Superficie cónica Cuando una recta g que corta a otra recta e, gira alrededor de ella,
genera una superficie cónica
V
Las cónicas como secciones de un cono.
Circunferencia Al cortar la superficie cónica con un plano se obtienen unas curvas que se llaman cónicas. Las distintas posiciones del plano determinan diferentes
cónicas
Circunferencia: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano secante es perpendicular al eje del cono, corta a todas las generatrices y no
pasa por el vértice.
Las cónicas como secciones de un cono.
Elipse Elipse: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano secante es
oblicuo al eje del cono, corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.
Las cónicas como secciones de un cono.
Hipérbola
Hipérbola: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano es paralelo al eje del cono y no pasa por el vértice.
Las cónicas como secciones de un cono.
Parábola Parábola: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano secante es oblicuo al eje del cono, paralelo a una generatriz y no pasa por el vértice.
Cónicas degeneradas
Cuando el plano que corta a la superficie cónica contiene al vértice se obtiene una sección llamada cónica degenerada.
El ángulo que forma el plano con el eje, es mayor que el ángulo formado por el eje con una generatriz
El ángulo que forma el plano con el eje, es menor que el ángulo formado por el eje con una generatriz
El ángulo que forma el plano con el eje, es igual que el ángulo formado por el eje con una generatriz
Cónicas degeneradas
C
Estudio sintético de la
circunferencia Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro
Diámetro
Centro
Arco
C P C
Posiciones relativas de un punto y
una circunferencia
Si d(P, O) > r el punto P es exterior
Si d(P, O) = r el punto P está en la circunferencia
Si d(P, O) < r el punto P es interior
Posiciones relativas de una
circunferencia y una recta
• Si d(O, s) > r, la recta s es exterior.
• Recta y circunferencia no tienen puntos en común
• Si d(O, s) = r, la recta s es tangente.
• Recta y circunferencia tienen un punto en común
• Si d(O, s) < r, la recta s es secante.
• Recta y circunferencia tienen dos puntos en común
Posiciones relativas de dos circunferencias
• Si d(O, O') > r + r', las circunferencias son exteriores.
• Las circunferencias no tienen puntos en común
• Si d(O, O') = r + r', las circunferencias son tangentes exteriores.
• Si d(O, O') = r – r', las circunferencias son tangentes interiores.
• Las circunferencias tienen un punto en común
• Si d(O, O') < r – r', las circunferencias son interiores.
• Si además tienen el mismo centro son concéntricas.
• Las circunferencias no tienen puntos en común
Estudio analítico de la circunferencia
P(x, y) Circunferencia d(P, C) = r (x – a)2+(y – b)
2 = r
Ecuación analítica de la circunferencia: (x – a)2+(y – b)2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
x2 + y2 +D x + E y + F = 0
Inversamente: dada x2 + y2 +D x + E y + F = 0 su centro y el radio serán:
–2a = D
–2b = E
a2+b
2–r
2 = F
a = –
D
2
b = – E
2
r = a2+b
2–F =
1
2 D
2+E
2–4F
Condiciones para que una ecuación
represente a una circunferencia
kx2 +ky2 –2akx –2bky+k(a2+b2 – R2)=0
Ax2 +By2 +Cxy +D x +E y + F =0
Identificando coeficientes se obtiene:
De las dos primeras ecuaciones A = B = k.
Y de las tres últimas: a = – D
2A ; b = –
E
2A ; R =
1
2A D
2+E
2–4AF
C = 0
Si es negativo no existe circunferencia
Potencia de un punto respecto a una
circunferencia
• Los triángulos PAB' y PA'B son semejantes PA . PB = PA' . PB' • Se define Potc(P) = PA . PB = PA' . PB'
Expresión analítica de la potencia
Potc(P) = PA . PB = (d – r) (d + r) = d2 – r2 = (xo – a)2 + (yo – b)2 – r2
d = (xo–a)2+(yo–b)
2
Por tanto: para hallar la potencia de un punto respecto a una circunferencia se sustituyen las coordenadas del punto en la ecuación
de la circunferencia
Potencia y posición relativa
P exterior a la circunferencia
Potc(P) > 0
P interior a la circunferencia
Potc(P) < 0
P sobre la circunferencia
Potc(P) = 0
Posiciones relativas de una recta y una
circunferencia Para saber cuántos puntos en común tienen una recta a x + b y + c=0 y una circunferencia Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 hemos de saber cuántas soluciones tiene el sistema
a x + b y + c = 0 Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0
Mx2 + Nx + P = 0
Al despejar y de la ecuación de arriba y sustituir en la de abajo obtenemos
D= N2 - 4 M P > 0 dos soluciones
dos puntos de contacto
Recta secante
D= N2 - 4 M P = 0 una solución
un punto de contacto
Recta tangente
D= N2 - 4 M P < 0 sin solución
sin puntos de contacto
Recta exterior
•
• •
• Sean C1:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 y C2:x
2 + y2 + D'x + E'y + F' = 0.
• Para que un punto P(x, y) pertenezca al eje radical se ha de cumplir que
PotC1(P) = PotC
2(P) . Es decir:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = x2 + y2 + D'x + E'y + F'
(D – D') x + (E – E') y + (F – F') = 0
Eje radical de dos circunferencias
Se define el eje radical de dos circunferencias como el lugar geométrico de los puntos del planos que tienen igual potencia respecto de ambas.
Por tanto: el eje radical de dos circunferencias es una recta.
Estudio geométrico del eje radical de dos
circunferencias El eje radical es siempre perpendicular a la línea de centros
Estudio sintético de la elipse La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, P, cuya suma de
distancias a dos puntos fijos, llamados focos (F y F'), es constante, 2a. Por tanto: PF + PF' = 2a
Eje mayor
Eje menor
Vértices
Eje focal
Eje secundario
• BF + BF' = 2a (BF = BF') 2 BF = 2a BF = a
Segmentos de la elipse. Relación
fundamental • A'A = A'F + FA = A'F + A'F' = 2a OA = OA' = a
a a
• BB' = 2b OB = OB' = b
• FF' = 2c OF = OF' = c
a
c
b
a2 = b2 + c2
Estudio analítico de la elipse Para obtener una ecuación sencilla de la elipse se sitúan los focos en el eje de
abscisas simétricos respecto al origen de coordenadas, por lo que el centro de la elipse quedará en (0,0). Las coordenadas de los focos serán entonces F(c, 0) y
F'(–c, 0).
P(x, y) elipse PF + PF' = 2a (x – c)2+y
2 + (x + c)
2+y
2 = 2a
• Eliminando radicales: (a2 – c2) x2 + a2 y2 = a2 (a2 – c2).
• Como a2 – c2 = b2. Obtenemos: b2 x2 + a2 y2 = a2 b2, y dividiendo por a2 b2: x
2
a2 +
y2
b2 = 1
• e = c/a • 0 < e < 1 ya que 0 < c < a • En la medida en que e se aproxima a 0 la elipse se parece más a una circunferencia. • En la medida en que e se aproxima a 1 la elipse se parece más a un segmento.
Excentricidad de la elipse
e = 0.1
e = 0.3
e = 0.5
e = 0.7
e = 0.9
Sucesivas elipses en las que a = 5.
Los focos, cuando e pasa de 1 a 0, van acercándose cada vez
más al centro.
La elíptica de la Tierra
La trayectoria que sigue la Tierra alrededor del Sol es elíptica, de manera que el Sol se encuentra en uno de los focos. El semieje mayor de la elipse vale a = 1.485x108 km., y la excentricidad de la elipse es 1/62 (aproximadamente).
SolA
A'
Sentido de
rotación de la
Tierra
Solsticio
de
Invierno
Equinoccio de
Primavera
Solsticio de
Verano
Equinoccio de
Otoño
c
• •a a
•
•
El afelio (máxima distancia al Sol) se alcanza en junio y el perihelio (mínima distancia al Sol) en diciembre. Las estaciones dependen de la altura a la que se eleva el Sol sobre el horizonte durante el día y no de la distancia de la Tierra al Sol. A su vez dicha altura cambia porque el eje de rotación de la Tierra está inclinado con respecto al plano de la elíptica. En general los planetas tienen excentricidades pequeñas: así por ejemplo Marte tiene excentricidad 0'09, y Mercurio 0'25. Por el contrario algunos cometas (como el Halley) tienen excentricidades muy grandes (0'967).
Estudio sintético de la hipérbola La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P, cuya diferencia de
distancias, en valor absoluto, a dos puntos fijos, llamados focos (F y F'), es constante, 2a.
Por tanto: |PF – PF'| = 2a
Eje focal
Eje secundario
Centro
Vértices
Eje mayor
Eje menor
Asíntotas de la hipérbola. Relación
fundamental
Asíntota: y = (b/a) x
Asíntota: y = – (b/a) x
2a
2b a
b c c2 = a2 + b2
• A'A = AF' – A'F' = AF' – AF = 2a OA = OA' = a
• BB' = 2b OB = OB' = b
• FF' = 2c OF = OF' = c
• F
• F'
Estudio analítico de la hipérbola
Para obtener una ecuación sencilla de la hipérbola se sitúan los focos en el eje de abscisas simétricos respecto al origen de coordenadas, por lo que el centro de la elipse quedará en (0,0). Las coordenadas de los focos serán entonces F(c, 0) y
F'(–c, 0).
P(x, y) hipérbola PF – PF'| = 2a (x-c)2+y
2 – (x+c)
2+y
2 |= 2a
• Eliminando radicales: (c2 – a2) x2 – a2 y2 = a2 (c2 – a2).
• Como a2 + b2 = c2. Obtenemos: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2, y dividiendo por a2 b2: x
2
a2 –
y2
b2 = 1
Hipérbola equilátera
Si a = b la hipérbola recibe el nombre de equilátera. Entonces su ecuación será x2 – y2 = a2 y sus asíntotas serán y = x; y = – x
A(a, 0)
A'(–a, 0)
Giro de 45º
Las asíntotas se convierten en los ejes coordenados. La ecuación de la hipérbola ahora es xy = a2/2
F(a 2, 0) . F(-a 2, 0) .
Excentricidad de la hipérbola • e = c/a • e > 1 ya que c > a • En la medida en que e se hace muy grande las ramas de la hipérbola se abren
cada vez más • En la medida en que e se aproxima a 1 las ramas se cierran sobre el eje OX.
Sucesivas hipérbolas en las que a = 5. Los focos, al crecer e, se van
alejando del centro
e = 3
e = 1.1
e = 2
Tangente y normal a una elipse o una
hipérbola en un punto • Ecuación de la recta tangente: y – f(xo) = f '(xo) (x – xo) • Ecuación de la recta normal: y – f(xo) = (–1/ f '(xo)) (x – xo) Propiedad de la tangente: los radio-vectores del punto P forman el
mismo ángulo con la recta tangente en dicho punto.
Estudio sintético de la parábola La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano, P, que equidistan
de un punto fijo F llamado foco y de una recta d llamada directriz.
• P
V: vértice
Eje
d(P, F)
d(P, d) e = = 1
La excentricidad de la parábola es 1 • F: foco
d: directriz
Parámetro
P(x, y) parábola d(P, F) = d(P, d) x2 +
y – p
2
2=
y +
p
2
02 + 1
2
Estudio analítico de la parábola:
eje en OY y ramas hacia arriba Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje de ordenadas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro.
Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(0, p/2) y d: y = – p/2
Eliminando radicales: x2 = 2py
• P(x, y)
Estudio analítico de la parábola: eje en OY y
ramas hacia abajo Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje de ordenadas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro.
Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(0, – p/2) y d: y = p/2
P(x, y) parábola d(P, F) = d(P, d) x2 +
y + p
2
2=
y –
p
2
02 + 1
2
Eliminando radicales: x2 = – 2py
• P(x, y)
Estudio analítico de la parábola: eje en OX y
ramas hacia la derecha Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje de abcisas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro.
Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(p/2, 0) y d: x = – p/2
P(x, y) parábola d(P, F) = d(P, d)
x – p
2
2 + y
2=
x +
p
2
12 + 0
2
Eliminando radicales: y2 = 2px
• P(x, y)
Estudio analítico de la parábola:
eje en OX y ramas hacia la izquierda Para obtener una ecuación sencilla de la parábola se puede situar el foco, F, en el eje de abcisas simétrico respecto al origen de coordenadas de la directriz, d, que se sitúa paralela al eje de abscisas. La distancia desde el foco a la directriz se llama parámetro.
Podemos entonces tomar (por ejemplo): F(– p/2, 0) y d: x = p/2
P(x, y) parábola d(P, F) = d(P, d)
x + p
2
2 + y
2=
x –
p
2
12 + 0
2
Eliminando radicales: y2 = – 2px
• P(x, y)
Se traslada el vértice a V(xo, yo)
Diferentes ecuaciones de las parábolas (I)
Se traslada el vértice a V(xo, yo)
Se traslada el vértice a V(xo, yo)
Diferentes ecuaciones de las parábolas (II)
Se traslada el vértice a V(xo, yo)
Tangente y normal a una parábola en un punto • Ecuación de la recta tangente: y – f(xo) = f '(xo) (x – xo) • Ecuación de la recta normal: y – f(xo) = (–1/ f '(xo)) (x – xo)
Propiedad de la tangente: La tangente y la normal son las bisectrices de los ángulos que
forman el radio vector de un punto P y una recta paralela al eje que pasa por P.
Propiedad del foco: • Todo rayo que sale del foco se refleja en la parábola con dirección
paralela al eje. • Todo rayo que llega paralelo al eje de la parábola se refleja sobre el
foco
Una nueva visión de las cónicas
Dado un punto F llamado foco y una recta fija d (que no pase por F) llamada directriz y un número e > 0, el conjunto de los puntos P del plano tal que
d(P, F) = e . d(P, d) es una cónica de excentricidad e. • Si e < 1 es una elipse • Si e = 1 es una parábola • Si e > 1 es una hipérbola
Elipses
Parábola
Hipérbola
Traslación de
vector guía
v = (1,4)
Ecuación general de las cónicas • Las ecuaciones más sencillas de las cónicas se obtienen cuando los ejes
coordenados coinciden con sus ejes. • ¿Qué forma tienen dichas ecuaciones cuando la cónica está situada en
cualquier parte del plano?
Elipse de ecuación
x2
9 +
y2
4 = 1 Elipse de ecuación
(x- 1)2
9 +
(y- 4)2
4 = 1
Giro de centro el origen y
amplitud 45º
La ecuación general de una cónica es
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 donde A, B y C no son nulos
a la vez
Elipse de ecuación
( 1
2 (x+y) - 1 )2
9 +
( 1
2 (- x+y) - 4)2
4 = 1
Clasificación de las cónicas
La gráfica de cualquier cónica no degenerada de ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
• es una elipse si: B2 – 4AC < 0 • es una parábola si: B2 – 4AC = 0 • es una hipérbola si: B2 – 4AC > 0 Además si B = 0 los ejes de la cónica son paralelos a los ejes
coordenados y si B 0 la cónica tiene los ejes girados respecto a los ejes cartesianos
La ecuación general de esta cónica es
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
con B = 0 y B2 – 4AC < 0
La ecuación general de esta cónica es
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
con B = 0 y B2 – 4AC > 0
La ecuación general de esta cónica es
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
con B = 0 y B2 – 4AC = 0
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