UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LAS PALMAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES
TESIS DOCTORAL APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS DE QUASl-NEWTON A PROBLEMAS
NO LINEALES DE TRANSFERENCIA DE CALOR.
Autor: Gabriel Winter Althaus
Director: Luis Ferragut Ganáis
Las Palmas de Gran Canaria, Octubre 1984
APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS DE QUASI-NEWTON
A PROBLEMAS NO LINEALES DE TRANSFERENCIA DE CALOR
Memoria presei'ntada por
Gabriel Winter Althau.s para
1 a o b t, e n c i ó n del G r a do de
Doctor Ingeniero Industrial.
Las ' Palmas'de G.C., Octubre 1
A Marta
AGRADECIMIENTOS
Quiero expresar mi agradecimiento a todas las personas |
que de un modo u otro me han brindado su apoyo moral y material |
en la elaboración del presente trabajo. En especial a aquellos |
•o
que más directamente han hecho posible la realización de esta |
tesis : I I I
A Francesc Michavila por su entrañable apoyo y confianza en |
a
mi depositados. ®
A Luis Ferragut por su magnifica dirección y dedicación que
me brindó en todo momento.
A las personas del Departamento de Cálculo Numérico é
Informática de la E.T.S. de Ingenieros de Minas de la U. P. de
Madrid, por todas las facilidades prestadas.
A mi compañero Diego A. Garcia por su colaboración y
esfuerzo por lograr la mejor presentación posible de la tesis
A todos ellos, y a tantos otros, gracias.
Í N D I C E DE MATERIAS
Pag INTRODUCCIÓN 1
CAPITULO I. DEFINICIÓN DE LOS PROBLEMAS
1.1 Introducción 3
1.2 Caso I : Conducción no lineal
1.2.1 Definición del problema s Formulación clásica ... 5
1.2.1 Formulación variacional 6
1.2.3 Linealización de la formulación variacional para
medios homogéneos ' 8
1.3 Caso II : Radiación en la frontera
1.3.1 Definición del problema : Formulación clásica ... 10
1.3.2 Formulación variacional 11
1.4 Problema mixto : Conducción no 1ineal-radiación
1.4.1 Formulación clásica 12
1.4.2 Formulación variacional 14
CAPITULO II. ESTUDIO DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIÓN
11.1 Caso I : Conducción no lineal
II.1.1 Introducción 15
II. 1.2 Teorema dé existeiicia y unicidad 17
11.2 Caso II : Radiación en la frontera
II.2.1 Teorema de existencia y unicidad 24
8
CAPITULO 111. ALGORITMOS DE RESOLUCIÓN
111.1 Método del punto fijo 27
111.1 .1 Caso I : Conducción no lineal 29
111.1.2 Caso 11 : Radiación en la frontera 30
111.2 Método de Newton 31
111.2.1 Método de Newton modificado 34
111.2.2 Aplicación a los problemas de .transíerencia de
calor 35
111.2.2.1 Caso 1 : Conductividad térmica función
lineal de la temperatura 35
111.2.2.2 Problema general de conducción no lineal 36 I
i 111.2.2.3 Caso 11 : Radiación en la frontera 40 i
í 111.2.2-4 Problema mixto : Conducción no lineal- ^
í radiación 42 1
• "" I
111.3 Métodos de Quasi-Newton 43 |
111.3.1 Introducción 43 | I
111.3.2 Método de Broyden 45 |
111.3.3 Método de Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno
CBFGS) ........................................ 51
111.3.4 Adaptación del método BFGS en forma de producto 54
111.3.5 Equivalencia de las formulaciones original y en
forma de producto del método BFGS 56
111.4 Implementación de los métodos de Quasi-Newton :
Broyden y BFGS 60
111.4.1 Introducción 60
111.4.2 Método de Broyden 61
• 111..4.3 Método BFGS ...................................... 64
111.4.4 Adaptación del método BFGS en forma de producto 69
CAPITULO IV. APROXIMACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS
IV,1 Aproximación de los problemas de transferencia de calor
en dimensión finita 73
IV. 1.1 Caso I : Conducción no lineal 74
IV. 1.2 Caso II : Radiación en la frontera 77
CAPITULO V. APLICACIONES NUMÉRICAS. EJEMPLOS Y RESULTADOS
V . 1 Introducción 79
V.2 Ejemplos numéricos considerados 82 |
V.3 Resultados comparativos . 85 I i
V.4 Solución a los ejemplos 90 a.
i
CAPITULO VI. CONCLUSIONES ........;., 95 i 1
APÉNDICES , . 96 j £ 3
As Espacios funcionales , 98 i
B: Caracterización de la convergencia superlineal .... 107
C: Resultados de los cálculos 116
D: Programación 154
BIBLIOGRAFÍA ... 165
INTRODUCCIÓN
En los últimos años un considerable esfuerzo ha sido
dirigido hacia la resolución de problemas no lineales en todas |
las ramas de la Fisica y de la Técnica. El método de los i i
elementos finitos es uno de los más aplicados en abordar estos ^ a.
problemas. i i
El método de Newton y sus derivados han sido y son I 1
los métodos asociados más empleados en reducir las no |
linealidades a una sucesión de ecuaciones algebraicas lineales, s £
i Sin embargo su elevado coste ó tiempo de cálculo conduce a buscari
nuevas métodos que permitan, sin perder las buenas propiedades de
convergencia del método de Newton, reducir notablemente el námero
de operaciones a realizar, minimizando asi el coste.
Entre estos métodos están los métodos de Quasi-Newton
introducidos por Davidon (1959) E20I] para resolución de proble
mas de minimización y Broyden (1965) CI21I3 para sistemas de
ecuaciones no lineales; su eficiencia ha sido probada en ciertas
problemas de Mecánica Estructural C17I] y en Mecánica de Fluidos
Clon.
En este trabajo se estudia la eficiencia de los méítodos
de Quasi-Newton en la resolución de problemas no lineales de
transferencia de calor cuya no linealidad sea debida por una parte
a la dependencia de la conductividad térmica con la temperatura y
por otra debido a la radiación.
Aqui, se ha realizado el estudio completo de los
problemas. En el capitulo primero se definen éstos y se
establecen las formulaciones variacionales correspondientes; en
el capitulo segundo se estudia la existencia y unicidad d^
solución de los mismos; en el capitulo tercero se proponen los |
métodos de resolución numérica, entre los cuales se encuentran ° O.
los métodos de Quasi-Newton; en el capitulo cuarto se exponen los f
aspectos relativos a la discretisación de los problemas por el | 1
método de los elementos finitos; en el capitulo quinto se exponen |
i las aplicaciones numéricas efectuadas y una comparación de los i
£ 3
métodos propuestos. Finalmente en el capitulo sexto se presentan |
las conclusiones.
>3
CAPITULO I
DEFINICIÓN DE LOS PROBLEMAS
I.l INTRODUCCIÓN
Los problemas de transferencia de calor considerados se i
abordan en dos dimensiones, regimenes estacionarios y materiales |
_isótropos, siendo estos s 8
a) Conducción de calor con conductividad térmica dependiendo |
linealmente con la temperatura en el dominio en estudio, con |
condiciones de contorno de temperatura impuesta y de convección. |
i b) Conducción de calor con conductividad térmica no i
3
dependiente con la temperatura en el dominio, con condiciones de §
contorno de radiación y temperatura impuesta.
En el primer caso la no linealidad es debido a la
dependencia de la conductividad térmica con la temperatura y en
el segundo debido a la radiación en el contorno.
Primeramente definiremos la formulación clásica de cada
uno de los problemas, estableciendo a continuación las
formulaciones variacionales correspondientes. Ambos problemas se
tratan descriptivamente por separado. Para la resolución de ambos
aplicar^emos la técnica del método de los elementos finitos, lo
que nos permitirá obtener la solución aproximada del problema que
abarca las dos no linealidades mencionadas, y al cual nos
referiremos como problema general.
1.2 CASO I : CONDUCCIÓN NO LINEAL
1.2.1 Definición del problema : Formulación clásica
Sea el dominio en estudia, fi CI R , acotada, de frontera
r con una distribución de fuentes internas de calor: f = fCx ,K ) . •1 2
Consideremos el proceso de transmisión de calor por conducción en
siendo la conductividad térmica dependiente linealmente con la
temperatura uCx ,x ) : 1 2
K = K C X , X ) o o 1 2
K = K C X , X ) 1 1 1 2
3£2 = r = i ; u r.
0=rn r o 4
con condiciones de contorno de temperatura impuesta <p > y o
consideremos la situación que, con frecuencia se presenta en una
frontera sólida, de condición de convección (tipo Ley de Fourier)
en p . • 1
La formulación clásica que define el problema es la
siguiente : .
1 "Hallar uCx ,x ) que veri 1 1 2
1 - VCKCu) 9uD =
1 ul =
1 "" 1 -K<u) Ou/an) 1 = 1 Irj
1 siendo KCu) =
fique
f
u o
h < u -
K + o
.
en n
en r o
- L^) en r 1
K u 1
Cl.l)
donde s
a/an = derivada con respecto a la normal
h = coeficiente de convección CW/m .grado >
"oo =
KCu)
^u = grad u
-1
temperatura del fluido en contacto con r 2 -1 1
conductividad térmica (W/m .grado )
1.2.2 Formulación variacional
A continuación establecemos la formulación variacional
del problema. Multiplicando por una función test v é integrando
la ecuación diferencial que gobierna en jj , tendremos :
/ ; -7CÍ:K + K u!) 9u3 v dx = / f v dx (1.2)
d e n o t a n d o dx = dx dx , con x(x ,x ) € jj 1 2 1 2
Operando con la función subintegral del primer miembro
9CCK + K Li!) 7uD V = CCK u!) v + ^ CK u ^u) v = o 1 o 1
= - K 9u 9v - K u 9u 9v + ^(v K Cu + v K u Cu) (1.3) o 1 o 1
con lo cual <1.2> queda expresado:
K 9u 9v dx + IK u Cu 9v dx - ICCv K Cu + v K u Cu) dx Í2 o ¡Si 1 Ja ° 1
f V dx C l . 4 ) }
Aplicando el teorema de la divergencia de Gauss é
introduciendo la condición de contorno de convección :
ÍCCv CK + K u) CuD dx = I <:K + K U ) O U J ñ o 1 Jg í2 o 1
/an) V ds
= - / h Cu - u ) V ds' (1,5) oo
ds = diferencial longitud en r
Sustituyendo C1.5) en (1.4) y concretando el espacio de las
funciones admisibles tenemos la formulación variacional
correspondiente : .
s
1 " H a l l a r u € H C Í2 ) , u l = u t a l q u e :
•J o
0 °
Vu Vv dx + / K u Vu 7v dx + / h u v di { I h Ll V
/
f v d x + I h u v d ! OO
• 1
V v € H , H = - { : v € H C Í 2 ) : v l = 0 > " I r„
Cl .6)
1.2.3 Linealización de la formulación variacional para medios
homogéneos.
Para medios homogéneos K(u;x) = KCu> , con lo cual
podemos linealizar el problema de conducción no lineal mediante
la transformación de Kirchoff :
iu) = I I a
e c u) = I K c r ) d T
'o
i.1.1)
e' tu) = KCu) Cl .8)
Verificándose :
96 = e' (LO 9 U = K(u) 7u 1:1.9:)
Se produce una linealisación en la formulación
variacional, puesto que el término no lineal en u de (:i.6:>
transforma en un término lineal en la variable nueva :
/ CK + K a O D 7u 9v dx = / KCu:) 7u 9v dx = / 99 9v dx Cl.lO)
El cambio expresado no es factible sin embarga para \
problemas con condiciones heterogéneas ó de convección en la |
frontera. I
10
1.3 CASO II : RADIACIÓN EN LA FRONTERA
1.3.1 Definición del problema : Formulación clásica
Consideremos el proceso de transmisión de calor de
conducción con conductividad térmica independiente de la
temperatura, K = KCx) , y distribución de fuentes de calor
f = f C X ) , en ü
X¿f
a íí = T Q U Tj
0 = 'on h
En la parte r de la frontera 3 , tenemos condición 1 "
de contorno por radiación debido a la existencia de un foco
radiante próximo a r de temperatura u 1 . •
ción de temperatura impuesta.
c» En r tenemos condi-
• o;
La formulación clásica que define el problema es la
siguiente : '
1 1
" H a l l a r u C x ) q u e v e r f i q u e :
- ^ < : K 9 U ) = f e n íí
Li I = u e n r I TQ o o
- K O u / a n ) I 4 4
A Q; t.u - u ; en oo
( 1 . 1 1 )
donde O! viene dado por
siendo :
a = a-e
2-4 a : Constante de' Stef an-Boltzman <M/m»K )
e : Emisividad
1.3.2 Formulación variacional
Procediendo de modo análogo al caso I, la formulación
variacional queda establecida :
1 'Hallar u € H < fi), uI = u tal que
i T j j o
7 u "7v d x + r ' f I Q: Li V d s = I
-/ r , -^ ú
f V d x + I o: G v ds <1 .12)
V v € H , H = - { : v e H < : n . - ) , vi = o > " I r n
1.4 PROBLEMA MIXTO : CONDUCCIÓN NO LINEAL-RADIACION
1.4.1 Formulación clásica
En general el dominio se compone de n subdominios
n •C "l^i«i de materiales con conductividades térmicas distintas
K <u;x) y cuya frontera d si tiene m + p + r partes < Q n^^,- A '
A continuación enunciamos el problema general de
condiciones de contorno :
- temperatura impuesta en O ^
- convección en ^
- radiación en
" Dados :
- l a s f r o n t e r a s -C Q ñ-X , -C 3 í^>{^^ , <- d íp-rlí \^
y la frontera r entre < fi., >."* , definida;
por sus ecuaciones paramétricas
i=l, ... n los coeficientes K <u;x) i
los valores u Cs) en ^^1 j=l, j d
los valores h y u <s.) en Qn^ 1=1? 1 *
/\ los valores o; y u ís) en ^^í- =1,
. . m
13
Hallar u = uCx.) tal que satisfaga
a) -^CK (u.) 9uD = fCx.) en íit • i = l n
b:> D:K<5,LO ouCsi/an:)!! = o s € r
c) Li (s) = u <. s) j
s € ííj' j=l , . . . m
d) - K ( S , L O OuCsü/Sn) = h CuCs) - u CsíD 1
s € n« 1=1,
4 ^4 e) -KCSíLi) (auCsD/an.) = (y Cu Cs) - u (s)^ "
r
s € n^ r=l
C1.13)
s s coordenada curvilínea del contorno 3 ü <x =x Cs),x =x Cs).') 1 1 2 2
A u t.s.) : valor de la temperatura en el medio inmediatamente
exterior a 8 n.
A 3 u t.s.) s valor de la temperatura de radiación que incide en sn . r
lE. II 5 salto de una función en un punto.
14
1.4.2 Formulación variacional
Al problema general definido para n materiales de
conductividades térmicas K <u;x> con condiciones de contorno de i
temperatura impuesta en d "5 convección en d ^1 Y radiación en 3
3 ü, corresponderá la formulación variacional :
A A Tí) " H a l l a r u € H C fi ) , u = u e n -id íí.->- . t a l qu
y I K (u;x!> 7u 9v dx + 2_j / h u v ds + / / Q ; U
1=1 Jn¡.^ e-Wasij "Vial
= I f v dx + / . r h u v d s +2_, I Q:U V
V ds =
( : i . l 4 S
V V e H C ÍJ ) , V = o m e n -i d íí->, .
K c :u;X) = K + K u i '' o 1
V X'¿, Xj, € fi-
•15
CAPITULO II
ESTUDIO DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIÓN
II.1 CASO I : CONDUCCIÓN NO LINEAL
II.1.1 Introducción
Consideremos en el estudio de existencia y unicidad de
•solución el problema de- Dirichlet homogéneo, de formulación
variacional correspondiente :
1 "Hallar u 6 H C «) tal que :
o
f f I K(.u') 7u Vv dx = 1
f V d X C 2.1)
1 2 V V € H C Í2 ) ; f € L < Í2 )
o
16
Para el problema de Dirichlet no homogéneo procedería
mos por traslación, sustituyendo la condición :
1/2 ui = 0 por ul = u ; u € H (r ) Ir I r o o
Consideremos las hipótesis siguientes s
1) KCx) ::> a > D V X € R C2.2)
2) La aplicación K: R •> R 1 ipschitciana :
IKCx) - KCy) i <:: L (z) Ix - yl x,y,s € R .(:2.3:)
donde si z esté contenida en una bola B , se tiene:
LCz) ^: ^ < 00 (2.4)
Ambas hipótesis son válidas desde el punto de vista
fisico.
1 Supondremos que el problema es regular ( í2 C -regular!)
de modo que la solución u del problema asociado (2.5) es :
u e H ( n )
17
II.1.2 Teorema de existencia y unicidad de solución
Introducimos el problema lineal asociado siguiente
1 1 "Fijado w € H C n )., hallar u € H C £2 ) tal que :
o o
(2.5:)
-(Cw) yu Vv dx = / f V dx J KCw) yu Vv dx = /
ü Ja
el cual por el teorema de Lax-Milgram tiene solución ¿mica,
LEMA
- 1 "Las s o l u c i o n e s de ( 2 . 5 ) p a r a c u a l q u i e r w € H C j^ ')
o e s t á n c o n t e n i d a s en l a b o l a :
1 •1
o 1 , £J o , n B = -C V € H <:Í2 :> : l l . v l l ^ í C li f II >
Demostración:
En <'.2.5) elegimos v = u , con lo cual se verifica
hs?u 9u dx ^. j KCw) ^u Vu dx = / f " dx
obteniéndose las desigualdades siguientes :
1 V w € H < f2 ) ¡ o .
•18
c Cjj ) a i i u i i <: o; lu í ; ii f ii í imi <: i i f i i l iu i i
verificándose : llull <;; C II f l| (2.6:) 1 , n o , Í2
quedando la constante C determinada por :
c = i/i:Q;C(:n:)3 cq.d, 1
liQREMA DE EXISIENCIA Y UNICIDAD
1 Existe una función u € H (. ü') única que verifica (2.1)
1 o para cualquier ' v € H C ÍJ ) .
o
£í§!D2i;í:Eií£ÍÉlD
Cons ide remos l a a p l i c a c i ó n : 2 1 2 1
T : B n H C íJ ) n H C n > — » B O H < fi > O H (. ü > o o
w — > u
siendo u solución de (:2.1).
La existencia y unicidad de la solución quedará probada
si existe un único punto fijo de la aplicación T, u = TCu), y
para ello la verificación de :
llul - u2i| = lITCwl) - T<:w2:! í| <:: kllwl- w2l| (2.7:) 1 , íí 1 iQ. 1 ?Í2
con k < 1
3
19
2 1 Establecemos'en (2.5) para wl , w2 € B D H C", flH Cfi ) ,
2 ' l o y sus correspondientes imágenes ul , u2 € B O H ( •'''1 < n ) segán
o la aplicación T :
I KCwl) Lil "7v dx = I
I K(:w2:) 9u2 yv dx = I
f V dx (2.8:»
i2 yv dx = I f V dx C2.9:i
Í2
Restando las expresiones anteriores (2.8) y (2.9) :
/ KCwl) 9ul 9v dx - / K(:w2) Ou2 'v'v dx = O
Sumando y restando el término -CKCwl) 9'u2 7v> y eligiendo
V = ul - u2 obtenemos :
/ KCwl) C^Cul - u 2 : ) 3 dx = / CK(:w2 ;:w2) - K C w D l 7 u 2 9 < u l -u2:) dx
P o r a p l i c a c i ó n d e l a d e s i g u a l d a d d e H o l d e r g e n e r a l i z a d a :
C <: íj ) o: I l u í - u 2 i | ^í j8 l lwl ~ w21| |iC'u2l| | l 9 C u l -u2:) II
( 2 . 1 0 )
Por regularidad del problema y al ser la inclusión
H <• j2 •' C L. ' í2 •' Lina inyección compacta :
¿o
II7U2II <:: IIVu2ll < C | lu2l l << C 0 , 4 ; n • ! ,« 2 2 , n 3
íl w2 - wl II .•: C II w2 - wl o , 4 , n 4 1 , fi
quedando la desigualdad (2.10) finalmente
a c <: n ) ii u i - u 2 ii > Í: C li W2 - wi ii ii u i - u 2 ii •1 1 , Í2 4 1 , Í2 1 , íí
II u l - u 2 l l ^í k Ilw2 - w l l l ( : 2 . 1 1 ) 1 , fi 1 , fi
donde la constante k dependerá en resumen de JJ 1 B ^ Oí -
K = KC n , j3 , a •)
Imponiendo k < 1 , por aplicación del teorema del
punto fijo para contracciones estrictas la solución es única.
21
Caso sin unicidad
Sin la condición k < 1, aún podemos demostrar la
existencia de solución. Para ello pasamos a un problema en dimen
sión finita; consideramos una sucesión V de espacios de
m dimensión finita tal que :
m<*.oo 1 V •> H (. ü> m o
V •> V
m
y nos planteamos el siguiente problema aproximado
J KCu :> 9u ^v dx = / „ m m /
í V dx (2.12)
u € V , V V € V m m m
i i e n d o B = í v € V : II vil <c: C II f II > m m 1 , í2 o , í2
Consideramos la aplicación T : B > B m m
w •> u m • m
donde u es definida por la solución de m
" / K(w ) Vu Vv dx = / / m m / - .0. Jo
f V dx
" <:2.13)
u € V , V V € V m m tn
La aplicación T es continua de un compacto B en si m
mismo , B ( V , V de dimensión finita. Por ello m m m
aplicando el teorema de Bfower la aplicación T tiene al menos un
punto fijo, lo que equivale a la existencia al menos de una
solución de C2.12).
Pasando al limite en (2.12) cuando m — > C » con v = u m
tenemos :
II u il < C llf II <2.14)
y podemos extraer una subsucesión -Cu > V
1 u —•> u débilmente convergente en H C í2 ) V o
•1 4 Por la compacidad de la inyección H <. ü ) (^ L C Í2 )
: . . , 4 u —•> u fuertemente convergente en L. <. ^ ') V
23
Con l o c u a l , t e n e m o s :
9 v d x = / í v d x V v € V / KCu :> 9u 9v dx = /
/
KCu) 9u ^v dx - / KCLI )
£1 J ü
/
K<u) 9Cu - u ') 9v dx - / CKCu
ü ^ J ü
C 2 . 1 5 )
m
^ u 9v dx V
) - KCu)3 7u 9v dx V V
II 9u II |l7vll :: (S II u - ull V o , 4 , íj V 0 , 4 - , j2
= O
°'-=^'n
Pasando al limite en CZ.IB) resulta que u es solución del
problema :
/
K C u ) 7u
o L 7v dx = / f v d x V V € V
m
y al tender m —•> C» , concluimos que u es solución de :
/ KCu) Vu "í'v dx = / 7v dx = ; f V dx V V € H C Í2 ) " o
2A
II.2 CASO II : RADIACIÓN EN LA FRONTERA
Resolveremos nuestro problema en su formulación
variacional (1.3.2) que reproducimos aqui :
" / K 9u 9v dx + I (v Li V ds = /ctu v ds +/ f V dx
1 V v € V , V = - C v € H ( : " ) , vi = 0 > t:2.16:)
"o
u € H <: ^ ) , u I = u i r o o
II.2.1 Teorema de existencia y unicidad de solución
1 Existe una función u € H C Í2 ) , ul = u ,
Ir o
única que verifica (2.16) para cualquier v € V,
1 V = - C v € H ( " ) , vi = 0 >
Demostración
Introducimos el problema lineal asociado siguiente :
1 "Fijado w € V, hallar u € H C Í2 ) tal que
25
IK 7u 9v dx = la Cu - w ) V d s + I
J ü JT, -^ Ü
f V dx (:2.17>
V V € V
E s t a b l e c i e n d o
/
K y"ul 9 v dx = I CXCu - wl > V d s + / f v dx
/ K '7u2 9 v dx = /0¿ ( u _ - w2 ) v d s + / f v dx
J J /
y procediendo de modo análogo al caso I, C2.8!) y C2.9'.> :
I K 7<Lil - Li2:) 7v dx = I c<-V.(:w2 - w 4
1 :)ds C2.18)
Eligiendo v = ul - u2 y puesto que
4 4 w2 - wl 1 ^ L(:w2,wl> I w2 - wl
Por el principio del máximo S-t- uüCx'.) < u C x) en 00
A c . t . p . X € - Í2 ===!» CtCx) < u í x ) y p o r t a n t o s
C»
Lf:w2,wi:) = <:w2 + wi :> c.w2 + wi) :: Ñ
26
S i g u i e n d o c o n ( 2 . 1 8 ) s e t e n d r á :
C l l u l - u2 l l í. CCLI , j j , r ,K:) II u l - u2l l II w2 - wl ll
l l u l - u2l l <•; CCu , jj , r ,K) |l wl - w2 II 1,Í2 °° 1 1 , n
La condición CCu , o,r .K) < 1 nos da la existencia oo' " ' . '
y unicidad de solución del problema.
En la demostración se ha considerado el método del 3
punto fijo para constante de Lipschits L = L<w ) por
simplicidad de la verificación de existencia y unicidad de 2
solución, mientras que en las aplicaciones L = L(w ) (expresión
3.6).
El método empleado en las demostraciones de existencia
y unicidad de solución de los problemas es constructivo, siendo
éste uno de los métodos que se proponen en el capitulo siguiente:
u = TCu ) n+1 n
8
27
CAPITULO III
ALGORITMOS DE RESOLUCIÓN
III.1 MÉTODO DEL PUNTO FIJO
Sea el sistema lineal a resolver C K Í L O D -CU} = <.£>
El método del punto fijo consiste en construir a partir de un
valor arbitrario -Cu > una sucesión -Cu > de valores de la solu-o i
ción -Cu}, resolviendo en cada iteración el sistema lineal :
CKCu )D -Cu > = <£> (3.1) i—1 i
o bien
—1 •Cu > = CKCu ')3 -Cf} = FCu ) (3.2)
i i-1 i-1
siendo KCu) la matriz de rigidez obtenida por discretización
mediante aplicación del método de los elementos finitos a los,
problemas correspondientes.
Introduciendo el vector residuo :
•CRíu)> = -Cf} - [:KCU)3 •CU> = O
8
Í8
podemos establecer el método del punto fijo en forma incremental
CKCu )3 -cAu > = -CRCu )> i—1 i i—1
(3.3)
•Cu > = -Cu > + -CA" > i i—1 i
Esta áltima expresión es la utilizada en las
aplicaciones numéricas.
CONVERGENCIA
n Sea el espacio <R , li . li» ) y la contracción
n F: D •> D , siendo DCZ R , compacto.- El -algoritmo del punto fijo
converge si
V x , x ' € D s I IFCxJ-FtK ' ) II <; k H x - x ' l |
s i e n d o K < 1 .
Una c o n d i c i ó n s u f i c i e n t e p a r a l a c o n v e r g e n c i a e s :
CaF /Bu. 1 ^'. k /n , con k < 1 i j
La convergencia en el método del punto fijo es lineal
lim = cte , k»" llu -u.ll
29
III.1.1 Caso I : Conducción no lineal
La aplicación del método del punto fijo, conduce a una
linealización del problema, siendo el problema a resolver :
1 "Dado
i /" 1 -^ n
1 -^^1
u , h a l l a r n
9u 9v dx o n+1
u V d s n+1
u t a l n+1
- / >/ ü
i--
q u e
< u V 1 n
dK
5
u Vv n+1
J Ti
dK 1
u V d s " 1
C3.4)
X = C X , X )
1 2 dx = dx dx
1 2
La expresión en forma incremental correspondiente será: I
1 "Dado
lili'
u , h a l l a r 6 n
7 6 Vv dx + 1 K u
^ J 1
V dx +/ h u V d s
J ~ ••i
- / h u V
J ^1
, 5 =
9 5 vv n
-^ ñ
d s "
u - u , n+1 n
dx + / h 6 V
+ K u :)'7u V\ D 1 n n
t a l q u e 1
d s = 1
/ dx - 1
C3.5)
30
111.1.2 Caso 11 : Radiación en la frontera
El problema lineal a resolver en cada paso segán
aplicación del método del punto fijo presenta la siguiente
formulación :
1 " [
i/" 1 -^ü
Jado
7u n+-
n
Vv 1
h a l l a r
dx + / Q!L
^1
u n+1
3 X U \
n n+1
t a l
' ds
q u e :
i: V dx + 1 a 4
A. U V 00
d s " 1
(3.6)
siendo la expresión en forma incremental correspondiente
1 "Dado
1 / K <76
u n
y v
1
d x
ha
+
i l l a r
jan
4 '
Ja
8
3
5 1
9 u 1
t a l
V ds
^ v dx 1
q u e :
7" d x
4 U V
n
+ ¡a
d s "
4 A* U V oo
d s - 1
<: 3,7)
31
111.2 MÉTODO DE NEWTON
Sea el sistema no lineal :
CKCnitl -íu} = <£> (3.8)
ó en su forma equivalente :
•<:R(;U:)> = <£> - CKCUJD -CU} = o (.3.9)
Obtenido en la iteración i-ésima un valor cercano a la solución u i g
tendremos : |
•CRCu )> = -CRCu + A u )> - O (3.10) j i i-1 i ú
El algoritmo del método'se deduce a partir de desarrollar el
vector residual en serie de Taylor en la vecindad del valor
aproximada de la solución u : i-1
•CRCu + A <-i :>> = -CRCu )> + caR/au3 -cAu > + ... = o (3.ID i-1 i i-1 u=u¿.^ i
Despreciando los términos de orden superior al primero obtenemos :
ZaR/Sul -cAu > = - -ÍRCu >> (:3,12) u=u¿_^ i i-1
o bien :
CK Cu >3 -CAu > = - -CRCu . >> C3.13) T i-1 i • i-1
32
donde el valor mejorado de la solución será
u = Li + -CALI >
i i—1 i
La expresión de la matriz tangente CK (u >D se obtiene T i-1
derivando la expresión (3.9).
El método de Newton dado por <;3.12) para cada paso
ó iteración resuelve un sistema de ecuaciones lineales
completamente nuevo. Ello representa un coste elevado en la
mayoria de las aplicaciones puesto que cada factorisación de K 3 . T
requiere n operaciones (siendo n el orden del sistema!» .
CONVERGENCIA
El método de Newton requiere una aproximación
inicial u en un dominio D, (llamado dominio de atracción) tal o
que los valores calculados en los pasos siguientes k=l,2,3 ... ,
•Cx >, permanezcan en D, conjunto convexo, al converger al k+1
valor u donde -CRíu )> se anula. Es evidente que además •s- *
•<!R(u>> debe ser diferenciable en D y CaR/auH no singular.
El método de Newton presenta una convergencia
cuadrática :
llu^^^-u^ll lim = cte
k^OO |IUj -u,rll
si OR/au) satisface una condición de Lipschits en u , es ' ' ' • • * . •
,í)>i
decir, si existe una constante k tal que :
FCu!) - F<u ) II í k II u - u II * *
siendo F = CaR/Qu).
El método de Newton presenta la desventaja de requerir
una buena aproximación inicial de la solución. Asi obsérvese que
teniendo un dominio de atracción D suficientemente pequeño se
satisface la condición anterior y RCu) es dos veces diferen-
ciable en u
8
34
III.2.1 MÉTODO DE NEWTON-MODIFICADO
Para evitar una factorización en cada paso, se
modifica el método de Newton de modo que en todas las iteraciones
aproximamos :
CK <u)D - CK (u)D T <-i=uj T u=Uo
y resolvemos repetidamente el mismo sistema de ecuaciones :
CK Cu)! -cAu > = - -CRCu > > (3.14) T u=u„ i i-1
Evidentemente el método es más económico en cada
iteración pero a costa de una convergencia mas lenta,- como
veremos a continuación. El número de operaciones a realizar es
OCn ) . Generalmente se efectúa una factorización nueva
cada cierto número de ecuaciones, siendo esta alternativa útil a
fin de acelerar la convergencia.
CONVERGENCIA
Con respecto al método de Newton presenta una
convergencia lineal :
I1"K+/I - " II 1 im = c t e
.k->cx», i l u ^ - u 11
35
III.2.2 APLICACIÓN A LOS PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR
III.2.2.1 Caso I : Conductividad térmica función lineal de la
temperatura
A partir de la formulación variacional vamos a
establecer la función derivada y con ello la ecuación de
linealisación de Newton, que por discretización de la misma
mediante aplicación del método de los elementos finitos quedará :
K Cu ) -CA" > = - TCu ) T i i i
C3.15:)
con K íu ) - CdTCuí/dul T i u=u
La formulación variacional puede expresarse del modo
siguiente :
• 1
"Hallar u 6 H C " ) , ul = u tal que : iFjj O
T(u,v) O C 3 .16 )
W v e H , H = - £ v € H C Í 2 ; ) , v l = 0 > "
siendo
T C u , v )
/
CK + K uíCu 9v dx + / h u V d;
36
- / f v d x -/ h u _ v f V dx - / h u_v ds
La función derivada para el problema será :
aT<u,v)/au = lim Cl/X ) C TCu + X 6 ,v) - TCu,v)3 X ->D
= I (K + K u)9 5 9v dx + 1 K ; ¿ Vu 9v dx + I h 5 V ds i. Asi pues, expresamos a continuación el algoritmo de
Newton para este problema :
'Dado u solución aproximada de u, ul = u n
1 hallar 6 , 6 € H C Í2 ) tal que :
^0 °
/
CK + K u 396 Qv dx + I o 1 n j
K 59Cu ) 9v d 1 n
X + I h 6 V ds
/
f V dx + I h u V ds - I CK + K u DCPu :)Cv dx -J " j o 1 n n
- I h u V ds
. J.
<;3.i7;)
V V € H, H = <v € H c; jj ) : vi = O" ir O
siendo una mejor aproximación :
u = u + 5 n+1 n
37
38
III.2.2.2 Problema general de conducción no lineal
A continuación expresamos el método de Newton aplicado
al caso mas general de dependencia de la conductividad térmica
con la temperatura, es decir, sea la dependencia una función
cualquiera de la temperatura : K = KCu).
Sea la formulación variacional del caso I, . con K = KCu)
/ KCu) Vu Vv dx + I h u V ds = / f v dx + 1 h u v ds (3.18)
Podemos prodecer de modo análogo al caso anterior, sin
embargo por sim'plicidad elegimos el procedimiento alternativo
siguiente :
Sea u un valor aproximado de u solución exacta n
y u una mejor aproximación u = u + ¿ , que n+1 n+1 n
verifica con un grado de aproximación mejor la ecuación anterior,
tendremos :
I KCu ) 7Cu + 5 ) Vv dx + / h Cu + 5 )vds
r r = / f v d x + / h u
i /
C3.19)
V ds oo
39
Desarrollando KCu) en serie de Taylor entorno a u se n
tiene :
KCu ) = KCu ) + K' Cu ) 6 + OC 6 3 C3.20:) n+1 n n
Despreciando los términos cuadráticos y mayores a éste,
tendremos :
J' KCu ) 70 Vv dx + / K'Cu )6 VCu ) Vv dx + / h 6 V di
C3.21)
/ f V d.* + / h u \/ ds - / KCu ) 7Cu ) 9v dx - I h u v d / / / n n /. n
Observemos que la expresióv. C3.21) tiene como caso
particular la formulación del método de Newton CS.l?) para :
S o n
K = KCu) = K + K u. o 1
40
III.2.2.3 Caso II : Radiación en la frontera
Vamos a expresar el algoritmo de Newton para este
problema, cuya formulación variacional puede expresarse como :
"Hallar u € H C" ), ul = u tal que :
^0 °
T < u , v ) = O C3.22)
y v € H , H = - C v € H t : f i ) ; v l = 0 > "
s i e n d o
TCu,v) = r f "" í I K 9u 9v dx + / a u V ds - I
í"'-V ds
f V dx -
(3.23:)
La f u n c i ó n d e r i v a d a c o r r e s p o n d i e n t e s e r á :
aT<:uí,v)/au = T K 96 " v dx +
l im. C l /X > C X - » 0 f 4 4-n n í '^
c V c i ) u (. \ 8) 3 V ds - / Q ; U ñ^ú J
V d s l =
41
• / Jü
K ^ S ^ v d K + 4 / a u S v d í ^ C3.24)
El algoritmo de Newton para este caso, queda expresado :
' Dado u solución aproximada de u ul = u n
1 hallar 6 , 6 € H <« ) tal que :
iTp o
J K 76 9v dx + 4 / a Cu D 6 V d s =
C 3 . 2 5 >Í
/ f V dx - la u V ds - I K 7<u ) 7v dx - Ice Cu 3 V ds
siendo u = u + 6 una mejor aproximación " n+1 n
A2
111.2.2.4 Problema mixto : Conducción no lineal-radiación
Consideremos' el problema conjunto de conducción no
lineal, con dependencia general de la conductividad térmica con
la temperatura K = Kíu) en fi
convección en r .
, con radiación en r y 1
a Í2 = r U r Ufo r O r = 0 1 2 1 ü
El m é t o d o d e Newton p a r a e s t e p r o b l e m a q u e d a e x p r e s a d o :
"Dado u a p r o x i m a c i ó n d e l a s o l u c i ó n u , u l = u n
1 h a l l a r 6 ^ 5 € H C " ) t a l q u e :
^0
I Küu ) 7 5 9v dx + X K' <u > 6 ^<u ) ^ v dx + n
4 / a C u 1 8 V d5 + I h ^ v d s = n Jr,
/ a 4jpV d s + / h Lj^v d s - / KCu ') 9Cu j r i 1 JT2 2 j n n
- I Q; Cu D v d s - / h u V
) 9v dx +•
(. 3 . 2 6 )
V v € H , H = < v € H ( f i ) , v i = 0 > "
c o n u = u +8 n+1 n
43
III.3 MÉTODOS DE QUASI-NEWTON
III.3.1 Introducción
Los métodos de Quasi-Newton presentan una forma
general :
—1 •Cu > = -Cu > - CK 3 -ÍRCu )> C3.27)
i+1 i i i
CK 1 = CK 1 + C A K 1 <3.2s:) i+1 i i
Esta 61tima expresión nos define una actualización de
la matriz tangente en cada iteración.
Consideran la generalización del método de la secante a
sistemas de ecuaciones no lineales, lo que representa la ecuación
denominada de Quasi-Newton :
CK 3 -Cu -u > = -CRCu )-R(u )> (:3.29:) i i i-1 i i—1
siendo CK 1 una aproximación de CSR/SuH . i u=uj.
En la práctica la adaptación se expresa
directamente como corrección de la inversa :• ;
-1 -1 -1 CK 1 = CK 3 + C A K 1 (3.30)
i+1 i i
44
donde se pone de manifiesto la ventaja de los métodos de Quasi-
Newton :
"eliminar la factorización de la matriz CK 3, en cada i
iteración mejorando en cada paso la inversa calculada en el
paso anterior segán C3.30) "
Con ello resulta en los métodos de Quasi—Newton un
námero total de operaciones a realizar OCn ) en cada iteración.
La desventaja con respecto al método de Newton es
la pérdida de la convergencia cuadrática, aunque presentan
convergencia superlineal, y a ello nos referiremos a continuación.
Sea el sistema de ecuaciones F = -Cf} - CK Cu!» !II-Cu> = O n n
Tratamos de encontrar un cero de la aplicación F: R > R
mediante la expresión :
-1 u = u - CB 1 FCu :> k=0,l, ... (3.31 > k+l k k k
siendo la sucesión -Cu > generada por CS.Sl) que trata de converger k
a un cero de F y -CB > una sucesión de matrices no n k
singulares, -CB > € LCR ) que aproxima al jacobiano de F en u : k k
F' (u ) . k • • ^ n • •
Si -Cu > converge a u* , FCu) = 0 , -Cu >C R , se dice k k
converge superlinealmente si y solo si para un k suficientemen
te grande . u p u* ó para k >. O ,. u* ?í u se verifica :
k k
45
II u^^^ - a II l i m = D ( 3 . 3 2 )
k > o o II u - Li* II
En el apéndice B se presenta el teorema de
caracterización de convergencia superlineal, extraido de C93.
111.3.2 Método de Broyden
Establecemos a continuación una concreción de la
ecuación (3.30) dada por Broyden, extraída de CSD y C53.
En primer lugar vemos que la ecuación (3.2( :) no da
información del modo que opera CK 3 sobre cualquier dirección i
distinta de -Cu -u > y por ello no define una ánica matriz CK 1 i i-1 i
Por tanto, imponemos sobre los vectores •Cz> perpendicu
lares a -Cu -u > la condición :
i i-1
CK D-Cz> = CK D-Cz> (3.33) i i-1
T con -Cu -u > -Cz} = O
i i—1
Cienotando
7¿= -íRCu )-R(u )> i i-1
5¿= -Cu -u > i i-1
tendremos la expresión
46
T
CK 3 = CK 1 + 2 C3.34) i i-1 II 5;II
* 9
nos define una matriz CK 3 que verifica las ecuaciones <3.29> y i
C 3.33).
TEOREMA
n n _ n ^ Sea K 6 LCR > , , 7 € R , 5 ?íO, K € LCR ) dado por : I
T ( 'V - K 8 ) 5
K = K + (3.35)
< 6 , 6 >
K es la ánica solución al problema,
min -C IIK - Kl| s K . O = T } (.3.36)
Demostración CSH
- A Sea K dado por (.3,35) y sea K cualquier elemento
" A - ^ s: y de LCR ) , K 5¿ K que cumple l a r e s t r i c c i ó n K O = ' ( .ecuación de Q u a s i - N e w t o n , C3 .29) ) t end remos : . , ,
47
T /v T < 7 - K 6 ) 6 ' CK - K 6 ) 5
l iK - K l l = I IK + - Kl l = II •• F < 8 ,6 > F < 6 , 6>
T
A 6 6 A II ÍK - K) II ^ IIK - K l l C 3 . 3 7 )
< 6,5 > F
K es la ánica solución del problema (3.36) puesto que la aplica- | n • I
ción f: H.R ) —•> R definida por f CA> = IIK - All , denotan- |
F i do por II . I|_ la norma de Frobenius, es estrictamente convexo en g
r "
" " A i LCR ) y el conjunto K € LCR ) tal que K 6 = T es convexo. I
Las ecuaciones (3.27) y (3.28) generales de cualquier
método de Quasi-Newton han resultado aqui :
-1 •Cu > = -Cu > - CK 1 -CRÍu )> (3.38)
i+1 i i i
T (7í-CK¿_iD 5p6¿
CK 3 = CK 1 + 2 (3.39) i i-1 II Óíli
que no constituye una gran efectividad en cuanto a reducir el
número de operaciones, pues para resolver el sistema dado por
(3.38) :
48
CK D-Cu _u > = - -CRCu )> (3.40) i i+1 i i
se necesita realizar n operaciones en cada factorización de CK 11. i
El algoritmo dado por (3.38) y C3.39) reduce ánicamer
el námero de evaluaciones de una función de (n + n) á n
operaciones, debido a no tener que computar CaR/fflu) . Solo al
comienzo del algoritmo consideramos :
CK 1 - CaR/Bal I o u=Uo I
ü o.
y luego segán (;3.39) calculamos -CK > i=l,2, ... I i . 1
•o
La efectividad del método de Broyden estaria en la|
actualización directa de la matriz inversa de la forma definida en | I
<:3.3a). Ello se consigue mediante aplicación de la fórmula de .| a @
inversión de Sherman y Morrison CBU :
T —1 —1 —1 T -1 CCADH- VW D = CAD - tl/cr JCAD VW CA3 C3.41)
donde :
T V = <V ,V , ... V )
1 2 n'
T W = CW ,W , ... W )
•1 2 n
49
T - 1 a = 1 + W CA3 V, a* o
D e s i g n a n d o :
CAD = CK D i - 1
V = II Sfiif
C3.42)
W = 5,
a p l i c a n d o l a e x p r e s i ó n C3.41) a l segundo miembro de l a e c u a c i ó n
( 3 . 3 9 ) t e n d r e m o s :
CK 3 + Ói í - i ' II 6-II?
"t 2
- 1
CK D ( -----) CK i—1 & I I , i - 1
i—1 T - 1 7 - CK,-_ iD5¿ 1 + ¿¿CK 2 í —
i - 1 II di II,
CK 1 i - 1
- 1 T - 1 - 1 CCKÍ-iI] y¿- Óí> Ó¿ C K í - l D
T - 1
i - 1
y concluimos :
50
-1 T -1
CK D = CK 3 + (3.A3) i i—1 T -1
8fK 2 y. i-1 *
que es la corrección de la actualización (3.30) para el método de
Broyden. Se requiere un námero de operaciones a realisar de OCn )
en cada iteración.
51
III.3.3 Método de Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno CBFGS)
Es un método de Quasi-Newton para matrices simétricas
que conserva en la actualización de la matriz tangente las pro
piedades de simetría y definida positiva :
-1 -1 CK 1 simétrica -> CK 3 simétrica (3.44)
i—1 i
-1 -1 CK D definida positiva -•> CK" 1 definida positiva C3.A5)
i-1 i
Fue obtenida realizando la transformación siguiente al
algoritmo Davidon-Fletcher-Powel 1 <!DFP) CllH :
6i<-^ y¿
—1 CK D ^-> CK 3 0.46)
i i
—1 CK 3 ^-> CK 3
i-1 i-1
Podemos deducir la adaptación del método BFGS realizan
do la transformación descrita en cada paso en el establecimiento
del método de adaptación directa DFP, como propone Dennis y Moré
C83.
n ^ Sea c € R siendo <c,7 > 5¿ O , CK 3 ^ L(R)
i—1 la adaptación :
-1 T -1 -1 ( 5¿- I:KV_ID y . ) c
CK 3 = CK 3 + C3.47) i i-1 <c , y¿ >
verifica la ecuación de Quasi-Newton :
-1 5,- CK 3 y¿ (3.48)
Aplicando la técnica de Powell a fin de conseguir la propiedad
C3.44) (.ver C4D) consideramos :
—1 T -1 C d¿ - CK¿_jD 7,- ) c
ce D = CK 3 + (3.49) 1 i - 1 <c ,y¿>
Siendo en general CC 1 no simétrica, procedemos a simetrizarla 1
mediante la operación :
T CCi3 + CCi3
CC 1 =. • ,(;3.5Q)
Ahora CC D no verifica (3.AS) y para ello generamos una secuencia 2
ÍCC Il> dado según : i
T C di- CC2,*3 Tv > c
CC 3 = LC 3 + 2i+l 2i <c , 7,->
T CC 1 = C CC 3 + LC. 3 )/2 (S.Bl)
2i+2 2i+l 2i+l
-1 <= 0,1, ... siendo CC D = CK 3
o i—1
Dennis y Moré C&3 utilizan la misma generación de matrices para
el DFP y muestran que la secuencia -CCC I]> converge a un limite i
dado por la expresión :
-1 T —1 T
-1 -1 c 8J- C K / _ I D %••) c + c c 6i - cK,-_iD 7,-:) CK 3 = CK 3 +
i i-1 <c , 7^ >
—1 < 8i- cK,'-iD 7.,7¿> T
c c es, 52)
54
Si ahora concretamos c = 0¿ obtenemos la adaptación BFGS.
Desarrollando los productos escalares que aparecen en (.3,3%) obtene
mos la expresión :
-1 T -1 T T
es.53)
T siendo p.= (1/ A . . 7-)
que es la formulación original del algoritmo BFGS,
III.3.A- Adaptación del método BFGS en forma de producto <BFG2)
El método BFGS puede expresarse para matrices
simétricas y definidas positivas de la forma :
-1 T -1 T T CK 3 = C I + w V ) CK 3 C I + w V ) (3.54:)
i i i i-1 i i
esta adaptación fue estudiada por Brodlie-Gourlay-Greenstadt CSH.
Se denomina "adaptación en forma de producto" y cumple las pro
piedades de conservación de simetria y definida positiva en cada
actualización.
55
Recordando la expresión C3.53.) del método BFGS :
-1 T -1 T CK 3
1
( I - w • y •) CK 3 C I - 7 -. w > + 6- w i ' i—1 i i
T siendo w = < di/ 6¿-Tt ) (3.55)
i
Ambas expresiones (3.54) y C3.55) son equivalentes, lo cual se
verificará posteriormente estando el vector v dado segán : i
T 8¿ 7/ 1/2
v = < > CK 3 Oj - 1¿ (3.56) i T i-1
6,-CK 3 8t i—1
Observando la expresión dada para el vector Vjéste es
definido en función de la matriz tangente CK 3 y sin embargo la i—1
fórmula de adaptación (3.54) es referido a su inversa :
Este aparente inconveniente se resuelve de modo fácil
teniendo en cuenta la ecuación de Nevjton r
CK D 5- = - R(u ) (3.57) i-1 i-1
56
Sustituyendo (3.57) en C3.56) :
T
V = ( 1-±—) RCu ) - 7/ i T i-1
d/RCu ) i-1
RCu ) i-1
T
-6/7.- 1/2 1 + ( — )
6/RCu ) i-1
RCi
(3.58)
Esta expresión del vector v es la utilizada
implementación del método.
ín la
III.3.5 Equivalencia de las formulaciones original y en forma de
producto del método BFGS.
A continuación procedemos a verificar la equivalencia
de las dos expresiones del método BFGS para matrices simétricas :
-1 CK 1 = (. 1 ) CK D ( I .•) + (3,59:)
Sr ^i h\''li
-1 T -1 T CK 3 = C I + w V .•) CK 1 C I + V w ) (3.60)
i i i i-1 i i
57
8,-siendo w,' = CS.ól)
6^ 't
V = ( ) CK 3 8¿ - 7/ (3.62) * \ T / i-1
Ó.-CK 3 di ' i-1
Para ello, el procedimiento elegido es a partir de la expresión
(3.60) obtener la expresión C3.59) :
—1 T —1 T CK 3 = C 1 + w V ) CK 1 C I + V w )
i i i i—1 i i
—1 T -1 —1 T T -1 T CK D + w V CK 3 + CK 1 V w + w (v CK D v :)w
i-1 i i i-1 i-1 i i i i i-1 i i
Sustituyendo (3.61) y C3.62), y trasponiendo las matrices :
T -1 -1 , T -1 di 7,- 1/2 T
CK 1 = CK 1 - w y.LK ' 3 + (. ) w 5-i i-1 i ' i-1 T i
ó/tlK Idf i-1
58
+ (.-6s H 1/2 T -1 T
-) 5- w - CK D 7-w + T i i-1 ' 1
i-l
w 7.CK D + i ^ i-l
1 hi y i 1/2 T
( ) ^ g T i
i-l
bé 7/ 1/2 T
6¿ CK 3 hi '- i-l
.•) CK 3 6- w - 7/ w i-l
Ordenando factores, teniendo en cuenta que 5¿ CK 3 Ój' i-l
escalar y que verifica :
e s un
T T T
w y- h¡ w = Oj i: w w
8 / y¿ X 1
t e n d r e m o s :
- 1 - 1 CK 3 = CK
i
T - 1 3 - w 7 . CK 3 - CK 3 y^ w +
i - l i i - l i - l i
T - 1 T T T w 7¿ CK 3 7 - w + Óy 7¿ w w
i - l 1 1
T T - 1
1 i - l
- 1 CCK 3 - w 7.- CK 3 >CI - 7- w ) +
i - l • '
á; 5/
S¡ %•
59
di li -1
i - l
T
%• di .,
6i^^¿ br '^i ') +
T 6/6. 6,T ;'
c . q . d
60
III.4 IMPLEMENTACION DE LOS MÉTODOS DE QUASI-NEWTON : BROYDEN Y BFGS
111.4^.1 Introducción
Las implementaciones consideradas, en base a su progra
mación posterior, tienen las siguientes características comunes :
- Eliminar el cálculo directo de las inversas de la matriz
tangente, con el fin de conservar la estructura en perfil de la
misma.
- En cada iteración se resuelve un sistema lineal de ecuaciones |
con la misma matriz de coeficientes, é igual a la matriz tangente |
para la aproximación inicial. De este modo se efectáa una sola g
factorización. CK 3 = CLD.CUD | • - - o • I
•o
1
- No se necesita almacenar en cada iteración matriz adicional f
alguna. f £
i - Por cada iteración solo es necesario almacenar para cálculos |
a @
posteriores en las iteraciones siguientes, dos vectores de orden
(.n) siendo n el orden del sistema. Las operaciones a realizar se
reducen a operaciones sencillas de sumas algebraicas y productos
escalares entre vectores. - Se ha desestimado el método de readapcación directa en cada
—1 iteración de las matrices triangulares CL3 y CUH propuesto por Johnson y Austria- C123, Método de Convergencia Rápida, debido, a
la pérdida de la estructura en perfil de las matrices, lo cual en
aplicaciones del método de los elementos finitos trae consigo un
considerable aumento de la memoria de ordenador a disponer.
61
III.4.2 Método Broyden
A continuación se presenta el esquema de la implemen-
tación del método Broyden, propuesto en C103, para la iteración
i-ésima :
Dado u , u , RCu ) : i i-1 i
I. Resolver CK 3 q = RCu ) o 1 i
II. Para j = 1,2, ... , i-1
q = q + P/ <: 5;- ^ > 5/ q i+i j -^ - J ^ . j+
-Almacenar el escalar p y los vectores
6 . ^ k k
K "^ X f JL m • • • • X X
III r-= q - d i i-1
8¿= u - u = - d i i-1 i-1
P= Cl/ di r/}
IV. T
d = q + P,- < d- - r :> 6¿ q - • i i 1 1
V. u = u - d i+1 i i
DEDUCCIÓN
Sea el sistema no lineal RCu) = -Cf> - KCu).u = O.
El método de Broyden correspondía a la adaptación definida según
la expresión :
-1 T -1 -1 c6t - CKi-i3 7t > 6/ -1
CK 3 = CK 1 + CK D (3.63) i i-1 ^ T -1 7/ i-1
"* CK 1 i-1
siendo 7-= RCu ) - RCu ) ' i i-1
6¿= u - u i i-1
-1 En la implementación actualizamos d = CK 3 RCu )
i i i estando el vector solución dado segán :
u = u - d i+1 i i
La idea básica es expresar en cada iteración i-ésima —1
d con respecto a d = CK 13 RCu ) , mediante aplicación reitera-i o o i
da de la adaptación de Broyden (3.63> De este modo establecemos :
-1 -1 T -1 d = CK D RCu ) = CK 1 RCu :> + p-C ¿^.- r :> á^-CK J RCu ) i i i i-1 i i i-1 i
C3.64)
63
T siendo P/= (1/ g •' r )
-1 r = CK 1 7,' i i-1
-1 Designando q = CK H R<u )
i i-1 i
se obtiene la relación
-1 r = CK 3 CRCu ) - R(u )D = q - d i i-1 i i-1 i i-1
De este modo (3.64) queda expresada :
T d = q + p¡(. 5/ - r ) g .q i i i :
Aplicando reiteradamente la adaptación (3.63) tenemos
T q = CK 1 R(u ) = q + p^-, ( ^¿,^- r ) 5._ q i i-1 i i-1 i-1 ' i-1
q = CK D R(u ) = q + pj _ (. 8- , - r ) 6,. q i-1 i-2 i i-2 ^ ''2 i-2 ''2 i-2
-1 T q = CK D R(Li ) = q + Pt < 0| - r ) 6i q .2 - 1 i • 1: . 1 . 1 .
6A
-1 siendo q = CK 1 R<u ) , que se obtiene por resolución del
1 o i sistema lineal :
CK 3 q = RCu ) o 1 i
La implementación requiere almacenamiento para cada
iteración i-ésima de los vectores § , r k = 1,2, ... , i-1 H k
En la práctica, a fin de acelerar la convergencia, cada
cierto námero de iteraciones se recalcula la matriz tangente;
normalmente cada 5 ó 10 iteraciones.
111.4.3 Método BFGS
Recordemos la adaptación original del método de Quasi-
Newton BFGS :
-1 T -1 T T CK D = ci - /O.6.7->I:K 1 (.1 -p-y-8-) + - 6/5/ es.65)
i 1-1
T con P -= (1/ ^( \ ' ) ; 6-= Li - u ; 7.= RCu ) - RCu )
' i i-1 ' i i-1
De modo esquemático la implementación propuesta por Matthies-
Strang ClSIl es la siguiente :
3
65
Dado u , u , RCu ) y RCu ) i-1 i i-1 i
6¿= u - u i i-1
7,-= RCu ) - R(u ) i i-1
p,-= (1/ 5 . 7/ ->
q = RCu ) i i
"/= ^¿ \ *
II.. Para j = i, ... ,2,1
q = q - 7y- a j - 1 j y /
III. Resolver CK D r = q o o o
IV. Para j = 1,2, ... ,i
T
= "/ 'i'- , J-1
r = r + 6.. C Q: . - (3 O j j-1 J J J
u i+l
u — r i i
66
DEDUCCIÓN:
En la iteración i-ésima tenemos :
i i i i-1 i
^ f.- «'«'• \ (3.66:)
correspondiente a determinar el vector solución
u = u - d i + 1 i i
Para K = i establecemos q = R(u )
-1 -1 I Sustituyendo EK D en función de EK D de acuerdo con la |
i—1 i-2 2 adaptación Í3.65) tenemos (3.66) expresado segán :
d = (I -p- h. T. )c(i - e,.. 5._,X-i)CK 3 (I -f-_,7,-_, 5, ) +
T + p. o . 0/ :: q
T T
C3.67)
t:i-p.6.7. )Eci-p. 5. 7 :>EK D q +
67
donde hemos asignado :
q = q - 7. « L k-1 k K K
es.68) T
para k = i, i-1
-1 Procediendo de modo reiterado hasta eKpresar CK 3 en
-1 i función de CK 3 llegamos a la expresión equivalente de (3.67)
o s i g u i e n t e :
d = <:i - p¿ 6¿ 7. ) c < i - P,_^d._y¿_^^c<i - P / - 2 ^ - - 2 '^•-2-'^ " • "
T - 1 c ( i - P i 6 i 7 I ) [ : K 3 q + « j á j ^ + . . . 3 + oL¿_^b^_^ 3 + oi¿ 8¿
o o
donde -Cq > , k = l , . . . i y -C a > k = 1 , ... i corres-k-1 '
ponden a la expresión definida en (;3.68).
Resolviendo el sistema lineal CK D r = q hallamos r. o o o o
Procediendo : T
a - Py 6,;T, x r + aj 5, = r + 5 <: a.- ^p. = r o o ' * 1
^r Pí ' / ^"^
68
y, en general
tendremos :
^ / 'j • > % _ ,
r = r + 5/ C Oí- - /3. :>
j = 1,2, ... i
d i
u i + 1
= r i
= Ll
i - r
i
La implementación requiere almacenamiento para cada
iteración i-ésima de los vectores y^ , 5 k = 1,2, ... , i-1 '^ k
En la práctica, a fin de acelerar la convergencia, cada
cierto námero de iteraciones se recálcala la matriz tangente;
normalmente cada 5 ó ID iteraciones.
69
111.4.4 Adaptación del método BFGS en forma de producto
El método de Quasi-Newton BFGS podia expresarse
mediante
-1 T —1 T CK D = (I + w V )CK 3 CI + V w ) (3.69)
i i i i-1 i i
-1 -1 Expresando CK D en función de CK 3 de acuerdo con la
i-1 i-2 adaptación (3.69) :
-1 T T -1 T T i LK 1 = CI + w V .ICI + w V ÜCK 1 CI + V w ) CI + v w ) |
i i i i-1 i-1 i-2 i-1 i-1 i i 5
-1 Procediendo reiteradamente hasta expresar CK 1 en función de
-1 i CK D llegamos a la expresión equivalente siguiente :
o
-1 1 T -1 i T CK 3 = n CI + w V )CK 3 n CI + V w )
i j=i j j o j=l j j
Al igual que en implementaciones anteriores nos -1
interesa expresar d = CK D RCu ) tal que u = u - d i i i i+1 i i
1 T -1 i T ^ d = n CI + w V )CK D H- '-i "•• V w :> RCu ) C3.70:) i j=i j j o j=l j j i
De modo esquemático la implemenfación es la siguiente
Dados u , u , RCu ) , RCu ) : i i-1 i-1 i
70
6-= u - u i i-1
7/= RCu ) - R(u ) i i-1
w
V =
T - 6 / y¿ 1/2
R(u )C 1 + C ) 1 i-1
í RCu ) i—1
RCu :) i
II. a = i T
-•ri CI + V w ) RCu ) j=l j j i
III. Resolver EK D b = a o
1 T IV. d = n CI + w V :> b
V. u = u - d i+1 i i
Esta implementación propuesta por Matthies-Strang C13I1
es la considerada para el método BFGS en las aplicaciones
numéricas. ' . . . . .
71
DEDUCCIÓN :
Procediendo en (3.70) del siguiente modo :
i T T T T fl <I + v w :)RCu> = Cl + v w :M;I + V W )...(I + V W ) R ( U )
j=l j j i 1 1 2 2 i i i
T T a = <I + V w ) RCu ) = RCu ) + V w R(u )
i i i i i i i i
T a = < I + v w ) a
i - 1 i - 1 i - 1 i
T T a = C l + v w ) a = a + v w a
2 2 2 3 3 2 2 3
T . T a = < I + v w ) a = a + v w a
1 1 1 2 2 1 1 2
Por tanto, C3.70> queda expresado segán
1 T -1 d = n <I + w V ) CK 3 a (3.71) i j=i j j o 1
resolviendo el sistema lineal CK D b = a (3.71) viene dado o 1 1
por :
1 T d = -n (I + w V ) b i J=i j j 1
que evaluamos del siguiente modo :
T T d = C l + w v : ) b = b + W V b
1 1 1 1 -1 1 1 1
T T d = ( I + w v ) d = d + W V d
2 2 2 1 1 2 2 1
T d = . . . = d + w v d
i i - 1 i i i - 1
73
CAPITULO IV
APROXIMACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS
IV.1 APROXIMACIÓN DE LOS PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN
DIMENSIÓN FINITA
En las aplicaciones se ha realisado la discretización
mediante elementos cuadrilaterales isoparamétricos bilineales; en
las integraciones se han considerado cuatro ó nueve puntos de
integración de Gauss segán el problema sea débilmente no lineal
ó fuertemente no lineal.
A continuación establecemos la formulación de los
problemas de transferencia de calor abordados en el subespacio de 1 1 1
dimensión finita H í fij, > C H C í] ) dim H <:fif,5 = N, al discretizar h r '
el dominio Q, por S2 en -C fi e i elementos con N puntos
nodales y considerar las funciones A de base correspondientes. i
Asi mismo expresamos la aproximación en forma local, en cada
elemento genérico Q presentando las matrices elementales
correspondientes.
Las formulaciones son referidas al método de Newton,
con lo cual en las expresiones resultantes por eliminación de
algunos términos ó pequeras variaciones en éstos quedan
74
formulados los prtíblemas aproximados para el método del punto
fijo.
IV.l.l Caso 1 : Conducción no lineal
El problema aproximado correspondiente en dimensión
finita al algoritmo de Newton (3.17), queda expresado en cada
paso :
h 1 "Dado u solución aproximada de u en H CÍii »
n h ^
u = u en r , hallar 8 , 6 = / 8^ú(.x^,y^) o o < J J
siendo h^= b (x ,x, > tal que j J J
I CK + K u h h / ^ h h
D 9 5 7v dx + / K 6 7u 9v dx +
n
h r ^ r ^ v d s = | f v d x + | h u v (
r h h h r h h I CK + K u D^iu 9 v d x - / h u v t
(4 .1 : )
h 1 h ^ h
V v G H , v = 0 e n r
siendo una mejor aproximación :
. u = u + 0 n+1 n
75
La a p r o x i m a c i ó n en forma l o c a l c o r r e s p o n d i e n t e s e r á :
I CK + K Li D9 óe'7v d f i g + I K 6e ^LI 7V d.Qe+ I h 6e V ds = e e
( :4 .2 )
T h r h r h h h - . r h h / f v d í 2 e + / ^ ^ " V d s - / CK + K Li 37u 9v d í ¿ e - I h u v d s
- ' a e e J^8 e e J ^^ o l e e e J ^ e e e
h ^ h " ^ 1 , siendo u , 5 y v las restriciones a Í2e de u , 6 y h e e n
V , que expresados en función de los valores en los nodos y ^ He r^
las funciones de forma -CT >4 correspondientes en U Q :
. Ne n ^—1 e e
u = 2^ u T (X x2 e 4 J J
; 5 ^ 6e=
h V =
e
z 1 e
T j
.e ^
1 - J
conduce a expresar el problema aproximado (4.2)
Me e e Z f tí
K dj =? P i = l,2, ... jN . . ij i e
76
siendo las matrices elementales :
e e e e K = K + K + K ij I,ij II,iJ III,ij
e r h
I , i j J ^ o l e i * j * i ^ j ^
e / e h e h e
K = / K T c<au /axícaT /ax) + cau /av:) ca? /ax)3 dj^g II, i j Jfie 1 i e * j * e i j ^
e j e
Ill.ij J o i ,1J ^-e 1 J e i
e e Las matrices elementales K y K vemos son
e I,ij III,ij simétricas, mientras que K no lo es. Por ello el problema
II,ij de conducción no lineal presenta una matriz tangente asimétrica.
Para la aproximación del problema según el método del punto fijo
podemos ver comparando (3.5) y (3.17) que la variante con el
método de Newton anteriormente expresado en dimensión finita, es e
la ausencia del término que conduce a la matriz elemental K II,ij
77
IV.1.2 Caso II : Radiación en la frontera
El problema aproximado correspondiente en dimensión
finita al algoritmo de Newton (3.25) queda expresado en cada
paso :
h 1 'Dado u solución aproximada de u en H (fif^), con
n h
> > h h u = u en r , hallar 6 , ^" £ H tal que s
o o h
/ .
í ^ h I a Cu :
h h / h 3 u h K 9 O 9v dx + 4 I a Cu 3 O v ds = í ^
I f V dx -
Jni, r ^ 4 h r h h f h ^ I a Lu 3 V ds - / K 7u Vv dx - /a Cu 3
h V ds
h 1 h h V v € H , v = 0 en r
h o
-siendo u ^ u + O .una mejor aproximación" n+1 n
78
La aproximación en forma local conduce a las siguientes
matrices elementales :
e K l,ij Jíí'
KCOT /ax)caT /BH) + OT /ay)í:a7 /ax.JD dOe i * j * i ^ j
e f h 3 K = 1 4 0; Cu ) T II,ij J_e e i
T ds
las cuales son simétricas. Asi el problema de radiación en la
frontera presenta una matriz tangente simétrica.
La aproximación del problema segán el método del punto
fijo, comparando las expresiones (.3.7) y (3.25) presenta como e
¿mica diferencia respecto al de Newton sustituir K por : II,ij
; r h 3 = / o: Cu ) T
79
CAPITULO V
APLICACIONES NUMÉRICAS
V.l INTRODUCCIÓN
El dominio considerado es una placa cuadrada con
orificio en medio Cfig. 5.1). Por simetria hemos considerado la
octava parte ñ de la sección a estudiar.
(0,2)
t:0,0)
(2,2)
(2,0)
Fig. 5.1
80
Se ha mal lado el dominio ^ mediante 3A2 elementos
cuadrilaterales y 380 nudos, siendo la discretización más fuerte
en la zona cercana al orificio que es sometida a un mayor
gradiente de temperaturas CVer fig. 5.2)
(S.¿)
81
Se ha considerado el dominio íí compuesto de dos
materiales de conductividades térmicas distintas K en ^M I
y de K en n, . II
Ca5,oír]
(O.?,o) C^.^^
82
V.2 EJEMPLOS NUMÉRICOS CONSIDERADOS
Los ejemplos ó casos resueltos fueron los siguientes
EJEMPLO I: CONDUCCIÓN NO LINEAL
Las condiciones de contorno consideradas han sido
ul = 500 ul = 2 0
resolviéndose los siguientes casos :
I.l Problema "débilmente no lineal" :
K = 2 K = 0.005 en a 1
K = 3 K = 0.005 en jj o 1 •^
Ic2 Problema no lineal :
K = 2 K =0.01 en "i
K = 3 K = 0.01 en ^ o 1 ^
1.3 Problema "fuertemente no lineal" s
K í= 2 • K = 0 . 1 en n o 1 '
o . 1 K = 0 . 1 en Q^
83
EJidELO II: RADIACIÓN EN LA FRONTERA
Se ha considerado en ^ dos materiales con
conductividades térmicas constantes :
K = 2 o
K = 3 o
en
en
%
«2
La temperatura de radiación u^^ = IODO con
ot = l.OE-08, incidiendo en r. En la parte del contorno r: 1 o
ul = 2 0 "^0
EJEMPLO III: CONDUCCIÓN NO LINEAL Y RADIACIÓN EN LA FRONTERA
Se ha considerado s
K = 2 K = 0.01 o 1
K = 3 K = 0.01 o 1
'u_= 1000 ex = l.OE-08 Cr )
ul = 2 0 Ir.
84
Se ha realizado un estudio comparativo en la resolución
de los ejemplos numéricos, anteriormente citados, entre los
métodos del punto fijo, de Newton, Newton modificado y los méto
dos de Quasi-Newton Broyden y BFGS. A fin de estudiar la eficacia
de los métodos de Quasi-Newton se obtuvo el tiempo de CPU para
cada caso.
La resolución se ha realizado en un ordenador VAX
11/730 del Cíepartámento de Cálculo Numérico e Informática de la
Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Minas de la U. P. de Madric
La tolerancia exigida en los resultados fué de l.OE-05
sobre los flujos de calor..
A continuación se presentan los resultados comparativos
<num. iteraciones y tiempo de CPU) y las isotermas
correspondientes a la solución para cada problema; en el apéndice
C se dan los resultados de los cálculos para los distintos casos
especificando la entrada de datos y los valores de solución en
los nodos.
85
V.3 RESULTADOS'COMPARATIVOS
EJEMPLO lj¡_X Problema de conducción "débilmente no lineal";
K = 0.Q05 1
Se consideró en cada elemento 2x2 puntos de
integración. Al igual que en los ejemplos numéricos expresados
posteriormente, se expresan el námero de iteraciones y el
tiempo de CPU utilizado para cada método considerado. (Tabla 5.1)
INUM ITER.
ICPU Csg)
PF
6
262.02
PFNWM
(*) 6
163.48
NW
5
250.65
PFNW
<*:> 4
190.00
PFBROY
5
149.20
PFBFG2 1
5 1
149.31 1
TABLA 5.1
(.*') Podemos observar la conveniencia de -realisar la primera
aproximación por el método del punto fijo, lo que va de acuerdo
con la matización hecha teóricamente sobre la aproximación
inicial en el método de Newton.
86
Las abreviaciones anteriores corresponden a
PF : Método del punto fijo.
PFNWM : Método de Newton modificado, con la primera iteración
por el método del punto fijo.
NW : Método de Newton.
PFNW : Método de Newton, con primera iteración por el método
del punto fijo.
PFBROY : Método de Broyden, con primera iteración por el método
del punto fijo.
PFBFG2 : Método BFGS adaptación en forma de producto, con prime
ra iteración por el método del punto fijo.
87
EJEMPLO Ij 2 Conducción na lineal, K. = 0.01
Los resultados comparativos para los métodos más
eficientes del ejemplo anterior fueron (tomando 3x3 puntos de
integración) :
INUM
ICPU
ITER.
<:sg)
PF
7
560.12
PFNWM
7
327.16
NW
-
-
PFNW
5
426.58
PFBROY
7
327.22
PFBFG2 1
- 1
- 1
EJEMPLO 1.3 Problema de conducción fuertemente no lineal
Puntos de integración 3x3.
INUM ITER,,
ICPU <sg)
PFNWM
no cpnv.
—
PFBROY 1
.12 . i
488.27 1
88
EJEMPLO II Radiación en la frontera
Se consideró en cada elmento 2x2 puntos de integración.
En este caso el método del punto fijo no converge y el método de
Newton modificado con primera iteración segán el método del punto
fijo converge muy lentamente. A efectos comparativos y de acelerar
la convergencia se ha considerado los métodos de Quasi-Newton sin
readaptacióii y con readaptación de la matriz tangente.
1 i PF . I PFNWM 1 NW 1 PFNW 1 PFBROY 1 PFBFG2 1 1 1 i r - - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i 1 1 1 1 1 1 1 Ca:> II 1 Caí II 1 INUM ITER. 1 — 1 > 20 1 7 1 7 1 1 1 1 1 i , 1 1 1 Cb) 8 1 Cb) 8 1 1 1 i 1 i 1 1 1 1 1 1 1 1 1Ca) 1Ca) 1 1 1 1 1 i I 236.06 i 237.30 1 1 CPU Csg!) 1 — 1 — 1 348.62 1 339.14 1 Cb) ICb) 1 1 1 i 1 i 1 216.24 1 217.26 1 1 1 1 1 1 1 i 1
<a) Sin readaptación de la matriz tangente.
(b) Con readaptación de la matriz tangente en la quinta iteración
89
EJiíJELQ i ü Conducción no lineal CK = 0.005) y radiación en la o
frontera.
La convergencia para los métodos de punto fijo y Newton
modificado es muy lenta C constante de Lipschtts cercana a la
unidad ). Para los métodos de Quasi-Newton se consideró sin
readaptación y con readaptación en la quinta iteración de la
matriz tangente. Los resulstados fueron los siguientes s
INUM ITER.
1 CPU Csg.)
PF
> 40
—
PFNWM
> 40
—
NW
7
372.58
PFNW
7
360.60
PFBROY
Ca> 11
Cb) 8
(aü 254.50 (b) 241.45
PFBFG2 1
(a) 12 1
<b> 8 1
(a ) 1 274.76 1 ( b :> 1 243.22 1
Se tomaron 2x2 puntos de integración en cada elemento.
Ca) Sin readaptación de la matriz tangente.
Cb) Con readaptación de la matriz tangente en la quinta iteración
90
V.4 SOLUCIÓN A LOS EJEMPLOS
E jeíDEio 1 .1
MEF •»•» PLACA TERMICA-2 MATERIALES •**»
RÉGIMEN ESTACIONARIO
91
lo 1^2
MEF H*» PLACA TERMICA-2 MATERIALES »»
RÉGIMEN ESTACIONARIO
92
iJeíDEiQ 1^3
MEF •*»» PLACA TERMICA-2 MATERIALES »*
RÉGIMEN ESTACIONARIO
93
EjemElQ II
MEF •*»» PLACA TERMICA-2 MATERIALES •»»»
RÉGIMEN ESTACIONARIO
9A
iJemBig I I I
MEF *^** PLACA TERMICA-2 MATERIALES »»
RÉGIMEN ESTACIONARIO
95
CAPITULO VI
CONCLUSIONES
En la práctica hemos resuelto problemas de
contracciones estrictas (exixtencia y unicidad de solución,
capítulo II). Por tanto en las aplicaciones numéricas realizadas
el método del punto.fijo converge, siendo satisfactoria la estra-,
tegia de realisar la primera iteración segán dicho método. Ello
nos permite obtener una buena aproximación inicial de la solución
para los métodos de Newton y de Quasi-Newton. La utilización de
éstos conlleva a acelerar la convergencia.
De acuerdo con los resultados presentados en las
¿aplicaciones numéricas podemos concluir, que los métodos de
Quasi-Newton Broyden y BFGS, sin requerir un aumento sustancial
de memoria de ordenador con las implementaciones efectuadas, han
resultado ser más eficaces que los métodos tradicionales de punto
fijo, Newton y Newton modificado en cuanta.a tiempo de cálculo.
96
APÉNDICES
97
APÉNDICE A: ESPACIOS FUNCIONALES
A.l Distribuciones 98 P
A.2 Espacios L (.JL) 100 m
A.3 Espacios de Sobolev H (J^) "102
APÉNDICE B: CARACTERIZACIÓN DE LA CONVERGENCIA SUPERLINEAL. MÉTODOS DE QUASI-NEWTON
Teorema de caracterización 107
APÉNDICE Cs RESULTADO DE LOS CÁLCULOS
Introducción 116
Fichero de datos I.l 117
Fichero de datos II 119
Fichero de datos III 121
Conexiones nodales 123
Resultados de los cálculos II . 128
Resultados de los cálculos III . 141
APÉNDICE D: PROGRAMACIÓN
D.l Introducción 154
D.2 Listados 156
ELMT5 158
ELMT6 160
QNBR , .... 161
QNBFG2 162
QNBFGS 164
98
APÉNDICE A
ESPACIOS FUNCIONALES
Recordemos aquí brevemente la definición de los
espacios funcionales utilizados en el texto y algunas de sus
propiedades más importantes, entre las cuales se presenta la
desigualdad de Holder generalizada y el teorema de Rellich—
Kondrachov, aplicados en el capitulo II.
A.l DITRIBUCIONES
n Sea SL un abierto cualquiera de R . Empezamos
definiendo el espacio DC-'^!), de funciones infinitas veces
diferenciables y de soport'e compacto en _fL .
D(.JL ') = -C e5 € C C-* ) ; soporte de oá compacto >
Definimos el espacio de distribuciones sobre -O- , D' (.-H.) ,
como el espacio dual de DC-*!.) :
D' C-n.) = L (.DíJi.) ;R) c
A—1
8
99
Denotamos por < , > la dualidad entre D' (. Q ') y D C jj ^
Si T € D' C n 5 y (ó € DC jj > el valor de T en B5 lo designamos,
mediante <T,B5>.
T : D< " ) > R
(Z5 > <T,eí>
es una a p l i c a c i ó n que v e r i f i c a l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s s
- l i n e a l i d a d : <T,e51 + e52> = <T,e51> + <T,ei2>
<T,m(!4> = m<T,d>
- continuidad : Sea e5 ^ (á en D< ^ ) n
se tiene <T,(i!5 > •> <T,(!J> n
C a r a c t e r i z a c i ó n de l,a c o n v e r g e n c i a en D ljC ^ 2
Una s u c e s i ó n •CTn>GD' C ^ !) conve rge a T € D' ( Í2 ') s i s
<Tn,e5> > <T,cí> V eí € DC^ >
Si f es una función localmente integrable, puede
identificarse con la distribución :
< f , (ó > = f C X ) e5 C X :> d X V eí € D C n )
X = •CX1,X2, ... Xn> , dx = dXl dX2 ... dXn
A-2
--l-QO
A continuación definimos la derivada de una
distribución T , SíT/SiX , como la distribución s i
ai/ax : D( n ) > R i
c5 •> OT/aX ,ai> = - <T,aei/aX > i i
La derivación de distribuciones es continua, es decir
la aplicación :
D' c n :> > D' (. ^ ')
T » aT/ax
i
es continua.
A.2 ESPACIOS L < n)
P Se define el espacio L < Í2 ) , con 1 < p < 00 , al
espacio lineal de funciones u tales que :
luí dx < CO
•¿íl
Los espacios L < íí > dotados de la norma
II u II
OlPlJl. j
p 1/p luí dxD
'JL
A-3
•101
son espacios de Banach. En ellos tenemos el espacio L (.-O.) , de
funciones de cuadrado integrable con la norma correspondiente :
1 / 2 l l u l l = l l u l j = C 1 l u í dxD
0 , 2 , - 0 . o , JL
-¿a
oC
L í-íl) es un espacio de Hilbert para el producto escalar :
r C u , V )
D»-a U < K ) V < X ) dK
>(-n. Podemos identificar L (-/!> con un subespacio de D'(-íl),
es decir toda función u € L (.-ÍL) se puede identificar a una
distribución mediante la aplicación :
L (.-TL ') •> D' C -/L ) .
u » <u,e5> = Cu,oí) V eJ € D C - ^ )
Sea r el contorno de _/L , definimos el espacio :
L ( : r ) = - C v : r •> R , I v dr < o¿> >
Desigualdad de Hgider generalizada
. Pl P2 p3 Sean w 6 L C-'^),' ' u € L C-^) , v € L C'-Q.) se tiene
w u V dx ^ llwll . l l u l l . II v i l c o n 1 / p l + l / p 2 + l / p S = 1 o , p l , i i . o , p 2 , J L . o , p 3 , j ^ .
A - 4
ID:
A.3 ESPACIOS DE SOBOLEV H C-O.)
Sea la derivada c?{-ésima, tomadas en el sentido de
distribuciones, por inducción :
"'il^ o'z ^ «^H D
QK"Sx ' ... ax •1 2 n
siendo ^- enteros no negativos.
m _ I Definimos el espacio de Sobolev H (.-TL) de orden m sobre _/2_ i
al espacio de funciones :
m ^ Z H (-il) = - C u ; D u € L < - a . ) ,0 4 oí 4 m y
Z o
Asi L <-a> = H c-a)
m En H (.JT.) se def ine el producto e s c a l a r
(:u,v) = ^— <D u,D v;) m \oí\=m
y la norma
2 1 / : lluK = C ZL-IID ull 3
m,^ \°(\4n\ o,jT,
A-5
la:
m El espacio H (.~Ii'} es un espacio de Hilbert. Tendremos
1 asi para el espacio H C-JT.) :
<u,v) r n r
u V dx + ^^¡csiu/six ). cav/ax ) dx i = l i i
r 2 n r l l v l l
1 , - ^ < v , v ) = i:
1 ,JL V dx +
i = l ^-0,
1 / 2 cav/ax ) dx3
i J 'Í/L
•1 1 I Sea ,J2. C -regular, podemos definir el valor de. v € H i-O.')^
sobre la frontera r de ~ÍL, mediante la aplicación : g
0: H C-^) > L Cr )
V ^ o V = V I Ir
Esta aplicación es continua :
l l Y v l l < c í l v l l
A t a l a p l i c a c i ó n s e l a d e n o m i n a a p l i c a c i ó n t r a z a . La •1
i m a g e n s e g á n d i c h a a p l i c a c i ó n d e f u n c i o n e s v € H (.-O.') d e t e r m i n a e l 1 / 2
e s p a c i o H ; C r ) : .
" ^ H C - í l ) ) ^ L ( r )
1 / 2 1 H < : r ) = - C g : v € H C - ^ ) , , v l = g >
I r
A - 6
•104
Be tiene
•1 1 H = nácleo '^ = -C v € H (.-O.) , ^ v = O >
Si -/I. es acotado al menos en una dirección (con respecto
a una coordenada) la seminorma :
n 2 1/2
luí = c^I ll u/ax u ) •1,4 i = l i o,-A
1 I es una-norma de H <.J1') equivalente a la norma inducida |1 . I| . . |
o • "• . ' 1,-a. i
Eí§li3yñi¿ad de Poincaré.
Si J2. es acotado, existe una constante c(.JL') tal que :
•1 II vil <: cdJi) I vi V V € H C-O.)
o,_/ 1,-a o
A-7
105
Teorema de Reí1ich-Kondrachav L21
Sean n € N con n :> 1 , p € R con 1 <: p <: C» 1
acotado de clase C
Si J M es un abierto de R con una condición de Lipschitz continua
en el contorno r , se tiene que :
•l,p ql W (. ^ ') ^ L í ) , es una inyección compacta V ql € R
si satisface 1 x ql 4 q verificándose 1/q = 1/p - 1/n > O ó
1 < ql < oo cuando p = n
A-S
•106
APÉNDICE B
•107
APÉNDICE B
CARACTERIZACIÓN DE LA CONVERGENCIA SUPERLINEAL :
MÉTODOS DE QUASI-NEWTON
LEMA I
n Si -Cu > C R converge superl ineal mente a u,
FCu)=0-se verifica :
lim k>oo IlLi -ull
k
= 1 (B.l)
Demostración
II u -ull k
|lu^-ul||
II u - u l l I k
II u -ull k
ce.2)
tomando limite en CB.2) :
lim k>oo II u -ull
k
H u ^ - u | |
l l u - u l l k
\< O c . q . d .
B-1
1 0 8
TEOREMA DE CARACTERIZACIÓN DE CONVERGENCIA SUPERLINEAL
n n Sea F:R :•> R d-iferenciable en el sentido d'e
n GATEAUX en un abierto conexo D C R , F' continua y no singular
para un u € D. n
Supuesta la secuencia -CB > € LCR ) de matrices no k n
singulares y supuesto que para algán u € D la secuencia -Cu > C R o k
dado por :
—1 u = u - CB 3 FCu :> CB.S) k+l k k k
permanece en D y converge a u.
Bajo estas condiciones -Cu > converge superlinea 1-. k
mente a u y FCu)=0 si y solo si:
IKB -F' Cu)) <u -u^) i| lim • = 0 <B.A)
k^ao II u -u II k+l k
Demostración
Veamos en primer lugar la suficiencia. Asumiendo
que (8.4) se cumple, y teniendo en cuenta (B.S) se obtiene :
CB--F'(u)).<u - u > = - FCu.) - F ' C L O C U - u ) k k+l k k k+l k
= FCu ) - FCu ) - F'Cu)Cu - u ) - FCu ) k+l k k+l k k+l
B-:
•109
y por la continuidad de F' en u :
CB -F'CuííCu - u ) = - FCu ) k k+1 k k+1
y por (B.4> :
IIFÍu^^^MI lim = 0 CB,5) k>«5 II Li -Li II
k+1 k
Teniendo en cuenta F<u)=0 y F'Cu) no singular,
existe una constante yO > O tal que :
IIFÍu )U = llFCu )-F(u)ll >^ /S\\\J- -lili k+1 k+1 / K+1
de donde :
II u -u II II u -ull + lu -ul| / 1 + a k+1 k k+1 k k
siendo a = k II u -ull
k
8
B-3
lio
Por (B.5) se tiene -ÍB. y -^ O que caracteriza la k
convergencia superlineal. .
Veamos la condición necesaria :
llFCu,^^^)l| UFCuy^^^)-FCu> II Uu^^-ull
llu -u II llu -ull |lu -u II k+1 k k k+1 k
por hipótesis sobre F' en u se tiene :
IIFCu,^^^ ) II IIF'<LO l|.|lu ^ -ull llU| -u!l
i fu -u II 'llu -ull llu -ull k+1 k k k+1 k
Si -Cu > converge superlinealmente a u y por el k
lema I tomando limites tendremos :
lim = 0 (B.ó.i k->oO llu -u II
k+1 k
siendo evidente que se cumple CB.4) c. q. d.
B-4
111
Consecuencias
La ecuación CB.4) nos muestra que si B converge a k
F^Xu2., caso del método de Newton donde B es igual a F'Cu ) , el k k
método iterativo dado por CB.3) converge superlinealmente. El
reciproco no es cierto. La convergencia de B hacia F'Cu )
es referida a la dirección (¿j .
^ k+1 k
Los métodos de Broyden y Broyden-Fletcher-Goldgarb-
Sbano -CBF6S) satisfacen CB.4> presentando.convergencia superlineal.
Una conclusión que se deduce del teorema anterior
es la aproximación asintótica en dirección y longitud de Oif
Cincremento de la aproximación de la solución en dos iteraciones
consecutivas) , hacia la corrección ^ i del método de Newton,
que es : •
^N -1 C) = - F' (u ) FCu ')
En los métodos de Quasi-Newton :
s, -1
- B FCu ) k k
B-5
112
AproKimación en longit;ud
Evaluamos :
^ • ^ k k " * ^ k k
s CF' (u )D CF' Cu ) - B D«S^)c k k k
obteniéndose asi la formulación equivalente de CB.6) siguiente :
lim — ^ — — — = O
que nos define una aproximación asintática én longitud de la
diferencia del vector solución en dos iteraciones consecutivas de
los métodos de Quasi—Newton hacia la misma diferencia dada según
el método de Newton.
B-6
1 1 3
Veamos que t a m b i é n s e v e r i f i c a l a a p r o x i m a c i ó n
a s i n t ó t i c a en d i r e c c i ó n , p a r a e l l o s e s t a b l e c e m o s e l ' s i g u i e n t e
lema :
LEMA I I
n S e a u , V € R —C0>, o< € C 0 , l 3
s i l l u - v l l ^ o ^ l l u l l e n t o n c e s < u , v > > O y
l i v l l 1 -
l i u l l 4 ol (*), 1 - c
r iui i II vil •> ><: o( U*)
Demostración
l lull - II vil
l l u l l
l l u - v l l < >< c?< c . q . d . (*-)
l lu l l
% u , v ,•• Denotando w =
l l u l l . t l v l l
u - v i l = II v i l - 2 j I u l l J I v l l w + l lul l =
= Cllvll - l lu l l w) + llull - llull w :>, l lu l l Cl - w ) < B . 7 )
Por hipótesis se verifica
l l u - v l l < d l lul l CB.8 )
B - 7
De <B.7) y CB.8> t e n e m o s :
l lu l l Cl - w ) ,{; | lu - vi l , ' o^ . l u í
llA
con lo cual (1 - w ) ^< c^ .q.d. (*-K) c.q
Por último c?(€ fO,!) -> Cl - w ) <C 1
w > O —•> <u,v> > O
Aproximación en dirección
Vamos a aplicar el lema anterior para
u = ó i v = á N
l im =, O k»oO (I ^ ^ II
I l u - v l l ^ c < l l u l i
p o r t a n t o s e v e r i f i c a l a h i p ó t e s i s d e l l ema , con l o c u a l
II vil •1 -
llull
II S ^ |
" ^vc» < d de i :o,iD
B-8
115
Pasando al llmit.e en la expresión anterior :
lim
Además por el lema II tendremos
ye ' C>K > 2 ^ _ ( ) < oí
y pasando al limite :
lim <. , ^ == k>oO ifg^ii 11^^ II
1
Por consiguiente "un método iterativo de Quasi-
Newton es superlinealmente convergente si y solo si la dirección¿
se aproxima asintóticamente a la dirección de Newton ¿. en
longitud y dirección".
B-9
116
APÉNDICE C
RESULTADO DE LOS CÁLCULOS
C.l INTRODUCCIÓN
En éste apéndice se dan los listados de. ordenador
obtenidos en las aplicaciones numéricas : Conducción no lineal-
radiación, conducción lineal-radiación.
Asi mismo se adjunta el listado de un fichero de datos
de entrada para cada problema a modo de ejemplo de definición de
las macroinstrucciones correspondientes y conexiones nodales.
C-1
•117
FICHERO DE DATOS : Aplicación numérica I.l con
resolución de punto fijo
primera iteración y Newton
modificado en restantes ite
raciones.
C-2
nEF í.-t F'L ACÁ TFRnlCA-," HATFRJAI F5 t*
NOfR AUTO 2,13 118 .25».375F.5».75,1.í3.»].f.75 ..5,.3384»•17A8,,2236,.5 ' 0,,0.,0.,0.,0.,.5,1.,.75 .5,.3384,.1768,.1118,.25 1,0,2,0,0 2,0,0,0,1 1,1 ,20,10,3 ,2,3,13,9,10,ll,12,CUAEi 2,27 20,10,3,4,5,6,778,9,13,CUAD
MATE 1 3 5 FLACA TFRMICA-MATERIAL 1
2.,0.005,0.,0.,1,1,2 2 15 PLACA TERMICA-MATERIAL 2
3.,0*005,0,,0,,1,1,2
BOUN 1,10,-1 191,0,1 209,9,-1 380,0,1
FORC 1,10,500. 191,0,500. 209,9,20. 380,0,20,
ENIi MACROINSTRUCCIDNES TOL l.E-5 ITER TANG FORM SOLU INCR ITER CERO rlESH UTAN LOOP 15, ITER FORM SOLy INCR NEXT END MATE
1 15 PLACA TERMICA-MATERIAL 1 2, ,0,005,0,,0,70,1,2
2 15 PLACA TERMICA-MATERIAL 2 3, ,0,005,0, ,0-,', 0,1 ,2 ENIi STOP í
C-3
119
FICHERO DE DATOS s Aplicación numérica II con
resolución de punto fijo pri
mera iteración y Eroyden en
restantes iteraciones con rea
daptación de la matriz tangen
te cada cinco iteraciones.
C-4
.•.I'ILL - U - : I ' . ' I ' L K I ; r Mil r e r n:-i i : ,-(-o rcr . n, :-no
\ h t r J IHF .F \ . I . iA7 i T T P E rilNIriEF.DhT HEF *.* PLACA T F R M I C A - ? MATFRIALFF. * * 3 8 0 » 3 6 1 » 3 , 2 7 l » 4 NOF'R AUTO 2»13 »25f «375» « 5 F • 7 5 r l « r l * ti*f«75 . 5» . 3 3 8 > t / . 1768» . 2 2 3 A » . 5 0*f0tr0,t0.t0,t,5fí*t»75 , 5 » . 3 3 8 4 » . 1 7 6 8 » . 1 1 1 8 » » 2 5 1 » O » 2 » O » O 2 » 0 f 0 » 0 » l l » l » 2 0 » 1 0 » l » 2 » 3 » 1 3 » 9 » 1 0 » l l » l ? » C U A r i 2 » 2 » 2 0 » 1 0 » 3 » 4 » 5 » 6 » 7 » 8 » 9 » Í 3 » CIJAD ELEH 3 4 3 » 3 » 1 » 1 1 » 0 » 0 » 1 0
hATE 1 15 PLACA TERMICA-MATFRIAL 1
2 . » 0 . 0 0 5 » 0 . » 0 . » 1 » 1 » 2 2 15 PLACA TERMICA-MATERIAL 2
3 . » 0 . 0 0 5 f 0 . » 0 . » l » l » 2 3 16 CONTORNO RADIACIÓN
1 E - 0 8 » 1 0 0 0 . » 1
BOUN 2 0 9 » 9 » - l 3 8 0 » 0 » 1
FORC 2 0 9 » 9 » 2 0 . 3 S 0 » 0 » 2 0 .
ENIi MACROINSTRUCCIONES
l . E - 5
120
TOL ITER TANG FORM SOLV ITFR MESH LOOP ITER UTAN LOOP ITER FORM QSNW NEXT NEXT END MATE
I NCR CERO
CERO
BROY
1 15 PLACA TERMICA-MATERIAL 1 2. »0.005»0.»0.»0»1»2
2 15 PLACA TERMICA-MATERIAL 2 3.»0.005»0.»0.»071»2
3 16 CONTORNO RADIACIÓN 1E-08»1000.»0
END STOP ^ C-5
121
FICHERO DE DATOS s Aplicación numérica 111 con
resolución de punto fijo
primera iteración y Newton en
restantes iteraciones.
C-6
rlEF .*.* PLACA TFRMir.A-? MATF.RIAIFB ti-380f3Alr3»2f1»^ 122 NOPR AUTO 2»13 .25».375f.5».75»1,f1,»1.».75 .5» .338<í» .1768r .223ftr .5 0. »0»»0.>0.»0»»•?»1.f.75 .5 r .3384» .1768» . M 18 f .25 1 » O » 2 » O » O 2 f 0 » 0 » 0 » l l » 3 » 2 0 » 1 0 » l » 2 » 3 » 1 3 » 9 » 1 0 » l í »3 2»CÜAri 2 » 2 » 2 0 » 1 0 » 3 » 4 » 5 » 6 » 7 » 8 » 9 » i 3 » C U A r i ELFM 343»3»1»11»0»0»10
MATE 1 O? PLACA TERHICA-MATFRIAL 1
2. »0.»0.»1 2 02 PLACA TFRMJCA-MATFRJAl. 2
3.»0.»0.»1 3 16 CONTORNO RADIACIÓN
1E-0S»1000.»1
BOUN 209»9»-l 380»0»1
FORC 209»9»20. 3S0»0»20.
END MACROINSTRÜCCIONFS TOL l.E-5 ITER TANG FORM son.' I NCR ITFR CFRO HESH LOOP 25. ITER TANG FORM SOLV INCR NEXT END -MATE
1 02 PLACA TFRMICA-MATERIAL 1 2 . » O • 7 O . »1
2 02 PLACA TERMICA-MATFRIAl 2 3. »0.»0.»1
3 3 6 CONTORNO RADIACIÓN 1E-08»1000.»1 END STOP
C-7
123
CONEXIONES NODALES
C-8
MEF ** Pl ACÁ TFFÍMjr.A-? MATFRIAIFS »*
NIJMFRO riF PUNTOS NnnAl.EE NUMFRO riF Fl FMFNTOK NUMERO r.iF MATFRIAI.FS = DIMENSIÓN PFL ESFACID GRADOS DE LIBERTAD POR NODO = NODOS POR ELEMENTO (MÁXIMO) = NODOS EXTRA/ELEM = GRADOS DE IIPERTAD/NODD FXTRA= GRADOS DE LIBERTAD EXTRA/ELEM=
380
n I
HEF » * F lATA TÉRMICA-? M A T F R I A I F S » *
COORDFINAririS fiLOPALEE
NUMERO 1 n
3 1 5 6 7 8 D
10 11 12 13
COORD X 0.250 0.375 0.500 0.750 1 .000 1.000 1 .000 0.750 0.500 0.33P 0.177 0.224 0.500
rnnRri y 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.500 1.000 0.750 0.500 0.338 0.177 0.112 0.250
MATRIZ DE CONEX.IPN REGIÓN t A n o
1
O I
O f-j
**.*. RFIGION 1 * * * * MATCRIñl. 1
20 FILAS 10 nni IIMNAS
Nonns riEi. rnNTORNO
NUMRROS DE LOS NODOS DE LA RECitON
3 13
1 11 21 31 41 •51 61 71 81 91
101 111 121 131 141 151 161 171 181 191
-> 12 m T-l
4? 52 62 72 B? 92 102 112 ] 22
132 142 152 162 172 182 192
3 13 23-33 43 53. 63 73 83 93-J03 113 123, 133 J43 153. 16? 173 183 193
4 It 24 34 44 51 64 74 34 94 104 114 124 134 144 IS-Í 164 174 í P4 194
C¡
15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 )?5 135 145 155 165 175 )85 195
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 U 6 126 136 146 156 166 176 J 86 196
-/ 17 27 37 47 57 67 7^ 87 97
107 117 127 137 1 47 157 167 177 í 87 197
8 18 28 3R 4 8 58 68 78 88 98 108 118 128 138 148 15a 168 178 )B8 198
o
19 29 39 49 59 69 79 89 99 109 119 129 139 149 159 169 179 189 199
JO 20 30 4ü 50 óü 70 8ü 90
100 ) 10 120 130 140 150 160 170 180 190 200
^00
o
o I
K1
• *» RFGIDN 2 * * » * MATFRIAl. ?
20 F ILAS 10 COLUMNAS
NOnOS IiEL CONTORNO
NÚMEROS DE LOS NODOS DE LA REGIÓN
10 20 30 40 50 60 70
•flO
90 100 110 120 130 140 150 l¿r0 170 180 190 200
201 210 2)9 22a 237 244 255 2A1 273 2S2 291 300 309 31H 327 336 345 354 363 372
202 211 220 '729
238 217 256 265 274 283 OO 1
301 310 319 328 337 346 355 364 373
203 212 22 3 230 239 248
. 257 266 275 281 293 302 311 320 329 338 347 356 365 371
204 213 222 231 240 219 258 267 276 285 294 303 312 321 330 339 348 357 366 375
205 211 223 232 241 250 259 268 277 286 295 304 313 322 331 340 349 358 367 376
206 215 oo 4
233 o/» o
251 260 269 27P 287 296 305 314 323 332 311 350 359 366 377
207 216 225 231 213 252 261 270 279 288 297 306 315 321 333 312 35) 360 369 378
208 217 226 235 244 253 262 271 280 289 298 307 316 325 334 313 352 361 370 379
209 218 227 236 245 254 263 T-?*)
281 290 299 308 317 326 335 344 353 362 371 380
128
RESULTADOS DE LOS CÁLCULOS s Conducción no
lineal-radiación.
CAplic. Numr. 11!).
C-13
I
MEF »* FLACA TFRMir.A-P MATFRIAIFB »*
PROPirriAriFS M A T F R I A L
MATFRIAI SFT ] PARA ELEMENTO TIPO )? PLATA TFRMICA-MATFRJAl 1 NON LINFAR HEAT CnNDUCTinN F.LFMFNT
COHrUICTiyiTY Ko O.?OOO0E+01 CONnurTiyiTY K) O.fiOOOOF-O? SPEC HEAT 0•OOOOOF^00 DENSITY O.OOOOOF+00 PLAM ANALYSIE
MATERIAL EET ? PARA El.FMFNTD TIPO 3? PLACA TFRMJCA-MATFRIAL 2 NON LINEAR HEAT CONnUCTinN ELFMFNT
. CONnUCTiyiTY Ko 0.30000E + 01 CDNmiCTiyITY K) 0.50000E-0.? SPFC HFAT O.OOOOOF + 00 fiFUSITY O.OOOOOF + 00 PLAN ANALYSIS
MATFRIAL SET 3 PARA ELEMENTO TIPO 11 CONTORNO RADIACIÓN ALFA O.lOOOOE-07 TEMPERATURA RADIANTE O.IOOOOF+O'!
<1
MEF t* fLACA TERMICA-2 MATFRIALFP *»
MACRO IMSTRUr.TIONE
MACRD STATEMENT TOL ITFR TANG FORM SOIA' MESH LOOP ITER UTAN LOOF' ITER FORM OSNW MEXT HEXT nisp EN II
H U M E R O riF
INCR
CERO
BROY
VARIAPl.F 1 O.lOOOOE-0'! O.OOOOOE+00 O.OOOOOF+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOF+00 2.0000
O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 5.0000
O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOF+00 O.OOOOOF+00 O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+00
ITERACIONES = 1 FORCÉ CONVERGENOE
RNMA> TEST
512.10
UARIABIE 2 0, 0, 0, 0, 0, 0. 0, 0. 0. 0. 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
RN
,00000E+00 ,OOOOOF+00 .OOOOOF+00 .OOOOOE+00 .OOOOOE+00 ,00000E+00 ,OOOOOF+00 .OOOOOF+00 .OOOOOE+OO .OOOOOE+00 .OOOOOF+00 .OOOOOF+00 .OOOOOF+00 .OOOOOF+00 .OOOOOF+00 .OOOOOF+00 .OOOOOF+00
_ C| 1 2 . 1 0 TOI O. lOOOOE-04
n I
o
MATERIAL SF.T 1 PARA ELEMENTO TIPO 1 NON LTNRAR HEAT CONIíUrTinN (CI.EMPNT
CONIílJCTiyiTY Ko O . rOOOOF + Ol PLAN AHALYñlS
MATFRIAL SET 2 PARA ELEMENTO T.TPO J NON LINEAR HFAT CONI.ilJCTinN ELEMFNT
PLAHA TERMIC.A-MATFRIAI. 1
c o N n i i r T i y T T Y K I O . S O O O O F - O . - I S P E T
PLACA TFRMinA-MATFRIAl 2
HEAT O.OOOOOF+00 nFNRTTY O.OOOOOF+00
CONIíUCTIVITY K P 0 .7 .0000F + 03 PLí^H AMALYSIS
CONIíUCTIVITY K l O.r.OOOOE-02 SPFC HFAT O.OOOOOF+00 I iENBITY O.OOOOOE+00
O I
I-*
MATERIAL SET 3 PARA ELEMENTO TI ALFA O.lOOOOE-07 TEMPFRATII
**MACRO INSTRUCCIÓN 7 EXECUTEP** **MACRD INSTRUCCIÓN 8 EXECUTEPíí
NUMERO HE ITERACIONES = O **MACRO INSTRUCCIÓN 9 EXECUTEIi**. **hACRn INSTRUCCIÓN 10 EXECUTEntí **MACRO INSTRUCCIÓN 11 EXECUTEn**
NUMERO BE ITERACIONES - 1 **MACRO INSTRUCCIÓN 12 EXECUTEP**
FORCÉ CONVEROENCE TEST 4451.? 13 EXECUTEIi*» 14 EXECUTEIi** 11 EXECl.iTEIi**
RNMAX = **MACRO INSTRUCCIÓN **MArRO INSTRUCCIÓN *ÍMACRn INSTRUCCIÓN
NUMERO PE ITERACIONES = ? **MACRO INSTRUCCIÓN 1? EXECUTEU*»
FORCÉ CONVERRENCE TEST RNMAX = 14?] .5
**MACRO INSTRUCCIÓN 13 EXECUTEritt **MACRO INSTRUCCIÓN j4 EXECUTFn** **MACRO INSTRUCCIÓN 11 EXECUTEtií*
NUMERO DE ITERACIONES = 3 **MACRD INSTRUCCIÓN 1? FXFCUTEIi*» • FORCÉ CONVEROENCE TEST
RNMAX = 44f.J .f. ÍÍMACRO INSTRUCCIÓN 13 EXECUTEti** **MACRO INSTRUCCIÓN 14 EXECUTED*» »*MACRO INSTRUCCIÓN 11 EXECUTETi**
NUMERO DE I.TERACIONFS = 4 **MACRO INSTRUCCIÓN 1.? EXECUTEU**
FORCÉ CONVEROENCE TEST RNMAX = 4451.?
»*MACRO INSTRUCCIÓN 13 EXECUTED** **MACRO INSTRUCCIÓN 14 EXECUTEU** **MACRO INSTRUCCIÓN 11 EXECUTEO**
NUMERO HE ITERACIONES = 5 •*»MACRO INSTRUCCIÓN 12 EXECUTEU*»
FORCÉ CONyíROEMCE TEST RNMAX '
)f.*MACRO INSTRUCCIÓN *»MACRQ INSTRUCCIÓN **MACRO INSTRUCCIÓN !|t*MACRO INSTRUCCIÓN
NUMERO DE ITERACIONES - O **MACRO INSTRUCCIÓN 9 EXECUTET**
44?l.f. 13 EXECUTEP** 14 EXECUTEIi** 15 EXECUTEfi** 8 EXECUTEIi**
PO lí. RA RAD I OOP ITER
UTAN LOOP ITFR
FORM
RN OSNU NEXT ITER
FORM
RN OSNW NEXT ITER
FORM
RN QSHU NEXT ITER
FORM
RN OSNU NEXT ITER
FORM
RN OSHU NEXT NEXT ITER
UTAN
lANTE
CERO
CONTORNO RADIACIÓN O.lOOOOE+04
BROY
BROY
BROY
BROY
BROY
CERO
yi = yi -
VI = VI -VI =
VI =
4451.5 VI -VI = VI -
VI
1220.3 VI -VI = VI -
VJ -
517.4ñ VI -Vi VI
VI
1-10.33 VI -VI VI -
VI
21.979 VI -VI -VI = VI =
VI =
2.000 O.OOOOE + 0'0
O.OOOOF+00 5.000 O.OOOOF+00
O.OOOOF+00
Tor O.OOOOE+00 1.000
O.OOOOE+00
O.OOOOE+00
TOl, O.OOOOE+00 2,000 O.OOOOE+00
O.OOOOE+00
TOL O.OOOOE+00 3.000 O.OOOOE+OO
O.OOOOF+OO
TOL O.OOOOE+OO 4.000
O.OOOOE+00
O.OOOOF+OO
TOL O.OOOOE+00 5.000 1.000
O.OOOOE+OO
y? -V2 -
V2 -V2 = V? =
V,? =
16.00 O.OOOOE+OO
O.OOOOF+00 15.00
O.OOOOE+00
O.OOOOF+OO
0.. lOOOOE-04 V2 - O.OOOOE+00 V? - 11.00 V2 - O.OOOOE+OO
V2 = O.OOOOF+OO
O.lOOOOF-04 V2 - O.OOOOE+OO V2 = jl.OO V3 - O.OOOOE+OO
V2 - O.OOOOF+OO
V3 V? V2
V3 V? V2
V?
V3 V2 V?. V2
O.OOOOF+00 . V2
O.lOOOOF-04 O.OOOOE+OO 11.00
O.OOOOE+OO
O.OOOOE+OO
O.lOOOOE-04 O.OOOOE+00 11.00
O.OOOOE+00
O.OOOOE+OO
O.lOOOOF-04 O.OOOOE+OO 11.00 fi.OOO O.OOOOF+OO
O.OOOOE+OO
suriHi.Ki) iNMKiji;i;ujN K ) F.,\f-.i;iMtu*» i.iiup yt = s.owu > v,; = ií».i;ü
«•MftCRO INSTRUCCIÓN 1) FXECUTFn»» ITFR VI = O.OOOOF+00 t V,? O.OOOOF + 00 NUMERO DF tTFRACIONFR - 1
**MACRO INSTRUCCIÓN 12 EXECUTFIi»* FORM VI = O.OOOOF+00 ? V? ^ O.OOOOF+OC FORCÉ CONVERCENCE TEST
RNMAX = 4451.5 RN - P.2213 TOl - O.lOOOOE-04 **MftCRO INSTRUrCinM 13 EXECIITEO*.* OSNU BROY VI - 0,OOOOE + 00 » V?. - O.OOOOE + 00 **MAnRO INSTRUCCIÓN 14 EXECUTFTi*» NFXT VI = 1.000 . V.? - 11.00 **HACRn INSTRUCCIÓN It EXEnUTETi** ITER VI - O.OOOOE+00 > VCí - O.OOOOE+00
NUMFRd riF ITERACIONES = 2 «*MACRO INSTRUCCIÓN 12 EXECUTEU*» FORM VI = O.OOOOF + OO r V,? = O.OOOOF + OO
FORCÉ CONVERGENCE TEST RNhAX - 4451.5 RN - 0.58871E-02 TOl - 0,10000F-04
**MACRO INSTRUCCIÓN 14 EXECUTED** NEXT VI - 5.000 f V2 =r 11.00 **MACRO INSTRUCCIÓN 15 EXECUTFn** NFXT VI = 2.000 r V2 - 8.000 **MACRn INSTRUCCIÓN lé EXECUTEIi** lUSP VI - O.OOOOE+00 . V2 - O.OOOOE+00
O I •sj
MEF »» FLACA TFRhlCA-.? MATFRIAl ES »»
NODAL DISPLACFMENTS TIME O.OOOOOE+00
O I I-i
oriF 1 T
7
1 5 ó n
S o 10 11 12 13 14 15 16 17 1 8 • 19 20 21 22-23 24 25 26 27 28 29 30 31 -I •>
33 34 35 36 37 36 39 40 41 42 43 44 45 46 47 IB 49 50
1 COORIi 0.1768 0.2127 0.248¿ 0.2B4r. 0.3204 0.3564 0.3923 0.4?R2 0.4641 0.5000 0.1827 0.2Í79 0.2532 0.2885 0.3237 0.3590
. 0.3942 0.4?95 0.4647 0.5000 0.1883
• 0.2230 0.2576 0.2922 0.3269 0.3615 0.3961 0.4307
, 0.4654 0.5000 0,1938
. 0.2278 0.2618 0.2959 0.3299 0.3639 0.3979 0.4320 0.4660 0,5000 0.1990 0.2324
• 0.2659 0.2993 0.3328 0.3662 0.3997 0.433J 0.4666
• 0.5000
2 COORri 0.1768 0.2127 0.2186 0.2R45 0.3201 0.3564 0.3923 0.4282 0.4611 0.5000 0.1722 0.2057 0.2392 0.2727 0.3062 0.3397 0,3732 0.4067 0.4 4 02 0.4737 0.1670 0.1982 0.2293 0.2605 0.2916 0.322B 0.3539 0.3P51 0.4163 0.4474 0.1613 0.1902 0.2190 0.2179 0.2768 0.3056 0.3315 0.3633 0.3922 0.421) 0.1551 0.)8J8 0.20R1 0.2350 0.2616 0.2882 0.3t19 0.3415 0.3681 0.3947
1 DFSPL 0.6876E+03 0.6192F+03 0.5582E+03 0.502BF+03 0.1517E+03 0.4042F+03 0.3598E+03 0.318.5F + 03 .0.2804E+03 0.2470E+03 0.6863F+03 0.6207E+03 0.5621F+03 0.5086F+03 0.1591E+03 0.4131E+03 0.3699E+03 0.3296F+03 0.2921E+03 0.2580F+03 0.6853F+03 0,6224F+03 0.5660E+03 0.5.1 44F + 03 0,4665E+03 0,4218E+03 0,3798E+03 0,3404F+03 0,3035F+03 0.2694E+03 0,6817F+03 0.6244F+03 0.5700F+03 0.5202E+03 0.4738E+03 0.4304F+03 0.3896F+03 0,3511E+03 0.31iaE+03 0.2807E+03 0.6ai5E+03 0.6265F+03 0.5712E+03 0.5260F+03 0.48nE + 03 0.4389F+03 0.3991E+03 0.3614E+03 0.325RF+03 0.2920F+03
(-i
w r»j
MEF »* PLACA TRRMICA-,-! MATERIALES *»
NOriAI niRF'LACFMFNTS TIHE O.OOOOOF + 00
NODE 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 31 32 33 84 35 36 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
1 COORD 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0, 0, 0. 0. 0, 0. 0.
. 0, 0. 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.
. 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0. 0 0 0 0 0
. 0 0
2040 2369 269R 3026 3355 3684 4013 4342 4673 5000 2087 2411 2735 3058 3382 .3705 4029 .4353 .4676 .5000 .2333 .2451 .2770 .3088 .3407 .: .726 .4044 ,4363 ,4681 ,5000 ,2376 ,2489 ,2803 ,3117 ,3431 .3745 • 4059 .4372 .4686 .5000 .2216 .2526 .2835 .3144 .3454 .3763 .407,-' ,4381 .4691 .5000
2 rOORD 0.14R4 0.1729 0.3973 0.22tR 0.246? 0.2706 0,2951 0.3195 0.3440 0,36R1 0.341? .1635 .1858 3092 7305 3528 2751 3975
,3398 0.3421 0.1334 0.1537 0.1740 • 0.194 2 0.2345 0.2347 0.?550 0.2753 0.2955 .3158 , 1252 1434 ,3617 1799 ,1982 n65 >347 3530 '712 2895 ,3364
0.1327 0.1490 0,1653 0,1816 0,1979 0.2342 0,2305 0.?469 0,2632
3 DESPL 0.6P45E+03 0.6288F+03 0.f.7P3E + 03 0.S317E+03 0.4R82E+03 0.4172E+03 0.40B4F+03 0.3716E+03 0.3365E+03 0,3031E+03 0.6847E+03 0.6312E+03 0.5P24F+03 0.5373E+03 0.4951E+03 0,4552R+03 0,4174E+03 0,3813f: + 03 0,3469F+03 0.3139E+03 0.6853F+03 0.6336E+03 0.5B65E+03 0.542RE+03 0,5018E+03 0.4630F+03 0.4263F+03 0.3908F. + 03 0,3569E+03 0,3243^+03 0.6857E+03 0.6361E+03 O.f.905E + 03 0,5491.F + 03 0.f.082F + 03 0,4704R+03 0.4343E+03 0.399ñE+03 0,3665E+03 0.3343E+03 0.6R64F+03 0.6385F. + 03 0.5944F+03
.5532E+03
.53 44F+03 ,4775E+03 .4422E+03 .4083E+03 .3755F+03
0,3437F+03
I
4^
MEF »» PLACA TÉRMICA-? MATERIALES »*
NODAL DlñPLACEMENTS TIME O.OOOOOF+00
NODE 101 102 103 101 105 106 107 108 109 • 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 • 149 150
1 COORIi 0.2255 0.2560 0.2865 0.3170 0.3475 0.3780 0.4085 0.4390 0.4695 0.5000 0.2291 0.2592 0.2893 0.3194 0.3495 0.3796 ' 0.1097 0.439B 0.4699 0.5000 0.2325 0.2622 0.2920 0.3217 0.3514 0.3811 0.4108 0.4406 0.4703 0.5000 '0.2357 "0.2651 0.2944 0.3238 0.3532 0.3825 0.4119 0.4413 0.4706 0.5000 0.2386 0.2677 0.2967 0.325P 0.3548 0.3838 0.4129 0.4419 0.4710 0.5000
2 COORFf 0.1071 0.12Í5 0.1359 0.5 503 0.1448 0.1792 0.1936 0.20PO 0.2221 0.236B 0.0973 0.1098 0.1221 0.13f.0 0.1476 0.1602 0.1728 0.1854 0.1979 0.2105 0.0869 0.0977 0.1035 0.1193 0.1302 O.J4J0 0. 1518 0.1626 0.1734 0.1842 0.0761 0.0851 0.0942 0.1033 0.1121 0.1215 0.1306 0.1397 0.14R8 0.1579 0.0647 0.0721 0.0795 0.0870 0.0941 0.1018 0.1093 0.1167 0.1211 0.13.16
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n I
o
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n I
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O I
W K1
NOIiF
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2'23 224 225 226 ir>"?
228 T29
230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250
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. 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000
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W
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W
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O I
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1 COORD 0.8BB9 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111 0.4667 0.7??? 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111 0.6667 0.7222 0.777B 0.8333 0.88P9 0.9444 l.ÓOOO 0.5556 0.6111-0.6667 0.722? 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000
2 COORD 0.1404 0.1491 O.íf.79 0.0585 0.0643 0.0702 0.0760 0.0f?l9 0.0877 0.0936 0.0994 0.1053 0.029? 0.0322 0.0351 0.0380 0.0409 0.Ó439 0.046B 0.0197 0.0526 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 rjESFL 0.1039E+03 0.6285R+02 0.2000E+02 0.3177e+03 0.3054F+03 0.2647f; + 03 0.7248F+03 0. 1B53E+03 0,145BE+03 0.1055F+03 0.6380E+02 0.2000F+02 0.3494F+03 0.307tE+03 0.2663E+03 0,2264R+03 0.Í86PF+03 0.1470E+03 0.J064E+03 0.6137E+02 0.2000F+02 0.3500F+03 0.3077E+03 0.2669E+03 0.2269E+03 0.1873E+03 0.1474E+03 0.1068E+03 0,6457F+02 0.2000E+02
n K1
o
141
RESULTADOS DE LOS CÁLCULOS s Conducción lineal-
radiación.
(Aplc. Numr. III>.
C-26
MEF ** PLACA TFR:MICA-2 MATERIALES **
PROPIRDAriES MATFRtAL
MATERIAL SFT 1 PARA ELEMENTO TIPO LINFiAR HEAT CONDUCTION EI.EMENT
CONnUCTIVITY 0.20000E+01 PLAN AMALYSIS
SPECIFIC HEAT
MATERIAL SET 2 PARA ELEMENTO TIPO LINEAR HEAT CONOIJCTION ELEMENT
CONDUCTIVITY 0.30000E+01 PLAN ANALYSIS
SPFCIFIC HEAT
MATERIAL SET 3 PARA ELEMENTO TIPO 16
PLACA TFRMTCA-MATFRIAL 1
O.OOOOOE + 00 FiENSITY O.OOOOOF + 00
PLACA TERMICA-MATFRIAI. ?
O.OOOOOE+00 DENRITY O.OOOOOE+00
CONTORNO RAIiIACION ALFA O.lOOOOE-07 TEMPERATURA RADIANTE O.tOOOOE + O')
I
MEF * * PLACA TÉRMICA-? MATFRIALFS » *
MACRO INSTRUCTtONS
MACRO STATEMFNT TOL ITER TANG FORM soi.y ITFR MESH LOOP ITFR FANG LOOP ITER FORM QSNU NEXT HEXT nisp £iIBl END
NUMERO DE
.INCR CERO
CERO
BROY
VARIABLE 1 0.lOOCOE-OI O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOF+00 2.0000
O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 5.0000
O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+00 O.OOOOOF+OO 0.00-OOOE+OO
ITERACIONES = 1 FORCÉ CONÜFROFHCF
RHMAX •= NUMERO rjE
TEST 510..?r.
ITERACIONES - f^
VARIABI E ? O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+OO 1.0000
O.OOOOOE+OO
RN - 5 10.-^5 TOI - O.JOOOOF-04
O I
f-j • - i
PROPIltOAriCS MATFRIAL
MATERIAL SET 1 PARA fll.EMFNTO T IFO LINEAR HEAT CONOUCTION ELEMENT
PLACA TFRHICA-MATFRIAL 1
COHnUCTIVITY 0 . ? 0 0 0 0 E + 0 1 PLAN /^NAL.YSIS
SPECIFIC HEAT
MATERIAL SET 2 PARA ELEMENTO TIPO 2 LINEAR HEAT CONDUCTION ELEMENT
CONDUCTiyiTY 0.30000E+01 PLÍlN ANAI.YSIS
SPECIFIC HEAT
MATERIAL SET 3 PARA ELEMENTO TI ALFA O.tOOOOE-07 TEMPERATÍ)
**MACRO INSTRUCCIÓN 8 EXECUTED** **MACRn INSTRUCCIÓN 9 EXECUTED** NUMERO DE ITERACIONES = O .t*MACRO INSTRUCCIÓN 10 EXECUTEÜ** í*MACRn INSTRUCCIÓN It EXECUTED** KtMACRO INSTRUCCIÓN 12 EXECUTEIi**
NUMERO OF ITERACIONES - 1 .((«MACRO INSTRUCCIÓN 13 EXECUTEIi**
FORCÉ CONVERíiENCE TEST . RNMAX = 274*. 2
**MACRO INSTRUCCIÓN 14 EXECUTECX» ftMACRO INSTRUCCIÓN 15 EXECUTFIi** 1!*MACR0 INSTRUCCIÓN 12 EXECUTED**
NUMERO n'E ITERACIONES = 2 **MAr,Rn INSTRUCCIÓN 13 EXECUTEIi**
FORCÉ CONUE^RENCE TEST 2746.2 14 EXECUTED** 15 FXFCUTEÍi** 12 EXECUTED**
RNMAX -|:*MACRn INSTRUCCIÓN -(«MACRO INSTRUCCIÓN •*MACRn INSTRUCCIÓN
NUMERO DE ITERACIONES = 3 CIMACRO INSTRUCCIÓN .13 EXECUTED**
FORCÉ CONVERSENCE TEST RNMAX - 274Ó.2
l(*MACRO INSTRUCCIÓN 14 EXECUTED** r*MACRO INSTRUCCIÓN ]5 EXFCUTFD** »*M( CRO INSTRUCCIÓN 12 EXECUTED**
NUMERO DE ITERACIONES = 4 *«MACRO INSTRUCCIÓN 13 EXECUTED**
FORCÉ CONVEROENCE TEST ' RNMAX = 274<S.2
t*MACRO INSTRUCCIÓN 14 EXECUTED** í*MACRO INSTRUCCIÓN 15 FXFCUTED** t*MACRO INSTRUCCIÓN 12 EXECUTED**
NUMERO DE ITFRACIONFS = 5 **MACRO INSTRUCCIÓN 13 EXECUTED**
FORCÉ CONVERGENCE TEST RNMAX •= 2746,2
««MACRO INSTRUCCIÓN 14 EXECUTED** r«MACRO INSTRUCCIÓN 15 EXECUTED** ««MACRO INSTRUCCIÓN 16 EXECUTED** MMACRO INSTRUCCIÓN 9 EXECUTED**
NUMERO DE ITERACIONES - • O ««MACRO INSTRUCCIÓN 10 EXFCUTFD**
PO 16 RA RADI LOOP ITER
TANR LOOP ITFR
FORM
RN OSHU NEXT ITER
FORM
RN OSNW NFXT ITER
FORM
RN OSNIJ NFXT ITER
FORM
RN QSNU NFXT ITER
FORM
RN OSNU NEXT NEXT ITFR
TAÑO
ANTE
CERO
BROY
BROY
BROY
O.OOOOOE+00 DENSITY
PLACA TERMICA-MATERIAI. 2
O.OOOOOF+00 DENSITY
CONTORNO RADIACIÓN O.lOOOOE+04
BROY
BROY
CFRO
VI -VI -
VI -VI -VI =
VI -
2746.2 VI ^ VI = VI -
VI =
806.27 VI -VI = VI -
VI ^
366.26 VI -VI ^ VI -
VI =
111.21 VI -VI ^ VI -
VI -
?5,¡16 VI -VI -VI = VI -
VI ^
2.000 O.OOOOE+00
O.OOOOE+00 S.OOO O.OOOOF+00
O.OOOOE+OO
TOL O.OOOOE+00 1.000
O.OOOOE+OO
O.OOOOF+00
TOL O.OOOOE+00 2.000 O.OOOOE+00
O.OOOOE+OO
TOI O.OOOOE+00 3.000
O.OOOOE+OO
O.OOOOE+00
TOL O.OOOOE+OO 1.000
O.OOOOE+OO
O.OOOOE+OO
TOL O.OOOOE+OO 5.000 1.000
O.OOOOF+00
V2 V2
V2 V2 V2
V2
V2 -y? -V2 -
V? =
O V2 ^ V2 -> V2 -
V2 =
0. V2 -• V2 = V2 -
0. V2 -V2 = V2 +
V? -
0. V2 -V? -V2 = V.? -
O.OOOOE+OO . V2 -
O.OOOOOF+00
O.OOOOOE+00
17.00 O.OOOOE+OO
O.OOOOF+00 16.00
O.OOOOE+00
O.OOOOE+OO
.lOOOOE-04 O.OOOOE+OO 12.00
O.OOOOE+00
O.OOOOE+00
,10000E-04 O.OOOOE+OO 12.00
O.OOOOE+00
O.OOOOE+OO
)0000F-04 O.OOOOE+00 12.00
O.OOOOE+00
O.OOOOE+OO
lOOOOE-04 O.OOOOE+00 12.00
O.OOOOE+00
O.OOOOF+00
)0000F-04 O.OOOOE+00 12.00 9.000
O.OOOOE+OO
O.OOOOF+00
**MACRO INSTRUCCIÓN 12 EXECUTFn** NUMERO DE ITERACIONES - 1
**MftCRO INSTRUCCIÓN 13 EXECUTEfi** FORCÉ CONyERCiENCE TEST
RNMAX = • 2746.? **hACRO INSTRUCCIÓN 11 EXECUTEP** **HACRO INSTRUCCIÓN ]S EXECUTED** **MflCRO INSTRUCCIÓN 12 EXECUTED**
NUMERO fiF ITERACIONES = 2 **MACRO INSTRUCCIÓN j3 FXECUTEIi»»
FORCÉ CONVERCENCE TEST RNMAX = 2716.2
**MACRO INSTRDCCTOH IS EXECUTED** **MACRO INSTRUCCIÓN 16 EXECUTED»» **MACRO INSTRUCCIÓN 17 EXECUTED**
ITFR
FORM
RN ORNW NEXT ITER
FORM
RN NEXT NFXT DISP
VI =
Vi =
PROY yt -y i = y i -
VI =
0.6P7P1F-VI =
vi = vi -r
O.OOOOF+00
O.OOOOF+OO
TOL O.OOOOE+00 1.000
O.OOOOE+00
O.OOOOF+00
-02 TOL S.OOO 2.000
O.OOOOE+OO
r
t
f
r
^9
1
7
f
f
V2
V2
V2 V.? V2
V?
V2 V2 V2
-
-
0.
r-
0.
O.OOOOE+OO
O.OOOOE+OO
, JOOOOE-04 O.OOOOE+OO 12.00
O.OOOOE+00
O.OOOOE+OO
)0000E-04 12.00 9.000
O.OOOOE+00
n I
o
NOOAl. ntSPI.ftCEMENTS TlhF. O.OOOOOF. + OO
MOriF 1 n
3 1 5 6 -7
8 o
lÓ 11 12 13 14 15 16 17 18 1° 20 21 22 23 24 25 2i 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 57 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
1 cnoRii 0.1768 0.2J27 0.2486 0.2845 0.3204 0.3564 0.3923 0.4?B? 0.4641 -0.5000 0.1827 0.2179
• 0.2532 0.2RB5 0.3237 0.3590 •0.3942 0.4295 0.4647 .0.5000 0.1883 0.2230
.0.2576 0.2922 0.3269 0.3615 0.3961 0.4307 0.4654 0.5000 0.1938 0.2278 0.2618 0.2959 0.3299 0.3639 0.3979 0.4320 0.4660 0.5000 0.1990 0.2324 0.2659 0.2993 0.3328 0.3662 0.3997
. 0.4331 0.4666 0.5000
2 rooRri . 0.1768 0.2127 0.2486 0..''P4? 0.3204 0.3564 0.3923 0.42R2 0.4611 0.5000 0.1722 0.2057 0.2392 0,2727 0.3062 0.3397 0.373 2 0.4067 0.4402 0.4737 0.1670 0.J9B2 0.2293. 0.2605 0.2916 0.3228 0.3539 0.385) 0.4162 0.4474 0.1613 0.1902 0.2190 0.2479 0.2768 0.3056 0.33 4 5 0.3633 0.3922 0.42)1 0.1551 0 .1 81 P 0.2081 0.2350 0.2616 0.2882 0.3119 0.3415 0.36R1 0.3947
1 riFSPL 0.ñ328E+03 0.71)4f+03 0.6102F: + 0 3 0.5241F+03 0. 1496F + 03 0.3847E+03 0.32B2F: + 0 3
0.2792F. + 03 0.2373F+02 0.2040F+03 0.8305F+03 0.7140F+03 0.61A1F+03 0.5328F+03 0.4601F+03 0.3965F+03 0.3407F+03 0.29)9F+03 0.2197F+03 0.2]44E+03 0.8289E+03 0.7)70F+03 0.á22BE+03 0.54)6F+03 0.4706E+03 0.40B2F+03 0.353tF+03 0.3046F+03 0.2621F+03 0.2255E+03 0.8279F+03 0.7204F+03 0.6293F+03 0.5504F+03 0.181tF+03 0.4)99F+03 0.3654F+03 0.3)71E+03 O.2711F+03 0.2369F+03 0.8275F+03 0.7241E+03 0.6360F+03 0.5593F+03 0.4916F+03 O.43)4F+03 0.3777E+03 0.3296E+03 0.2B67F+03 0.24B5F+03
O I
w
0~
NOriAL n i S P l ACEMENTS TIMF O.OOOOOF. + OO
NODE 51 52 ' 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 61 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 31 82 83 84 85 86 87 S8 OCf
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100
1 COORD • 0 . 2 0 4 0 0 . 2 3 6 9 0 . 2 6 9 P 0 . 3 0 2 6 0 . 3 3 5 5 0 . 3 6 8 4 0 . 4 0 ) 3 0 . 4 3 4 2 0 . 4 6 7 1 0 . 5 0 0 0 0 . 2 0 8 7 0 . 2 4 1 1
• 0 . 2 7 3 5 0 . 3 0 5 8 0 . 3 3 8 ? 0 . 3 7 0 5 0 . 4 0 2 9 0 . 4 3 5 3 0 . 4 6 7 6 0 . 5 0 0 0 0 . 2 1 3 3 0 . 2 4 5 1 0 . 2 7 7 0 0 . 3 0 8 8 0 . 3 4 0 7 . 0 . 3 7 2 6 0 . 4 0 4 4 0 . 4 3 6 3 0 . 4 6 8 ] 0 . 5 0 0 0 0 . 2 1 7 6 0 . 2 4 8 9 0 . 2 8 0 3
• 0 . 3 1 1 7 " 0 . 3 4 3 ) 0 . 3 7 4 5 0 . 4 0 5 9 0 . 4 3 7 2 0 . 4 6 8 6 0 . 5 0 0 0 0 . 2 2 1 6 0 . 2 5 2 6 0 . 2 8 3 5 0 . 3 1 4 4 0 . 3 4 5 4 0 . 3 7 6 3 0 . 4 0 7 ? 0 . 4 3 8 1 0 . 4 6 9 ) 0 . 5 0 0 0
2 COORIi D . ) 4 R 4 0 . 1 7 2 9 0 . 1 9 7 3 0 . 2 2 1 8 0 . 2 4 6 2 0 . 2 7 0 6 0 . 2 9 5 ) 0 . 3 1 9 5 0 . 3 4 4 0 0 . 3 6 B 1 0 . 1 4 ) 2 0 . 1 6 3 5 0 . 1 8 5 P 0 . 2 0 8 2 0 . 2 3 0 5 0.25253 0 . 2 7 5 1 0 . 2 9 7 5 0 . 3 1 9 P 0 . 3 4 2 1 0 . 1 3 3 4 0 . 1 5 3 7 0 . 1 7 4 0 0 . 1 9 4 2 0 . 2 1 4 5 0 . 2 3 4 7 0 . 2 5 5 0 0 . 2 7 5 3 0 . 2 9 5 5 0 . 3 1 5 8 0 . ) 2 5 2 0 . 1 4 3 1 0 . 1 6 1 7 0 . 1 7 9 9 0 . 1 9 R 2 0 . 2 1 6 5 0 . 2 3 4 7 0 . 2 5 3 0 0 . 2 7 1 2 0 . 2 8 9 5 0 . 1 1 6 4 0 . 1 3 2 7 0 . 1 4 9 0 0 . 1 6 5 3 0 . 1 8 1 6 0 . 1 9 7 9 0 . 2 1 4 ? 0 . 2 3 0 5 0 . 2 4 6 9 0 . 2 6 3 2
1 DESPL 0 .B?74F•^03 0 .7280F-( -03 0 . 6 4 ? 8 E - f 0 3 0 . 5 6 8 1 F • ^ 0 3 0 . 5 0 1 9 F - f 0 3 0 . 4 4 2 8 F - f 0 3 0 . 3 P 9 7 F + 0 3 0 . 3 4 l 9 F - f 0 3 0 . ? 9 P P F - f 0 3 0 . 2 6 0 2 F - f 0 3 0 . 8 2 7 8 F - f 0 3 0 . 7 3 2 1 F ^ f 0 3 0 . 6 4 9 5 F + 0 3 0 . 5 7 6 8 F • ^ 0 3 0 . 5 1 2 1 F • ^ 0 3 0 . 1 5 3 9 F - f 0 3 0 . 4 0 1 4 F - f 0 3 0 . 3 5 3 9 F + 0 3 0 . 3 1 0 8 E - f 0 3 0 . 2 7 1 7 F • ^ 0 3 O.B2P4F- f03 0 . 7 3 6 2 F • ^ 0 3
- 0 . 6 5 6 2 F - f 0 3 0 . 5 8 5 4 F ^ f 0 3 0 . 5 2 ? 0 F • ^ 0 3 0 .4618F-( -03 0 . 4 ) 2 9 F - f 0 3 0 . 3 6 5 6 F • ^ 0 3 0.3224F^)-03 0 . 2 8 3 0 F - f 0 3 0 . 8 ? 9 ) F - f 0 3 0 . 7 1 0 1 F • ^ 0 3 0 . 6 6 ? 7 F - f 0 3 0 . 5 9 3 6 F - f 0 3 0 . 5 3 1 5 F - f 0 3 0 . 4 7 5 2 F - f 0 3 0 . 4 2 3 9 F - f 0 3 0 . 3 7 6 9 F - f 0 3 0 . 3 3 3 7 F - f 0 3 0 . 2 9 1 0 F ^ f 0 3 0 . 8 3 0 0 F - f 0 3 0 .7445F-( -03 0 . 6 6 9 0 F + 0 3 0 .6016F- I -03 0.5407E-I^03 0 . 4 8 5 2 F - f 0 3 0 . 4 3 4 5 F - f 0 3 0 . 3 R 7 7 E - f 0 3 0 .3445F- I -03 0 . 3 0 1 5 F - f 0 3
O
K1
NODAL DISPI.rtCEMENTS TIME O.OOOOOE+OO
NOriF 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
1 COORfi 0.2255 0.2560 0.2865 0.3170 0.3475 ,0.3780 0.4085 0.4390 0.4695 0.5000 0.2291 0.2592 0.2893 0.3194 0.3495 0.3796 0.4097 0.4398 0.4699 0.5000 0.2325 0.2622 0.2920 0.3217 0.3514 0.3811
• o.4ioe - 0.4406 0.4703 0.5000 0.2357 0.2651 0.2944 0.3238 0.3532 0.3825 0.4119 0.44)3 0.4706 0.5000 0.2386 0.2677 0.2967 0.3258 0.354B 0.3838
.. 0.4129 0.4419 0.4710
.. 0.5000
2 cnoRn 0.1071 0.17Í5 0.1359 0.1503 0.1648 0.1792 0.1936 0.2080 0.2224 0.2368 0.0973 0.1098 0.1224 0.1350 0.1476 0.1602 0.1728 0.1854 0.1979 0.2105 0.0869 0.0,977 0.1.085 O.í193 0.1302 0.1410 0.1518 0.1626 0.1731 0.184? 0.0761 0.085) 0.0912 0.)033 0.1121 0.)?)5 0.1306, 0.)397 0.1489 0.1579 0.0647 0.0721 0.0795 0.0870 0.0914 0.)0)8 0.1093 0.)167 0.1241 0.13)6
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NSTRUCCION 18 DEL PRF.PROr.FñO
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0. 0. 0. 0. 0.0000
EXFCUTF.D»» GRÁFICO
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DJP)
15.0 . )5.0 NC= 16 201 1. 21 4t
18) )9) 380 ?09 NO.DE VALORES 7 V.MTN=
MAI.IA: F 61 81
201 37? 20.00
yi = O.OOOOF+00 » V?
FIFMFNTOS: F 161
720.00
) .000
NODOS: F
101 121 1 1-
V.MAX-^
n I
05
154
APÉNDICE D
PROGRAMACIÓN
D.l INTRODUCCIÓN
El programa utilizado en el tratamiento por ordenador de |
i los problemas no lineales descritos en la memoria, ha sido el |
MINIfiEF (.*') el cual es una ampliación del presentado por Taylor =
i
C19D, y al que principalmente se ha incorporado las subrutinas i
siguientes en la realización del presente trabajo : |
3
ELMT15 Elemento de conducción de calor no lineal K = K + K u g o 1
ELMT16 Elemento de radiación en la frontera.
Ambas subrutinas determinan las matrices elementales y
vectores de fuerzas correspondientes a la formulación de los
problemas por el método de Newton y método del punto fijo.
QNBR Implementación del método de Quasi-Newton Broyden.
QNBFG2 Implementación del método de Quasi-Newton BFGB
adaptación en forma de producto.
D—1
155
QNBFGS Implementación del método de Quasi-Newton BFGS
formulación original.
El aspecto básico del programa global es un lenguaje de
macroinstruciones a utilizar para elaborar módulos especificos.
El macrolenguaje esté asociado a un conjunto de subprogramas
compactos, pensado cada uno de ellos para calcular uno ó algunos
de los pasos básicos del proceso de resolución mediante el método
de los elementos finitos. Asi tenemos, por ejemplo, las
siguientes macroinstrucciones :
TANG
UTAN
FORM
SOLV
CONV
QSNW
Forma la matriz de rigidez ó tangente simétrica.
Forma la matriz de rigidez ó tangente asimétrica.
Forma el segundo miembro de las ecuaciones.
Resuelve las ecuaciones.
Comprueba la convergencia.
Resuelve el sistema por métodos de Quasi-Newton.
O ) MINIMEF Depto. Cale. Numer. é Inform. ETSI Minas, U.P. Madrid
D-2
•156
D.2 LISTADOS
A continuación se adjuntan las principales subrutinas
incorporadas al MINIMEF señaladas anteriormente, indicando en
primer lugar las variables más significativas.
RELACIÓN DE VARIABLES
NUMNP
NUMEL
NUMNAT
NEN
NEL
NDM
MA
lEL
IX (*, * :>
xLt:*,*)
NDF
ULC*)
TLC*!)
NEQ
NST
I D O )
se*,*:)
SG, TG
Numero de nodos
Número de elementos
Número de tipos de materiales
Número máximo de nodos conectados a un elemento
Número de nodos del elemento
Dimensión espacial del problema
Número del tipo de material
Número del tipo de elemento
Conexiones nodales del elemento
Coordenadas nodales
Número máximo de grados de libertad en un nodo
Desplazamientos nodales
Temperaturas nodales
Número total de ecuaciones
Tamaño de las matrices -de los elementos
Matriz de condiciones de contorno para cada nodo
Matriz del elemento
Puntos de integración en las coordenadas naturales
D-3
157
SHPd,*) Derivada con respecto á la coordenada x. de la
función de forma
SHP(:2,*) Derivada con respecto a la coordenada y de la
función de forma
SHPC3,*) Funciones de forma
XSJ Determinante del jacobiano
PC*) Vector de fuerzas
D-4
SUP.ROllTJrJF El HT 1 5 ( Fi»IH » XI » J X » TI.» S > P » NfiF » NFiH 7 NST r JF-Ij > » * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * t 158
E]pnier i to de c o n d u r r i o n cip r a ] o r no ] i r iPí»} * K=KO+Kl* l *
CONhON/CriATñ/ O » H E A D ( 20 ) » NUMNP » NIJMEL f NUMNAT » NFN » NFQ 7 IPR COMMON/FLDATA/ DM » N » MA » MCT » JFL. f NFL COMMON/PRL.nii/ PROP DIMENSIÓN r i ( * ) »UI ( * > » X l ( NTiM , * ) » JX ( * ) » TI ( * ) , S ( NST » * ) » P ( * ) »>
1 S H P ( 3 f 9 > » S n ( 9 ) 7TG(9 ) »WG(9) fWL.AÍt(2) COMHON/NLILOG/NL.»NE DATA Ui.AB/4HPLANf HAXIS/
TRANSFIERE AL PROCESADOR CORRECTO GO TO (If2»372f5f6)JISW
ENTRA PROPIEDADES DEl MATERIAL I<(l)=Ko D(2)-:Kl D(3)=c DO)^ . - KAT = 1 1 READ(NL»1000) D(J)»D(?)»D(3),D(4)»MPF»KAT»L
URI TE(NE » 2000) D(I)7 D(2)7 D(3);D(4) IF(L.LE.O,OR.L.GT.S) 1=3 D(5)=L D(3)=D(3)*D(4) IF(MPF.NE*0) THEN
D(é)=0. ! Mptodo dpl punto fi.io ELSE
D(é)-1. ! Método dp Npwton ENDIF IF (KAT»NF.2) KAT=1 URITE(NE72001) WLABCKAT) RETURN
INSERTA COMPROBACIÓN DE LA MALLA SI SE DESEA 2 RETURN CALCULA LA MATRI7 DE RIGIDEZ XrrJ I i ie r mipmbro de I s p r u p c i o n ) -3 L^D(5)
1F(L*L.NE.LINT) CAl 1. PGAUSS ( L 7 L INT 7 SG » TG 7 U6 ) DO 103 L--^l7LINT CALL SHAPE(SG(L)7T6(L)7XL >SHP7XSJ7NDM7NEL7IX7.FALSE.) XS.J = XSJ*UG(L) IF (KAT.NE.2) GO TO 101 RR = 0. DO 3 00 1=17NEL RR=RR+SHP(37l)*XL(l7l)
100 CONTINUÉ XSJ=XSJ*RR
101 T=0. TX = 0, TY = 0, DO 3 04 J=l7NEL T - T + ÜL(.J)*SHP(37 J) TX = TX + UL(J)*SHP(3 7J)
lO'í TY=TY + UL(J)*SHP(2 7 J) DO JO? J=í 7NEI. Al = ( (D(l)+D(2)*T)*S'HP<l7 J)+D("6)*D(2)*SHP(37J)*TX)*XSJ A2^((D(I)+D(2)*T)*SHP(2 7 J)+D(6)*D(2)*SHP(3 7 J)*TY)*XSJ DO 102 1=17NEL S(l7J)=S(l7J)+A1*SHP(3 7l)+A?*SHP(27l)
102 CONTINUÉ • 103 CONTINUÉ
RETURN
CALCULA LA MATRIZ DF CAPACIDAD CALORÍFICA (MASA) 5 L=D(5)
IF(L*L.NE.LINT) CALL PGAUSS(i 71 INT7SG7TG7UG) DO 205 L=17 LINT D-5
L M L l t ,Mrt | - t ^ M.-> U / f I h U ; r XI » .'••Hl-' t A . s . l » NJID» N H > .1 A r . h lll, M: . }
XS.J=XS.J*Un(L) 159 I F ( K A T . N F . ? ) nn TP 204 RR = 0 . DO 2 0 3 J = 3 , N E L R R = R R + S H P ( 3 » T ) * X L ( l » I >
203 CONTINUÉ XSJ = XS.J*RR
204 no 205 J=1»NFL SHJ = D ( 3 > * S H P ( 3 » J ) * X S J P < J ) = P ( J ) + S H J DO 2 0 5 l = l f N E L S ( I » J ) = S ( J » J ) + S H J * S H P ( 3 T I )
205 CONTINUÉ RETURN CALCULA VECTOR (sesundo mipnihro de l3 ecuarjnn)
6 L:^D(5) IF<L*L.NE.L.INT) CAl.L PGAUSS (I »I INT » SG , TG» WG ) DO 305 l.= l»LINT CALL SHAPE(SG(L)»T6(L)»Xl.»SHP»XSJ»NDM»NEL f IX»,FAI..SE.) XS.J=XSJ*WG(L) IF (KAT.NF.2) GG TO 401 RR=0. I DO 400 I=lfNFL i RR = RR + SHP(3rI)*XL(lf I) |
400 CONTINUÉ | XS.J = XSJ*RR g
401 T=0. _ § TX=0. I
a .TY = 0, 1 DO 402 1=1FNFL - • I
SHJ-SHP(3»I)*XSJ • ' I T = T+UL(I)*SHP(3»I) i TX=TX+UL(I)*SHP(lfI) I
402 TY=TY+UL(I)*SHP<2»I) f A1=(H(1)+D<2)*T)*TX*XSJ I A2=(D(])+D(2)*T)*TY*XSJ f DO 403 I=líNEL
405 P(I)=P(I)-A1*SHP(1íI)-A?*SHP(2rI) 305 CONTINUÉ
RETURN FORMATOS
1000 F0RMAT(4FJ0.0»3I5) 2000 F0RHAT(5X,' NON LINEAR HFAT CONDUCTIGN El. FMFNT ' //5X»
1 'CONDUCTIVITY Ko '»E12.5»5X,'CONDUCTIVITY Kl'fE12•5;5Xf'ñPEC 2 HEAT 'JF12.5, 5Xf ' DFNSITY '»F12.5 )
2001 FORMAT (10XfA4,' ANALYSIS') END
D-6
SUBROUTINF Fl.MT 1 6 ( n » UL » XI F J X » TI.» S i P » NDF F NDH t NST » J SW ) ^ , „ 160
EleniCínto bn r rc? -cié r a r i i a c i o r i RH I s f r o n t p r n - n o l i n e . - ; ! -
COhHON/r.r iATA/ O » HFAfi ( ?0 ) » NUMNP f NDMFl. , NUMMAT » NFN f NFH » JPR COMMON/FLDATA/ D M » N f h A f M C T ; l E L » N F L COMMON/PRLOn/ PRDP DIMFNSION r . i ( * ) » L l l . ( * ) » XL ( 2 » ? ) t I X ( * ) » TI ( * ) » P ( * ) »RHP(?;»2) »
lSG-(2) » S ( N S T » * ) COMMON/NLIl.OG/NL.»NE DATA S G / 1 . , - l , / TRANSFIERE Al PROCESAUnR r.nRRFCTCi GO TO ( I , 2 f 3 f 2 » 5 » 6 ) f ISU ENTRA CONSTANTE TiE P0LT7MANN < Al FA ) Y TEMPERATURA ( FOCO
CALIENTE) IKl) = ALFA D(?)=TFMP.
1 READ (NLflOOO) IK I)fD(2)»MPF URTTF (NE»2000) P(5)»H(2) D ( 2 ) = D ( 2 ) * D < 2 ) * D ( 2 > * D ( 2 > ri(2) = D<l>*ri(2) D(3)=4, Ihetodo de Newton IF(MPF.EQ.l) D(3)=l. ¡Método de punto fiJo 6=]./SQRT(3. ) RETURN INSERTA COMPROBACIÓN PE LA MALLA SI SE HESFA
2 RETURN CALCULA MATRIZ ( A ) ( F - r i m e r n n e m b r o de ] r. ecuf ;c . - ¡on)
3 DO 102 L-^l»2 CALL SHAPO < SG(L)*6 » XL » SHP » XSJ) T = 0» DO 100 J = j »NFL T = T + UL'( J)*SHP(3> J>
iOO CONTINUÉ XSJ^D(3)*D(1)*T*T*T*XSJ DO 102 J^1»NEL DO J02 I=1»NEL S(I» J)=S(If J)+SHP(3 »I)*SHP(3 » J)*XSJ
102 CONTINUÉ RETURN CslcuJs e] 5e5íundo miembro de ] r ecMscion
¿ DO 110 L^lf2 CALL S H A P 0 ( S G ( l . ) * G i X L , S H P J X S J )
DO 310 I = l f N E L 310 P ( I ) = P ( I ) + P R 0 P * D ( 2 ) * S H P ( 3 f I ) * X S J
f u e n t e s r e s i d i J 3 l ( ? s de c o l o r T = 0 . DO 200 J = j »NEL T = T + UL(.J>*SHP(3f J)
200 CONTINUÉ T=T*T*T*T XSJ=D(1)*T*XSJ DO 220 J=lfNEL P(J) = P(J)-SHP(3»J)*XSJ
220 CONTINUÉ 110 CONTINUÉ 5 RETURN
FORMATOS . 1000 FORMAT <2F10,0»I5) 2000 FORMAT (5X» 'AlFA '»E12»5f5X» ' TEMPERATURA RADIANTE 'f
1E12,5 ) END
D-7
SUPR-nUT INE QNBR ( A » r.» riR » B f n , n» R » riFl » JDIAP f NFO f IMAX F J TFR » CFR ) C 0 M « 0 N / S A C 0 / R 0 ( 2 : 3 f i 7 ) DIMENSIÓN A( J ) » r . ( l ) » r i R ( . 1 ) »P . (1 ) » r i ( l ) f Q ( 3 ) f . i r i J A G ( ] ) DIHENSION HEUHEQrl) tRUlEQtí) LORICAL CFR
161
C IniF-lenientscion de], método de cuas i -newtnri "brnvtdpn' rnr3 C C
C C C
resolución de sistemas no lineales
IF(JTFR.En*l) THEN IF(CFR) THEN
CALI. UACTCl (A»r»riR»jriIAG»NFn» .TRUF. » .TRUF. ) ELSE
CALI. ACTCOL(A»DRf JniAGfNFn» .TRUF. » .TRUF. ) ENDTF DO 100 I=lfNFÜ
B(I)=B(T)+nR(I) D(I)=-DR(I>
100 CONTINUÉ
almaceno el incremento de ]a primerc aproKimacion
ELSF JF(ITFR.GF.2) THFN IF(CFR) THEN
CALL UACTCL(A»C»nR»JDIAG»NFn».FALSF.».TRUF.) ELSE
CALI. ACTCOL ( A » DR » JD J AG » NFQ > .FALSE. > .TRUF. ) ENDTF DO 3 10 I=1»NFQ
Q(I)=-DR(I) 110 CONTINUÉ
K=JTER-1 IF(K.EQ.l) GO TO 200 DO 120 J=1»K-1
P = D0T(DFL(.1 » J) íR(l) FNFQ) P=P*R0<J) DO 3 30 1 = 3 íNFQ
Q(I)=0(I)+P*(DFI(J»J)-R(J»J)) CONTINUÉ
CONTINUÉ DO 140 1=1»NEO
R(I»K)=Q(I)-D(I) DEL(I»K>^-D(T)
CONTINUÉ P=DnT(DFI(3»K)»R(3FK)íNFQ) R0(K)^1./P P=D0T(DEL(1»K)»Q(3)»NFQ) P=RO(K>*P DO 150 1 = 3 »NFQ
D(I)=Q(I)+P*(DEL(I» K)-R(I» K) ) B(I)^B(I)-D(I) DR(I)=-D(I>
150 CONTINUÉ ENDIF RETURN END
130 120 200
140
D-8
SUPROUTÍNF QNPFP?(A»n»riRfP»F»FF»GAM»riFl » V » U ».IFU AG » K'FQ f IMAX » . ^ lITFRfCFR) DIMFNBION A( J ) »n(3 ) »riR(l ) ,P(3 ) »F(] )»FF(3 ) »GAH(.1 ) rUFl ( J ) DIMENSTDM V ( NEQ 7 1 > f W ( NFQ »1 ) JDIAGd) LORir.AL CFR
C IFdTER.Fn.l ) THFN
C -- Proteser el v^lor de FdJo) DO 3 00 J=lrNEQ
F(I)=-DR(I) 100 CONTINUÉ
C -- calcula la prjniera iteracjon por npwton IF(CFR) THEN
CALI. UACTCI <A»C»riR»JriIAG»NFQ».TRUE.».TRllF. ) ELSE
CALL ACTCOL(A»riR» jriTAG»NEQ» .TRUF. » .TRUF. ) ENDIF DO 110 J=1»NFQ
B(I>=B(I)+DR(I) DEL(I>=-DR(I)
110 CONTINUÉ ELSE J F ( T T E R , G E . 2 ) THEN
C — c n l c u l s m o s F d J i ) - F ( U i - l ) y protG?íeniO'J F d J i ) C — ( 3 = T t e r -i)
K=ITER-1 DO 120 I = l r N E Q
G A M ( l ) = - D R ( I ) - F ( I ) F F < J ) = F < I ) F(I>=-DR(I)
DR(I)= F(I) 120 CONTINUÉ
F' = D0T(DEL('3 )"»GAM(1) »NEQ) DO 150 T=1>NEQ
W(I»K)=DEL(I)/P 150 CONTINUÉ
P1=-D0T(DEL (1)»FF(3)»NEQ) P=P/P1 P=SnRT(P)
DO 200 I=l»NEQ V( J»K)=FF(J)*(3+P)-DR(J)
200 CONTINUÉ DO 300 J = K»3 »-l
P = DnT(U(3 » J) »DR(1) j NEQ) DO 2>Í0 I = 1»NEQ
DR(I)=DR( J>+V(I»vi)*P 240 CONTINUÉ 300 CONTINUF
IF(CFR) THEN CALL UACTCL(A»C»DR» JDIAGfNEQ» .FAI. BF. , .TRUF. )
ELSE CALL ACTCOL(AíDR»JDIA6»NFn».FAl SE.».TRUF.)
ENDIF DO 400 J=1»K
P = D0T(V(3 »J)fDR(l)íNEQ) DO 350 I=lfNEQ
DR(I)=DR(I)+W(I»J)*P 350 CONTINUÉ 400 CONTINUÉ
DO 500 I=lfNEQ DEL(I)=-DR(I) DR(I>=-DR(I) D-9 B(T)=P(I)+nR(I)
DOO l.,UN I J. NUt
E N f í I F
RFTURN ENti
1 6 3
D—10
SUPRnUTlNF. ONPFGS(A»r.»riR»P»F»riAH»riFI »,iriJAn»NFn> JMAX» ITFRf CFR) CÓMMnN/SAnO/Rn(7R6> »ALFA(7Brt> ,FtFTA<7Rr;) '^^^ niMFNSION A(l ) »r.<l ) »riR(l ) »F((1 )»F(1 ) »riAH(NFn»J )»riFl.(NFn»] ) DIMENSIÓN JDIAr7(l> LOGTCAL CFK
IF(JTFR.EQ.l) THFN -- Prote'Sor el valor de F(üo) DO 100 1=1»NFQ
F(T)=-DR(I> 100 CONTINUÉ
C -- rsJcu]? IB primera iteración por newton IF(CFR) THEN
CALL UACTCL(A»C»DR»JDJAOrNFn».TRUF.».TRUF.) ELSE
CALL ACTCOL(A»DRfJDIAfi»NFQF «TRUF.».TRUF.) ENDTF DO 110 I=1»NFQ
B(I)=B(I)+DR(I) DEL<I»1>=-DR(I)
110 CONTINUÉ ELBE I F ( J T F R . n F . 2 ) THEN
C — c s I c i j l a m o G F ( U i >-F ( U i - 1 ) y proteit{7ii io<5 F ( U i ) C — ( 3 - I t e r - 1 )
K = I T E R - 1 DO 120 I=1»NFQ
G A M d f K ) ^ - D R ( I ) - F ( I ) F< J ) = - r i R ( I ) D R ( l ) = F ( I )
120 CONTINUÉ P = riOT ( DFl ( 1 » K ) » PAM (1» K ) f NFQ )
- RO(K) = l . / P ' . . . P = D O T ( D E L ( 1 f K ) » D R < 1 ) » N E Q ) A L F A ( K > = R O Í K ) * P DO 130 J = K » 1 » - l
DO 140 I -^ l^NEQ DR( J)=DR(I)-AL.FA(J)*6AM(I» J)
140 CONTINUÉ 130 CONTINUÉ
IF(CFR) THEN CAL.L UACTCl . (Af Cf DRí j n i A C i f N F O » . F A L S F . » .TRUE. )
ELSE CALL ACTCOi ( A » D R » J D I A G » N E Q » . F A L S F . » . T R U E . )
ENDIF DO 150 J = l r K
P=nOT(GAM<l»J)»DR(1),NEQ) BETA( J)-- RO( J)*P P=ALFA(J)-BFTA(J> DO 160 I=l7NEQ
DR<I)=riR(I)+nEl. (I» J)*P lóO CONTINUÉ 150 CONTINUÉ
DO 170 I- lfNEQ D E L ( I » I T E R ) = - n R ( I )
D R ( I ) = - D R < I ) B ( I ) = P ( I ) + D R < T )
170 CONTINUÉ ENDIF RETIJRN END
D-11
.165
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