4. Despachos económicos Mercado y Transporte de la Energía Eléctrica
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Despachos económicos
El desarrollo de los despachos económicos se basa en el análisis de los
condicionamientos económicos que afectan a un determinado sistema eléctrico para definir la
combinación óptima de generadores en un instante concreto para una demanda particular.1En
una primera aproximación a esta técnica, prescindiremos de los datos e influencia de la red,
introduciéndolos más tarde de manera progresiva.
El despacho económico consiste, por tanto, en que para una demanda dada
consideramos qué generación tenemos (atendiendo o no a las pérdidas del sistema), declarando
unos costes de producción de los generadores; y, a partir de ello, perseguimos la mejor
configuración de la generación posible desde el punto de vista económico, independientemente
de las empresas que haya detrás de esas centrales.
Por todo ello, se trata de una optimización donde consideraremos que tenemos un nudo
único dentro de la red al que inyectan energía una serie de generadores, que son absorbidas
por unos demandantes.
Cada generador tendrá un coste por unidad de energía producida característico.
Consideraremos de forma inicial sólo los costes debidos al combustible, sin tener presente los
coste de mantenimiento, costes debidos a la compraventa de CO2 u otros que pueden ser
introducidos más tarde.
Los costes serán función de la potencia puesta en juego en cada central. A más
potencia, mayores consumos, luego mayor coste absoluto, aunque menor coste por unidad
producida. Observando el comportamiento de la curva de costes se observa un óptimo en el que
el coste unitario es el más bajo, es decir, el rendimiento de la producción es el más alto
económicamente hablando.
1 El despacho económico atiende a una instantánea del sistema, para su aplicación a lo largo de un periodo de tiempo se recurre a la programación de unidades.
G1
G2
G3
D1 D2
Coste (€/KW)
Pot
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Anteriormente en España, existía una regulación directa de la producción eléctrica de
forma que cada central realizaba un ensayo de su consumo específico por unidad de potencia y
se lo entregaban al regulador para que fuese capaz de establecer las combinaciones óptimas
para cada instante de la red a partir de la estimación de su curva de consumo específico neto del
grupo (CENG o Heat Rate [HR]) en unidades de producción térmica por eléctrica [MWht/MWhe].
Consecuentemente nuestro objetivo será estimar una curva que se aproxime lo más
posible a los datos reales del ensayo y optimizarla. Supondremos que el consumo específico
neto del grupo será:
El consumo de combustible que tendremos en la central será2:
Para conocer el coste por unidad producida, empleamos el precio del combustible K:
Optimización sin restricciones
Para una demanda dada, tenemos que averiguar cuál es el mix de generación más
favorable empleando la optimización de la función de costes. Nuestro objetivo será minimizar
dicha función de costes.
Supondremos que la potencia demandada es la misma que la potencia generada, sin
tener en cuenta las pérdidas del sistema. De este modo, la optimización de esta función se
encuentra restringida por el balance de potencias:
Podemos emplear distintos medios de optimización, comenzando por los multiplicadores
de Lagrange. Declaramos la función de Lagrange como la suma de los costes más la
restricción que tenemos (que es el balance de potencias) multiplicando por un coeficiente landa
que es el propio multiplicador de Lagrange. Para minimizar esta función, estudiamos cómo se
comporta la función variando la potencia generada o el operador landa.
2 Aproximando con una curva de 2º grado con los parámetros y considerando demanda constante.
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Para ello realizaremos la derivada parcial respecto a las potencias generadas y respecto
al multiplicador de Lagrange:
Conseguimos así las condiciones (1) y (2) que se deben verificar simultáneamente
para alcanzar el óptimo económico. En la práctica, sabemos que hemos llegado al óptimo
económico cuando no compense rebajar la producción de una central y dársela a otra. La
derivada del coste unitario respecto de los cambios de potencia generada la denominaremos
coste incremental y se identifica con en el óptimo económico.
El coste incremental de cada estación generadora en el óptimo y su generación será:
Cumpliendo con el balance de potencias:
Podemos despejar para determinar el mix de generación:
Ejemplo: tenemos dos generadores para cubrir 1100 MW, que se caracterizan por:
Los costes incrementales en el óptimo económico serán:
De donde:
Introduciendo la restricción del balance de potencias:
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Podemos resolverlo de forma gráfica dándole valores a , con la potencia generada en
el eje horizontal y los costes incrementales en el eje vertical. Teniendo en cuenta que podemos
expresar como:
Esta recta proporciona todas las soluciones posibles para cada lambda. Representamos
la recta y subimos con la Pd para conocer el lambda, obteniendo el coste incremental del
sistema y el mix de generación en el punto donde se corten las curvas de generación con el
lambda que hemos averiguado (curvas de costes incrementales CI1 y CI2, que son la derivadas
de las funciones de coste respecto de las potencias generadas en cada central).
Para la realización en Excel de la optimización, establecemos unas generaciones
aleatorias, calculamos los costes de cada generación y los sumamos (será la celda objetivo a
minimizar con el Solver), además de sumar las potencias generadas (que será la restricción que
debe cumplir que sea igual a la potencia total demandada). Variaremos las potencias generadas
para minimizar los costes totales del sistema, cumpliendo la restricción, y ejecutamos.
Optimización con restricción de saturación de potencia
En todos los casos reales tendremos una nueva restricción que será la potencia límite
de cada central, lo que nos complicará la función de costes a minimizar ya que incluye nuevas
constraints. Tendremos ahora:
Trasladamos las n restricciones de desigualdad en:
Podemos introducirlas en la ecuación a minimizar empleando un multiplicador pivote que
nos permita entrar con las desigualdades como igualdades. Este será el multiplicador de Kuhn-
Tucker que sólo entrará en juego si la central se encuentra saturada en su máximo o mínimo de
producción técnica, siendo, lógicamente, sólo en uno de sus límites y no ambos a la vez.
Supondremos que todas las centrales funcionan en todo momento, sin que puedan
desconectarse de la red o apagar, continuando nuestro estudio sobre una “foto” del sistema.
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Derivando la expresión de Lagrange para buscar el óptimo de costes:
Obteniendo así las condiciones para el óptimo:
Cuando una central se encuentra saturada al máximo su coste incremental es menor
que el del sistema ya que el resto deben suplir su déficit de generación, de modo que se
encuentra desacoplada de la optimización y resulta la más barata. Por el contrario, si la central
se encuentra saturada en mínimo, su coste incremental será mayor que el del sistema [Para
saber qué centrales se saturan, deberíamos iterar y comprobar una por una cuáles están dentro
de sus límites, modificando las que se saturan y volviendo a iterar de nuevo].
Para la resolución con el Solver de Excel, debemos introducir estas nuevas restricciones
como limitaciones a la hora de variar las celdas de potencia generada.
Optimización con demanda elástica
Si la demanda eléctrica que tenemos no es completamente inelástica sino que reacciona
al precio de la electricidad, tendremos que definir la curva de demanda o curva de utilidad que
especifica cuánto está dispuesta a pagar el demandante por adquirir una determinada potencia.
Generación:
Consumo:
En este caso, en vez de minimizar los costes, minimizaremos la diferencia de lo que
están dispuestos a pagar los demandantes y lo que les cuesta cubrir esa demanda a los
generadores:
Alcanzamos la curva de beneficio social, cuyo óptimo será el cruce de las curvas de
demanda y oferta, donde se maximiza el excedente del consumidor y del productor, pudiendo
considerarse un modelo simplificado del mercado eléctrico. Siendo la función de este, como
mercado de competencia libre, lograr ese mismo óptimo social que perseguimos aquí.
La función de Lagrange a optimizar es idéntica a la optimización sin saturación,
sustituyendo el coste de las centrales por la diferencia entre las curvas de demanda y oferta.
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Optimización con la inclusión de la red eléctrica
Aproximándonos un peldaño más hacia la realidad, debemos tener en cuenta la
presencia de una red de transporte y distribución de la energía eléctrica en la que se
producen inevitablemente algunas pérdidas mientras lleva la energía desde el generador hasta el
consumidor. Las pérdidas en las líneas irán definidas en función del uso que hagamos de ellas,
de modo que a mayor potencia transmitida, mayor corriente atravesará la línea y mayores serán
las pérdidas que se produzcan.
Podremos expresar la optimización como:
Introduciéndolo en una función de Lagrange tendremos:
Derivando para encontrar el mínimo:
Podemos observar a partir de la primera expresión que ya no serán todos los costes
incrementales iguales entre sí y al del sistema debido a la aparición de un factor de
penalización que dependerá de la dependencia de la función de pérdidas del incremento de la
potencia generada en cada central.
Factor de penalización:
Coste incremental:
Pasa de esta forma a ser un factor clave en el coste incremental de cada central su
conexión con la red y cómo se distribuya la demanda, configurando así la función de pérdidas,
que pasa a ser la protagonista de la optimización y cuya caracterización aporta gran complejidad
al método.
Para esquivar dicha complejidad estimaremos de forma sencilla la función de pérdidas
como una función cuadrática dependiente de la generación de cada central:
donde:
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Si aproximamos los costes de generación de cada central con una ecuación cuadrática
como hasta ahora podemos alcanzar:
Expresando esta ecuación de forma matricial para todos los nudos generadores:
Insertando este resultado dentro de la restricción que debe cumplir la optimización:
Para solucionar este sistema realizaremos un proceso iterativo con el objetivo de
alcanzar el valor de a través de Newton-Raphson:
Donde:
Con este resultado, el proceso de resolución iniciaría con una estimación aleatoria de
a partir de la cuál calculamos las potencias y con ellas las potencias de pérdidas
y con
estos dos datos resolvemos la expresión de la derivada
para averiguar el incremento
de la variable y poder obtener así el nuevo valor con el que iterar:
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Existen otros métodos de integrar las pérdidas en la optimización del sistema estudiando
para ello los flujos de carga a través de las líneas. Para conseguirlo emplearemos una variante
del Estudio de Flujo de Cargas, partiendo de un nudo de referencia en el que inyectamos una
cierta generación y que mantenemos a una tensión concreta con un ángulo de referencia
arbitrariamente fijado como cero, al que entrarán y del que saldrán un conjunto de corrientes.
Conociendo que la relación entre corrientes y tensiones en los nudos se establece a
partir de la matriz de impedancias de las líneas, la estableceremos como una conductancia y una
susceptancia:
Además tendremos las relaciones de potencias:
De modo que si se incrementan las pérdidas será debido a un incremento de las
potencias generadas o una disminución de las demandadas:
Excluimos al nudo uno del sumatorio ya que no entrará en el proceso de optimización al
servir de cierre de los balances del sistema y conocer de antemano su ángulo, fijado
arbitrariamente como referencia .
Para simplificar el modelo, despreciaremos la variación de la tensión debida al cambio
de las potencias activas (gracias a que la interdependencia entre potencias y módulos de tensión
es mucho más débil que entre potencias y ángulos de tensión), de modo que toda variación de
potencias se deberá a un cambio en los ángulos. Aplicando esta simplificación podemos
expresar la ecuación de forma matricial de modo que nos queda:
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Cerraremos el cálculo del sistema incluyendo el nudo 1 como cierre del mismo:
Si sustituimos en la ecuación que igualaba las pérdidas del sistema con los balances de
potencia en cada nudo, tendremos que:
Realizando la derivada del aumento de las pérdidas respecto del aumento de las
potencias para conocer así la dependencia de las pérdidas del sistema respecto de los aumentos
de potencia en los nudos, llegamos a:
Con esto presente, el mecanismo de resolución de los problemas de optimización de
despachos económicos con el reconocimiento de las pérdidas de carga en la red, será:
Realizamos este proceso iterativo partiendo de una estimación de las potencias en cada
nudo que nos proporciona así las primeras soluciones de tensiones, tanto de los módulos como
de los ángulos, y de las potencias generadas. Optimizamos el despacho económico con estas
primeras condiciones supuestas y a partir de ello calculamos las potencias resultantes.
Introducimos estas nuevas potencias en el lugar de la estimación realizada en un primer
momento y repetimos la operación hasta que cumplamos con: .
Las expresiones generales de B y C serán:
1. Estimar potencias
P
2. Estudio Flujos Carga
Ui di Pgi
3. Cálcular pérdidas
B y C
4. Optimizar Despacho
Mix Generación
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Optimización de flujo de carga
Introduciendo de manera completa la red, como comenzamos a hacer cuando
optimizamos la producción teniendo presente los flujos de carga a lo largo de las líneas,
abandonamos el estudio del despacho económico para ampliarlo a otros objetivos en la
optimización del flujo de carga.
Tendremos los componentes básicos de un problema con una función a optimizar, un
conjunto de restricciones que deberá cumplir la solución y un abanico de distintas variables:
Los objetivos a minimizar se dispersan pudiendo ser:
Despacho económico
Despacho económico y medioambiental
Máxima potencia transferida
Minimización de reactiva
Desvío mínimo respecto a la potencia
programada
Para estos nuevos objetivos, las restricciones a cumplir pueden ser:
o Potencia máxima que es capaz de transportar la línea
o Niveles de tensión máximos y mínimos en los nudos
o Capacidad máxima y mínima de reactiva que tienen las centrales
El procedimiento se modifica respecto del despacho económico ya que no tendremos
una sola función a optimizar, sino que introduciremos directamente las funciones de flujo de
carga dentro del modelo y estableceremos las condiciones a cumplir para su optimización.
En un primer paso continuamos optimizando costes, con límites de generación de activa
realizando un balance de potencia por nudo, de modo que cada uno de ellos tenga un balance
particular que debe ser: potencia entrante=potencia saliente, como restricción. Además se debe
cumplir la restricción de la potencia que es capaz de transportar la línea respetando sus límites.
Sería posible realizar un balance en cada nudo, no sólo de potencia activa, sino también
de potencia reactiva exigiendo que se cumplan ambos en todos los nudos, empleando para ello
los ángulos de las tensiones en cada uno.
Ya no consideraremos que la tensión controlada es fija sino que se situará dentro de una
horquilla en la que la mantendremos, siempre que la potencia reactiva demandada para ello
entre dentro de nuestras posibilidades de regulación.
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De este modo, las tensiones controladas las liberaremos como variables pero siempre
tratando de mantenerlas dentro de los márgenes de funcionamiento que sean nuestros objetivos.
Para poder afrontar esto necesitaremos un nuevo mecanismo de resolución de los flujos
de carga:
Flujo en continua
La aplicación de este método comienza con la aplicación de una serie de hipótesis y
simplificaciones muy fuertes y restrictivas:
1. En todos los nudos la tensión se mantendrá en 1 pu
2. No controlamos reactiva
3. Todas las líneas son reactivas puras sin parte óhmica
Entre dos nudos: y
unidos por una línea con tendremos:
Ejemplo:
Para un sistema con tres nudos y tres líneas L12, L13 y L23
Nudo 1 (con generación):
Nudo2(con generación):
Nudo3:
Líneas:
1. Hacemos todas las tensiones igual a 1 y eliminamos todas las partes imaginarias de las
potencias y las reales de las impedancias de las líneas:
a.
b.
c.
d.
e.
2. Supondremos las direcciones de los flujos: desde 1 a 2 y desde 2 a 3
a.
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b.
3. Realizamos el balance de potencias en cada nudo:
a. Nudo2:
b. A partir de los flujos de potencia:
Sustituyendo los valores de cada uno:
Para optimizar los flujos de carga empleando este mecanismo de cálculo como
herramienta, definiremos el problema como:
Como el flujo en las líneas puede ser bidireccional sin conocer su sentido a priori, la
restricción se establece de la forma:
Resultando mucho más sencillo
de optimizar que el valor absoluto del resultado.
Cada balance de potencias en cada nudo dará como resultado un multiplicador de
Lagrange, de modo que si las líneas no se saturan, todos los multiplicadores de Lagrange
serán iguales [como sucedía en el despacho económico con los costes incrementales de cada
central y los costes incrementales del sistema], mientras que si alguna línea se encuentra en sus
límites, tendrá un multiplicador de Lagrange diferente del resto.
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