Diapositiva 1Prof. Raquel Frías Análisis de Señales
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La Transformada Z
La transformada Z es la contraparte en tiempo discreto de la transformada de Laplace en tiempo continuo.
Definición
La transformada Z de una secuencia en tiempo discreto X[n] se define como:
Donde z es una variable compleja, esta transformada también es llama Transformada Z bilateral
En la práctica aparecen muchas señales de tiempo discreto mediante el muestreo de una señal de tiempo continuo x(t).
La transformada Z hace posible el análisis de ciertas señales discretas que no tienen transformada de Fourier en tiempo discreto; pudiéndose demostrar que la transformada Z se reduce, a la transformada de Fourier de tiempo discreto cuando la variable de transformación es unitaria ó sea cuando |Z| = 1 .
Transformada Z
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La Transformada Z
Si la secuencia es causal, la transformada Z se convierte en Transformada Z unilateral, como sigue:
Ejemplo 1: Dada la secuencia x[n] = d [n] Hallar la Transformada Z bilateral.
La secuencia esta definida por:
X[Z] = 1·Z0 = 1
x[n] = X[z] = d [n]
Tema 5. La Transformada Z.
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La Transformada Z
Ejemplo 2: Sea x[n] = e-anT u[n] la secuencia obtenida al muestrear x(t) = e-at u(t) cada T segundos Hallar la Transformada Z bilateral.
Sabiendo que
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Convergencia de la Transformada Z
Es el conjunto de valores de la variable compleja z para los cuales existe la serie de potencias que definen a la transformada Z, es decir, tiene un valor finito.
La convergencia de la transformada Z depende solamente de z= 1, lo cual indica un circulo unitario en el plano complejo z. Lo que muestra que la región de existencia de la Transformada z bilateral es un anillo cuyo radio r1 depende de x[n].
1
0 < r1 < 1
Si x[n] es la suma de varias secuencias, x [z] solo existe si hay un conjunto de valores de z para los que la transformada de cada una de las secuencia que forman la suma converge. La ROC es la intersección de las ROC de cada una de las secuencias.
r1
x
Im(z)
Re(z)
Im(z)
Re(z)
r1
x
1
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La Transformada Z
Ejemplo 3: Dada la secuencia x[n] Hallar x[z] y la ROC.
|Z| > 1/3
Sabiendo que
Por definición
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Linealidad
Si X1[n] y X2[n] son dos secuencias discretas con transformadas X1[Z] y X2[Z], entonces:
Siendo a1 y a2 constantes reales
Desplazamiento Temporal
Sea X[n] una secuencia causal con TZ X[Z]. Entonces, dado cualquier entero n0 > 0, se tiene :
ó también
2
Ejemplo: Considere la ecuación en diferencia y[n] – 1 y[n-1] = δ[n] y la condición inicial y[-1] = 3 Halle y[n] para n ≥ 0.
Y[Z] - 1 Z-1 (Y[Z] + y[-1 ] Z) = 1
2
2
2
2
Tema 5. La Transformada Z.
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Multiplicación por an (Escalado en Frecuencia)
Si X[Z] es la transformada Z de X[n], entonces:
Ejemplo: Halle la transformada Z de X[n] = anU[n].
Solución
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De forma general tenemos:
Ejemplo: Sea y[n] = n(n+1)U[n], halle y[Z].
y[n] = n2U[n] + nU[n]
Sea la transformada Z de una secuencia causal X[n], su derivada será:
Tema 5. La Transformada Z.
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Convolución
Dada las secuencias causales X[n] y y[n] con transformadas Z para ambas secuencias tenemos:
En particular, si X[n] es la entrada de un sistema lineal invariante en el tiempo y h[n] es la respuesta al impulso, entonces se tendrá que:
donde H[Z] es la transformada de h[n]
Ejemplo: Dadas las secuencias X[n] = {1,3,-1,-2} y la respuesta la impulso h[n] = {1,2,0,-1,1} en un sistema LTI. Hallar y[n] = X[n]*h[n], usando la Transformada Z.
y[Z] = 1+5Z-1+5Z-2-5Z-3-6Z-4+4Z-5+Z-6-2Z-7
y[n] = {1,5,5,-5,-6,4,1,-2}
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Teorema del Valor Inicial
Desarrollando la sumatoria, se tiene :
X[Z] = X[0] + X[1]Z-1 + ... + X[n]Z-n
Se puede observar que cuando Z tiende a infinito, Z-n tiende a cero para todo n, por tanto:
Ejemplo: Halle el valor inicial de una secuencia X[n] cuya transformada Z es:
Se puede observar que X[n] = U[n]
El teorema del valor inicial es una herramienta útil para comprobar la TZ de una secuencia.
Tema 5. La Transformada Z.
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Teorema del Valor Final
Sea X[n] una secuencia causal. El valor de X[n] a medida que n tiende a infinito se puede dar por la siguiente expresión:
Siempre que el valor final exista, o sea que exista X[n] cuando n tiende a infinito.
Ejemplo: Halle el valor final de una secuencia X[n] cuya transformada Z es:
Aplicando el Teorema del Valor final se tiene:
Se puede observar que X[n] = 4-nU[n]
Tema 5. La Transformada Z.
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Tabla de las Propiedades
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La Transformada Z inversa
La Inversión de la Transformada Z se utiliza para hallar la secuencia X[n] y se define como: .
Transformada Z Inversa
La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo.
Para que la transformada Z sea útil, se debe estar familiarizado con los métodos para hallar la transformada Z inversa.
Existen cuatro métodos para obtener la transformada Z inversa y serán:
Método de la División Directa.
Método Computacional.
Tema 5. La Transformada Z.
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Método de la División Directa
Ejemplo 1: Hallar la Transformada Z Inversa de la función
Dividiendo el numerador entre el denominador tenemos:
X(0) = 1, X(1) = 0.1, X(2) = (0.1)2 , X(3) = (0.1)3 ,X(4) = (0.1)4 …….
Inspeccionando tenemos:
X(z) = 1 + 0.1 z-1 + (0.1)2 z-2 + (0.1)3 z-3 + (0.1)4 z-4 + …
1 + 0.1Z-1 + (0.1)2z-2
El método de la división directa proviene del hecho de que si X[Z] está expandida en una serie de potencias de Z-1, esto es sí entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente, los valores de X[n] se pueden hallar por inspección para n= 0, 1, 2,...
z - 0.1
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Método de la División Directa
Ejemplo 2: Hallar X[n] para n = 0, 1, 2, 3, 4, dada X(z)
Dividiendo el numerador entre el denominador:
X[Z] = 10Z-1 + 17Z-2 + 18.4Z-3 + 18.68Z-4 + ...
Al comparar esta expansión X[Z] en una serie infinita
X[0]=0, X[1]=10, X[2]=17, X[3]=18.4, x[4]=18.68
Tema 5. La Transformada Z.
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Método de Descomposición en Fracciones Parciales.
Es el método mas utilizado, ya que, en vista de la unicidad de la transformada Z, se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para identificar las secuencias correspondientes a los términos de la descomposición en fracciones simples. Para aplicarlo debemos colocar X(z) como una fracción en donde el grado del denominador es mayor al grado del numerador.
Ejemplo 1: Hallar la Transformada Z Inversa de la función siguiente:
Expandiendo en fracciones parciales tenemos:
usando tabla TZ y la propiedad de desplazamiento tenemos:
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Tema 5. La Transformada Z.
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Método de Descomposición en Fracciones Parciales.
Ejemplo 2: Hallar la Transformada Z Inversa de la función siguiente:
Expandiendo en fracciones parciales X(z)/z tenemos:
Usando tabla Transformada Z tenemos:
X[n] = 2n2n u(n) + 3 u(n) - 2n u(n) para n = 0, 1, 2,...
Tema 5. La Transformada Z.
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La Transformada Z inversa
Método de Transformada Z para la solución de ecuaciones en diferencias.
Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación en diferencias
X[n+2] + 3X[n+1] + 2X[n] = 0
con X[0]=0, X[1]=1
Tomando la transformadas Z de ambos miembros de la ecuación en diferencias y utilizando la propiedad de traslación temporal tenemos:
Z2X[Z] - Z2X[0] - ZX[1] + 3ZX[Z] - 3ZX[0] + 2X[Z] = 0
X[n] = [(-1)n - (-2)n]U[n]
Descomponiendo en Fracciones parciales y multiplicando por z
X[n] con n ≥ 0 X[Z] Radio de Convergencia
[n]