Tema 3: La Transformada ZIng. Jorge Enrique Montealegrejorge.montealegre@unad.edu.co

La Transformada ZDefinicin de la Transformada ZPropiedades de la Transformada ZLa Transformada Z inversaSistemas LTI y dominio ZEstructuras para la realizacin de sistemas discretos

1. Definicin de la Transformada Z.La Transformada Z directa.La transformada Z de una seal discreta x(n) est definida como una serie de potencias

Donde z es una variable compleja.La transformada es llamada directa por transformar una seal del dominio del tiempo x(n) al plano complejo X(z).El proceso inverso es llamado transformada inversa Z.

Al ser la transformada Z una serie infinita de potencias, existe solo para valores de z donde la serie converge.La regin de convergencia (ROC) de X(z) es el conjunto de valores de z para el cual X(z) alcanza valores finitos.

Ejemplos:x1(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}X1(z) = 1 + 2z-1 + 5z-2 + 7z-3 + z-5x2(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}X2(z) = z2 + 2z + 5 +7z-1 + z-3x3(n) = {0, 0, 1, 2, 5, 7, 0, 1}X3(z) = z-2 + 2z-3 + 5z-4 + 7z-5 + z-7x4(n) = {2, 4, 5, 7, 0, 1}X4(z) = 2z2 + 4z +5 +7z-1+z-3x5(n) = (n)X5(z) = 1x6(n) = (n - k), k > 0X6(z) = z-k, k > 0x7(n) = (n + k), k > 0X7(z) = zk, k > 0

Cul es la ROC en cada caso?

La ROC de seales de duracin finita es todo el plano Z salvo en ocasiones z = {0, }.Estos puntos quedan excluidos pues zk (k > 0) no est acotada para y z-k (k > 0) para 0.La transformada Z es una forma alternativa de representar una seal.El exponente de z tiene la informacin necesaria para identificar las muestras de la seal.La suma finita o infinita de la transformada Z puede expresarse en forma compacta.

Determina la transformada Z de la seal x(n) = n u(n).

Expresemos la variable compleja z en forma polarz = rejdonde r = |z| y = z.La transformada Z puede expresarse entonces como

En la ROC de X(z), |X(z)| < . Pero

Entonces |X(z)| es finita si x(n)r-n es en absoluto sumable.

La ROC de X(z) se determina con el rango de valores de r donde la secuencia x(n)r-n es en absoluto sumable.

Si X(z) converge en alguna regin del plano complejo, entonces los dos sumandos son finitos en esa regin.Si converge el primer sumando, los valores de r son lo suficientemente pequeos para que la secuencia x(-n)rn, 1 n < , sea en absoluto sumable y la ROC correspondiente es una circunferencia de radio r1 < .Si converge el segundo sumando, los valores de r son lo suficientemente grandes para que x(n)/rn, 1 n < , sea en absoluto sumable y la ROC son todos los puntos fuera de una circunferencia de radio r < r2.

Im(z)Re(z)r1Regin de convergenciaIm(z)Re(z)r2Regin de convergenciaPlano zPlano zLa convergencia de X(z) exige que los sumandos sean finitos.Entonces la ROC de X(z) es la regin anular del plano z: r2 < r < r1, que es la zona donde las sumas son finitas.Si r2 > r1 no existe regin de convergencia comn y X(z) no existe.

Determina la transformada Z de la seal x(n) = n u(n).Determina la transformada Z de la seal x(n) = - n u(-n-1).Determina la transformada Z de la seal x(n) = n u(n) + bn u(-n-1).

Una seal discreta x(n) queda unvocamente determinada por su transformada z, X(z), y la regin de convergencia de X(z).

La ROC de una seal anticausal es el interior de una circunferencia de radio r1 mientras que la ROC de una seal causal es el exterior de un crculo de radio r2.

La ROC para una seal que se extiende hasta el infinito por los dos lados es un anillo (regin anular) en el plano z.

Transformada Z unilateral:

CausalCausalAnticausalAnticausalBilateralBilateralSeales de duracin finitaSeales de duracin infinitaPlano zexcepto z = 0Plano zexcepto z = Plano zexcepto z = y z = 0|z| > r2|z| < r1r2 < |z| < r1

La Transformada Z inversa.El procedimiento para transformar una seal del dominio z al dominio del tiempo se denomina transformada Z inversa.Se emplea el teorema integral de Cauchy.Tenemos:

Multiplicamos por zn-1 e integramos sobre un contorno cerrado C en el interior de la ROC y que contiene al origen.

Al converger la serie en los puntos de C podemos tener

La integral de Cauchy dice:

Aplicando esta integral tenemos finalmente:Im(z)Re(z)r2Contorno C para la integralPlano zr1C

2. Propiedades de la Transformada Z.Linealidad.Si

Entonces

Determina la transformada Z y la ROC de la seal x(n) = [3(2n) 4(3n)]u(n).Determina la transformada Z de las seales x(n) = (cos n )u(n) y x(n) = (sen n)u(n).

Desplazamiento en el tiempo.Si

Entonces

La ROC de z-kX(z) es la misma que la de X(z) salvo para z = 0 si k > 0 y z = si k < 0.Determina las transformadas Z de las seales x1(n) = {0, 0, 1, 2, 5, 7, 0, 1} y x2(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1} a partir de la TZ de x0(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}.

Escalado en el dominio z.Si

Entonces

Para cualquier constante a real o compleja.Determina la TZ de las seales x(n) = an(cos n )u(n) y x(n) = an(sen n)u(n).

Inversin temporal.Si

Entonces

Determina la TZ de la seal x(n) = u(-n)

Diferenciacin en el dominio z.Si

Entonces

Determina la TZ de la seal x(n) = nanu(n).Determina la seal x(n) si X(z) = log(1 + az-1) con |z| > |a|.

Convolucin de dos secuencias.Si

Entonces

La ROC de X(z) es, cuando menos, la interseccin de las de X1(z) y X2(z)Determina la convolucin de x1(n) = {1, -2, 1} y x2(n) = {1, 1, 1, 1, 1, 1}.

El cculo de la convolucin de dos seales empleando la transformada z exige los siguientes pasos:

Calcular las transformadas z de la seales a convolucionarX1(z) = Z{x1(n)}X2(z) = Z{x2(n)}(Dominio del tiempo Dominio z)Multiplicar las dos transformadas z X(z) = X1(z) X2(z) (Dominio z)Encontrar la transformada z inversa de X(z)x(n) = Z-1{X(z)}(Dominio z Dominio del tiempo)

Correlacin de dos secuencias.Si

Entonces

La ROC de Rx1x2(z) es, como mnimo, la interseccin de las de X1(z) y X2(z-1).Multiplicacin de dos secuencias.Si

Entonces

C es un contorno cerrado que encierra al origen y se halla en la regin de convergencia comn a X1(v) y X2(1/v).

Relacin de Parseval.Si x1(n) y x2(n) son dos secuencias complejas, entonces

Siempre que r1lr2l < 1 < r1ur2u, donde r1l < |z| < r1u, y r2l < |z| < r2u, son las ROC de X1(z) y X2(z).El teorema del valor inicial.Si x(n) es causal, es decir, x(n) = 0 para n < 0, entonces

Transformadas Z racionales.Polos y ceros.

Los ceros de la transformada z son los valores para los cuales X(z) = 0.Los polos de la transformada z son los valores para los cuales X(z) = .Si X(z) es una funcin racional entonces,

Si a0 0 y b0 0, se pueden evitar las potencias negativas de z sacando factores comunes:

Al ser N(z) y D(z) polinomios de z entonces:

Donde G b0/a0.

X(z) tiene M ceros en z = z1, z2,,zM, N polos en z = p1, p2,,pN y |N - M| ceros (si N > M) o polos (si N < M) en el origen z = 0.Puede haber polos o ceros en z = : Existe un cero en z = si X() = 0 Existe un polo en z = si X() = Si contamos los polos y ceros, incluyendo los que estn en z = 0 y z = , veremos que X(z) tiene exactamente el mismo nmero de ceros y polos.X(z) puede representarse grficamente con el diagrama de polos () y ceros () en el plano complejo.Por definicin, la ROC de una transformada z no puede contener ningn polo.

Algunos pares de transformada Z.

Determina el diagrama de polos y ceros de x(n) = anu(n) y para a > 0

Localizacin de polos y comportamiento en el dominio del tiempo de seales causales.

Existe una relacin entre la localizacin de un par de polos en el plano z y la forma de la seal en el dominio del tiempo.El comportamiento de la seales causales depende de si los polos se hallan en la regin |z| < 1, en |z| > 1, o sobre la circunferencia unidad |z| = 1.Si la TZ de una seal real tiene un solo polo, este debe ser real. La nica seal as es la exponencial real:

Que tiene un cero z1 = 0 y un polo p1 = a sobre el eje real.

Cmo es la seal con respecto a la localizacin del polo?

Una seal causal con doble polo es de la forma:xxxxxxm=2m=2m=2m=2m=2m=2

xxrxxrxxrPar de polos conjugadosr = 1rnrn

xxDoble par de polos conjugados sobre la circunferenciarm=2m=2

Funcin de transferencia de un sistema LTI.

La propiedad de convolucin nos permite expresar:

Y(z) = H(z)X(z); H(z) = Y(z)/X(z)Como

H(z) caracteriza al sistema en el plano z.H(z) y h(n) son descripciones equivalentes del sistema.H(z) se denomina funcin de transferencia del sistema.Si describimos al sistema mediante edcc:

entonces

El sistema LTI descrito por una edcc tiene una funcin de transferencia racional.Si ak = 0 para 1 k N tenemos

En este caso H(z) tiene M ceros, determinados por {bk} y un polo de orden M en z = 0. Este sistema se denomina sistema de todo ceros, o sistema FIR o sistema MA (media mvil).

Si bk = 0 para 1 k M tenemos

En este caso H(z) tiene N polos, determinados por {ak} y un cero de orden N en z = 0. Este sistema se llama sistema de todo polos, o sistema IIR.La forma general

se denomina sistema de polos y ceros con N polos y M ceros. Los polos y/o ceros en z = 0 y z = no se cuentan explcitamente. Es un sistema IIR.a0 1

Determina la funcin de transferencia y la respuesta al impulso del sistema descrito por y(n) = y(n-1) + 2x(n) .Determina la funcin de transferencia y respuesta al escaln de y(n-1)=y(n-2)+x(n)

3. La Transformada Z inversa (TZI).La transformada Z inversa est dada por

una integral de contorno sobre el camino cerrado C que encierra al origen y se halla en la ROC de X(z).Por simplicidad C puede ser una circunferencia dentro de la ROC de X(z) en el plano z.Existen tres mtodos empleados su clculo:1. Clculo directo, mediante la integracin del contorno.2. Expansin en serie de trminos en z y z-13. Expansin de fracciones simples y bsqueda en tabla.

TZI por integracin.Teorema del residuo de Cauchy.

Sea f(z) una funcin de variable compleja z y C un contorno en el plano z.Si la derivada df(z)/dz existe dentro y sobre C, y si f(z) no tiene polos en z = z0, entonces:

De forma general, si existe la derivada de orden (k + 1) de f(z) y sta no tiene polos en z = z0, entonces

Si suponemos que el integrando de la integral de contorno es P(z) = f(z)/g(z), donde f(z) no tiene polos dentro del contorno C y g(z) es un polinomio con raices distintas z1, z2, , zn dentro de C. Entonces,

donde

Los valores {Ai(zi)} son los residuos de los correspondientes polos en z = zi, i = 1, 2, , n.Por eso la integral es igual a la suma de los residuos de todos los polos dentro de C.Para el caso de la transformada Z inversa tenemos:

siempre que los polos {zi} sean simples.Si X(z)zn-1 no tiene polos dentro del contorno C para uno o ms valores de n, entonces x(n)=0 para esos valores.

TZI por expansin en serie de potencias.

Dada X(z) con su ROC, la podemos expandir como:

la cual cual converge en la ROC dada.Entonces, x(n) = cn para toda n.Si X(z) es racional, la expansin se puede realizar a travs de la divisin.

Determina la transformada Z inversa de Cuando ROC: |z| > 1 y |z| < 0.5

TZI por expansin de fracciones simples.

Tratamos de expresar X(z) como una combinacin lineal:X(z) = 1X1(z) + 2X2(z) + + KXK(z)donde X1,, XK(z) son expresiones con TZI x1(n),,xK(n) disponibles en tablas.Si la descomposicin es posible, tendremos:x(n) = 1x1(n) + 2x2(n) + + KxK(n)El mtodo es til si X(z) es racional.Sin prdida de generalidad, suponemos a0 = 1, entonces

si a0 1, dividimos entre a0.

La funcin es propia si aN 0 y M < N. Una funcin racional impropia (M N) es la suma de un polinomio y una funcin racional propia, y en general puede expresarse como:

Expresa la transformada racional impropia en trminos de un polinomio y una funcin propia.

Primer paso:Sea X(z) una funcin racional propia, esto es:

con aN 0 y M < N.Eliminamos las potencias negativas multiplicando por zN:

Como N > M, entonces

es siempre propia.

El objetivo es obtener una suma de fracciones simples.Para eso, factorizamos el polinomio denominador en factores que contengan los polos p1, p2, , pN de X(z).Tenemos dos casos: polos diferentes y de orden mltiple.Polos diferentes.Suponemos a los polos p1, p2, , pN todos diferentes.Buscamos la expansin de la forma:

Debemos determinar A1, A2, ..., AN.

Podemos obtener los coeficientes A1, A2, , AN si multiplicamos por los trminos (z - pk), k = 1, 2, , N, y calculamos las expresiones resultantes en las posiciones de los polos p1, p2, , pN. As tenemos:

Entonces, si z = pk, obtenemos los k-simos coeficientes

Este proceso es aplicable tanto a polos reales como complejos que sean distintos. Los polos conjugados complejos producen coeficientes de la expansin en fracciones simples que son conjugados complejos.

Polos de orden mltiple.Si X(z) tiene un polo de multiplicidad l, esto es, aparece en el denominador un factor de la forma (z-pk)l, entonces la expansin ha de tener los trminos:

Los coeficientes {Ak} se obtienen de derivaciones sucesivas.

Segundo paso:Polos diferentes.De la expansin se sigue que:

La TZI, x(n) = Z-1{X(z)}, se obtiene invirtiendo cada trmino y efectuando combinacin lineal.De tablas, los trminos se invierten usando la frmula:

Si x(n) es causal, la ROC es |z| > pmax, donde pmax = max { |p1|, |p2|, , |pN| } y la seal viene dada por:

y si todos los polos son reales, podemos decir que una seal causal, que tiene una transformada Z con polos diferentes y reales, es una combinacin lineal de exponenciales reales.Si algunos polos son complejos, tendremos exponenciales complejas, pero si la seal es real debemos reducirlos.Si pj es un polo, su conjugado complejo pj* lo es tambin.La contribucin de los dos polos es entonces:

Con estos trminos se puede formar una seal real.Usando notacin polar tenemos:

donde k y k son las fases de Ak y pk. Sustituyendo:

Por lo tanto,

si la ROC es |z| > |pk| = rk

Polos mltiples, reales o complejos.La TZI necesita trminos de la forma:

Para polos dobles es til la transformada:

Valida si la ROC es |z| > |p|.

Determina la expansin en fracciones simples de:

Determina la TZI de:

Descomposicin de TZ racionales.

Si tenemos

donde suponemos a01. Si M N, entonces

Si los polos de Xpr(z) son distintos

Puede haber pares de polos conjugados complejos, y al tratar con seales reales debemos evitarlos, agrupando los trminos con dichos polos.

donde

El resultado general es:

donde K1+2K2=N.

Si M = N el primer trmino es una constante.Si M < N, este trmino desaparece.Cuando adems hay polos mltiples, se incluyen algunos trminos de mayor orden.Una representacin alternativa es:

donde

Suponiendo M = N,

donde N = K1 + 2K2.

4. Sistemas LTI en el dominio Z.Respuesta con H(z) racional.Consideremos un sistema de polos y ceros con su H(z) dados por

Adems, la seal de entrada x(n), tiene su TZ

Si el sistema est inicialmente en reposo y(-1) = y(-2) = ... = 0

Supongamos polos simples p1, p2,, pN para el sistema y q1, q2,, qL para la seal de entrada, donde pk qm para k = 1, 2, , N y m = 1.Adems suponemos que los ceros del numerador no coinciden con los polos, no existiendo cancelaciones.

La transformada inversa nos da

y(n) puede subdividirse en dos partes.La primera es la funcin de los polos del sistema {pk} y es la respuesta natural del sistema.La segunda es la funcin de los polos del sistema {qk} y es la respuesta forzada del sistema.

Respuesta con condiciones iniciales no nulas.Suponemos que x(n) se aplica en n = 0 (causal). Los efectos de las seales de entrada previas se reflejan en las condiciones iniciales y(-1), y(-2), ..., y(-N).Nos interesa determinar y(n) para n 0, por lo que se emplea la TZ unilateral. Tenemos entonces

Al ser x(n) causal, X+(z) = X(z).

Donde

La salida del sistema con condiciones iniciales no nulas puede subdividirse en dos partes.La primera es la respuesta en estado cero:

La segunda es la respuesta a la entrada cero:

Entonces:

Adems, la respuesta a la entrada cero tiene la forma:

De manera que

Donde por definicin:

Determina la respuesta al escaln unitario dada por el sistema con ecuacin: y(n) = 0.9y(n-1) 0.81y(n-2) + x(n)

Respuesta transitoria y en rgimen permanente.

La respuesta de un sistema a una entrada dada puede separarse en respuesta natural y respuesta forzada.La respuesta natural es:

Si |pk| < 1, para toda k, ynr(n) decae a cero conforme n tiende al infinito.En este caso, se presenta una respuesta transitoria del sistema.

La respuesta forzada del sistema tiene la forma:

Si todos los polos de la seal de entrada {qk} caen en el crculo unitario, yfr(n) decae a cero conforme n tiende a infinito.En este caso la respuesta forzada se denomina respuesta del sistema en rgimen permanente.Para que un sistema mantenga la respuesta en rgimen permanente para n 0, la seal de entrada debe persistir para todo n 0.

Determina las respuestas transitoria y permanente del el sistema con ecuacin: y(n) = 0.5y(n-1) + x(n) Cuando la seal de entrada es x(n) = 10 cos (n/4)u(n) y el sistema est en reposo.

Causalidad y estabilidad.

Un sistema LTI es causal si y solo si la ROC de la funcin de transferencia es el exterior de un crculo de radio r < , incluyendo el punto z = .Un sistema LTI es estable BIBO si y solo si la ROC de la funcin del sistema incluye al crculo unitario.Un sistema LTI causal es estable BIBO si y solo si todos los polos de H(z) estn dentro del crculo unitario.

Un sistema LTI est caracterizado por:

Especifica las ROC de H(z) y determina h(n) paraUn sistema estableUn sistema causalUn sistema anticausal.

5. Estructuras para la realizacin de sistemas discretosRepresentacin con diagramas de bloques.

Dibujar el diagrama de bloques para: y(n) = 0.25 y(n-1) + 0.5 x(n) + 0.5 x(n-1)Determinar la ecuacin correspondiente a:++z-1z-1z-1z-1z-12-1/3x(n)y(n)

Forma directa

La funcin de transferencia de un sistema discreto es:

La ecuacin diferencial correspondiente es:

Su realizacin es la siguiente:x(n)x(n-1)x(n-2)x(n-3)x(n-M)y(n)y(n-1)y(n-2)y(n-3)y(n-N)b0b1b2b3bM-a1-a2-a3-aNx(n)y(n)

Si el almacenamiento de las entradas y salidas pasadas y presentes se representa a travs del operador de retardo z-1 tenemos:z-1z-1z-1z-1b0b1b2bMz-1z-1z-1z-1X(z)Y(z)-a1-a2-aNRealizacin Forma Directa IH1(z)CerosH2(z)Polos

Intercambiando H1(z) con H2(z) y rearreglando tenemos:Realizacin Forma Directa IIb0X(z)Y(z)z-1z-1z-1z-1z-1b1b2bM-a1-a2-aM-aNH1(z)CerosH2(z)Polos

Cascada y paralelo

La realizacin en cascada se obtiene reconociendo que los polos o ceros de la funcin de transferencia H(z) al ser nmeros reales o conjugados complejos se pueden escribir de manera factorizada.

Donde N1 son nmeros reales de ceros para z = aiN2 son pares conjugados complejos de ceros z = bj y z = bj*D1 son nmeros reales de polos para z = ckD2 son pares conjugados complejos de ceros z = dl y z = dl*

Los polos y ceros reales son empleados tpicamente en la Forma Directa II.Por ejemplo,

Se efectua con la estructura:-aiX(z)Y(z)z-1ckEstructura de primer orden

Los polos y ceros conjugados complejos se hallan en pares. Su forma general es:

Y se realizan en la siguiente estructura:

-(bj-bj*)X(z)Y(z)z-1dl+dl*z-1-dldl*bjbj*Como A+A* y AA* son nmeros reales, siendo A un nmero complejo, todos los multiplicadores son nmeros reales.Estructura de segundo orden

La forma paralela resulta de expander H(z) en fracciones parciales. Su forma general para polos simples es:

Donde la primera sumatoria se encarga de los trminos de la expansin en fracciones parciales que resulta si M > N.La segunda sumatoria se encarga de los polos reales y la tercera de los pares conjugados complejos.Si se ignoran los errores de cuantizacin no existe problema en la realizacin del sistema. Pero si son considerados, los resultados pueden cambiar al moverse los polos o ceros produciendo inestabilidad.

Realizar la estructura en cascada y paralelo deHallar la ecuacin en diferencias de:

Hallar la ecuacin en diferencias de:

BibliografaDigital Signal Processing: Principles, algorithms and applications J. G. Proakis & D. G. Manolakis. Pearson Education Inc. 3a Ed. 1996.

Introduction to Signals and Systems, D. K. Lindner McGraw Hill, 1999.

Signals and Systems: Continuous and Discrete. R. E. Ziemer, W. H. Tranter & D. R. Fannin Prentice Hall, 4a Ed. 1998

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Signals and Systems A. V. Oppenheim Prentice Hall, 1a Ed. 1993.

Analog and Digital Communication Systems M. S. Roden Prentice Hall, 4a Ed. 1996.