La Transformada z

22

Prof. Alejandro Hernndez Espino - Universidad Tecnolgica de Panam

LA TRANSFORMADA Z ()

INTRODUCCIN Ahora estudiaremos la transformada , la cual viene siendo la contraparte discreta de la

Transformada de Laplace. La transformada tiene varias aplicaciones en la Ingeniera y tal vez la razn principal sea el hecho de que la mayora de las seales que se digitalizan, son seales discretas y es precisamente para este tipo de seal para las que se define la transformada , a diferencia de la Transformada de Laplace, que se define para seales continuas, las cuales son en cierta forma, una idealizacin de las verdaderas seales que recibimos a diario.

Veremos propiedades muy similares para las que se vieron en la unidad anterior, y esto no nos debera de sorprender, si tenemos en cuenta que la Transformada de Laplace, no es ms que una generalizacin de la Transformada de Fourier, y la transformada , como ya dijimos, es la contraparte discreta de la Transformada de Laplace, as que es lgico suponer que todas ellas, comparten propiedades similares. Aunque tambin es de esperarse que no todas las propiedades valgan en todos los contextos, lo cual es cierto.

Se llama Sistema a un conjunto de elementos de cualquier tipo, naturales o artificiales

(construidos por el hombre) como mecanismos, mquinas, circuitos etc.

Un Sistema est sometido a la excitacin de una Seal de Entrada o de Control (causa) a la cual le responde transformndola en una Seal de Salida (efecto). Las seales de Entrada y de Salida son funciones de una o ms variables. El modelo de un sistema para analizar y disear el comportamiento causa- efecto se puede representar por el siguiente esquema:

Dicho esquema o modelo es aplicable a todas las ramas de la ingeniera: electricidad, mecnica, comunicaciones, astronutica, aeronutica, naval, control de procesos qumicos, construcciones, etc.

SISTEMA Seal de

Salida Seal de Entrada

23


Ejemplos de Sistemas

Las seales y los sistemas que las operan tambin se pueden clasificar como: De tiempo continuo (funciones continuas) que son las llamadas seales analgicas. De tiempo discreto (sucesiones) que son las llamadas seales digitales.

Para el caso de tiempo continuo se emplean las Transformadas de Laplace o la Transformada de Fourier y para el caso de tiempo discreto se emplea la Transformadas Zeta o la transformada de Fourier Discreta (basada en la Serie de Fourier Exponencial). La razn principal del empleo de la variable discreta es que permiten el proceso y almacenamiento de la informacin (datos) en computadoras digitales. Para ello finalmente se reduce la informacin a cdigos binarios.

Las seales de tiempo continuo o analgico, son funciones () de tiempo continuo o analgico

y las seales de tiempo discreto o digital, son funciones [] de tiempo discreto (sucesiones) o digital.

ENTRADA SISTEMA SALIDA Presin del acelerador Automvil Movimiento del automvil

Presin del freno Automvil Disminucin de la velocidad o Detencin del auto

Fuerza vibratoria externa Masa-Resorte Movimiento vibratorio Masa-Resorte

Movimiento de la Luna Mar Altura de las mareas

Corriente elctrica Circuito elctrico

Tensin elctrica

Tensin elctrica Circuito elctrico

Corriente elctrica

Onda electromagntica Radio Emisin de la voz

Onda emitida Radar Informacin sobre la posicin de objetos

Luz Cmara

fotogrfica Fotografa

Recursos minerales y orgnicos, produccin de alimentos y equipos, polucin y Reproduccin humana

Sociedad Crecimiento de la poblacin

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

() []

24


Los sistemas de tiempo continuo o analgicos, son los sistemas que procesan seales de tiempo continuo o analgicas. Los sistemas de tiempo discreto o digitales, son los sistemas que procesan seales de tiempo discreto o digitales.

La Transformada Z es un modelo que se utiliza ampliamente el estudio de sistemas digitales. Como los computadores; en el estudio se procesamiento de seales digitales: circuitos digitales; los sistemas de radar, en las telecomunicaciones.

Con la llegada de las computadoras digitales, rpidas y baratas se ha renovado el nfasis en el

anlisis y diseo de sistemas digitales, los cuales son una clase de sistemas importantes en ingeniera.

Las bases matemticas de esta rea de trabajo no son de desarrollo reciente, pues The Treatise

of Calculus of Finite Differences, escrito por el Ingles George Boole y publicado en 1860, es el primer texto exhaustivo que trata de Ecuaciones en Diferencias, las que representan las bases matemticas de esta rea de trabajo.

Gran parte del mpetu inicial del Clculo finito se debi a la necesidad de interpolar y aproximar

derivadas e integrales. Posteriormente se inventan los mtodos numricos para la solucin de ecuaciones diferenciales y muchos de estos mtodos se basaron en Mtodos de Diferencias Finitas al aproximar derivadas para obtener una Ecuacin en Diferencia.

A lo largo del curso hemos aproximado funciones de procesos de tiempo continuo. Sin

embargo, muchas veces es conveniente y apropiado utilizar procesos de tiempo discreto. Los sistemas digitales operan, con seales digitales que generalmente son generadas por un

muestreo de una seal en tiempo continuo, que a su vez genera una seal en tiempo discreto, que se define solo en los instantes en que el muestreo se lleva a cabo, por lo que genera una sucesin digital.

La Transformada de Laplace es un modelo que est definido en un tiempo con variable

continua, es una analoga de la Transformada Z, que es un modelo que su anlisis est definido en un tiempo con variable discreta, es decir, que entre dos elementos consecutivos del dominio de la funcin no existen elementos intermedios.

Como la Transformada se relaciona con sucesiones, revisaremos la notacin para las sucesiones:

Sistema de tiempo continuo

() ()Y SISTEMA SISTEMA

[] []

Sistema de tiempo discreto

25


DEFINICIN: Una Sucesin Finita, es un conjunto ordenado de + 1 nmeros reales o complejos y la denotamos {}0

y se define:

{}0 = {0, 1, 2, }

Si el conjunto de nmeros es infinito, entonces se llama Sucesin Infinita y la denotamos

{}0

= {0, 1, 2, }

{} = { , 2, 1, 0, 1, 2, }

Las sucesiones {}

= { , 2, 1, 0, 1, 2, } para los cuales = 0, < 0, se llaman Sucesiones Causales, por su analoga con las Funciones Causales de tiempo continuo.

POLOS Y CEROS DEL PLANO . Dado un sistema discreto lineal e invariante en el tiempo, y causal, el mtodo de la transformada da lugar a una funcin () que puede tener la siguiente forma:

( ) =0

+ 1 1 + +

+ 1 1 + +;

Los puntos en los que la funcin () es igual a cero son las races del numerador, es decir, los ceros de (). As mismo, los puntos en los que la funcin tiende a infinito son las races del denominador, los polos de () . El principal objetivo de este contenido es presentar las definiciones de la transformada z, los teoremas bsicos asociados con ella, y los mtodos para encontrar la transformada z inversa. REGIN DE CONVERGENCIA PARA LA TRANSFORMADA (ROC): La convergencia de la transformada depende solamente de || y la regin para los valores de z fuera del crculo centrado en 0 es la regin de convergencia.

ImjZ e

Re1

Plano Z

Crculo unitario

26


DEFINICIN Y NOTACIN DE TRANSFORMADA . DEFINICIN Y NOTACIN: La Transformada de una sucesin {}

denotada por , se define:

Siempre que la sumatoria exista y es una variable compleja. Para sucesiones {}

que son causales, la Transformada se reduce a

Como nuestras sucesiones son causales, solo utilizaremos {} en lugar de {}0

Al aplicar la Transformada a una sucesin, produce una funcin de variable compleja () cuya forma depende de la propia sucesin. El smbolo denota el operador Transformada , que cuando opera sobre la sucesin {}, transforma a esta ltima en la funcin () de la variable compleja . Usualmente nos referimos a {} y () como par de transformadas. Ejemplos:

1. Determinar la Transformada Z de la sucesin{} = {(1

2)

}

{} = {(1

2)

} = {(

1

2)

1, (

1

2)

2, (

1

2)

3, , (

1

2)

, } = {

1

2,

1

4,

1

9, , (

1

2)

, }

{(1

2)

} = (

12)

=0

= (

12

)

=

=0

(1

2)

=0

Esta ltima serie es una Serie Geomtrica, recordando: Una Serie Geomtrica de razn , se define por:

{} = () =

=

{}0 = () =

=0

27


= + +

=0

2 + 3 + + + {Si 1, "

Si 0 < || < 1, " a

1

Luego,

(1

2)

=0

= lim

1 (1

2)

1 1

2

=1

1 1

2

=2

2 1, Siempre que || >

1

2

2. Determinar la Transformada Z de la sucesin{} = {(3)

} {} = {(3)

} = {(3)1, (3)2, (3)3, , (3), } = {3, 9, 27, , (3), }

{(3)} = (3)

=0

= (3

)

=

=0

(3

)

=0

(3

)

=0

= lim

1 (3)

1 (3)

=1

1 +3

=

+ 3, Siempre que || > 3

3. Determinar la Transformada Z de la sucesin {} = {

}

{} =

=0

= (

)

=

=0

, Siempre que || >

En general, Derivando formalmente respecto a :

Una sucesin de particular importancia es la sucesin pulso unitario o impulso:

{} = {1} = {1,0,0, } {} = 1

{} = {} {} = () =

, || >

{} = {1} {1} = () =

( )2, || > ||

En particular, si = 1

{} = {} {} = () =

( 1)2, || > |1|

28


MUESTREO: UNA PRIMERA INTRODUCCIN

En las aplicaciones a la ingeniera, las sucesiones frecuentemente son generadas por medio del muestreo de seales de tiempo continuo, descritas mediante funciones () de una variable de tiempo continuo. Supondremos que muestreamos de forma idealizada la seal. La figura debajo muestra el proceso idealizado en el cual la seal de tiempo continuo () es muestreada instantnea y perfectamente en intervalos uniformes , que es el intervalo de muestreo. Este proceso genera la sucesin:

{()} = {(0), (), (2), , (), }

Por la definicin de Transformada Z:

{()} = ()

=0

Siempre que la serie converja

Ejemplo: La seal de tiempo continuo () = (), es muestreada cuando 0 en intervalos T: (a) Escriba el trmino general de la sucesin del muestreo (b) Calcular Transformada de la sucesin resultante del muestreo.

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA .

PROPIEDAD DE LINEALIDAD: Si {} y {} son sucesiones que tienen Transformadas , {} = () y {} = () respectivamente y si , son constantes reales o complejas cualesquiera, entonces:

[{ + }] = {} + {} = {} + {} () + Y(z)

29


PRIMERA PROPIEDAD DE TRASLACIN (RETRAS0): Esta propiedad nos relaciona la

Transformada de una sucesin con la Transformada de la versin trasladada (retrasada) de la misma sucesin. Se le conoce como Primera Propiedad de Traslacin de la Transformada . Si la sucesin {} tiene Transformada , (), es decir, {} = (), entonces la versin retrasada 0 pasos de la sucesin original es decir, {0} tiene Transformada dada por:

Si {} representa la forma muestral, con intervalo de muestreo uniforme de la seal continua (), entonces {0} representa la forma muestral de la seal continua ( 0),

que es la seal () retrasada por un mltiplo 0 del intervalo de muestreo

SEGUNDA PROPIEDAD DE TRASLACIN (AVANCE): Esta propiedad nos relaciona la Transformada de una sucesin con la Transformada de la versin trasladada (adelantada) de la misma sucesin. Se le conoce como Segunda Propiedad de Traslacin de la Transformada . Si la sucesin {} tiene Transformada , (), es decir, {} = (), entonces la versin adelantada + 1; + 2; + 3; , + 0 pasos de la sucesin original es decir, {+1}; {+2}, {+3}; ; {+0} tienen Transformada dada por:

{0} =1

0{}

{+1} = () 0 {+2} =

2() 20 1

{+3} = 3() 30

21 2

En general:

{+0} = 0()

01

=0

0

30


MULTIPLICACIN POR : Si {} = (), entonces para una constante

{} = (1) = (

)

MULTIPLICACIN POR : Si {} = (), entonces para un entero positivo

{} = (

)

()

En esta propiedad el operador

significa que primero diferenciamos con respecto a y

despus multiplicamos por . Elevar a la potencia significa que repetimos la operacin veces (derivamos veces).

TEOREMA DEL VALOR INICIAL: Si {} es una sucesin cuya Transformada es () entonces

el Teorema del valor inicial establece que:

lim

() = 0

TEOREMA DEL VALOR FINAL: Si {} es una sucesin cuya Transformada es () entonces

el Teorema del valor final establece que:

lim

= lim1

(1 1

) ()

Siempre que los polos (1 1

) () estn dentro del crculo unitario.

TABLA DE TRANSFORMADAS Z

Para toda , , , Constantes {} {} = () REGIN DE EXISTENCIA

{} = {1} = {1,0,0, } {} = 1 Todo

{} = {1} {1} =

1 || > 1

{} = {} {} =

|| > ||

{} = {} {} =

( 1)2 || > 1

{} = {1} {1} =

( )2 || >

{} = {} {} =

|| >

{} = { } { } =( )

2 2 + 1 || > 1

{} = { } { } =

2 2 + 1 || > 1

31


LA TRANSFORMADA Z INVERSA ()

En esta seccin vamos a considerar el problema de recuperar una sucesin causal {} a partir del conocimiento de (). Las Tcnicas de Inversin aplicadas para Las Transformadas de Laplace son un recurso valioso para esta tarea. DEFINICIN Y NOTACIN Si {} = () entonces {} =

1(), donde 1() es una sucesin causal {} cuya Transformada Z es (). TNICAS DE INVERSIN

Transformadas Z inversas utilizando la definicin Directamente de la Tabla Fracciones Parciales Transformadas Z Inversas Complejas: Sumas de Cuadrados y Trinomios

ANOTACIONES IMPORTANTES:

= 1; 2 = 1; 1

=

= + =

Si Sumamos: + = 2 = 1

2( + )

Si Restamos: = 2 = 1

2( )

Nmero Complejo: ( + ) = ( + ) =

= 2 + 2; = (

)

=

6 =

6

6=

3

2

1

2

4 =

4

4=

2

2

2

2

3 =

3

3=

1

2

3

2

2 =

2

2=

32


= = 1

2 = 2 2 = 1

SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETOS Y ECUACIONES EN DIFERENCIAS

En el primer contenido de este curso se estudiaron las Tcnicas de las Transformadas de Laplace como un mtodo para resolver ecuaciones diferenciales y despus para caracterizar un sistema de tiempo continuo. En esta seccin vamos a utilizar un sistema lineal de tiempo discreto y su modelo una ecuacin en diferencias. Posteriormente veremos que la Transformada Z juega un papel anlogo al de la Transformadas de Laplace para tales sistemas.

SISTEMAS DE PROCESAMIENTOS DE SEALES DE TIEMPO DISCRETO Ecuacin en Diferencias Lineal con Coeficientes Constantes de Primer Orden. Diagrama de

Bloques

Supongamos que la sucesin de observaciones {} est siendo grabada y se recibe la observacin en el paso (o tiempo) ndice . Podemos intentar procesar por ejemplo suavizar o filtrar esta sucesin de observaciones {} utilizando el sistema de retroalimentacin de tiempo discreto como se ilustra en la figura abajo.

En el tiempo = la observacin entra al sistema como una entrada y despus de mezclarse con la seal de retroalimentacin en la unin de suma S continua hacia el bloque D, el cual es un bloque de retardo unitario cuya funcin es mantener su seal de entrada hasta que el reloj avance un paso, al paso + 1. En este momento la seal de entrada sale sin alteraciones convirtindose en la seal +1, el cual es el miembro + 1 de la sucesin de salida {}; al mismo tiempo esta seal es enviada hacia atrs a travs del bloque de escala de amplitud a la unin de la suma S. Este proceso es instantneo y en S la seal de retroalimentacin es restada de la siguiente observacin de la entrada +1 para proveer la siguiente entrada al bloque de retardo D. Este proceso se repite en cada paso del reloj.

Para analizar el sistema, sea {} la sucesin de seal de entrada a D entonces debido a la accin de retardo de D tenemos

+1 =

Tambin debido a la accin de retroalimentacin

D S

{} {} {}

33


= , donde es la ganancia de retroalimentacin

Combinando estas dos expresiones

+1 = : + + =

Ecuacin en Diferencias Lineal con Coeficientes Constantes de Segundo Orden. Diagrama

de Bloques Encuentre una ecuacin en diferencias para representar al sistema que se indica en la figura, que tiene sucesiones de entrada {} y {} respectivamente. D es un bloque unitario de retardo y son ganancias constantes de retroalimentacin.

Introduciendo sucesiones intermedias {} y {} en cada paso,

La salida de los bloques de retardo unitario D es:

+1 = y +1 =

La salida en la unin suma:

= +

+2 = +1 +2 =

+2 = +

+2 = +1 +

: + + + =

+

S {} {} {} {}

La Transformada z

Documents

Transcript of La Transformada z