Variable Compleja
José Darío Sánchez Hernández
Bogotá -Colombia - abril 2005
El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuaciónencontrará más de cien resultados básicos, entre los cuales se hallan definiciones, teoremas,corolarios y algunos ejemplos, es posible que encuentre la manera de volver a redactar algunos,por favor hágalo, de forma que los pueda recordar después. Para las demostraciones esindispensable el uso de una biblioteca con un buen número de textos de Variable Compleja, enesta forma el estudiante utiliza tácticas de investigación y empleará la biblioteca. Luegoencontrará resultados en donde se ha dado una posible demostración, la cual se supone escorrecta, sin descartar la posibilidad de que haya algunos errores; el lector deberá revisarlasanalizando cuál de los resultados básicos se ha utilizado en la prueba.
§1. RESULTADOS BÁSICOS
1.Si es un cuerpo conmutativo se dice que la aplicación esun valor absoluto arquimediano si
Para todo ,
Existen tal que max
2. es el único cuerpo con valorabsoluto arquimediano completo y tal que la ecuación tieneuna solución salvo isomorfismos .
3.Sea un abierto no vacío del plano complejo . . Denotemospor la variable en . Por donde
, se denotará a una función de variable compleja.La función es continua si y sólo si las funciones son
continuas.
4.Sea , se dice que una función de variable compleja escomplejamente diferenciable en el punto , si existe lim
En este caso se llama la derivada de en el punto y se nota Si es complejamente diferenciable en , entonces es continua en .
5.Ecuaciones de Cauchy-Riemann: Si una función escomplejamente diferenciable en el punto entonces en elpunto existen las derivadas parciales y se tiene
.
Darío Sánchez H Variable Compleja 2
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se pueden también escribir en la
forma
6.En general dada la función el hecho de que existan lasderivadas parciales en un punto y que se cumplan las
condiciones de Cauchy-Riemann en ese punto no garantiza que seacomplejamente diferenciable en .
Tómese como contra-ejemplo a la función
, si
, si
7.Sea y . Para que la función seacomplejamente diferenciable en el punto es necesario y suficienteque cada una de las funciones sea diferenciable en el punto
y que las derivadas parciales cumplan las condiciones de Cauchy-Riemann.
8. es diferenciable en un punto , si existen tales que para cada punto en una vecindad de se tenga que
donde , en este caso .lim
9.Sean abierto no vacío de , funciones complejamentediferenciable en el punto . Entonces las funciones soncomplejamente diferenciables en y
Además, si , entonces es complejamente diferenciable en y
.
10.Regla de la cadena: Sean abiertos no vacíos de , , . Entonces, si es complejamente
diferenciable en y es complejamente diferenciable en también es complejamente diferenciable en y
11. Sea un abierto no vacío de y se dice que es HOLOMORFA
en si es complejamente diferenciable en todos los puntos de . Sedice que es en el punto si es holomorfa en unaHOLOMORFA
vecindada de .Las funciones holomorfas de forman un anillo conmutativo con
elemento unidad .
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12. en este caso vale
el criterio de Cauchy, o sea
se sigue que si la serie converge entonces .lim
converge absolutamente cuando .
13.Sea ø un conjunto cualquiera y . Se denota por
sup . Se dice que una serie de
funciones es normalmente convergente sobre si
.
14.Sea ø un conjunto cualquiera, una serie de funciones
complejas sobre , normalmente convergente. Entonces
, la serie es absolutamente convergente.
La serie es uniformemente convergente sobre .
15.Sea ø y una serie de funciones complejas continuas
uniformemente convergentes sobre . Entonces, la función
es continua en .
16. Sea . Llámase de convergencia de alradio
número real extendido sup
Llámase de convergencia de al conjunto círculo
17.Lema de Abel: Sea y tales que ,
supongamos que existe tal que para todo , entonces la serie es normalmente convergente en el círculo
.
Sea el radio de convergencia de la serie . Entonces
Si la serie converge normalmente en .
Si tal que entonces es divergente.
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18.Fórmula de Hadamard: El radio de convergencia de la serie
está dada por la fórmula .lim sup
Sea , entonces; es convergente si
es divergente si >
lim sup
lim sup
19. Sean , y , series absolutamente convergentes de números
complejos, si entonces la serie es absolutamente
convergente y .
20.Sean con donde
. Pongamos entonces, y si ,
21.Sea con y sea
entonces
ø.
Para todo . Si y si entonces | y .
22.Sean una serie inversible es decir; con .Entonces, la serie tiene . De aquí se sigue que si
min entonces .
23.Para todo . Además de eso para todo con tenemos . En otras palabras la funciónlim
es holomorfa en el disco de convergencia y .
24.Sea con . Entonces la función es
indefinidamente diferenciable en el disco de convergencia de y para
todo , . Sean tales que y que exista
y tal que para se tenga, entonces.
25.Sea con y sea la serie recíproca(es decir, ). Entonces si también .
26.Defínase por la fórmula . . y está bienexp exp
definida, pues su radio de convergencia es infinito.
Darío Sánchez H Variable Compleja 5
27.La aplicación es un homomorfismo del grupo aditivo en elgrupo multiplicativo .El homomorfismo aplica sobre y el núcleo es .
min cos
28.Si es compacto, inyectiva y continua entonces escompacto y es un homeomorfismo.
29.Dado se llama logaritmo de cualquier complejo tal que.
Para todo .log ln arg
Para todo log log log mod
Si se llama aquel tal que arg cos sin
30.Sea un abierto conexo de y una función continua tal quepara todo , Entonces se tiene que es una exp rama de
log en .Si es un abierto conexo y es una rama de en entonceslog
para todo ; es una rama de , recíprocamente todaslog
las ramas de en tienen esta forma.log
31. Sean , una vecindad de . Se dice que es
analítica en el punto si existe con y existe tal
que < y para todo , con
.
Si es un abierto de y , entonces se dice que es analíticaen , si es analítica en cada punto de .
32.Sea una función analítica en el punto . Entonces es
indefinidamente diferenciable en una vecindad de y si es
su expansión en serie alrededor de , entonces , Toda función analítica en un abierto es indefinidamente diferenciable
en .
33.Sean funciones analíticas en . Entonces y son funciones analíticas en .
Si , la función es analítica en .
Si en una vecindad de , entonces ,o, en unavecindad de
Finalmente existe una función , analítica en tal que en unavecindad de . Esta función está determinada en la vecindad de a menos de una constante aditiva por
Darío Sánchez H Variable Compleja 6
y
34. Sea con . Entonces es una
función analítica en el disco de convergencia de . Más exactamente para
todo con la serie de potencias tiene
radio de convergencia y su suma para es iguala .
35.Una función que es analítica en todo el se llama una funciónplano
entera. Las funciones exponencial y trigonométricas son enteras.
36. Sean un abierto conexo de , una función analítica en y. La siguientes afirmaciones son equivalentes:
Para todo , Existe sucesión de puntos diferentes en con y para todo
en una vecindad de en .
Si es un abierto conexo en las funciones analíticas en forman undominio de integridad.
37.PRINCIPIO DE PROLONGAMIENTO ANALÍTICO. Sean abiertos conexos de con ø y para sea una función analítica en . Si
en entonces existe una función analítica única en tal que
38.Sea una función analítica en tal que , pero en
una vecindad de . Sea la serie de potencias
correspondiente. El número se llama omin orden
multiplicidad del cero de .
Si la multiplicidad es se dice que es un cero de .simpleSea , es analítica en , es el orden del cero de
si y sólo si , para y . Lo cual esequivalente a decir que en una vecindad de donde es analítica en y ya que
Sean un abierto conexo de y una función analítica tal que . Entonces es un conjunto discreto en . (Es decir,
consta solamente de puntos aislados).
39. Sea un intervalo compacto de
Darío Sánchez H Variable Compleja 7
Una aplicación continua se llama continuo en camino Si para , entonces (excepto eventualmente
en el caso ), se dice que es un camino (o, un arco).simple
Si , se dice que es un camino .cerrado Sean un intervalo compacto de y un homeomorfismo
de sobre . Entonces se dice que el camino esdeducido de por transformación de parámetros.Si y (respectivamente )se dice que la transformación de parámetros no cambia (resp. cambia) laorientación del camino.Sean caminos tales que entonces el camino
definido por se llama camino sisi
compuesto
de y el cual se denota por .
40.Sea un abierto de Si y son dos caminos es con y se dice que y son en sihomotópicos
existe continua, tal que
y Si es conexo se puede definir
Sean caminos cerrados, se dice que sonhomotópicos en si existe continua tal que para todo
y . Si | se reduce a unpunto se dice que es homotópica a un punto.
41.Prolongamiento analítico a lo largo de un camino:Sean un arco, una función analítica en
. Se toma la expansión en serie alrededor de . Tómese talque (disco de convergencia de la serie expandida). Sea
y si es analítica en existe tal que para algún . Si es analítica en existe .
Suponiendo que el proceso puede prolongarse a un punto tal que , se obtiene así una función analítica en .
42.Sean abiertos de con ø. Sea una función analíticaen supóngase que es prolongación analítica de a . Sean
y un camino simple un arco de a en . Entoncesla expansión de la serie alrededor de puede ser obtenida a partir de laexpansión de alrededor de por prolongación analítica a lo largo de .
43.Teorema de Monodromia: Sean dos caminoshomotópicos de a y una función analítica en , supóngase que paratodo camino simple intermediario entre y la función
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sea continuamente prolongable a lo largo de . Entonces losprolongamientos analíticos de a lo largo de y dan la mismaserie alrededor de .
44.Se dice que una aplicación es un camino
diferenciable si las funciones , y, son continuamente
diferenciables. Una en un abierto es una expresiónforma diferencial
donde y son funciones continuas en . Si es una forma diferencial en un abierto y
es un camino diferenciable, se define la integral por la
fórmula donde .
En la misma notación tenemos que donde es
una forma diferenciable sobre .
45.Se dice que un camino es sidiferenciable por partes existe una partición de tal que elcamino es un camino diferenciable. En este caso para ,
forma diferencial en , se define .
Sean un abierto conexo de , . Entonces existe una poligonalen con punto inicial y punto final .
46.Sean un abierto conexo de , .
Entonces, si es un camino diferenciable por partes con punto inicial ypunto final tenemos . En particular si en ,
es constante en .
47. Una forma diferencial en un abierto conexo posee unaprimitiva en si y solamente si para todo camino cerrado diferenciablepor partes en , .
Sean un disco abierto en y una forma diferenciable en tal quepara todo rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas y
.
48. Fórmula de Green: Sean un abierto de tal que es un
camino cerrado simple diferenciable por partes, una formadiferencial definida en una vecindad de y tal que las derivadasparciales y existan y sean continuas en la vecindad de . Entonces
Darío Sánchez H Variable Compleja 9
49.Sea un abierto continuo conexo una formadiferencial en , tal que , existan y sean continuas en ,
entonces para que posea una primitiva en es necesario que en
es suficiente que sea un disco y que en .
Se dice que una forma diferencial en un abierto es cerrada si paratodo , existe vecindad de tal que tiene unaprimitiva.
50.Sea una forma diferencial en un abierto .Entonces
es cerrada si y sólo si para todo rectángulo suficientementepequeño con lados paralelos a los ejes, la integral
Si las derivadas parciales , existen y son continuas en entonces
es cerrada si y solamente si en .
51.Sean abiertos de , una forma diferencial cerrada en y un camino. Entonces existe una función continua
con la siguiente propiedad: Para todo , existe vecindad de, existe primitiva de en , existe vecindad de en tales
que para todo , . Además de eso la función está unívocamente determinada a menos de una constante aditiva. Eneste caso se dice que es una de . primitiva de a lo largoBajo las mismas hipótesis si no es diferenciable por partes y si es
una primitiva de a lo largo de , se define
52.Si es un camino cerrado en entonces es un número entero.
Sean un abierto de , una forma diferencial cerrada en y: continua entonces existe una función
continua con la siguiente propiedad: existen vecindad de , primitiva de
en vecindad de en tales que y .Una tal función esta unívocamente determinada a menos de unaconstante aditiva en este caso se dice que es una primitiva de con
respecto a .
53.Sean un abierto de y forma diferencial cerrada en . Si son dos caminos homotópicos en con extremos iguales
entonces
Si son dos caminos cerrados homotópicos en entonces.
Darío Sánchez H Variable Compleja 10
Se dice que un abierto es simplemente conexo si todo caminocerrado en es homotópico a un punto.Toda forma diferencial cerrada en un abierto simplemente conexo posee
una primitiva en .
54.Sean un camino cerrado en y . Llámase índice de conrespecto a al número
Si y son dos caminos cerrados homotópicos en entonces
Fijando el camino cerrado en , la aplicación es unafunción localmente constante en . La aplicación que escontinua ya que es compacto entonces es constante en lascomponentes conexas de .Sea un camino diferenciable con derivada continua y
además existe vecindad de en tal que esinyectiva en y existe una vecindad de tal que es dividida endos regiones por .
55.Se dice que una colección finita de caminos cerrados simples diferenciables por partes es el de unBORDE ORIENTADO
compacto si:
ø si si es diferenciable entonces para todo
y si las regiones de la vecindad de divididas por el
arco son tales que ø.Si es un borde orientado de un compacto y si es una
forma diferenciable definida en una vecindad abierta de con
entonces
56.Teorema de Cauchy: Si es una función holomorfa en un abierto de entonces la forma diferencial es cerrada en .
Si es una función holomorfa en un abierto entonces poseelocalmente una primitiva que también es holomorfa .Forma usual del teorema de Cauchy: Si es una función holomorfa
en un abierto y si es un camino cerrado homotópico a un puntoen entonces .
57.Si es una función continua en un abierto de y es holomorfa en, excepto eventualmente en puntos situados sobre una recta paralela
al eje real entonces la forma diferencial es cerrada en (en
Darío Sánchez H Variable Compleja 11
particular, es cerrada si es continua en y holomorfa en excepto eventualmente en un conjunto finito de puntos de ).
58. Sean una función holomorfa enFórmula integral de Cauchy:un abierto y un camino cerrado en , homotópico a un punto.Entonces se tiene que
59.Sea una función holomorfa en el disco entonces es analítica en y la expresión de en serie de
potencias de tiene radio de convergencia
donde
60.Si es una función holomorfa en un abierto entonces es analíticaen . En particular, es indefinidamente diferenciable y para todo ,
si entonces
que constituye la para las derivadas.fórmula integral de Cauchy
61.Teorema de Morera. Si es una función continua en un abierto tal que la forma diferencial es cerrada entonces es
holomorfa en .Si es continua en un abierto y es holomorfa en excepto
eventualmente en puntos situados sobre una recta (o sobre un númerofinito de rectas ) entonces es holomorfa en todo .Sea el borde orientado de un compacto y una función
holomorfa en un abierto entonces
62.Principio de simetría de Schwarz: Sea un abierto de simétrico con respecto al eje real
una función continua en y holomorfa en con . Entonces puede extenderse de manera única a una
función holomorfa en todo , donde
63.Sea un abierto de , función holomorfa en , entonces
donde
con . La serie convergente en el mayor disco abiertocon centro en y contenido en , . Esta serie es llamadaserie de Taylor de en el punto .
64.Desigualdad de Cauchy. Sea una función holomorfa en el disco y para sea
Darío Sánchez H Variable Compleja 12
sup
Entonces, para todo , para los coeficientes de
Taylor
65.Teorema de Liouville: Si una función entera es acotada en todo elplano, entonces ella es constante.Si es un polinomio no constante con coeficientes complejos
entonces la ecuación tiene por lo menos una raíz en .Este enunciado es conocido como el teorema fundamental del álgebra.
66. Se dice que una función real o complejo definida en un abierto del plano tiene la si propiedad del valor medio
con .Si es una función holomorfa en un abierto entonces tiene la
propiedad del valor medio en .Si es holomorfa en el abierto entonces las funciones , e,
tiene la propiedad del valor medio en .
67.Principio del máximo: Sea un abierto de y una funcióncontinua en con la propiedad del valor medio. Entonces si tiene unmáximo relativo en un punto es constante en una vecindad de
.Sea ø un subconjunto abierto acotado y conexo de , una función
continua en con la propiedad del valor medio en ysup . Entonces
Para todo , | Si existe con | , entonces constante en .
Sea , una función continua en holomorfaen un disco . Entonces toma su máximo sobre enun punto de , .sup
68.Lema de Schwarz: Sea una función holomorfa en el disco tal que y | . Entonces
Para todo Si existe con entonces existe con
tal que .
69.Sea un abierto conexo de consideremos el cuerpo de fracciones del dominio de integridad . Todo elemento de tiene la
forma , donde y son llamados .funciones meromorfas
70.Dado , si la función es analítica en una vecindad de
, si tenemos en una vecindad de , donde , holomorfas y
. Tenemos dos posibilidades
Darío Sánchez H Variable Compleja 13
, en ese caso la función se puede extender analíticamente a
el punto poniendo en la vecindad de
en este caso y se dice que tiene unlim
polo en .El número es llamado la ( )multiplicidad del polo o también orden
Si un polo tiene multiplicidad , se dice que el .polo es simple
71.Si es una función meromorfa en un abierto conexo entonces estambién una función meromorfa en y si es un polo de orden de ,
es un polo de orden de (los polos de son los mismos polosde ).
72.Sea con . Entonces la serie de
funciones es convergente en . Si , la serie
es normalmente convergente en . Además la función
es holomorfa en y la derivada es (converge
en ).
73.Sea tal que
El radio de convergencia de la serie es mayor que o
igual a .
El radio de convergencia de la serie es mayor que o igual a
donde | | , , Entonces
La serie es convergente en el anillo Si , es uniformemente convergente
en el anillo La función es holomorfa en y
74.Sea una función en el anillo circular ( ,
+ ) dada por una serie de Laurent, .
Entonces, los coeficientes estan unívocamente determinados por .Teniéndose que .Sea , + , y una función
holomorfa en . Entonces es representable por una serie de Laurenten .
Darío Sánchez H Variable Compleja 14
Sean , . Si es
holomorfa en y es la serie de Laurent entonces
tomando tenemossup
,
75.Sea y una funciónholomorfa en entonces donde es una función holomorfaen y es holomorfa en (llamada descomposiciónde Laurent). Se tiene unicidad en la descomposición si se exige quelim .
Sean abierto de , , una función holomorfa en .Entonces puede ser extendida analíticamente al punto si ysolamente si es acotada en una vecindad de . Llamada unasingularidad removible.
76.Si y ø tenemos dos
posibilidades Si es finito, sea entoncesmin
donde es holomorfa en una vecindad de y , esmeromorfa en una vecindad de y el punto es un polo de orden de
Si es infinito, se dice que es un punto singular esencial aisladode .
77. Casorati-Weierstrass .Sea , una función holomorfaen el disco punteado con como punto singularesencial. Entonces para todo el conjunto esdenso en .Picard . Con las hipótesis del teorema anterior, tenemos más
precisamente que la función toma en todos losvalores en excepto en lo máximo en uno para todo .
78.Se dice que es holomorfa en una vecindad de si esholomorfa en una vecindad de . Si es holomorfa en entonces donde
ya que es compacta y es continua en entonces es acotada por elteorema de Liouville se sigue que es constante.Para una función compleja definida en , o en abiertos de , se
extienden los conceptos de función meromorfa en el punto , ordendel polo, singularidad esencial, etc, y se consideran las propiedadescorrespondientes de las funciones en una vecindad de .
Darío Sánchez H Variable Compleja 15
79. Si es una serie de Laurent en entonces
tiene en un polo de orden y tiene una singularidad esencial en #
Una función es meromorfa en todo es una función racional
80.Sean un camino cerrado en el anillo, una función holomorfa en y el
coeficiente de en la serie de Laurent de en entonces
Sean y una función holomorfa en una vecindad de con como punto singular aislado se llama de en el punto elresiduo
coeficiente de la serie de Laurent de en , y se le nota .Sea una función holomorfa en con además teniendo a
como punto singular aislado. Si es la serie de
Laurent en | . Se llama residuo de en el punto al número.
81.Teorema de los residuos: Sean un abierto de , una funciónholomorfa en excepto en un conjunto de singularidadesaisladas, un compacto con bordes orientados tal que paratodo y entonces ; es un conjunto finito y
Si es una función holomorfa en todo excepto en un conjunto desingularidades aisladas entonces el conjunto es finito y
82.Cálculo de residuos: Si es meromorfa en una vecindad de y
tiene en un polo simple, entonces .lim
Si es meromorfa en una vecindad de tiene un polo de orden
en entonces con holomorfa. Si
entonces entonces .
Más técnicamente se tiene que, si es un polo de orden de unafunción analítica , entonces el residuo en es dado por
Sea una función meromorfa no constante en una vecindad de y "derivada logarítmica de " . Entonces
si tiene en un cero de orden .
Darío Sánchez H Variable Compleja 16
Si es holomorfa en y es holomorfa en
si tiene en un polo de orden , .
83.Si es un abierto de , un compacto con borde orientado una función meromorfa en , no constante, holomorfa en los puntos de
y tal que . Además, sea la suma de lasmultiplicidades de las raíces de la ecuación en y la suma delas multiplicidades de los polos de en . Entonces
84.Sea una función holomorfa no constante en una vecindad de ,con un cero de orden en de . Entonces para toda vecindad (suficientemente pequeña) de existe vecindad de en tal que paratodo , la ecuación tiene exactamente raíces simplesen .
85.Teorema de Rouche: Sean un abierto de funcionesholomorfas en y un compacto con borde orientado tal que paratodo . Entonces las funciones y tienen elmismo número de ceros en .
86.Algunos tipos de integrales definidas
cos sin
donde es una función racional no tiene polos reales lim
donde es holomorfa en todos sus puntos con exceptoen lo máximo en un conjunto finito no tiene puntos singulares reales lim
La integral es convergente (o por lo menos existe el valorprincipal )lim
donde es holomorfa en todos los puntos con excepto enun conjunto finito lim
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La integral es convergente (o por lo menos existe el valorprincipal )lim
tiene un polo simple en y es holomorfa en los puntosreales
donde es una función racional no tiene polos en el semi-eje real positivo lim
log log
donde es una función racional sin polos sobre el semi-eje realpositivo lim
arg
también log
87.Sea un abierto de . Se dice que una sucesión en converge uniformemente en el interior de si para todo compacto contenido en , la sucesión converge uniformemente sobre
Se dice que una serie de funciones continuas en converge
uniformemente resp. normalmente en el interior de , si para todocompacto la serie es uniformemente convergente (resp.
normalmente convergente) en . Una sucesión puede converger uniformemente en el interior de y no
converger en como en es una sucesión de funciones definidaen , convergente uniformemente en y no converge en larecta. Si es una serie normalmente convergente en el interior de ,
entonces es uniformemente convergente en el interior de .
88.Si es una sucesión de uniformemente convergente en el
interior de y si entonces es unalim lim
función continua en , o sea .(El resultado se sigue del hecho de ser localmente compacto).
una sucesión en , converge uniformemente en el interior de converge uniformemente en todo disco cerrado .
Darío Sánchez H Variable Compleja 18
89.Si es una sucesión de funciones holomorfas en uniformementeconvergente en el interior de y si , entonces lim
(Aplíquese los teoremas de Morera y Cauchy). Sea un abierto de , una sucesión en uniformemente
convergente para en el interior de . Entonces la sucesión converge uniformemente en el interior de para .(Para la demostración use la fórmula integral de Cauchy para ).
90.Teorema de Hurwitz: Sean un abierto conexo de y unasucesión de funciones holomorfas uniformemente convergentes para
en el interior de . Entonces si para todo , setiene: , o .(Por contradicción suponga que y tal que Use el teorema del residuo.y concluya que ).
Si es una sucesión en , abierto conexo de las funciones son inyectivas y si uniformemente en el interior de entonces esinyectiva o -(Por contradicción; construya un abierto, aplique el teorema de Hurwitz y concluya que no esinyectiva).
Sea una función holomorfa , abiertos de . Si esinyectiva en una vecindad de un punto entonces La propiedad no es verdadera en variable real. Como contra-ejemplotome, es uno a uno y .(Para la demostración suponga aplique el resultado 84, para llegar a una contradicción).
91. Si es una funciónTeorema de la aplicación abierta:holomorfa no constante definida en un abierto conexo de , entonces
es una aplicación abierta.(Es suficiente mostrar que , la imagen contiene todos los puntos de una vecindad
de , para lo cual considere la ecuación donde aplíquese el resultado
84 dos veces).
92.Función inversa: Sea una función holomorfainyectiva en una vecindad de un punto , existe vecindad de y existe
vecindad de tales que es una biyección de sobre y laaplicación inversa es holomorfa y para todo ,
.
(Mediante el resultado 84 construya una vecidad de suficientemente pequeña de manera
que exista vecindad de . Tome es sobre y del teorema de la aplicación abierta, es continua).
93.Sean , abiertos no vacíos de , y una aplicación -diferenciablede sobre . Se dice que la aplicación es si es localmenteconformeinyectiva, y si , caminos diferenciables en a través de entonces el ángulo entre las tangentes a y en es igual al ánguloentre las tangentes a los caminos y de en el punto .
Darío Sánchez H Variable Compleja 19
Una aplicación , -lineal de sobre es conforme en tieneuna de las formas
, ,
En el caso conserva la orientación de los ángulos. En el segundocaso cambia la orientación de los ángulos.Sea un abierto de y continuamente -diferenciable y
además con en todo punto de . Entonces es una aplicación
conforme en si y solamente si es holomorfa o es anti-holomorfaes decir, función holomorfa en en .
94. Sea una función holomorfa e inyectiva en un abierto conexo de .Entonces es un homeomorfismo de sobre y la función inversa es holomorfa en . En este caso se dice que es un isomorfismo de sobre .Observaciones: El concepto de isomorfismo se extiende a los abiertos
de la esfera de Riemann y son meromorfas . Un isomorfismo de sobre se llama automorfismo de .
Los automorfismos de un abierto conexo , forman un grupo . Si es un isomorfismo de un abierto sobre un abierto entonces
es un isomorfismo de sobre . y el disco abierto no son isomorfos.
(Pues si lo fueran la función es un isomorfismo, es entera y acotada luego constante)absurdo .
95.El grupo de los automorfismos de se compone de lastransformaciones lineales o sea .Observaciones: Si con y entonces es una
transformación sin punto fijo. El grupo opera transitivamente sobre (es decir;
tal que ). Si es un abierto conexo de y se llama enisotropía de
al subgrupo Si el grupo de isotropia de es
96.Sea un abierto conexo de y un subgrupo de tal que opera transitivamente sobre Existe tal que el grupo de isotropía de en esta contenido
en . Entonces .Observación: La condición se puede sustituir por donde
Si el grupo de isotropía de está contenido en entonces dadocualquier existe tal que .
Darío Sánchez H Variable Compleja 20
97. está formado por las transformaciones donde
(también son llamadas "transformaciones
homográficas"). Toda transformación homográfica es compuesta de una o más de las
siguientes clases de transformaciones: Translación Homotecia más rotación Inversiones más simetrías (inversión con respecto a la circunferencia
) más reflexión con respecto al eje real.
98.Toda transformación homográfica transforma rectas y circunferenciasen rectas y circunferencias.La transformación es un isomorfismo del semiplano sobre disco
.Sea un automorfismo de tal que Entonces
, .Sea entonces
Sea . Entonces esta formado por lastransformaciones homográficas de la forma , , .
Si y , donde
99.Sea ø un abierto de . Existe una sucesión de compactosde tal que
Por ejemplo puede tomarse
100.Para todo , sea .sup
Consideremos la aplicación dada por
. Entonces
es una métrica sobre Una sucesión es convergente en el espacio métrico si y
solamente si es uniformemente convergente sobre todo compacto.
El espacio métrico es completo.
Darío Sánchez H Variable Compleja 21
101.Sea abierto de . Se dice que es una familia normal defunciones holomorfas en si toda sucesión en contiene unasubsucesión uniformemente convergente en el interior de .Equivalentememente; es una familia normal en si y solamente si es un subconjunto relativamente compacto ( es compacto) del espacio
.
102.Toda familia uniformemente acotado en cada compacto de (o en el interior de ) es en todo compacto de .equicontinua
es equicontinua si , , tal que , para todo .
sucesiones de compactos en , tal que . con |
= |
existe .sup
103.Teorema de Montel: Sea ø un abierto de y una familiauniformemente acotada en el interior de de funciones holomorfas en .Entonces es una familia normal de .
104.Sea ø un abierto simplemente conexo. Entonces existe un
abierto isomorfo a tal que .Con tóme una rama de defínase mediante log
.
Sea simplemente conexo abierto tal que y es inyectiva , y Entonces sup
105.Teorema de Riemann: Todo abierto no vacío simplemente conexo es isomorfo al disco .
106. Sea se dice que es armónica en si
en se llama operador Laplaciano .
es armónica si y solamente si y son armónicas.Para todo es armónica si y solamente si en .En un abierto toda función holomorfa es armónica.Si es una función armónica real definida en un abierto entonces
localmente es la parte real de una función holomorfa unívocamentedeterminada a menos de una constante aditiva .
Darío Sánchez H Variable Compleja 22
Sea un abierto simplemente conexo en y una función armónicareal en , existe tal que ( está determinada a menosde una constante aditiva).Toda función armónica en un abierto es en .Toda función armónica en un abierto tiene la propiedad del valor
medio en (es decir, ).(Esto nos indica que una función que satisface la propiedad del valor medio nonecesariamente es holomorfa. Como ejemplo tomamos que es armónicacumple la propiedad del valor medio y no es holomorfa).
107.Sea , , una función armónica real
en . Sea donde
cos sincos sin
cos sin
así tenemos
cos sin
entonces si
cos sin
llamada . El término es llamado el fórmula de Poisson núcleo de
Poisson.
108.Problema de Dirichlet. Sea una función continua con . Hallar tal que esarmónica en y para .(Este problema tiene siempre una solución única y esta dada por
).
109.Si es un abierto de y tiene la propiedad del valor medioentonces es armónica en .( . Sea un disco cerrado con centro en y Por el problema de Dirichlet
existe armónica en el interior de y tal que , .
Entonces tiene la propiedad del valor medio en y es continua en Si se tuviera .
sup tendría un máximo local en entonces por el principio del
máximo en en el interior de entonces es localmente armónica en ).
110.Una función , definida y continua en un disco cerrado, armónica enel disco abierto, nula sobre el borde del disco entonces es idénticamentenula.
Darío Sánchez H Variable Compleja 23
111.Teorema de Harnack: Sea un abierto conexo. Sea una sucesiónde funciones armónicas en tales que
para todo y todo es una sucesión acotada para un .
Entonces converge uniformemente en cada compacto de a unafunción armónica en .
§2 RESULTADOS PROBADOS.
1.Sea un abierto no vacío de y . Tómese
. Mostrar que si y son funciones
diferenciables de en el punto y cumplen en las
ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces es complejamente
diferenciable en el punto SOLUCIÓN: Sabemos que y son diferenciables en el punto
, esto implica que
con lim
y
con lim
Veamos ahora que es
y
Darío Sánchez H Variable Compleja 24
o sea que
con lim lim lim lim
luego existe el límite de cuando y se tiene
o sea es diferenciable en .lim
.se usan las ecuaciones de Cauchy-Riemann
.
2.Sea una función holomorfa en tal
que y .
Usando el hecho que la función es armónica, determine y
Usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, dar la expresión de
en términos de .
Dar la expresión de en terminos de .SOLUCIÓN:
esto es válido para todo y para todo por el método de los coeficientesindeterminados se tiene que y .
integrando con respecto a se tiene
Con el fin de hallar derivamos con respecto a , y tenemos igualando con se tiene
o sea que de donde asíPara hallar tenemos por hipótesis que
o sea que de donde tenemos que
se tiene entonces que
Darío Sánchez H Variable Compleja 25
de aquítenemos que también se ve que
esto nos indica entonces que
3.Hallar los términos de grado de la serie recíproca de la serie formal
SOLUCIÓN:Sea
donde Se tiene que y . Luego por un resultado básico¿cuál? se tiene que existe tal que . Sea entonces
tenemos
Ahora reemplazando los valores de los dados en se tiene
Darío Sánchez H Variable Compleja 26
Comparando coeficientes se tiene
Así
4.Hallar los radios de convergencia de las series siguientes:
donde y
SOLUCIÓN: Sea
La fórmula de Hadamard nos dice que , donde lim sup
es el radio de convergencia de , asílim sup lim
donde, sup
sup
o sea que sup
lim sup lim
entonces es infinito .
Si es una sucesión convergente de números reales, entonces
lim sup lim
En efecto, sea Dado existe tal que . , lim
o sea para Así, si entonces es una cota superior para y , no es cota superior. Por lo tanto
supAsí por el criterio de comparación para sucesiones
lim
Pero Así puesto que es . , lim lim sup lim sup
arbitrario, esto implica que lim sup. .
Darío Sánchez H Variable Compleja 27
.
Sea , por la fórmula de Hadamard se tiene
lim sup lim
donde y se conoce que porsup lim
lo tanto , esto indica quelim sup
o sea que lim sup lim sup lim
, donde , entonces
De aquí se tiene que
Ahora de la fórmula de Hadamard se tienelim sup lim sup lim
de dondesup sup
o sea que de donde .sup inf
5.Hallar el subconjunto de donde es convergente la serie
SOLUCIÓN:Considerando = se tiene la convergencia de esta
serie cuando , de donde, se debe tener que
o sea cuando
Haciendo se tiene que | toma la forma siguiente
o sea - así, ;
Darío Sánchez H Variable Compleja 28
6.Dadas las series formales , y , . Tomemos
. Mostrar que
SOLUCIÓN: Sean , dos sucesiones de números reales positivosentonces .sup sup sup
En efecto; sea , entonces por la definición de sup sup sup
se tiene que ,de donde entonces
sup sup sup
Sean dos sucesiones de números reales positivos entonceslim sup lim sup lim sup
En efecto de la afirmación se tienesup sup sup
Tomando límite a los dos lados se tiene
lim sup lim sup sup lim sup lim sup
Ahora tenemoslim sup lim sup lim sup lim sup
o sea que
de donde
7.Sea una serie formal con radio de convergencia .
Para sean , y ,
Tomando , y , , mostrar que
con
SOLUCIÓN:
, o sea que
8.Hallar la expansión de la función en serie de potencias de
. ¿Cuál es el radio de convergencia de esa serie?.
Darío Sánchez H Variable Compleja 29
SOLUCIÓN:Se pide escribir . Una forma sencilla de
hacerlo es usando le serie geométrica la cual converge si y sólo si
y se tiene que en el disco unitario , en esta forma se
tiene que y por coeficientes indeterminados se
obtiene que y , en esta forma
=
Luego
La cual converge para se sigue entonces que
9.Mostrar que , lim
SOLUCIÓN:Se sabe que es convergente, esto indica que dado
, existe tal que
Sea ahora y
mostremos que , en efecto dado lim
|
Darío Sánchez H Variable Compleja 30
Como donde yindica suma de potencias mayores o iguales a de , además se
sabe de la teoría de series que es absolutamente convergente
luego . Por otro lado la sucesión es acotada por lim
en esta forma . Así se tiene quelim lim
De donde tenemos
|
Como es acotado por | se sigue que
<
a partir de un > para algún Luego | para , o sea que .lim
10.Sea una serie formal, cuyos coeficientes están definidos
respectivamente por las fórmulas
si
donde .
Mostrar que para , donde .max
Deducir que .
Muestre que para ,
Sean los ceros de la ecuación . Usar para
mostrar que los pueden ser expresados en términos de , y deducir
que min
SOLUCIÓN: Por recurrencia se tiene para supongamos verdadero para o sea Para , se tiene |
Darío Sánchez H Variable Compleja 31
.Esta desigualdad se tiene ya que
.LuegoAhora, |lim sup lim sup
donde así,
para tenemos
.Luego,para entonces
no es raíz de y cualquier otra raíz no pertenece alcírculo de convergencia pues si es raíz se tendría
lo cual es contradictorio. Sea dos raíces de .
Luego = , entonces por se tiene
se sabe que así
de donde y Consideremos el caso entonces se tiene así
Así se tiene que
también
Darío Sánchez H Variable Compleja 32
de donde
Ahora sea
Como para entonces min
Ahora como no pertenecen al círculo de convergencia de sesigue que
de donde . Luego min min
11.Sea una función compleja continua sobre la circunferencia
.Mostrar que
SOLUCIÓN: Se sabe que es una forma diferencial en unabierto y es un camino diferenciable se define , con
Como se sabe es un camino diferenciable que suele serparametrizado en la siguiente forma
Según esto
.
12.Sean un abierto conexo de , una función analítica en , y un
camino diferenciable cerrado en . Mostrar que el número
es imaginario puro.SOLUCIÓN:Podemos considerar entoncestenemos que y , además
. Ahora
Darío Sánchez H Variable Compleja 33
Además
Sea
Entonces
como y, son formas diferenciales cerradas, pues ellas admitenprimitivas en , entonces por un resultado básico ¿cuál? se tiene que
Luego o sea es imaginario puro.
13. Sea una función entera y supongamos que existen y dos
números reales tales que , si , entonces
. Mostrar que es un polinomio de grado .SOLUCIÓN:Si , la expresión del -ésimo coeficientesup
de la expansión en serie de Taylor de alrededor de está dado por .
De la hipótesis tenemos que si , para Puestoque se sigue inmediatamente que ,sup
entonces . Así para se tiene para , dedonde | .lim
De todo lo anterior tenemos que el cual es un
polinomio de grado menor o igual a .
14.Sea una función holomorfa en el disco , , y para
, sea . Probar las siguientessup
afirmaciones
es una función continua y monótona de .
Si no es constante, entonces la función es estrictamente
monótona en SOLUCIÓN: Como es holomorfa en el disco el cual escompacto entonces toma el máximo en un punto del borde . Tomando
Darío Sánchez H Variable Compleja 34
y con tenemos entonces de donde tenemos que es monótona.
; en efecto sea , dado , veamos que existe es continuatal que si |Como es uniformemente continua en .Sabemos que existe tal que si entonces
. Tomando se tiene que todos los puntos de laforma tales que son tales que entonces . Ahora se tiene:
Supóngase que entonces como es monótona ,así
Por hipótesis de la definición se sigue quesup
para el dado .También se sabe que se sigue de lasup
definición de que para el dadosup
De y se sigue que
Luego | . Resulta así que es continua para y porlo tanto es continua en
Supóngase que no es estrictamente monótona entonces existentales que y se tiene . Como, | | es
continua en el compacto entonces existe tal que. Tomando vemos que como 2
entonces toma su valor máximo en su interior, por lo tanto esconstante, esto es una contradicción . Por lo tanto esestrictamente monótona.
15. Mostrar que la función es meromorfa en que sus
polos son los puntos y que todos estos polos son de orden
Mostrar que la serie de Laurent de en el punto tiene la forma
donde los los números de Bernoulli son todos positivos y satisfacen
la siguiente fórmula recurrente :
SOLUCIÓN: Que es meromorfa se sigue del hecho depertenecer al cuerpo de fracciones de las funciones holomorfas en (es holomorfa). Los polos de se hallan en aquellos puntos donde
Darío Sánchez H Variable Compleja 35
entonces entonces , y porcos sin
otra parte .cos
sin
De donde se tiene que los polos son los puntos de la forma .Los polos son simples ya que , donde
Por lo tanto donde es analítica en una vecindad de
y entonces los polos son simples o sea son polos de orden .
Se sabe que la serie de Laurent de en una vecindad del origen es
de la forma o sea , de donde
En el primer intento de comparación de los coeficientes se obtiene quepara se tiene , luego
lo cual es lo mismo que
o sea (usando la fórmula del producto de Cauchy)
Tomando el coeficiente de tenemos
Los coeficientes de orden par son nulos (excepto ), en efecto para eso
tómese en , como , obteniéndose
, pero
entonces-
Comparando los coeficientes de se tiene
De y se obtiene que entonces
Si es par entonces . Luego
Darío Sánchez H Variable Compleja 36
+
De se tiene que . Por lo tanto
Haciendo , se tiene que
Usando la fórmula recurrente de los dada por hipótesis se tiene
Teniendo en cuenta que los coeficientes de orden par son nulos,cambiando por
entonces
.
Por la definición de los coeficientes de Bernoulli, son números racionales,pues se puede escribir con
y se obtiene así el desarrollo de Taylor de reemplazando por en
la serie entera . El coeficiente de en el desarrollo de es la
suma, según el producto de Cauchy, de los coeficientes de para los depara un cálculo da para los primeros valores de que
La numeración de estos valores juegan un papel importante enmatemáticas, como en la teoría de los números algebráicos y en latopología diferencial. Se puede mostrar que
En esta forma se puede afirmar que los números de Benoulli son todospositivos.
16.Sea una función meromorfa en la vecindad del punto con un
polo simple en ese punto. Sea , arbitrario, mostrar que la serie de
Laurent de la función en el punto tiene la forma
donde es un polinomio en de grado .
Darío Sánchez H Variable Compleja 37
SOLUCIÓN: Sea en una vecindad de , donde es analítica y. Entonces:
.
Como se tiene que es analítica en una vecindad de .lim
Por lo tanto también su derivada es analítica en una vecindad de . Sea, manteniendo se tiene que -
entonces
Obsérvese que es analítica en una vecindad de , y suvalor en el origen es dado por
.
Se sigue entonces que tiene un polo en el origen y el residuo es
.La serie de Laurent será dada por
con
ya que , ahora
o sea que
de donde y
Sea entonces de donde
Mostremos que es un polinomio en de grado ;comparando los coeficientes de se tiene
de donde
Para , se obtiene
Entonces es un polinomio en de grado ; admitiendo por inducciónque , es un polinomio en de grado , se sigue de que
Darío Sánchez H Variable Compleja 38
es también un polinomio en de grado . De donde se concluyeque es un polinomio en para todo . Como , entonces es un polinomio en de grado . Se concluye que la seriede Laurent tiene la forma
donde es un polinomio en de grado .
17.Sea , y una función continua en y
holomorfa en . Mostrar que ,
SOLUCIÓN: Demostremos que si es continua en y holomorfa en excepto en un punto entonces , en efecto por un
resultado básico (¿cuál?) para todo tal que
. Sea cualquiera, por continuidad uniforme de sobre, existe tal que si y .
Por consiguiente | implica
Sea tal que | y de manera que entonces
Luego y por consiguiente
Para todo se define
sisi
como es holomorfa en y continua en entonces es holomorfa en excepto en el punto y continua en , luego por , de
donde se sigue, teniendo en cuenta que que
18.Hallar un camino en cuya imagen sea la elipse de ecuación
. Calculando de dos formas diferentes, mostrar
quecos sin
SOLUCIÓN: , donde
cos sin
es claro quecos sin cos sin
Darío Sánchez H Variable Compleja 39
Como , cos sin sin cos
por lo tantosin cos sin cos cos sin
cos sin cos sinsin cos sin cos sin cos
cos sin cos sin
log cos sincos sin
log logcos sin cos sin
Sea el compacto cuyo borde es , como interior de la elipse ,sea para donde es un abierto de que claramentees holomorfa en . Entonces
o sea que
De y se recibe que
cos sin
o sea que =cos sin
19.Sea una función compleja continua definida sobre el borde
(orientado) de un compacto . Sea el complemento de en y
se define para
Para , sea ; mostrar que y deducirinf
que la función es analítica en
Mostrar que ,
SOLUCIÓN: , porque supongamos que entonces como es el de números positivos, no puede ser negativo asíinf
, o sea queinf
esto significa que dado , existe tal que | .Como es compacto entonces es secuencialmente compacto, así existeuna subsucesión de la cual es convergente, por la compacidadde en y por la completez de existe tal que , enlim
particular para el dado , existe tal que | Ahora |
Darío Sánchez H Variable Compleja 40
Como es arbitrario se sigue que por lo tanto lo cual es contradictorio ya que .
Como es abierto y entonces existe . Tomemos así que ø.
Sea entonces , manteniendo se tiene
esta igualdad se tiene dado queinf
Para fijo la serie converge uniformemente en .
Así .
Por hipótesis es continua sobre que es compacto, por lo tantoexiste tal que para todo .Como es una curva rectificable, por ser el contorno de un campactoexiste . Así
Ahora
lim sup lim sup
lim sup lim sup
o sea que
es tal que Luego es analítica en
Se sabe entonces de la parte que
También se concluye que es analítica en , esto indica por un
resultado básico (¿cuál?) que donde
De las identidades y se tiene que
o sea que .
20.Sea un polinomio y Mostrar que para todo
Darío Sánchez H Variable Compleja 41
SOLUCIÓN:Sea . Como o
equivalentemente de donde se tiene que y en esta forma y
por lo tanto , así;
.
Nótese que en la última igualdad se ha aplicado la fórmula integral deCauchy.
21.Cálcular la integral
SOLUCIÓN: , así;
Como tomando que es una función holomorfa
en un abierto que es compacto y entonces
y
Por lo tanto
22.Sea una función holomorfa en la vecindad del disco cerrado
. Mostrar que
si |si
SOLUCIÓN: Supongamos que en ese caso tenemos;
esta última igualdad se tiene que es normalmente convergente.
Ahora esto significa que también se tiene que
Darío Sánchez H Variable Compleja 42
de donde
Por lo tanto tenemos que
Por el problema tenemos que
Luego
Ahora es una forma cerrada para todo (esto según elteorema de Cauchy ya que es holomorfa en el disco | | )Ahora como es un camino cerrado se sigue que
Luego se reduce a
fórmula integral de Cauchy
Supongamos ahora que , en ese caso se tiene
=
Como , luego
Por lo tanto
o sea que
Nótese que
es la fórmula integral de Cauchy para las derivadas en .
Darío Sánchez H Variable Compleja 43
23.Mostrar que toda función meromorfa sobre la esfera de Riemann es
una función racional.SOLUCIÓN: Se sabe que si es una función holomorfa en entonces es constante.
Sea un polinomio definido en puesto que es unaparametrización de la variedad analítica , se sigue que es unpolinomio en -Afirmación: es un polinomio la única singularidad de en es unpolo en y en este caso el orden del polo es igual al grado delpolinomio.En efecto; si es un polinomio de grado tieneun polo en cuyo orden es , de donde tiene una singularidad del tipo polo en de orden .Recíprocamente si el único punto singular de es el polo de orden en entonces
donde es una función holomorfa en Ahora es una funciónholomorfa en cualquier punto y la parte principal es holomorfaen es decir; es entera en por lo tanto por constante . Entonces
es un polinomio de grado Supóngase que es racional, entonces es el cociente de dos
polinomios y la única singularidad de es de tipo polo entonces esmeromorfa en todo .
Supongamos que es meromorfa en todo entonces las únicassingularidades son del tipo polo.Si tiene un número finito de polos entonces
donde los polinomios numerador tienen su grado menor que el de losdenominadores, por consiguiente el factor entre [ ] corchetes esholomorfa en De donde tiene a lo más un polo en sesigue entonces de que es un polinomio o una constante. Entonces
es una función racional.Si tiene infinitos polos su punto de acumulación,digamos puede ser es un punto donde no es holomorfa,entonces no es punto singular a islado, lo cual es contradictorio con elhecho de ser meromorfa.
Sea una función meromorfa en entonces el número desingularidades de sobre es finito, en particular el número desingularidades de sobre es finito.
Darío Sánchez H Variable Compleja 44
Sean los polos de en , con multiplicidades respectivamente. Entonces
donde es una función holomorfa sobre , ahora es unasingularidad de es una singularidad de , así
Si no es singularidad de entonces es una función holomorfasobre y como es compacto entonces es constante y porconsiguiente
Si es un polo de , entonces es una función entera y tiene un polo
en , luego es un polinomio, esto es , luego
es una función racional.
24.Sean , y, el camino cerrado descrito en la figura
Considerando la integral de la función donde selog
log
debe tomar tal que - a lo largo de mostrar quearg
log log
SOLUCIÓN:Se sabe que .log log arg arg
Sea , dondelim
=
Por el teorema de los residuos se sigue que .
Tomando suficientemente grande y suficientemente pequeño demanera que todas las singularidades de estén dentro de setiene que
log
log
Darío Sánchez H Variable Compleja 45
Sumando estas dos identidades se tiene + + =
log log
log log
log log log
log
log
Haciendo . Por lo tantolog log log
log
De donde
log log
log log log
.teniendo en cuenta que
log log
.Así
lim lim lim limlog log
log log
log log log
Por lo tanto
lim lim lim limlog log
limlog
Cáculo del residuo es una singularidad de y es un polo simple, así
lim lim lim limlog log
son también polos simples de por lo tantolim
log log log
limlog log log
siendo .Luego finalmente tenemos
Darío Sánchez H Variable Compleja 46
log log log
log
Por lo tanto
log log
25. Mostrar que para todo entero ; sin
Calcular para entero y , la integral SOLUCIÓN: Sea dondelim
Ahora,
tomando
así
ya que lim lim
Por lo tanto
o sea que,
de donde
lim lim
es un polo simple de así;
de donde o equivalentemente
Darío Sánchez H Variable Compleja 47
sin
Supondremos inicialmente que , en ese caso usamos el mismocontorno de integración y tenemos que dondelim
lim lim
Así
Luego
o lo que es equivalente a
sin
Nótese que no puede ser estrictamente menor que ya que, así si entonces o sea donde
en ese caso se tiene que
y se aplica el teorema de los residuos al siguiente contorno:
En ese caso dondelim
Darío Sánchez H Variable Compleja 48
lim lim
lim lim
Luego
Finalmente
sin
26. Sean y subconjuntos disyuntos del plano, si es compacto y
es cerrado. Mostrar que existe un tal que para todo
y , con un espacio métrico en una región del plano.SOLUCIÓN: Sea inf
Si existen tales que | Como es compacto, existe tal que Tenemos | entonces es un conjunto acotado, sea un punto de acumulaciónde supóngase que es infinito , entonces ya que es cerrado y
Por consiguiente | o sea . Esto es llegando a una contradicción.
Darío Sánchez H Variable Compleja 49
27.Supóngase que y son polinomios tales que el grado de excede
al grado de por lo menos en y la función racional no tiene
un polo en el eje real. Probar que la integral de sobre es
veces la suma de los residuos de en el semiplano superior ¿Cuál es el
análogo para el semiplano inferior?. Use este método para calcular
SOLUCIÓN: Sea la curva en la figura
Si es mayor que el valor absoluto de todos los ceros de tenemos
Cla suma total de los residuos en el semiplano superior
max
luego
.lim la suma de los residuosen el plano superior
Los ceros de son El residuo de en es
lim
El residuo de en es
lim
Luego
28.Calcule para real, por el método descrito en el problema 27.
Chequear su respuesta frente al teorema de inversión para la transformada
de Fourier.
Darío Sánchez H Variable Compleja 50
SOLUCIÓN: tiene un punto singular esencial en , razón por la cual elmétodo del problema 27 no sirve. Aplicando mecánicamente el métodoanterior, se tendría. .Por la fórmula de inversión de Fourier se tiene:
Si entonces donde
pero la integral no converge!.Revisemos la fórmula del problema 27. La fórmula sirve, aunque , nosean polinomios, si
Si tenemos
sin cos
sin
Nótese que si , , pero si ya que cuando
sin
sin sin
Luego si .Si haga el cambio:
Entonces para todo el resultado en Por lo tanto:
la cual es la fórmula inversa de Fourier.
29. Sea el círculo unitario orientado positivamente y cálcular
SOLUCIÓN: Se sabe que
parte analíticaEl residuo en es . .
30.Suponga que es un número complejo tal que y calcule
cos
integrando sobre el círculo unitario.
SOLUCIÓN: Sea . Usando la fórmula integral dePoisson se tiene
Darío Sánchez H Variable Compleja 51
cos cos
Por otra parte, el residuo de en supóngase | es:lim lim
luego;cos
Nota si; se tiene .
31.Supóngase , es el círculo orientado
positivamente con centro en y radio y no teniendo ceros en . Para
la integral
es igual al número de ceros de en ¿Cuál es el valor de esta
integral en términos de los ceros de para ?. ¿Cuál es la
respuesta si es reemplazada por algún ?SOLUCIÓN: Sea un cero de grado de la función :
Por consiguiente
Esto es, es el residuo de es , luegonúmero total de los cerosde que estan en
Ahora, parte analítica de
grado del cero en
Si reemplazamos por se tiene;
la parte analíticaluego
Darío Sánchez H Variable Compleja 52
donde son ceros de en con su respectivo grado.
32.Considere una polinomial en dos variables con coeficientes complejos
. Supóngase es escogido de tal manera que todos los ceros de
son distintos. Use el teorema de Rouche para probar que esta
propiedad se mantiene para todo en alguna vecindad de . ¿Puede
usted generalizar, de polinomios a otras funciones?.SOLUCIÓN:Sean los ceros de . Sean tales que
son disyuntos. Tómese .min
Por la continuidad uniforme de , existe tal que | | o sea, | en El resultado se sigue tomando:
min
Se puede generalizar a la función tal que es continua para dos variables es analítica con respecto a (para cada fijo) tiene un número finito de ceros.
33.Supóngase que es una región, para , ninguna de
las funciones tiene un cero en y converge a uniformemente en
subconjuntos compactos de . Probar que se tiene una de las dos
siguientes alternativas ,o, tiene un cero en , o , .SOLUCIÓN: De la hipótesis se tiene que dado , existe tal que si
entonces para todo conjunto compacto .Si existe tal que sea tal que si
. Tomando se tiene quemin
| en |Por el teorema de Rouche, tiene cero en | lo cual esabsurdo .
es analítica en , luego hay a lo más un número finito de ceros de en un conjunto compacto, esto es, existe tal , a menos que idénticamente,
Darío Sánchez H Variable Compleja 53
34.Supóngase
donde .
¿Que puede usted decir a cerca de la localización de los ceros de y
para grande? . Especifique tanto como pueda.SOLUCIÓN:Se sabe que . Ahoralim uniformemente en cualquier compacto. Por el teorema de
Taylor
Si es una raíz de entonces
|
Considérese el caso , o sea |esto significa que
Para el caso . o sea
Esto es cuando
Sea . Sea tal que no contiene los puntos, entonces
| en si es suficientemente grande.Como no tiene ceros en , no tiene ceros en ( porun razonamiento análogo para ) teniéndose Los ceros de
Darío Sánchez H Variable Compleja 54
35.Supóngase que y son funciones enteras, y para cada
¿Qué conclusión se puede obtener?SOLUCIÓN:Según la hipótesis , son funciones enteras y para todo . Si es un cero de grado de , entonces con ,y se tiene |o
y lim
Esto es, tiene un cero de grado mayor que o igual a en . O seano tiene polos, además para todo esto es
constante .
36.Supóngase que es una función entera y para
todo donde y son números positivos. Probar que debe ser una
polinomial.
SOLUCIÓN:Se tiene que puede tener un único polo en o sea
donde es holomorfa en no tiene puntos singulares ni es . Esto es constante , luego
polinomio de grado a lo más .
37.Supóngase que contiene al disco unidad cerrado, y
si . ¿Cuantos puntos fijos debe tener dentro del disco?.
esto es, ¿cuántas soluciones debe tener la ecuación ?SOLUCIÓN: En se tiene |
Por el teorema de Rouche, el número de ceros de es igual alnúmero de ceros de , esto es , existe una raíz de en
Darío Sánchez H Variable Compleja 55
38. Supóngase conteniendo el disco unidad cerrado,
si y . ¿Debe tener un cero en el interior del disco unidad?SOLUCIÓN: Si para todo entonces es analítica
en el disco unitario, y
imposible!. Entonces, debe tener por lo menos un cero en el discounitario.
39.Supóngase que es una región, , no tiene ceros en ,
, y . Pruebe que si tiene un cero
de orden en , entonces también tiene un cero de orden en .
¿Cómo es ésto modificado, si tiene un cero de orden en ?SOLUCIÓN:
tiene un cero de grado en Luego, Como
donde es una función analítica en y tenemos ,esto es, tiene un cero de grado en .Si tiene un cero de grado en , tenemos .
entonces tiene un cero de grado en .
40.Supóngase que es una medida compleja en un espacio de medida
es un conjunto abierto en el plano, es una función acotada en
Darío Sánchez H Variable Compleja 56
tal que es una función medible de para cada y
es holomórfica en , para cada . Defínase
para .
Probar que .SOLUCIÓN: Se agrega la condición de que es totalmente finito, o sea
.Sea una cota de .Sea , tomemos tal que entonces | si .Por el teorema del valor medio;
si .
Como por el teorema de la convergencia dominada:
lim lim lim
o sea, es derivable en .
41.Use el problema 40 para determinar las regiones en la cuales las
siguientes funciones están definidas y son holomorfas:
.
SOLUCIÓN: aquí .Si entonces es acotada en cualquier conjuntocompacto , luego es analítica en .Nota: La función , tiene una linea de discontinuidad de log
a . . Sean .tan
Si entonces es acotada en , luego esanalítica en .
. Aquí se toma arctan
.Como es acotada en {cualquier compacto en } se tiene que es una función entera.
42.Supóngase una sucesión uniformemente acotada de funciones
holomorfas en tal que converge para cada . Probar que la
convergencia es uniforme en cada subconjunto compacto de .SOLUCIÓN:Sea un compacto contenido en . Sea tal que para todo y para todo . Se puede cubrir el conjunto compacto con unnúmero finito de bolas contenidas en , basta demostrar el enunciadopara una bola tal que .
Darío Sánchez H Variable Compleja 57
Si se tiene: , luego
| |
por convergencia dominada, ya que | sobre . Por lotanto, satisface la condición de Cauchy para la convergenciauniforme en .
43.Supóngase que , donde es el disco unitario abierto, es
uno a uno en y Probar que el área de es
.
SOLUCIÓN:
Área de = donde
o sea, cossin
Pero
.
Darío Sánchez H Variable Compleja 58
Área de
44.Hay una región tal que . Mostrar que es uno a unoexp exp
en , pero que hay muchos semejantes a . Fije uno, y defina paralog
, como siendo un para el cual . Probar que
log . Halle los coeficientes en y de aquí halle los
coeficientes en la expansión ¿En cuál otro discolog
esto puede ser dado?SOLUCIÓN: cos sin
cos sin cos .Como se tiene .cos
Para existe un tal que (ver la figura).log cos
Se define para |log
log
log
Darío Sánchez H Variable Compleja 59
esto es; usando |e si se tiene |o sea
por consiguiente esto es, .lim log
Tenemos por otra parte
log
de donde si
esto es es acotado y además; . .
46.Supóngase que y son regiones planas, y son funciones
complejas no constantes definidas en y repectivamente, y
. Póngase . Si y son holomorfas, conocemos que
es tambien holomorfa. Supóngase conocido que y son holomorfas.
¿Podemos concluir alguna cosa a cerca de ?.¿Qué, si conocemos que y
son holomorfas?SOLUCIÓN: , o,
Sean entonces
Darío Sánchez H Variable Compleja 60
Si entonces en esto es, la aplicación eslocalmente uno a uno, así que implica que . Por lo tanto
lim
De aquí se sigue que es analítica en .También se tiene
Si , entonces es analítica en donde .
46.Supóngase que , y ni , ni tienen ceros en . Si
hallar otra relación más simple entre y .SOLUCIÓN:Se sabe que . Como en ,
y son analíticas en . Como y , de acuerdo con el
teorema de coincidencia: , o sea que
constantelog log log log
esto es; en o sea en .
47.CalcularSOLUCIÓN:Sea el único punto singular de en el interior del
contorno es y el residuo de en es;
lim lim
Además se tiene cuando , ya que cuando
De y se sigue que o sea que
sin
48.Supóngase que y son funciones reales armónicas en una región
plana . ¿Bajo qué condiciones es armónica?. (Note que la respuesta
depende de que la pregunta se hace acerca de funciones reales). Mostrar
Darío Sánchez H Variable Compleja 61
que no puede ser armónica en , a menos que sea constante. ¿Para
qué es armónica?.
SOLUCIÓN: De la hipótesis se tiene; .
Ahora
,
luego es armónica si y sólo si o sea ,
es armónica si .
Como es una región en particular es conexo por arcos entonces en .
Sea entonces .
Nótese que y son armónicas , esto es, es armónica si y sólosi son constantes en , o sea que es constante en .
49.Supóngase que es una función compleja en una región , y ambas
y son armónicas en . Pruebe que una u otra o es holomorfa en .SOLUCIÓN:Se sabe que , por lo tanto donde son armónicas. Así;
De y se sigue que
,
luego
Se tiene entonces que
o sea, ,
esto implica que es analítica en .
Pero si se tiene que entonces
,
de donde se sigue que es analítica en .
Darío Sánchez H Variable Compleja 62
50.Si es una función armónica en una región , ¿qué puede decir
acerca del conjunto de puntos en los cuales el gradiente de es ?.
(esto es el conjunto en donde .)SOLUCIÓN:Para mayor sencillez, suponemos que es real. Si
en un punto interior de es abierto por ser una región , digamos en, en alguna vecindad de es la parte real de una función analítica
Por las ecuaciones de Cauchy Riemann, se tiene que en , luego
.Si no es constante, los ceros de es analítica en son aislados en
(luego el conjunto de los ceros de es un conjunto contable.)Si es constante, entonces es constante. Esto es, el conjunto de lospuntos en donde es en caso de que o es unconjunto contable formado por los puntos aislados.
51.Pruebe que cada derivada parcial de cada función armónica es
armónica.
Verifique por computación directa que es, para cada fijo, una
función armónica de . Deducir con referencia a funciones holomorfas
que la integral de Poisson de cada medida de Borel en es armónica en
, mostrando que cada derivada parcial de es igual a la integración
de la correspondiente derivada parcial del núcleo.
SOLUCIÓN: es armónica y
Entonces
,
esto es, es armónica.
cos cos sin
Dejamos al cibernauta interesado el comprobar que esta función esarmónica.Enfoquemos otro punto de vista para mostrar la afirmación, así
esta útima función es armónica ya que:
Darío Sánchez H Variable Compleja 63
Si evidentemente es armónica.Lo mismo para: .Ahora por un resultado básico ¿cuál? , es armónica. .Las derivadas parciales de (con respecto a , y con respecto a son continuas en donde es cualquier compacto en y es una medida finita en se puede intercambiar (ó ) y
, esto es,
o sea que es armónica en .
52.Supóngase que es una función medible Lebesgue en una región , y
es localmente una función de . Esto significa que la integral de
sobre cualquier subconjunto compacto de es finito. Probar que es
armónica si safisface la siguiente forma del valor en el medio:
donde quiera que .
SOLUCIÓN: es continua en : Sea si es suficientementepequeño, tenemos que para todo de alguna vecindad de .
|
donde , siendo la diferencia simétrica
Dado que es integrable localmente
se sigue que |lim
En coordenadas polares se tiene .Denotando entonces .Como es continua, derivando la identidad anterior
o sea .Por un resultado básico ¿cuál? se tiene que es armónica.
53. Supóngase que es una función armónica en y . ¿Qué
tan grande puede ser ?. ¿Qué tan pequeño?. Obtenga la posible cota
superior.
Darío Sánchez H Variable Compleja 64
Supóngase y en Si
¿que tan grande puede ser ? .SOLUCIÓN: Sea una medida posiva y finita, se tiene
cos
.cos
Por el teorema del valor medio existe tal que
cos cos
Si el máximo es . Si el mínimo es Luego
Sea ahora
Luego
Entonces sin
cos
sin
cos
La parte imaginaria de sin
cos cossin
log cos log
Luego:
.log
54. Supóngase que es una región, es un subconjunto compacto de
, . Pruebe que existen números positivos y (dependientes de
, de , y de ) tales que
para cada función armónica en y para todo .
Si es una sucesión de funciones armónicas positivas en y si
, describe la conducta de en el resto de . Hacer lo mismo
si . Mostrar que la positividad supuesta de es esencial
para este resultado.SOLUCIÓN:Por la compacidad de existe un número finito de discos:
Darío Sánchez H Variable Compleja 65
tales que ver fig.1
Existe un arco por hipótesis es una región , sobre este arcotomemos para algún , tales que Aplicando la parte del problema 53:
luego,
Como finito , existen tales que
para todo para todo
Si , de la desigualdad anterior: uniformemente en cualquier conjunto compacto contenido en . Si se tiene: .Si la función armónica no es positiva, no se tiene la desigualdad anterior(o sea que la desigualdad del problema 53 no es válida) luego
no implica que Por ejemplo
pero no converge si .
Darío Sánchez H Variable Compleja 66
55.Supóngase que es una función armónica positiva en y
cuando para cada . Pruebe que existe una constante tal que
.
SOLUCIÓN:Por la fórmula de Poisson se tiene .
cos
También se conoce la fórmula siguiente
- lim
así si .lim
Luego:
cos
donde
56.Aquí está un ejemplo de una función armónica en que no es
idénticamente nula, pero todos los límites radiales son
.
Probar que este no es la integral de Poisson de alguna medida sobre
y que no es la diferencia de dos funciones armónicas en .SOLUCIÓN: Si es la integral de Poisson de alguna medida sobre setendría: .sup
Pero:sincos
sin
cos
sin
cos
cuando . Como una medida en es la diferencia de dosmedidas positivas, no es diferencia de dos funciones armónicaspositivas.
57. Supóngase que es una medida de Borel positiva sobre no
idénticamente , y es singular relativa a la medida de Lebesgue . Si
probar que cuando , para al menos un .SOLUCIÓN: Recordemos el siguiente resultado básico: Supóngase que es
una medida de Borel real en y, Sea la familia de todos los . segmentos abiertos en Entonces o sea casi en toda parte con . respecto a . Así para algún
Darío Sánchez H Variable Compleja 67
ya que no es idénticamente . También se sabe que si es una medidade Borel sobre y se define
lim sup
y se define y análogamente con y en lugar delim lim inf
lim sup Colocando Entonces
lim inf lim sup
para cada , ylim
existe y es finita para casi todo con respecto a la medida de Lebesgue .Según este último resultado se tiene que cuando para algún .
58.Sea el conjunto de todas las funciones armónicas positivas en ta
que . Mostrar que es un conjunto convexo y halle los puntos
extremos de . (Un punto en un conjunto convexo es llamado punto
extremo de si no está colocado en segmentos cuyos puntos
extremos están en y son diferentes de .
SOLUCIÓN: Si entonces
cos
y Si .Tenemos para todo
donde es una medida positiva y
esto es .Sea la familia de todas las medidas positivas en que satisfacen lacondición . Evidentemente es convexo, y es punto extremo siy sólo si la correspondiente medida es punto extremo de .Sea un punto extremo de . Suponemos que el soporte de contienedos puntos diferentes, digamos . Sea cualquier ánguloentre y se define:
, , si si si
si
Darío Sánchez H Variable Compleja 68
si
entonces .
Tenemos
,
luego no es un punto extremo de absurdo.Esto es, es un punto extremo de si y sólo si el soporte de contieneun solo punto.
59.Supóngase que , y . Probar que
lim
SOLUCIÓN: Nótese que implica que ya que
luego ( ver desigualdad de Jensen)Entonces, para cada tenemos ver teorema de Fubini :
Se conoce el siguiente resultado: Si y , entonceslim
Luego podemos afirmar que casi en toda parte En esta forma por convergencia dominada Por el teorema de Egoroff se tiene que .
60.Supóngase que y tiene medida cero en . Probar que log
es armónica en , calculando su Laplaciano. ¿Existe otra forma más facil?SOLUCIÓN: es analítica, entonces podemos tomar
log log log
log
log
Pero,
Luego
log
puesto que se cumplen las condiciones de Cauchy- Riemann
Si, existe otra forma es analítica en y en , luego
donde .
Darío Sánchez H Variable Compleja 69
Sea entonces es armónica en . Tenemos | luego es armónica.log log
61. Supógase que es un intervalo en el eje real, es una función
continua en , y
Mostrar que
lim
existe para cada real y hállelo en términos de .
¿Cómo se afecta el resultado si suponemos solamente que ?
¿Qué le pasa entonces al punto cuando tiene límite por la derecha y
por la izquierda?.
SOLUCIÓN: Por hipótesis, , entonces
Si , sea distancia entre y el intervalo entonces |
Si , se tiene
para todo fijo se tiene .
Si entonces
Peroarctan
para fijo.De , dado existe tal que .Para este se tiene :
Por lo tanto
cuando .
Como es cualquiera, lim
De , si es continua en se tiene
Darío Sánchez H Variable Compleja 70
sisi
lim
Si existen se tiene sisi
lim
, sea , tenemos
implica Ahora casi para todo ,lim
esto es: casi para todo .lim
62.Supóngase es una región, , es continua en y
. Probar que actualmente . Reemplace por algún
otro conjunto para el cual la misma conclusión puede obtenerse.SOLUCIÓN:Sea y un contorno cerrado contenido en .
Basta demostrar que . Por el teorema de Morera, esC
analítica en . La curva se divide en dos partes por el segmento
donde está en el semiplano superior y esta en el semiplano inferior.Por la continuidad de en y por ser analítica en se tiene que
luego
Evidentemente puede ser reemplazado por cualquier "arco sencillorectificable" contenido en .
Darío Sánchez H Variable Compleja 71
63.Si y pruebe que es una función
armónica de en el semiplano superior. ( es el núcleo de Poisson
para el semiplano.)
SOLUCIÓN: Se sabe que .
es armónica si , luego
es armónica si , ya que es la parte imaginaria de una funciónanalítica.
Nótese que garantiza la convergencia uniforme de la integralimpropia anterior.
64.Supóngase que es una región, para es
la parte real de , converge uniformemente en los subconjuntos
compactos de , y converge para al menos un . Pruebe que
entonces converge uniformemente en los subconjuntos compactos
de .SOLUCIÓN:Como es una región, sin perder generalidad suponemos que
, converge, y demostremos que convergeuniformemente. Tenemos .Como converge, y converge uniformemente en se tiene que
converge uniformemente en .Nótese que si es un campacto contenido en , existe un número finito
de bolas, que recubren a y tales que
.
65.Un argumento utilizado en la prueba de los resultados deducidos de
la integral de Poission permite generalizar un teorema utilizando
procesos de integración por partes para integrales de la forma
donde es una medida de Borel en un segmento de la recta real.
Establezca tal teorema y pruébelo.SOLUCIÓN:Sea una función derivable, una medida de Borel en
Darío Sánchez H Variable Compleja 72
Sea , caculemos la integral doble:
También
Luego
El truco utilizado para reducir la fórmula es la integral por partes.
66.Se conoce el siguiente resultado: Supóngase que y
. Entonces
si igualmente se tiene en para un o si se tiene la igualdad
en entonces donde es una constante tal que
Dar una prueba de este resultado que no requiera el conocimiento de que
sea de valor acotado.
SOLUCIÓN:Como se tiene que es analítica en . Dado, para todo , tal que se tiene
max max
Tomando límite cuando se tiene | Como se tiene que Si para algún o sea que alcanza a suvalor máximo en un punto interior de una región por lo tanto es unaconstante .
Darío Sánchez H Variable Compleja 73
67.Supóngase , donde es el semi-plano superior, y .
¿Qué tan grande puede ser ?. Hallar la función extrema. SOLUCIÓN:Consideremos la siguiente función: o; Esta función establece una correspondencia uno a uno entre del plano y del plano
es analítica en y se tiene . Si (nóteseque | | , luego . Aplicando un resultado básico ¿Cuál? se
recibe .
Pero
luego | .
68.Supóngase . ¿Bajo que condiciones puede tener un mínimo
local en ?SOLUCIÓN: Suponemos que en . es analítica en , por lo tanto
no tiene máximo local en , o sea que no tiene mínimo local
en . Si evidentemente es el mínimo absoluto de asíse tiene:Si tiene un cero en , | tiene mínimo local su valor es .
69.Supóngase . Pruebe que existe una sucesión en tal que
y es acotada.SOLUCIÓN:Sea min
Si no diverge a cuando el problema ya está demostrado.Supóngase que y llegaremos a un absurdo.Existe tal que si . Esto es, si . Los cerosde está en , esto implica que existe a lo más un número finitode ceros de , digamos Si es el grado del cero de en la función: no tiene un cero en , y es
Darío Sánchez H Variable Compleja 74
analítica en . Como es analítica y se tiene que lo cual es contradictorio.
70.Si , sea denotando al anillo
. Existe una franja vertical que la función exponencial
aplica sobre . Use en la prueba el teorema de los tres círculos
de Hadamard: Si , si max
y si entonces
.log log loglog log
log log
En otras palabras, es una función convexa de ¿Para qué log log
se tiene la igualdad dominando a la desiguldad?SOLUCIÓN:De la hipótesis , la función esla aplicación de la franja vertical sobre el anillolog log
.
max max
log
Es conocido el siguiente resultado:Supóngase es continuaen , y supóngase que para todo y para algún
fijo. Si , entoncessup
.Aplicando este resultado reemplazando por log log
log log log log log log
O sea .log log log log log log
Como es una función convexa de , si se tiene la igualdadlog log
para algún entonces se tiene la igualdad para todo , .Esto es, es una función de primer grado de la variable olog log
sea son constantes .
Darío Sánchez H Variable Compleja 75
son constantesmax
Por ejemplo, entero satisface esta condición.
71.Sea el semiplano derecho del plano ( si y sólo si )
supóngase que es continua en la adherencia de , y
existen constantes y tal que
exp
Además, para todo real . Probar que en .
Mostrar que la conclusión es falsa para .
¿Comó se tiene el resultado cuando la variedad es reemplazada por
una región acotada por dos rayos a través del origen, en un ángulo no
igual a ?
SOLUCIÓN: Sea tal que < < , sea es analítica en. (Se puede tomar su linea de discontinuidad en la recta real,
negativa!). Tenemos para dado .cos cos
Como se tienecos
ya que cos
esto es, | .Luego existe tal que implica | .
| en ya que su valor en la frontera es menoro igual que luego | si .
Tomando límite cuando si .
: Si tenemosEjemplo | , para todo real es continua en . Pero no satisface la desigualdad:
Consideremos la región indicada en la figura
Darío Sánchez H Variable Compleja 76
Sea donde . Por el procedimienteseguido en se obtiene un resultado similar con la condición másamplia : .
72.Supóngase es la frontera de una región no acotada , es
continua en , y existen constantes y tales que
en y en . Probar que entonces tenemos en .SOLUCIÓN: Sin perdida de generalidad, suponemos que ø.
Sea cualquier punto de . Como es analítica en se tiene{ }
max
o sea
| para todo y todo max
Como no es acotado, puede ser tan grande como se quiera, así Tomando límite cuando
Darío Sánchez H Variable Compleja 77
73.Sea una función entera. Si existe una aplicación continua de
en el plano complejo tal que y cuando
decimos que es un valor asintótico de En el plano complejo,
" cuando " significa que cada ahi corresponde un
tal que si Probar que cada función entera no
constante tiene a como un valor asintótico.SOLUCIÓN: Sea , si es una componente de se tieneque si . Nótese que es continua.
Si es acotado entonces es una región luego por el teorema delmódulo máximo , luego es constante contradictorio por que se esta suponiendo que no es constante.
Si es acotada en del problema 72 anterior se tiene que para todo . Por lo tanto no es acotado, o sea que contienealguna componente de .Definimos para como sigue: cualquier punto digamos de una componente de un punto de una componente de un punto de una componente de y así sucesivamente.Además la imagen de por es un arco contenido en el cual conecta a con . Así, es continua, definida en y cuando
74.Mostrar que tiene exactamente dos valores asintóticos: y . ¿Quéexp
acerca de y ?. Note que y están definidos para todosin cos sin cos
número complejo , por
.sin cos
SOLUCIÓN: Sea . Si se tiene cuando . Si se tiene cuando .Si y
se tiene que . Sea .log
Si se tiene que o , Si es acotado, entonces en este caso noconverge. Por lo tanto, tiene exactamente dos puntos asintóticos.
Análogamente a , es el único punto asintótico de y .sin cos
Darío Sánchez H Variable Compleja 78
75.Si es entera y si no esta en el recorrido de , probar que es un
valor asintótico de .SOLUCIÓN: es una función entera, y . es entera,
entonces es un punto asintótico de , por lo tanto, es un puntoasintótico de .
76.Supóngase que es una región acotada, es una sucesión de
funciones continuas en que son holomorfas en , y converge
uniformemente en la frontera de . Probar que converge
uniformemente en .SOLUCIÓN: Dado existe tal que implica | para todo .Como es analítica en , continua en se tiene que
max max
esto es, es una sucesión de Cauchy para la convergencia uniforme en.
77.Supóngase que es una región acotada, , y lim sup
para toda sucesión en la cual converge a un punto de la frontera
de . Probar que para todo .SOLUCIÓN:Sea cualquier punto de . distancia entre y .En , sea tal que es máximo de entonces
.
Supóngase que para algún . Sea tal que, sea . Si ø se puede
construir , tal que converge a un punto de , pero,lim sup . Por lo tanto, ø o sea; la distanciaentre y esto es, . Sea tal que es elmáximo de en , entonces es el máximo de en ya que
en . Pero como , es un punto interior de
Nota: Si es constante en , evidentemente en .
78.Supóngase que es una región, es un disco , no
es constante y es constante en la frontera de . Pruebe que tiene al
menos un cero en .SOLUCIÓN:Supongamos que si . Si para todo se tiene que toma el mínimo en , o sea
Darío Sánchez H Variable Compleja 79
Por el teorema del módulo máximo: para todo , luegoen o sea que es una constante en . Por lo tanto,
debe tener por lo menos un cero en .
79.Sea el espacio dual de un espacio de Banach . Una sucesión
en se dice converger débilmente para si cuando
, para cada . Note que débilmente, siempre que
en la norma de . La inversa no necesariamente es verdadera.
Por ejemplo, las funcionales en convergen débilmente para
(por la desigualdad de essel), pero cada una de estas funciones
tienen norma .
Probar que debe ser acotada si converge débilmente.
Supóngase que es un espacio de Banach separable y es una
sucesión en tal que es acotada. Probar que contiene una
subsucesión convergente débilmente.SOLUCIÓN: Sin perder generalidad suponemos que débilmente
Supongamos que Por definición de la norma en existe tal que De , se puede escoger una subsucesión de para mayor sencillezla notamos nuevamente , tal que si De se puede suponer
Sea
entonces ya que .
Tenemos:
Darío Sánchez H Variable Compleja 80
.
Pero
luego
O sea que no converge a lo cual es contradictorio. Suponemos que para todo , demostremos que existe una
subsucesión de que converge débilmente.Como es separable, existe un conjunto medible denso en . Lasucesión es acotada, luego existe una subsucesiónconvergente: converge, .La sucesión es acotada, luego existe tal que
converge. Así sucesivamente:
converge cuando .Sea entonces por la construcción anterior: converge cuando , .Sea un punto cualquiera de , dado existe tal que Si son suficientemente grandes tenemos condición de Cauchy : De y se tiene:
esto es, converge , para todo . Se definecomo sigue: .lim
Evidentemente, y débilmente.*
80.Sean un abierto no vacío en , y . Supongamos
Mostrar que si es completamente diferenciable en el punto
entonces y son funciones diferenciables de en
el punto
Darío Sánchez H Variable Compleja 81
Mostrar que si y son funciones diferenciables de en el
punto y cumpliendo en las ecuaciones de Cauchy-
Riemann, entonces es completamente diferenciable en el punto
.SOLUCIÓN: un conjunto abierto no vacío y . Comosiempre, se identifica y ; dada podemos escribir
,o indiferentemente.Ahora hay distinción entre como -diferenciable o considerada como
-diferenciable, y esto parece no estar bien claro para algunos es una bola perforada de en
por ejemplo; tal que
es -diferenciable en si y solamente si existe tal quelim lim tal que si y sólo si
tal que lim
Tomando y tenemos
Definiendo en la base canónica por , tenemos
que es una transformación lineal real y . es -diferenciable en si y sólo si
lineal real tal que para
con lim si y sólo si
lineal real tal que si y sólo silim
lineal real tal que lim
Tomando esto es son las componentes de ,tenemos que la matriz Jacobiana de en es
esto es, en la base canónica.Comparando y vemos que son exactamente las "condiciones deCauchy-Riemann" que permiten el paso de a siempre implica
Darío Sánchez H Variable Compleja 82
como es claro). Resumiendo, tenemos: es -diferenciable en si y sólo si tal que si y sólo silim
lineal real tal que
y vale
lim si y sólo si
es -diferenciable en , y valenlas condiciones de Cauchy-Riemann
Así se puede afirmar: es -diferenciable en y son -diferenciables en .
81. Mostrar que la serie no converge uniformemente en su disco de
convergencia.
SOLUCIÓN:Sea ; . Supongamos que converge
uniformemente en . Entonces dado existe tal que ,
.
En particular, existe tal que tenemos
lo cual es imposible ( pues es continua en por ejemplo)
82.Sea una serie formal con radio de convergencia
. Para sea y,
Tomando , y, mostrar que
con
SOLUCIÓN:Sea . Tenemos que y .
Además , pues;
Luego por un resultado básico ¿cuál? pues . Sea se tiene . Luego
Darío Sánchez H Variable Compleja 83
Pero ; si entonces lo cual es falso.Luego y se tiene
Sean y . Por el mismo argumento
pues ya sabemos que . Luego donde
.
Pero esto implica que .
83.Mostrar que , lim
SOLUCIÓN: Dado que
mostremos que lim
Sean y dado. Sea tal que y .
Pero para la función definida por
es continua y . Como cuando para tenemos que existe tal que tenemos
-
pues > . Sea max
Sea arbitrario tal que . Entonces y ,max
obteniéndose;
.
84.Sean y conjuntos abiertos conexos de , con ø una
función analítica en , y una función analítica en , prolongamiento1
Darío Sánchez H Variable Compleja 84
analítico de . Sean y un camino simple de a en
. Mostrar que la expansión en serie de en rededor de ,
puede ser obtenida a partir de la expansión en serie de en rededor de
por extensión analítica a lo largo de .SOLUCIÓN: Sea analítica en el abierto , esto es, dado existen y tal que y
La definición de que sea analítica en no especifica el módulo de ;pero vemos que existe un máximo. Sea
sup y
Tenemosmin
(con la fórmula integral de Cauchy es posible verificar que).
Para obtener la serie del desarrollo de en rededor de enfunción de la serie del desarrollo de en rededor de un punto tenemos por un resultado básico ¿cuál? , para el caso en el que
. Se tiene: La serie tiene radio de
convergencia y para tenemos
esto es (por la unicidad del desarrollo en serie)
.
Supongamos ahora que es arbitrario, pero que es uncamino simple tal que . Es claro que, por la compacidadde | |, podemos extraer del recubrimiento unsubrecubrimiento finito de tal que . Elproblema es que apenas hemos obtenido, necesariamente,
. Para que esto valga, es suficiente que los radiosmáximos , | | tengan un ínfimo positivo. (De hecho, si
para | | entonces basta tomar un subrecubrimiento finitode para obtener
tomamos los tales que ).En general, dado , tenemos que
inf
puede ser nulo, pero si es compacto tenemos que . Enotras palabrasLEMA: Dado un conjunto compacto, existe tal quepara todo se tiene
Darío Sánchez H Variable Compleja 85
En particular, y .inf
Demostremos el lema: Supongamos que . Dado existe tal que .
Por la compacidad de podemos suponer, sin perder generalidad, queexiste tal que .Sean tal que y tal que
. Como tenemos ,lo cual es imposible(Con la fórmula integral de Cauchy se podrá verificar directamente que
).En el caso, como es compacto, existe tal que
para y obtenemos tales que
| | con y .
Entonces
o sea, es obtenido en función de . Como los son ennúmero finito, es claro que podemos obtener en funciónde .
. En el ejercicio propuesto, = con conjunto abierto conexoy es analítica en , con un prolongamiento analítico de .Por la unicidad de tal prolongamiento, existe una única función analitica en tal que por unicidad del desarrollo en serietenemos que es el prolongamiento de en el sentido de y
es el prolongamiento de en rededor de
85.Sea una serie formal, cuyos coeficientes están definidos
respectivamente por las fórmulas
si
donde .
Mostrar que para , donde .max
Deducir que
Muestre que para ,
Sean los ceros de la ecuación . Usar para
mostrar que los pueden ser expresados en términos de , y deducir
Darío Sánchez H Variable Compleja 86
que Sea una serie formal, cuyosmin .
coeficientes están definidos respectivamente por las fórmulas
si
donde .
SOLUCIÓN: Sean arbitrarios y la serie
formal dada por para .
Sea . Entonces y . Tenemosmax
| ; supongamos que para , entoncestenemos que
Luego | para .
Como tenemoslim sup lim sup lim
.lim sup
Sea la serie dada para
, y .Tenemos y pues y
.
Como tenemos, para Sea tal que . Si , entonces
lo cual es imposible pues . Luego .Tenemos entonces que
min
En particular, , de modo que para
.Sean tales que . Entonces y
tenemos . De con se sigue
que y = . Entonces
esto es, para tenemos
Pero con es tal que y
Darío Sánchez H Variable Compleja 87
para .
Además es claro que
y tal que y para .Entonces es claro que
donde y para de
donde se deduce que
.
Además, , luego min min
(Obsérvese que , implica que , de donde ytenemos .)
Antes de estudiar los problema que siguen; veamos el siguienteresultado:Si es un camino diferenciable no abierto y
es continua en tenemos que es definido por
donde es una forma diferencial.
Como tenemos
86.Sea una función compleja continua sobre la circunferencia
. Mostrar que
SOLUCIÓN:Sean un abierto tal que , dadapor y función continua en .
Sean definida por y definida por
. Como
y , tenemos
donde es dada por . Por definición se sigue
Darío Sánchez H Variable Compleja 88
OBS: Sea continua. Entonces
En efecto; tomando tenemos y
pues .
87.Sean un abierto conexo de , una función analítica en , y un
camino diferenciable cerrado en . Mostrar que el número
es imaginario puro.SOLUCIÓN:Sea un camino diferenciable en un abierto ysea analítica. Tomando tenemos y por lo
tanto es dada por
de modo que tomando tenemos que
con y ecuación de C-R
.
Pero .
Lo cual implica que
pues luego
es un imaginario puro.
88.Sea un cuerpo conmutativo, una indeterminada, y
el álgebra de las series formales con coeficientes en Para en ,
se define si
si y Muestre que define una distancia en el conjunto
Muestre que las aplicaciones: definidas en
, a valores en , son continuas con respecto a la topología definida
por la métrica .
Darío Sánchez H Variable Compleja 89
Muestre que el álgebra de los polinomios, como subconjuntos de
es denso en toda parte en
Muestre que el espacio métrico es completo, (si es una sucesión
de Cauchy en note que, para todo entero , los primeros
términos de no dependen de suficientemente grande)
¿La aplicación la derivada de es continua?SOLUCIÓN: Si , entonces según la definición
se tiene trivialmente. Sean , se tienen varios casos; si entonces
trivialmente, según la hipótesisSi , sea se tiene , como
se tiene de donde o , entonces o, de donde concluimos que
(alguna potencia de , o, puede ser infinto) luego
Consideremos la función : y la métrica nos indica
que
donde
ya que si se tiene trivialmente la continuidad, ahora se tiene
de donde o, entonces
max
o sea quemax
lo cual demuestra la continuidad. Considérese ahora la función es bilineal
Vamos a mostrar la continuidad en . Se sabe queademás , esto implica quemaxmax
lo cual muestra la continuidad.Sea el álgebra de los polinomios. Sea . Si
puede ser que , se desea mostrar que
Darío Sánchez H Variable Compleja 90
Afirmación: es continua y lim
Según esta afirmación entonces dado existe entero tal que .Tomando ahora el polinomio
tenemos
de donde .
Sea una sucesión de Cauchy, o sea si
entonces dado existe tal que tenemos
Tomando la serie , donde . La definición de los lim
es justificada por lo siguiente: tomando arbitrariamente grande en para la sucesión a partir de grande,
tiene todos los iguales, para , aún que para , los puedenno ser iguales para , entonces, dado , existe tal que para
Como es lineal; es continua pues ,
y
89.Sean enteros . Sea la serie entera formal
y supóngase .
Muestre por recurrencia sobre n, la relación
y deduzca por recurrencia sobre el desarrollo
donde designa el coeficiente binomial
Utilizando , muestre la relación
SOLUCIÓN: Para tenemos trivialmente
Darío Sánchez H Variable Compleja 91
Supongamos válido para o sea
Ahora +
para
para
Supongamos válido para , esto es,
Veámoslo para
donde
Luego .
o sea
donde
y
Comparando los coeficientes de se sigue que
lo cual queriamos demostrar.
Darío Sánchez H Variable Compleja 92
90.Sean dos series enteras formales
, y ,
y supóngase que
(siendo entero). Muestre las relaciones siguientes:
y si .
SOLUCIÓN: lim sup lim sup lim sup
.lim sup lim sup
Ahora sea , puesto que
entonces .También se tiene que o sea que si entonces
91.Siendo y en , no siendo un entero . Cual es el radio de
convergencia de la serie
Muestre que su suma , para satisface a la ecuación
diferencial
SOLUCIÓN:Sea una serie de potencias, sabemos que si
lim sup
entonces la serie converge, luego
, o , lim sup lim sup
y la serie es convergente.
Si o la serie es divergente, luegolim sup lim sup
lim sup
Volvamos a nuestro problema
lim sup
Darío Sánchez H Variable Compleja 93
lim sup
lim sup lim sup lim sup
Luego .La segunda parte es solo hacer cuentas.
92. Muestre que, si son números reales, un número entero mayor
que o igual a se tiene
cos cos sin sin
sin sin sin sin
SOLUCIÓN: cos sin
sin
sin
cos sinsin
sin
Comparando la parte real y la parte imaginaria se obtienen las fórmulasdeseadas.
93.Muestre que se tiene la siguiente desigualdad para todo
SOLUCIÓN:
Ahora
|
0 sea | .
94.Muestre que la función de una variable compleja definida por
resp. cos sin
es el prolongamiento analítico, en todo el plano de la función
cos sin resp. .
Muestre que se tiene para cualesquiera
cos cos cos sin sin
Darío Sánchez H Variable Compleja 94
sin sin cos cos sin
cos sin
SOLUCIÓN: cos y son analíticas en y se tienecos cos
Ahora para cos
continuando así se llega a que cos
Ahora,cos sin
entonces
cos sin sin sin
cos cos sin sin sin cos cos sin
Comparando parte real e imaginaria se tienecos cos cos sin sin
sin sin cos cos sin
Ahoracos sin
95.Muestre que se tiene
para , .sin
SOLUCIÓN:La función es entera y decrece de a en luego cos sin
crece desde a en pues y cos sin cossin
Tomando tenemos quesin
cos
entonces es creciente en .Como entonces o sea desin
donde sin
Sea ahora , tomando su derivada tenemossin
cos
Se sabe que es una función biyectiva luego existe uncos
único tal que entoncescos
si y si Luego; crece en toma y decrece en Como y tenemos que sin
Luego sin
96.Sea , reales Muestre que se tiene
Darío Sánchez H Variable Compleja 95
, , sin sin sinh cos cos sinh
Determine los ceros de las funciones (donde es unsin cos
número real )
Muestre que, si , y si es un entero positivo, se tiene
para sinsin cosh
cosh
y
, para sinsin
cosh
sinh
SOLUCIÓN: |sin sin sin
sinh sin sinh .
|cos cos cos
cos sinh
entoncessin sin sinh
y Ahora
cos cos sinh
o sea . ,
sinsin
sin sin sinh
sin sin cos cos sin
sinh
sin cos
.cosh
cos
Como se tienecosh cos
|cos cosh cosh
de dondesinsin cosh
cosh
Ahora para se tiene
=sinsin
sin sin sinh sinh c
sin sin sinh sinh
osh
sinh
.sinh sin sinh
.
Luego sinsin
cosh
sinh.
97.Sean dos sucesiones numericas, con las siguientes
propiedades :
existe una constante tal que ,
Darío Sánchez H Variable Compleja 96
los números son reales y
Muestre que para se tiene:
|
SOLUCIÓN:Sea ahora; | |
98.Con la misma hipótesis del problema 97, sea una serie
formal entera con coeficientes complejos tales que , y sea
sea convergente. Utilice el problema 97 para mostrar que la serie
converge uniformemente en el intervalo de y concluya que
lim
SOLUCIÓN:Sea , tenemos que
Como es convergente entonces ,
por el problema 97 se sigue que
|
De donde se obtiene la convergencia uniforme.
99. Asigne verdad o falsedad a cada una de las siguientes afirmaciones
justificando la asignación:
Sea un abierto simplemente conexo del plano complejo. Toda
función holomorfa , con para todo , es de la forma
donde es holomorfa en .
Si es holomorfa en un abierto conteniendo el disco unitario y
para todo de módulo entonces es un número
entero.
Si es holomorfa en un abierto conteniendo al disco unitario y
siempre que , entonces .
Darío Sánchez H Variable Compleja 97
SOLUCIÓN: ; pues en estas condiciones es holomorfa enVerdadero
abierto simplemente conexo. Luego existe holomorfa en tal que y tenemos entonces que
Luego, donde es una constante. Hágase y
entonces y donde es holomorfa en ; y holomorfa. Defínase porVerdadero
. Como en entonces existe en y por unresultado básico ¿cuál? tenemos
Entonces es un número entero.
; por el teorema de Cauchy, se tieneVerdadero
y entonces
de donde
y entonces si , tenemos y Luego
lo que calculando da cero.
100.Sea una función entera. Si existen una constante y un entero
tales que
para todo fuera de un cierto círculo de radio , probar que es un
polinomio de grado SOLUCIÓN: Existe , y tal que si Tomemos
por y entonces tenemos que es unasingularidad aislada de .
Si , entonces y Así , luego no es denso en enesta forma no es singularidad esencial de .
También si y si | luego no es acotada enninguna vecindad del cero, en esta forma no es singularidad evitable
de . De y entonces es un polo de . Si
es entera . Entonces y como es un polo,existe tal que , si y entonces y es un polinomio. Tenemos aún que
Darío Sánchez H Variable Compleja 98
y si entonces en todas partes aparece en el denominador yentonces si , contradictorio al hecho de ser ,
entonces .
101.Sea una función holomorfa definida en un abierto conexo
conteniendo al disco unitario . Si sólo toma valores reales en el
círculo unitario frontera de entonces es constante.SOLUCIÓN:Sea Entonces es
holomorfa en y tenemos
y entonces
Luego
pues la parte real de en , según la hipótesis. Luego, por prolongamiento analítico y por ser conexo,
tenemos que
Entonces y . Usando las condicionesde Cauchy-Riemann, se tiene , luego Como es conexo, se sigue que es constante en .
102. Asigne verdad o falsedad a cada una de las siguientes afirmaciones
justificando la asignación:
Si la serie de potencias y , tiene radio de
convergencia , entonces existe algún punto del círculo en el
cual la serie diverge.
Si es una función entera que nunca toma valores reales,
entonces es constante.
Si es holomorfa en un disco abierto entonces para todo
par existe tal que .
SOLUCIÓN: La serie donde convergeFalso; lim
para todo tal que , pues ahí la serie de valores absolutos queda.
Darío Sánchez H Variable Compleja 99
Por otro lado, la serie no converge en ningún punto tal que
pues deberiamos tener , lo cual es falso si .lim
La serie converge en todos los puntos tales que
menos en , pues en este caso.
Finalmente converge si y no converge en .
Verdadero; Si , donde tenemos que y por la condición de Cauchy-Riemann,
tenemos entonces , y como es conexotenemos es constante.
Falso; Tomemos dada por escos sin
holomorfa en todo disco abierto y además de eso .Por otro lado, tenemos y
cos sin
cos sin
y entonces
103.Muestre, por el método de los residuos que, para sin .
SOLUCIÓN:Se define
Polos de con es sólo lim
Entonces
Por otro lado,
Usando el hecho de que . Entonces haciendolim
en se tiene
Darío Sánchez H Variable Compleja 100
Para
Sea , este existe dado quesup sup
lim en esta forma
sin sin
Pero para , ,sin
entonces
exp
Tenemos entonces que
Entoncescos sin
De dondesin
104. Asigne verdad o falsedad a cada una de las siguientes afirmaciones
justificando la asignación:
Sea un abierto en , entonces es analítica si y sólo si toda
curva cerrada en .
Sea una serie de potencias con radio de
convergencia , el cual converge en todos los puntos del círculo
. Entonces para algún punto del círculo la convergencia es
condicional.
Sea una función analítica en tal que
lim . Entonces existe un polinomio y una función analítica
en tal que si .
SOLUCIÓN: ; si es abierto simplemente conexo y es Falsoanalítica en entonces por el teorema de Cauchy, tenemos .
Si es continua en , que supuestamente es simplemente conexo y si para toda curva cerrada en , entonces es analítica en
Teorema de Morera .
Si no es simplemente conexo, por ejemplo y es
holomorfa a , entonces tenemos que si .
Darío Sánchez H Variable Compleja 101
Falso; Por ejemplo, converge en todos los puntos del
círculo de convergencia de radio .Verdadero; es analítica en . La condición lim
significa que es un polo de y entonces .
Tómese y y entonces .
105.Sea una función analítica en para .
Pruebe que si uniformemente en los compactos de , entonces
uniformemente en los compactos de .SOLUCIÓN: . Como la convergencia es uniforme en cadacompacto de , entonces si existe un disco de centro
contenido en y entonces , uniformemente, luego es
continua en y también lo es.Sea ahora el contorno de una curva cerrada junto con su interior en .Por el teorema de Cauchy, tenemos y también que
lim
Luego, por el teorema de Morera, es holomorfa en .Pasando al ejercicio propiamente dicho
Si abierto es compacto, entonces existe tal que y tenemos que es compacto, luego
uniformemente en .Suponga dado, existe tal que implica que | función de , Sea ahora , arbitrario. Entonces luego vale . Por el teorema de Cauchy, tenemos si que
Darío Sánchez H Variable Compleja 102
sup
esta última desigualdad es debida a .Si tomáramos en , tenemos entonces paraun arbitrario y . Luego uniformemente en .
106.Sea función compleja analítica en y tal que
para todo en . Si
y si para algún en pruebe que es un polinomio
de grado .
SOLUCIÓN: y . Como es analítica en ,entonces donde , luego para todo
, entonces
Definimos : por . Luego es
analítica en , pues es escrita como serie de potencias convergentes ytambién |
Tome y entonces si | | tenemos que . Por el
teorema del módulo máximo, el máximo de en es tomado en lafrontera luego | ,
Haciendo concluimos que | . Como, entonces es un máximo local de en y siendo
analítica en , entonces en , de donde | .Luego .
107. Asigne verdad o falsedad a cada una de las siguientes afirmaciones
justificando la asignación:
Sea un abierto simplemente conexo del plano complejo tal que
. Entonces existe una función , holomorfa en , tal que
para todo .
Si es una función entera y , para todo real ,
entonces
Darío Sánchez H Variable Compleja 103
Existe una función holomorfa no constante en el disco de centro
y radio tal que , para todo y .
Todo automorfismo conforme del plano complejo que deja fijo el
origen es de la forma .
Sea una singularidad aislada de la función . Supongamos que
exista una sucesión , para todo n, con lim
lim . Entonces es un polo de .
SOLUCIÓN: : Sabemos que es simplemente conexo todaVerdaderofunción holomorfa que no tiene ceros en posee logaritmo holomorfoen . Definamos por y como tenemos que existe holomorfa en tal que entonces
. : Tómese entera dada por yVerdadero
donde entonces . : Si y , entonces sería un máximo local en elFalso
interior de , se sigue que sería constante en por el principio delmódulo máximo.
: Toda transformación conforme es del tipo Verdadero
y como tiene que ser de en entonces , luego, . Como entonces de donde
con . : Tómese que tiene singularidad esencial en y tomeFalso
.
108.Sea una función entera. Supongamos que existe tal que
si . Probar que es un polinomio.
SOLUCIÓN:Cuando es entera entonces . Definimos
entonces por
Si entonces y en esta forma , luego no es denso en y por lo tanto no es singularidad esencial
de . Lo anterior implica que es evitable o es un polo de .Si es un polo, entonces , de donde para setiene que , en esta forma es unpolinomio.Si es evitable entonces lo que sólo es posible si
así se tiene que es constante.
Darío Sánchez H Variable Compleja 104
109.Sean números complejos, dos a dos distintos. Sea la
función
Sea un entero positivo. Calcular los residuos de la función para
cada .
Sean dos números reales tales que
para todo .
Sea la corona : .
Aplicar a y a la función entero positivo el teorema de los
residuos. Tomar y calcular , donde es el círculo de
centro y radio .SOLUCIÓN:
Sea suponiendo . Como los son polos
simples de orden , entonceslim lim
, esto es , todos los estan dentro de la corona
Por la teoría general de residuos se sigue que
.
Teniendo en cuenta las orientaciones de y tenemos
por lo tanto .
Cuando , entonces .
Luego; .
110. Asigne verdad o falsedad a cada una de las siguientes afirmaciones
justificando la asignación:
Darío Sánchez H Variable Compleja 105
Sea un abierto del plano una función real armónica definida
en . Entonces existe una función holomorfa en tal que es la parte
real de .
Toda serie de potencias es uniformemente convergente en el
disco de convergencia.
La función , definida por es cerrada.
Sea una función holomorfa en una vecindad del disco cerrado
, tal que para todo , con se tenga .
Entonces, cualquiera que sea el entero la ecuación tiene
exactamente raíces en el disco abierto .SOLUCIÓN: localmente es verdadero (y también si esFalso;simplemente conexo) nolog log
es parte real de una función en por que el logaritmo no tiene valoresúnicos en .
la serie no converge uniformemente en el disco .Falso;
es cerrado en y no es cerradoFalso;en , pues es un punto límite y .
Verdadero; tome en y entonces para cualquier talque | | , tenemos , luego por el teoremade Rouchè, tiene soluciones.
111.A la siguiente afirmación asignar verdadero o falso, justificando
concisamente la respuesta:
Sea una función entera tal que existan constantes y un
entero con para . Entonces es un polinomio
de grado .
SOLUCIÓN:Es pues sea la expansión de en serieverdadero;
y donde .
Tenemos quemax max
Como es arbitrario, tomando , entonces , por lo tanto entonces y tenemos , luego .
Darío Sánchez H Variable Compleja 106
112.Mostrar que para todo entero .
SOLUCIÓN:Haciendo , entonces tiene los
polos en y , ambos de orden el polo está situada por encimadel eje real. Entonces, por la fórmula del cálculo de integrales indefinidas,tenemos , donde es el residuo de en ;
calculemos considerando la función
tiene una singularidad evitable en y . Entonces por la fórmula deexpansión de en serie de Taylor alrededor de , tenemos que
Calculando por simple derivación, tenemos
y entonces
y entonces .
Luego
113.Sea abierto y conexo, y una sucesión de funciones
holomorfas y biunívocas en , uniformemente convergentes en los
subconjuntos compactos de para una función holomorfa . Mostrar
que o es biunívoca o es constante.SOLUCIÓN:Sea un compacto así uniformemente, vamos ausar el hecho de que uniformemente en las partes compactas de
. Supongamos que no es constante en . Si no es biunívoca, existe y tal que . Como cada es uno a uno
y .Dado que no es constante y es conexo, es un cero aislado de
, luego existe un círculo cerrado de centro , tal que
Darío Sánchez H Variable Compleja 107
, y no tiene otro cero que en . La
multiplicidad de en es dada por . Luegolim
lim
lim lim
pues cada es holomorfa en y es una curva cerrada.
Entonces la multiplicidad de es cero, luego no es un cero de enesta forma es biunívoca.
. Se conoce el siguiente resultado básico:Supóngase y tiene un cero de
orden en el punto Entonces tiene un polo simple en y . ,
. , , Si tiene un polo de orden en y entonces
.
.
114.Sean dos abiertos conformemente equivalentes de Entonces si
es simplemente conexo, entonces también es simplemente conexo.SOLUCIÓN: Sea una equivalencia conforme, y doscurvas continuas con los mismos extremos. Entonces son curvas continuas con los mismos extremos. Si es simplementeconexo existe una homotopía entre y manteniendo los extremos fijos. Entonces es una homotopía entre y manteniendo los extremos de donde essimplemente conexo.
115.Sea un disco abierto de centro y radio . Sean ,
. Entonces
Darío Sánchez H Variable Compleja 108
es una equivalencia conforme de sobre Recíprocamente, toda
equivalencia conforme de sobre es de esta forma.SOLUCIÓN:La transformación es definida en porque . La
imagen de es . Para probar que es una equivalenciaconforme basta mostrar que el círculo unitario estransformado en el mismo círculo . Como la imagen de es un
círculo. Basta entonces verificar que (porqueun círculo es determinado por tres puntos) lo que es un cálculo directo.Sea ahora una equivalencia conforme cualquiera. Tenemos lassiguientes posibilidades:
. Si , porque . Aplicando el lema deSchwarz a tenemos: si La transformación inversa también satisface a las condicionesdel Lema de Schwarz, luego si Si también . Podemos aplicar entonces la desigualdad a
. Tenemos
Por lo tanto, como si .Se sigue de esto y de la primera desigualdad que si Aplicando a la segunda afirmación del lema de Schwarz tenemos que esde la forma: Escribiendo , tenemos:
la cual es una transformación del tipo .En general, sea . Luego, . Sea ,
entonces, por lo probado en , es una equivalencia conforme de sobre . Por lo tanto es también una equivalencia conforme de sobre . Luego, es una equivalencia conforme de sobre . Perocomo tenemos . Luego,
Entonces podemos aplicar a lo probado en la posibilidad . Sesigue de aquí que
Luego ,
lo cual desabamos mostrar.
Darío Sánchez H Variable Compleja 109
APENDICE
Estoy seguro que si el navegante ha estudiado con cuidado estaasignatura, está en capacidad de resolver por cuenta propia, problemascomo los que a continuación les propongo, los cuales pueden serconsiderados como una prueba para chequearse, con el fin de prepararsepara un examen de calificación
116. Asigne verdad o falsedad a cada una de las siguientes afirmaciones
justificando la asignación:
Una función holomorfa definida en un abierto simplemente conexo
es inyectiva en si y solamente si , . Todo automorfismo del disco puede ser extendido
a un automorfismo de la esfera de Riemann. Dado un disco abierto ø en , siempre existe un isomorfismo de
la esfera de Riemann sobre . Sean ø un abierto de una sucesión en y , tales
que toda subsucesión de contiene una subsucesión convergente para uniformemente en el interior de . Entonces uniformemente en
el interior de . El grupo de los automorfismos del semi-plano esta
constituido por las transformaciones homográficas tales quey .
117.Calcular por el método de los residuos la integral donde sin
Hacer todas las pruebas
118.Sean , una familia normal de funcionesholomorfas sobre , una sucesión en tal que para todo entero existe . Mostrar que la sucesión es uniformementelim
convergente en el interior de .
119.Sean un abierto simplemente conexo no vacío de ,, , y un isomorfismo de sobre con .
Dar, en términos de , la expresión general de todos los isomorfismos de sobre tales que .
120. Hallar una transformación homográfica que transforme el semi-disco en el cuadranteSugestión:
Hallar un isomorfismo del sector circular arg
sobre el semi-plano
Darío Sánchez H Variable Compleja 110
121. Asigne verdad o falsedad a cada una de las siguientes afirmaciones
justificando la asignación:
Si es una forma diferencial definida en un abierto ø de con la
propiedad de que para todo par de caminos cerrados homotópicosen , entonces es una forma cerrada.
Sea una función meromorfa en , holomorfa en el punto , y talque la serie de Taylor de en tiene radio de convergencia igual a .Entonces existe un polo de con | .
Sean un disco abierto en y una función meromorfa en lavecindad de , sin polos sobre , con un punto singular aislado , ytal que . Entonces la singularidad en es removible.
Sean un abierto de , una función holomorfa con , y undisco abierto con . Entonces la función toma el mínimo de susvalores en en un punto de .
Sean ;| | , y una función holomorfa en una vecindadde , tal que si , entonces . Entonces tieneexactamente un cero simple en .
122.Sea .
Hallar una serie de Laurent de en el punto .Hallar la serie de Laurent de en el exterior del disco .¿Cuales son los valores de y ?
123.Sea el camino dado por la fórmula:, si
- , si , si
cos sin
cos sin
cos sin
Calcular .
124.Sea ø un abierto conexo de , y una función holomorfa noconstante definida en . Mostrar que la aplicación es abierta, esdecir, que cualquiera que sea el abierto , o el conjunto esabierto en .
125. Sea ø un abierto conexo y acotado de , una funciónholomorfa en , y tal que toda sucesión de sea convergentepara un punto de , . Mostrar que , .lim sup
126.Definir: Producto formal de dos series de potencias Radio de convergencia de una serie de potencias. Disco de convergencia de una serie de potencias. Función analítica en un punto.
Darío Sánchez H Variable Compleja 111
Función analítica en un abierto.
127.Sean un abierto de , y unafunción holomorfa en ; supongamos que existen tres constantes reales
con , tales que .Mostrar que es constante en .
128.Sean un abierto conexo de una sucesión en convergente para , con y dos funciones analíticas en ,tales que , y . Mostrar que si
entonces existe una constante , tal que , .
129.Sea una serie formal de potencias con y ,
. Para , sea , .
Mostrar que la función no es prolongable analíticamente más alla delpunto .Sugerencia: Si se supone prolongable, existiria tal que laexpansión en serie de potencias de tendría un radio deconvergencia mayor que .
130.Sea un abierto conexo de , tal que , donde.
Mostrar que la función es injectiva en . Para , defínase como el único , tal que . Mostrar
que es continua en (y por lo tanto una rama es )log
Probar que es holomorfa en , y que Sugerencia: Para , y usar
Hallar una expansión de la función en serie de potencias de .¿Cuál es el radio de convergencia de la serie?
Hallar la expansión de en serie de potencias de .
BIBLIOGRAFIA
- Ahlfors, Lars V., , McGraw-Hill Book Company, Inc.Complex AnalysisTokyo, 1953.- Apostol, Tom.M., , Editorial Reverté,S.A., 1960.Análisis Matemático
- Apostol, Tom.M., Springer-Introduction to analytic number theory, Verlag, N.Y., 1976.
Darío Sánchez H Variable Compleja 112
- Théorie élémentaire des fonctions analytiques d´une ouCartan, Henri,
plusieurs variables complexes, Hermann, París 1961.
- Curtiss, D.R., , DoverAnalytic functions of a complex variablepublications, Inc., N.Y. 1967.- Churchill, Ruel V., 2a.Edición,Complex variables and applications,McGraw-Hill Book Company, Inc. 1960.- Derrick, W.R., , Grupo EditorialVariable compleja con aplicacionesIberoamérica, 1987.- Dieudonné, Jean, Hermann, París 1968.Calcul infinitésimal,
- Dieudonné, Jean, , Academic Press, N.Y.Foundations of modern analysis1969.- Nieto, José I., , U.P., Washington, 1968.Funciones de variable comleja
- Rudin, Walter, , McGraw-Hill Book Company,Real and complex analysisN.Y. 1966.- Takeuchi Yu, Suarez Rafael, ,Teoría de funciones de variable complejaDepto.Matemáticas, U.N. Bogotá, 1968.
Espero que el lector haya obtenido algún provecho de este trabajoen el aprendizaje de la teoría de funciones de variable Compleja.En esta forma se completa la parte del Analisis, propuesta en esteproyecto deaprendizaje en matemática avanzada.
Quiero agradecer a mi hijo Juan Armando quien ha sido un animador permanente de este proyecto de aprendizaje enmatemática avanzada y que sin él habría sido imposible realizarlo. También a mi esposa Nohora quien leyó todos losoriginales y cuidó del buen manejo del lenguaje español. A la ingeniera Esperanza Nieto quien gentilmente ha leído grannúmero de los temas que han salido al ciberespacio.
Exitos y bienvenidos a la investigación por internet.Cualquier comentario favor hacerlo llegar a:
[email protected],[email protected]
Copyright© Darío Sánchez Hernández
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