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7/23/2019 CASO PROYECCIONES.doc

1/13

Modelo de Regresin y Correlacin Lineal.

Ejemplo. Considere la siguiente informacin:

PRODUCCION DE JUUE!E"

#$O"%&'

(O)U*EN DEPRODUCCION+ *I)E" %,'

-/

-0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-66

-6--6/

12

14

11

2

20

21

24

21

34

5153

"e pide determinar: %a' la ecuacin de tendencia+ %7' el coeficiente de correlacin+ %c' corregir

los datos 8istricos en 7ase a la ecuacin de regresin estimada+ %d' 9Cul seria el ;olumen de

produccin de juguetes para los a a ? 7& @ Ecuacin general

Calculando las constantes AaB , A7B

18.6911

761===

n

Ya 964.3

110

4362

===

X

XYb

Reemplaando AaB , A7B en la ecuacin general+ o7tenemos la ecuacin de regresin detendencia lineal estimada: , > 25.64 ? /.520%&'

%7' Coeficiente de correlacin lineal

89.0])(][)([ 2222

=

=

yynxxn

yxxynr

%c' Correccin de los datos 8istricos en 7ase a la ecuacin de regresin estimada: Ejemplo:

, > 25.64 ? /.520%&' > 05 etc.


2/13

#$O" F!ENDENCI#GI"!ORIC#

!ENDENCI#CORREID#

-/

-0

-1-2

-3

-4

-5

-6

-66

-6-

-6/

H1

H0

H/H-

H6

6

-

/

0

1

12

14

112

20

21

24

21

34

51

53

05

1/

1326

21

25

3/

33

46

41

45

%d' 9Cul seria el ;olumen de produccin para los a


3/13

Donde los parmetros desconocidos son: AaB+ A7B+ AcB.

)a grafica es:

Para determinar estos parmetros se reLuiere de tres

ecuaciones normales por el mKtodo de mMnimos

cuadrados:

, > na ? 7 & ? c &-

&, > a & ? 7 &- ? c &/

&-

, > a &-

? 7 &/

? c &0

Pero+ e&iste otro mKtodo a7re;iado+ ms simple+ Lue se resume en dos ecuaciones normales:

&, > 7 &- ? c &t %6'

t, > 7 &t ? c t- %-'

Donde:

=n

yxxyxy

=

n

xxx

2

22 )(

=n

xxxxt

2

3

=n

yxyxty

2

2

=

n

xxt

22

42 )(

Determinados los ;alores se reemplaan en las ecuaciones normales %6' , %-' , se determina

A7B , AcB.

)a constante AaB se resuel;e asM:n

xc

n

xb

n

ya

=

2

"eguiremos para ello un raonamiento similar al Lue 8icimos en el caso del modelo de

regresin lineal simple+ utiliando el procedimiento de ajuste de los mMnimos cuadrados+ es

decir+ 8aciendo Lue la suma de los cuadrados de las des;iaciones con respecto a la cur;a de

regresin sea mMnima:

== 222

)()'( cxbxayyyD


4/13

Cuando se trata de "ERIE" DE !IE*PO+ se simplifican las / ecuaciones normales 8aciendo

Lue & > . Resol;iendo o7tenemos las constantes AaB+ A7B , AcB

nxcya =

2

2xxyb

=

=

224

22

)( xxnyxyxnc

Estndar de Estimacin de la Par7ola:2

22

=

n

yxxxybyaySyx

Coeficiente de correlacin para7lica: 22

22

++=

yny

ynyxcxybyar

Ejemplo. "e tiene la siguiente serie cronolgica Lue refleja la produccin de artMculos para el8ogar %tres primeras columnas':

#$O"

%&'

%&' DE*#ND#

%,'

DE"#RRO))O2

x 3x

4x xy yx

2 2y

-2

-3

-4

-5

-6

-66

-6-

-6/

H3

H1

H/

H6

6

/

1

3

/.1

3.

66.-

6/./

-2.0

-3.0

-4.1

00.5

05

-1

5

6

6

5

-1

05

H/0/

H6-1

H-3

H6

6

-3

6-1

/0/

-+06

2-1

46

6

6

46

2-1

-+06

H-0.1

H/1.

H//.2

H6/./

-2.0

4-.-

60-.1

/60./

636.1

631.

6.4

6/./

-2.0

-02.2

36-.1

-+-.6

6-.-1

05.

6-1.00

632.45

252.52

31.32

46-.-1

-+62.6 62-.- 624 2+-62 015. /+202.- 0+2/5.12

& , &- &/ &0 &, &-, ,-

"e pide: %a' Construir el diagrama de dispersin.+ %7' determinar la cur;a de regresin

para7lica+ %c' calcular el error estndar de regresin+ %d' calcular el coeficiente de correlacin ,

%e' graficar la cur;a de regresin.

"olucin:

%a' Diagrama de dispersin:


5/13

%7' Cur;a de regresin para7lica

O7ser;ando el grfico+ a simple ;ista se aprecia Lue la lMnea de ajuste sea una cur;a.

Ello indica Lue de7er tra7ajarse con un polinomio apro&imadamente de segundo grado+

de la forma:

, > a ? 7& ? c&

)as ecuaciones normales son:

, > na ? 7& ? c&- 62-.- > 4a ? 0b? 624c

&, > a& ? 7&-? c&/ 015 > 0a?6247 ? 0c

&-, > a&-? 7&/? c&0 /+202.- > 624a ? 0b? 2+-62c

"implificando , sustitu,endo el ;alor de las sumatorias o7tenidas

, > na ? c&- 62-.- > 4a ? 624c

&, > 7&- 015 > 6247

&-, > a&-? c&0 /+202.- > 624a ? 2+-62c

Despejando , calculando 7: 7321428.2168

459=

Calculando c Calculando a

62-.- > 4a ? 624c %H-6' 62-.- > 4 ? 624 %.45'

/+202.- > 624a ? 2+-62c 4a > 62-.- 60.51

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ a > 64.06

H/+202.- > H624a H/+1-4c

/+202.- > 624a ? 2+-62c

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ-0 > -+244c @ c > .45

)uego la ecuacin de la tendencia para7lica es:

, > 64.06 ? -.3/%&' ? .45%&'


6/13

%c' Error estndar de regresin

56.3646.126

8762.75

2

22

===

=

n

yxcxybyaySyx

%d' Coeficiente de correlacin para7lica %r'.

9438.0)9715.0(9715.0)(

)()(2

22

22

2===

++=

ryny

ynyxcxybyar

%e' raficar la Cur;a de regresin: , > 64.06 ? -.3/%&' ? .45%&'

Determinando algunos Spuntos aisladosS asignando ;alores a &:

& > H3 , > /.3 & > H/ , > 66.

& > 6 , > -6.- & > 1 , > /0./

Puntos Lue se lle;an al diagrama del Mtems a'.

Modelo de Regresin y Correlacin Po!encial.

)a cur;a de regresin potencial se constru,e a partir de la funcin potencial

cu,a ecuacin es:

"#$ y = axb

, > a&b"#$

Tue tiene dos parmetros desconocidos: AaB , A7B.

Para determinar los parmetros a , b del modelo potencial se de7e efectuar las

transformaciones matemticas adecuadas a la e&presin analMtica del modelo de tal forma de;ariarlo en una lMnea recta. Para tal efecto se le o7tiene logaritmo a la e&presin potencial asi:


7/13

%-' )og. , > )og. a ? 7 )og. &

Por lo Lue a8ora+ A)og. aB , A7B son los parmetros desconocidos.

"i y> )og ,

x> )og & @ la ecuacin Lueda: , > )og. a ? 7 %&'

Ecuaciones normales.

%log.,' > )og.a%n' ? 7 % )og.&'

%)og.& )og.,' > )og.a % )og.&' ? 7 % )og.&'-

Resol;iendo las ecuaciones simultneamente o7tenemos las constantes AaB , A)og 7B

n

xLogb

n

yLogaLog

=

...

n

xbya

=

=

22

2

)()(

)()(.

xxn

xyxxyaLog

=

22 ).(.

....

xLogxLogn

yLogxLogyxLogLognb

=

22 )(

...

xxn

yxyxnb

Coe%icien!e de correlacin po!encial.

+=

22

2

).().(

).(....

yLognyLog

yLognyLogaLogyxLogLogbr

=

])(][)([ 2222 yynxxn

yxxynr

&ra%ica de la ecuacin

Una de las formas para graficar la ecuacin

es determinar algunos Apuntos aisladosB

asignando ;alores a A&B+ de donde se

deduce el ;alor de A,B+ similar Lue para la

ecuacin para7lica.

Ejemplo. Con los siguientes datos 8istricos %o7ser;ar tres primeras columnas' pro,ectar lademanda mediante regresin potencial.

y

x


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D#!O" DE"#RRO))O

#$O& ,

F

)og. %&'

)og.%,'

2)(x2).( xLog

2)(y2).( yLog

).( yx

xLogLog ..

6 6 -+ 0./6/ 64.05442 - - /1+ ./6/ 0.1003 .52- -.20411 6./235/ / 01+ .0336- 0.21/-6 .--320 -6.21-/5 -.--610 0 0+ .2-2 0.2-2 ./2-04 -6.63452 -.333-1 1 11+ .25453 0.30/2 .04412 --.0360 /./6//32 2 11+ .33461 0.30/2 .211- --.0360 /.2443-

"U*# -.413// -3.1466 6.3304- 6-2.5-4/ 6/./241

)59685.4.( =yLog"olucin:

%a' Calculamos los ;alores de AaB , A7B:

Ecuaciones: , > a&7 , > )og. a ? 7 %&'

Utiliando las formulas de regresin lineal %mMnimos cuadrados' encontramos los ;alores

de A)og. aB , A7B:

51.716,21.log

33679.4484586.2

77513.10

)(()((

)()(.

22

2

=

==

=

aAnti

xxn

xyxxyaLog

54608.0)85733.2()77482.1(6

)58110.27(85733.2)36085.13(6

)( 222 =

=

=

xxn

yxxynb

%7' Por ejemplo+ podemos cuantificar la demanda del a )og. a ? 7 %&' > 0.//235 ? .1024 %)og.3' > 0.354-466/4

Para cuantificar la demanda del a #ntilog %0.354-4' > 2-+402

Por am7as formas determinamos la demanda del a


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Como se puede o7ser;ar am7os coeficientes se apro&iman a la unidad+ lo Lue implica

Lue la ecuacin de regresin potencial empleada es la Lue mejor se ajusta a las

;aria7les.

%d' raficar la Cur;a de regresin: , > 0.//235 ? .1024 %)og.n''

Determinando algunos Spuntos aisladosS asignando ;alores a &:

& > 6 @ , > 0.// & > / @ , > 0.3-

& > - @ , > 0.1 & > 0 @ , > 0.32

Puntos Lue permiten la construccin del diagrama de dispersin correspondiente.

Con la informacin del ejemplo Lue aca7amos de terminar+ pro,ectar la demanda del a )og. a ? 7%&' @ ,> 5.5414/3/ ? .1024 %)og. &'.


10/13

,> 0.//235 ? .1024 %)og. 3' > 0.354-466/4.

inalmente+ para cuantificar la demanda del a #ntilog. 0.354-466/4 > 2-+402 unidades.

Modelo de Regresin y Correlacin Exponencial.

)a cur;a de regresin e&ponencial se determina a partir de la funcin e&ponencial de la forma:

"#$ y = abx

Tue tiene dos parmetros desconocidos: AaB , A7B

)a regresin e&ponencial puede tam7iKn ser linealiada aplicando logaritmos a am7os

miem7ros+ resultado de ello la relacin siguiente:

%-' )og., > )og.a ? & )og.7 %puede ser ? V H'.

"iendo a8ora los parmetros desconocidos A)og. aB , A)og. 7B

)a grafica es:

)as - ecuaciones normales son:

%log.,' > )og.a %n' ? )og.7% &'

& %)og.,' > )og.a % &' ? )og.7 %

&-'

Despejando simultneamente+ se o7tiene las

constantes AaB , A7B

=

22 )(

...

xxn

yLogxyxLognbLog

n

xbLog

n

yLogaLog

= .

..

O7;iamente la solucin final ser: a > antilog a , 7 > antilog 7.

Cuando se trata de "ERIE" DE !IE*PO se 8ace Lue & > , se o7tiene:


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n

yLogaLog

=

..

=2

..

x

yxLogbLog

Coe%icien!e de correlacin exponencial

+=

22

2

).().(

).(....

yLognyLog

yLognyLogaLogyxLogbLogr

rfica: similar procedimiento Lue para par7ola ,Vo potencial

Ejemplo. )a demanda de eLuipos mecnicos en un paMs+ respecto a los gastos de pu7licidad+

es de acuerdo a lo mostrado en el cuadro siguiente:

DE*#ND# DE ETUIPO" *EC#NICO" PUW)ICID#D

PUW)ICID#DCIEN!O" DE X

%&'

DE*#ND# ETUIPO" *EC#NICO": *I)E"UNID#DE"

%,'

6.-

-.

/.

/.4

1.

1.1

2.1

1

2

24

44

6-1

6/1

640

Utiliando el modelo de cur;a e&ponencial+ se pide:

%a' raficar el diagrama de dispersin

%7' Determinar la ecuacin de regresin e&ponencial

%c' #justar los ;alores a la tendencia

%d' Pro,ectar la demanda de eLuipos mecnicos cuando los gastos en pu7licidad son: 3+ 4+ 5

, 66 %cientos de X'.

"olucin:

%a' Diagrama de dispersin

%7' Ecuacin de regresin e&ponencial

"#$ y = abx "2$ Log. y = Log.a + x Log.b


12/13

%Cuadro de clculos':

x y yLog. yxLog. 2x 2).( yLog

6.-

-.

/.

/.4

1.1.1

2.1

1

2

24

44

6-16/1

640

6.25453

6.33461

6.4/-16

6.50004

-.5256-.6///

-.-204-

-./4320

/.112/

1.0531/

3./45-0

6.0401166.362461

60.3-6//

6.00

0.

5.

60.00

-1./.-1

0-.-1

-.442055

/.6264--

/./1445

/.3466/

0./53/-0.1/4/--

1.6-5/55

x y yLog. yxLog.

2x 2).( yLog

-3. 36 6/.30263 11.00/6/ 6-2./4 -3.-1-632

96374.1774617.13).( ==yLog

El calculo de los parmetros A)og.,B , A)og.aB se puede realiar mediante las ecuaciones

normales:

%log.,' > )og.a %n' ? )og.7% &'

& %)og.,' > )og.a % &' ? )og.7 % &-'

Reemplaando ;alores de las sumatorias o7tenidas:

%6' 6/.30263 > )og.a %3' ? )og.7 %-3'

%-' 11.00/6/ > )og.a %-3' ? )og.7 %6-2./4'

Resol;iendo este sistema se o7tiene: a> /0.2/ 7> 6.-355

De igual forma+ utiliando formulas:

27799.1.log10718.0)(

...

22 Anti

xxn

yLogxyxLognbLog =

=

53945.1)7

27(11.0

7

74617.13.

.. ====

n

xbLog

n

yLogaLog

#ntilogaritmo a > /0.2/


13/13

)uego+ las ecuaciones de regresin son:

%6' , > /0.2/ %6.-355'F %-' )og. , > 6.1/501 ? .6364 %&'

%c' #justar los ;alores de la demanda de eLuipos mecnicos a la tendencia

y 6.1/501 ? .6364 %&' 'y #ntig. ,

1 6.1/501 ? .6364 %6.-' 6.23 02.33 2 6.1/501 ? .6364 %-.' 6.31 12.-/ 24 6.1/501 ? .6364 %/.' 6.42 3-.00 44 6.1/501 ? .6364 %/.4' 6.51 45.6-6-1 6.1/501 ? .6364 %1.' -.4 6-.-/6/1 6.1/501 ? .6364 %1.1' -.6/ 6/0.5640 6.1/501 ? .6364 %2.1' -.-0 63/.34

%d' Pro,eccin de la demanda de los eLuipos mecnicos

6.1/501 ? .6364 %&' 'y #ntig. ,

3 6.1/501 ? .6364 %3.' -.-4 65.114 6.1/501 ? .6364 %4.' -.0 -16.655 6.1/501 ? .6364 %5.' -.1 /62.-/6 6.1/501 ? .6364 %66.' -.3- 1-0.46

Esto significa Lue+ apro&imadamente+ si se diera una pu7licidad de 3%cientos de X' la

demanda de eLuipos mecnicos seria de 65+ 11 unidades.

%e' Coeficiente de correlacin e&ponencial

=

+=

22

2

).().(

).(..).(.

yLognyLog

yLognyLogaLogyxLogbLogr

6402.0)96374.1(7252176.27

)96374.1(7)74617.13(53945.1)404313.55(10718.02

2

=

+=r