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UNIVERSIDAD “FERMIN TORO”

VICERRECTORADO ACADEMICO

FACULTAD DE INGENIERIA

CABUDARE EDO. LARA

CALCULO NUMERICO Y MANEJO DE ERRORES

Antonio Cuello

C.I: 18998765

Cabudare, Mayo 2016

Análisis numérico

El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que encargada de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.

El análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.

Metodos Numericos

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que sean resueltos con operaciones aritméticas. Aunque hay muchos tipos de métodos, todos comparten una característica común, llevan a cabo un buen número de cálculos aritméticos y emiten soluciones aproximadas.

La importancia de los métodos numéricos no radica en buscar la solución exacta de un problema, sino la aproximada pero con la precisión requerida, o sea, con un error lo suficientemente pequeño y próximo a cero, de ahí la utilidad de los métodos numéricos.

Importa también el tiempo empleado en obtener la solución y en esto ha jugado un papel importante el enorme desarrollo de la tecnología computarizada, ya que la enorme velocidad actual de los medios computarizados de cómputo ha reducido considerablemente el tiempo de obtención de la solución, lo que ha motivado la popularidad, el enorme uso y aceptación que hoy tienen los métodos numéricos. Sumémosle a ello que las computadoras son capaces de dar solución con la precisión requerida.

Numero maquina

Dado que los números reales pueden tener un número infinito de dígitos, los números reales se representan en un ordenador mediante un formato denominado de punto flotante, que utiliza solo un número finito de dígitos.

Los números reales representados en punto flotantes son los más utilizados, con diferencia, en computación científica. Como hemos observado al normalizar un número real se comete un error. Incluso números con una representación finita en decimal, como 0.1, o 27.9, tienen una representación binaria infinita, tienen decimales binarios periódicos. Por ello, cuando estos números se almacenan en punto flotante se debe “cortar” este número a una cantidad finita de bits, y se incurre en un error de representación flotante. Estos errores, de truncado o redondeo, son inevitables en toda computación científica. Tenemos que estudiar cuanto vale estos errores y como medirlos. Además, cuando un ordenador realiza operaciones elementales como sumar o multiplicar números también incurre en un error adicional, que como veremos es similar al de normalización.

Errores

Error absoluto

Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

Error relativo

Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.

Cotas de errores

Una cota del error absoluto de un número aproximado es cualquier numero no menor que el error absoluto de dicho numero, que llamaremos ɛ*

a y que viene dado por:

ɛa = I p - p* I <= *ɛ

a

Una cota del error relativo de un número aproximado es cualquier numero no menor que el error relativo de dicho numero, que llamaremos

ɛ*r y que cumple:

ɛr <= ɛ*r

Fuentes de errores

1. Errores humanos

Se deben a cualquier desliz cometido durante la realización de los cálculos.

2. Errores en los datos

Errores en los valores numéricos con los que se va a operar.

3. Errores de truncamiento

Se deben a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación.

4. Errores de redondeo

Aparecen cuando se utiliza calculadora u ordenador para realizar cálculos numéricos. Se originan porque la aritmética realizada en una

máquima involucra sólo un conjunto finito de dígitos para representar a los números reales.

Redondeo

El redondeo es el proceso mediante el cual se eliminan cifras significativas de un número a partir de su representación decimal, para obtener

un valor aproximado.

Los números decimales se pueden redondear:

La unidad que consiste en eliminar la parte decimal, aproximándola a la unidad más cercana. Si la parte decimal es igual o inferior a 0,500 se

aproxima a la unidad inferior, si es superior se aproxima a la unidad superior.

4,14 se aproxima a 4 (ya que la parte decimal es 0,1)





La décima que consiste en dejar una sola cifra decimal, aproximando las centésimas a la décima más cercana. Si la parte centesimal es igual o

inferior a 0,050 se aproxima a la décima inferior, si es superior se aproxima a la décima superior.

4,14 se aproxima a 4,1 (ya que la parte centesimal es 0,04)





La centésima que consiste en dejar tan sólo dos cifras decimales, aproximando las milésimas a la centésima más cercana. Si la parte milesimal

es igual o inferior a 0,005 se aproxima a la centésima inferior, si es superior se aproxima a la centésima superior.

4,14 se aproxima a 4,14 (ya que la parte milesimal es 0,000)





Truncamiento

En el truncamiento de un número decimal se eliminan las cifras a partir de aquellas en la que se realiza el truncamiento.

Truncamiento por la unidad donde se eliminan todas las cifras decimales.

45,325 se trunca por 45



Truncamiento por la décima donde tan sólo se deja esta cifra decimal:

45,325 se trunca por 45,3

122,3434 se trunca por 122,3

91,435123 se trunca por 91,4

Truncamiento por la centésima donde tan sólo se dejan dos cifras decimales:

45,325 se trunca por 45,32

122,3434 se trunca por 122,34

91,435123 se trunca por 91,43