

212

4.0131

6.0139

4.031

6.039

314.06.0

384.0

394.06.0

386.0

4.06.04.06.038

24.038

−

−

−

−

=

=

−−

−=

−−

−=

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

+−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

+−=

−+

−=

−−

+=

+−

+=

zz

zz

zzzX

zzzzk

zzzzk

zk

zk

zzz

zzzzX

z

z

( ) ( ) ( ) 11 4.0316.039 −− −= kkkx

TRANSFORMADA Z INVERSA(7) •  Método de Integración Compleja

•  Si el polo zj es simple, el residuo Kj es:

•  Si el polo zi es un polo múltiple de orden ni, el residuo Ki es:

27

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]∑

∫−−

−

=

===

11

1 ,...2,1,021

kkc

k

zzXdepolosenzzXderesiduoskx

kdzzzXj

kTxkxπ

( ) ( )[ ]1lim −

→−= k

jzzj zzXzzKj

Ki =1

ni −1( )!limz→zi

d ni−1

dzni−1z− zi( )ni X z( ) zk−1#

$%&

'()

*+,

TRANSFORMADA Z INVERSA(8) •  Se recomienda aplicar este método cuando no hay polos

en el origen, de haberlos utilizar fracciones parciales.

•  Ejemplo

28

( )( )( )

( ) ( ) ( )[ ]

( )( )( )

( )

( )( )( )

( )

( ) ( ) ( )kk

k

z

k

k

z

k

kk

KKkx

zzz

zzK

zzz

zzK

zzXpolosenzzXderesiduoskxzz

zzzzzX

4.05.776.065

4.05.774.06.0

384.0

6.0654.06.0

386.0

4.06.038

24.038

21

4.0

12

6.0

11

11

2

−=+=

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

+−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

+−=

=

−−

+=

+−

+=

=

−

=

−

−−∑

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS(1) •  Obtener x(k) tal que:

29

x k + 2( )+3x k +1( )+ 2x k( ) = 0 x 0( ) = 0; x 1( ) =1z2X z( )− z2x 0( )− zx 1( )+3 zX z( )− zx 0( )"# $%+ 2X z( ) = 0

X z( ) = zz2 +3z+ 2

= z 1z+ 2( ) z+1( )

X z( ) = zz+1

−z

z+ 2

( ) ( ) ( )kkkx 21 −+−=

TAREA 02 •  En grupos de dos personas, realizar los siguientes

ejercicios:

1.  Resolver la siguiente ecuación de diferencias:

2.  Encontrar la transformada Z de la curva que se presenta en la figura.

3.  Utilizando los teoremas de valor inicial y final, encontrar los valores iniciales y finales de la función.

30

x k + 2( )− x k +1( )+ 0.25x k( ) = u k + 2( )x 0( ) =1; x 1( ) = 2u k( ) =1 k = 0,1, 2,....

TAREA 02

31

02 Transformada Z

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