7/25/2019 Apliaciones derivada

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Calculo de Varias Variables I

Profesora: Janeth Anabelle Magana ZapataTarea 7 (9 de Noviembre de 2015)

1. Si f(x, y) = x2 +xy + y2 x, encuentre todos los puntosdonde Duf(x, y) en la direccion de u = (1/

2, 1/

2) es

cero.2. El capitan de una nave espacial tiene dificultades cerca del

lado soleado de Mercurio. La temperatura del casco de lanave, cuando el esta en la posicion (x,y,z) estara dada por

T(x,y,z) = ex22y

23z

2

, donde x,y,z estan medidas enmetros yTse mide en grados Celsius (C). Actualmente elesta en (1, 1, 1).

a) En que direccion debera avanzar para disminuir masrapido la temperatura? (La razon de cambio de latemperatura es en C/m)

b) Si la nave viaja a e8 metros por segundo, con querapidez (C/s) decrecera la temperatura si avanza en

esa direccion?

c) Desafortunadamente, el metal del casco se cuartearasi se enfra a una tasa mayor que

14e2 grados por

segundo. Describir el conjunto de las direcciones posi-bles en las que puede avanzar para bajar la tem-peratura a una tasa no mayor que esa.

3. El crater de un volcan tiene la forma de la superficie z =x2 + y22500. Si una persona esta en el punto (0, 50, 0) enel interior del crater, calcule:

a) Calcule la direccion que debe tomar para bajar lo masrapidamente posible.

b) Determine la direccion que debe tomar para que aldesplazarse no suba ni baje el nivel de profundidaden que se mueve una persona que esta en el punto(30, 30,700).

c) Determine la razon de cambio de la profundidad z enel interior del crater cuando la persona cambia desdeel punto (30, 30,700) hasta el punto (0, 50, 0)

4. Suponga que usted esta subiendo una colina cuya forma estadada por la ecuacion z = 1000 0.005x2 0.01y2, dondex,y,z estan medidas en metros y usted esta en un puntocon coordenadas (60, 40, 966). El eje positivo x representalas coordenas Este y el ejey positivo las coordenadas Norte.

a) Si usted camina hacia el Sur, empezara a subir obajar? a que tasa?

b) Si usted camina hacia el Noroeste, empezara a subiro bajar? a que tasa?

c) En que direccion es la pendiente mas grande? Cuales la tasa de ascenso en esa direccion?

5. Suponga que una montana tiene la forma de un paraboloideelpticoz = c ax2 by2, dondea, b, cson constantes posi-tivas, x, y representan las coordenadas Este-Oeste y Norte-Sur respectivamente y z la altitud sobre el nivel del mar

(x,y,z se miden en metros). En el punto (1, 1), en qureccion esta aumentando mas rapido la altitud? Si se s

una canica desde el punto (1, 1), en que direccion cozara a rodar?

6. La temperatura en un punto (x,y,z) esta dada

T(x,y,z) = 200ex23y

29z

2

, donde T se mide en grCelsius yx, y,z en metros.

a) Encuentre la razon de cambio (C/m) de la teratura en el punto (2,1, 2) en la direccion quhacia el punto (3,3, 3).

b) En que direccion aumenta mas rapido la temperdesde (2,1, 2).Cual es la mayor razon de incremen (2,1, 2)?

7. La temperatura T en el punto (x, y) sobre una placmetal rectangular esta dada por T(x, y) = 100 2x2

Encuentre la trayectoria que tomara una partculabusca calor, empezando en (3, 4), cuando esta se muela direccion en la cual la temperatura aumenta con mrapidez.

8. Encuentre la curva de nivel de f(x, y) = (x 1)2 ypasa por (1, 1). Encuentre el gradiente defen (1, 1). Dla curva y el gradiente.

9. Encuentre la superficie de nivel de F(x,y,z)x2 +y2 +z2 que pasa por (3, 4, 0). Encuentre el g

ente en (3, 4, 0). Dibuje la superficie y el gradiente.

10. Encuentre la ecuacion del plano tangente y la recta noa la superficie dada en el punto que se indica. Hagdibujo

a) x2

4 +

y2

8 +

z2

2= 1 en (1,

2, 1).

b) z = 2 x2 +y2 en (0, 1, 1).

11. Encuentre las ecuaciones parametricas de la recta tangen el punto (2, 2, 4), a la curva de interseccion de lperficie z = 2x2 y2 y el plano z = 4.

12. Determine los puntos del elipsoide 2x2 +y2 +z2 = 5 e

que el plano tangente a tal elipsoide, es paralelo al px y+z = 1.

13. Demuestre que cada plano que es tangente al z2 =x2 +y2 pasa por el origen.

Valor Total: 20 puntos. Fecha de entrega: Viern

de Noviembre de 2015. ( se puede entregar en equipos ent

5] personas)