Transformada z Inversa

MatematicasAvanzadas

paraIngeniera:

TransformadaZ Inversa

Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias

Matematicas Avanzadas para Ingeniera:Transformada Z Inversa

Departamento de Matematicas

MA3002


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias

Transformada z InversaLa transformada Z inversa de una funcion de variable complejaX (z) se define como

x(n) =1

2pi i

CX (z) zn1 dz

donde la integral se calcula sobre una curva cerrada simple Cpostivamente orientada que encierra el origen y que cae en laregion de convergencia (ROC) de X (z). A pesar de ladefinicion, es mas conveniente calcular la transformada Zinversa buscando la senales que tienen como transformada Z ala expresion X (z). Veremos tales metodos.


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias

Metodo de Fracciones ParcialesEn la mayora de las aplicaciones el problema consiste endeterminar la transformada Z inversa de una funcion racionalX (z). Es decir, de la division entre dos polinomios. El Metodode Fracciones Parciales la expresion se convierte en unacombinacion lineal de transformadas de funciones basicas como(n), an u(n) y n an u(n). De ser posible tal descomposicion,entonces es sencillo encontrar la transformada inversa mediantela aplicacion de una tabla. En muchos casos, sera masconveniente primero desarrollar X (z)/z en fracciones parciales,y despues despejar X (z) multiplicando por z . Ello porque elcaballito de batalla es Z {an u(n)} = z/(z a) y cuandomultipliquemos por z los factores lineales quedaran a modo.


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias

Metodo Rapido de Fracciones Parciales IEs practico que recuerde el metodo rapido para el calculo defracciones parciales en el caso de terminos lineales NOREPETIDOS: En el desarrollo de fracciones parciales cuandoz = a NO es un cero de Q(z)

P(z)

(z a)Q(z) =A

z a +R(z)

Q(z)

el valor de A puede calcularse en forma independiente de R(z)mediante la formula

A =P(a)

Q(a)


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias

Metodo Rapido de Fracciones Parciales IIEs tambien practico que recuerde el metodo rapido para elcalculo de fracciones parciales en el caso de terminos linealesREPETIDOS: En el desarrollo de fracciones parciales cuandoz = a NO es un cero de Q(z)

P(z)

(z a)2Q(z) =A

(z a)2 +B

(z a) +R(z)

Q(z)

el valor de A puede calcularse en forma independiente de R(z)mediante la formula

A =P(a)

Q(a)

mientras que el valor de B se calcula como

B =P (a) A Q (a)

Q(a)


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias

Metodo Rapido de Fracciones Parciales IIICuando en el denominador se tiene un cero de orden tres:

P(z)

(z a)3Q(z) =A

(z a)3 +B

(z a)2 +C

(z a) +R(z)

Q(z)

(Se supone que Q(a) 6= 0). Entonces los coeficientes puedencalcularse por las formulas:

A =P(a)

Q(a)

B =P (a) A Q (a)

Q(a)

C =P (a) A Q (a) 2B Q (a)

2!Q(a)


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias

Ejemplo 1Calcule la transformada Z inversa de

X (z) =z

(z 15)(z 14)

SolucionTrabajamos mejor con

X (z)

z=

1

(z 15)(z 14)=

A

z 15+

B

z 14=20z 15

+20

z 14Para a = 1/5: P(z) = 1, Q(z) = z 1/4, P(a) = 1,Q(a) = 1/5 1/4 = 1/20 y as A = 20. Para a = 1/4:P(z) = 1, Q(z) = z 1/5, P(a) = 1,Q(a) = 1/4 1/5 = 1/20 y as B = 20. As

X (z) = 20 zz 15

+20 zz 14

: x(n) =

(20 1

5n+ 20 1

4n

)u(n)


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias


X (z) =z

(z 15)(z 14)Solucion

Trabajamos mejor con

X (z)

z=

1

(z 15)(z 14)=

A

z 15+

B

z 14=20z 15

+20

z 14Para a = 1/5: P(z) = 1, Q(z) = z 1/4, P(a) = 1,Q(a) = 1/5 1/4 = 1/20 y as A = 20. Para a = 1/4:P(z) = 1, Q(z) = z 1/5, P(a) = 1,Q(a) = 1/4 1/5 = 1/20 y as B = 20. As

X (z) = 20 zz 15

+20 zz 14

: x(n) =

(20 1

5n+ 20 1

4n

)u(n)


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias

TI: Fracciones parciales para el ejemplo 1

El unico inconveniente sera que debemos hacer un poco dearitmetica para que el coeficiente en la z del denominador sea1: por ejemplo, en la primera fraccion debemos dividirnumerador y denominador entre 4, mientras que en el segundoentre 5.


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias


X (z) =z2

(z 12)(z + 13)


X (z)

z=

z

(z 12)(z + 13)=

A

z 13+

B

z + 13=

35

z 12+

25

z + 13

AsX (z) = 35 zz 1

2

+ 25 zz( 13)

x(n) =

(3

5(

1

2

)n+

2

5(1

3

)n)u(n)


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias


X (z) =z2

(z 12)(z + 13)Solucion


X (z)

z=

z

(z 12)(z + 13)=

A

z 13+

B

z + 13=

35

z 12+

25

z + 13

AsX (z) = 35 zz 1

2

+ 25 zz( 13)

x(n) =

(3

5(

1

2

)n+

2

5(1

3

)n)u(n)


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias


El unico inconveniente sera que debemos hacer un poco dearitmetica para que el coeficiente en la z del denominador sea1: por ejemplo, en la primera fraccion debemos dividirnumerador y denominador entre 15, mientras que en el segundoentre 10.


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias


X (z) =z

z2 2 z + 2 =z

(z (1 + i))(z (1 i))


X (z)

z=

A

z (1 + i) +B

z (1 i) =12 i

z (1 + i) +12 i

z (1 i)As

X (z) = 12 i zz(1+i) + 12 i zz(1i)

x(n) =

(1

2i (1 + i)n + 1

2i (1 i)n

)u(n)


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias


X (z) =z

z2 2 z + 2 =z

(z (1 + i))(z (1 i))Solucion


X (z)

z=

A

z (1 + i) +B

z (1 i) =12 i

z (1 + i) +12 i

z (1 i)As

X (z) = 12 i zz(1+i) + 12 i zz(1i)

x(n) =

(1

2i (1 + i)n + 1

2i (1 i)n

)u(n)


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias

TI: Fracciones parciales para el ejemplo 3Es un poco mas enredado, pero no tanto: debemos pensar laexpresion como:

p

f1 f2

En este caso calculamos directamente los coeficientes de lasfracciones.


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias


X (z) =z2 2 z + 2z2 712 z + 112

=z2 2 z + 2

(z 13)(z 14)

SolucionTrabajamos mejor con X (z)/z y aplicamos fracciones parciales:

X (z)

z=

A

z+

B

z 13+

C

z 14=

24

z+

52

z 13 75

z 14As

X (z) = 24 1 + 52 zz 13

75 zz 14

x(n) = 24 (n) +(

52 (

1

3

)n 75

(1

4

)n)u(n)


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias


X (z) =z2 2 z + 2z2 712 z + 112

=z2 2 z + 2

(z 13)(z 14)Solucion

Trabajamos mejor con X (z)/z y aplicamos fracciones parciales:

X (z)

z=

A

z+

B

z 13+

C

z 14=

24

z+

52

z 13 75

z 14As

X (z) = 24 1 + 52 zz 13

75 zz 14

x(n) = 24 (n) +(

52 (

1

3

)n 75

(1

4

)n)u(n)


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias


Nuevamente debemos hacer un poco de aritmetica para que elcoeficiente en la z de cada denominador sea 1: por ejemplo, enla primera fraccion debemos dividir numerador y denominadorentre 4, mientras que en el segundo entre 3.


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias


X (z) =z2(

z 13)2 (

z 12)

SolucionTrabajamos mejor con X (z)/z y aplicamos fracciones parciales:

X (z)

z=

z(z 13

)2 (z 12

) = A(z 13

)2 + B(z 13) + C(z 12)Para calcular A y B: tenemos que a = 1/3, P(z) = z yQ(z) = z 1/2, por tanto

A =P(a)

Q(a)=

13

13 12

= 2

yB =

P (a) AQ (a)Q(a)

=1 (2)(1)16

= 18


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias

Ejemplo 5 (continuacion)

Para calcular C : tenemos que a = 1/2, P(z) = z yQ(z) = (z 1/3)2, por tanto:

C =12(

12 13

)2 = 18As

X (z) = 2 z(z 12

)2 18 zz 13 + 18 zz 12y por tanto

x(n) =

(2 n

(1

3

)n1 18

(1

3

)n+ 18

(1

2

)n)u(n)


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias


Nuevamente debemos hacer un poco de aritmetica para que elcoeficiente en la z de cada denominador sea 1: por ejemplo, enla primera fraccion debemos dividir numerador y denominadorentre 3, el segundo entre 9 (pues el factor es 3 y el exponentees 2) y el tercero entre 2.


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias


X (z) =z2 + 1

z2(z 13)

Trabajamos mejor con X (z)/z y aplicamos fraccionesparciales:

X (z)

z=

z2 + 1

z3(z 13)=

A

z3+

B

z2+

C

z+

D

z 13Aplicando los metodos de fracciones parciales descritos tenemosque: A = 3, B = 9, C = 30 y D = 30 y por tanto

X (z) = 3 1z2 9 1

z 30 1 + 30 z

z 13

x(n) = 3 (n 2) 9 (n 1) 30 (n) + 30 (

1

3

)nu(n)


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias


Nuevamente debemos hacer un poco de aritmetica para que elcoeficiente en la z de cada denominador sea 1: por ejemplo, enla primera fraccion debemos dividir numerador y denominadorentre 3.


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias

Ejemplo 7Considere una senal gobernada por la ecuacion en diferencias:

y(n) = 2 x(n) x(n 1) + 3 x(n 2)+ 920

y(n 1) 120

y(n 2)

con condiciones iniciales y(1) = 3 y y(2) = 2 para unaentrada x(n) = u(n), la funcion escalon unitario.

Aplicaremos la transformada Z en ambos miembros utilizandolas propiedades:

Z {x(n)} = zz1 ; Z {x(n 1)} = 1z1 ; Z {x(n 2)} = 1z(z1)Z {y(n)} = Y (z);Z {y(n 1)} = y(1) + z1 Y (z) = 3 + z1 Y (z)Z {y(n 2)} = y(2) + z1 y(1) + z2 Y (z)

= 2 + 3 z1 + z2 Y (z)


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias

Ejemplo 7Considere una senal gobernada por la ecuacion en diferencias:

y(n) = 2 x(n) x(n 1) + 3 x(n 2)+ 920

y(n 1) 120

y(n 2)

con condiciones iniciales y(1) = 3 y y(2) = 2 para unaentrada x(n) = u(n), la funcion escalon unitario.Aplicaremos la transformada Z en ambos miembros utilizandolas propiedades:

Z {x(n)} = zz1 ; Z {x(n 1)} = 1z1 ; Z {x(n 2)} = 1z(z1)Z {y(n)} = Y (z);Z {y(n 1)} = y(1) + z1 Y (z) = 3 + z1 Y (z)Z {y(n 2)} = y(2) + z1 y(1) + z2 Y (z)

= 2 + 3 z1 + z2 Y (z)


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias


Aplicando en ambos miembros la transformada Z y obtenemos

Y (z) = 2 zz1 1z1 + 3z(z1)+920(3 + z

1 Y (z)) 120 (2 + 3 z1 + z2 Y (z))

Despues de multiplicar por z2 tenemos:

z2 Y (z) =z (2 z2 z + 3)

z 1 +(

5

4z2 3

20z

)+

(9

20z 1

20

)Y (z)

De donde:(z2 9

20z +

1

20

)Y (z) =

z (2 z2 z + 3)z 1 +

(5

4z2 3

20z

)As:

Y (z)

z=

(2 z2z+3)z1(

z2 920 z + 120) + (54 z 320)(

z2 920 z + 120)


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias


Factorizando denominadores:

Y (z)

z=

2 z2 z + 3(z 1) (z 15) (z 14) +

(54 z 320

)(z 15

) (z 14

)de donde:

y(n) =20

3+ 72

(1

5

)n 230

3

(1

4

)n2

(1

5

)n+

13

4

(1

4

)n=

20

3+ 70

(1

5

)n 881

12

(1

4

)nvalida para , n = 0, 1, 2, . . .


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias


y(n) =20

3+ 72

(1

5

)n 230

3

(1

4

)n2

(1

5

)n+

13

4

(1

4

)n=

20

3+ 70

(1

5

)n 881

12

(1

4

)nParticular Con entrada cero

Transitoria

Estado estable


paraIngeniera:


Departamentode

Matematicas

X1(z)

MFP

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Referencias

Referencias

Captulo 10 de: D. Sundararajan: A practical approachto Signals and Systems. 2008. John Wiley and Sons.www.wiley.com/go/sundararajan

X-1(z)MFPEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Referencias

Transformada z Inversa

Documents

Transcript of Transformada z Inversa