Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-1
Cap. 4 Centro de Gravedad Un caso particular de fuerzas paralelas son las fuerzas gravitacionales que actan sobre cada partcula que conforma un cuerpo. Se denomina centro de gravedad al punto de paso de la resultante de dichas fuerzas gravitacionales
iWr
iWr
: El centro de gravedad G es una propiedad del cuerpo (asociada a sus caractersticas fsicas y geomtricas) y es independiente de su posicin en el espacio. Es decir, la ubicacin del centro de gravedad G no cambia con la posicin que tenga el cuerpo en el espacio tridimensional.
1Wr
2Wr
iWr n
Wr
3Wr
uWr
u
4Wr
irr
Grr
Sea el sistema de fuerzas paralelas nWWWr
Lrr
,,, 21 asociadas a los pesos de las masas que componen el cuerpo rgido en estudio. Como hemos visto en el
captulo 2, dicho sistema se puede reemplazar por una nica fuerza. Dicha fuerza nica, que ser el peso total del cuerpo, pasar por el centro de gravedad.
nmmm ,,, 21 L
Por equivalencia de sistemas: III RR
rr = : =i
iI WR
rr
rr
WR II =es decir: =
iiWW
rr
== uWuWuW ii )( (4.1) = iWW IIOIO M : uWM
rr = ruWrWrM iiiii
iiIO )( === rrrrr (4.2)
uWruWrWrM GGGIIO === rr
rrr (4.3)
de (4.2) y (4.3): WrWr Gii
rr =)( de donde:
WWr
r iiG= rr
de (4.1): =
i
iiG W
Wrr
rr (4.4)
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Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-2
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Sean ),,( iiii zyxr =r ),,( GGGG zyxr =r Entonces, las coordenadas del centro de gravedad estarn dadas por las siguientes expresiones:
=
i
iiG W
Wxx ;
=i
iiG W
Wyy ;
=i
iiG W
Wzz (4.5)
Para el caso de cuerpos continuos podemos escribir las expresiones (4.5) adaptndolas convenientemente:
=
dW
dWxxG ;
=dW
dWyyG ;
=dW
dWzzG (4.6)
Si consideramos el caso de cuerpos homogneos, es decir, cuerpos con densidad
constante: gmW = dmgdW = dVgdW = dVm = dVdm =
en (4.6):
==
dVg
dVgx
dW
dWxxG
=dV
dVxxG (4.7)
y anlogamente: =
dV
dVyyG ;
=dV
dVzzG (4.8)
Este resultado muestra claramente que en el caso de cuerpos homogneos, la posicin de su centro de gravedad es independiente de las caractersticas fsicas del material (densidad) y slo depende de la geometra del cuerpo. Este punto es una especie de centro geomtrico y se denomina centroide.
irr
Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-3
De acuerdo a las expresiones (4.7) y (4.8) sus coordenadas sern:
=
dV
dVxx ;
=dV
dVyyG ;
=dV
dVzzG (4.9)
El centro de gravedad es una propiedad fsica, el centroide es propiedad geomtrica. Las expresiones que acabamos de deducir nos permitirn calcular la posicin del centro de gravedad y del centroide de cualquier cuerpo. Sin embargo, en las expresiones (4.6) y (4.9) se puede ver claramente que habr que resolver integrales mltiples. A continuacin estudiaremos algunos casos en que, dependiendo de geometras particulares (placas, alambres, etc.), dichas integrales se pueden convertir en algunos casos a integrales simples. 4.1 Aplicacin a placas planas de espesor constante
Las coordenadas del centro de gravedad estn dadas por:
=
dW
dWxxG ;
=dW
dWyyG (4.10)
Sea t el espesor de la placa y el peso especfico del material. El elemento diferencial de placa mostrado pesar:
dAtgdVdW == ( es la densidad del material)
entonces, en (4.10):
===
dAtg
dAxtg
dAtg
dAtgx
dW
dWxxG
=
dA
dAxxG
y anlogamente
=dA
dAyyG
(4.11)
donde, en general, la densidad es: = ),( yx . En la realidad, por cuestiones de fabricacin de los materiales, stos tienen normalmente densidad constante. Considerando este hecho podemos obtener de (4.11) las coordenadas del centroide:
=
dA
dAxx ;
=dA
dAyy (4.12)
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Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-4
Expresiones en las que: es el primer momento o momento esttico del rea A con respecto al eje y.
dAx es el primer momento o momento esttico del rea A
con respecto al eje x. dAy
Nota: En general, las integrales de rea son integrales dobles. Sin embargo ellas se
pueden convertir en integrales simples escogiendo un elemento diferencial adecuado, como lo veremos en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 4.1: Ubicar el centroide del rea mostrada.
O
y
x
(x, y)
dx
yC
dA
y = f (x)
xCa
Fig. 4-4
Gi
Solucin 1: tomando un elemento diferencial paralelo al eje de las ordenadas.
=
dA
dAxx C ;
=dA
dAyy C
xxC = 2/yyC =
dxydA =
==
dxy
dxyxx =
a
a
dxy
dxyx
0
0 a dxyxA 01
=== aa
a
dxyA
dxy
dxy
dxy
dxyy
y0
2
0
0
2
212
1
2
Solucin 2: Tomando un elemento diferencial paralelo al eje de las abscisas
2
xaxxC+=
2
xa += yyC = dyxadA )( =
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Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-5
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=
dA
dAxx
C = =
+
dyxa
dyxaxa
)(
)()(21
b
b
dyxa
dyxaxa
0
0
22
)(
)()(21
=
dA
dAyy
C =
b
b
dyxa
dyxay
0
0
)(
)(
Ejemplo 4.2: Calcular la ordenada del centroide del tringulo escaleno mostrado.
Solucin: Para el elemento diferencial mostrado: dybdA = por semejanza de tringulos:
hyh
bb = )( yh
hbb =
es decir: dyyhhbdA )( =
Sabemos que: A
dAyy C=
reemplazando: hb
dyyhyhb
hb
dyyhhby
y
hh
)2/1(
)(
)2/1(
)(00
=
=
h
yyhh 0
32
2 322
=
3hy =
y
h
b
Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-6
Ejemplo 4.3: Calcular la posicin del centroide del semicrculo de radio R.
dyyRdyxdA 2222 ==
y
R
A
dyyRy
dA
dAyy
R
C
34
20
22
=
==
De otra forma, haciendo cambio de variable:
senRy = dRdy cos=
adems, para los lmites de integracin: 00 == y 2/ == Ry
2/
cos)cos(2
2
2/
0
R
dRRsenR
dA
dAyy C
== = 2/
0
232 cos2
2 dsenRR
Ry
34=
Utilizacin de coordenadas polares Segn sea el caso, podra ser ms conveniente utilizar coordenadas polares para el clculo de la posicin de un centroide. A continuacin mostraremos las caractersticas de dicha utilizacin.
Para el rea diferencial mostrada:
)(rr =
rrC 32=
cos32 rxC =
senryC 32=
drrdrdA 221)(
21 ==
= drA 221
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Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-7
A
dr
A
drr
dA
Adxx C
=== cos31
21cos
32 32
(4.13)
adems: A
dr
A
drr
dA
Adyy C
=== sen31
21sen
32 32
(4.14)
Ejemplo 4.4: Hallar la posicin del centroide del rea que encierra el lazo mostrado.
y
x45
r = sen 2
Fig. 4-11
G
O
Sabemos que:
=
dr
drx
2
3
21
cos31
=
dr
dry
2
3
21
sen31
entonces:
= 2/0
2
2/
0
3
2sen21
cos)2sen(31
d
dx 105
128= m388,0=x
Por simetra del rea del lazo con respecto al eje yx = : m388,0=y Ejemplo 4.5: Calcular la posicin del centroide del semicrculo de radio R utilizando
coordenadas polares. Solucin: Sabemos que la ordenada del centroide en coordenadas polares est dada por:
y
2
32
2
sen3
21
sen31
2
3
0
20
3
2
3
2
1
2
1
R
R
dR
dR
dR
dRy
===
Ry34=
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Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-8
Ejemplo 4.6: Calcular la posicin del centroide del cuarto de crculo de radio R. Utilizando la expresin para centroide en coordenadas polares e integrando convenientemente:
y
x
( )
4
cos3
2
sen3
21
sen31
2
2/0
3
2/
0
2
2/
0
3
2
3
2
1
2
1
R
R
dR
dR
dR
dRy
===
Ry
34=
Ejemplo 4.7: Calcular la posicin del centroide del sector circular de radio R mostrado. Utilizando nuevamente la expresin para centroide en coordenadas polares e integrando:
x
2
3
2
3
2
3 sen3
2
c3
21
c31
2
1
2
1
R
R
dR
dosR
dR
dosRx
+
+
+
===
3sen2 Rx =
A continuacin se muestran las propiedades geomtricas de algunas superficies planas bastante utilizadas en diversos aspectos de la ingeniera:
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Tabla 4.1 reas y centroides de superficies planas.
Nombre Superficie x y rea
Tringulo
----- 3h
2bh
Tringulo rectngulo
3b
3h
2hb
Cuarto de crculo 3
4 R 34 R
4
2R
Semicrculo 0 34 R
2
2R
Cuarto de elipse
34 a 3
4b 4
ba
Semielipse 0 34b
2ab
Semiparbola 83a
53h
32 ha
Parbola
0 5
3h 3
4 ha
Seno parablico
43a
103h
3ha
Seno genrico ann
++
21 h
nn
++
241
1+n
ha
h
b/2
G
b/2
y
b
h Gy
x
G RGRy
x OO
Gy
O
Gb
xO a
y
O
h
xO
a
GG
a
ax
Gy
2xky =h
O
ax
Gy
nxky =h
O
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Tabla 4.1 reas y centroides de superficies planas (continuacin).
Nombre Figura x y rea
Sector circular
32 senR 0 2r
Trapecio ------ hbaba
++ 2
31 ( )bah +
21
G
R
x
O
a
b
hGy
4.2 Aplicacin al centro de gravedad de placas compuestas En algunos casos se puede descomponer cuerpos (volmenes, reas, lneas) en otros similares mucho ms simples de analizar. A continuacin analizaremos una placa plana. La idea central es descomponer el rea compuesta en n partes de geometra sencilla. Por ejemplo, de la siguiente manera:
Para calcular las coordenadas de su centro de gravedad podemos utilizar las expresiones mostradas en (4.5):
=
i
iiGG W
Wxx ;
=i
iiGG W
Wyy (4.15)
donde: e son las coordenadas del centro de gravedad de la i-sima parte y coinciden con las coordenadas
iGx iGy
ix e iy de su centroide, pues cada parte elegida es, lgicamente, homognea.
es el peso de cada parte. iW
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Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-11
Puesto que conocemos las caractersticas fsicas y geomtricas (material, rea y posicin del centroide) de cada una des las partes componentes, podemos llenar la siguiente tabla:
Elemento iA i iii AW = ix iy iiG Wx iiG Wy 1
2
3
M iW ii Wx ii Wy
donde: ii g =i
es el peso especfico por unidad de rea de cada parte [N/m2, lb/pulg2], es la densidad de cada parte [kg/m2, UTM/pulg2]
Las coordenadas del centro de gravedad de la placa compuesta sern:
i
iiG W
Wxx
= ; i
iiG W
Wyy
= (4.16)
Si todas las partes que conforman el conjunto tienen el mismo peso especfico , entonces:
xA
AxA
AxA
Axx
i
ii
i
ii
i
iiG ====
)(
entonces: =
i
ii
AAx
x ; =
i
ii
AAy
y (4.17)
El punto ( x , y ) recibe el nombre de centroide. Para calcularlo bastar llenar la siguiente tabla:
Elemento iA ix iy ii Ax ii Ay
1
2
3
M
iA ii Ax ii Ay
Nota 1: En el caso de cuerpos compuestos homogneos el centro de gravedad coincide
con el centroide). Nota 2: observar que las coordenadas del centroide son independientes de las
caractersticas del material (densidad, peso especfico)
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Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-12
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Ejemplo 4.8: Calcular la posicin del centroide de la placa plana mostrada.
Solucin: descomponiendo de la siguiente manera:
Para el semicrculo inclinado de radio 23=R tenemos:
73,922
34113 ==
Rx cm
27,422
3433 =+=
Ry cm
Ahora llenaremos la siguiente tabla:
Elemento iA [cm2] ix [cm] iy [cm] ii Ax ii Ay
1 168 7 6 1176 1008
2 36 2 8 72 288
3 (-) 9 9,73 4,27 -275,11 -120,73 4 (-) 18 12 2 -216 -36
157,73 612,89 1139,27
de donde: = i iiAAx
x 89,373,15789,612 ==x cm
=
i
ii
AAy
y 22,773,15727,1139 ==y cm
R
34
Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-13
4.3 Aplicacin a centros de gravedad de alambres planos
Formulacin general: =
dW
dWxxG ;
=dW
dWyyG
y
x
y = f (x)
Fig. 4-21
x
y ),( yxdl
O
Sea a la seccin transversal constante del alambre y ),( yx = su densidad. Entonces el peso del elemento diferencial de longitud ser: ld dW = dVg = ldag
==
ll
ll
d
dx
dag
dagxxG
==
ll
ll
d
dy
dag
dagyyG
Si la densidad del alambre es constante, entonces:
xd
dxxG ==
ll
As: =
ll
d
dxx ;
=ll
d
dyy (4.18)
Si la ecuacin del alambre est dada en coordenadas cartesianas )(xfy = :
22 dydxd +=l
dxdxdy
dxdx 22
+
=
dxdxdyd
2
1
+=l (4.19)
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),( yxdl
Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-14
Nota 1: En algunos casos podra ser ms conveniente hacer:
dydydxd
2
1
+=l Nota 2: Si el alambre es tridimensional, se puede proceder de manera completamente
anloga: 222 dzdydxd ++=l . En este caso podra resultar ventajoso trabajar con las ecuaciones paramtricas de la curva que representa al alambre.
Ejemplo 4.9: Alambre en forma de un cuarto de circunferencia:
=
ll
d
dxx
C
donde: cosRxC = dRd =l
== 2/0
2/
RdL l
2/
cos1
2/
0
22/
0
R
senRdRR
Lx
== Rx 2=
y
x
ld
Por simetra con respecto a la recta yx = : Ry 2=
Ejemplo 4.10: Alambre en forma de semicircunferencia.
== l
ll
dyLd
dyy C
C 1
donde: senRyC = dRd =l
=== RdRdL 0
l
== 0 sen11 dRRR
dyL
y C l
0cos
= R
Ry 2=
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y
ld
Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-15
Ejemplo 4.11: Hallar el centro de gravedad de un arco de circunferencia:
O
Fig. 4-27
y
x
R
R
O
y
x
d
R
R
G
x Fig. 4-28
ld
=
ll
d
dxx
C
donde: cosRxC = dRd =l
RdRdL 2===
+
+
l
RsenR
L
dRRx
22
cos2
=
=
+
v senRx =
Nota: Con este resultado podemos comprobar el resultado obtenido para la
semicircunferencia ( 2/ = ):
2/
)2/(
senRsenRy == Ry 2=
A continuacin mostraremos los centroides de algunas curvas sencillas: Tabla 4.2 Centroides de lneas curvas planas.
Nombre Figura x y Longitud
Cuarto de circunferencia
R2 R2
2R
Semi-circunferencia 0
R2 R
Arco de circunferencia
senR
0 R2
G RGRy
x OO
G
R
x
O
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Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-16
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4.4 Aplicacin a centros de gravedad de alambres compuestos Para calcular las coordenadas de su centro de gravedad podemos utilizar las expresiones generales mostradas en (4.5):
=
i
iiGG W
Wxx ;
=i
iiGG W
Wyy ;
=i
iiGG W
Wzz (4.20)
donde: , y son las coordenadas del centro de gravedad de la i-sima parte y que coinciden con las coordenadas
iGx iGy iGz
ix e iy de su centroide, pues cada parte elegida es, lgicamente, homognea.
es el peso de cada parte. iW Puesto que conocemos las caractersticas fsicas y geomtricas (material, rea y posicin del centroide) de cada una des las partes componentes, podemos llenar la siguiente tabla:
Elemento il i iiiW l= ix iy iz ii Wx ii Wy ii Wz 1
2
3
M iW ii Wx ii Wy ii Wz
donde: ii g = es el peso especfico por unidad de longitud de cada parte [N/m,
lb/pulg], i es la densidad de cada parte [kg/m] Las coordenadas del centro de gravedad sern:
i
iiG W
Wxx
= ; i
iiG W
Wyy
= ; i
iiG W
Wzz
= (4.21) Si todas las partes son del mismo material (y por consiguiente tienen la misma densidad, o lo que es lo mismo, el mismo peso especfico), entonces:
xxxx
xi
ii
i
ii
i
iiG ====
ll
ll
ll
)(
y as: =
i
iixx ll
; =
i
iiyy ll
; =
i
iizz ll
(4.22)
El punto de coordenadas ),,( recibe el nombre de centroide. Para calcularlo bastar llenar la siguiente tabla:
zyx
Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-17
Elemento il ix iy iz iix l iiy l iiz l
1
2
3
M il iix l iiy l iiz l
Nota: En el caso de cuerpos compuestos por partes del mismo material, el centro de
gravedad coincide con el centroide. Si este es el caso, las coordenadas del centro de gravedad son independientes de las caractersticas fsicas del material (densidad, peso especfico)
Ejemplo 4.12:
Calcular la posicin del centro de gravedad del alambre mostrado. El material del alambre es acero con peso especfico
. N/cm102,1 3= Solucin: Dado que todo el alambre es del mismo material, entonces el centro de gravedad coincidir con el centroide. Entonces calcularemos la posicin de este ltimo.
Elemento il [cm] ix [cm] iy [cm] iz [cm] iix l iiy l iiz l
1 (AO) 5 2(5) / 0 5 50 0 25 2 (OB) 6 0 3 0 0 18 0
3 (BC) 10 4 3 0 40 30 0
31,71 90,0 48,0 78,54
= i iix
x ll
83,271,310,90 ==x cm
= i iiy
y ll
51,171,310,48 ==y cm
= i iiz
z ll
48,271,3154,78 ==z cm
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Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-18
4.5 Aplicacin a centros de gravedad de slidos
A continuacin estudiaremos ms detalladamente la aplicacin de las expresiones deducidas al inicio del captulo a slidos homogneos de geometra relativamente sencilla.
O
irr
dm (x, y, z)
dW
Fig. 4-30
Sabemos que el peso del diferencial de masa mostrado en la figura est dado por: dVgdW = El peso del cuerpo ser: = dVgW
Adems, segn la expresin (4.6) las coordenadas de su centro de gravedad estn dadas por:
=
dW
dWxxG ;
=dW
dWyyG ;
=dW
dWzzG (4.23)
Las coordenadas de su centroide estn dadas por:
=
dV
dVxx ;
=dV
dVyy ;
=dV
dVzz (4.24)
Sabemos tambin que si un slido es homogneo, las coordenadas del centro de gravedad coinciden con las coordenadas del centroide. Ahora, dado que el diferencial de volumen est dado por , entonces las integrales de (4.24) son mltiples. Sin embargo, para ciertos slidos (prismas, de revolucin, etc.), dichas integrales pueden reducirse a integrales simples.
dzdydxdV =
Slido generado por la rotacin de una curva alrededor de un eje:
Tomemos dV = A(x) dx
221)( yxA = [ en radianes]
dxydV 22=
entonces:
== a
a
C
dxy
dxyx
dV
dVxx
0
2
0
2
2
2
Anlogamente: =
dV
dVyy C y
=dV
dVzz C .
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Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-19
Consideraciones de simetra: 1. Si un slido posee un plano de simetra el centroide est localizado en dicho
plano.
2. Si tiene 2 planos de simetra el centroide est sobre la lnea de interseccin. 3. Si tiene 3 planos de simetra el centroide coincide con el punto de
interseccin de los tres planos. Si en particular una curva plana gira 360:
Para el disco diferencial:
2)( yxA = )(xfy = dxxAdV )(= = dxy 2
=
dV
dVxx C =
a
a
dxy
dxyx
0
2
0
2
Por simetra: 0== zy Ejemplo 4.18: Semiesfera
dxydV 2=
222 Ryx =+
222 xRy =
=
dV
dVxx
== a dxxRdVV0
22 )( 332 RV =
== aC dxxRxVdVxVx 022 )(11 Rx
83=
Por simetra: 0=y
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Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-20
Ejemplo 4.14: Pirmide (cono) con cualquier tipo de rea de base.
Tomaremos dzAdV z= Si los elementos diferenciales son discos paralelos a la base, los centros de gravedad de cada uno de dichos discos estn situados en la recta zOG y el CG del volumen total tambin est sobre la lnea zOG . Falta hallar solamente z .
Por semejanza geomtrica: 22)(
hzh
AA
B
z = 22)(
hzhAA Bz
=
z
== dVz
VdV
dVzz 1
3
)(
02
2 hAdzh
zhAdVV Bh
B === dz
hzhAz
VdVz
Vz
h
B 2
2
0
)(11 == 4hz = Ejemplo 4.15: Semicono circular recto.
Para el elemento diferencial:
dxrdV 22= xxC =
34ryC =
ha
xr =
=
dV
dVxx C
62
22
0
hadxxhaV
h =
= ==
h
c dxxhax
VdVx
Vx
0
2
211 hx
43=
Anlogamente: == dxxhahaxVdVyVyh
C
2
0 23411
ay =
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Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-21
Comprobacin: El centroide del semicono circular recto estar sobre la recta que une los centroides de los elementos diferenciales:
yx
ah =
34
ay =
Gz
Ox
y
zR
Gz
Ox
y
z
h
R
V
A continuacin se muestra una tabla con algunas propiedades geomtricas (volumen, posicin del centroide) de algunos volmenes comnmente utilizados en ingeniera:
x
y 34 a
Tabla 4.3 Centroides de volmenes.
Nombre Figura z Volumen
Semiesfera
83R 3
32 R
Cualquier tipo de cono
oblicuo (*)
4h hAbase3
1
Cono recto 4h ha2
31
Pirmide oblicua con cualquier tipo
de base (*)
4h hAbase3
1
Gz
Ox
z
y
h
V
G zO
x
z
y
h
V
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Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-22
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Gz
Ox
y
z
a
h
Gz
Ox
y
z
a
h
Tabla 4.1 Centroides de volmenes (continuacin).
Nombre Figura z Volumen
Pirmide recta de base rectangular
4h hba
31
Semielipsoide de revolucin 8
3h ha232
Paraboloide de revolucin
3h ha 2
21
4.7 Aplicacin a volmenes compuestos Para calcular las coordenadas de su centro de gravedad podemos utilizar las expresiones generales mostradas en (4.5):
=
i
iiGG W
Wxx ;
=i
iiGG W
Wyy ;
=i
iiGG W
Wzz (4.25)
donde: , y son las coordenadas del centro de gravedad de la i-sima parte y coinciden con las coordenadas
iGx iGy iGz
ix e iy de su centroide, pues cada parte elegida es, lgicamente, homognea.
es el peso de cada parte. iW Puesto que conocemos las caractersticas fsicas y geomtricas (material, rea y posicin del centroide) de cada una des las partes componentes, podemos llenar la siguiente tabla:
Gz
V
x
z
y
h
a
b O
Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-23
Elemento iV i iii VW = ix iy iz ii Wx ii Wy ii Wz 1
2
3
M
iW ii Wx ii Wy ii Wz donde ii g = el peso especfico de cada parte [N/m3, lb/pulg3] y i es la densidad
respectiva [kg/m3]. Las coordenadas del centro de gravedad sern:
i
iiG W
Wxx
= ; i
iiG W
Wyy
= ; i
iiG W
Wzz
= (4.26) Si todas las partes son del mismo material, y por consiguiente tienen la misma densidad, entonces:
xV
VxV
VxV
Vxx
i
ii
i
ii
i
iiG ====
)(
y as: =
i
ii
VVx
x ; =
i
ii
VVy
y ; =
i
ii
VVz
z (4.27)
El punto ( x , y , z ) recibe el nombre de centroide. Para calcularlo bastar llenar la siguiente tabla:
Elemento iV ix iy iz ii Vx ii Vy ii Vz
1
2
3
M
iV ii Vx ii Vy ii Vz Nota: Si todas las partes que componen el cuerpo en estudio son del mismo material
homogneo, entonces las coordenadas del centro de gravedad coinciden con las del centroide y son independientes de las caractersticas del material (densidad, peso especfico)
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Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-24
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Ejemplo 4.16: El slido mostrado segn una seccin longitudinal consta de un cilindro con una cavidad semiesfrica y est rematado por un cono. a) Localizar el centroide del volumen compuesto
si el radio de la cavidad semiesfrica es 140=R mm, la longitud de la parte cilndrica
es L = 250 mm y la altura del cono recto es h 300=h mm.
b) Localizar el centro de gravedad si el cilindro es de acero y el remate cnico de aluminio. Se sabe que:
ac = 7870 kgf/m3; al = 2770 kgf/m3
Solucin: Dado que se trata de un slido de revolucin, bastar calcular z y . Gz
Elemento Vi [mm3] iz
[mm]i
[kgf/mm3]iii VW =
[kgf] iiVz ii Wz
Cilindro 62 1039,15250140 = 125 9107870 121,12 6101924 15139,91
Cono 62 1015,63001403
= 325 9102770 17,04 6101999 5536,54
Semiesfera 63 1075,5)140(32 = 52,5 9107870 - 45,25
6109,301
-2375,76
6108,15 92,91 6103621 18300,7 a) Centroide: )0( == yx
= i iiVVz
z 2,229108,15103621
6
6
==z mm
b) Centro de gravedad: xG = yG = 0
= i iiG WWz
z 19791,92
7,30018 ==Gz mm
Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-25
Ejemplo 4.17:
Se construye un soporte con chapas de latn ( lat = 0,0858 N/cm3, cuarto de crculo con agujero circular) y aluminio ( alu = 0,0272 N/cm3, tringulo), ambas de 12,5 mm de espesor, segn se indica en la figura. Considerando que la chapa de aluminio est sobre la chapa de latn se pide determinar el peso y centro de gravedad del soporte.
z
y
x
160
100
15
16040
16040
30
10
Fig. 4-40
Fig. 4-41
Solucin: Dividiremos el soporte en tres partes y luego indicaremos sus caractersticas en la siguiente tabla:
item iV
[cm3] i
[N/cm3] iii VW =
[N] ix
[cm] iy
[cm] iz
[cm] ii Wx
[N-cm] ii Wy
[N-cm] ii Wz
[N-cm]
1 316,4 0,0272 8,606 0,625 7,5 8,75 5,379 64,545 75,303
2 497,01 0,0858 42,64 9,55 9,55 0,625 407,212 407,212 26,65
3 55,22 0,0858 4,74 8,8 7,5 0,625 41,712 35,55 2,963
46,506 370,879 436,207 98,99
donde: 4,31625,1)5,22()5,22(21
1 ==V cm3
01,49725,1)5,22(4
22 == V cm3
22,5525,1)5,7(4
23 == V cm3
de la tabla: peso del soporte Wi = 46,506 N
y adems: 975,7506,46879,370 ===
i
iiG W
Wxx cm
38,9506,46207,436 ===
i
iiG W
Wyy cm
129,2506,4699,98 ===
i
iiG W
Wzz cm
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Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-26
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Ejemplo 4.18: Dos placas idnticas de forma trapezoidal de material sinttico con peso especfico 02,01 = N/cm3 estn unidas a una placa rectangular de otro material sinttico con peso especfico 01,02 = N/cm3 y dimensiones
cm. Se pide calcular la mnima dimensin de a para que el conjunto no se voltee sobre la superficie horizontal sobre la que est en reposo. Calcule luego el peso total del conjunto y la posicin de su centro de gravedad.
1020
Solucin: Primero calcularemos la posicin del centroide de una de las placas trapezoidales, el cual, dado que cada placa es homognea, coincide con su centro de gravedad:
Elemento iA [cm2]
iy [cm]
iz [cm] ii
yA ii zA
a20
2a 10 210 a 200 a
a10150 315 aa +
532 += a 3
40)5
32()10150( + aa
750503
20 2 ++= aa 3
40)10150( a
a3
4002000 =
15010 +a 75050310 2 ++ aa 20003200 +a
15010
750503
10 2
+++
== aaa
AyA
yi
ii 15
75531 2
+++
=a
aay
15010
20003
200
++
== aa
AzA
zi
ii 15
2003
20
++
=a
az
Con estos resultados podemos calcular la posicin del centro de gravedad del conjunto.
Elemento iV [cm3] i [N/cm3] iii VW = [N] iGy [cm] iGi yW
)1)(20)(15(
21 a+
= 15010 +a 0,02
0,02 ( 15010 +a )= 32,0 +a 15
75531 2
+++
a
aa15
151 2 ++ aa
15010 +a 0,02 32,0 +a
15
75531 2
+++
a
aa15
151 2 ++ aa
10 (1) (20) = 200 0,01 2 0,5 1
2)32,0(2 ++a 1)15151(2 2 +++ aa
Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-27
Las coordenadas del centro de gravedad sern:
i
iGiG W
yWy = 84,0
312152
2)32,0(2
1)15151(2 22
+++
=+++++
=a
aa
a
aayG
La condicin para el equilibrio del cuerpo ser: ayG
es decir: aa
aayG +
++=
84,0
312152 2
)84,0(312152 2 +++ aaaa
025,1165,222 + aa de donde: cm 332,4a Finalmente:
Elemento iii VW = iGy iGz iiG Wy iiG Wz
3,866 5,324 11,839 20,58 45,770
3,866 5,324 11,839 20,58 45,770
2 0,5 10 1 20
9,733 42,165 111,539
Las coordenadas del centro de gravedad sern:
733,9165,42== i i
iGG W
Wyy 332,4=Gy cm
133,9539,111== i i
iGG W
Wzz 460,11=Gz cm
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Cap. 4 Centros de gravedad Pg. 4-28
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Ejemplo 4.19: Calcular la posicin del centro de gravedad de la pieza mostrada sabiendo que est compuesta por tres placas con los siguientes pesos especficos:
Placa rectangular: [N/cm2] 3108,7 Plancha rolada: [N/cm2] 3107,2 Placa semicircular: [N/cm2] 3109,8
Solucin: Por simetra . 0=Gx Plancha rolada semicilndrica
rea: 2400)60(2 == RA [cm2]
Centroide: 80)40(22
2 === Ry [cm]
Placa semicircular
y
Fig. 4-47
y
x
r = 30 cmG
y
O
rea: 4502
)30(2
22
3 === rA [cm2]
Centroide: 40
3)30(4
34
3 === ry [cm]
Elemento iA [cm2] i [N/cm2] iii AW = [N] iy [cm] iz [cm] ii Wy [N-cm] ii Wz
[N-cm]
2400 3108,7 18,72 0 100 0 1872
2400 3107,2 20,36 - /80 40 -518,46 814,4
450 3109,8 12,58 /40 0 160,17 0
51,66 -358,29 2683,4
= i iiG WWy
y 94,666,51
29,358 ==Gy cm
= i iiG WWz
z 94,5166,51
4,2683 ==Gz cm
Ejemplo 4.1: Ubicar el centroide del rea mostrada.Solucin 2: Tomando un elemento diferencial paralelo al eje de las abscisasSuperficie
reaFigura
rea4.2 Aplicacin al centro de gravedad de placas compuestasLongitud4.5 Aplicacin a centros de gravedad de slidos
4.7 Aplicacin a volmenes compuestos
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