Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Matemáticas
Ecuaciones diferenciales
Salvador Sánchez-Pedreño Guillén
Departamento de Matemáticas
Universidad de Murcia
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
1 Introducción a las ecuaciones diferencialesEjemplos de ecuaciones diferenciales en la naturaleza
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
1 Introducción a las ecuaciones diferencialesEjemplos de ecuaciones diferenciales en la naturaleza
2 Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de variables separablesEcuaciones homogéneasEcuaciones lineales de primer orden
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Nociones generales
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Nociones generales
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es unaecuación donde intervienen una variable x (“variableindependiente”), una función y = y(x) (“variabledependiente”) y algunas de sus primeras derivadas:
f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Nociones generales
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es unaecuación donde intervienen una variable x (“variableindependiente”), una función y = y(x) (“variabledependiente”) y algunas de sus primeras derivadas:
f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0
Se llama orden de una ecuación diferencial ordinaria alorden de la mayor derivada que aparece en la ecuación.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Nociones generales
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es unaecuación donde intervienen una variable x (“variableindependiente”), una función y = y(x) (“variabledependiente”) y algunas de sus primeras derivadas:
f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0
Se llama orden de una ecuación diferencial ordinaria alorden de la mayor derivada que aparece en la ecuación.
Resolver o integrar la ecuación es hallar las funcionesy(x) que cumplen la ecuación; es decir, la incógnita dela ecuación es la función y(x).
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Nociones generales
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es unaecuación donde intervienen una variable x (“variableindependiente”), una función y = y(x) (“variabledependiente”) y algunas de sus primeras derivadas:
f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0
Se llama orden de una ecuación diferencial ordinaria alorden de la mayor derivada que aparece en la ecuación.
Resolver o integrar la ecuación es hallar las funcionesy(x) que cumplen la ecuación; es decir, la incógnita dela ecuación es la función y(x).
Aunque las ecuaciones diferenciales se puedan resolverpor métodos numéricos, algunos tipos de ecuacionestienen soluciones que se pueden expresar en términosde funciones elementales.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Nociones generales
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es unaecuación donde intervienen una variable x (“variableindependiente”), una función y = y(x) (“variabledependiente”) y algunas de sus primeras derivadas:
f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0
Se llama orden de una ecuación diferencial ordinaria alorden de la mayor derivada que aparece en la ecuación.
Resolver o integrar la ecuación es hallar las funcionesy(x) que cumplen la ecuación; es decir, la incógnita dela ecuación es la función y(x).
Aunque las ecuaciones diferenciales se puedan resolverpor métodos numéricos, algunos tipos de ecuacionestienen soluciones que se pueden expresar en términosde funciones elementales.
Las ecuaciones diferenciales más sencillas son las de laforma siguiente (cálculo de primitivas) y ′ = f (x)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden
y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden
y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?
Solución. Es una ecuación de primer orden.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden
y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?
Solución. Es una ecuación de primer orden.Por la forma de la ecuación, las soluciones sonprecisamente las primitivas de la función 4x + e2x
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden
y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?
Solución. Es una ecuación de primer orden.Por la forma de la ecuación, las soluciones sonprecisamente las primitivas de la función 4x + e2x , que sepueden dar en términos de un parámetro C en la forma
y(x) = 2x2 +1
2e2x + C
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden
y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?
Solución. Es una ecuación de primer orden.Por la forma de la ecuación, las soluciones sonprecisamente las primitivas de la función 4x + e2x , que sepueden dar en términos de un parámetro C en la forma
y(x) = 2x2 +1
2e2x + C
Esta expresión corresponde a la denominada solucióngeneral de la ecuación.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden
y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?
Solución. Es una ecuación de primer orden.Por la forma de la ecuación, las soluciones sonprecisamente las primitivas de la función 4x + e2x , que sepueden dar en términos de un parámetro C en la forma
y(x) = 2x2 +1
2e2x + C
Esta expresión corresponde a la denominada solucióngeneral de la ecuación.Si, ahora, exigimos la condición 1 = y(0) = 1
2+ C , lo que
se conoce como condición inicial de la ecuación
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden
y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?
Solución. Es una ecuación de primer orden.Por la forma de la ecuación, las soluciones sonprecisamente las primitivas de la función 4x + e2x , que sepueden dar en términos de un parámetro C en la forma
y(x) = 2x2 +1
2e2x + C
Esta expresión corresponde a la denominada solucióngeneral de la ecuación.Si, ahora, exigimos la condición 1 = y(0) = 1
2+ C , lo que
se conoce como condición inicial de la ecuación,entonces C = 1
2y por tanto la única solución que cumple
esa condición extra es
y(x) = 2x2 +1
2e2x +
1
2
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO
(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican
y(0) = 2 e y ′(0) = 0?
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO
(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican
y(0) = 2 e y ′(0) = 0?
Solución. Se trata de una ecuación de segundo orden.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO
(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican
y(0) = 2 e y ′(0) = 0?
Solución. Se trata de una ecuación de segundo orden.La ecuación la podemos reescribir como
y ′′(x) = − 2x
(1 + x2)2
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO
(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican
y(0) = 2 e y ′(0) = 0?
Solución. Se trata de una ecuación de segundo orden.La ecuación la podemos reescribir como
y ′′(x) = − 2x
(1 + x2)2
Si consideramos la nueva función u(x) = y ′(x)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO
(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican
y(0) = 2 e y ′(0) = 0?
Solución. Se trata de una ecuación de segundo orden.La ecuación la podemos reescribir como
y ′′(x) = − 2x
(1 + x2)2
Si consideramos la nueva función u(x) = y ′(x), laecuación se transforma en
u′(x) = − 2x
(1 + x2)2
y,así, u(x) es una primitiva de la función dada
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO
(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican
y(0) = 2 e y ′(0) = 0?
Solución. Se trata de una ecuación de segundo orden.La ecuación la podemos reescribir como
y ′′(x) = − 2x
(1 + x2)2
Si consideramos la nueva función u(x) = y ′(x), laecuación se transforma en
u′(x) = − 2x
(1 + x2)2
y,así, u(x) es una primitiva de la función dada, es decir
y ′(x) = u(x) =1
1 + x2+ C
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Encontrar todas las soluciones de la EDO
(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican
y(0) = 2 e y ′(0) = 0?
Solución. Se trata de una ecuación de segundo orden.La ecuación la podemos reescribir como
y ′′(x) = − 2x
(1 + x2)2
Si consideramos la nueva función u(x) = y ′(x), laecuación se transforma en
u′(x) = − 2x
(1 + x2)2
y,así, u(x) es una primitiva de la función dada, es decir
y ′(x) = u(x) =1
1 + x2+ C
Tomando de nuevo primitivas obtenemos
y(x) = arctan(x) + Cx + D
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Si, ahora, exigimos que se cumplan las condicionesiniciales y(0) = 2 e y ′(0) = 0 se obtiene fácilmente D = 2y C = −1, por lo que la única solución que cumple esascondiciones iniciales es
y(x) = arctan(x)− x + 2
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Si, ahora, exigimos que se cumplan las condicionesiniciales y(0) = 2 e y ′(0) = 0 se obtiene fácilmente D = 2y C = −1, por lo que la única solución que cumple esascondiciones iniciales es
y(x) = arctan(x)− x + 2
Como sugieren los ejemplos anteriores, una EDO de ordenn puede tener una infinidad de soluciones, que se expresanmediante n parámetros en la solución general de laecuación
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Si, ahora, exigimos que se cumplan las condicionesiniciales y(0) = 2 e y ′(0) = 0 se obtiene fácilmente D = 2y C = −1, por lo que la única solución que cumple esascondiciones iniciales es
y(x) = arctan(x)− x + 2
Como sugieren los ejemplos anteriores, una EDO de ordenn puede tener una infinidad de soluciones, que se expresanmediante n parámetros en la solución general de laecuación,Si se imponen n condiciones iniciales (por ejemplo, si sefijan los valores de y(x0), y
′(x0), y′′(x0), . . . , y
(n−1)(x0))entonces la ecuación tiene una única solución particularpara esas condiciones iniciales.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Según Newton y Leibniz, los problemas físicos se puedenformular en términos de ecuaciones diferenciales.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Según Newton y Leibniz, los problemas físicos se puedenformular en términos de ecuaciones diferenciales.Veamos a continuación, a modo de ejemplo, cómo lasecuaciones diferenciales aparecen en el estudio defenómenos naturales.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Caída libre
Supongamos que un cuerpo de masa m cae libremente,tan sólo bajo la acción de la gravedad, desde una posicióninicial y0 y con una velocidad inicial v0.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Caída libre
Supongamos que un cuerpo de masa m cae libremente,tan sólo bajo la acción de la gravedad, desde una posicióninicial y0 y con una velocidad inicial v0.En este caso, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo esmg , donde g es la aceleración debida a la gravedadterrestre.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Caída libre
Supongamos que un cuerpo de masa m cae libremente,tan sólo bajo la acción de la gravedad, desde una posicióninicial y0 y con una velocidad inicial v0.En este caso, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo esmg , donde g es la aceleración debida a la gravedadterrestre. Si y(t) mide la distancia hacia abajo del cuerpoen función del tiempo t, entonces su aceleración seráy ′′(t)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Caída libre
Supongamos que un cuerpo de masa m cae libremente,tan sólo bajo la acción de la gravedad, desde una posicióninicial y0 y con una velocidad inicial v0.En este caso, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo esmg , donde g es la aceleración debida a la gravedadterrestre. Si y(t) mide la distancia hacia abajo del cuerpoen función del tiempo t, entonces su aceleración seráy ′′(t), y la segunda Ley de Newton nos da
my ′′(t) = mg o sea y ′′(t) = g
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Si llamamos v(t) = y ′(t) a la velocidad del cuerpo en elinstante t, la ecuación se transforma en v ′(t) = g
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Si llamamos v(t) = y ′(t) a la velocidad del cuerpo en elinstante t, la ecuación se transforma en v ′(t) = g y portanto
y ′(t) = v(t) = gt + C ,
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Si llamamos v(t) = y ′(t) a la velocidad del cuerpo en elinstante t, la ecuación se transforma en v ′(t) = g y portanto
y ′(t) = v(t) = gt + C ,
de donde
y(t) =1
2gt2 + Ct + D
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Si llamamos v(t) = y ′(t) a la velocidad del cuerpo en elinstante t, la ecuación se transforma en v ′(t) = g y portanto
y ′(t) = v(t) = gt + C ,
de donde
y(t) =1
2gt2 + Ct + D
De la condición v(0) = v0 se deduce que C = v0 y dey(0) = y0 se deduce que D = y0.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Si llamamos v(t) = y ′(t) a la velocidad del cuerpo en elinstante t, la ecuación se transforma en v ′(t) = g y portanto
y ′(t) = v(t) = gt + C ,
de donde
y(t) =1
2gt2 + Ct + D
De la condición v(0) = v0 se deduce que C = v0 y dey(0) = y0 se deduce que D = y0.Por tanto la posición del cuerpo en cada instante vienedada por
y(t) =1
2gt2 + v0t + y0
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Caída retardada
Supongamos ahora que el aire ejerce sobre el objeto unaresistencia a la caída que es, en cada instante,proporcional a la velocidad del cuerpo.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Caída retardada
Supongamos ahora que el aire ejerce sobre el objeto unaresistencia a la caída que es, en cada instante,proporcional a la velocidad del cuerpo. Si k es laconstante de proporcionalidad de la resistencia del aire, lasegunda ley de Newton nos dice que
my ′′(t) = mg − k y ′(t) o sea y ′′(t) = g − a y ′(t)
(con a = k/m).
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Caída retardada
Supongamos ahora que el aire ejerce sobre el objeto unaresistencia a la caída que es, en cada instante,proporcional a la velocidad del cuerpo. Si k es laconstante de proporcionalidad de la resistencia del aire, lasegunda ley de Newton nos dice que
my ′′(t) = mg − k y ′(t) o sea y ′′(t) = g − a y ′(t)
(con a = k/m).Para integrar esta ecuación de segundoorden volvemos a hacer v = y ′(t),
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Caída retardada
Supongamos ahora que el aire ejerce sobre el objeto unaresistencia a la caída que es, en cada instante,proporcional a la velocidad del cuerpo. Si k es laconstante de proporcionalidad de la resistencia del aire, lasegunda ley de Newton nos dice que
my ′′(t) = mg − k y ′(t) o sea y ′′(t) = g − a y ′(t)
(con a = k/m).Para integrar esta ecuación de segundoorden volvemos a hacer v = y ′(t), que transforma laecuación en
v ′(t) = g − av(t) óv ′(t)
g − av(t)= 1
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Caída retardada
Supongamos ahora que el aire ejerce sobre el objeto unaresistencia a la caída que es, en cada instante,proporcional a la velocidad del cuerpo. Si k es laconstante de proporcionalidad de la resistencia del aire, lasegunda ley de Newton nos dice que
my ′′(t) = mg − k y ′(t) o sea y ′′(t) = g − a y ′(t)
(con a = k/m).Para integrar esta ecuación de segundoorden volvemos a hacer v = y ′(t), que transforma laecuación en
v ′(t) = g − av(t) óv ′(t)
g − av(t)= 1
Tomando primitivas obtenemos
−1
alog(g − av) = t + C
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
De donde,
g − av = e−at−aC = De−at ó v =1
a
(
g −De−at)
(con D = e−aC ).
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
De donde,
g − av = e−at−aC = De−at ó v =1
a
(
g −De−at)
(con D = e−aC ).Por tanto y(t) es un primitiva de esta última función, esdecir
y(t) =1
a
(
gt +1
aDe−at
)
+ E =g
at +
D
a2e−at + E
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
De donde,
g − av = e−at−aC = De−at ó v =1
a
(
g −De−at)
(con D = e−aC ).Por tanto y(t) es un primitiva de esta última función, esdecir
y(t) =1
a
(
gt +1
aDe−at
)
+ E =g
at +
D
a2e−at + E
La condición sobre la posición inicial nos dice que
y0 = y(0) =D
a2+ E ,
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
De donde,
g − av = e−at−aC = De−at ó v =1
a
(
g −De−at)
(con D = e−aC ).Por tanto y(t) es un primitiva de esta última función, esdecir
y(t) =1
a
(
gt +1
aDe−at
)
+ E =g
at +
D
a2e−at + E
La condición sobre la posición inicial nos dice que
y0 = y(0) =D
a2+ E ,
y v0 = y ′(0) = g−Da
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
De donde,
g − av = e−at−aC = De−at ó v =1
a
(
g −De−at)
(con D = e−aC ).Por tanto y(t) es un primitiva de esta última función, esdecir
y(t) =1
a
(
gt +1
aDe−at
)
+ E =g
at +
D
a2e−at + E
La condición sobre la posición inicial nos dice que
y0 = y(0) =D
a2+ E ,
y v0 = y ′(0) = g−Da
, de donde
D = g − av0 y E = y0 −g − av0
a2
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
De donde,
g − av = e−at−aC = De−at ó v =1
a
(
g −De−at)
(con D = e−aC ).Por tanto y(t) es un primitiva de esta última función, esdecir
y(t) =1
a
(
gt +1
aDe−at
)
+ E =g
at +
D
a2e−at + E
La condición sobre la posición inicial nos dice que
y0 = y(0) =D
a2+ E ,
y v0 = y ′(0) = g−Da
, de donde
D = g − av0 y E = y0 −g − av0
a2
y así finalmente
y(t) = y0 +g
at +
g − av0
a2(e−at − 1)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Reacciones químicas de primer orden
Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Reacciones químicas de primer orden
Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.Si x = x(t) es la cantidad de sustancia presente en elinstante t (con cantidad inicial x(0) = x0)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Reacciones químicas de primer orden
Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.Si x = x(t) es la cantidad de sustancia presente en elinstante t (con cantidad inicial x(0) = x0) y k > 0 es laconstante de proporcionalidad (o de rapidez), la ecuaciónque rige el proceso es
−dx
dt= kx ó
1
x
dx
dt= −k
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Reacciones químicas de primer orden
Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.Si x = x(t) es la cantidad de sustancia presente en elinstante t (con cantidad inicial x(0) = x0) y k > 0 es laconstante de proporcionalidad (o de rapidez), la ecuaciónque rige el proceso es
−dx
dt= kx ó
1
x
dx
dt= −k
(puesto que dx/dt es el índice de crecimiento de x ,−dx/dt nos da el índice de descomposición.)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Reacciones químicas de primer orden
Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.Si x = x(t) es la cantidad de sustancia presente en elinstante t (con cantidad inicial x(0) = x0) y k > 0 es laconstante de proporcionalidad (o de rapidez), la ecuaciónque rige el proceso es
−dx
dt= kx ó
1
x
dx
dt= −k
(puesto que dx/dt es el índice de crecimiento de x ,−dx/dt nos da el índice de descomposición.)Tomando primitivas en ambos miembros
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Reacciones químicas de primer orden
Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.Si x = x(t) es la cantidad de sustancia presente en elinstante t (con cantidad inicial x(0) = x0) y k > 0 es laconstante de proporcionalidad (o de rapidez), la ecuaciónque rige el proceso es
−dx
dt= kx ó
1
x
dx
dt= −k
(puesto que dx/dt es el índice de crecimiento de x ,−dx/dt nos da el índice de descomposición.)Tomando primitivas en ambos miembros se tiene
log x = −kt + C ⇒ x = Ae−kt (con A = eC )
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Reacciones químicas de primer orden
Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.Si x = x(t) es la cantidad de sustancia presente en elinstante t (con cantidad inicial x(0) = x0) y k > 0 es laconstante de proporcionalidad (o de rapidez), la ecuaciónque rige el proceso es
−dx
dt= kx ó
1
x
dx
dt= −k
(puesto que dx/dt es el índice de crecimiento de x ,−dx/dt nos da el índice de descomposición.)Tomando primitivas en ambos miembros se tiene
log x = −kt + C ⇒ x = Ae−kt (con A = eC )
De la condición inicial x(0) = x0 se deduce que A = x0,de modo que
x(t) = x0e−kt
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia, es decir, eltiempo T que tarda una cierta cantidad de sustancia enreducirse a la mitad.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia, es decir, eltiempo T que tarda una cierta cantidad de sustancia enreducirse a la mitad.Para ese valor T se tiene x(T ) = x0/2
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia, es decir, eltiempo T que tarda una cierta cantidad de sustancia enreducirse a la mitad.Para ese valor T se tiene x(T ) = x0/2, lo que sustituidoen la ecuación da
x0
2= x0e
−kT o sea kT = log 2 ó k =log 2
T
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia, es decir, eltiempo T que tarda una cierta cantidad de sustancia enreducirse a la mitad.Para ese valor T se tiene x(T ) = x0/2, lo que sustituidoen la ecuación da
x0
2= x0e
−kT o sea kT = log 2 ó k =log 2
T
Si la vida media es muy larga, como ocurre a menudo,basta con ver, por ejemplo, para qué valor T1 la cantidadinicial se reduce a sus 9 décimas partes
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia, es decir, eltiempo T que tarda una cierta cantidad de sustancia enreducirse a la mitad.Para ese valor T se tiene x(T ) = x0/2, lo que sustituidoen la ecuación da
x0
2= x0e
−kT o sea kT = log 2 ó k =log 2
T
Si la vida media es muy larga, como ocurre a menudo,basta con ver, por ejemplo, para qué valor T1 la cantidadinicial se reduce a sus 9 décimas partes, y entonces
k =log(10/9)
T1
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ley de enfriamiento de Newton
La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ley de enfriamiento de Newton
La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ley de enfriamiento de Newton
La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene
dx
dt= k (x − TA) ó
1
x − TA
dx
dt= k
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ley de enfriamiento de Newton
La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene
dx
dt= k (x − TA) ó
1
x − TA
dx
dt= k
para cierta constante k que depende del cuerpo.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ley de enfriamiento de Newton
La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene
dx
dt= k (x − TA) ó
1
x − TA
dx
dt= k
para cierta constante k que depende del cuerpo.Tomando primitivas en ambos miembros de la segundaexpresión se tiene
log(x−TA) = kt+C ó x(t) = TA+Bekt (con B = eC )
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ley de enfriamiento de Newton
La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene
dx
dt= k (x − TA) ó
1
x − TA
dx
dt= k
para cierta constante k que depende del cuerpo.Tomando primitivas en ambos miembros de la segundaexpresión se tiene
log(x−TA) = kt+C ó x(t) = TA+Bekt (con B = eC )
Si la temperatura inicial (t = 0) es x0
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ley de enfriamiento de Newton
La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene
dx
dt= k (x − TA) ó
1
x − TA
dx
dt= k
para cierta constante k que depende del cuerpo.Tomando primitivas en ambos miembros de la segundaexpresión se tiene
log(x−TA) = kt+C ó x(t) = TA+Bekt (con B = eC )
Si la temperatura inicial (t = 0) es x0 entoncesx0 = x(0) = TA + B
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ley de enfriamiento de Newton
La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene
dx
dt= k (x − TA) ó
1
x − TA
dx
dt= k
para cierta constante k que depende del cuerpo.Tomando primitivas en ambos miembros de la segundaexpresión se tiene
log(x−TA) = kt+C ó x(t) = TA+Bekt (con B = eC )
Si la temperatura inicial (t = 0) es x0 entoncesx0 = x(0) = TA + B , o sea B = x0 − TA
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ley de enfriamiento de Newton
La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene
dx
dt= k (x − TA) ó
1
x − TA
dx
dt= k
para cierta constante k que depende del cuerpo.Tomando primitivas en ambos miembros de la segundaexpresión se tiene
log(x−TA) = kt+C ó x(t) = TA+Bekt (con B = eC )
Si la temperatura inicial (t = 0) es x0 entoncesx0 = x(0) = TA + B , o sea B = x0 − TA y así finalmente
x(t) = TA + (x0 − TA)ekt
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0).
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos
22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e
k
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos
22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e
k
16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e
2k
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos
22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e
k
16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e
2k
Dividiendo 6 = (x0 − TA)e2k entre 12 = (x0 − TA)e
k ,
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos
22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e
k
16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e
2k
Dividiendo 6 = (x0 − TA)e2k entre 12 = (x0 − TA)e
k , seobtiene ek = 1/2
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos
22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e
k
16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e
2k
Dividiendo 6 = (x0 − TA)e2k entre 12 = (x0 − TA)e
k , seobtiene ek = 1/2 y entonces12 = (x0 − TA)e
k = (x0 − TA)/2
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos
22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e
k
16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e
2k
Dividiendo 6 = (x0 − TA)e2k entre 12 = (x0 − TA)e
k , seobtiene ek = 1/2 y entonces12 = (x0 − TA)e
k = (x0 − TA)/2, de donde(x0 − TA) = 24 y así x(0) = 34
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,
donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después
marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál
era la temperatura en la habitación?
Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos
22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e
k
16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e
2k
Dividiendo 6 = (x0 − TA)e2k entre 12 = (x0 − TA)e
k , seobtiene ek = 1/2 y entonces12 = (x0 − TA)e
k = (x0 − TA)/2, de donde(x0 − TA) = 24 y así x(0) = 34, es decir, la temperaturaen la habitación era de 34oC.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones de primer orden
Las ecuaciones de primer orden son ecuaciones del tipo
f (x , y , y ′) = 0
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones de primer orden
Las ecuaciones de primer orden son ecuaciones del tipo
f (x , y , y ′) = 0
Diremos que está escrita de forma explícita, o con laderivada despejada, si se escribe en la forma
y ′ = g(x , y)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones de primer orden
Las ecuaciones de primer orden son ecuaciones del tipo
f (x , y , y ′) = 0
Diremos que está escrita de forma explícita, o con laderivada despejada, si se escribe en la forma
y ′ = g(x , y)
Veamos cómo se integran en algunos casos sencillos.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones de variables separables
Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma
y ′ = g(y)f (x)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones de variables separables
Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma
y ′ = g(y)f (x)
Algunos de los ejemplos eran de este tipo. Basta contomar primitivas en ambos miembros:
∫
y ′(x)
g(y(x))dx = C +
∫
f (x) dx
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones de variables separables
Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma
y ′ = g(y)f (x)
Algunos de los ejemplos eran de este tipo. Basta contomar primitivas en ambos miembros:
∫
y ′(x)
g(y(x))dx = C +
∫
f (x) dx
(las dos constantes de integración se reúnen en C ).
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones de variables separables
Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma
y ′ = g(y)f (x)
Algunos de los ejemplos eran de este tipo. Basta contomar primitivas en ambos miembros:
∫
y ′(x)
g(y(x))dx = C +
∫
f (x) dx
(las dos constantes de integración se reúnen en C ).Una vez calculadas las primitivas, tenemos la solucióngeneral de la ecuación.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones de variables separables
Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma
y ′ = g(y)f (x)
Algunos de los ejemplos eran de este tipo. Basta contomar primitivas en ambos miembros:
∫
y ′(x)
g(y(x))dx = C +
∫
f (x) dx
(las dos constantes de integración se reúnen en C ).Una vez calculadas las primitivas, tenemos la solucióngeneral de la ecuación. En principio tenemos y(x) dadade forma implícita, en una expresión de la formaG (y(x)) = F (x)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones de variables separables
Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma
y ′ = g(y)f (x)
Algunos de los ejemplos eran de este tipo. Basta contomar primitivas en ambos miembros:
∫
y ′(x)
g(y(x))dx = C +
∫
f (x) dx
(las dos constantes de integración se reúnen en C ).Una vez calculadas las primitivas, tenemos la solucióngeneral de la ecuación. En principio tenemos y(x) dadade forma implícita, en una expresión de la formaG (y(x)) = F (x); pero en muchos casos es posibledespejarla.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones de variables separables
Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma
y ′ = g(y)f (x)
Algunos de los ejemplos eran de este tipo. Basta contomar primitivas en ambos miembros:
∫
y ′(x)
g(y(x))dx = C +
∫
f (x) dx
(las dos constantes de integración se reúnen en C ).Una vez calculadas las primitivas, tenemos la solucióngeneral de la ecuación. En principio tenemos y(x) dadade forma implícita, en una expresión de la formaG (y(x)) = F (x); pero en muchos casos es posibledespejarla.Si queremos obtener la solución particular para una ciertacondición inicial y(x0) = y0, basta con sustituirla en lasolución general para determinar el valor de C en ese caso.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Obtener la solución general de la ecuación y ′ = xex−y .
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Obtener la solución general de la ecuación y ′ = xex−y .
Solución. Separando las variables
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Obtener la solución general de la ecuación y ′ = xex−y .
Solución. Separando las variables y tomando luegoprimitivas se obtiene
dy
dx= xex−y = xexe−y ⇒
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Obtener la solución general de la ecuación y ′ = xex−y .
Solución. Separando las variables y tomando luegoprimitivas se obtiene
dy
dx= xex−y = xexe−y ⇒
⇒ eydy = xexdx ⇒ ey = (x − 1) ex + C
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Obtener la solución general de la ecuación y ′ = xex−y .
Solución. Separando las variables y tomando luegoprimitivas se obtiene
dy
dx= xex−y = xexe−y ⇒
⇒ eydy = xexdx ⇒ ey = (x − 1) ex + C
(la segunda primitiva se calcula fácilmente por partes).
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Obtener la solución general de la ecuación y ′ = xex−y .
Solución. Separando las variables y tomando luegoprimitivas se obtiene
dy
dx= xex−y = xexe−y ⇒
⇒ eydy = xexdx ⇒ ey = (x − 1) ex + C
(la segunda primitiva se calcula fácilmente por partes).Despejando y en función de x obtenemos
y = log ((x − 1)ex + C )
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con
y(x0) = y0.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con
y(x0) = y0.
Solución. Separando las variables, tomando primitivas ydespejando y
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con
y(x0) = y0.
Solución. Separando las variables, tomando primitivas ydespejando y se obtiene
yy ′ =ex
1 + ex⇒ y2
2= log(1 + ex ) + C ⇒
⇒ y(x) =√
2 log(1 + ex ) + D
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con
y(x0) = y0.
Solución. Separando las variables, tomando primitivas ydespejando y se obtiene
yy ′ =ex
1 + ex⇒ y2
2= log(1 + ex ) + C ⇒
⇒ y(x) =√
2 log(1 + ex ) + D
que es la solución general.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con
y(x0) = y0.
Solución. Separando las variables, tomando primitivas ydespejando y se obtiene
yy ′ =ex
1 + ex⇒ y2
2= log(1 + ex ) + C ⇒
⇒ y(x) =√
2 log(1 + ex ) + D
que es la solución general. La condición inicial implica que
y0 = y(x0) =√
2 log(1 + ex0) + D ⇒⇒ D = y2
0 − 2 log(1 + ex0)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con
y(x0) = y0.
Solución. Separando las variables, tomando primitivas ydespejando y se obtiene
yy ′ =ex
1 + ex⇒ y2
2= log(1 + ex ) + C ⇒
⇒ y(x) =√
2 log(1 + ex ) + D
que es la solución general. La condición inicial implica que
y0 = y(x0) =√
2 log(1 + ex0) + D ⇒⇒ D = y2
0 − 2 log(1 + ex0)
y sustituyendo este valor de D en la solución general
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con
y(x0) = y0.
Solución. Separando las variables, tomando primitivas ydespejando y se obtiene
yy ′ =ex
1 + ex⇒ y2
2= log(1 + ex ) + C ⇒
⇒ y(x) =√
2 log(1 + ex ) + D
que es la solución general. La condición inicial implica que
y0 = y(x0) =√
2 log(1 + ex0) + D ⇒⇒ D = y2
0 − 2 log(1 + ex0)
y sustituyendo este valor de D en la solución generalobtenemos la solución particular
y(x) =
√
y20 + 2 log
(
1 + ex
1 + ex0
)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Funciones homogéneas
Una función f (x , y) es homogénea si verifica
f (tx , ty) = f (x , y) para cualquier t > 0
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Funciones homogéneas
Una función f (x , y) es homogénea si verifica
f (tx , ty) = f (x , y) para cualquier t > 0
Por ejemplo:
f (x , y) = xey no es homogénea pues txety 6= xey .
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Funciones homogéneas
Una función f (x , y) es homogénea si verifica
f (tx , ty) = f (x , y) para cualquier t > 0
Por ejemplo:
f (x , y) = xey no es homogénea pues txety 6= xey .
f (x , y) =x2 + y2
x + yno es homogénea pues
f (tx , ty) = (tx)2+(ty)2
tx+ty= t f (x , y) 6= f (x , y).
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Funciones homogéneas
Una función f (x , y) es homogénea si verifica
f (tx , ty) = f (x , y) para cualquier t > 0
Por ejemplo:
f (x , y) = xey no es homogénea pues txety 6= xey .
f (x , y) =x2 + y2
x + yno es homogénea pues
f (tx , ty) = (tx)2+(ty)2
tx+ty= t f (x , y) 6= f (x , y).
f (x , y) =
√
x2 + y2
x + ysí es homogénea pues
f (tx , ty) =
√(tx)2+(ty)2
tx+ty= f (x , y).
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Funciones homogéneas
Una función f (x , y) es homogénea si verifica
f (tx , ty) = f (x , y) para cualquier t > 0
Por ejemplo:
f (x , y) = xey no es homogénea pues txety 6= xey .
f (x , y) =x2 + y2
x + yno es homogénea pues
f (tx , ty) = (tx)2+(ty)2
tx+ty= t f (x , y) 6= f (x , y).
f (x , y) =
√
x2 + y2
x + ysí es homogénea pues
f (tx , ty) =
√(tx)2+(ty)2
tx+ty= f (x , y).
f (x , y) =2x5 − 7x4y + 29x2y3 + xy4
x5 + 2x2y2 − xy4 + 6y5sí es
homogénea, pues en f (tx , ty) aparece t5 como factorcomún en el numerador y en el denominador.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Una EDO de primer orden es homogénea si podemosllevarla a la forma y ′ = f (x , y) donde f (x , y) es unafunción homogénea.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Una EDO de primer orden es homogénea si podemosllevarla a la forma y ′ = f (x , y) donde f (x , y) es unafunción homogénea.Para integrarla, basta con hacer el cambio de variableu = y/x , que la convierte en una ecuación de variablesseparables.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Una EDO de primer orden es homogénea si podemosllevarla a la forma y ′ = f (x , y) donde f (x , y) es unafunción homogénea.Para integrarla, basta con hacer el cambio de variableu = y/x , que la convierte en una ecuación de variablesseparables.En efecto: y = ux , nos da y ′ = u′x + u (observemos queu es la nueva variable independiente).
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Una EDO de primer orden es homogénea si podemosllevarla a la forma y ′ = f (x , y) donde f (x , y) es unafunción homogénea.Para integrarla, basta con hacer el cambio de variableu = y/x , que la convierte en una ecuación de variablesseparables.En efecto: y = ux , nos da y ′ = u′x + u (observemos queu es la nueva variable independiente).Entonces
u′x + u = f (x , ux) = f (1, u)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Una EDO de primer orden es homogénea si podemosllevarla a la forma y ′ = f (x , y) donde f (x , y) es unafunción homogénea.Para integrarla, basta con hacer el cambio de variableu = y/x , que la convierte en una ecuación de variablesseparables.En efecto: y = ux , nos da y ′ = u′x + u (observemos queu es la nueva variable independiente).Entonces
u′x + u = f (x , ux) = f (1, u)
luego
u′ =f (1, u) − u
x
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√
x2 + y2.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√
x2 + y2.
Solución. Despejando y ′ queda
y ′ =y +
√
x2 + y2
x= f (x , y)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√
x2 + y2.
Solución. Despejando y ′ queda
y ′ =y +
√
x2 + y2
x= f (x , y)
que es homogénea pues
f (tx , ty) =ty +
√
t2x2 + t2y2
tx=
ty + t√
x2 + y2
tx= f (x , y)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√
x2 + y2.
Solución. Despejando y ′ queda
y ′ =y +
√
x2 + y2
x= f (x , y)
que es homogénea pues
f (tx , ty) =ty +
√
t2x2 + t2y2
tx=
ty + t√
x2 + y2
tx= f (x , y)
Haciendo el cambio de variable indicado y sustituyendo enla ecuación
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√
x2 + y2.
Solución. Despejando y ′ queda
y ′ =y +
√
x2 + y2
x= f (x , y)
que es homogénea pues
f (tx , ty) =ty +
√
t2x2 + t2y2
tx=
ty + t√
x2 + y2
tx= f (x , y)
Haciendo el cambio de variable indicado y sustituyendo enla ecuación obtenemos
u + u′x =ux +
√x2 + u2x2
x= u +
√
1 + u2 ⇒
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√
x2 + y2.
Solución. Despejando y ′ queda
y ′ =y +
√
x2 + y2
x= f (x , y)
que es homogénea pues
f (tx , ty) =ty +
√
t2x2 + t2y2
tx=
ty + t√
x2 + y2
tx= f (x , y)
Haciendo el cambio de variable indicado y sustituyendo enla ecuación obtenemos
u + u′x =ux +
√x2 + u2x2
x= u +
√
1 + u2 ⇒
⇒ du
dx= u′ =
√1 + u2
x⇒ du√
1 + u2=
dx
x⇒
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√
x2 + y2.
Solución. Despejando y ′ queda
y ′ =y +
√
x2 + y2
x= f (x , y)
que es homogénea pues
f (tx , ty) =ty +
√
t2x2 + t2y2
tx=
ty + t√
x2 + y2
tx= f (x , y)
Haciendo el cambio de variable indicado y sustituyendo enla ecuación obtenemos
u + u′x =ux +
√x2 + u2x2
x= u +
√
1 + u2 ⇒
⇒ du
dx= u′ =
√1 + u2
x⇒ du√
1 + u2=
dx
x⇒
⇒ arg senh(u) = log x + C
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Entonces
u = senh(log x + C ) =e log x+C − e− log x−C
2=
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Entonces
u = senh(log x + C ) =e log x+C − e− log x−C
2=
u =xeC − 1
xeC
2=
xK − 1xK
2
donde hemos llamado K = eC .
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Entonces
u = senh(log x + C ) =e log x+C − e− log x−C
2=
u =xeC − 1
xeC
2=
xK − 1xK
2
donde hemos llamado K = eC .Por último, deshacemos el cambio para recuperar lavariable y = ux :
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Entonces
u = senh(log x + C ) =e log x+C − e− log x−C
2=
u =xeC − 1
xeC
2=
xK − 1xK
2
donde hemos llamado K = eC .Por último, deshacemos el cambio para recuperar lavariable y = ux :
y = ux = xxK − 1
xK
2=
K
2x2 − 1
2K
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones lineales de primer orden
Llamamos ecuaciones lineales de primer orden a las dela forma
y ′ + f (x)y = g(x) (†)
donde f (x), g(x) son funciones arbitrarias.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones lineales de primer orden
Llamamos ecuaciones lineales de primer orden a las dela forma
y ′ + f (x)y = g(x) (†)
donde f (x), g(x) son funciones arbitrarias.Un caso especialmente sencillo se produce cuandog(x) = 0.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones lineales de primer orden
Llamamos ecuaciones lineales de primer orden a las dela forma
y ′ + f (x)y = g(x) (†)
donde f (x), g(x) son funciones arbitrarias.Un caso especialmente sencillo se produce cuandog(x) = 0. Entonces la ecuación
y ′ + f (x) y = 0 (‡)
(que se llama ecuación lineal homogénea asociada a (†))es de variables separables
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ecuaciones lineales de primer orden
Llamamos ecuaciones lineales de primer orden a las dela forma
y ′ + f (x)y = g(x) (†)
donde f (x), g(x) son funciones arbitrarias.Un caso especialmente sencillo se produce cuandog(x) = 0. Entonces la ecuación
y ′ + f (x) y = 0 (‡)
(que se llama ecuación lineal homogénea asociada a (†))es de variables separables:
y ′ = −f (x)y ⇒ y ′
y= −f (x)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Si F (x) es una primitiva de f (x) entonces
log(y) = −F (x) + C ,
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Si F (x) es una primitiva de f (x) entonces
log(y) = −F (x) + C ,
y si ponemos K = eC la solución general de la ecuaciónlineal homogénea (‡) es
y(x) = Ke−F (x)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Si F (x) es una primitiva de f (x) entonces
log(y) = −F (x) + C ,
y si ponemos K = eC la solución general de la ecuaciónlineal homogénea (‡) es
y(x) = Ke−F (x)
Este caso sencillo (‡) nos da la clave para resolver el casogeneral (†)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Si F (x) es una primitiva de f (x) entonces
log(y) = −F (x) + C ,
y si ponemos K = eC la solución general de la ecuaciónlineal homogénea (‡) es
y(x) = Ke−F (x)
Este caso sencillo (‡) nos da la clave para resolver el casogeneral (†), pues se tiene:Método de variación de las constantes
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Si F (x) es una primitiva de f (x) entonces
log(y) = −F (x) + C ,
y si ponemos K = eC la solución general de la ecuaciónlineal homogénea (‡) es
y(x) = Ke−F (x)
Este caso sencillo (‡) nos da la clave para resolver el casogeneral (†), pues se tiene:Método de variación de las constantesCon las notaciones anteriores, la solución general de unaecuación lineal de primer orden (†) es
y(x) = K (x) e−F (x)
donde la función K (x) se obtiene sustituyendo esaexpresión en la ecuación lineal homogénea (†).
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Si F (x) es una primitiva de f (x) entonces
log(y) = −F (x) + C ,
y si ponemos K = eC la solución general de la ecuaciónlineal homogénea (‡) es
y(x) = Ke−F (x)
Este caso sencillo (‡) nos da la clave para resolver el casogeneral (†), pues se tiene:Método de variación de las constantesCon las notaciones anteriores, la solución general de unaecuación lineal de primer orden (†) es
y(x) = K (x) e−F (x)
donde la función K (x) se obtiene sustituyendo esaexpresión en la ecuación lineal homogénea (†). Es decir, lasolución general de (†) es como la de (‡) pero cambiandola constante K por una función K (x), cuyo valor hay quedeterminar.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Queremos que K (x) e−F (x) sea solución dey ′ + f (x)y = g(x), siendo F ′(x) = f (x).
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Queremos que K (x) e−F (x) sea solución dey ′ + f (x)y = g(x), siendo F ′(x) = f (x).La derivada de y(x) = K (x) e−F (x) es
y ′(x) = K ′(x) e−F (x) + K (x) e−F (x)(−f (x)) =
= K ′(x) e−F (x) − f (x) y(x)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Queremos que K (x) e−F (x) sea solución dey ′ + f (x)y = g(x), siendo F ′(x) = f (x).La derivada de y(x) = K (x) e−F (x) es
y ′(x) = K ′(x) e−F (x) + K (x) e−F (x)(−f (x)) =
= K ′(x) e−F (x) − f (x) y(x)
y al sustituir estas expresiones en (†) se obtiene
g(x) = y ′(x) + f (x) y(x) = K ′(x) e−F (x) ⇒
⇒ K ′(x) = g(x) eF (x)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Queremos que K (x) e−F (x) sea solución dey ′ + f (x)y = g(x), siendo F ′(x) = f (x).La derivada de y(x) = K (x) e−F (x) es
y ′(x) = K ′(x) e−F (x) + K (x) e−F (x)(−f (x)) =
= K ′(x) e−F (x) − f (x) y(x)
y al sustituir estas expresiones en (†) se obtiene
g(x) = y ′(x) + f (x) y(x) = K ′(x) e−F (x) ⇒
⇒ K ′(x) = g(x) eF (x)
Por tanto K (x) es una primitiva de g(x) eF (x)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Queremos que K (x) e−F (x) sea solución dey ′ + f (x)y = g(x), siendo F ′(x) = f (x).La derivada de y(x) = K (x) e−F (x) es
y ′(x) = K ′(x) e−F (x) + K (x) e−F (x)(−f (x)) =
= K ′(x) e−F (x) − f (x) y(x)
y al sustituir estas expresiones en (†) se obtiene
g(x) = y ′(x) + f (x) y(x) = K ′(x) e−F (x) ⇒
⇒ K ′(x) = g(x) eF (x)
Por tanto K (x) es una primitiva de g(x) eF (x), por lo quefinalmente
y(x) =
(∫
g(x) eF (x) dx + C
)
e−F (x)
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Esta es una fórmula general para resolver (†), pero no essencilla de recordar.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Esta es una fórmula general para resolver (†), pero no essencilla de recordar. En los ejemplos repetiremos estospasos:
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Esta es una fórmula general para resolver (†), pero no essencilla de recordar. En los ejemplos repetiremos estospasos:
Obtener la solución general de y ′ + f (x)y = 0 entérminos de una constante K .
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Esta es una fórmula general para resolver (†), pero no essencilla de recordar. En los ejemplos repetiremos estospasos:
Obtener la solución general de y ′ + f (x)y = 0 entérminos de una constante K .
Buscar la solución general de y ′ + f (x)y = g(x)cambiando la constante K por una función K (x) ysustituyendo en la ecuación para determinar quién esK (x).
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y
con y(1) = 5e.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y
con y(1) = 5e.
Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex .
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y
con y(1) = 5e.
Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y
con y(1) = 5e.
Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:
dy
dx= y ⇒ dy
y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y
con y(1) = 5e.
Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:
dy
dx= y ⇒ dy
y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex
Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex .
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y
con y(1) = 5e.
Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:
dy
dx= y ⇒ dy
y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex
Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex . Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:
ex = y ′−y = K ′(x) ex+K (x) ex−K (x) ex = K ′(x) ex ⇒⇒ K ′(x) = 1 ⇒ K (x) = x + C
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y
con y(1) = 5e.
Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:
dy
dx= y ⇒ dy
y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex
Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex . Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:
ex = y ′−y = K ′(x) ex+K (x) ex−K (x) ex = K ′(x) ex ⇒⇒ K ′(x) = 1 ⇒ K (x) = x + C
y por tanto la solución general es y(x) = (x + C ) ex
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y
con y(1) = 5e.
Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:
dy
dx= y ⇒ dy
y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex
Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex . Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:
ex = y ′−y = K ′(x) ex+K (x) ex−K (x) ex = K ′(x) ex ⇒⇒ K ′(x) = 1 ⇒ K (x) = x + C
y por tanto la solución general es y(x) = (x + C ) ex
Sustituyendo ahora la condición inicial5e = y(1) = (1 + C ) e
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y
con y(1) = 5e.
Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:
dy
dx= y ⇒ dy
y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex
Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex . Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:
ex = y ′−y = K ′(x) ex+K (x) ex−K (x) ex = K ′(x) ex ⇒⇒ K ′(x) = 1 ⇒ K (x) = x + C
y por tanto la solución general es y(x) = (x + C ) ex
Sustituyendo ahora la condición inicial5e = y(1) = (1 + C ) e, obtenemos C = 4
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y
con y(1) = 5e.
Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:
dy
dx= y ⇒ dy
y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex
Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex . Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:
ex = y ′−y = K ′(x) ex+K (x) ex−K (x) ex = K ′(x) ex ⇒⇒ K ′(x) = 1 ⇒ K (x) = x + C
y por tanto la solución general es y(x) = (x + C ) ex
Sustituyendo ahora la condición inicial5e = y(1) = (1 + C ) e, obtenemos C = 4, luego lasolución pedida es y(x) = (x + 4) ex .
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2
).
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2
).
Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex
2
.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2
).
Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex
2
. Comenzamosresolviendo y ′ − 2xy = 0 separando las variables
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2
).
Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex
2
. Comenzamosresolviendo y ′ − 2xy = 0 separando las variables:
dy
dx= 2xy ⇒ dy
y= 2x dx ⇒ log y = x2 + C
⇒ y = Kex2
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2
).
Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex
2
. Comenzamosresolviendo y ′ − 2xy = 0 separando las variables:
dy
dx= 2xy ⇒ dy
y= 2x dx ⇒ log y = x2 + C
⇒ y = Kex2
Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex
2
.
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2
).
Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex
2
. Comenzamosresolviendo y ′ − 2xy = 0 separando las variables:
dy
dx= 2xy ⇒ dy
y= 2x dx ⇒ log y = x2 + C
⇒ y = Kex2
Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex
2
. Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:
2x ex2
= y ′−2xy = K ′(x) ex2
+K (x) ex2
2x−2x K (x) ex2
=
= K ′(x) ex2
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2
).
Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex
2
. Comenzamosresolviendo y ′ − 2xy = 0 separando las variables:
dy
dx= 2xy ⇒ dy
y= 2x dx ⇒ log y = x2 + C
⇒ y = Kex2
Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex
2
. Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:
2x ex2
= y ′−2xy = K ′(x) ex2
+K (x) ex2
2x−2x K (x) ex2
=
= K ′(x) ex2
luego K ′(x) = 2x y así K (x) = x2 + C
Matemáticas
Salvador
Sánchez-Pedreño
Guillén
Introducción a las
ecuaciones
diferenciales
Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza
Caída de un cuerpo
Reacciones químicas deprimer orden
Ley de enfriamiento deNewton
Ecuaciones de primer
orden
Ecuaciones de variablesseparables
Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones lineales deprimer orden
Ejemplo
Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2
).
Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex
2
. Comenzamosresolviendo y ′ − 2xy = 0 separando las variables:
dy
dx= 2xy ⇒ dy
y= 2x dx ⇒ log y = x2 + C
⇒ y = Kex2
Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex
2
. Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:
2x ex2
= y ′−2xy = K ′(x) ex2
+K (x) ex2
2x−2x K (x) ex2
=
= K ′(x) ex2
luego K ′(x) = 2x y así K (x) = x2 + C , de modo que lasolución general es
y(x) = (x2 + C ) ex2
Top Related