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Capıtulo 3: Acumulacion de capital ycrecimiento (I). El modelo de Harrod-Domar
Macroeconomıa III
Curso 2008-09
Macroeconomıa III Capıtulo 3: El modelo de Harrod-Domar
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1 Un poco de matematicas
2 Poblacion e inversion
3 La teorıa de la brecha financiera
4 La realidad
5 La tecnologıa
Macroeconomıa III Capıtulo 3: El modelo de Harrod-Domar
Matematicas Poblacion e inversion La teorıa de la brecha financiera La realidad La tecnologıa
Un poco de matematicas
Vamos a trabajar con tiempo continuo. Por ejemplo, output percapita es una funcion del tiempo, y(t).Ejemplo:
y(t) = ea t, a > 0,
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Derivada y tasa de crecimiento de una funcion
d y(t)d t
≡ y(t) = a ea t.
Podemos evaluar la funcion (y su derivada) en un punto particulardel tiempo, por ejemplo, periodo 3. Si a = 0.5, y(3) = e0.5 · 3 =4.4817.La tasa de crecimiento del output per capita es
gy ≡y(t)y(t)
=a ea t
ea t= a.
Nota:d ln y(t)
d t=y(t)y(t)
.
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Ecuaciones diferenciales
En este caso no sabemos la forma de la funcion y(t). Solosabemos la relacion entre la funcion y su derivada,
y(t) = a− b y(t), a, b > 0.
Pregunta: ¿Podemos caracterizar la evolucion de y(t) a lolargo del tiempo?
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Ecuaciones diferenciales
Ejemplo: InversionKt = −δKt + It
donde
Kt: stock de capital en el momento t
Kt: crecimiento del stock de capital en terminos anuales
It: tasa de inversion en terminos anuales
Esto es mas o menos lo mismo que –en tiempo discreto–:
∆Kt ≡ Kt+1 −Kt = −δKt + It
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Ecuaciones diferenciales
Pero en tiempo continuo podemos dar pasos ∆t mas pequenos de1:
∆Kt = Kt+∆t −Kt = −δKt∆t+ It∆t
Ejemplo: ∆t = 0.1, K2008.0 = 100, δ = 0.2, I2008.0 = 25:
K2008.1 −K2008.0 = −(0.2× 100× 0.1) + (25× 0.1) = 0.5
De hecho, dividiendo por ∆t y tomando el lımite ∆t→ 0obtenemos
lim∆t→0
Kt+∆t −Kt
∆t= Kt = −δKt + It,
Haciendo los pasos ∆t cada vez mas pequenos y sumando los ∆Kt
en el tiempo obtenemos la solucion Kt de la ecuacıon diferencial.
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Ecuaciones diferenciales
Notad que si It = I para todo t,
Kt = I/δ ⇒ Kt = 0.
Llamamos K∗ = I/δ. Entonces,
y(t)
> 0, si Kt < K∗;= 0, si Kt = K∗;< 0, si Kt > K∗.
Por tanto, Kt converge a K∗ desde cualquier punto inicial.
¿Como es la evolucion de y(t) = −a+ b y(t), a, b > 0?
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Poblacion y tecnologıa
Existe un unico bien final.
Kt, el capital se deprecia cada periodo a la tasa δ ∈ [0, 1].El trabajo Lt crece a la misma tasa que la poblacion, Nt,
Lt
Lt=Nt
Nt= n.
Por sencillez, suponemos que Lt = Nt, para todo t.
La tasa de ahorro agregada de la economıa es s ∈ (0, 1).
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Poblacion y tecnologıa
Economıa cerrada.
No hay gasto del gobierno ni impuestos.
Por tanto,
Ct + It = PIBt,Ct + It = (rt + δ)Kt + wt Lt,
Ct + Kt + δ Kt = Yt.
It = Kt + δ Kt: inversion bruta.Kt: Inversion neta.Ct + Kt = Yt − δ Kt: Producto Interior Neto.
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Poblacion y tecnologıa
s ∈ (0, 1) es la fraccion de la renta disponible que se ahorra.Por tanto, el ahorro agregado es
St = s Yt = (rt + δ)Kt + wt Lt.
Puesto que AHORRO = INV ERSION ,
St = s Yt = Kt + δ Kt.
hemos obtenido una ecuacion que relaciona PIB e inversion y quepodemos usar para analizar la evolucion temporal del stock decapital y de la renta.
Kt = s Yt − δ Kt.
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Inversion y crecimiento
El capital por unidad de trabajo es
kt ≡ KtLt
(1)
(ratio capital-trabajo). Su tasa de crecimiento:
ktkt
= KtKt− Lt
Lt(2)
Podemos escribir la ecuacion de acumulacion de capital como
kt = s yt − (δ + n) kt. (3)
ktkt
= s yt
kt− (δ + n) (4)
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La teorıa de la brecha financiera
Hasta ahora no hemos hecho ningun supuesto tecnologico. Esdecir, no hemos descrito como la renta, yt, cambia cuandocambian los factores. El supuesto de que partieron Harrod yDomar era el siguiente
yt
yt=kt
kt,
Es decir, aumentos proporcionales en el capital per capita setraducen en aumentos proporcionales de la renta. De esta manera,
yt
yt= s
yt
kt− (δ + n).
La tecnologıa que satisface ese supuesto es Yt = AKt.
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La teorıa de la brecha financiera
Segun nuestra tecnologıa, eso supone que
gy =yt
yt= sA− (δ + n)
Consecuencias:
La tasa de crecimiento es constante a lo largo del tiempo
Hay crecimiento a largo plazo solo por la acumulacion decapital
Incrementar la tasa de ahorro s resulta en crecimiento masalto a largo plazo
Bajar la tasa de crecimiento de la poblacion n resultacrecimiento mas alto a largo plazo
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La teorıa de la brecha financiera
Dado los demas parametros, se puede calcular la tasa de inversionrequerida para que la renta crezca a la tasa deseada (constante) gy:
s = (n+ δ + gy)kt
yt=n+ δ + gy
A.
Por tanto, segun este modelo una buena polıtica de desarrollo esayudar a los paıses menos desarrollados a aumentar su tasa deinversion.
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La realidad
El mundo rico dio ayuda de desarrollo a los paıses pobres parasuplementar los ahorros y incrementar la inversion. ¿Que paso?
Muchas veces, la ayuda no se convertıa en inversion sino enconsumo (falta de incentivos, corrupcion)
Aunque creciera la inversion en algunos paıses, no se dierontasas mas altas de crecimiento.
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La realidad
...La realidad (Zambia)
1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000800
900
1000
1100
1200
1300
1400R
eal p
er c
apita
GD
P
1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 20005
10
15
20
25
Inve
stm
ent a
s %
of G
DP
years
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La realidad
...La realidad (Zambia)gap cht
Figure 4: The Gap between Harrod-Domar and Reality in Zambia20500
The Per Capita Incomethat would have been if
18500 all Aid had gone intoInvestment andInvestment had gone intoGrowth according toHarrod Domar
16500 (assuming 'typical"ICOR of 3.5)
14500
12500
.,
.0500
1500
6500
4500
2500
Zambian per capitaincome
- - - -- - - a- - - - -a - - - income --- ---
500e u t r- 0 _ c-, uL r- oD 0 X a -0cXco co W co co t- r- r- r- r- co co co coXco a 0) 0) 0) 0) 0) 0) 0) 0) 0) 0) 0) 0)i 0) 0) 0) 0) 0)
ZMB2.XLS 7/1/97
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Pero, ¿de que tecnologıa estamos hablando?
SupongamosYt = min {Kt, ALt} .
En terminos per capita
yt = min {kt, A lt}
De tal manera que si kt ≤ A lt obtenemos que yt = kt y por tanto
yt
yt=kt
kt.
Esto supone que debe darse que Kt ≤ ALt.
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Pero, ¿de que tecnologıa estamos hablando?
La funcion de produccion de coeficientes fijosLa función de producción de proporciones fijas
Trabajo
Capital
L1
Y1
Y2
Y3
A
B
C
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Pero, ¿de que tecnologıa estamos hablando?
Esta tecnologıa supone que la renta aumenta siempre en la mismaproporcion que el capital (y que la inversion)¿De que se olvida?Rendimiento marginal decreciente del capital
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