FACULTAD DE INGENIERÍA

PROF. M.A. FRANCISCO JOSÉ CASTILLO CORTÉS

GRUPO 2

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Í N D I C E

OBJETIVOS………………………………………………………………2

INTRODUCCIÓN Y MARCO TEÓRICO…………………….2

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA………………………5

DESARROLLO………………………………………………………5

ANÁLISIS DE RESULTADOS……………………………………8

APLICACIONES FÍSICAS DE LA INTEGRAL DOBLE……9

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CONCLUSIÓN………………………………………………………10

REFERENCIAS………………………………………………………10

Objetivos

-Conocer la importancia del Cálculo Vectorial en el campo de la ingeniería.

-Aplicar el Cálculo Vectorial para la resolución de problemas comunes en la industria y observar lo útil que puede ser.

Introducción

El Cálculo Vectorial está presente todo los días ya que gran mayoría de fenómenos físicos es posible llegar a su representación por medio de vectores con los cuales trabaja el Cálculo Vectorial, además de que esta muy involucrada en el área de Cinemática y Dinámica.

En este trabajo se plantea un problema donde por medio de la aplicación del Cálculo Vectorial será posible llegar a su correcta resolución y mostrar la importancia y utilidad que este tiene y la cantidad de herramientas que aporta para complementar nuestra formación.

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Respecto al problema que se abordará será respecto a las siguientes temáticas:

- Máximos y mínimos

- Volumen de un cuerpo por medio de integrales

Máximos y mínimos

Un número M es lo máximo de una función f=f( ), donde =(x1,x2,x3,…,xn), sobre un conjunto Df que pertenece a ℝn si para cualquier punto en Df se

tiene que . Los mínimos absolutos y los mínimos relativos se definen de forma similar.

A los máximos y mínimos absolutos y relativos de una función se les llama extremos.

Al igual que para las funciones de una sola variable, antes de obtener los valores extremos se deben encontrar los puntos críticos de la función. Un punto crítico es aquel en el cual la primera derivada es igual a cero, pues esto significa que la pendiente de la recta tangente es igual a cero, pero en el caso de funciones de varias variables, se estudiaron dos tipos de derivadas: las derivadas parciales y la derivada direccional.

Para que la derivada direccional en un punto sea igual a cero en cualquier dirección, debe cumplirse que el gradiente de la función es igual al cero

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vector, es decir:

Por otro lado una función puede presentar un punto crítico cuando el gradiente de la función no exista para un punto del dominio de la función.

La forma más generalizada de resolver problemas de máximos y mínimos con restricciones es mediante el método que propuso Joseph Louis Lagrange.

Cuya ecuación es:

F=F+ λ1g1+λ2 g2+…

De donde:

F es una función escalar.

F es la función objetivo (la que deseo optimizar).

G es la restricción y por lo general deberá estar igualada a cero.

Λ son los multiplicadores de Lagrange.

Volumen de un cuerpo por medio de integrales

Para realizar esto, se debe de tener lo siguiente:

∫a

b

∫c

d

f ( x , y )dA

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De donde f(x,y) es una función continua en la región Rxy que es el dominio de la función. Da es el diferencial de área que se puede representar como dxdy o dydx. Y los extremos de las integrales serán correspondientes a lo que son los limites de la función respecto a x y respecto a y.

Planteamiento del problema

Para demostrar la aplicación de estos conceptos se tiene el siguiente problema a resolver:

Se desea construir un tanque de almacenamiento, que tenga una capacidad de V0 con forma de cilindro circular recto de altura h y radio r. Calcular la altura h del cilindro y radio r de manera que la superficie total sea mínima.

Desarrollo

Se tendría un cuerpo similar al siguiente:

r

h

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Entonces nuestra función objetivo sería:

Superficie=f=2 π r2+2πrh

Y la condición:

g (r , h )=V 0=π r2h

Con esto se tendría la función:

F=2π r2+2 πrh+λ(π r2h−V 0)

Y entonces obteniendo cada una de las derivadas parciales:

F r=4 π r+2πh+2 λπrh=0 ………(1)

Fh=2πr+ λπ r2=0………(2)

F λ=π r2h−V 0=0 ………(3)

De la ecuación 2, podemos conocer el valor de λ:

λ=−2r

Sustituyendo el valor de λen la ecuación 1:

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F r=4 πr+2πh+2(−2r )πrh=0F r=4 πr+2πh−4 πh=0

F r=4 πr=2πh

F r=2 r=h

Y ya conociendo la relación entre r y h, se sustituye en la ecuación 3:

F λ=π r2(2 r)−V 0=0

F λ=2π r3=V 0

F λ=r=3√ V 02π

Y por lo tanto:

h=¿ 23√ V 02 πEntonces se habría obtenido un punto crítico:

P(r,h) = P( 3√ V 02π ,2 3√ V 0

2 π )Si sabemos que h=2r, se sustituye en la función objetivo:

f=¿ 2π r2+2 πr (2 r)

f=¿ 2π r2+4 πr2

f=¿ 6 π r2

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Entonces para conocer si es un valor mínimo, se usa el criterio de la segunda derivada:

f '=12πr

f ' '=12 π

El valor de la segunda derivada es mayor a cero, por lo tanto existe un punto mínimo en el momento que h=2r, punto que sabemos es:

( 3√ V 02π ,2 3√ V 0

2 π )

Por lo que para finalmente conocer el valor mínimo que puede tener la superficie del cilindro para que pueda cumplir con las condiciones planteadas, se debe valuar el punto mínimo obtenido en la función objetivo:

f ( 3√ V 02 π ,2 3√ V 02π )=¿ 2π ( 3√ V 0

2 π )2

+2π ( 3√ V 02π )(2 3√ V 0

2π )

f ( 3√ V 02 π ,2 3√ V 02π )=¿ 2π ( 3√ V 0

2 π )2

+4 π ( 3√ V 02π )2

f ( 3√ V 02 π ,2 3√ V 02π )=¿ 6 π ( 3√ V 02π )2

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Siendo este último el valor buscado que nos indica el mínimo de la superficie del cilindro que se quiere construir.

Análisis de resultados

Se llegó al resultado deseado, por medio de 2 tópicos importantes del Cálculo Vectorial como lo son los máximos y mínimos y los Multiplicadores de Lagrange.

Se pudieron plantear las ecuaciones, aplicar derivadas parciales y resolver el sistema de ecuaciones para encontrar el punto mínimo y obtener el resultado que se buscaba de la superficie.

Considero que mediante la correcta aplicación de estos temas que son solo una parte del contenido de la asignatura, es posible ver la magnitud e importancia que pueden tener sus aplicaciones, desde la ingeniería hasta la economía, por lo que me parece pertinente mencionar algunas aplicaciones más.

Ejemplos de aplicaciones del Cálculo Vectorial

En este trabajo se vio que por medio de integrales múltiples (dobles) es posible calcular el volumen de un cuerpo, sin embargo la función f(x,y) puede referirse a cosas diferentes por lo que el resultado que obtendríamos de resolver la integral no necesariamente sería un volumen, sino cualquier cantidad de cuestiones físicas.

Por ejemplo:

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-Masa

-Centro de masa

-Momentos de inercia

Conclusión

Me pareció un trabajo de alta importancia ya que nos permite ver la trascendencia que pueden llegar a tener la asignaturas que cursamos en Ciencias Básicas ya que de aquí se apoyan las que veremos más adelante, por lo que agradezco que existan este tipo de trabajos ya que nos permite conocer las diferentes aplicaciones que puede haber y nos ayudan a darnos una idea de cómo funciona la aplicación de la teoría a una cuestión útil y práctica que se nos puede llegar a presentar en cualquier momento.

Y considero que se cumplió con los objetivos planteados en el trabajo ya que pude comprender la importancia del Cálculo Vectorial y se aplicó de manera adecuada parte de su contenido para llegar a la resolución de un problema de optimización el cual es común en el día a día. Así como también pude ver que existe en este caso particular una relación muy amplia con la asignatura

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de Cinemática y Dinámica, donde el Cálculo Vectorial facilita la resolución de los problemas encontrados ahí.

Referencias

http://recursos.salonesvirtuales.com/assets/bloques/Ba%C3%B1uelos_Saucedo.pdf

http://www.slimy.com/~steuard/teaching/tutorials/Lagrange.html

https://campusvirtual.ull.es/ocw/pluginfile.php/3965/mod_resource/content/0/tema4/13-aplicaciones.pdf