TRANSFORMADA DE LAPLACE Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
CONTROL AUTOMATICO I – CAS6201
𝐿𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥 0
𝐿𝑑2𝑥(𝑡)
𝑑𝑡2= 𝑠2𝑋 𝑠 − 𝑠𝑥 0 − 𝑥 (0)
𝐿 𝑥(𝑡)𝜇(𝑡 − 𝑡0) = 𝑒−𝑠𝑡0𝑋(𝑠)
𝐿 𝑎𝑥 𝑡 + 𝑏𝑦(𝑡) = 𝑎𝑋 𝑠 + 𝑏𝑌(𝑠)
Primera derivada
Segunda derivada
Retardo temporal
Linealidad
𝐿 𝑥 𝑡 𝑑𝑡𝑡
0
=𝑋(𝑠)
𝑠 Integral
c(𝑡) ∗ 𝑝(𝑡) = 𝐶 𝑠 𝑃(𝑠) Convolución
Propiedades de Laplace
Transformadas Comunes
𝑒−𝑎𝑡 1
𝑠 + 𝑎
cos(𝑎𝑡) 𝑠
𝑠2 + 𝑎2
sen(𝑎𝑡) 𝑎
𝑠2 + 𝑎2
𝑒−𝑎𝑡cos(𝜔𝑡) 𝑠 + 𝑎
(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2
𝑒−𝑎𝑡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 𝜔
(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2
𝐴𝜇(𝑡) 𝐴
𝑠
𝛿(𝑡) 1
Transformadas Comunes
• Calcular transformadas de las siguientes señales:
𝑞 𝑡 = 𝑒𝑡/8
𝑝 𝑡 = 8𝜇(𝑡)
𝑠 𝑡 = 𝑒−13𝑡 + 10𝛿(𝑡)
𝑢 𝑡 = 7cos(2𝜋𝑡)
𝑣 𝑡 = 5sen(10𝜋𝑡)
𝑠 𝑡 ∗ 𝑞(𝑡)
𝑢 𝑡 ∗ 𝑞 𝑡 + 𝑣 𝑡 ∗ 𝑠(𝑡)
′∗′ ∶ 𝐶𝑂𝑁𝑉𝑂𝐿𝑈𝐶𝐼Ó𝑁
Transformadas Comunes
• Calcular transformadas de los siguientes sistemas:
Be 𝑡 + 𝑒 (𝑡) = 𝑢 𝑡 + 𝐶𝑢 − 𝐴𝑒
𝑦 𝑡 = 3𝑦 𝑡 + 4𝑦 𝑡 + 𝑢(𝑡)
Funciones de Transferencia
• Transferencia es la relación existente entre la salida y la entrada de un sistema
G U Y
𝑌 = 𝐺(𝑈)
Funciones de Transferencia
• Divisor de Tensión:
𝑉𝑜𝑢𝑡 =𝑅2
𝑅2 + 𝑅1𝑉𝑖𝑛
𝑉𝑜𝑢𝑡𝑉𝑖𝑛
=𝑅2
𝑅2 + 𝑅1
𝑅2𝑅2 + 𝑅1
𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑉𝑖𝑛
Funciones de Transferencia
• Podemos entender una transferencia como FUNCION, es decir:
• Por ejemplo:
𝑦 = 𝐻(𝑢)
𝐻 𝑢 = 5𝑢 + 3 H(u) U = 2 Y = 13
Funciones de Transferencia
• Se puede definir la Función de Transferencia como:
• Siempre y cuando las condiciones iniciales sean iguales a cero.
𝐻 𝑠 = 𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
𝐿*ℎ(𝑡)+ = 𝐻(𝑠)
Funciones de Transferencia
• Respuesta a Impulso – La transformada de Laplace de un impulso unitario es
1 – Entonces:
• Entonces la transformada de la respuesta a impulso de un sistema lineal es el mismo sistema.
𝑌 𝑠 = 𝐻 𝑠 ⋅ 𝐿*𝛿(𝑡)+ = 𝐻(𝑠)
Funciones de Transferencia
• Determinar la salida “y” en función de “u” y “p”.
H
+
+
p
u y
𝑦 = 𝑝 + 𝐻(𝑢)
Polos y Ceros
• Polos: Son las raíces del denominador de una función de transferencia.
• Ceros: Son las raíces del numerador de una función de transferencia.
𝑏𝑛𝑠𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑠
𝑛−1 +⋯+ 𝑏1𝑠 + 𝑏0𝑎𝑛𝑠
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑠 + 𝑎0
Polos
• La ubicación de los polos de una función de transferencia en el plano “s” determina el comportamiento del sistema que modela.
• Los polos ubicados en el semi plano izquierdo (SPI) son siempre estables ya que a entradas acotadas se obtienen salidas acotadas mientras que en el semi plano derecho (SPD) sucede al contrario.
Polos
Región Estable Región Inestable Región Críticamente
Estable
Polos
𝑒−𝑎𝑡 1
𝑠 + 𝑎
cos(𝑎𝑡) 𝑠
𝑠2 + 𝑎2
sen(𝑎𝑡) 𝑎
𝑠2 + 𝑎2
𝑒−𝑎𝑡cos(𝜔𝑡) 𝑠 + 𝑎
(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2
𝑒−𝑎𝑡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 𝜔
(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2
𝐴𝜇(𝑡) 𝐴
𝑠
Polos
• Polos Reales:
• Polos Imaginarios:
𝐻 𝑠 =1
(𝑠 + 𝑎)(𝑠 − 𝑏)
𝐼𝑚
𝑅𝑒 −𝑎 𝑏
𝐻 𝑠 =1
(𝑠2 + 𝑐2)
−𝑐
𝑐
X
X
X
X
Polos
• Polos Complejos conjugados:
𝐼𝑚
𝑅𝑒 −𝜉𝜔𝑛
𝐻 𝑠 =1
(𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛 +𝜔𝑛2)
𝜔𝑛 1 − 𝜉2 X
X −𝜔𝑛 1 − 𝜉2
𝜔𝑛
𝑠1 = −𝜉𝜔𝑛 + 𝜔𝑛 1 − 𝜉2
𝑠2 = −𝜉𝜔𝑛 − 𝜔𝑛 1 − 𝜉2
Polos
• Diseñe “a” y “b” para que el sistema H sea estable y tenga un polo en el origen.
• ¿Se puede decir que sea críticamente estable?.
𝐻 𝑠 =𝑠 + 𝑎
(𝑠2 + 𝑎𝑠 + 𝑏)
Ejercicios
• Calcular los polos de los siguientes sistemas e indicar si son inestables:
• Calcular A,B y C para que al utilizar el segundo sistema como entrada del primer sistema el conjunto sea estable.
Be 𝑡 + 𝑒 (𝑡) = 𝑢 𝑡 + 𝐶𝑢 − 𝐴𝑒
𝑦 𝑡 = 3𝑦 𝑡 + 4𝑦 𝑡 + 𝑢(𝑡)
Soluciones en el tiempo
• Fracciones Parciales: La idea de este método matemático es separar el denominador de una fracción en una suma de fracciones mas simples.
• Se utilizan variables auxiliares para luego igualar los coeficientes de cada orden de “s”.
• Notar que el orden utilizado en cada numerador del lado derecho tiene siempre un grado menos que el denominador.
𝑏𝑛𝑠𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑠
𝑛−1 +⋯+ 𝑏1𝑠 + 𝑏0𝑎𝑛𝑠
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑠 + 𝑎0
=𝐴𝑠 + 𝐵
𝑠2 + 𝑐1𝑠 + 𝑐0+
𝐶
𝑠 + 𝑐2+⋯+
𝐷
𝑠
Soluciones en el tiempo
• Calcular la salida del circuito si la entrada es un escalón unitario, L=5, C=0,01, R=45.
𝑉𝑐 =𝑉𝑓
𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1
𝑉𝑐 =20
𝑠(𝑠2 + 9𝑠 + 20)
𝑉𝑐 =1
𝑠+
4
𝑠 + 5−
5
𝑠 + 4
𝑣𝑐(𝑡) = 1 + 4𝑒−5𝑡 − 5𝑒−4𝑡
Soluciones en el tiempo
• Calcular la respuesta a impulso en el tiempo
𝐻 𝑠 =𝑠 − 1
(𝑠 + 3)(𝑠 − 2)
𝑌 𝑠 =𝐴
𝑠 + 3+
𝐵
𝑠 − 2 𝐴 𝑠 − 2 + 𝐵 𝑠 + 3 = 𝑠 − 1
𝐴 + 𝐵 = 1
3𝐵 − 2𝐴 = −1
𝐴 =4
5
𝐵 =1
5
𝑌 𝑠 =4/5
𝑠 + 3+
1/5
𝑠 − 2
𝑦 𝑡 =4
5𝑒−3𝑡 +
1
5𝑒2𝑡
Soluciones en el tiempo
• Calcular la respuesta a impulso en el tiempo
𝐻 𝑠 =𝑠 + 6
(𝑠2 + 4𝑠 + 13)
𝑌 𝑠 =(𝑠 + 2) + 4
((𝑠 + 2)2+9)
𝑦 𝑡 = 𝑒−2𝑡 cos(3𝑡) +4
3𝑒−2𝑡 sin(3𝑡)
𝑒−𝑎𝑡cos(𝜔𝑡) 𝑠 + 𝑎
(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2
𝑒−𝑎𝑡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 𝜔
(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2
(𝑠 + 2)
((𝑠 + 2)2+32) +4
3⋅
3
((𝑠 + 2)2+32)
Recapitulación
• La estabilidad de un sistema se interpreta mediante la ubicación de sus polos, pudiendo ser un sistema: – Estable – Críticamente Estable – Inestable
• Las respuestas en el tiempo de los sistemas lineales se
pueden definir en distintas regiones del plano de Laplace.
• Un sistema puede ser identificado mediante su respuesta al Impulso.
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