Aplicación de los Métodos de Quasi-Newton a Problemas no ... · ecuaciones no lineales; ... de...

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LAS PALMAS

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES

TESIS DOCTORAL APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS DE QUASl-NEWTON A PROBLEMAS

NO LINEALES DE TRANSFERENCIA DE CALOR.

Autor: Gabriel Winter Althaus

Director: Luis Ferragut Ganáis

Las Palmas de Gran Canaria, Octubre 1984

APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS DE QUASI-NEWTON

A PROBLEMAS NO LINEALES DE TRANSFERENCIA DE CALOR

Memoria presei'ntada por

Gabriel Winter Althau.s para

1 a o b t, e n c i ó n del G r a do de

Doctor Ingeniero Industrial.

Las ' Palmas'de G.C., Octubre 1

A Marta

AGRADECIMIENTOS

Quiero expresar mi agradecimiento a todas las personas |

que de un modo u otro me han brindado su apoyo moral y material |

en la elaboración del presente trabajo. En especial a aquellos |

•o

que más directamente han hecho posible la realización de esta |

tesis : I I I

A Francesc Michavila por su entrañable apoyo y confianza en |

a

mi depositados. ®

A Luis Ferragut por su magnifica dirección y dedicación que

me brindó en todo momento.

A las personas del Departamento de Cálculo Numérico é

Informática de la E.T.S. de Ingenieros de Minas de la U. P. de

Madrid, por todas las facilidades prestadas.

A mi compañero Diego A. Garcia por su colaboración y

esfuerzo por lograr la mejor presentación posible de la tesis

A todos ellos, y a tantos otros, gracias.

Í N D I C E DE MATERIAS

Pag INTRODUCCIÓN 1

CAPITULO I. DEFINICIÓN DE LOS PROBLEMAS

1.1 Introducción 3

1.2 Caso I : Conducción no lineal

1.2.1 Definición del problema s Formulación clásica ... 5

1.2.1 Formulación variacional 6

1.2.3 Linealización de la formulación variacional para

medios homogéneos ' 8

1.3 Caso II : Radiación en la frontera

1.3.1 Definición del problema : Formulación clásica ... 10


1.4 Problema mixto : Conducción no 1ineal-radiación

1.4.1 Formulación clásica 12


CAPITULO II. ESTUDIO DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIÓN

11.1 Caso I : Conducción no lineal

II.1.1 Introducción 15

II. 1.2 Teorema dé existeiicia y unicidad 17

11.2 Caso II : Radiación en la frontera

II.2.1 Teorema de existencia y unicidad 24

8

CAPITULO 111. ALGORITMOS DE RESOLUCIÓN

111.1 Método del punto fijo 27

111.1 .1 Caso I : Conducción no lineal 29

111.1.2 Caso 11 : Radiación en la frontera 30

111.2 Método de Newton 31

111.2.1 Método de Newton modificado 34

111.2.2 Aplicación a los problemas de .transíerencia de

calor 35

111.2.2.1 Caso 1 : Conductividad térmica función

lineal de la temperatura 35

111.2.2.2 Problema general de conducción no lineal 36 I

i 111.2.2.3 Caso 11 : Radiación en la frontera 40 i

í 111.2.2-4 Problema mixto : Conducción no lineal- ^

í radiación 42 1

• "" I

111.3 Métodos de Quasi-Newton 43 |

111.3.1 Introducción 43 | I

111.3.2 Método de Broyden 45 |

111.3.3 Método de Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno

CBFGS) ........................................ 51

111.3.4 Adaptación del método BFGS en forma de producto 54

111.3.5 Equivalencia de las formulaciones original y en

forma de producto del método BFGS 56

111.4 Implementación de los métodos de Quasi-Newton :

Broyden y BFGS 60

111.4.1 Introducción 60

111.4.2 Método de Broyden 61

• 111..4.3 Método BFGS ...................................... 64

111.4.4 Adaptación del método BFGS en forma de producto 69

CAPITULO IV. APROXIMACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS

IV,1 Aproximación de los problemas de transferencia de calor

en dimensión finita 73

IV. 1.1 Caso I : Conducción no lineal 74

IV. 1.2 Caso II : Radiación en la frontera 77

CAPITULO V. APLICACIONES NUMÉRICAS. EJEMPLOS Y RESULTADOS

V . 1 Introducción 79

V.2 Ejemplos numéricos considerados 82 |

V.3 Resultados comparativos . 85 I i

V.4 Solución a los ejemplos 90 a.

i

CAPITULO VI. CONCLUSIONES ........;., 95 i 1

APÉNDICES , . 96 j £ 3

As Espacios funcionales , 98 i

B: Caracterización de la convergencia superlineal .... 107

C: Resultados de los cálculos 116

D: Programación 154

BIBLIOGRAFÍA ... 165

INTRODUCCIÓN

En los últimos años un considerable esfuerzo ha sido

dirigido hacia la resolución de problemas no lineales en todas |

las ramas de la Fisica y de la Técnica. El método de los i i

elementos finitos es uno de los más aplicados en abordar estos ^ a.

problemas. i i

El método de Newton y sus derivados han sido y son I 1

los métodos asociados más empleados en reducir las no |

linealidades a una sucesión de ecuaciones algebraicas lineales, s £

i Sin embargo su elevado coste ó tiempo de cálculo conduce a buscari

nuevas métodos que permitan, sin perder las buenas propiedades de

convergencia del método de Newton, reducir notablemente el námero

de operaciones a realizar, minimizando asi el coste.

Entre estos métodos están los métodos de Quasi-Newton

introducidos por Davidon (1959) E20I] para resolución de proble

mas de minimización y Broyden (1965) CI21I3 para sistemas de

ecuaciones no lineales; su eficiencia ha sido probada en ciertas

problemas de Mecánica Estructural C17I] y en Mecánica de Fluidos

Clon.

En este trabajo se estudia la eficiencia de los méítodos

de Quasi-Newton en la resolución de problemas no lineales de

transferencia de calor cuya no linealidad sea debida por una parte

a la dependencia de la conductividad térmica con la temperatura y

por otra debido a la radiación.

Aqui, se ha realizado el estudio completo de los

problemas. En el capitulo primero se definen éstos y se

establecen las formulaciones variacionales correspondientes; en

el capitulo segundo se estudia la existencia y unicidad d^

solución de los mismos; en el capitulo tercero se proponen los |

métodos de resolución numérica, entre los cuales se encuentran ° O.

los métodos de Quasi-Newton; en el capitulo cuarto se exponen los f

aspectos relativos a la discretisación de los problemas por el | 1

método de los elementos finitos; en el capitulo quinto se exponen |

i las aplicaciones numéricas efectuadas y una comparación de los i

£ 3

métodos propuestos. Finalmente en el capitulo sexto se presentan |

las conclusiones.

>3

CAPITULO I

DEFINICIÓN DE LOS PROBLEMAS

I.l INTRODUCCIÓN

Los problemas de transferencia de calor considerados se i

abordan en dos dimensiones, regimenes estacionarios y materiales |

_isótropos, siendo estos s 8

a) Conducción de calor con conductividad térmica dependiendo |

linealmente con la temperatura en el dominio en estudio, con |

condiciones de contorno de temperatura impuesta y de convección. |

i b) Conducción de calor con conductividad térmica no i

3

dependiente con la temperatura en el dominio, con condiciones de §

contorno de radiación y temperatura impuesta.

En el primer caso la no linealidad es debido a la

dependencia de la conductividad térmica con la temperatura y en

el segundo debido a la radiación en el contorno.

Primeramente definiremos la formulación clásica de cada

uno de los problemas, estableciendo a continuación las

formulaciones variacionales correspondientes. Ambos problemas se

tratan descriptivamente por separado. Para la resolución de ambos

aplicar^emos la técnica del método de los elementos finitos, lo

que nos permitirá obtener la solución aproximada del problema que

abarca las dos no linealidades mencionadas, y al cual nos

referiremos como problema general.

1.2 CASO I : CONDUCCIÓN NO LINEAL

1.2.1 Definición del problema : Formulación clásica

Sea el dominio en estudia, fi CI R , acotada, de frontera

r con una distribución de fuentes internas de calor: f = fCx ,K ) . •1 2

Consideremos el proceso de transmisión de calor por conducción en

siendo la conductividad térmica dependiente linealmente con la

temperatura uCx ,x ) : 1 2

K = K C X , X ) o o 1 2

K = K C X , X ) 1 1 1 2

3£2 = r = i ; u r.

0=rn r o 4

con condiciones de contorno de temperatura impuesta y o

consideremos la situación que, con frecuencia se presenta en una

frontera sólida, de condición de convección (tipo Ley de Fourier)

en p . • 1

La formulación clásica que define el problema es la

siguiente : .

1 "Hallar uCx ,x ) que veri 1 1 2

1 - VCKCu) 9uD =

1 ul =

1 "" 1 -K<u) Ou/an) 1 = 1 Irj

1 siendo KCu) =

fique

f

u o

h 

"oo =

KCu)

^u = grad u

-1

temperatura del fluido en contacto con r 2 -1 1

conductividad térmica (W/m .grado )

1.2.2 Formulación variacional

A continuación establecemos la formulación variacional

del problema. Multiplicando por una función test v é integrando

la ecuación diferencial que gobierna en jj , tendremos :

/ ; -7CÍ:K + K u!) 9u3 v dx = / f v dx (1.2)

d e n o t a n d o dx = dx dx , con x(x ,x ) € jj 1 2 1 2

Operando con la función subintegral del primer miembro

9CCK + K Li!) 7uD V = CCK u!) v + ^ CK u ^u) v = o 1 o 1

= - K 9u 9v - K u 9u 9v + ^(v K Cu + v K u Cu) (1.3) o 1 o 1

con lo cual <1.2> queda expresado:

K 9u 9v dx + IK u Cu 9v dx - ICCv K Cu + v K u Cu) dx Í2 o ¡Si 1 Ja ° 1

f V dx C l . 4 ) }

Aplicando el teorema de la divergencia de Gauss é

introduciendo la condición de contorno de convección :

ÍCCv CK + K u) CuD dx = I <:K + K U ) O U J ñ o 1 Jg í2 o 1

/an) V ds

= - / h Cu - u ) V ds' (1,5) oo

ds = diferencial longitud en r

Sustituyendo C1.5) en (1.4) y concretando el espacio de las

funciones admisibles tenemos la formulación variacional

correspondiente : .

s

1 " H a l l a r u € H C Í2 ) , u l = u t a l q u e :

•J o

0 °

Vu Vv dx + / K u Vu 7v dx + / h u v di { I h Ll V

/

f v d x + I h u v d ! OO

• 1

V v € H , H = - { : v € H C Í 2 ) : v l = 0 > " I r„

Cl .6)

1.2.3 Linealización de la formulación variacional para medios

homogéneos.

Para medios homogéneos K(u;x) = KCu> , con lo cual

podemos linealizar el problema de conducción no lineal mediante

la transformación de Kirchoff :

iu) = I I a

e c u) = I K c r ) d T

'o

i.1.1)

e' tu) = KCu) Cl .8)

Verificándose :

96 = e' (LO 9 U = K(u) 7u 1:1.9:)

Se produce una linealisación en la formulación

variacional, puesto que el término no lineal en u de (:i.6:>

transforma en un término lineal en la variable nueva :

/ CK + K a O D 7u 9v dx = / KCu:) 7u 9v dx = / 99 9v dx Cl.lO)

El cambio expresado no es factible sin embarga para \

problemas con condiciones heterogéneas ó de convección en la |

frontera. I

10

1.3 CASO II : RADIACIÓN EN LA FRONTERA

1.3.1 Definición del problema : Formulación clásica

Consideremos el proceso de transmisión de calor de

conducción con conductividad térmica independiente de la

temperatura, K = KCx) , y distribución de fuentes de calor

f = f C X ) , en ü

X¿f

a íí = T Q U Tj

0 = 'on h

En la parte r de la frontera 3 , tenemos condición 1 "

de contorno por radiación debido a la existencia de un foco

radiante próximo a r de temperatura u 1 . •

ción de temperatura impuesta.

c» En r tenemos condi-

• o;

La formulación clásica que define el problema es la

siguiente : '

1 1

" H a l l a r u C x ) q u e v e r f i q u e :

- ^ < : K 9 U ) = f e n íí

Li I = u e n r I TQ o o

- K O u / a n ) I 4 4

A Q; t.u - u ; en oo

( 1 . 1 1 )

donde O! viene dado por

siendo :

a = a-e

2-4 a : Constante de' Stef an-Boltzman <M/m»K )

e : Emisividad


Procediendo de modo análogo al caso I, la formulación

variacional queda establecida :

1 'Hallar u € H < fi), uI = u tal que

i T j j o

7 u "7v d x + r ' f I Q: Li V d s = I

-/ r , -^ ú

f V d x + I o: G v ds <1 .12)

V v € H , H = - { : v e H < : n . - ) , vi = o > " I r n

1.4 PROBLEMA MIXTO : CONDUCCIÓN NO LINEAL-RADIACION

1.4.1 Formulación clásica

En general el dominio se compone de n subdominios

n •C "l^i«i de materiales con conductividades térmicas distintas

K <u;x) y cuya frontera d si tiene m + p + r partes < Q n^^,- A '

A continuación enunciamos el problema general de

condiciones de contorno :

- temperatura impuesta en O ^

- convección en ^

- radiación en

" Dados :

- l a s f r o n t e r a s -C Q ñ-X , -C 3 í^>{^^ , <- d íp-rlí \^

y la frontera r entre < fi., >."* , definida;

por sus ecuaciones paramétricas

i=l, ... n los coeficientes K <u;x) i

los valores u Cs) en ^^1 j=l, j d

los valores h y u <s.) en Qn^ 1=1? 1 *

/\ los valores o; y u ís) en ^^í- =1,

. . m

13

Hallar u = uCx.) tal que satisfaga

a) -^CK (u.) 9uD = fCx.) en íit • i = l n

b:> D:K<5,LO ouCsi/an:)!! = o s € r

c) Li (s) = u <. s) j

s € ííj' j=l , . . . m

d) - K ( S , L O OuCsü/Sn) = h CuCs) - u CsíD 1

s € n« 1=1,

4 ^4 e) -KCSíLi) (auCsD/an.) = (y Cu Cs) - u (s)^ "

r

s € n^ r=l

C1.13)

s s coordenada curvilínea del contorno 3 ü <x =x Cs),x =x Cs).') 1 1 2 2

A u t.s.) : valor de la temperatura en el medio inmediatamente

exterior a 8 n.

A 3 u t.s.) s valor de la temperatura de radiación que incide en sn . r

lE. II 5 salto de una función en un punto.

14


Al problema general definido para n materiales de

conductividades térmicas K <u;x> con condiciones de contorno de i

temperatura impuesta en d "5 convección en d ^1 Y radiación en 3

3 ü, corresponderá la formulación variacional :

A A Tí) " H a l l a r u € H C fi ) , u = u e n -id íí.->- . t a l qu

y I K (u;x!> 7u 9v dx + 2_j / h u v ds + / / Q ; U

1=1 Jn¡.^ e-Wasij "Vial

= I f v dx + / . r h u v d s +2_, I Q:U V

V ds =

( : i . l 4 S

V V e H C ÍJ ) , V = o m e n -i d íí->, .

K c :u;X) = K + K u i '' o 1

V X'¿, Xj, € fi-

•15

CAPITULO II

ESTUDIO DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIÓN

II.1 CASO I : CONDUCCIÓN NO LINEAL

II.1.1 Introducción

Consideremos en el estudio de existencia y unicidad de

•solución el problema de- Dirichlet homogéneo, de formulación

variacional correspondiente :

1 "Hallar u 6 H C «) tal que :

o

f f I K(.u') 7u Vv dx = 1

f V d X C 2.1)

1 2 V V € H C Í2 ) ; f € L < Í2 )

o

16

Para el problema de Dirichlet no homogéneo procedería

mos por traslación, sustituyendo la condición :

1/2 ui = 0 por ul = u ; u € H (r ) Ir I r o o

Consideremos las hipótesis siguientes s

1) KCx) ::> a > D V X € R C2.2)

2) La aplicación K: R •> R 1 ipschitciana :

IKCx) - KCy) i <:: L (z) Ix - yl x,y,s € R .(:2.3:)

donde si z esté contenida en una bola B , se tiene:

LCz) ^: ^ < 00 (2.4)

Ambas hipótesis son válidas desde el punto de vista

fisico.

1 Supondremos que el problema es regular ( í2 C -regular!)

de modo que la solución u del problema asociado (2.5) es :

u e H ( n )

17

II.1.2 Teorema de existencia y unicidad de solución

Introducimos el problema lineal asociado siguiente

1 1 "Fijado w € H C n )., hallar u € H C £2 ) tal que :

o o

(2.5:)

-(Cw) yu Vv dx = / f V dx J KCw) yu Vv dx = /

ü Ja

el cual por el teorema de Lax-Milgram tiene solución ¿mica,

LEMA

- 1 "Las s o l u c i o n e s de ( 2 . 5 ) p a r a c u a l q u i e r w € H C j^ ')

o e s t á n c o n t e n i d a s en l a b o l a :

1 •1

o 1 , £J o , n B = -C V € H <:Í2 :> : l l . v l l ^ í C li f II >

Demostración:

En <'.2.5) elegimos v = u , con lo cual se verifica

hs?u 9u dx ^. j KCw) ^u Vu dx = / f " dx

obteniéndose las desigualdades siguientes :

1 V w € H < f2 ) ¡ o .

•18

c Cjj ) a i i u i i <: o; lu í ; ii f ii í imi <: i i f i i l iu i i

verificándose : llull <;; C II f l| (2.6:) 1 , n o , Í2

quedando la constante C determinada por :

c = i/i:Q;C(:n:)3 cq.d, 1

liQREMA DE EXISIENCIA Y UNICIDAD

1 Existe una función u € H (. ü') única que verifica (2.1)

1 o para cualquier ' v € H C ÍJ ) .

o

£í§!D2i;í:Eií£ÍÉlD

Cons ide remos l a a p l i c a c i ó n : 2 1 2 1

T : B n H C íJ ) n H C n > — » B O H < fi > O H (. ü > o o

w — > u

siendo u solución de (:2.1).

La existencia y unicidad de la solución quedará probada

si existe un único punto fijo de la aplicación T, u = TCu), y

para ello la verificación de :

llul - u2i| = lITCwl) - T<:w2:! í| <:: kllwl- w2l| (2.7:) 1 , íí 1 iQ. 1 ?Í2

con k < 1

3

19

2 1 Establecemos'en (2.5) para wl , w2 € B D H C", flH Cfi ) ,

2 ' l o y sus correspondientes imágenes ul , u2 € B O H ( •'''1 < n ) segán

o la aplicación T :

I KCwl) Lil "7v dx = I

I K(:w2:) 9u2 yv dx = I

f V dx (2.8:»

i2 yv dx = I f V dx C2.9:i

Í2

Restando las expresiones anteriores (2.8) y (2.9) :

/ KCwl) 9ul 9v dx - / K(:w2) Ou2 'v'v dx = O

Sumando y restando el término -CKCwl) 9'u2 7v> y eligiendo

V = ul - u2 obtenemos :

/ KCwl) C^Cul - u 2 : ) 3 dx = / CK(:w2 ;:w2) - K C w D l 7 u 2 9 < u l -u2:) dx

P o r a p l i c a c i ó n d e l a d e s i g u a l d a d d e H o l d e r g e n e r a l i z a d a :

C <: íj ) o: I l u í - u 2 i | ^í j8 l lwl ~ w21| |iC'u2l| | l 9 C u l -u2:) II

( 2 . 1 0 )

Por regularidad del problema y al ser la inclusión

H <• j2 •' C L. ' í2 •' Lina inyección compacta :

¿o

II7U2II <:: IIVu2ll < C | lu2l l << C 0 , 4 ; n • ! ,« 2 2 , n 3

íl w2 - wl II .•: C II w2 - wl o , 4 , n 4 1 , fi

quedando la desigualdad (2.10) finalmente

a c <: n ) ii u i - u 2 ii > Í: C li W2 - wi ii ii u i - u 2 ii •1 1 , Í2 4 1 , Í2 1 , íí

II u l - u 2 l l ^í k Ilw2 - w l l l ( : 2 . 1 1 ) 1 , fi 1 , fi

donde la constante k dependerá en resumen de JJ 1 B ^ Oí -

K = KC n , j3 , a •)

Imponiendo k < 1 , por aplicación del teorema del

punto fijo para contracciones estrictas la solución es única.

21

Caso sin unicidad

Sin la condición k < 1, aún podemos demostrar la

existencia de solución. Para ello pasamos a un problema en dimen

sión finita; consideramos una sucesión V de espacios de

m dimensión finita tal que :

m<*.oo 1 V •> H (. ü> m o

V •> V

m

y nos planteamos el siguiente problema aproximado

J KCu :> 9u ^v dx = / „ m m /

í V dx (2.12)

u € V , V V € V m m m

i i e n d o B = í v € V : II vil <c: C II f II > m m 1 , í2 o , í2

Consideramos la aplicación T : B > B m m

w •> u m • m

donde u es definida por la solución de m

" / K(w ) Vu Vv dx = / / m m / - .0. Jo

f V dx

" <:2.13)

u € V , V V € V m m tn

La aplicación T es continua de un compacto B en si m

mismo , B ( V , V de dimensión finita. Por ello m m m

aplicando el teorema de Bfower la aplicación T tiene al menos un

punto fijo, lo que equivale a la existencia al menos de una

solución de C2.12).

Pasando al limite en (2.12) cuando m — > C » con v = u m

tenemos :

II u il < C llf II <2.14)

y podemos extraer una subsucesión -Cu > V

1 u —•> u débilmente convergente en H C í2 ) V o

•1 4 Por la compacidad de la inyección H <. ü ) (^ L C Í2 )

: . . , 4 u —•> u fuertemente convergente en L. <. ^ ') V

23

Con l o c u a l , t e n e m o s :

9 v d x = / í v d x V v € V / KCu :> 9u 9v dx = /

/

KCu) 9u ^v dx - / KCLI )

£1 J ü

/

K<u) 9Cu - u ') 9v dx - / CKCu

ü ^ J ü

C 2 . 1 5 )

m

^ u 9v dx V

) - KCu)3 7u 9v dx V V

II 9u II |l7vll :: (S II u - ull V o , 4 , íj V 0 , 4 - , j2

= O

°'-=^'n

Pasando al limite en CZ.IB) resulta que u es solución del

problema :

/

K C u ) 7u

o L 7v dx = / f v d x V V € V

m

y al tender m —•> C» , concluimos que u es solución de :

/ KCu) Vu "í'v dx = / 7v dx = ; f V dx V V € H C Í2 ) " o

2A

II.2 CASO II : RADIACIÓN EN LA FRONTERA

Resolveremos nuestro problema en su formulación

variacional (1.3.2) que reproducimos aqui :

" / K 9u 9v dx + I (v Li V ds = /ctu v ds +/ f V dx

1 V v € V , V = - C v € H ( : " ) , vi = 0 > t:2.16:)

"o

u € H <: ^ ) , u I = u i r o o

II.2.1 Teorema de existencia y unicidad de solución

1 Existe una función u € H C Í2 ) , ul = u ,

Ir o

única que verifica (2.16) para cualquier v € V,

1 V = - C v € H ( " ) , vi = 0 >

Demostración

Introducimos el problema lineal asociado siguiente :

1 "Fijado w € V, hallar u € H C Í2 ) tal que

25

IK 7u 9v dx = la Cu - w ) V d s + I

J ü JT, -^ Ü

f V dx (:2.17>

V V € V

E s t a b l e c i e n d o

/

K y"ul 9 v dx = I CXCu - wl > V d s + / f v dx

/ K '7u2 9 v dx = /0¿ ( u _ - w2 ) v d s + / f v dx

J J /

y procediendo de modo análogo al caso I, C2.8!) y C2.9'.> :

I K 7<Lil - Li2:) 7v dx = I c<-V.(:w2 - w 4

1 :)ds C2.18)

Eligiendo v = ul - u2 y puesto que

4 4 w2 - wl 1 ^ L(:w2,wl> I w2 - wl

Por el principio del máximo S-t- uüCx'.) c.w2 + wi) :: Ñ

26

S i g u i e n d o c o n ( 2 . 1 8 ) s e t e n d r á :

C l l u l - u2 l l í. CCLI , j j , r ,K:) II u l - u2l l II w2 - wl ll

l l u l - u2l l <•; CCu , jj , r ,K) |l wl - w2 II 1,Í2 °° 1 1 , n

La condición CCu , o,r .K) < 1 nos da la existencia oo' " ' . '

y unicidad de solución del problema.

En la demostración se ha considerado el método del 3

punto fijo para constante de Lipschits L = L<w ) por

simplicidad de la verificación de existencia y unicidad de 2

solución, mientras que en las aplicaciones L = L(w ) (expresión

3.6).

El método empleado en las demostraciones de existencia

y unicidad de solución de los problemas es constructivo, siendo

éste uno de los métodos que se proponen en el capitulo siguiente:

u = TCu ) n+1 n

8

27

CAPITULO III

ALGORITMOS DE RESOLUCIÓN

III.1 MÉTODO DEL PUNTO FIJO

Sea el sistema lineal a resolver C K Í L O D -CU} = <.£>

El método del punto fijo consiste en construir a partir de un

valor arbitrario -Cu > una sucesión -Cu > de valores de la solu-o i

ción -Cu}, resolviendo en cada iteración el sistema lineal :

CKCu )D -Cu > = <£> (3.1) i—1 i

o bien

—1 •Cu > = CKCu ')3 -Cf} = FCu ) (3.2)

i i-1 i-1

siendo KCu) la matriz de rigidez obtenida por discretización

mediante aplicación del método de los elementos finitos a los,

problemas correspondientes.

Introduciendo el vector residuo :

•CRíu)> = -Cf} - [:KCU)3 •CU> = O

8

Í8

podemos establecer el método del punto fijo en forma incremental

CKCu )3 -cAu > = -CRCu )> i—1 i i—1

(3.3)

•Cu > = -Cu > + -CA" > i i—1 i

Esta áltima expresión es la utilizada en las

aplicaciones numéricas.

CONVERGENCIA

n Sea el espacio <R , li . li» ) y la contracción

n F: D •> D , siendo DCZ R , compacto.- El -algoritmo del punto fijo

converge si

V x , x ' € D s I IFCxJ-FtK ' ) II <; k H x - x ' l |

s i e n d o K < 1 .

Una c o n d i c i ó n s u f i c i e n t e p a r a l a c o n v e r g e n c i a e s :

CaF /Bu. 1 ^'. k /n , con k < 1 i j

La convergencia en el método del punto fijo es lineal

lim = cte , k»" llu -u.ll

29

III.1.1 Caso I : Conducción no lineal

La aplicación del método del punto fijo, conduce a una

linealización del problema, siendo el problema a resolver :

1 "Dado

i /" 1 -^ n

1 -^^1

u , h a l l a r n

9u 9v dx o n+1

u V d s n+1

u t a l n+1

- / >/ ü

i--

q u e

< u V 1 n

dK

5

u Vv n+1

J Ti

dK 1

u V d s " 1

C3.4)

X = C X , X )

1 2 dx = dx dx

1 2

La expresión en forma incremental correspondiente será: I

1 "Dado

lili'

u , h a l l a r 6 n

7 6 Vv dx + 1 K u

^ J 1

V dx +/ h u V d s

J ~ ••i

- / h u V

J ^1

, 5 =

9 5 vv n

-^ ñ

d s "

u - u , n+1 n

dx + / h 6 V

+ K u :)'7u V\ D 1 n n

t a l q u e 1

d s = 1

/ dx - 1

C3.5)

30

111.1.2 Caso 11 : Radiación en la frontera

El problema lineal a resolver en cada paso segán

aplicación del método del punto fijo presenta la siguiente

formulación :

1 " [

i/" 1 -^ü

Jado

7u n+-

n

Vv 1

h a l l a r

dx + / Q!L

^1

u n+1

3 X U \

n n+1

t a l

' ds

q u e :

i: V dx + 1 a 4

A. U V 00

d s " 1

(3.6)

siendo la expresión en forma incremental correspondiente

1 "Dado

1 / K <76

u n

y v

1

d x

ha

+

i l l a r

jan

4 '

Ja

8

3

5 1

9 u 1

t a l

V ds

^ v dx 1

q u e :

7" d x

4 U V

n

+ ¡a

d s "

4 A* U V oo

d s - 1

<: 3,7)

31

111.2 MÉTODO DE NEWTON

Sea el sistema no lineal :

CKCnitl -íu} = <£> (3.8)

ó en su forma equivalente :

•<:R(;U:)> = <£> - CKCUJD -CU} = o (.3.9)

Obtenido en la iteración i-ésima un valor cercano a la solución u i g

tendremos : |

•CRCu )> = -CRCu + A u )> - O (3.10) j i i-1 i ú

El algoritmo del método'se deduce a partir de desarrollar el

vector residual en serie de Taylor en la vecindad del valor

aproximada de la solución u : i-1

•CRCu + A <-i :>> = -CRCu )> + caR/au3 -cAu > + ... = o (3.ID i-1 i i-1 u=u¿.^ i

Despreciando los términos de orden superior al primero obtenemos :

ZaR/Sul -cAu > = - -ÍRCu >> (:3,12) u=u¿_^ i i-1

o bien :

CK Cu >3 -CAu > = - -CRCu . >> C3.13) T i-1 i • i-1

32

donde el valor mejorado de la solución será

u = Li + -CALI >

i i—1 i

La expresión de la matriz tangente CK (u >D se obtiene T i-1

derivando la expresión (3.9).

El método de Newton dado por <;3.12) para cada paso

ó iteración resuelve un sistema de ecuaciones lineales

completamente nuevo. Ello representa un coste elevado en la

mayoria de las aplicaciones puesto que cada factorisación de K 3 . T

requiere n operaciones (siendo n el orden del sistema!» .

CONVERGENCIA

El método de Newton requiere una aproximación

inicial u en un dominio D, (llamado dominio de atracción) tal o

que los valores calculados en los pasos siguientes k=l,2,3 ... ,

•Cx >, permanezcan en D, conjunto convexo, al converger al k+1

valor u donde -CRíu )> se anula. Es evidente que además •s- *

•<!R(u>> debe ser diferenciable en D y CaR/auH no singular.

El método de Newton presenta una convergencia

cuadrática :

llu^^^-u^ll lim = cte

k^OO |IUj -u,rll

si OR/au) satisface una condición de Lipschits en u , es ' ' ' • • * . •

,í)>i

decir, si existe una constante k tal que :

FCu!) - F<u ) II í k II u - u II * *

siendo F = CaR/Qu).

El método de Newton presenta la desventaja de requerir

una buena aproximación inicial de la solución. Asi obsérvese que

teniendo un dominio de atracción D suficientemente pequeño se

satisface la condición anterior y RCu) es dos veces diferen-

ciable en u

8

34

III.2.1 MÉTODO DE NEWTON-MODIFICADO

Para evitar una factorización en cada paso, se

modifica el método de Newton de modo que en todas las iteraciones

aproximamos :

CK <u)D - CK (u)D T <-i=uj T u=Uo

y resolvemos repetidamente el mismo sistema de ecuaciones :

CK Cu)! -cAu > = - -CRCu > > (3.14) T u=u„ i i-1

Evidentemente el método es más económico en cada

iteración pero a costa de una convergencia mas lenta,- como

veremos a continuación. El número de operaciones a realizar es

OCn ) . Generalmente se efectúa una factorización nueva

cada cierto número de ecuaciones, siendo esta alternativa útil a

fin de acelerar la convergencia.

CONVERGENCIA

Con respecto al método de Newton presenta una

convergencia lineal :

I1"K+/I - " II 1 im = c t e

.k->cx», i l u ^ - u 11

35

III.2.2 APLICACIÓN A LOS PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

III.2.2.1 Caso I : Conductividad térmica función lineal de la

temperatura

A partir de la formulación variacional vamos a

establecer la función derivada y con ello la ecuación de

linealisación de Newton, que por discretización de la misma

mediante aplicación del método de los elementos finitos quedará :

K Cu ) -CA" > = - TCu ) T i i i

C3.15:)

con K íu ) - CdTCuí/dul T i u=u

La formulación variacional puede expresarse del modo

siguiente :

• 1

"Hallar u 6 H C " ) , ul = u tal que : iFjj O

T(u,v) O C 3 .16 )

W v e H , H = - £ v € H C Í 2 ; ) , v l = 0 > "

siendo

T C u , v )

/

CK + K uíCu 9v dx + / h u V d;

36

- / f v d x -/ h u _ v f V dx - / h u_v ds

La función derivada para el problema será :

aT<u,v)/au = lim Cl/X ) C TCu + X 6 ,v) - TCu,v)3 X ->D

= I (K + K u)9 5 9v dx + 1 K ; ¿ Vu 9v dx + I h 5 V ds i. Asi pues, expresamos a continuación el algoritmo de

Newton para este problema :

'Dado u solución aproximada de u, ul = u n

1 hallar 6 , 6 € H C Í2 ) tal que :

^0 °

/

CK + K u 396 Qv dx + I o 1 n j

K 59Cu ) 9v d 1 n

X + I h 6 V ds

/

f V dx + I h u V ds - I CK + K u DCPu :)Cv dx -J " j o 1 n n

- I h u V ds

. J.

<;3.i7;)

V V € H, H = <v € H c; jj ) : vi = O" ir O

siendo una mejor aproximación :

u = u + 5 n+1 n

37

38

III.2.2.2 Problema general de conducción no lineal

A continuación expresamos el método de Newton aplicado

al caso mas general de dependencia de la conductividad térmica

con la temperatura, es decir, sea la dependencia una función

cualquiera de la temperatura : K = KCu).

Sea la formulación variacional del caso I, . con K = KCu)

/ KCu) Vu Vv dx + I h u V ds = / f v dx + 1 h u v ds (3.18)

Podemos prodecer de modo análogo al caso anterior, sin

embargo por sim'plicidad elegimos el procedimiento alternativo

siguiente :

Sea u un valor aproximado de u solución exacta n

y u una mejor aproximación u = u + ¿ , que n+1 n+1 n

verifica con un grado de aproximación mejor la ecuación anterior,

tendremos :

I KCu ) 7Cu + 5 ) Vv dx + / h Cu + 5 )vds

r r = / f v d x + / h u

i /

C3.19)

V ds oo

39

Desarrollando KCu) en serie de Taylor entorno a u se n

tiene :

KCu ) = KCu ) + K' Cu ) 6 + OC 6 3 C3.20:) n+1 n n

Despreciando los términos cuadráticos y mayores a éste,

tendremos :

J' KCu ) 70 Vv dx + / K'Cu )6 VCu ) Vv dx + / h 6 V di

C3.21)

/ f V d.* + / h u \/ ds - / KCu ) 7Cu ) 9v dx - I h u v d / / / n n /. n

Observemos que la expresióv. C3.21) tiene como caso

particular la formulación del método de Newton CS.l?) para :

S o n

K = KCu) = K + K u. o 1

40

III.2.2.3 Caso II : Radiación en la frontera

Vamos a expresar el algoritmo de Newton para este

problema, cuya formulación variacional puede expresarse como :

"Hallar u € H C" ), ul = u tal que :

^0 °

T "

s i e n d o

TCu,v) = r f "" í I K 9u 9v dx + / a u V ds - I

í"'-V ds

f V dx -

(3.23:)

La f u n c i ó n d e r i v a d a c o r r e s p o n d i e n t e s e r á :

aT<:uí,v)/au = T K 96 " v dx +

l im. C l /X > C X - » 0 f 4 4-n n í '^

c V c i ) u (. \ 8) 3 V ds - / Q ; U ñ^ú J

V d s l =

41

• / Jü

K ^ S ^ v d K + 4 / a u S v d í ^ C3.24)

El algoritmo de Newton para este caso, queda expresado :

' Dado u solución aproximada de u ul = u n

1 hallar 6 , 6 € H <« ) tal que :

iTp o

J K 76 9v dx + 4 / a Cu D 6 V d s =

C 3 . 2 5 >Í

/ f V dx - la u V ds - I K 7<u ) 7v dx - Ice Cu 3 V ds

siendo u = u + 6 una mejor aproximación " n+1 n

A2

111.2.2.4 Problema mixto : Conducción no lineal-radiación

Consideremos' el problema conjunto de conducción no

lineal, con dependencia general de la conductividad térmica con

la temperatura K = Kíu) en fi

convección en r .

, con radiación en r y 1

a Í2 = r U r Ufo r O r = 0 1 2 1 ü

El m é t o d o d e Newton p a r a e s t e p r o b l e m a q u e d a e x p r e s a d o :

"Dado u a p r o x i m a c i ó n d e l a s o l u c i ó n u , u l = u n

1 h a l l a r 6 ^ 5 € H C " ) t a l q u e :

^0

I Küu ) 7 5 9v dx + X K' 6 ^<u ) ^ v dx + n

4 / a C u 1 8 V d5 + I h ^ v d s = n Jr,

/ a 4jpV d s + / h Lj^v d s - / KCu ') 9Cu j r i 1 JT2 2 j n n

- I Q; Cu D v d s - / h u V

) 9v dx +•

(. 3 . 2 6 )

V v € H , H = < v € H ( f i ) , v i = 0 > "

c o n u = u +8 n+1 n

43

III.3 MÉTODOS DE QUASI-NEWTON

III.3.1 Introducción

Los métodos de Quasi-Newton presentan una forma

general :

—1 •Cu > = -Cu > - CK 3 -ÍRCu )> C3.27)

i+1 i i i

CK 1 = CK 1 + C A K 1 <3.2s:) i+1 i i

Esta 61tima expresión nos define una actualización de

la matriz tangente en cada iteración.

Consideran la generalización del método de la secante a

sistemas de ecuaciones no lineales, lo que representa la ecuación

denominada de Quasi-Newton :

CK 3 -Cu -u > = -CRCu )-R(u )> (:3.29:) i i i-1 i i—1

siendo CK 1 una aproximación de CSR/SuH . i u=uj.

En la práctica la adaptación se expresa

directamente como corrección de la inversa :• ;

-1 -1 -1 CK 1 = CK 3 + C A K 1 (3.30)

i+1 i i

44

donde se pone de manifiesto la ventaja de los métodos de Quasi-

Newton :

"eliminar la factorización de la matriz CK 3, en cada i

iteración mejorando en cada paso la inversa calculada en el

paso anterior segán C3.30) "

Con ello resulta en los métodos de Quasi—Newton un

námero total de operaciones a realizar OCn ) en cada iteración.

La desventaja con respecto al método de Newton es

la pérdida de la convergencia cuadrática, aunque presentan

convergencia superlineal, y a ello nos referiremos a continuación.

Sea el sistema de ecuaciones F = -Cf} - CK Cu!» !II-Cu> = O n n

Tratamos de encontrar un cero de la aplicación F: R > R

mediante la expresión :

-1 u = u - CB 1 FCu :> k=0,l, ... (3.31 > k+l k k k

siendo la sucesión -Cu > generada por CS.Sl) que trata de converger k

a un cero de F y -CB > una sucesión de matrices no n k

singulares, -CB > € LCR ) que aproxima al jacobiano de F en u : k k

F' (u ) . k • • ^ n • •

Si -Cu > converge a u* , FCu) = 0 , -Cu >C R , se dice k k

converge superlinealmente si y solo si para un k suficientemen

te grande . u p u* ó para k >. O ,. u* ?í u se verifica :

k k

45

II u^^^ - a II l i m = D ( 3 . 3 2 )

k > o o II u - Li* II

En el apéndice B se presenta el teorema de

caracterización de convergencia superlineal, extraido de C93.

111.3.2 Método de Broyden

Establecemos a continuación una concreción de la

ecuación (3.30) dada por Broyden, extraída de CSD y C53.

En primer lugar vemos que la ecuación (3.2( :) no da

información del modo que opera CK 3 sobre cualquier dirección i

distinta de -Cu -u > y por ello no define una ánica matriz CK 1 i i-1 i

Por tanto, imponemos sobre los vectores •Cz> perpendicu

lares a -Cu -u > la condición :

i i-1

CK D-Cz> = CK D-Cz> (3.33) i i-1

T con -Cu -u > -Cz} = O

i i—1

Cienotando

7¿= -íRCu )-R(u )> i i-1

5¿= -Cu -u > i i-1

tendremos la expresión

46

T

CK 3 = CK 1 + 2 C3.34) i i-1 II 5;II

* 9

nos define una matriz CK 3 que verifica las ecuaciones <3.29> y i

C 3.33).

TEOREMA

n n _ n ^ Sea K 6 LCR > , , 7 € R , 5 ?íO, K € LCR ) dado por : I

T ( 'V - K 8 ) 5

K = K + (3.35)

< 6 , 6 >

K es la ánica solución al problema,

min -C IIK - Kl| s K . O = T } (.3.36)

Demostración CSH

- A Sea K dado por (.3,35) y sea K cualquier elemento

" A - ^ s: y de LCR ) , K 5¿ K que cumple l a r e s t r i c c i ó n K O = ' ( .ecuación de Q u a s i - N e w t o n , C3 .29) ) t end remos : . , ,

47

T /v T < 7 - K 6 ) 6 ' CK - K 6 ) 5

l iK - K l l = I IK + - Kl l = II •• F < 8 ,6 > F < 6 , 6>

T

A 6 6 A II ÍK - K) II ^ IIK - K l l C 3 . 3 7 )

< 6,5 > F

K es la ánica solución del problema (3.36) puesto que la aplica- | n • I

ción f: H.R ) —•> R definida por f CA> = IIK - All , denotan- |

F i do por II . I|_ la norma de Frobenius, es estrictamente convexo en g

r "

" " A i LCR ) y el conjunto K € LCR ) tal que K 6 = T es convexo. I

Las ecuaciones (3.27) y (3.28) generales de cualquier

método de Quasi-Newton han resultado aqui :

-1 •Cu > = -Cu > - CK 1 -CRÍu )> (3.38)

i+1 i i i

T (7í-CK¿_iD 5p6¿

CK 3 = CK 1 + 2 (3.39) i i-1 II Óíli

que no constituye una gran efectividad en cuanto a reducir el

número de operaciones, pues para resolver el sistema dado por

(3.38) :

48

CK D-Cu _u > = - -CRCu )> (3.40) i i+1 i i

se necesita realizar n operaciones en cada factorización de CK 11. i

El algoritmo dado por (3.38) y C3.39) reduce ánicamer

el námero de evaluaciones de una función de (n + n) á n

operaciones, debido a no tener que computar CaR/fflu) . Solo al

comienzo del algoritmo consideramos :

CK 1 - CaR/Bal I o u=Uo I

ü o.

y luego segán (;3.39) calculamos -CK > i=l,2, ... I i . 1

•o

La efectividad del método de Broyden estaria en la|

actualización directa de la matriz inversa de la forma definida en | I

<:3.3a). Ello se consigue mediante aplicación de la fórmula de .| a @

inversión de Sherman y Morrison CBU :

T —1 —1 —1 T -1 CCADH- VW D = CAD - tl/cr JCAD VW CA3 C3.41)

donde :

T V = <V ,V , ... V )

1 2 n'

T W = CW ,W , ... W )

•1 2 n

49

T - 1 a = 1 + W CA3 V, a* o

D e s i g n a n d o :

CAD = CK D i - 1

V = II Sfiif

C3.42)

W = 5,

a p l i c a n d o l a e x p r e s i ó n C3.41) a l segundo miembro de l a e c u a c i ó n

( 3 . 3 9 ) t e n d r e m o s :

CK 3 + Ói í - i ' II 6-II?

"t 2

- 1

CK D ( -----) CK i—1 & I I , i - 1

i—1 T - 1 7 - CK,-_ iD5¿ 1 + ¿¿CK 2 í —

i - 1 II di II,

CK 1 i - 1

- 1 T - 1 - 1 CCKÍ-iI] y¿- Óí> Ó¿ C K í - l D

T - 1

i - 1

y concluimos :

50

-1 T -1

CK D = CK 3 + (3.A3) i i—1 T -1

8fK 2 y. i-1 *

que es la corrección de la actualización (3.30) para el método de

Broyden. Se requiere un námero de operaciones a realisar de OCn )

en cada iteración.

51

III.3.3 Método de Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno CBFGS)

Es un método de Quasi-Newton para matrices simétricas

que conserva en la actualización de la matriz tangente las pro

piedades de simetría y definida positiva :

-1 -1 CK 1 simétrica -> CK 3 simétrica (3.44)

i—1 i

-1 -1 CK D definida positiva -•> CK" 1 definida positiva C3.A5)

i-1 i

Fue obtenida realizando la transformación siguiente al

algoritmo Davidon-Fletcher-Powel 1 <!DFP) CllH :

6i<-^ y¿

—1 CK D ^-> CK 3 0.46)

i i

—1 CK 3 ^-> CK 3

i-1 i-1

Podemos deducir la adaptación del método BFGS realizan

do la transformación descrita en cada paso en el establecimiento

del método de adaptación directa DFP, como propone Dennis y Moré

C83.

n ^ Sea c € R siendo <c,7 > 5¿ O , CK 3 ^ L(R)

i—1 la adaptación :

-1 T -1 -1 ( 5¿- I:KV_ID y . ) c

CK 3 = CK 3 + C3.47) i i-1 <c , y¿ >

verifica la ecuación de Quasi-Newton :

-1 5,- CK 3 y¿ (3.48)

Aplicando la técnica de Powell a fin de conseguir la propiedad

C3.44) (.ver C4D) consideramos :

—1 T -1 C d¿ - CK¿_jD 7,- ) c

ce D = CK 3 + (3.49) 1 i - 1 <c ,y¿>

Siendo en general CC 1 no simétrica, procedemos a simetrizarla 1

mediante la operación :

T CCi3 + CCi3

CC 1 =. • ,(;3.5Q)

Ahora CC D no verifica (3.AS) y para ello generamos una secuencia 2

ÍCC Il> dado según : i

T C di- CC2,*3 Tv > c

CC 3 = LC 3 + 2i+l 2i <c , 7,->

T CC 1 = C CC 3 + LC. 3 )/2 (S.Bl)

2i+2 2i+l 2i+l

-1 <= 0,1, ... siendo CC D = CK 3

o i—1

Dennis y Moré C&3 utilizan la misma generación de matrices para

el DFP y muestran que la secuencia -CCC I]> converge a un limite i

dado por la expresión :

-1 T —1 T

-1 -1 c 8J- C K / _ I D %••) c + c c 6i - cK,-_iD 7,-:) CK 3 = CK 3 +

i i-1 <c , 7^ >

—1 < 8i- cK,'-iD 7.,7¿> T

c c es, 52)

54

Si ahora concretamos c = 0¿ obtenemos la adaptación BFGS.

Desarrollando los productos escalares que aparecen en (.3,3%) obtene

mos la expresión :

-1 T -1 T T

es.53)

T siendo p.= (1/ A . . 7-)

que es la formulación original del algoritmo BFGS,

III.3.A- Adaptación del método BFGS en forma de producto <BFG2)

El método BFGS puede expresarse para matrices

simétricas y definidas positivas de la forma :

-1 T -1 T T CK 3 = C I + w V ) CK 3 C I + w V ) (3.54:)

i i i i-1 i i

esta adaptación fue estudiada por Brodlie-Gourlay-Greenstadt CSH.

Se denomina "adaptación en forma de producto" y cumple las pro

piedades de conservación de simetria y definida positiva en cada

actualización.

55

Recordando la expresión C3.53.) del método BFGS :

-1 T -1 T CK 3

1

( I - w • y •) CK 3 C I - 7 -. w > + 6- w i ' i—1 i i

T siendo w = < di/ 6¿-Tt ) (3.55)

i

Ambas expresiones (3.54) y C3.55) son equivalentes, lo cual se

verificará posteriormente estando el vector v dado segán : i

T 8¿ 7/ 1/2

v = < > CK 3 Oj - 1¿ (3.56) i T i-1

6,-CK 3 8t i—1

Observando la expresión dada para el vector Vjéste es

definido en función de la matriz tangente CK 3 y sin embargo la i—1

fórmula de adaptación (3.54) es referido a su inversa :

Este aparente inconveniente se resuelve de modo fácil

teniendo en cuenta la ecuación de Nevjton r

CK D 5- = - R(u ) (3.57) i-1 i-1

56

Sustituyendo (3.57) en C3.56) :

T

V = ( 1-±—) RCu ) - 7/ i T i-1

d/RCu ) i-1

RCu ) i-1

T

-6/7.- 1/2 1 + ( — )

6/RCu ) i-1

RCi

(3.58)

Esta expresión del vector v es la utilizada

implementación del método.

ín la

III.3.5 Equivalencia de las formulaciones original y en forma de

producto del método BFGS.

A continuación procedemos a verificar la equivalencia

de las dos expresiones del método BFGS para matrices simétricas :

-1 CK 1 = (. 1 ) CK D ( I .•) + (3,59:)

Sr ^i h\''li

-1 T -1 T CK 3 = C I + w V .•) CK 1 C I + V w ) (3.60)

i i i i-1 i i

57

8,-siendo w,' = CS.ól)

6^ 't

V = ( ) CK 3 8¿ - 7/ (3.62) * \ T / i-1

Ó.-CK 3 di ' i-1

Para ello, el procedimiento elegido es a partir de la expresión

(3.60) obtener la expresión C3.59) :

—1 T —1 T CK 3 = C 1 + w V ) CK 1 C I + V w )

i i i i—1 i i

—1 T -1 —1 T T -1 T CK D + w V CK 3 + CK 1 V w + w (v CK D v :)w

i-1 i i i-1 i-1 i i i i i-1 i i

Sustituyendo (3.61) y C3.62), y trasponiendo las matrices :

T -1 -1 , T -1 di 7,- 1/2 T

CK 1 = CK 1 - w y.LK ' 3 + (. ) w 5-i i-1 i ' i-1 T i

ó/tlK Idf i-1

58

+ (.-6s H 1/2 T -1 T

-) 5- w - CK D 7-w + T i i-1 ' 1

i-l

w 7.CK D + i ^ i-l

1 hi y i 1/2 T

( ) ^ g T i

i-l

bé 7/ 1/2 T

6¿ CK 3 hi '- i-l

.•) CK 3 6- w - 7/ w i-l

Ordenando factores, teniendo en cuenta que 5¿ CK 3 Ój' i-l

escalar y que verifica :

e s un

T T T

w y- h¡ w = Oj i: w w

8 / y¿ X 1

t e n d r e m o s :

- 1 - 1 CK 3 = CK

i

T - 1 3 - w 7 . CK 3 - CK 3 y^ w +

i - l i i - l i - l i

T - 1 T T T w 7¿ CK 3 7 - w + Óy 7¿ w w

i - l 1 1

T T - 1

1 i - l

- 1 CCK 3 - w 7.- CK 3 >CI - 7- w ) +

i - l • '

á; 5/

S¡ %•

59

di li -1

i - l

T

%• di .,

6i^^¿ br '^i ') +

T 6/6. 6,T ;'

c . q . d

60

III.4 IMPLEMENTACION DE LOS MÉTODOS DE QUASI-NEWTON : BROYDEN Y BFGS

111.4^.1 Introducción

Las implementaciones consideradas, en base a su progra

mación posterior, tienen las siguientes características comunes :

- Eliminar el cálculo directo de las inversas de la matriz

tangente, con el fin de conservar la estructura en perfil de la

misma.

- En cada iteración se resuelve un sistema lineal de ecuaciones |

con la misma matriz de coeficientes, é igual a la matriz tangente |

para la aproximación inicial. De este modo se efectáa una sola g

factorización. CK 3 = CLD.CUD | • - - o • I

•o

1

- No se necesita almacenar en cada iteración matriz adicional f

alguna. f £

i - Por cada iteración solo es necesario almacenar para cálculos |

a @

posteriores en las iteraciones siguientes, dos vectores de orden

(.n) siendo n el orden del sistema. Las operaciones a realizar se

reducen a operaciones sencillas de sumas algebraicas y productos

escalares entre vectores. - Se ha desestimado el método de readapcación directa en cada

—1 iteración de las matrices triangulares CL3 y CUH propuesto por Johnson y Austria- C123, Método de Convergencia Rápida, debido, a

la pérdida de la estructura en perfil de las matrices, lo cual en

aplicaciones del método de los elementos finitos trae consigo un

considerable aumento de la memoria de ordenador a disponer.

61

III.4.2 Método Broyden

A continuación se presenta el esquema de la implemen-

tación del método Broyden, propuesto en C103, para la iteración

i-ésima :

Dado u , u , RCu ) : i i-1 i

I. Resolver CK 3 q = RCu ) o 1 i

II. Para j = 1,2, ... , i-1

q = q + P/ <: 5;- ^ > 5/ q i+i j -^ - J ^ . j+

-Almacenar el escalar p y los vectores

6 . ^ k k

K "^ X f JL m • • • • X X

III r-= q - d i i-1

8¿= u - u = - d i i-1 i-1

P= Cl/ di r/}

IV. T

d = q + P,- < d- - r :> 6¿ q - • i i 1 1

V. u = u - d i+1 i i

DEDUCCIÓN

Sea el sistema no lineal RCu) = -Cf> - KCu).u = O.

El método de Broyden correspondía a la adaptación definida según

la expresión :

-1 T -1 -1 c6t - CKi-i3 7t > 6/ -1

CK 3 = CK 1 + CK D (3.63) i i-1 ^ T -1 7/ i-1

"* CK 1 i-1

siendo 7-= RCu ) - RCu ) ' i i-1

6¿= u - u i i-1

-1 En la implementación actualizamos d = CK 3 RCu )

i i i estando el vector solución dado segán :

u = u - d i+1 i i

La idea básica es expresar en cada iteración i-ésima —1

d con respecto a d = CK 13 RCu ) , mediante aplicación reitera-i o o i

da de la adaptación de Broyden (3.63> De este modo establecemos :

-1 -1 T -1 d = CK D RCu ) = CK 1 RCu :> + p-C ¿^.- r :> á^-CK J RCu ) i i i i-1 i i i-1 i

C3.64)

63

T siendo P/= (1/ g •' r )

-1 r = CK 1 7,' i i-1

-1 Designando q = CK H R<u )

i i-1 i

se obtiene la relación

-1 r = CK 3 CRCu ) - R(u )D = q - d i i-1 i i-1 i i-1

De este modo (3.64) queda expresada :

T d = q + p¡(. 5/ - r ) g .q i i i :

Aplicando reiteradamente la adaptación (3.63) tenemos

T q = CK 1 R(u ) = q + p^-, ( ^¿,^- r ) 5._ q i i-1 i i-1 i-1 ' i-1

q = CK D R(u ) = q + pj _ (. 8- , - r ) 6,. q i-1 i-2 i i-2 ^ ''2 i-2 ''2 i-2

-1 T q = CK D R(Li ) = q + Pt < 0| - r ) 6i q .2 - 1 i • 1: . 1 . 1 .

6A

-1 siendo q = CK 1 R<u ) , que se obtiene por resolución del

1 o i sistema lineal :

CK 3 q = RCu ) o 1 i

La implementación requiere almacenamiento para cada

iteración i-ésima de los vectores § , r k = 1,2, ... , i-1 H k

En la práctica, a fin de acelerar la convergencia, cada

cierto námero de iteraciones se recalcula la matriz tangente;

normalmente cada 5 ó 10 iteraciones.

111.4.3 Método BFGS

Recordemos la adaptación original del método de Quasi-

Newton BFGS :

-1 T -1 T T CK D = ci - /O.6.7->I:K 1 (.1 -p-y-8-) + - 6/5/ es.65)

i 1-1

T con P -= (1/ ^( \ ' ) ; 6-= Li - u ; 7.= RCu ) - RCu )

' i i-1 ' i i-1

De modo esquemático la implementación propuesta por Matthies-

Strang ClSIl es la siguiente :

3

65

Dado u , u , RCu ) y RCu ) i-1 i i-1 i

6¿= u - u i i-1

7,-= RCu ) - R(u ) i i-1

p,-= (1/ 5 . 7/ ->

q = RCu ) i i

"/= ^¿ \ *

II.. Para j = i, ... ,2,1

q = q - 7y- a j - 1 j y /

III. Resolver CK D r = q o o o

IV. Para j = 1,2, ... ,i

T

= "/ 'i'- , J-1

r = r + 6.. C Q: . - (3 O j j-1 J J J

u i+l

u — r i i

66

DEDUCCIÓN:

En la iteración i-ésima tenemos :

i i i i-1 i

^ f.- «'«'• \ (3.66:)

correspondiente a determinar el vector solución

u = u - d i + 1 i i

Para K = i establecemos q = R(u )

-1 -1 I Sustituyendo EK D en función de EK D de acuerdo con la |

i—1 i-2 2 adaptación Í3.65) tenemos (3.66) expresado segán :

d = (I -p- h. T. )c(i - e,.. 5._,X-i)CK 3 (I -f-_,7,-_, 5, ) +

T + p. o . 0/ :: q

T T

C3.67)

t:i-p.6.7. )Eci-p. 5. 7 :>EK D q +

67

donde hemos asignado :

q = q - 7. « L k-1 k K K

es.68) T

para k = i, i-1

-1 Procediendo de modo reiterado hasta eKpresar CK 3 en

-1 i función de CK 3 llegamos a la expresión equivalente de (3.67)

o s i g u i e n t e :

d = <:i - p¿ 6¿ 7. ) c , k = l , . . . i y -C a > k = 1 , ... i corres-k-1 '

ponden a la expresión definida en (;3.68).

Resolviendo el sistema lineal CK D r = q hallamos r. o o o o

Procediendo : T

a - Py 6,;T, x r + aj 5, = r + 5 <: a.- ^p. = r o o ' * 1

^r Pí ' / ^"^

68

y, en general

tendremos :

^ / 'j • > % _ ,

r = r + 5/ C Oí- - /3. :>

j = 1,2, ... i

d i

u i + 1

= r i

= Ll

i - r

i

La implementación requiere almacenamiento para cada

iteración i-ésima de los vectores y^ , 5 k = 1,2, ... , i-1 '^ k

En la práctica, a fin de acelerar la convergencia, cada

cierto námero de iteraciones se recálcala la matriz tangente;

normalmente cada 5 ó ID iteraciones.

69

111.4.4 Adaptación del método BFGS en forma de producto

El método de Quasi-Newton BFGS podia expresarse

mediante

-1 T —1 T CK D = (I + w V )CK 3 CI + V w ) (3.69)

i i i i-1 i i

-1 -1 Expresando CK D en función de CK 3 de acuerdo con la

i-1 i-2 adaptación (3.69) :

-1 T T -1 T T i LK 1 = CI + w V .ICI + w V ÜCK 1 CI + V w ) CI + v w ) |

i i i i-1 i-1 i-2 i-1 i-1 i i 5

-1 Procediendo reiteradamente hasta expresar CK 1 en función de

-1 i CK D llegamos a la expresión equivalente siguiente :

o

-1 1 T -1 i T CK 3 = n CI + w V )CK 3 n CI + V w )

i j=i j j o j=l j j

Al igual que en implementaciones anteriores nos -1

interesa expresar d = CK D RCu ) tal que u = u - d i i i i+1 i i

1 T -1 i T ^ d = n CI + w V )CK D H- '-i "•• V w :> RCu ) C3.70:) i j=i j j o j=l j j i

De modo esquemático la implemenfación es la siguiente

Dados u , u , RCu ) , RCu ) : i i-1 i-1 i

70

6-= u - u i i-1

7/= RCu ) - R(u ) i i-1

w

V =

T - 6 / y¿ 1/2

R(u )C 1 + C ) 1 i-1

í RCu ) i—1

RCu :) i

II. a = i T

-•ri CI + V w ) RCu ) j=l j j i

III. Resolver EK D b = a o

1 T IV. d = n CI + w V :> b

V. u = u - d i+1 i i

Esta implementación propuesta por Matthies-Strang C13I1

es la considerada para el método BFGS en las aplicaciones

numéricas. ' . . . . .

71

DEDUCCIÓN :

Procediendo en (3.70) del siguiente modo :

i T T T T fl = Cl + v w :M;I + V W )...(I + V W ) R ( U )

j=l j j i 1 1 2 2 i i i

T T a = <I + V w ) RCu ) = RCu ) + V w R(u )

i i i i i i i i

T a = queda expresado segán

1 T -1 d = n <I + w V ) CK 3 a (3.71) i j=i j j o 1

resolviendo el sistema lineal CK D b = a (3.71) viene dado o 1 1

por :

1 T d = -n (I + w V ) b i J=i j j 1

que evaluamos del siguiente modo :

T T d = C l + w v : ) b = b + W V b

1 1 1 1 -1 1 1 1

T T d = ( I + w v ) d = d + W V d

2 2 2 1 1 2 2 1

T d = . . . = d + w v d

i i - 1 i i i - 1

73

CAPITULO IV

APROXIMACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS

IV.1 APROXIMACIÓN DE LOS PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR EN

DIMENSIÓN FINITA

En las aplicaciones se ha realisado la discretización

mediante elementos cuadrilaterales isoparamétricos bilineales; en

las integraciones se han considerado cuatro ó nueve puntos de

integración de Gauss segán el problema sea débilmente no lineal

ó fuertemente no lineal.

A continuación establecemos la formulación de los

problemas de transferencia de calor abordados en el subespacio de 1 1 1

dimensión finita H í fij, > C H C í] ) dim H <:fif,5 = N, al discretizar h r '

el dominio Q, por S2 en -C fi e i elementos con N puntos

nodales y considerar las funciones A de base correspondientes. i

Asi mismo expresamos la aproximación en forma local, en cada

elemento genérico Q presentando las matrices elementales

correspondientes.

Las formulaciones son referidas al método de Newton,

con lo cual en las expresiones resultantes por eliminación de

algunos términos ó pequeras variaciones en éstos quedan

74

formulados los prtíblemas aproximados para el método del punto

fijo.

IV.l.l Caso 1 : Conducción no lineal

El problema aproximado correspondiente en dimensión

finita al algoritmo de Newton (3.17), queda expresado en cada

paso :

h 1 "Dado u solución aproximada de u en H CÍii »

n h ^

u = u en r , hallar 8 , 6 = / 8^ú(.x^,y^) o o < J J

siendo h^= b (x ,x, > tal que j J J

I CK + K u h h / ^ h h

D 9 5 7v dx + / K 6 7u 9v dx +

n

h r ^ r ^ v d s = | f v d x + | h u v (

r h h h r h h I CK + K u D^iu 9 v d x - / h u v t

(4 .1 : )

h 1 h ^ h

V v G H , v = 0 e n r

siendo una mejor aproximación :

. u = u + 0 n+1 n

75

La a p r o x i m a c i ó n en forma l o c a l c o r r e s p o n d i e n t e s e r á :

I CK + K Li D9 óe'7v d f i g + I K 6e ^LI 7V d.Qe+ I h 6e V ds = e e

( :4 .2 )

T h r h r h h h - . r h h / f v d í 2 e + / ^ ^ " V d s - / CK + K Li 37u 9v d í ¿ e - I h u v d s

- ' a e e J^8 e e J ^^ o l e e e J ^ e e e

h ^ h " ^ 1 , siendo u , 5 y v las restriciones a Í2e de u , 6 y h e e n

V , que expresados en función de los valores en los nodos y ^ He r^

las funciones de forma -CT >4 correspondientes en U Q :

. Ne n ^—1 e e

u = 2^ u T (X x2 e 4 J J

; 5 ^ 6e=

h V =

e

z 1 e

T j

.e ^

1 - J

conduce a expresar el problema aproximado (4.2)

Me e e Z f tí

K dj =? P i = l,2, ... jN . . ij i e

76

siendo las matrices elementales :

e e e e K = K + K + K ij I,ij II,iJ III,ij

e r h

I , i j J ^ o l e i * j * i ^ j ^

e / e h e h e

K = / K T c<au /axícaT /ax) + cau /av:) ca? /ax)3 dj^g II, i j Jfie 1 i e * j * e i j ^

e j e

Ill.ij J o i ,1J ^-e 1 J e i

e e Las matrices elementales K y K vemos son

e I,ij III,ij simétricas, mientras que K no lo es. Por ello el problema

II,ij de conducción no lineal presenta una matriz tangente asimétrica.

Para la aproximación del problema según el método del punto fijo

podemos ver comparando (3.5) y (3.17) que la variante con el

método de Newton anteriormente expresado en dimensión finita, es e

la ausencia del término que conduce a la matriz elemental K II,ij

77

IV.1.2 Caso II : Radiación en la frontera

El problema aproximado correspondiente en dimensión

finita al algoritmo de Newton (3.25) queda expresado en cada

paso :

h 1 'Dado u solución aproximada de u en H (fif^), con

n h

> > h h u = u en r , hallar 6 , ^" £ H tal que s

o o h

/ .

í ^ h I a Cu :

h h / h 3 u h K 9 O 9v dx + 4 I a Cu 3 O v ds = í ^

I f V dx -

Jni, r ^ 4 h r h h f h ^ I a Lu 3 V ds - / K 7u Vv dx - /a Cu 3

h V ds

h 1 h h V v € H , v = 0 en r

h o

-siendo u ^ u + O .una mejor aproximación" n+1 n

78

La aproximación en forma local conduce a las siguientes

matrices elementales :

e K l,ij Jíí'

KCOT /ax)caT /BH) + OT /ay)í:a7 /ax.JD dOe i * j * i ^ j

e f h 3 K = 1 4 0; Cu ) T II,ij J_e e i

T ds

las cuales son simétricas. Asi el problema de radiación en la

frontera presenta una matriz tangente simétrica.

La aproximación del problema segán el método del punto

fijo, comparando las expresiones (.3.7) y (3.25) presenta como e

¿mica diferencia respecto al de Newton sustituir K por : II,ij

; r h 3 = / o: Cu ) T

79

CAPITULO V

APLICACIONES NUMÉRICAS

V.l INTRODUCCIÓN

El dominio considerado es una placa cuadrada con

orificio en medio Cfig. 5.1). Por simetria hemos considerado la

octava parte ñ de la sección a estudiar.

(0,2)

t:0,0)

(2,2)

(2,0)

Fig. 5.1

80

Se ha mal lado el dominio ^ mediante 3A2 elementos

cuadrilaterales y 380 nudos, siendo la discretización más fuerte

en la zona cercana al orificio que es sometida a un mayor

gradiente de temperaturas CVer fig. 5.2)

(S.¿)

81

Se ha considerado el dominio íí compuesto de dos

materiales de conductividades térmicas distintas K en ^M I

y de K en n, . II

Ca5,oír]

(O.?,o) C^.^^

82

V.2 EJEMPLOS NUMÉRICOS CONSIDERADOS

Los ejemplos ó casos resueltos fueron los siguientes

EJEMPLO I: CONDUCCIÓN NO LINEAL

Las condiciones de contorno consideradas han sido

ul = 500 ul = 2 0

resolviéndose los siguientes casos :

I.l Problema "débilmente no lineal" :

K = 2 K = 0.005 en a 1

K = 3 K = 0.005 en jj o 1 •^

Ic2 Problema no lineal :

K = 2 K =0.01 en "i

K = 3 K = 0.01 en ^ o 1 ^

1.3 Problema "fuertemente no lineal" s

K í= 2 • K = 0 . 1 en n o 1 '

o . 1 K = 0 . 1 en Q^

83

EJidELO II: RADIACIÓN EN LA FRONTERA

Se ha considerado en ^ dos materiales con

conductividades térmicas constantes :

K = 2 o

K = 3 o

en

en

%

«2

La temperatura de radiación u^^ = IODO con

ot = l.OE-08, incidiendo en r. En la parte del contorno r: 1 o

ul = 2 0 "^0

EJEMPLO III: CONDUCCIÓN NO LINEAL Y RADIACIÓN EN LA FRONTERA

Se ha considerado s

K = 2 K = 0.01 o 1

K = 3 K = 0.01 o 1

'u_= 1000 ex = l.OE-08 Cr )

ul = 2 0 Ir.

84

Se ha realizado un estudio comparativo en la resolución

de los ejemplos numéricos, anteriormente citados, entre los

métodos del punto fijo, de Newton, Newton modificado y los méto

dos de Quasi-Newton Broyden y BFGS. A fin de estudiar la eficacia

de los métodos de Quasi-Newton se obtuvo el tiempo de CPU para

cada caso.

La resolución se ha realizado en un ordenador VAX

11/730 del Cíepartámento de Cálculo Numérico e Informática de la

Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Minas de la U. P. de Madric

La tolerancia exigida en los resultados fué de l.OE-05

sobre los flujos de calor..

A continuación se presentan los resultados comparativos

<num. iteraciones y tiempo de CPU) y las isotermas

correspondientes a la solución para cada problema; en el apéndice

C se dan los resultados de los cálculos para los distintos casos

especificando la entrada de datos y los valores de solución en

los nodos.

85

V.3 RESULTADOS'COMPARATIVOS

EJEMPLO lj¡_X Problema de conducción "débilmente no lineal";

K = 0.Q05 1

Se consideró en cada elemento 2x2 puntos de

integración. Al igual que en los ejemplos numéricos expresados

posteriormente, se expresan el námero de iteraciones y el

tiempo de CPU utilizado para cada método considerado. (Tabla 5.1)

INUM ITER.

ICPU Csg)

PF

6

262.02

PFNWM

(*) 6

163.48

NW

5

250.65

PFNW

<*:> 4

190.00

PFBROY

5

149.20

PFBFG2 1

5 1

149.31 1

TABLA 5.1

(.*') Podemos observar la conveniencia de -realisar la primera

aproximación por el método del punto fijo, lo que va de acuerdo

con la matización hecha teóricamente sobre la aproximación

inicial en el método de Newton.

86

Las abreviaciones anteriores corresponden a

PF : Método del punto fijo.

PFNWM : Método de Newton modificado, con la primera iteración

por el método del punto fijo.

NW : Método de Newton.

PFNW : Método de Newton, con primera iteración por el método

del punto fijo.

PFBROY : Método de Broyden, con primera iteración por el método

del punto fijo.

PFBFG2 : Método BFGS adaptación en forma de producto, con prime

ra iteración por el método del punto fijo.

87

EJEMPLO Ij 2 Conducción na lineal, K. = 0.01

Los resultados comparativos para los métodos más

eficientes del ejemplo anterior fueron (tomando 3x3 puntos de

integración) :

INUM

ICPU

ITER.

<:sg)

PF

7

560.12

PFNWM

7

327.16

NW

-

-

PFNW

5

426.58

PFBROY

7

327.22

PFBFG2 1

- 1

- 1

EJEMPLO 1.3 Problema de conducción fuertemente no lineal

Puntos de integración 3x3.

INUM ITER,,

ICPU <sg)

PFNWM

no cpnv.

—

PFBROY 1

.12 . i

488.27 1

88

EJEMPLO II Radiación en la frontera

Se consideró en cada elmento 2x2 puntos de integración.

En este caso el método del punto fijo no converge y el método de

Newton modificado con primera iteración segán el método del punto

fijo converge muy lentamente. A efectos comparativos y de acelerar

la convergencia se ha considerado los métodos de Quasi-Newton sin

readaptacióii y con readaptación de la matriz tangente.

1 i PF . I PFNWM 1 NW 1 PFNW 1 PFBROY 1 PFBFG2 1 1 1 i r - - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i 1 1 1 1 1 1 1 Ca:> II 1 Caí II 1 INUM ITER. 1 — 1 > 20 1 7 1 7 1 1 1 1 1 i , 1 1 1 Cb) 8 1 Cb) 8 1 1 1 i 1 i 1 1 1 1 1 1 1 1 1Ca) 1Ca) 1 1 1 1 1 i I 236.06 i 237.30 1 1 CPU Csg!) 1 — 1 — 1 348.62 1 339.14 1 Cb) ICb) 1 1 1 i 1 i 1 216.24 1 217.26 1 1 1 1 1 1 1 i 1

<a) Sin readaptación de la matriz tangente.

(b) Con readaptación de la matriz tangente en la quinta iteración

89

EJiíJELQ i ü Conducción no lineal CK = 0.005) y radiación en la o

frontera.

La convergencia para los métodos de punto fijo y Newton

modificado es muy lenta C constante de Lipschtts cercana a la

unidad ). Para los métodos de Quasi-Newton se consideró sin

readaptación y con readaptación en la quinta iteración de la

matriz tangente. Los resulstados fueron los siguientes s

INUM ITER.

1 CPU Csg.)

PF

> 40

—

PFNWM

> 40

—

NW

7

372.58

PFNW

7

360.60

PFBROY

Ca> 11

Cb) 8

(aü 254.50 (b) 241.45

PFBFG2 1

(a) 12 1

 8 1

(a ) 1 274.76 1 ( b :> 1 243.22 1

Se tomaron 2x2 puntos de integración en cada elemento.

Ca) Sin readaptación de la matriz tangente.

Cb) Con readaptación de la matriz tangente en la quinta iteración

90

V.4 SOLUCIÓN A LOS EJEMPLOS

E jeíDEio 1 .1

MEF •»•» PLACA TERMICA-2 MATERIALES •**»

RÉGIMEN ESTACIONARIO

91

lo 1^2

MEF H*» PLACA TERMICA-2 MATERIALES »»


92

iJeíDEiQ 1^3

MEF •*»» PLACA TERMICA-2 MATERIALES »*


93

EjemElQ II

MEF •*»» PLACA TERMICA-2 MATERIALES •»»»


9A

iJemBig I I I

MEF *^** PLACA TERMICA-2 MATERIALES »»


95

CAPITULO VI

CONCLUSIONES

En la práctica hemos resuelto problemas de

contracciones estrictas (exixtencia y unicidad de solución,

capítulo II). Por tanto en las aplicaciones numéricas realizadas

el método del punto.fijo converge, siendo satisfactoria la estra-,

tegia de realisar la primera iteración segán dicho método. Ello

nos permite obtener una buena aproximación inicial de la solución

para los métodos de Newton y de Quasi-Newton. La utilización de

éstos conlleva a acelerar la convergencia.

De acuerdo con los resultados presentados en las

¿aplicaciones numéricas podemos concluir, que los métodos de

Quasi-Newton Broyden y BFGS, sin requerir un aumento sustancial

de memoria de ordenador con las implementaciones efectuadas, han

resultado ser más eficaces que los métodos tradicionales de punto

fijo, Newton y Newton modificado en cuanta.a tiempo de cálculo.

96

APÉNDICES

97

APÉNDICE A: ESPACIOS FUNCIONALES

A.l Distribuciones 98 P

A.2 Espacios L (.JL) 100 m

A.3 Espacios de Sobolev H (J^) "102

APÉNDICE B: CARACTERIZACIÓN DE LA CONVERGENCIA SUPERLINEAL. MÉTODOS DE QUASI-NEWTON

Teorema de caracterización 107

APÉNDICE Cs RESULTADO DE LOS CÁLCULOS

Introducción 116

Fichero de datos I.l 117

Fichero de datos II 119

Fichero de datos III 121

Conexiones nodales 123

Resultados de los cálculos II . 128

Resultados de los cálculos III . 141

APÉNDICE D: PROGRAMACIÓN

D.l Introducción 154

D.2 Listados 156

ELMT5 158

ELMT6 160

QNBR , .... 161

QNBFG2 162

QNBFGS 164

98

APÉNDICE A

ESPACIOS FUNCIONALES

Recordemos aquí brevemente la definición de los

espacios funcionales utilizados en el texto y algunas de sus

propiedades más importantes, entre las cuales se presenta la

desigualdad de Holder generalizada y el teorema de Rellich—

Kondrachov, aplicados en el capitulo II.

A.l DITRIBUCIONES

n Sea SL un abierto cualquiera de R . Empezamos

definiendo el espacio DC-'^!), de funciones infinitas veces

diferenciables y de soport'e compacto en _fL .

D(.JL ') = -C e5 € C C-* ) ; soporte de oá compacto >

Definimos el espacio de distribuciones sobre -O- , D' (.-H.) ,

como el espacio dual de DC-*!.) :

D' C-n.) = L (.DíJi.) ;R) c

A—1

8

99

Denotamos por < , > la dualidad entre D' (. Q ') y D C jj ^

Si T € D' C n 5 y (ó € DC jj > el valor de T en B5 lo designamos,

mediante <T,B5>.

T : D< " ) > R

(Z5 > <T,eí>

es una a p l i c a c i ó n que v e r i f i c a l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s s

- l i n e a l i d a d : <T,e51 + e52> = <T,e51> + <T,ei2>

<T,m(!4> = m<T,d>

- continuidad : Sea e5 ^ (á en D< ^ ) n

se tiene <T,(i!5 > •> <T,(!J> n

C a r a c t e r i z a c i ó n de l,a c o n v e r g e n c i a en D ljC ^ 2

Una s u c e s i ó n •CTn>GD' C ^ !) conve rge a T € D' ( Í2 ') s i s

<Tn,e5> > <T,cí> V eí € DC^ >

Si f es una función localmente integrable, puede

identificarse con la distribución :

< f , (ó > = f C X ) e5 C X :> d X V eí € D C n )

X = •CX1,X2, ... Xn> , dx = dXl dX2 ... dXn

A-2

--l-QO

A continuación definimos la derivada de una

distribución T , SíT/SiX , como la distribución s i

ai/ax : D( n ) > R i

c5 •> OT/aX ,ai> = - <T,aei/aX > i i

La derivación de distribuciones es continua, es decir

la aplicación :

D' c n :> > D' (. ^ ')

T » aT/ax

i

es continua.

A.2 ESPACIOS L < n)

P Se define el espacio L < Í2 ) , con 1 dotados de la norma

II u II

OlPlJl. j

p 1/p luí dxD

'JL

A-3

•101

son espacios de Banach. En ellos tenemos el espacio L (.-O.) , de

funciones de cuadrado integrable con la norma correspondiente :

1 / 2 l l u l l = l l u l j = C 1 l u í dxD

0 , 2 , - 0 . o , JL

-¿a

oC

L í-íl) es un espacio de Hilbert para el producto escalar :

r C u , V )

D»-a U < K ) V < X ) dK

>(-n. Podemos identificar L (-/!> con un subespacio de D'(-íl),

es decir toda función u € L (.-ÍL) se puede identificar a una

distribución mediante la aplicación :

L (.-TL ') •> D' C -/L ) .

u » <u,e5> = Cu,oí) V eJ € D C - ^ )

Sea r el contorno de _/L , definimos el espacio :

L ( : r ) = - C v : r •> R , I v dr < o¿> >

Desigualdad de Hgider generalizada

. Pl P2 p3 Sean w 6 L C-'^),' ' u € L C-^) , v € L C'-Q.) se tiene

w u V dx ^ llwll . l l u l l . II v i l c o n 1 / p l + l / p 2 + l / p S = 1 o , p l , i i . o , p 2 , J L . o , p 3 , j ^ .

A - 4

ID:

A.3 ESPACIOS DE SOBOLEV H C-O.)

Sea la derivada c?{-ésima, tomadas en el sentido de

distribuciones, por inducción :

"'il^ o'z ^ «^H D

QK"Sx ' ... ax •1 2 n

siendo ^- enteros no negativos.

m _ I Definimos el espacio de Sobolev H (.-TL) de orden m sobre _/2_ i

al espacio de funciones :

m ^ Z H (-il) = - C u ; D u € L < - a . ) ,0 4 oí 4 m y

Z o

Asi L <-a> = H c-a)

m En H (.JT.) se def ine el producto e s c a l a r

(:u,v) = ^— <D u,D v;) m \oí\=m

y la norma

2 1 / : lluK = C ZL-IID ull 3

m,^ \°(\4n\ o,jT,

A-5

la:

m El espacio H (.~Ii'} es un espacio de Hilbert. Tendremos

1 asi para el espacio H C-JT.) :

<u,v) r n r

u V dx + ^^¡csiu/six ). cav/ax ) dx i = l i i

r 2 n r l l v l l

1 , - ^ < v , v ) = i:

1 ,JL V dx +

i = l ^-0,

1 / 2 cav/ax ) dx3

i J 'Í/L

•1 1 I Sea ,J2. C -regular, podemos definir el valor de. v € H i-O.')^

sobre la frontera r de ~ÍL, mediante la aplicación : g

0: H C-^) > L Cr )

V ^ o V = V I Ir

Esta aplicación es continua :

l l Y v l l < c í l v l l

A t a l a p l i c a c i ó n s e l a d e n o m i n a a p l i c a c i ó n t r a z a . La •1

i m a g e n s e g á n d i c h a a p l i c a c i ó n d e f u n c i o n e s v € H (.-O.') d e t e r m i n a e l 1 / 2

e s p a c i o H ; C r ) : .

" ^ H C - í l ) ) ^ L ( r )

1 / 2 1 H < : r ) = - C g : v € H C - ^ ) , , v l = g >

I r

A - 6

•104

Be tiene

•1 1 H = nácleo '^ = -C v € H (.-O.) , ^ v = O >

Si -/I. es acotado al menos en una dirección (con respecto

a una coordenada) la seminorma :

n 2 1/2

luí = c^I ll u/ax u ) •1,4 i = l i o,-A

1 I es una-norma de H <.J1') equivalente a la norma inducida |1 . I| . . |

o • "• . ' 1,-a. i

Eí§li3yñi¿ad de Poincaré.

Si J2. es acotado, existe una constante c(.JL') tal que :

•1 II vil <: cdJi) I vi V V € H C-O.)

o,_/ 1,-a o

A-7

105

Teorema de Reí1ich-Kondrachav L21

Sean n € N con n :> 1 , p € R con 1 <: p <: C» 1

acotado de clase C

Si J M es un abierto de R con una condición de Lipschitz continua

en el contorno r , se tiene que :

•l,p ql W (. ^ ') ^ L í ) , es una inyección compacta V ql € R

si satisface 1 x ql 4 q verificándose 1/q = 1/p - 1/n > O ó

1 < ql < oo cuando p = n

A-S

•106

APÉNDICE B

•107

APÉNDICE B

CARACTERIZACIÓN DE LA CONVERGENCIA SUPERLINEAL :

MÉTODOS DE QUASI-NEWTON

LEMA I

n Si -Cu > C R converge superl ineal mente a u,

FCu)=0-se verifica :

lim k>oo IlLi -ull

k

= 1 (B.l)

Demostración

II u -ull k

|lu^-ul||

II u - u l l I k

II u -ull k

ce.2)

tomando limite en CB.2) :

lim k>oo II u -ull

k

H u ^ - u | |

l l u - u l l k

\< O c . q . d .

B-1

1 0 8

TEOREMA DE CARACTERIZACIÓN DE CONVERGENCIA SUPERLINEAL

n n Sea F:R :•> R d-iferenciable en el sentido d'e

n GATEAUX en un abierto conexo D C R , F' continua y no singular

para un u € D. n

Supuesta la secuencia -CB > € LCR ) de matrices no k n

singulares y supuesto que para algán u € D la secuencia -Cu > C R o k

dado por :

—1 u = u - CB 3 FCu :> CB.S) k+l k k k

permanece en D y converge a u.

Bajo estas condiciones -Cu > converge superlinea 1-. k

mente a u y FCu)=0 si y solo si:

IKB -F' Cu)) = - FCu.) - F ' C L O C U - u ) k k+l k k k+l k

= FCu ) - FCu ) - F'Cu)Cu - u ) - FCu ) k+l k k+l k k+l

B-:

•109

y por la continuidad de F' en u :

CB -F'CuííCu - u ) = - FCu ) k k+1 k k+1

y por (B.4> :

IIFÍu^^^MI lim = 0 CB,5) k>«5 II Li -Li II

k+1 k

Teniendo en cuenta F<u)=0 y F'Cu) no singular,

existe una constante yO > O tal que :

IIFÍu )U = llFCu )-F(u)ll >^ /S\\\J- -lili k+1 k+1 / K+1

de donde :

II u -u II II u -ull + lu -ul| / 1 + a k+1 k k+1 k k

siendo a = k II u -ull

k

8

B-3

lio

Por (B.5) se tiene -ÍB. y -^ O que caracteriza la k

convergencia superlineal. .

Veamos la condición necesaria :

llFCu,^^^)l| UFCuy^^^)-FCu> II Uu^^-ull

llu -u II llu -ull |lu -u II k+1 k k k+1 k

por hipótesis sobre F' en u se tiene :

IIFCu,^^^ ) II IIF'<LO l|.|lu ^ -ull llU| -u!l

i fu -u II 'llu -ull llu -ull k+1 k k k+1 k

Si -Cu > converge superlinealmente a u y por el k

lema I tomando limites tendremos :

lim = 0 (B.ó.i k->oO llu -u II

k+1 k

siendo evidente que se cumple CB.4) c. q. d.

B-4

111

Consecuencias

La ecuación CB.4) nos muestra que si B converge a k

F^Xu2., caso del método de Newton donde B es igual a F'Cu ) , el k k

método iterativo dado por CB.3) converge superlinealmente. El

reciproco no es cierto. La convergencia de B hacia F'Cu )

es referida a la dirección (¿j .

^ k+1 k

Los métodos de Broyden y Broyden-Fletcher-Goldgarb-

Sbano -CBF6S) satisfacen CB.4> presentando.convergencia superlineal.

Una conclusión que se deduce del teorema anterior

es la aproximación asintótica en dirección y longitud de Oif

Cincremento de la aproximación de la solución en dos iteraciones

consecutivas) , hacia la corrección ^ i del método de Newton,

que es : •

^N -1 C) = - F' (u ) FCu ')

En los métodos de Quasi-Newton :

s, -1

- B FCu ) k k

B-5

112

AproKimación en longit;ud

Evaluamos :

^ • ^ k k " * ^ k k

s CF' (u )D CF' Cu ) - B D«S^)c k k k

obteniéndose asi la formulación equivalente de CB.6) siguiente :

lim — ^ — — — = O

que nos define una aproximación asintática én longitud de la

diferencia del vector solución en dos iteraciones consecutivas de

los métodos de Quasi—Newton hacia la misma diferencia dada según

el método de Newton.

B-6

1 1 3

Veamos que t a m b i é n s e v e r i f i c a l a a p r o x i m a c i ó n

a s i n t ó t i c a en d i r e c c i ó n , p a r a e l l o s e s t a b l e c e m o s e l ' s i g u i e n t e

lema :

LEMA I I

n S e a u , V € R —C0>, o< € C 0 , l 3

s i l l u - v l l ^ o ^ l l u l l e n t o n c e s > O y

l i v l l 1 -

l i u l l 4 ol (*), 1 - c

r iui i II vil •> ><: o( U*)

Demostración

l lull - II vil

l l u l l

l l u - v l l < >< c?< c . q . d . (*-)

l lu l l

% u , v ,•• Denotando w =

l l u l l . t l v l l

u - v i l = II v i l - 2 j I u l l J I v l l w + l lul l =

= Cllvll - l lu l l w) + llull - llull w :>, l lu l l Cl - w ) < B . 7 )

Por hipótesis se verifica

l l u - v l l < d l lul l CB.8 )

B - 7

De <B.7) y CB.8> t e n e m o s :

l lu l l Cl - w ) ,{; | lu - vi l , ' o^ . l u í

llA

con lo cual (1 - w ) ^< c^ .q.d. (*-K) c.q

Por último c?(€ fO,!) -> Cl - w ) <C 1

w > O —•> <u,v> > O

Aproximación en dirección

Vamos a aplicar el lema anterior para

u = ó i v = á N

l im =, O k»oO (I ^ ^ II

I l u - v l l ^ c < l l u l i

p o r t a n t o s e v e r i f i c a l a h i p ó t e s i s d e l l ema , con l o c u a l

II vil •1 -

llull

II S ^ |

" ^vc» < d de i :o,iD

B-8

115

Pasando al llmit.e en la expresión anterior :

lim

Además por el lema II tendremos

ye ' C>K > 2 ^ _ ( ) < oí

y pasando al limite :

lim <. , ^ == k>oO ifg^ii 11^^ II

1

Por consiguiente "un método iterativo de Quasi-

Newton es superlinealmente convergente si y solo si la dirección¿

se aproxima asintóticamente a la dirección de Newton ¿. en

longitud y dirección".

B-9

116

APÉNDICE C

RESULTADO DE LOS CÁLCULOS

C.l INTRODUCCIÓN

En éste apéndice se dan los listados de. ordenador

obtenidos en las aplicaciones numéricas : Conducción no lineal-

radiación, conducción lineal-radiación.

Asi mismo se adjunta el listado de un fichero de datos

de entrada para cada problema a modo de ejemplo de definición de

las macroinstrucciones correspondientes y conexiones nodales.

C-1

•117

FICHERO DE DATOS : Aplicación numérica I.l con

resolución de punto fijo

primera iteración y Newton

modificado en restantes ite

raciones.

C-2

nEF í.-t F'L ACÁ TFRnlCA-," HATFRJAI F5 t*

NOfR AUTO 2,13 118 .25».375F.5».75,1.í3.»].f.75 ..5,.3384»•17A8,,2236,.5 ' 0,,0.,0.,0.,0.,.5,1.,.75 .5,.3384,.1768,.1118,.25 1,0,2,0,0 2,0,0,0,1 1,1 ,20,10,3 ,2,3,13,9,10,ll,12,CUAEi 2,27 20,10,3,4,5,6,778,9,13,CUAD

MATE 1 3 5 FLACA TFRMICA-MATERIAL 1

2.,0.005,0.,0.,1,1,2 2 15 PLACA TERMICA-MATERIAL 2

3.,0*005,0,,0,,1,1,2

BOUN 1,10,-1 191,0,1 209,9,-1 380,0,1

FORC 1,10,500. 191,0,500. 209,9,20. 380,0,20,

ENIi MACROINSTRUCCIDNES TOL l.E-5 ITER TANG FORM SOLU INCR ITER CERO rlESH UTAN LOOP 15, ITER FORM SOLy INCR NEXT END MATE

1 15 PLACA TERMICA-MATERIAL 1 2, ,0,005,0,,0,70,1,2

2 15 PLACA TERMICA-MATERIAL 2 3, ,0,005,0, ,0-,', 0,1 ,2 ENIi STOP í

C-3

119

FICHERO DE DATOS s Aplicación numérica II con

resolución de punto fijo pri

mera iteración y Eroyden en

restantes iteraciones con rea

daptación de la matriz tangen

te cada cinco iteraciones.

C-4

.•.I'ILL - U - : I ' . ' I ' L K I ; r Mil r e r n:-i i : ,-(-o rcr . n, :-no

\ h t r J IHF .F \ . I . iA7 i T T P E rilNIriEF.DhT HEF *.* PLACA T F R M I C A - ? MATFRIALFF. * * 3 8 0 » 3 6 1 » 3 , 2 7 l » 4 NOF'R AUTO 2»13 »25f «375» « 5 F • 7 5 r l « r l * ti*f«75 . 5» . 3 3 8 > t / . 1768» . 2 2 3 A » . 5 0*f0tr0,t0.t0,t,5fí*t»75 , 5 » . 3 3 8 4 » . 1 7 6 8 » . 1 1 1 8 » » 2 5 1 » O » 2 » O » O 2 » 0 f 0 » 0 » l l » l » 2 0 » 1 0 » l » 2 » 3 » 1 3 » 9 » 1 0 » l l » l ? » C U A r i 2 » 2 » 2 0 » 1 0 » 3 » 4 » 5 » 6 » 7 » 8 » 9 » Í 3 » CIJAD ELEH 3 4 3 » 3 » 1 » 1 1 » 0 » 0 » 1 0

hATE 1 15 PLACA TERMICA-MATFRIAL 1

2 . » 0 . 0 0 5 » 0 . » 0 . » 1 » 1 » 2 2 15 PLACA TERMICA-MATERIAL 2

3 . » 0 . 0 0 5 f 0 . » 0 . » l » l » 2 3 16 CONTORNO RADIACIÓN

1 E - 0 8 » 1 0 0 0 . » 1

BOUN 2 0 9 » 9 » - l 3 8 0 » 0 » 1

FORC 2 0 9 » 9 » 2 0 . 3 S 0 » 0 » 2 0 .

ENIi MACROINSTRUCCIONES

l . E - 5

120

TOL ITER TANG FORM SOLV ITFR MESH LOOP ITER UTAN LOOP ITER FORM QSNW NEXT NEXT END MATE

I NCR CERO

CERO

BROY

1 15 PLACA TERMICA-MATERIAL 1 2. »0.005»0.»0.»0»1»2

2 15 PLACA TERMICA-MATERIAL 2 3.»0.005»0.»0.»071»2

3 16 CONTORNO RADIACIÓN 1E-08»1000.»0

END STOP ^ C-5

121

FICHERO DE DATOS s Aplicación numérica 111 con

resolución de punto fijo

primera iteración y Newton en

restantes iteraciones.

C-6

rlEF .*.* PLACA TFRMir.A-? MATF.RIAIFB ti-380f3Alr3»2f1»^ 122 NOPR AUTO 2»13 .25».375f.5».75»1,f1,»1.».75 .5» .338<í» .1768r .223ftr .5 0. »0»»0.>0.»0»»•?»1.f.75 .5 r .3384» .1768» . M 18 f .25 1 » O » 2 » O » O 2 f 0 » 0 » 0 » l l » 3 » 2 0 » 1 0 » l » 2 » 3 » 1 3 » 9 » 1 0 » l í »3 2»CÜAri 2 » 2 » 2 0 » 1 0 » 3 » 4 » 5 » 6 » 7 » 8 » 9 » i 3 » C U A r i ELFM 343»3»1»11»0»0»10

MATE 1 O? PLACA TERHICA-MATFRIAL 1

2. »0.»0.»1 2 02 PLACA TFRMJCA-MATFRJAl. 2

3.»0.»0.»1 3 16 CONTORNO RADIACIÓN

1E-0S»1000.»1

BOUN 209»9»-l 380»0»1

FORC 209»9»20. 3S0»0»20.

END MACROINSTRÜCCIONFS TOL l.E-5 ITER TANG FORM son.' I NCR ITFR CFRO HESH LOOP 25. ITER TANG FORM SOLV INCR NEXT END -MATE

1 02 PLACA TFRMICA-MATERIAL 1 2 . » O • 7 O . »1

2 02 PLACA TERMICA-MATFRIAl 2 3. »0.»0.»1

3 3 6 CONTORNO RADIACIÓN 1E-08»1000.»1 END STOP

C-7

123

CONEXIONES NODALES

C-8

MEF ** Pl ACÁ TFFÍMjr.A-? MATFRIAIFS »*

NIJMFRO riF PUNTOS NnnAl.EE NUMFRO riF Fl FMFNTOK NUMERO r.iF MATFRIAI.FS = DIMENSIÓN PFL ESFACID GRADOS DE LIBERTAD POR NODO = NODOS POR ELEMENTO (MÁXIMO) = NODOS EXTRA/ELEM = GRADOS DE IIPERTAD/NODD FXTRA= GRADOS DE LIBERTAD EXTRA/ELEM=

380

n I

HEF » * F lATA TÉRMICA-? M A T F R I A I F S » *

COORDFINAririS fiLOPALEE

NUMERO 1 n

3 1 5 6 7 8 D

10 11 12 13

COORD X 0.250 0.375 0.500 0.750 1 .000 1.000 1 .000 0.750 0.500 0.33P 0.177 0.224 0.500

rnnRri y 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.500 1.000 0.750 0.500 0.338 0.177 0.112 0.250

MATRIZ DE CONEX.IPN REGIÓN t A n o

1

O I

O f-j

**.*. RFIGION 1 * * * * MATCRIñl. 1

20 FILAS 10 nni IIMNAS

Nonns riEi. rnNTORNO

NUMRROS DE LOS NODOS DE LA RECitON

3 13

1 11 21 31 41 •51 61 71 81 91

101 111 121 131 141 151 161 171 181 191

-> 12 m T-l

4? 52 62 72 B? 92 102 112 ] 22

132 142 152 162 172 182 192

3 13 23-33 43 53. 63 73 83 93-J03 113 123, 133 J43 153. 16? 173 183 193

4 It 24 34 44 51 64 74 34 94 104 114 124 134 144 IS-Í 164 174 í P4 194

C¡

15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 )?5 135 145 155 165 175 )85 195

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 U 6 126 136 146 156 166 176 J 86 196

-/ 17 27 37 47 57 67 7^ 87 97

107 117 127 137 1 47 157 167 177 í 87 197

8 18 28 3R 4 8 58 68 78 88 98 108 118 128 138 148 15a 168 178 )B8 198

o

19 29 39 49 59 69 79 89 99 109 119 129 139 149 159 169 179 189 199

JO 20 30 4ü 50 óü 70 8ü 90

100 ) 10 120 130 140 150 160 170 180 190 200

^00

o

o I

K1

• *» RFGIDN 2 * * » * MATFRIAl. ?

20 F ILAS 10 COLUMNAS

NOnOS IiEL CONTORNO

NÚMEROS DE LOS NODOS DE LA REGIÓN

10 20 30 40 50 60 70

•flO

90 100 110 120 130 140 150 l¿r0 170 180 190 200

201 210 2)9 22a 237 244 255 2A1 273 2S2 291 300 309 31H 327 336 345 354 363 372

202 211 220 '729

238 217 256 265 274 283 OO 1

301 310 319 328 337 346 355 364 373

203 212 22 3 230 239 248

. 257 266 275 281 293 302 311 320 329 338 347 356 365 371

204 213 222 231 240 219 258 267 276 285 294 303 312 321 330 339 348 357 366 375

205 211 223 232 241 250 259 268 277 286 295 304 313 322 331 340 349 358 367 376

206 215 oo 4

233 o/» o

251 260 269 27P 287 296 305 314 323 332 311 350 359 366 377

207 216 225 231 213 252 261 270 279 288 297 306 315 321 333 312 35) 360 369 378

208 217 226 235 244 253 262 271 280 289 298 307 316 325 334 313 352 361 370 379

209 218 227 236 245 254 263 T-?*)

281 290 299 308 317 326 335 344 353 362 371 380

128

RESULTADOS DE LOS CÁLCULOS s Conducción no

lineal-radiación.

CAplic. Numr. 11!).

C-13

I

MEF »* FLACA TFRMir.A-P MATFRIAIFB »*

PROPirriAriFS M A T F R I A L

MATFRIAI SFT ] PARA ELEMENTO TIPO )? PLATA TFRMICA-MATFRJAl 1 NON LINFAR HEAT CnNDUCTinN F.LFMFNT

COHrUICTiyiTY Ko O.?OOO0E+01 CONnurTiyiTY K) O.fiOOOOF-O? SPEC HEAT 0•OOOOOF^00 DENSITY O.OOOOOF+00 PLAM ANALYSIE

MATERIAL EET ? PARA El.FMFNTD TIPO 3? PLACA TFRMJCA-MATFRIAL 2 NON LINEAR HEAT CONnUCTinN ELFMFNT

. CONnUCTiyiTY Ko 0.30000E + 01 CDNmiCTiyITY K) 0.50000E-0.? SPFC HFAT O.OOOOOF + 00 fiFUSITY O.OOOOOF + 00 PLAN ANALYSIS

MATFRIAL SET 3 PARA ELEMENTO TIPO 11 CONTORNO RADIACIÓN ALFA O.lOOOOE-07 TEMPERATURA RADIANTE O.IOOOOF+O'!

<1

MEF t* fLACA TERMICA-2 MATFRIALFP *»

MACRO IMSTRUr.TIONE

MACRD STATEMENT TOL ITFR TANG FORM SOIA' MESH LOOP ITER UTAN LOOF' ITER FORM OSNW MEXT HEXT nisp EN II

H U M E R O riF

INCR

CERO

BROY

VARIAPl.F 1 O.lOOOOE-0'! O.OOOOOE+00 O.OOOOOF+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOF+00 2.0000

O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 5.0000

O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOF+00 O.OOOOOF+00 O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+00

ITERACIONES = 1 FORCÉ CONVERGENOE

RNMA> TEST

512.10

UARIABIE 2 0, 0, 0, 0, 0, 0. 0, 0. 0. 0. 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,

RN

,00000E+00 ,OOOOOF+00 .OOOOOF+00 .OOOOOE+00 .OOOOOE+00 ,00000E+00 ,OOOOOF+00 .OOOOOF+00 .OOOOOE+OO .OOOOOE+00 .OOOOOF+00 .OOOOOF+00 .OOOOOF+00 .OOOOOF+00 .OOOOOF+00 .OOOOOF+00 .OOOOOF+00

_ C| 1 2 . 1 0 TOI O. lOOOOE-04

n I

o

MATERIAL SF.T 1 PARA ELEMENTO TIPO 1 NON LTNRAR HEAT CONIíUrTinN (CI.EMPNT

CONIílJCTiyiTY Ko O . rOOOOF + Ol PLAN AHALYñlS

MATFRIAL SET 2 PARA ELEMENTO T.TPO J NON LINEAR HFAT CONI.ilJCTinN ELEMFNT

PLAHA TERMIC.A-MATFRIAI. 1

c o N n i i r T i y T T Y K I O . S O O O O F - O . - I S P E T

PLACA TFRMinA-MATFRIAl 2

HEAT O.OOOOOF+00 nFNRTTY O.OOOOOF+00

CONIíUCTIVITY K P 0 .7 .0000F + 03 PLí^H AMALYSIS

CONIíUCTIVITY K l O.r.OOOOE-02 SPFC HFAT O.OOOOOF+00 I iENBITY O.OOOOOE+00

O I

I-*

MATERIAL SET 3 PARA ELEMENTO TI ALFA O.lOOOOE-07 TEMPFRATII

**MACRO INSTRUCCIÓN 7 EXECUTEP** **MACRD INSTRUCCIÓN 8 EXECUTEPíí

NUMERO HE ITERACIONES = O **MACRO INSTRUCCIÓN 9 EXECUTEIi**. **hACRn INSTRUCCIÓN 10 EXECUTEntí **MACRO INSTRUCCIÓN 11 EXECUTEn**

NUMERO BE ITERACIONES - 1 **MACRO INSTRUCCIÓN 12 EXECUTEP**

FORCÉ CONVEROENCE TEST 4451.? 13 EXECUTEIi*» 14 EXECUTEIi** 11 EXECl.iTEIi**

RNMAX = **MACRO INSTRUCCIÓN **MArRO INSTRUCCIÓN *ÍMACRn INSTRUCCIÓN

NUMERO PE ITERACIONES = ? **MACRO INSTRUCCIÓN 1? EXECUTEU*»

FORCÉ CONVERRENCE TEST RNMAX = 14?] .5

**MACRO INSTRUCCIÓN 13 EXECUTEritt **MACRO INSTRUCCIÓN j4 EXECUTFn** **MACRO INSTRUCCIÓN 11 EXECUTEtií*

NUMERO DE ITERACIONES = 3 **MACRD INSTRUCCIÓN 1? FXFCUTEIi*» • FORCÉ CONVEROENCE TEST

RNMAX = 44f.J .f. ÍÍMACRO INSTRUCCIÓN 13 EXECUTEti** **MACRO INSTRUCCIÓN 14 EXECUTED*» »*MACRO INSTRUCCIÓN 11 EXECUTETi**

NUMERO DE I.TERACIONFS = 4 **MACRO INSTRUCCIÓN 1.? EXECUTEU**

FORCÉ CONVEROENCE TEST RNMAX = 4451.?

»*MACRO INSTRUCCIÓN 13 EXECUTED** **MACRO INSTRUCCIÓN 14 EXECUTEU** **MACRO INSTRUCCIÓN 11 EXECUTEO**

NUMERO HE ITERACIONES = 5 •*»MACRO INSTRUCCIÓN 12 EXECUTEU*»

FORCÉ CONyíROEMCE TEST RNMAX '

)f.*MACRO INSTRUCCIÓN *»MACRQ INSTRUCCIÓN **MACRO INSTRUCCIÓN !|t*MACRO INSTRUCCIÓN

NUMERO DE ITERACIONES - O **MACRO INSTRUCCIÓN 9 EXECUTET**

44?l.f. 13 EXECUTEP** 14 EXECUTEIi** 15 EXECUTEfi** 8 EXECUTEIi**

PO lí. RA RAD I OOP ITER

UTAN LOOP ITFR

FORM

RN OSNU NEXT ITER

FORM

RN OSNW NEXT ITER

FORM

RN QSHU NEXT ITER

FORM

RN OSNU NEXT ITER

FORM

RN OSHU NEXT NEXT ITER

UTAN

lANTE

CERO

CONTORNO RADIACIÓN O.lOOOOE+04

BROY

BROY

BROY

BROY

BROY

CERO

yi = yi -

VI = VI -VI =

VI =

4451.5 VI -VI = VI -

VI

1220.3 VI -VI = VI -

VJ -

517.4ñ VI -Vi VI

VI

1-10.33 VI -VI VI -

VI

21.979 VI -VI -VI = VI =

VI =

2.000 O.OOOOE + 0'0

O.OOOOF+00 5.000 O.OOOOF+00

O.OOOOF+00

Tor O.OOOOE+00 1.000

O.OOOOE+00

O.OOOOE+00

TOl, O.OOOOE+00 2,000 O.OOOOE+00

O.OOOOE+00

TOL O.OOOOE+00 3.000 O.OOOOE+OO

O.OOOOF+OO

TOL O.OOOOE+OO 4.000

O.OOOOE+00

O.OOOOF+OO

TOL O.OOOOE+00 5.000 1.000

O.OOOOE+OO

y? -V2 -

V2 -V2 = V? =

V,? =

16.00 O.OOOOE+OO

O.OOOOF+00 15.00

O.OOOOE+00

O.OOOOF+OO

0.. lOOOOE-04 V2 - O.OOOOE+00 V? - 11.00 V2 - O.OOOOE+OO

V2 = O.OOOOF+OO

O.lOOOOF-04 V2 - O.OOOOE+OO V2 = jl.OO V3 - O.OOOOE+OO

V2 - O.OOOOF+OO

V3 V? V2

V3 V? V2

V?

V3 V2 V?. V2

O.OOOOF+00 . V2

O.lOOOOF-04 O.OOOOE+OO 11.00

O.OOOOE+OO

O.OOOOE+OO

O.lOOOOE-04 O.OOOOE+00 11.00

O.OOOOE+00

O.OOOOE+OO

O.lOOOOF-04 O.OOOOE+OO 11.00 fi.OOO O.OOOOF+OO

O.OOOOE+OO

suriHi.Ki) iNMKiji;i;ujN K ) F.,\f-.i;iMtu*» i.iiup yt = s.owu > v,; = ií».i;ü

«•MftCRO INSTRUCCIÓN 1) FXECUTFn»» ITFR VI = O.OOOOF+00 t V,? O.OOOOF + 00 NUMERO DF tTFRACIONFR - 1

**MACRO INSTRUCCIÓN 12 EXECUTFIi»* FORM VI = O.OOOOF+00 ? V? ^ O.OOOOF+OC FORCÉ CONVERCENCE TEST

RNMAX = 4451.5 RN - P.2213 TOl - O.lOOOOE-04 **MftCRO INSTRUrCinM 13 EXECIITEO*.* OSNU BROY VI - 0,OOOOE + 00 » V?. - O.OOOOE + 00 **MAnRO INSTRUCCIÓN 14 EXECUTFTi*» NFXT VI = 1.000 . V.? - 11.00 **HACRn INSTRUCCIÓN It EXEnUTETi** ITER VI - O.OOOOE+00 > VCí - O.OOOOE+00

NUMFRd riF ITERACIONES = 2 «*MACRO INSTRUCCIÓN 12 EXECUTEU*» FORM VI = O.OOOOF + OO r V,? = O.OOOOF + OO

FORCÉ CONVERGENCE TEST RNhAX - 4451.5 RN - 0.58871E-02 TOl - 0,10000F-04

**MACRO INSTRUCCIÓN 14 EXECUTED** NEXT VI - 5.000 f V2 =r 11.00 **MACRO INSTRUCCIÓN 15 EXECUTFn** NFXT VI = 2.000 r V2 - 8.000 **MACRn INSTRUCCIÓN lé EXECUTEIi** lUSP VI - O.OOOOE+00 . V2 - O.OOOOE+00

O I •sj

MEF »» FLACA TFRhlCA-.? MATFRIAl ES »»

NODAL DISPLACFMENTS TIME O.OOOOOE+00

O I I-i

oriF 1 T

7

1 5 ó n

S o 10 11 12 13 14 15 16 17 1 8 • 19 20 21 22-23 24 25 26 27 28 29 30 31 -I •>

33 34 35 36 37 36 39 40 41 42 43 44 45 46 47 IB 49 50

1 COORIi 0.1768 0.2127 0.248¿ 0.2B4r. 0.3204 0.3564 0.3923 0.4?R2 0.4641 0.5000 0.1827 0.2Í79 0.2532 0.2885 0.3237 0.3590

. 0.3942 0.4?95 0.4647 0.5000 0.1883

• 0.2230 0.2576 0.2922 0.3269 0.3615 0.3961 0.4307

, 0.4654 0.5000 0,1938

. 0.2278 0.2618 0.2959 0.3299 0.3639 0.3979 0.4320 0.4660 0,5000 0.1990 0.2324

• 0.2659 0.2993 0.3328 0.3662 0.3997 0.433J 0.4666

• 0.5000

2 COORri 0.1768 0.2127 0.2186 0.2R45 0.3201 0.3564 0.3923 0.4282 0.4611 0.5000 0.1722 0.2057 0.2392 0.2727 0.3062 0.3397 0,3732 0.4067 0.4 4 02 0.4737 0.1670 0.1982 0.2293 0.2605 0.2916 0.322B 0.3539 0.3P51 0.4163 0.4474 0.1613 0.1902 0.2190 0.2179 0.2768 0.3056 0.3315 0.3633 0.3922 0.421) 0.1551 0.)8J8 0.20R1 0.2350 0.2616 0.2882 0.3t19 0.3415 0.3681 0.3947

1 DFSPL 0.6876E+03 0.6192F+03 0.5582E+03 0.502BF+03 0.1517E+03 0.4042F+03 0.3598E+03 0.318.5F + 03 .0.2804E+03 0.2470E+03 0.6863F+03 0.6207E+03 0.5621F+03 0.5086F+03 0.1591E+03 0.4131E+03 0.3699E+03 0.3296F+03 0.2921E+03 0.2580F+03 0.6853F+03 0,6224F+03 0.5660E+03 0.5.1 44F + 03 0,4665E+03 0,4218E+03 0,3798E+03 0,3404F+03 0,3035F+03 0.2694E+03 0,6817F+03 0.6244F+03 0.5700F+03 0.5202E+03 0.4738E+03 0.4304F+03 0.3896F+03 0,3511E+03 0.31iaE+03 0.2807E+03 0.6ai5E+03 0.6265F+03 0.5712E+03 0.5260F+03 0.48nE + 03 0.4389F+03 0.3991E+03 0.3614E+03 0.325RF+03 0.2920F+03

(-i

w r»j

MEF »* PLACA TRRMICA-,-! MATERIALES *»

NOriAI niRF'LACFMFNTS TIHE O.OOOOOF + 00

NODE 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 31 32 33 84 35 36 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

1 COORD 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0, 0, 0. 0. 0, 0. 0.

. 0, 0. 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.

. 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0. 0 0 0 0 0

. 0 0

2040 2369 269R 3026 3355 3684 4013 4342 4673 5000 2087 2411 2735 3058 3382 .3705 4029 .4353 .4676 .5000 .2333 .2451 .2770 .3088 .3407 .: .726 .4044 ,4363 ,4681 ,5000 ,2376 ,2489 ,2803 ,3117 ,3431 .3745 • 4059 .4372 .4686 .5000 .2216 .2526 .2835 .3144 .3454 .3763 .407,-' ,4381 .4691 .5000

2 rOORD 0.14R4 0.1729 0.3973 0.22tR 0.246? 0.2706 0,2951 0.3195 0.3440 0,36R1 0.341? .1635 .1858 3092 7305 3528 2751 3975

,3398 0.3421 0.1334 0.1537 0.1740 • 0.194 2 0.2345 0.2347 0.?550 0.2753 0.2955 .3158 , 1252 1434 ,3617 1799 ,1982 n65 >347 3530 '712 2895 ,3364

0.1327 0.1490 0,1653 0,1816 0,1979 0.2342 0,2305 0.?469 0,2632

3 DESPL 0.6P45E+03 0.6288F+03 0.f.7P3E + 03 0.S317E+03 0.4R82E+03 0.4172E+03 0.40B4F+03 0.3716E+03 0.3365E+03 0,3031E+03 0.6847E+03 0.6312E+03 0.5P24F+03 0.5373E+03 0.4951E+03 0,4552R+03 0,4174E+03 0,3813f: + 03 0,3469F+03 0.3139E+03 0.6853F+03 0.6336E+03 0.5B65E+03 0.542RE+03 0,5018E+03 0.4630F+03 0.4263F+03 0.3908F. + 03 0,3569E+03 0,3243^+03 0.6857E+03 0.6361E+03 O.f.905E + 03 0,5491.F + 03 0.f.082F + 03 0,4704R+03 0.4343E+03 0.399ñE+03 0,3665E+03 0.3343E+03 0.6R64F+03 0.6385F. + 03 0.5944F+03

.5532E+03

.53 44F+03 ,4775E+03 .4422E+03 .4083E+03 .3755F+03

0,3437F+03

I

4^

MEF »» PLACA TÉRMICA-? MATERIALES »*

NODAL DlñPLACEMENTS TIME O.OOOOOF+00

NODE 101 102 103 101 105 106 107 108 109 • 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 • 149 150

1 COORIi 0.2255 0.2560 0.2865 0.3170 0.3475 0.3780 0.4085 0.4390 0.4695 0.5000 0.2291 0.2592 0.2893 0.3194 0.3495 0.3796 ' 0.1097 0.439B 0.4699 0.5000 0.2325 0.2622 0.2920 0.3217 0.3514 0.3811 0.4108 0.4406 0.4703 0.5000 '0.2357 "0.2651 0.2944 0.3238 0.3532 0.3825 0.4119 0.4413 0.4706 0.5000 0.2386 0.2677 0.2967 0.325P 0.3548 0.3838 0.4129 0.4419 0.4710 0.5000

2 COORFf 0.1071 0.12Í5 0.1359 0.5 503 0.1448 0.1792 0.1936 0.20PO 0.2221 0.236B 0.0973 0.1098 0.1221 0.13f.0 0.1476 0.1602 0.1728 0.1854 0.1979 0.2105 0.0869 0.0977 0.1035 0.1193 0.1302 O.J4J0 0. 1518 0.1626 0.1734 0.1842 0.0761 0.0851 0.0942 0.1033 0.1121 0.1215 0.1306 0.1397 0.14R8 0.1579 0.0647 0.0721 0.0795 0.0870 0.0941 0.1018 0.1093 0.1167 0.1211 0.13.16

1 IiESPL 0.6871E+03 0.6409F+03 0.5981E+03 0.55P0F+03 0.5201E+03 0.4P41F+03 0.4195E+03 0.4J62E+03 0.3940F+03 0.3526E+03 O.Añ77E+03 0.6430F+03 0.6011E+03 0.5624E+03 0.5251F+03 0.4902F403 0.4563E+03 0.4236F+03 0.391RE+03 0.360RF+03 0.68R1F+03 0.6450E+03 0.6015E+03 0.5664F+03 0.5303F+03 0.4957E+03 0.4621F+05 0.4303F+03 0.3990E+03 0.36B3E+03 0.6ñS9F+03 0.6467E+03 0.A072E+03 0.5699E+03 0.5315F+03 0.5006F+03 0.4679F+03 0.4362E+03 0.1053F+03 0.3750E+03 0.6892R+03 0.64B0F+03 0.6094E+03 0.5729F+03 0.5381F+03 0.5047E+03 0.4725F+03 0.44J3E+03 0.1108F+03 0.3R0BE+03

n I

o

MEF »* PLACA TERMICft-2 MATERIALES *»

NOriAL PISPl.ACEMENTS TIME O.OOOOOF + 00

NODE 153 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 137 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200

1 COORIi • 0.2414 0.2701 0.2988 0.3276 0.3563 0.3851 0.433P •0.4425 0.4713 0.5000 0.2439 0.2723 0.3008 0.3292 0.3577 0.3862 0.4146 0.4431 0.4715 0.5000 0.2461 0.2743 0.3026 0.3308 0.3590 0.3872 0.4)54 0.4436 0.4718

"0.5000 0.2482 0.2762 0.3041 0.3321 0.360) 0.3881 0.4161 0,4440 0.4720 0.5000 0.2500 0.2778 0.3056 0.3333 0.3611 0.3889 0.4167 0.4444

- 0.4722 0.5000

2 COORIi 0.052B 0.0586 0.0644 0.0703 0.076] 0.0819 0.0878 0.0936 0.0994 0.1053 0.0404 0.0446 0.0489 0.0532 0.0575 0.0618 0.066) 0.0701 0.0747 0.07R9 0.0274 0.0302 0.0330 0.0358 0.0386 0.0411 0.044? 0.0470 0.049P 0.0526 0.0140 0.0153 0.0)67 0.0181 0.0)95 0.0208 0.0222 0.0236 0.0249 0.0263 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 DFRPL 0.6893E+03 0.6490E+03 0.6))]F+03 0.5752F+03 0.54)0E+03 0.508tE+03 0.4764F+03 0.4455R+03 0.4153E+03 0.3ñ56R+03 0.689ÍF+03 0.6491E+03 0.6)2)F+03 0.5768^+03 0.543)F+03 0.5106F+03 0.4793E+03 0.448aF+03 0.4189E+03 0.38'94F+03 0.6RS4F+03 0.6493F+03 0.6)25F+03 0.5776F+03 0.5443E+03 0.5133E+03 0.4812E+03 0.1510F+03 0.42)4F+03 0.3922F+03 0.6872E+03 0.6485F+03 0.612)F+03 0.5776F+03 0.5447E+03 0.5129F+03 0.4P22F+03 0.4522F+03 0.4229F+03 0.3939E+03 0.6853F+03 0.6469F+03 0.6109E+03 0.5767F+03 0.544)F+03 0.5126F+03 0.4821E+03 0.')524F + 03 0.4232F+03 0.3944E+03

n I

MEF »» PLACA TÉRMICA-.'' MATERIAI.ER » *

NOriAL tUSPLACEMRNTS TIME O.OOOOOE+00

O I

W K1

NOIiF

201 202 203 204 205 206 207 2oe 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 2*11 T:)O

2'23 224 225 226 ir>"?

228 T29

230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250

1 COORIi 0.5556 o.6in 0.6667 0.7222 0.7778 0.B333 0.8889 -0.9444 l.OOOO 0.5556

• 0.6111 0.6667 0.7222 0.7778 "0.8333 0.8889 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111 • 0.6667 0.7222 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111 0.6667 0.7222 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111 0.6667 0.7222

. 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000

• 0.5556 0.6111 0.6667 0.7222 0.7778

2 COORn 0.5556 0.6111 0.6667 0.72.72 0.777B 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000 0.5263 0.57B9 0.6316 0.6812 0.7368 0.7895 0.8421 0.8947 0.9'!74 0.4971 0.5468 0.5965 0.646? 0.6959-0.7456 0.7953 0.8450 0.8947 0.4678 0.5146 0.56)4 0.6082 0.6550 0.701.R 0.74P5 0.7953 0.8421 0.4386 0.4825 0.5263 0.5702 0.6140 0.6579 0.7018 0.7456 0.7895 0.4094 .0.4503 0.4912 0.5322 0.5731

1 HEBF'L 0.20'l7E + 03 0.1649F+03 0.1290E+03 0.9730E+02 0.7040E+02 0.4B78E+02 0.3291E+02 0.2323F+0? 0.2000E+02 0.2155E+03 0.1759F. + 03 0.1396F+03 0.1073E+03 0.7934E+02 0.5619E+02 0.3832E+02 0.2615E+02 0.2000E+02 0.2263F+03 0.1B66F+03 0.1501F+03 0.1171E+03 0.8811F+02 0.6351E+02 0.4368E+02 0.2905E+02 0.2000E+02 0.2371E+03 0.1972E+03 0.1604F+03 0.1268F+03 0.96P2F+02 0.7075F+02 0.4P99E+02 0.3195F+02 0.2000E+02 0.2480E•^03 0.2077E+03 0.1705F+03 0.1364E+03 O.IO54F+03 0.7788E+02 0.542')F + 02 0.34e2E+02 0.2000E+02 0.2588E+03 0.2181F+03 0.1805E+03 0.1157E+03 0.1138E+03

MEF * * PLACA TCftMICA-S MATIÍRIAI.ES * »

• NODAL DISPLACFMFNTS TIME O.OOOOOF+00

n I

W

NODE 25j 252 253 254 255 256 257 25B 259 260 261 262 263 264 265 266 267 269 269 270 271 272 273 274 275 T7 ¿

277 278 279 290 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300

1 COORD 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111 0.6667 0.7222 0.7778 0.8333 ..0.8RB9 0.9444 1.0000

.0,5556 0,6113 0.6667 0,7222 •0.7779 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000 0.5556 0,6111 0,6667 0,7222 0.7778 0.8333 0.8889 0,9444 1,0000 0,5556 0,6111 0,6667 0,7222 0,7778 0.8333 0.8889 . 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111 0.6667 0.7222 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000 0.5556

2 COORIi 0.6140 0.6550 0.6959 0.736fl 0.3801 0.4t81 0.4561 0.4913 0.53?? 0,570? 0.6082 0,646? 0,684? 0,3509 0.3860 0.4211 0.4 561 0.4912 0.5263 0.5614 0.5965 0.6316 0.3216 0.3538 0.3860 0.4181 0,4503 0.4825 0,5146 0,5468 0,5789 0.2924 0,3?16 0,3509 0.3801 0.4091 0.4386 0.4678 0.4971 0.5263 0.2632 0.2895 0.3158 0.342t 0.3684 0.3947 0.4211 0.4471 0.4737 0.2339

1 riFSPL O.P490F+02 0.5943F+02 0.3767F+02 0.2000F+02 0.2694E+03 0.2281F+03 0.1903F+03 0,1548F+03 0.1220F+03 0,9179F+02 0.6454F+02 0.1050F+02 0.2000E+02 0.2797F+03 0.2384E+03 0.1999e+03 0.1638F+03 0.1300F.+03 0.9853F+02 0.6955F+02 0.4328F+02 0.2000F+02 0.2896E+03 0.2480F+03 0.2091F+03 0.1724F+03 0.1377E+03 0.t051F+03 0.7445F+02 0.4602F+02 0,?000E+02 0,?990F+03 0,?573F+03 0,2l80F+03 0,1807E+03 0.1152F+03 0,1114F+03 0,79l9E+02 0,4R68E+02 0,?0O0F+O2 0,3079F+03 0,2660F+03 0,2264E+03 0,1886F+03 0.1523E+03 0.1171F+03 0.B374F+02 0.5125F+02 0.2000F+02 0.3162F+03

W

MEF t* PLACA TERMICA-2 MATERIALES * *

NODAL tUSPLACEMENTS TIME O.OOOOOE+00

O I

NODF 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 32? 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 34? 343 344 345 346 347 348 349 350

1 COnRíi 0.6Í11 0.6667 0.7222 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111 0.6667 0.7??? 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111 0.6667 0.7222 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111 0.6667 0.7222 0.7778 0.8333 0.8839 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111 0.6667 0.7222 0.777B 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111 0.6667 0.7??? 0.7778 0.8333

2 COORIi 0.2573 0.2R07 0.3041 0.3275 0.3509 0.3743 0.3977 0.4211 0.2017 0.??5] 0.2456 0.2661 0.2865 0.3070 0.3275 0.3480 0.3681 0.1754 0.1930 0.2105 0.2281 0.2456

- 0.263? 0.?807 0.2982 0.3158 0.146? 0.1608 0.1754 0.1901 0.2017 0.7193 0.2339 0.2 4 85 0.2632 0,1170 0.1287 0.1404 0.1520 0.1637 0.1751 0.1871 0.19R8 0.2105 0.0877 0.0965 0.1053 0.1140 0.1228 0.1316

. 1 riFBPL 0,2741E+03 0.2342E+03 0.1960E+03 0.1590F+03 0.1231E+03 0.8805E+02 0.5370F+02 0.2000E+02 0.3237F+03 0.?ei6E+03 0.2111E+03 0.?0?7F+03 0.1652E+03 0.1284E+03 0.9205E+02 0.5600E+02 0.2000F+02 0.3304E+03 0.2882E+03 0.7479E+03 0.2088E+03 0.1707E+03 0.1331E+03 0.9570E+02 0.5810E+02 0.?OOOE+02 0.3362E+03 0.?940E+03 0.2535E+03 0.2)4?E+03 0.1756E+03 0.1373E+03 0.9892E+02 0.5997F+02 0.2000F+02 0.3411F+03 0.2988E+03 0'.?5P2E + 03 0.21S6E+03 0,1797E+03 0.1409E+03 0.1017F+03 0.6157E+02 0.2000E+02 0.3419E+03 0.3027E+03 0.2619E+03 0.27?2E+03 0.1830E+03 0.1437F+03

HEF * * PLACA TfíRMtCA-2 HATERIAl.TS »*

NOriAL inSFLACFMFNTS TIME O.OOOOOF+00

NODE

351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380

1 COORD 0.8BB9 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111 0.4667 0.7??? 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111 0.6667 0.7222 0.777B 0.8333 0.88P9 0.9444 l.ÓOOO 0.5556 0.6111-0.6667 0.722? 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000

2 COORD 0.1404 0.1491 O.íf.79 0.0585 0.0643 0.0702 0.0760 0.0f?l9 0.0877 0.0936 0.0994 0.1053 0.029? 0.0322 0.0351 0.0380 0.0409 0.Ó439 0.046B 0.0197 0.0526 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 rjESFL 0.1039E+03 0.6285R+02 0.2000E+02 0.3177e+03 0.3054F+03 0.2647f; + 03 0.7248F+03 0. 1B53E+03 0,145BE+03 0.1055F+03 0.6380E+02 0.2000F+02 0.3494F+03 0.307tE+03 0.2663E+03 0,2264R+03 0.Í86PF+03 0.1470E+03 0.J064E+03 0.6137E+02 0.2000F+02 0.3500F+03 0.3077E+03 0.2669E+03 0.2269E+03 0.1873E+03 0.1474E+03 0.1068E+03 0,6457F+02 0.2000E+02

n K1

o

141

RESULTADOS DE LOS CÁLCULOS s Conducción lineal-

radiación.

(Aplc. Numr. III>.

C-26

MEF ** PLACA TFR:MICA-2 MATERIALES **

PROPIRDAriES MATFRtAL

MATERIAL SFT 1 PARA ELEMENTO TIPO LINFiAR HEAT CONDUCTION EI.EMENT

CONnUCTIVITY 0.20000E+01 PLAN AMALYSIS

SPECIFIC HEAT

MATERIAL SET 2 PARA ELEMENTO TIPO LINEAR HEAT CONOIJCTION ELEMENT

CONDUCTIVITY 0.30000E+01 PLAN ANALYSIS

SPFCIFIC HEAT

MATERIAL SET 3 PARA ELEMENTO TIPO 16

PLACA TFRMTCA-MATFRIAL 1

O.OOOOOE + 00 FiENSITY O.OOOOOF + 00

PLACA TERMICA-MATFRIAI. ?

O.OOOOOE+00 DENRITY O.OOOOOE+00

CONTORNO RAIiIACION ALFA O.lOOOOE-07 TEMPERATURA RADIANTE O.tOOOOE + O')

I

MEF * * PLACA TÉRMICA-? MATFRIALFS » *

MACRO INSTRUCTtONS

MACRO STATEMFNT TOL ITER TANG FORM soi.y ITFR MESH LOOP ITFR FANG LOOP ITER FORM QSNU NEXT HEXT nisp £iIBl END

NUMERO DE

.INCR CERO

CERO

BROY

VARIABLE 1 0.lOOCOE-OI O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOF+00 2.0000

O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 5.0000

O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+00 O.OOOOOF+OO 0.00-OOOE+OO

ITERACIONES = 1 FORCÉ CONÜFROFHCF

RHMAX •= NUMERO rjE

TEST 510..?r.

ITERACIONES - f^

VARIABI E ? O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+OO O.OOOOOE+00 O.OOOOOE+OO 1.0000

O.OOOOOE+OO

RN - 5 10.-^5 TOI - O.JOOOOF-04

O I

f-j • - i

PROPIltOAriCS MATFRIAL

MATERIAL SET 1 PARA fll.EMFNTO T IFO LINEAR HEAT CONOUCTION ELEMENT

PLACA TFRHICA-MATFRIAL 1

COHnUCTIVITY 0 . ? 0 0 0 0 E + 0 1 PLAN /^NAL.YSIS

SPECIFIC HEAT

MATERIAL SET 2 PARA ELEMENTO TIPO 2 LINEAR HEAT CONDUCTION ELEMENT

CONDUCTiyiTY 0.30000E+01 PLÍlN ANAI.YSIS

SPECIFIC HEAT

MATERIAL SET 3 PARA ELEMENTO TI ALFA O.tOOOOE-07 TEMPERATÍ)

**MACRO INSTRUCCIÓN 8 EXECUTED** **MACRn INSTRUCCIÓN 9 EXECUTED** NUMERO DE ITERACIONES = O .t*MACRO INSTRUCCIÓN 10 EXECUTEÜ** í*MACRn INSTRUCCIÓN It EXECUTED** KtMACRO INSTRUCCIÓN 12 EXECUTEIi**

NUMERO OF ITERACIONES - 1 .((«MACRO INSTRUCCIÓN 13 EXECUTEIi**

FORCÉ CONVERíiENCE TEST . RNMAX = 274*. 2

**MACRO INSTRUCCIÓN 14 EXECUTECX» ftMACRO INSTRUCCIÓN 15 EXECUTFIi** 1!*MACR0 INSTRUCCIÓN 12 EXECUTED**

NUMERO n'E ITERACIONES = 2 **MAr,Rn INSTRUCCIÓN 13 EXECUTEIi**

FORCÉ CONUE^RENCE TEST 2746.2 14 EXECUTED** 15 FXFCUTEÍi** 12 EXECUTED**

RNMAX -|:*MACRn INSTRUCCIÓN -(«MACRO INSTRUCCIÓN •*MACRn INSTRUCCIÓN

NUMERO DE ITERACIONES = 3 CIMACRO INSTRUCCIÓN .13 EXECUTED**

FORCÉ CONVERSENCE TEST RNMAX - 274Ó.2

l(*MACRO INSTRUCCIÓN 14 EXECUTED** r*MACRO INSTRUCCIÓN ]5 EXFCUTFD** »*M( CRO INSTRUCCIÓN 12 EXECUTED**

NUMERO DE ITERACIONES = 4 *«MACRO INSTRUCCIÓN 13 EXECUTED**

FORCÉ CONVEROENCE TEST ' RNMAX = 274<S.2

t*MACRO INSTRUCCIÓN 14 EXECUTED** í*MACRO INSTRUCCIÓN 15 FXFCUTED** t*MACRO INSTRUCCIÓN 12 EXECUTED**

NUMERO DE ITFRACIONFS = 5 **MACRO INSTRUCCIÓN 13 EXECUTED**

FORCÉ CONVERGENCE TEST RNMAX •= 2746,2

««MACRO INSTRUCCIÓN 14 EXECUTED** r«MACRO INSTRUCCIÓN 15 EXECUTED** ««MACRO INSTRUCCIÓN 16 EXECUTED** MMACRO INSTRUCCIÓN 9 EXECUTED**

NUMERO DE ITERACIONES - • O ««MACRO INSTRUCCIÓN 10 EXFCUTFD**

PO 16 RA RADI LOOP ITER

TANR LOOP ITFR

FORM

RN OSHU NEXT ITER

FORM

RN OSNW NFXT ITER

FORM

RN OSNIJ NFXT ITER

FORM

RN QSNU NFXT ITER

FORM

RN OSNU NEXT NEXT ITFR

TAÑO

ANTE

CERO

BROY

BROY

BROY

O.OOOOOE+00 DENSITY

PLACA TERMICA-MATERIAI. 2

O.OOOOOF+00 DENSITY

CONTORNO RADIACIÓN O.lOOOOE+04

BROY

BROY

CFRO

VI -VI -

VI -VI -VI =

VI -

2746.2 VI ^ VI = VI -

VI =

806.27 VI -VI = VI -

VI ^

366.26 VI -VI ^ VI -

VI =

111.21 VI -VI ^ VI -

VI -

?5,¡16 VI -VI -VI = VI -

VI ^

2.000 O.OOOOE+00

O.OOOOE+00 S.OOO O.OOOOF+00

O.OOOOE+OO

TOL O.OOOOE+00 1.000

O.OOOOE+OO

O.OOOOF+00

TOL O.OOOOE+00 2.000 O.OOOOE+00

O.OOOOE+OO

TOI O.OOOOE+00 3.000

O.OOOOE+OO

O.OOOOE+00

TOL O.OOOOE+OO 1.000

O.OOOOE+OO

O.OOOOE+OO

TOL O.OOOOE+OO 5.000 1.000

O.OOOOF+00

V2 V2

V2 V2 V2

V2

V2 -y? -V2 -

V? =

O V2 ^ V2 -> V2 -

V2 =

0. V2 -• V2 = V2 -

0. V2 -V2 = V2 +

V? -

0. V2 -V? -V2 = V.? -

O.OOOOE+OO . V2 -

O.OOOOOF+00

O.OOOOOE+00

17.00 O.OOOOE+OO

O.OOOOF+00 16.00

O.OOOOE+00

O.OOOOE+OO

.lOOOOE-04 O.OOOOE+OO 12.00

O.OOOOE+00

O.OOOOE+00

,10000E-04 O.OOOOE+OO 12.00

O.OOOOE+00

O.OOOOE+OO

)0000F-04 O.OOOOE+00 12.00

O.OOOOE+00

O.OOOOE+OO

lOOOOE-04 O.OOOOE+00 12.00

O.OOOOE+00

O.OOOOF+00

)0000F-04 O.OOOOE+00 12.00 9.000

O.OOOOE+OO

O.OOOOF+00

**MACRO INSTRUCCIÓN 12 EXECUTFn** NUMERO DE ITERACIONES - 1

**MftCRO INSTRUCCIÓN 13 EXECUTEfi** FORCÉ CONyERCiENCE TEST

RNMAX = • 2746.? **hACRO INSTRUCCIÓN 11 EXECUTEP** **HACRO INSTRUCCIÓN ]S EXECUTED** **MflCRO INSTRUCCIÓN 12 EXECUTED**

NUMERO fiF ITERACIONES = 2 **MACRO INSTRUCCIÓN j3 FXECUTEIi»»

FORCÉ CONVERCENCE TEST RNMAX = 2716.2

**MACRO INSTRDCCTOH IS EXECUTED** **MACRO INSTRUCCIÓN 16 EXECUTED»» **MACRO INSTRUCCIÓN 17 EXECUTED**

ITFR

FORM

RN ORNW NEXT ITER

FORM

RN NEXT NFXT DISP

VI =

Vi =

PROY yt -y i = y i -

VI =

0.6P7P1F-VI =

vi = vi -r

O.OOOOF+00

O.OOOOF+OO

TOL O.OOOOE+00 1.000

O.OOOOE+00

O.OOOOF+00

-02 TOL S.OOO 2.000

O.OOOOE+OO

r

t

f

r

^9

1

7

f

f

V2

V2

V2 V.? V2

V?

V2 V2 V2

-

-

0.

r-

0.

O.OOOOE+OO

O.OOOOE+OO

, JOOOOE-04 O.OOOOE+OO 12.00

O.OOOOE+00

O.OOOOE+OO

)0000E-04 12.00 9.000

O.OOOOE+00

n I

o

NOOAl. ntSPI.ftCEMENTS TlhF. O.OOOOOF. + OO

MOriF 1 n

3 1 5 6 -7

8 o

lÓ 11 12 13 14 15 16 17 18 1° 20 21 22 23 24 25 2i 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 57 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

1 cnoRii 0.1768 0.2J27 0.2486 0.2845 0.3204 0.3564 0.3923 0.4?B? 0.4641 -0.5000 0.1827 0.2179

• 0.2532 0.2RB5 0.3237 0.3590 •0.3942 0.4295 0.4647 .0.5000 0.1883 0.2230

.0.2576 0.2922 0.3269 0.3615 0.3961 0.4307 0.4654 0.5000 0.1938 0.2278 0.2618 0.2959 0.3299 0.3639 0.3979 0.4320 0.4660 0.5000 0.1990 0.2324 0.2659 0.2993 0.3328 0.3662 0.3997

. 0.4331 0.4666 0.5000

2 rooRri . 0.1768 0.2127 0.2486 0..''P4? 0.3204 0.3564 0.3923 0.42R2 0.4611 0.5000 0.1722 0.2057 0.2392 0,2727 0.3062 0.3397 0.373 2 0.4067 0.4402 0.4737 0.1670 0.J9B2 0.2293. 0.2605 0.2916 0.3228 0.3539 0.385) 0.4162 0.4474 0.1613 0.1902 0.2190 0.2479 0.2768 0.3056 0.33 4 5 0.3633 0.3922 0.42)1 0.1551 0 .1 81 P 0.2081 0.2350 0.2616 0.2882 0.3119 0.3415 0.36R1 0.3947

1 riFSPL 0.ñ328E+03 0.71)4f+03 0.6102F: + 0 3 0.5241F+03 0. 1496F + 03 0.3847E+03 0.32B2F: + 0 3

0.2792F. + 03 0.2373F+02 0.2040F+03 0.8305F+03 0.7140F+03 0.61A1F+03 0.5328F+03 0.4601F+03 0.3965F+03 0.3407F+03 0.29)9F+03 0.2197F+03 0.2]44E+03 0.8289E+03 0.7)70F+03 0.á22BE+03 0.54)6F+03 0.4706E+03 0.40B2F+03 0.353tF+03 0.3046F+03 0.2621F+03 0.2255E+03 0.8279F+03 0.7204F+03 0.6293F+03 0.5504F+03 0.181tF+03 0.4)99F+03 0.3654F+03 0.3)71E+03 O.2711F+03 0.2369F+03 0.8275F+03 0.7241E+03 0.6360F+03 0.5593F+03 0.4916F+03 O.43)4F+03 0.3777E+03 0.3296E+03 0.2B67F+03 0.24B5F+03

O I

w

0~

NOriAL n i S P l ACEMENTS TIMF O.OOOOOF. + OO

NODE 51 52 ' 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 61 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 31 82 83 84 85 86 87 S8 OCf

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

100

1 COORD • 0 . 2 0 4 0 0 . 2 3 6 9 0 . 2 6 9 P 0 . 3 0 2 6 0 . 3 3 5 5 0 . 3 6 8 4 0 . 4 0 ) 3 0 . 4 3 4 2 0 . 4 6 7 1 0 . 5 0 0 0 0 . 2 0 8 7 0 . 2 4 1 1

• 0 . 2 7 3 5 0 . 3 0 5 8 0 . 3 3 8 ? 0 . 3 7 0 5 0 . 4 0 2 9 0 . 4 3 5 3 0 . 4 6 7 6 0 . 5 0 0 0 0 . 2 1 3 3 0 . 2 4 5 1 0 . 2 7 7 0 0 . 3 0 8 8 0 . 3 4 0 7 . 0 . 3 7 2 6 0 . 4 0 4 4 0 . 4 3 6 3 0 . 4 6 8 ] 0 . 5 0 0 0 0 . 2 1 7 6 0 . 2 4 8 9 0 . 2 8 0 3

• 0 . 3 1 1 7 " 0 . 3 4 3 ) 0 . 3 7 4 5 0 . 4 0 5 9 0 . 4 3 7 2 0 . 4 6 8 6 0 . 5 0 0 0 0 . 2 2 1 6 0 . 2 5 2 6 0 . 2 8 3 5 0 . 3 1 4 4 0 . 3 4 5 4 0 . 3 7 6 3 0 . 4 0 7 ? 0 . 4 3 8 1 0 . 4 6 9 ) 0 . 5 0 0 0

2 COORIi D . ) 4 R 4 0 . 1 7 2 9 0 . 1 9 7 3 0 . 2 2 1 8 0 . 2 4 6 2 0 . 2 7 0 6 0 . 2 9 5 ) 0 . 3 1 9 5 0 . 3 4 4 0 0 . 3 6 B 1 0 . 1 4 ) 2 0 . 1 6 3 5 0 . 1 8 5 P 0 . 2 0 8 2 0 . 2 3 0 5 0.25253 0 . 2 7 5 1 0 . 2 9 7 5 0 . 3 1 9 P 0 . 3 4 2 1 0 . 1 3 3 4 0 . 1 5 3 7 0 . 1 7 4 0 0 . 1 9 4 2 0 . 2 1 4 5 0 . 2 3 4 7 0 . 2 5 5 0 0 . 2 7 5 3 0 . 2 9 5 5 0 . 3 1 5 8 0 . ) 2 5 2 0 . 1 4 3 1 0 . 1 6 1 7 0 . 1 7 9 9 0 . 1 9 R 2 0 . 2 1 6 5 0 . 2 3 4 7 0 . 2 5 3 0 0 . 2 7 1 2 0 . 2 8 9 5 0 . 1 1 6 4 0 . 1 3 2 7 0 . 1 4 9 0 0 . 1 6 5 3 0 . 1 8 1 6 0 . 1 9 7 9 0 . 2 1 4 ? 0 . 2 3 0 5 0 . 2 4 6 9 0 . 2 6 3 2

1 DESPL 0 .B?74F•^03 0 .7280F-( -03 0 . 6 4 ? 8 E - f 0 3 0 . 5 6 8 1 F • ^ 0 3 0 . 5 0 1 9 F - f 0 3 0 . 4 4 2 8 F - f 0 3 0 . 3 P 9 7 F + 0 3 0 . 3 4 l 9 F - f 0 3 0 . ? 9 P P F - f 0 3 0 . 2 6 0 2 F - f 0 3 0 . 8 2 7 8 F - f 0 3 0 . 7 3 2 1 F ^ f 0 3 0 . 6 4 9 5 F + 0 3 0 . 5 7 6 8 F • ^ 0 3 0 . 5 1 2 1 F • ^ 0 3 0 . 1 5 3 9 F - f 0 3 0 . 4 0 1 4 F - f 0 3 0 . 3 5 3 9 F + 0 3 0 . 3 1 0 8 E - f 0 3 0 . 2 7 1 7 F • ^ 0 3 O.B2P4F- f03 0 . 7 3 6 2 F • ^ 0 3

- 0 . 6 5 6 2 F - f 0 3 0 . 5 8 5 4 F ^ f 0 3 0 . 5 2 ? 0 F • ^ 0 3 0 .4618F-( -03 0 . 4 ) 2 9 F - f 0 3 0 . 3 6 5 6 F • ^ 0 3 0.3224F^)-03 0 . 2 8 3 0 F - f 0 3 0 . 8 ? 9 ) F - f 0 3 0 . 7 1 0 1 F • ^ 0 3 0 . 6 6 ? 7 F - f 0 3 0 . 5 9 3 6 F - f 0 3 0 . 5 3 1 5 F - f 0 3 0 . 4 7 5 2 F - f 0 3 0 . 4 2 3 9 F - f 0 3 0 . 3 7 6 9 F - f 0 3 0 . 3 3 3 7 F - f 0 3 0 . 2 9 1 0 F ^ f 0 3 0 . 8 3 0 0 F - f 0 3 0 .7445F-( -03 0 . 6 6 9 0 F + 0 3 0 .6016F- I -03 0.5407E-I^03 0 . 4 8 5 2 F - f 0 3 0 . 4 3 4 5 F - f 0 3 0 . 3 R 7 7 E - f 0 3 0 .3445F- I -03 0 . 3 0 1 5 F - f 0 3

O

K1

NODAL DISPI.rtCEMENTS TIME O.OOOOOE+OO

NOriF 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

1 COORfi 0.2255 0.2560 0.2865 0.3170 0.3475 ,0.3780 0.4085 0.4390 0.4695 0.5000 0.2291 0.2592 0.2893 0.3194 0.3495 0.3796 0.4097 0.4398 0.4699 0.5000 0.2325 0.2622 0.2920 0.3217 0.3514 0.3811

• o.4ioe - 0.4406 0.4703 0.5000 0.2357 0.2651 0.2944 0.3238 0.3532 0.3825 0.4119 0.44)3 0.4706 0.5000 0.2386 0.2677 0.2967 0.3258 0.354B 0.3838

.. 0.4129 0.4419 0.4710

.. 0.5000

2 cnoRn 0.1071 0.17Í5 0.1359 0.1503 0.1648 0.1792 0.1936 0.2080 0.2224 0.2368 0.0973 0.1098 0.1224 0.1350 0.1476 0.1602 0.1728 0.1854 0.1979 0.2105 0.0869 0.0,977 0.1.085 O.í193 0.1302 0.1410 0.1518 0.1626 0.1731 0.184? 0.0761 0.085) 0.0912 0.)033 0.1121 0.)?)5 0.1306, 0.)397 0.1489 0.1579 0.0647 0.0721 0.0795 0.0870 0.0914 0.)0)8 0.1093 0.)167 0.1241 0.13)6

) riFSPL 0.8310E+03 0.74P3E+03 0.6750E+03 0.6090E+03 0.5493E+03 0.4947F+03 0.4141E+03 0.3979E+03 0.3548E+03 0.3146F+03 0.8319E+03 0.7520E+03 0.6a05E+03 0.6Í60F+03 0.5573E+03 0.5034F+03 0.1536E+03 0.4074F+03 0.3643F.+03 0.3T''39E + 0 3

0.8327E+03 0.7552E+03 0.6855F+03 0.6223F+03 0.5645E+03 0.5])3F+03 0.462tF+03 0.416)F+03 0.373tE+03 0.3326F+03 0.8334E+03 0.75B0F+03 0.6ñ9ñE+03 0.627aE+03 0.5709E+03 0.5J84F+03 0.1696E+03 0.4239F+03 0.3909E+03 0.3403E+03 0.8338E+03 0.7602E+03 0.6934E+03 0.6324E+03 0.5763E+03 0.5244E+03 0.4760E+03 0.4306F+03 0.3877E+03 0.3471E+03

n

NODAL niSfl.ACFMFNTS TIMF O.OOOOOF+00

NDDE

151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 161 165 166 167 168 169 170 173 172 173 17'! 175 176 177 178 179 180 181 182 1B3 184 185 186 187 133 189 190 193 192 193 194 195 196 197 198 199 200

1 COORD

0..7414 0.2701 '6.2988 0.3276 0.3563 '6.3851 0.413P 0.1425

.0.4713 0.5000 0.2439

0.2723 0.3008 0.3292 0.3577 0.3862 0.4146 0.4431 0.4715 0.5000

0.2461 0.2743 0.3026 0.3308 0.3590

0.3872 0.4354 0.4436 0.471B 0.5000 0.248? 0.2762 0.3043 0.3321 0.3601

• 0.3881 0.4361 0.4440 0.4720 0.5000

• 0.2500 0.2778 0.3056

0.3333 0.3633 0.3889 0.4367

• 0.4444 0.4722 0.5000

2 r.OÚRÍi 0.0528 0.0586 0.0644 0.0703 0.0761 0.0819 0.0878 0.0936 0.0994 0.1053 0.0404 0.0446 0.04P9 0.0532 0.0575 0.0618 0.0663 0.0701 0.0747 0.0789 0.0274 0.0302 0.0330 0.0358 0.03R6 0,0411 0.04 4? 0.0470 0.0498 0.0526 0.0340 0.0153 0.0367 0,0181 0.0 3 95 0.0208 0.022? 0.0236 0.0?19 0.0263 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 riRSF'L 0.e338E+03 0.7617F: + 0 3 0.6963F+03 0.6360F+02 0.5807F+03 0.5293F+03 0.4833F+03 0.4362F+03 0.3934F+03 0.3528F+03 0.B334F+03 0.7621F-f03 0.6978F+03 0.63fl5F+03 0.5P39F+03 0.5330F+03 0.4854F+03 0.1405F+03 0.3979F+03 0,3573E+03 0.8324F+03 0.7A22E+03 0.69R4F+03 0.6398F+03 0.5857F+03 0.5353F+03 0.48P3F+03 0.4435F+03 0.4011E+03 0.3606F+03 0.B305F+03 0.760RF+03 0.6976F+03 0.A39SF+03 0.5P62F+03 0.5363E+03 0.4a94E+03 0.1451F+03 0.4029F+03 0.3626E+03 O.R?7?F+03 0.7579E+03 0.6955F+03 0.63R3E+03 0.5R52E+03 0.5357E+03 0.4892F+03 0,4452E+03 0,4034F+03 0.3633E+03

O

-

NOriAI. DISPLACEMENTS TIME 0,OO0O0E+O0

HOriF 201 20? 203 204 205 20A 207 20B 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 T)2 T?2

22 4 225 226 227 22B 1^9

230 231 TT T

233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250

1 CaORH •0.5556 0.6111 0.6667 0.7??2 0.7778 0.8333 0.B989 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111 0.6667 0.7222 .0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111

. 0.6667 0.7222 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111 0.6667 0.7222 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111 0.6667 0.7222 0.7778

- 0.8333 0.8889 0.9444

• 1.0000 0.5556 0.6111 0.6667

• 0.7222 0.7778

2 CnnRP 0.5556 0.6111 0.6667 0.72?2 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000 0.5263 0.5789 0.6316 0.6R42 0.7368 0.7895 0.842) 0,8947 0.9474 0.4971 0.5468 0.5965 0.6462 0.6959 0.7456 0.7953 0.8450 0.8947 0.4678 0.5146 0.5614 0.6082 0.6550 0.701R 0.7485 0.7953 0.84?] 0.4386 0.4825 0.5263 0.570? 0.6140 0.6579 0.7018 0.7456 0.7895 0.4094 0.4503 0.49)? 0.5322 0.573)

1 DESPL 0.1662F+03 0.)3)7F+03 0.1019E+03 0.7677F+02 0.5627E+02 0.4036E+02 0.2902E+02 0.?2?3E+02 0.2000E+02 0.)757F+03 0.1111F+03 0.)106F+03 0.8459E+02 0.6299F+02 0.1576E+02 0.3286E+02 0.2427F+02 0.?000F+02 0.1855E+03 0.-1504F-f03 0.1193E+03 0.9240F+02 0.6971E+02 0.5))5E+02 0.3669Et02 0.763)E+02 0.2000E+02 0.)956F+03 0.1597FtO3 0.)?80F+03 0.1002F+03 0.7642E+02 0.565'lE+02 0.4052E+02 0.2835E+02 0.2000F+02 0.2060F+03 0.)é9?F+03 0.1366F+03 0.)0R0F+03 0.331tE+02 0.619?F+02 0.4435E+02 0.3038E+02 0.2000F+02 0.2166E+03 0.1787E+03 0.)453F+03 0.1158F+03 0.8978E+02

O

un O

NOriAl niSPLACEMENTS TIMF O.OOOOOF+00

NOtiE 251

253 251 255 256 257 258 259 2Ó0 26] 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271

273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 28-1 285 286 287 288 289 290 291

293 294

296 297 298 299 300

1 CQORtí 0. 0. Ó. i. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0, 0, 1. 0, 0, íl, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, '0, 0, 0, 0, 0, 0 1 0. 0 0, 0 0 0 0 0 1 0 0 0

- 0 0 0

• 0

0 1 0

8333 8889 9444 0000 .5556 .6111 6667 7222 .7778 8333 8889 .9444 ,0000 .5556 .6111 .6667 ,722? ,7778 ,8333 ,8889 ,9444 ,0000 ,5556 ,6111 ,6667 , 7222 .7778 .8333 .8889 .9444 .0000 .5556 .6111 .6667 ,7?22 .7778 .8333 .8889 .9444 .0000 .5556 .6111 .6667 .7222 .7778 .8333 .8889 .9444 .0000 .5556

COORIi 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0, 0. 0. 0. 0, 0, 0, 0, 0, 0, .0. 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0. 0, 0, 0. 0. 0. 0. 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6140 6550 6959 7368 3801 4181 4561 4912 5322 5702 6082 6462 .6842 3509 .3860 .4211 ,4561 ,4912 ,5263 ,5611 ,5965 ,6316 ,3216 ,.3538 ,3860 ,4181 ,4503 ,4825 ,5146 ,5468 ,5789 ,2931 .3216 ,3509 .3801 .4091 .4386 .4678 .4971 .5263 .2632 .2895 .3158 .3421 .3684 .3917 .4211 .4471 .4737 .2339

0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0, 0. 0, 0, 0. 0. 0, 0, 0. 0, 0, 0. 0, 0, 0, 0. 0, 0. 0, 0. 0. 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 DESPL 6727F+02 1816F. + 02 3211F+02 2000E+02 7271E+03 1883e+03 1540F+03 1235E+03 9639F+02 7258F+02 5195F+02 3143F+02 .2000F+02 2376E+02 .1979F+03 .1626F+03 .1311E+03 .1029E+03 ,7785F+02 ,5570E+02 ,3643E+02 ,2000E+02 ,2479F+03 ,2073E+03 ,1711E+03 ,13S7E+03 ,1091E+03 ,8303F+02 ,5940E+02 ,3841E+02 ,?000F+02 , 2578F. + 03 ,2164E+03 .1791F+03 ,1460F+03 .1157F+03 .8P09F+02 .6303E+02 .4035F+02 .2000F+02 .2673E+03 .2252E+03 .1874F+03 . 1531E+03 .1218F+03 .9299E+02 .6654F+02 .4225F+02 .2000E+02 .2762F+03

O

I

o m

NODAL DISFI.ACEhENTS TIME O.OOOOOE+00

NOnE

30i 30? 303 304 305 306 307 30B 309 310 311 31? 313 314 315 216 317 31B 319 320 321 322 323 32'1

325 326 327 32B 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350

1 COORli 0.6111 0.6667

• 0.7222 -0.777P 0.8333 0.B889 0.9444 1.0000 0.5556 0.611Í 0.6667 0.7.722 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111 0.6667 0.7222 0.777B

- 0.8333 0.8889 0.9444

• 1.0000 0.5556 0.6111 0.6667

• 0.722? 0.7778 0.8333

. 0.8889 0.9444 1.0000

. 0.5556 0.6111 0.6667 0.7222 0.7778 0.3333 0.B8P9 0.9444 1.0000 0.5556 0.611) 0.6667 0.7222 0.7778 0.8333

2 CnnRfi 0.2573 0.2807 0.3041 0.3275 0.3509 0.3743 0.3977 0.4?jJ 0.2017 0.2251 0.2456 0.266) 0.2865 0.3070 0.3275 0.34PO 0.3681 0.1754 0.1930 0.2)05 0.2281 0.2456 0.2633 0.2B07 0.2982 0.3158 0.1462 0.1608 0.1751 0.)901 0.2017 0.2)93 0.2339 0.24B5 0.263? 0.))70 0.1287 0.)404 0.1520 0.)637 0.1751 0.)87) 0. 1988 0.2)05 0.0877 0.0965 0.1053 0.1)40 0.1228 0. ) 3) 6

1 fiESPL 0.2335E+03 0.)950F+03 0.1599E+03 0.)276E+03 0.9767E+02 0.699)E+02 0.4406E+02 0.2000E+02 0.2R41E+03 0.24J2E+03 0.2020E+03 O.)662E+03 0.1330E+03 0.)021E+03 0.7307E+02 0.457BE+02 0.2000E+02 0.?9)7E+03 0.2181E+03 0.20B4E+03 0.1719E+03 0.1379E+03 O.lOAlE+03 0.7597F+02 0.473AE+02 0.2000E+02 0.2982E+03 0.2542E+03 0.2140E+03 0.)769E+03. 0.1423E+03 0.3096E+03 0.7856E+02 0.4878E+02 0.2000E+02 0.3037F+03 0.2593E+03 0.2ie8F+03 0.1R12E+03 0.)460E+03 0.1127E+03 0.8078E+02 0.1999E+02 0.2000E+02 0.3080E+03 0.2634E+03 0.2226E+03 0.1B46E+03 0.1490E+03 0.1151E+03

n I

W •vi

1-1

N U l i A i liJ M i ni I l"lt *< I =

NODE 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 36) 362 363 364 365 366 367 368 369 370 37) 372 373 374 375 376 577 378 379 380

**MAr.RO I DATOS

1 COORH 0.8889 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111 0.6667 0.7?.22 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000 0.5556 0.6111 0.6667 0.7222 0.7778 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000 • 0.5556 0.6111 . 0.6667 0.722? 0.7778

• 0.8333 0.8889 0.9444 1.0000

NSTRUCCION 18 DEL PRF.PROr.FñO

1 Inh

2 nnnRD 0.)404 0.1191 0.1579 0.0585 0.0643 0.0702 0.0760 0.0819 0.0877 0.0936 0.0994 0.1053 0.029? 0.0322 0.035) 0.0380 0.0409 0.0439 0.0468 0.0497 0.0526 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 ,0000 .0000 .0000 ,0000

0. 0. 0. 0. 0.0000

EXFCUTF.D»» GRÁFICO

1 DFSPL 0.e?57F. + 02 0.5098R+02 0.2000E+02 0.31t2F+03 0.2664F+03 0.2253F+03 0.)P71F+03 0.1512E+03 0.1169F+03 0.83a8E+02 0.5)70F+02 0.2000F+02 0.3131F+03 0.2682F+03 0.??70F+03 0.1887F+03 0.)525F+03 0.1180F+03 0.8469F+02 0.5215F+02 0.2000E+02 0.3137E+03

. 0.26P8F+03. 0.2276E+03 0.)B92E+03 0.1530F. + 03 0.)1P4F+03 0.8496E+02 0.5230E+02 0.2000E+02

DJP)

15.0 . )5.0 NC= 16 201 1. 21 4t

18) )9) 380 ?09 NO.DE VALORES 7 V.MTN=

MAI.IA: F 61 81

201 37? 20.00

yi = O.OOOOF+00 » V?

FIFMFNTOS: F 161

720.00

) .000

NODOS: F

101 121 1 1-

V.MAX-^

n I

05

154

APÉNDICE D

PROGRAMACIÓN

D.l INTRODUCCIÓN

El programa utilizado en el tratamiento por ordenador de |

i los problemas no lineales descritos en la memoria, ha sido el |

MINIfiEF (.*') el cual es una ampliación del presentado por Taylor =

i

C19D, y al que principalmente se ha incorporado las subrutinas i

siguientes en la realización del presente trabajo : |

3

ELMT15 Elemento de conducción de calor no lineal K = K + K u g o 1

ELMT16 Elemento de radiación en la frontera.

Ambas subrutinas determinan las matrices elementales y

vectores de fuerzas correspondientes a la formulación de los

problemas por el método de Newton y método del punto fijo.

QNBR Implementación del método de Quasi-Newton Broyden.

QNBFG2 Implementación del método de Quasi-Newton BFGB

adaptación en forma de producto.

D—1

155

QNBFGS Implementación del método de Quasi-Newton BFGS

formulación original.

El aspecto básico del programa global es un lenguaje de

macroinstruciones a utilizar para elaborar módulos especificos.

El macrolenguaje esté asociado a un conjunto de subprogramas

compactos, pensado cada uno de ellos para calcular uno ó algunos

de los pasos básicos del proceso de resolución mediante el método

de los elementos finitos. Asi tenemos, por ejemplo, las

siguientes macroinstrucciones :

TANG

UTAN

FORM

SOLV

CONV

QSNW

Forma la matriz de rigidez ó tangente simétrica.

Forma la matriz de rigidez ó tangente asimétrica.

Forma el segundo miembro de las ecuaciones.

Resuelve las ecuaciones.

Comprueba la convergencia.

Resuelve el sistema por métodos de Quasi-Newton.

O ) MINIMEF Depto. Cale. Numer. é Inform. ETSI Minas, U.P. Madrid

D-2

•156

D.2 LISTADOS

A continuación se adjuntan las principales subrutinas

incorporadas al MINIMEF señaladas anteriormente, indicando en

primer lugar las variables más significativas.

RELACIÓN DE VARIABLES

NUMNP

NUMEL

NUMNAT

NEN

NEL

NDM

MA

lEL

IX (*, * :>

xLt:*,*)

NDF

ULC*)

TLC*!)

NEQ

NST

I D O )

se*,*:)

SG, TG

Numero de nodos

Número de elementos

Número de tipos de materiales

Número máximo de nodos conectados a un elemento

Número de nodos del elemento

Dimensión espacial del problema

Número del tipo de material

Número del tipo de elemento

Conexiones nodales del elemento

Coordenadas nodales

Número máximo de grados de libertad en un nodo

Desplazamientos nodales

Temperaturas nodales

Número total de ecuaciones

Tamaño de las matrices -de los elementos

Matriz de condiciones de contorno para cada nodo

Matriz del elemento

Puntos de integración en las coordenadas naturales

D-3

157

SHPd,*) Derivada con respecto á la coordenada x. de la

función de forma

SHP(:2,*) Derivada con respecto a la coordenada y de la

función de forma

SHPC3,*) Funciones de forma

XSJ Determinante del jacobiano

PC*) Vector de fuerzas

D-4

SUP.ROllTJrJF El HT 1 5 ( Fi»IH » XI » J X » TI.» S > P » NfiF » NFiH 7 NST r JF-Ij > » * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * t 158

E]pnier i to de c o n d u r r i o n cip r a ] o r no ] i r iPí»} * K=KO+Kl* l *

CONhON/CriATñ/ O » H E A D ( 20 ) » NUMNP » NIJMEL f NUMNAT » NFN » NFQ 7 IPR COMMON/FLDATA/ DM » N » MA » MCT » JFL. f NFL COMMON/PRL.nii/ PROP DIMENSIÓN r i ( * ) »UI ( * > » X l ( NTiM , * ) » JX ( * ) » TI ( * ) , S ( NST » * ) » P ( * ) »>

1 S H P ( 3 f 9 > » S n ( 9 ) 7TG(9 ) »WG(9) fWL.AÍt(2) COMHON/NLILOG/NL.»NE DATA Ui.AB/4HPLANf HAXIS/

TRANSFIERE AL PROCESADOR CORRECTO GO TO (If2»372f5f6)JISW

ENTRA PROPIEDADES DEl MATERIAL I<(l)=Ko D(2)-:Kl D(3)=c DO)^ . - KAT = 1 1 READ(NL»1000) D(J)»D(?)»D(3),D(4)»MPF»KAT»L

URI TE(NE » 2000) D(I)7 D(2)7 D(3);D(4) IF(L.LE.O,OR.L.GT.S) 1=3 D(5)=L D(3)=D(3)*D(4) IF(MPF.NE*0) THEN

D(é)=0. ! Mptodo dpl punto fi.io ELSE

D(é)-1. ! Método dp Npwton ENDIF IF (KAT»NF.2) KAT=1 URITE(NE72001) WLABCKAT) RETURN

INSERTA COMPROBACIÓN DE LA MALLA SI SE DESEA 2 RETURN CALCULA LA MATRI7 DE RIGIDEZ XrrJ I i ie r mipmbro de I s p r u p c i o n ) -3 L^D(5)

1F(L*L.NE.LINT) CAl 1. PGAUSS ( L 7 L INT 7 SG » TG 7 U6 ) DO 103 L--^l7LINT CALL SHAPE(SG(L)7T6(L)7XL >SHP7XSJ7NDM7NEL7IX7.FALSE.) XS.J = XSJ*UG(L) IF (KAT.NE.2) GO TO 101 RR = 0. DO 3 00 1=17NEL RR=RR+SHP(37l)*XL(l7l)

100 CONTINUÉ XSJ=XSJ*RR

101 T=0. TX = 0, TY = 0, DO 3 04 J=l7NEL T - T + ÜL(.J)*SHP(37 J) TX = TX + UL(J)*SHP(3 7J)

lO'í TY=TY + UL(J)*SHP(2 7 J) DO JO? J=í 7NEI. Al = ( (D(l)+D(2)*T)*S'HP<l7 J)+D("6)*D(2)*SHP(37J)*TX)*XSJ A2^((D(I)+D(2)*T)*SHP(2 7 J)+D(6)*D(2)*SHP(3 7 J)*TY)*XSJ DO 102 1=17NEL S(l7J)=S(l7J)+A1*SHP(3 7l)+A?*SHP(27l)

102 CONTINUÉ • 103 CONTINUÉ

RETURN

CALCULA LA MATRIZ DF CAPACIDAD CALORÍFICA (MASA) 5 L=D(5)

IF(L*L.NE.LINT) CALL PGAUSS(i 71 INT7SG7TG7UG) DO 205 L=17 LINT D-5

L M L l t ,Mrt | - t ^ M.-> U / f I h U ; r XI » .'••Hl-' t A . s . l » NJID» N H > .1 A r . h lll, M: . }

XS.J=XS.J*Un(L) 159 I F ( K A T . N F . ? ) nn TP 204 RR = 0 . DO 2 0 3 J = 3 , N E L R R = R R + S H P ( 3 » T ) * X L ( l » I >

203 CONTINUÉ XSJ = XS.J*RR

204 no 205 J=1»NFL SHJ = D ( 3 > * S H P ( 3 » J ) * X S J P < J ) = P ( J ) + S H J DO 2 0 5 l = l f N E L S ( I » J ) = S ( J » J ) + S H J * S H P ( 3 T I )

205 CONTINUÉ RETURN CALCULA VECTOR (sesundo mipnihro de l3 ecuarjnn)

6 L:^D(5) IF<L*L.NE.L.INT) CAl.L PGAUSS (I »I INT » SG , TG» WG ) DO 305 l.= l»LINT CALL SHAPE(SG(L)»T6(L)»Xl.»SHP»XSJ»NDM»NEL f IX»,FAI..SE.) XS.J=XSJ*WG(L) IF (KAT.NF.2) GG TO 401 RR=0. I DO 400 I=lfNFL i RR = RR + SHP(3rI)*XL(lf I) |

400 CONTINUÉ | XS.J = XSJ*RR g

401 T=0. _ § TX=0. I

a .TY = 0, 1 DO 402 1=1FNFL - • I

SHJ-SHP(3»I)*XSJ • ' I T = T+UL(I)*SHP(3»I) i TX=TX+UL(I)*SHP(lfI) I

402 TY=TY+UL(I)*SHP<2»I) f A1=(H(1)+D<2)*T)*TX*XSJ I A2=(D(])+D(2)*T)*TY*XSJ f DO 403 I=líNEL

405 P(I)=P(I)-A1*SHP(1íI)-A?*SHP(2rI) 305 CONTINUÉ

RETURN FORMATOS

1000 F0RMAT(4FJ0.0»3I5) 2000 F0RHAT(5X,' NON LINEAR HFAT CONDUCTIGN El. FMFNT ' //5X»

1 'CONDUCTIVITY Ko '»E12.5»5X,'CONDUCTIVITY Kl'fE12•5;5Xf'ñPEC 2 HEAT 'JF12.5, 5Xf ' DFNSITY '»F12.5 )

2001 FORMAT (10XfA4,' ANALYSIS') END

D-6

SUBROUTINF Fl.MT 1 6 ( n » UL » XI F J X » TI.» S i P » NDF F NDH t NST » J SW ) ^ , „ 160

EleniCínto bn r rc? -cié r a r i i a c i o r i RH I s f r o n t p r n - n o l i n e . - ; ! -

COhHON/r.r iATA/ O » HFAfi ( ?0 ) » NUMNP f NDMFl. , NUMMAT » NFN f NFH » JPR COMMON/FLDATA/ D M » N f h A f M C T ; l E L » N F L COMMON/PRLOn/ PRDP DIMFNSION r . i ( * ) » L l l . ( * ) » XL ( 2 » ? ) t I X ( * ) » TI ( * ) » P ( * ) »RHP(?;»2) »

lSG-(2) » S ( N S T » * ) COMMON/NLIl.OG/NL.»NE DATA S G / 1 . , - l , / TRANSFIERE Al PROCESAUnR r.nRRFCTCi GO TO ( I , 2 f 3 f 2 » 5 » 6 ) f ISU ENTRA CONSTANTE TiE P0LT7MANN < Al FA ) Y TEMPERATURA ( FOCO

CALIENTE) IKl) = ALFA D(?)=TFMP.

1 READ (NLflOOO) IK I)fD(2)»MPF URTTF (NE»2000) P(5)»H(2) D ( 2 ) = D ( 2 ) * D < 2 ) * D ( 2 > * D ( 2 > ri(2) = D<l>*ri(2) D(3)=4, Ihetodo de Newton IF(MPF.EQ.l) D(3)=l. ¡Método de punto fiJo 6=]./SQRT(3. ) RETURN INSERTA COMPROBACIÓN PE LA MALLA SI SE HESFA

2 RETURN CALCULA MATRIZ ( A ) ( F - r i m e r n n e m b r o de ] r. ecuf ;c . - ¡on)

3 DO 102 L-^l»2 CALL SHAPO < SG(L)*6 » XL » SHP » XSJ) T = 0» DO 100 J = j »NFL T = T + UL'( J)*SHP(3> J>

iOO CONTINUÉ XSJ^D(3)*D(1)*T*T*T*XSJ DO 102 J^1»NEL DO J02 I=1»NEL S(I» J)=S(If J)+SHP(3 »I)*SHP(3 » J)*XSJ

102 CONTINUÉ RETURN CslcuJs e] 5e5íundo miembro de ] r ecMscion

¿ DO 110 L^lf2 CALL S H A P 0 ( S G ( l . ) * G i X L , S H P J X S J )

DO 310 I = l f N E L 310 P ( I ) = P ( I ) + P R 0 P * D ( 2 ) * S H P ( 3 f I ) * X S J

f u e n t e s r e s i d i J 3 l ( ? s de c o l o r T = 0 . DO 200 J = j »NEL T = T + UL(.J>*SHP(3f J)

200 CONTINUÉ T=T*T*T*T XSJ=D(1)*T*XSJ DO 220 J=lfNEL P(J) = P(J)-SHP(3»J)*XSJ

220 CONTINUÉ 110 CONTINUÉ 5 RETURN

FORMATOS . 1000 FORMAT <2F10,0»I5) 2000 FORMAT (5X» 'AlFA '»E12»5f5X» ' TEMPERATURA RADIANTE 'f

1E12,5 ) END

D-7

SUPR-nUT INE QNBR ( A » r.» riR » B f n , n» R » riFl » JDIAP f NFO f IMAX F J TFR » CFR ) C 0 M « 0 N / S A C 0 / R 0 ( 2 : 3 f i 7 ) DIMENSIÓN A( J ) » r . ( l ) » r i R ( . 1 ) »P . (1 ) » r i ( l ) f Q ( 3 ) f . i r i J A G ( ] ) DIHENSION HEUHEQrl) tRUlEQtí) LORICAL CFR

161

C IniF-lenientscion de], método de cuas i -newtnri "brnvtdpn' rnr3 C C

C C C

resolución de sistemas no lineales

IF(JTFR.En*l) THEN IF(CFR) THEN

CALI. UACTCl (A»r»riR»jriIAG»NFn» .TRUF. » .TRUF. ) ELSE

CALI. ACTCOL(A»DRf JniAGfNFn» .TRUF. » .TRUF. ) ENDTF DO 100 I=lfNFÜ

B(I)=B(T)+nR(I) D(I)=-DR(I>

100 CONTINUÉ

almaceno el incremento de ]a primerc aproKimacion

ELSF JF(ITFR.GF.2) THFN IF(CFR) THEN

CALL UACTCL(A»C»nR»JDIAG»NFn».FALSF.».TRUF.) ELSE

CALI. ACTCOL ( A » DR » JD J AG » NFQ > .FALSE. > .TRUF. ) ENDTF DO 3 10 I=1»NFQ

Q(I)=-DR(I) 110 CONTINUÉ

K=JTER-1 IF(K.EQ.l) GO TO 200 DO 120 J=1»K-1

P = D0T(DFL(.1 » J) íR(l) FNFQ) P=P*R0<J) DO 3 30 1 = 3 íNFQ

Q(I)=0(I)+P*(DFI(J»J)-R(J»J)) CONTINUÉ

CONTINUÉ DO 140 1=1»NEO

R(I»K)=Q(I)-D(I) DEL(I»K>^-D(T)

CONTINUÉ P=DnT(DFI(3»K)»R(3FK)íNFQ) R0(K)^1./P P=D0T(DEL(1»K)»Q(3)»NFQ) P=RO(K>*P DO 150 1 = 3 »NFQ

D(I)=Q(I)+P*(DEL(I» K)-R(I» K) ) B(I)^B(I)-D(I) DR(I)=-D(I>

150 CONTINUÉ ENDIF RETURN END

130 120 200

140

D-8

SUPROUTÍNF QNPFP?(A»n»riRfP»F»FF»GAM»riFl » V » U ».IFU AG » K'FQ f IMAX » . ^ lITFRfCFR) DIMFNBION A( J ) »n(3 ) »riR(l ) ,P(3 ) »F(] )»FF(3 ) »GAH(.1 ) rUFl ( J ) DIMENSTDM V ( NEQ 7 1 > f W ( NFQ »1 ) JDIAGd) LORir.AL CFR

C IFdTER.Fn.l ) THFN

C -- Proteser el v^lor de FdJo) DO 3 00 J=lrNEQ

F(I)=-DR(I) 100 CONTINUÉ

C -- calcula la prjniera iteracjon por npwton IF(CFR) THEN

CALI. UACTCI <A»C»riR»JriIAG»NFQ».TRUE.».TRllF. ) ELSE

CALL ACTCOL(A»riR» jriTAG»NEQ» .TRUF. » .TRUF. ) ENDIF DO 110 J=1»NFQ

B(I>=B(I)+DR(I) DEL(I>=-DR(I)

110 CONTINUÉ ELSE J F ( T T E R , G E . 2 ) THEN

C — c n l c u l s m o s F d J i ) - F ( U i - l ) y protG?íeniO'J F d J i ) C — ( 3 = T t e r -i)

K=ITER-1 DO 120 I = l r N E Q

G A M ( l ) = - D R ( I ) - F ( I ) F F < J ) = F =-DR(I)

DR(I)= F(I) 120 CONTINUÉ

F' = D0T(DEL('3 )"»GAM(1) »NEQ) DO 150 T=1>NEQ

W(I»K)=DEL(I)/P 150 CONTINUÉ

P1=-D0T(DEL (1)»FF(3)»NEQ) P=P/P1 P=SnRT(P)

DO 200 I=l»NEQ V( J»K)=FF(J)*(3+P)-DR(J)

200 CONTINUÉ DO 300 J = K»3 »-l

P = DnT(U(3 » J) »DR(1) j NEQ) DO 2>Í0 I = 1»NEQ

DR(I)=DR( J>+V(I»vi)*P 240 CONTINUÉ 300 CONTINUF

IF(CFR) THEN CALL UACTCL(A»C»DR» JDIAGfNEQ» .FAI. BF. , .TRUF. )

ELSE CALL ACTCOL(AíDR»JDIA6»NFn».FAl SE.».TRUF.)

ENDIF DO 400 J=1»K

P = D0T(V(3 »J)fDR(l)íNEQ) DO 350 I=lfNEQ

DR(I)=DR(I)+W(I»J)*P 350 CONTINUÉ 400 CONTINUÉ

DO 500 I=lfNEQ DEL(I)=-DR(I) DR(I>=-DR(I) D-9 B(T)=P(I)+nR(I)

DOO l.,UN I J. NUt

E N f í I F

RFTURN ENti

1 6 3

D—10

SUPRnUTlNF. ONPFGS(A»r.»riR»P»F»riAH»riFI »,iriJAn»NFn> JMAX» ITFRf CFR) CÓMMnN/SAnO/Rn(7R6> »ALFA(7Brt> ,FtFTA<7Rr;) '^^^ niMFNSION A(l ) »r.<l ) »riR(l ) »F((1 )»F(1 ) »riAH(NFn»J )»riFl.(NFn»] ) DIMENSIÓN JDIAr7(l> LOGTCAL CFK

IF(JTFR.EQ.l) THFN -- Prote'Sor el valor de F(üo) DO 100 1=1»NFQ

F(T)=-DR(I> 100 CONTINUÉ

C -- rsJcu]? IB primera iteración por newton IF(CFR) THEN

CALL UACTCL(A»C»DR»JDJAOrNFn».TRUF.».TRUF.) ELSE

CALL ACTCOL(A»DRfJDIAfi»NFQF «TRUF.».TRUF.) ENDTF DO 110 I=1»NFQ

B(I)=B(I)+DR(I) DEL<I»1>=-DR(I)

110 CONTINUÉ ELBE I F ( J T F R . n F . 2 ) THEN

C — c s I c i j l a m o G F ( U i >-F ( U i - 1 ) y proteit{7ii io<5 F ( U i ) C — ( 3 - I t e r - 1 )

K = I T E R - 1 DO 120 I=1»NFQ

G A M d f K ) ^ - D R ( I ) - F ( I ) F< J ) = - r i R ( I ) D R ( l ) = F ( I )

120 CONTINUÉ P = riOT ( DFl ( 1 » K ) » PAM (1» K ) f NFQ )

- RO(K) = l . / P ' . . . P = D O T ( D E L ( 1 f K ) » D R < 1 ) » N E Q ) A L F A ( K > = R O Í K ) * P DO 130 J = K » 1 » - l

DO 140 I -^ l^NEQ DR( J)=DR(I)-AL.FA(J)*6AM(I» J)

140 CONTINUÉ 130 CONTINUÉ

IF(CFR) THEN CAL.L UACTCl . (Af Cf DRí j n i A C i f N F O » . F A L S F . » .TRUE. )

ELSE CALL ACTCOi ( A » D R » J D I A G » N E Q » . F A L S F . » . T R U E . )

ENDIF DO 150 J = l r K

P=nOT(GAM<l»J)»DR(1),NEQ) BETA( J)-- RO( J)*P P=ALFA(J)-BFTA(J> DO 160 I=l7NEQ

DR<I)=riR(I)+nEl. (I» J)*P lóO CONTINUÉ 150 CONTINUÉ

DO 170 I- lfNEQ D E L ( I » I T E R ) = - n R ( I )

D R ( I ) = - D R < I ) B ( I ) = P ( I ) + D R < T )

170 CONTINUÉ ENDIF RETIJRN END

D-11

.165

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