Tema 2 – Transformada Z y análisis transformado de ... Z.… · Polos y ceros de una...

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Tema 2 – Transformada Z y análisis transformado de

sistemas LTICarlos Óscar Sánchez Sorzano

4º Ing. TelecomunicaciónEPS – Univ. San Pablo – CEU

Bibliografía: Oppenheim I (Cap. 10), Oppenheim II (Cap. 3), Proakis (Cap. 3)

2

Curso 2011/2012 Carlos Óscar Sánchez Sorzano (EPS-San Pablo CEU)

2

Funciones propias de los sistemas LTI

)( 000000 zHzzkhzzkhknhzknhkxny n

k

kn

k

kn

k

k

k

nznx 0

k

nkk zanx

k

nkkk zzHany )(

[0.46]

[0.47]

)( 00 zHzkhk

k

Bibliografía: Oppenheim 2.6

3


3

Transformada Z

n

nznxzX )(

jrez }][{)( n

n

njn rnxTFernxzX

jez

zXnxTF

)(]}[{

}Re{z

}Im{z

1z

La transformada Z de converge en z si la transformada de Fourier de converge, es decir,

][nxnrnx ][

0z0: zzz

Si converge para , entonces convergepara . Esto define una región de convergencia (ROC).

La transformada de Fourier converge, si la ROC incluye al círculo unidad.

X(z) y todas sus derivadas son continuas dentro de la ROC.

n

nrnx ][

Bibliografía: Oppenheim II 3.1, Proakis 3.1

4


4

Transformada ZEjemplo:

][][ nuanx n

01

1

11][)(

n

n

n

nn

azazznuazX

azaz 11Si

}Re{z

}Im{z

1z

a

Se llaman polos a aquellos puntos para los que .Se llaman ceros a aquellos puntos para los que .

)(zX

0)( zX


5


5

Transformada ZEjemplo:

]1[][][ nubnuanx nn

110

1

1'

'1

0

1

11

11)(

azbz

azzbzazbzXn

n

n

n

n

nn

n

nn

azaz 11Si

bzzb 11Si

Caso 1: ab No existe X(z)

Caso 2: ab No existe X(z)

Caso 3: ab Existe X(z) para bza


Ejemplo: Proakis, pp 160

Problemas Opp: 3.1*, 3.2*, 3.24Problemas Pro: 3.1

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6

Transformada ZPolos y ceros de una transformada racional

N

kk

M

kk

N

k

kNk

M

k

kMk

MNN

k

kNk

M

k

kMk

N

M

N

k

kk

M

k

kk

zp

zz

ab

za

zbz

za

zb

zz

za

zb

zQzPzX

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

)1(

)1(

)()()(

(N-M) ceros ó (M-N)polos en el origen

M ceros fuera del origenN polos fuera del origen

Bibliografía: Oppenheim II 3.1, Proakis 3.1, Proakis 3.3Problemas Pro: 3.21

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7

Relación con la TF

jezzXnxTF

)(]}[{• Cuidado con

Ejemplo:

)(sin][ ncnx cc

)(][: zXrnxr

n

n

¡pero la TF tiende en sentido L2 a una función periódica discontinua!

Ejemplo:

)cos(][ 0nnx

En estos casos no se debe pensar en la TF como la evaluación de la TZ en el círculo unidad.

jezzjjj XzXeXeXeX

)()()()()( *

1**2•

8


8

Propiedades de la ROC•La ROC se compone de regiones anulares centradas en el origen del plano z.•La ROC no contiene ningún polo•Si x[n] es de duración finita entonces la ROC es todo el plano z salvo con posible excepción de z=0 y/o z=∞.

ROC},0{ROC}{ ROC}0{

Bibliografía: Oppenheim 3.2, Proakis 3.1

9


9

Propiedades de la ROC

0r}Re{z

}Im{z

0r }Re{z

}Im{z

0r

}Re{z

}Im{z


10


10

Propiedades de la ROCEjemplo:

resto

Nnanx

n

00

][

azaz

zz

azazzX

NNNN

11

1

1)(1)(

ROC}0{ 0r }Re{z

}Im{z


Ejercicio: representar los polos y ceros de una transformada Z

11


11

Propiedades de la ROC•Si X(z) es racional, entonces su ROC está delimitada por polos o se extiende hasta el infinito.•Si X(z) es racional y x[n] estáacotada por la izquierda, entonces la ROC se extiende desde el polo más externo hacia el infinito. Si además x[n] es causal, entonces el infinito está incluido en la ROC.•Si X(z) es racional y x[n] estáacotada por la derecha, entonces la ROC se extiende desde el origen hasta el polo más interno. Si además x[n] es anticausal, entonces el origen está incluido en la ROC.

)()()(zQzPzX

}Re{z

}Im{z

}Re{z

}Im{z


Problemas Opp: 3.8*, 3.10*, 3.11*, 3.46

12


12

Propiedades de la ROCEjemplo:

11 111)(

bzaz

zX

}Re{z

}Im{z

ba 1

a b2 }Re{z

}Im{z

a b2 }Re{z

}Im{z

a b2

}Re{z

}Im{z

a b2

1z

Esta es la ROC porque es la única para la que la TF converge


Ejercicio: realizar la TZ inversa de X(z) con cada una de las ROC

Problemas Opp: 3.4*, 3.12, 3.15, 3.48Problemas Pro: 3.5, 3.20, 3.44, 3.51, 3.53

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13

Propiedades de la TZLinealidad nBynAx )()( zBYzAX

Desplazamiento en el tiempo 0nnx 0)( nzzX

Escalado en el dominio z njenx 0 )( 0 zeX j

Al menos yx ROCROC

ROC salvo la adición o substracción del origen

ROC nznx 0

0zzX

ROCz0

Inversión en el tiempo nx )( 1zX1ROC

TF:Desplazamiento en frecuencia

ROCzzCz 0/:

Bibliografía: Proakis 3.2, Oppenheim 3.4

Problemas Pro: 3.9

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Propiedades de la TZ

Conjugación nx*

Upsampling

restomknmnx

nxm 0/

Convolución nynx

)( ** zX

)( mzX

)()( zYzX

mROC /1

ROC

Al menos yx ROCROC

Parte real }Re{ nx ))()(( **21 zXzX ROCAl menos

Parte imaginaria }Im{ nx ))()(( **21 zXzXj

ROCAl menos

Downsampling ][nmxnxm

1

0

1 )(21

m

k

jm

mk

m ezX

mROC


Problemas Opp: 3.3, 3.7*, 3.9*, 3.16, 3.18, 3.19*, 3.20*, 3.21, 3.22, 3.31, 3.34Problemas Pro: 3.2, 3.3, 3.4, 3.7*, 3.8, 3.16, 3.27

Lara Benito Concepción


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Propiedades de la TZ

Diferenciación en frecuencia nnxdzzdXz )(

ROCTma. del valor inicial

Si , entonces 0,0 nnx )(lim0 zXxz

Diferencia finita 1 nxnx )(1 1 zXz

Al menos }0{ zROC

Integración

n

kkx )(

11

1 zXz

Al menos }1{ zROC

Si , entonces 0,0 nnx )(lim00

zXxz

ROCROC0


Problemas Opp: 3.37, 3.54Problemas Pro: 3.6*, 3.10, 3.52, 3.54

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Propiedades de la TZCorrelación lylxlrxy ][ )()( 1 zYzX

Al menos yx ROCROC

Multiplicación nynx * dvvvzYvXCj

11***21 )(

Al menos yuxuylxl rrzrr )()( 1

zYzX ROCROCC

Relación de Parseval

nnynx * dvvvYvX

Cj11**

21 )(

)()( 1zYzX ROCROCC


La relación de Parseval sale de la regla de multiplicación particularizada para z=1

Problemas Opp: 3.17, 3.32, 3.33, 3.40, 3.41, 3.42, 3.47, 3.50, 3.51*Problemas Pro: 3.13*, 3.18, 3.22, 3.28, 3.30*, 3.35, 3.42, 3.43, 3.49, 3.50


17


17

Algunas TZs nuan 11

1 az

na111 1

111

zaaz

nunan 211

1

azaz

za

1 nuan 111

azaz

aza

1

za

1 nunan 211

1

azaz az

0nn 0nz

0}{0}0{

0

0

nCnC

1)1( nuan n

2111

azza


18


18

Algunas TZs nunrn 0cos 221

0

10

)cos2(1)cos(1

zrzrzr

zr

nunrn 0sin 2210

10

)cos2(1)sin(

zrzrzr

zr

])[( Nnunuan 111

azza NN

z0

nunrn

0

0

sin)1(sin

2210 )cos2(11

zrzr zr

nunrn )cos( 0 2210

10

)cos2(1))cos((cos

zrzrzr

zr


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19

Transformada Z inversa

• Directa

• Inspección

• Expansión en fracciones parciales

• Expansión en serie de potencias

dzzzXj

nx n 1)(21][

Integral de línea para alguna circunferencia recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj.

ROCzzz 00 :


20


20


• Directa

n

nznxzX )(

}Re{z

}Im{z

C

kkC

kn

C

n

k

k

C

n knjkxdzzkxdzzzkxdzzzX ][2][][][)( 111

][2 nxj ROCC Tma. integral de Cauchy

C

zdzzfd

kkj Cdefueraz

Cdedentrozdzzzzf k

k

0

0)(

)!1(1

021

0)(

01

1

Si )( 0zf


Multiplico por los dos lados por z^(n-1) e integro en C. C se recorre en sentido contrario a las agujas del reloj. Como C está en la ROC la suma converge y se puede intercambiar la suma con la integral. Ejercicio: demostrar que la aplicación del teorema integral de Cauchy a la integral dada da una delta.

21


21


• Directa

N

iii

N

iC

i

ijC

N

i i

ijCj zAdz

zzzAdz

zzzAdz

zgzf

1121

121

21 )()()(

)()(

Suponiendo que todos los polos son distintos

)()()()(zgzfzzzA ii

1

1

( ) ( )i

Nn

i z ziz z X z z

Residuo del polo i Suma de los residuos de todos los polos

112[ ] ( ) nj C

x n X z z dz �


22


22


• Directa

N

izzm

im

mCj ii

i

i dzzAddz

zgzf

11

1

)!1(1

21 )(

)()(

Suponiendo que hay polos de multiplicidad múltiple

)()()()(zgzfzzzA k

iik

N

izzm

nmi

m

m ii

ii

i dzzzXzzdnx

11

11

)!1(1 )()(][

Suma de los residuos de todos los polos


23


23

Transformada Z inversa• Directa

Ejemplo: 111)(

az

zX

C

n

C

n

dzaz

zj

dzazz

jnx

21

121][ 1

1

Caso 1: nzzn :0n

az azAnx )(][ 1

Caso 2: nzzn :00 Polo de orden n

1n

011)(

121][ 0

zazC azzdz

azzjnx

nn

zaz

zazzA

)()(1

zazzazzA 1

)(1)()(1

azazzzzA

1)(

1)(2

za


24


24

Transformada Z inversa• Directa

Ejemplo: 111)(

az

zX

C

n

C

n

dzaz

zj

dzazz

jnx

21

121][ 1

1

Caso 2:

2n

C dz

azzjnx

)(1

21][ 2221

1)(

1)()(zazz

azzA

azazzzzA

1)(

1)( 22

2

02

11zaz azdz

dz

0)(

11022

zaz azz


Ejercicio: calcular x[n] para n=-3

Problemas Opp: 3.38, 3.39, 3.57Problemas Pro: 3.29, 3.56, 3.57, 3.58

25


25


• Inspección

Ejemplo:

1212

41

121

1241

1

212

1)(

zzz

zzzzX z2

1

2121

121

)1(2

zz

][][ 21 nunnx n

Ejemplo: 111)(

az

zX ][][ nuanx nza


Problemas Opp: 3.5*, 3.13

26


26


Ejemplo:

1212

1411

1211

41 1111

1)(

zK

zK

zzzX z2

1

1)1(

1)()1(41

41 1

21

141

1

zz zzXzK

2)1(

1)()1(21

21 1

41

121

2

zz zzXzK

1211

41 1

211)(

zz

zX z21 ][2][][ 2

141 nununx nn

• Expansión en fracciones parciales


Problemas Opp: 3.6*, 3.14*, 3.23, 3.35, 3.36, 3.43*, 3.44, 3.45Problemas Pro: 3.24, 3.25, 3.26, 3.33, 3.37, 3.38*, 3.39, 3.40*, 3.41, 3.45, 3.46, 3.47, 3.48, 3.55




27


27


Ejemplo:

)1)(1)(1()( 111212 zzzzzX },0{ C1

21

212 1 zzz

]1[][]1[]2[][ 21

21 nnnnnx

Ejemplo:

1

11 1)1log()(n

nnn

nzaazzX za

1

1 1

1

1 1[ ] 1 [ ] 1 [ 1]0 0

nnk n

k n

k

a na ax n n k u nnk nn



28


28


Ejemplo:


...111)( 221

1

zaaz

azzX

1 11 az

...1 221 zaaz11 az1az

221 zaaz22 za ][...]2[]1[][][ 2 nuananannx n

a }Re{z

}Im{z

Decreciente


Problemas Opp: 3.25, 3.26, 3.27, 3.28, 3.29

29


29


Ejemplo:


...11)( 221

1

zaza

azz

azzX

z za

...221 zaza21zaz 21za

3221 zaza 32za ]1[...]2[]1[][ 21 nuanananx n

a}Re{z

}Im{z

Creciente


Problemas Pro: 3.12, 3.14*, 3.15, 3.19, 3.23

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30

Resumen

• Definición de la Transformada Z• Relación con la Transformada de Fourier• Propiedades de la ROC• Propiedades de la Transformada Z• Algunas transformadas Z• Transformada Z inversa:

– Directa– Inspección– Expansión en serie de potencias

Problemas Opp: 3.49, 3.52, 3.53, 3.55, 3.56Problemas Pro: 3.36

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