複素関数論 講義補助資料

加藤由紀　 年 月 日版

講義の補足，問題，講義中に使いそうな図などを，この資料にまとめた．

図中の軸と記号は，特に断りのない限り次の意味で使っている．

平面 横軸と縦軸は，それぞれ の実部と虚部を表す ．

平面 横軸と縦軸は，それぞれ の実部と虚部を表す ．

と は， の絶対値 と偏角 を表す ．

ここで， は実数である．

葉っぱの記号 をつけた箇所では，発展的な話題を扱っている．この部分

は中間試験・期末試験の範囲外とする．

目 次

複素数の絶対値について

実数の絶対値と複素数の絶対値は，ここが同じ

実数の絶対値と複素数の絶対値は，ここが違う

絶対値の計算において，よくある間違いの例

絶対値に関する問題

複素関数の図示 等角写像

による写像

おまけ による写像

複素関数の微分可能性に関する問題

特異点と零点の分類

零点

特異点の分類

多項式・有理関数による写像とその応用例

による写像の性質

による写像の応用例

一次分数関数による写像

流体力学への応用 ジューコフスキー変換

， 指数関数，三角関数，双曲線関数による写像とその応用例

指数関数による写像

三角関数，双曲線関数による写像

指数関数，双曲線関数の応用例

の準備 積分と級数を理解するための基礎知識

関数の微分可能性 どんな関数がどんな領域で正則か

曲線と領域に関する用語

閉曲線 教科書

単連結領域 教科書

曲線と領域に関する問題

コーシーの積分公式　証明の補足

複素積分の計算方法　まとめ

実関数の定積分 計算問題の追加

テイラー級数

定理と証明の概略

テイラー級数の計算方法いろいろ 計算練習の問題

ローラン級数

定理と証明の概略

積分 について　～ 式 と の導出 ～

積分 について 　～ 式 と の導出 ～

ローラン級数の使い道

特異点の分類

留数の定義

分数べきの関数

関数 が多価 価 であること

分枝と主値

リーマン面

主値とリーマン面についての補足

主値の定め方について

リーマン面の作り方 切断の場所 について

対数関数

対数関数が多価であること

分枝と主値

リーマン面

問題の略解

参考文献

複素数の絶対値について

複素数の絶対値は複素平面上の距離を表し，その値は 正の実数 または である．

実数の絶対値と複素数の絶対値の同じ点・異なる点を以下に記す．

実数の絶対値と複素数の絶対値は，ここが同じ

実数 の絶対値 は，数直線上の距離を表す．例えば，

は，点 から原点までの距離を表す 図 参照．

は，点 から点 までの距離を表す 図 参照．

複素数 の絶対値 は，複素平面上の距離を表す．例えば，

は，点 から原点までの距離を表す 図 参照．

は，点 から点 までの距離を表す 図 参照．

実数の絶対値と複素数の絶対値は，次の点が同じである

どちらも距離を表す．したがって， 絶対値は 正の実数 または である．

図 実数の絶対値の例．

実数の絶対値と複素数の絶対値は，ここが違う

実数の絶対値と複素数の絶対値の異なる点は，以下の下線部である．

実数 の絶対値 は，数直線上の距離 を表す．

複素数 の絶対値 は，複素平面上の距離 を表す．

実数 の絶対値は，直線上の距離 だから，次式のように表される．

のとき

のとき

また，式 を 乗すると，絶対値の 乗に関して次式が成り立つ．

図 複素数の絶対値の例． は ， の例であり， は

， は実数 の例である

複素数 の絶対値は，平面上の距離だから，次式のように表される 教科書

式 ． は実数 のとき，

また，式 を 乗すると，

となる． の共役複素数 を使えば，式 を

と表すこともできる 教科書 式 ．

注意 式 と式 を見くらべよ．式 と式 を見くらべよ．

すると，次のことがわかるだろう．

が複素数のときは， の虚部 が でないかぎり

とならない． ともならない．

なお， の虚部が のとき，つまり複素数 が実数でもあるときは， は式

と式 を満たす．

絶対値の計算において，よくある間違いの例

絶対値の計算において，次のような誤答をよく見かける．どこが間違いか

問題　 の絶対値を求めよ．

誤答例 　 なので，

誤答例 　 だから，

，つまり， のとき

，つまり， のとき

複素数に対して使えない式をムリヤリ使っているところが間違いである．

誤答例 では， を使っている．誤答例 では， を使っている．

ついでに注意しておく．式 に登場する不等式はすべて「ありえない式」で

ある．ここで，「ありえない式」という言葉は，「正しいか 正しくないか という

問題よりも前のこととして，数式として意味をなさない式」という意味で使って

いる．例えば，ベクトル とスカラー の大きさを比べることはできないか

ら，「 」という式はありえない．これと同じように，「 」とか

「 」などという式はありえない．

つの複素数 の大きさを比べたいときは，絶対値を使う． と はどち

らも実数だから，その大きさを比べることができる． という式は意味がな

いが ， という式は意味がある．

絶対値に関する問題

問題 　次の式を満たす複素数 を，複素平面上に図示せよ．

， ， ， ，

， は互いに相異なる定数 ，

， ．

問題 　次のことを証明せよ．

複素数 が を満たすならば， は実数である．

複素数 の絶対値 が になるのは， のときだけである．

ただし，複素数 の虚部が両方とも ならば， という式には意味がある．複素数の中に実数も含まれるので，一応注意しておく．

複素関数の図示 等角写像

による写像

関数 による， 平面上の線と 平面上の像の間の対応を図 に示す．図

の縦軸・横軸 と は，それぞれ と の実部・虚部である． ，

とおいた．

図 の線とその像．

　図 の線とその像．

図 平面における像が となる例．

図 平面の三角形と 平面におけるその像．正則関数 による写像は，

なる点において，角度を保存する．

おまけ による写像

関数 による 平面と 平面の線の対応を，図 に示す．

はどの点でも正則ではない．この関数による写像では， 平面内の つの線が直交

していたとしても，その像は互いに直交しない．

図 関数 による の像． 平面に示した全ての直

線の像は， 平面の実軸上 に重なる．

複素関数の微分可能性に関する問題

問題 　次の関数はどんな領域において正則か

自分の考えを述べ，それを証明せよ．

， ， ， ， ， ， ，

， ， ， ， ．

ここで， は複素数の定数であり， は自然数 は含まない の定数である．

ヒント

の関数は，次のいずれかに該当する．

タイプ 複素平面全体で正則．

タイプ 複素平面全体で正則でない 関数が正則であるような は一個も

ない ．

タイプ 有限個の点を除き，複素平面全体で正則．

と の微分可能性は，コーシー・リーマンの方程式の極形式版を使うと 楽

に証明できる．極形式版については，教科書第 章の演習問題 を参照せよ．

特異点と零点の分類

教科書には有理関数の特異点・零点とその分類について説明がある．ここでは，有

理関数に限らない一般の関数について記す．

特に，特異点の分類は応用上大切だ． で積分に関する公式がいろいろ登

場する．その中に「関数の特異点が極であってその極が何位のときは，この式が

使える」というような公式がある．だから，関数が与えられたときに，その関数

の特異点はどこにあるか その特異点は極かどうか 極ならば何位の極か とい

うことを判断できるようになっておくとよい．そうすれば，積分に関する公式の

使い方をより楽に理解できるようになるだろう．

零点

関数 の零点とは， を満たす点のことだ．

位数の定義 関数 が，

は で正則で，

とかけるとき， は の 位の零点である．

零点の例　関数 の零点は， 位の零点 と 位の

零点 である．

特異点の分類

特異点とは微分可能でない点のことだ 教科書 に定義がある ．特に， が

ある点 で微分可能でなくて の近くでは微分可能であるとき， を

の孤立特異点と呼ぶ．例えば， は の孤立特異点である．

孤立特異点は次のように分類できる．以下では， が の孤立特異点で

あるとする．

有限の値 が存在するなら， は除去可能な特異点．

この場合， と定義しなおせば， は で正則になる．

ある自然数 に対して

ただし， は でない値

が存在するなら， は 位の極．

どんな に対しても が定まらないなら， は真性特異点．

特異点の例

の特異点 は，除去可能特異点である．

における極限値は である 例題 ．そこで，

のように関数を定義しなおすと， は 平面全体で正則である．

の特異点 は 位の極であり， は 位の極である．

について，式 を確かめておく．

は，存在しない 極限値は

　→　 位の極だ

．

．

の特異点 は真性特異点である．

つまり，どんな大きな を使っても， を有限の値にはでき

ない．このことは，ローラン級数 で登場する を使うと確かめられる．

多項式・有理関数による写像とその応用例

による写像の性質

関数 による写像を図 ， に示す． 平面上の線は，

とおいたときの の等値線を表す． 平面上の線は，これらの像である．

関数 による写像においては， 平面の領域

が， 平面全体に対応する．

図 ， の等値線とその像．灰色の部分は，領域 とそ

の像を表す．

図 ，図の見方は図 に同じ．

による写像の応用例

について， の実部 ・虚部 が一定となる曲線を図 ，

に示す．電磁気学や流体力学への応用例において， は次の物理的意味を持つ．

電磁気学 次元静電場

を電位とすると， が電場 を表す． は 等電

位線， は電気力線である．なお， を電位とすることもある．そ

の場合は， が等電位線， が電気力線である．

流体力学 次元非粘性渦無し定常流

を流速のポテンシャルとすると， の勾配 が流速を表す．

は流線 速度ベクトルに沿う線 を表す．

図 ， の線．

図 ， の線．

電磁気学への応用例

を考える．領域 だけに注目する．

図 の等電位線と電気力線は，折れ曲がった導体による静電場を示す 参考文献

．

図 電磁気学への応用例 左 領域 ， 右 折れ曲がった導体による静電場．

右の図において，実線は等電位線，点線は電気力線，矢印は電場 を表す．

流体力学への応用例

を考える．領域 だけに注目する．図 に

示した等ポテンシャル線と流線は，角をすぎる流れの様子を示す 参考文献 ．

図 流体力学への応用． 左 領域 ， 右 角をすぎる流れ．右の図において，

実線はポテンシャルの等値線，点線は流線，矢印は流速 を表す．

一次分数関数による写像

式 の関数を一次分数関数と呼ぶ

， は定数で，

一次分数関数による写像は，次の写像の合成である 図 ．

平行移動

拡大縮小 回転

実軸と単位円についての反転 ．

図 一次分数変換． 平面における三角形， は 平面における三角

形の像である． ， ，

． の細い点線は， の線とその像である．

流体力学への応用 ジューコフスキー変換

次の関数による写像をジューコフスキー変換と呼ぶ．

は正定数

この関数による写像の例を，図 ， に示す．

平面内に原点を中心とする半径 の円を考える．この円の像は， のとき

楕円で， のときは実軸上の線分である 図 ．円の中心が原点でなくて

虚軸上 にある場合は，その像は一般に楕円をひしゃげた形になる

図 の実線．円の中心を固定して半径を小さくしていくと，楕円のひしゃげ

方は大きくなる．円の半径が に達したとき，円は点 を通る．

このとき，円の像は 点 をつなぐ 本の曲線になる 図 の破線．

図 に破線で示した円を，円 とする． で円 に接する円を円 とす

る．円 の像は，飛行機の翼の断面のような形である 図 の実線 参考文献 ．

図 ジューコフスキー変換 その ． 破線は中心 ，半径 の円と

その像，実線は中心 ，半径 の円とその像である．細い点線は，

の線とその像である． 破線は中心 ，半径 の円とその像

である．実線は中心 ，半径 の円とその像である．

図 ジューコフスキー変換 その ．破線は中心 ，半径 の円

とその像である 図 の破線と同じ．実線は中心 ，半径 の

円とその像である．

， 指数関数，三角関数，双曲線関数による写像とその

応用例

指数関数による写像

による写像を図 に示す． は周期 の周期関数なので，

図 の 平面上の線 の像は， 平面上の一つの線 になる．

図 指数関数 による写像．

図 指数関数 の周期性を確認するための図． 平面における実線，破線

，点線は，それぞれ， 平面の実線，破線 ，点線に対応する．

三角関数，双曲線関数による写像

三角関数 ，双曲線関数 による写像を，図

に示す．

双曲線関数と三角関数の関係について

双曲線関数 と三角関数 の間には，

なる関係がある 教科書 の例題 参照 ．つまり， は の引数を

と置き換えたものに等しい． であるから，をかける変換 は，

度の回転を意味する．したがって， による写像 図 は，

による写像 図 を 平面上で 度回転させたものになる．

図 による写像．

図 による写像．

図 による写像．

指数関数，双曲線関数の応用例

電磁気学への応用．平行板コンデンサの端付近の静電場 ．

指数関数を含む関数 を考える．この関数の逆関数は，コンデンサ

周りの静電場を表すのに使える 参考文献 ．

○ による写像について

で定まる関数 は の逆関数である．

による写像を，図 に示す．特に， 平面の直線 は，

平面において実軸と平行な半直線 ， に対応する ．

逆関数による写像は，もとの関数による写像の と をひっくり返したものに

なる．したがって， による写像は図 のようになる． 平面におけ

る直線 は， 平面において実軸と平行な半直線 ，

に対応する．

図 による写像． の線．

図 による写像．実線は ，点線は を表す．

による の像については，次のようにして確認できる．

とおくと， ， である．したがって，

のとき， ， である． が の範囲を動くとき， のとる値はにある．

○ コンデンサの端付近の電場 図

で定まる関数 は，平行板コンデンサの端付近での静電場を表す．

に 枚の板があって，板における電位の値が である

状況を考える 図 ． を電位とすると，図 の 平面に示した曲線

は，コンデンサの端付近における等電位線と電気力線を表す． が等電位

線， が電気力線である．

図 コンデンサの端周辺の等電位線 ，点線 と電気力線

実線 ．

流体力学への応用．穴を通る流れ 参考文献 ．

○ による写像について

は の逆関数である． による写像 図 におい

て，変数 と を交換すれば， による写像が得

られる 図 ．

図 と による写像． 実線が ，点線が

を表す． 実線が ，点線が を表す．

○ 穴を通る流れ

関数 は，穴を通る流れを表す 図 ．実軸上に板があり，

に穴があいている状況を考える．図 の流線は，水や空気などがこの穴

を通り抜けるときの流れの様子を表す． の等値線は板を表す．

図 穴を通りすぎる流れ．

の準備 積分と級数を理解するための基礎知識

で扱う定理・公式は，次の形のものが多い．

「　これこれの領域において この関数が正則であるとき，

　 　ナントカカントカ が成り立つ．　」

このような定理・公式を理解するためには，下線部の内容を理解できているこ

とが必要である．また，定理・公式を使って積分や級数の計算をするためには，い

ろんな領域や関数の例について，下線部の内容を満たしているかどうか を判断

できることが必要である．そこで，この節に，下線部に関する話題をまとめてお

く．なお， 微分可能性 は で既習の内容である．

関数の微分可能性 どんな関数がどんな領域で正則か

次の問題がわかるだろうか 問につき 分くらいの制限時間で考えてみてほし

い．正則であること ないことの証明はしなくていい．全部正解できればＯＫだが，

もしもわからない問いがあった場合は教科書 をよく復習しておくこと．

問題 　次の関数はどんな領域において正則か もし特異点を持つとしたら

それはどの点か ただし，以下に現れる は定数であり，互いに相異なる値

を持つものとする．

あ い う え お か

き く け こ さ

し す

せ そ た ち

つ て と は整数 な

に ， ぬ ， ね ， の ，

は

　 は整関数 で正則な関数 で， ， ， とする．

曲線と領域に関する用語

閉曲線 教科書

曲線の始点と終点が一致しているとき，この曲線は閉じているという 図 参

照 ．曲線には向きがある．閉曲線を反時計回りにまわるとき，この曲線の向きを

正の向きと呼ぶ 図 参照 ．本講義では，特に断らない限り，閉曲線と言った

ら正の向きのものを考える．

自分自身と交わらない曲線を単一曲線 または単純曲線 と呼ぶ．図 ，図

に示した曲線は，すべて単一曲線である．単一でない曲線の例を図 に示す．本

講義では，単一でない曲線は扱わない．

図 閉じた曲線と閉じていない曲線の例．

図 閉曲線の向き． 図 単一でない曲線の例．

単連結領域 教科書

単連結領域とは

領域 が単連結であるとは「 に属する点が全部つながっていて．しかも， の

中に穴があいてない」ということである 図 参照 ．

「穴があいてない」ことをより厳密に定義するなら，例えば，次のように言える．

定義その 領域 の中に任意に閉曲線 を考えたとき，その曲線を の

中で連続的に変形して 点に縮めることができる 教科書 ．

定義その 領域 の中に任意に閉曲線 を考えたとき， の内部の点が全

部 に含まれる 参考文献 例えば 森・杉原 矢嶋・及川 ．

注意 穴が 点でもあいていたら，単連結ではない．例えば，領域

は，円の内部から円の中心 点だけを除いた領域であるが，これは単

連結領域ではない．

おまけ情報 つながっているけど穴があいているような領域は，多重連結領域と

呼ばれる．例を図 に示す．穴が 個あいている領域は 重連結領域， 個

あいている領域は 重連結領域と呼ばれる．

図 単連結領域と単連結でない領域の例．

曲線と領域に関する問題

問題 　次の式は，複素平面内の曲線または領域を表す．

かつ，

かつ，

，かつ，

は互いに相異なる定数

～ を図示せよ．式の表すものは曲線 次元空間 か あるいは領域 次

元空間 か

～ の中から，閉曲線を全て選べ．

～ の中から，単連結領域を全て選べ．

コーシーの積分公式　証明の補足

コーシーの積分公式の証明において難しい箇所は，以下の式変形における式

と式 の間だ．この部分を補足説明しておく．

積分公式の証明に出てくる式の抜粋

　

式 の導出詳細 のとき，式 の第 項が になることについて．

説明の準備 積分値の上限評価

上のすべての点において であるとき，次式が成り立つ．

ここで， は曲線 の弧長を表すパラメタ ， は曲線 の長さである．

式 は「 の積分値 の上限×積分路の長さ 」と言っている．

は領域 で正則だから， で連続でもある．特に， 内

の点 で連続であることから，次の不等式が成り立つ

任意の に対して，十分小さい を考えれば，

のとき，

式 を使って，式 第 項の被積分関数の上限を考えると，

となる．また，積分路 の長さは である．したがって， から，

とできる．ここで， のとき はいくらでも小さい値にできるので，

． したがって，

となる．

参考文献の情報など．

この節の内容は，教科書の証明だと「 式 の最後の式の第一項目はなんで に

なるか 」という部分に相当する．教科書のこの部分の記述が，私加藤には十分理解でき

なかった．そこで，ここでは，教科書の説明と少し違うやりかたで説明した．上の説明は，

文献 と文献 を参考にした．

複素積分の計算方法　まとめ

複素積分 の計算に関する定理・公式等をここにまとめておく．

積分を計算する際に， あ い の方法はいつでも使えるけれど， あ い を使っ

た計算は面倒くさいことが多い． う け の方法を使った方が，計算は楽にでき

る．ただし， う け の方法はいつでも使えるわけではない．だから， う け

の方法がどんなときに使えるか ということをよく理解しておくことが大事だ．

う け の方法を使う場合は，特に次の点に注意しよう．

積分路 について は閉じているか否か

被積分関数 について はどんな領域で正則か

が の特異点を囲む場合 特異点の個数と種類．

あ 積分の定義 の講義ノート

．

い 線積分をまじめに計算する

積分路 を とパラメタ表示して， について積分する．

．

う コーシーの積分定理

＊関連する技 積分路の変形 上から 行の説明．

え 不定積分

なる を使って，

お コーシーの積分公式

か コーシーの積分公式の関連技

が の 位の極を複数個囲む場合は，工夫すれば積分公式が使える．

工夫その 積分路を変形する 積分定理の関連技を使う ．

工夫その 被積分関数を変形する．

き グルサーの公式 コーシーの積分公式の一般化．

く グルサーの公式の関連技

が の極を複数個囲む場合は，工夫すればグルサーの公式が使える．

工夫の方法は か と同じ．

け 留数定理

留数の求め方

方法その 　 特異点が極のときに使えるやり方

を教科書 式 の形に変形する ．このとき， が

における留数である．

方法その 　 特異点が極のときに使えるやり方

教科書 式 を使う ．

方法その 　 いつでも使えるやり方

を ローラン級数に展開する ．

領域 において， を教科書 式 のよう

に展開できたなら， が における留数である．

問題 　積分に関する定理・公式を使えるようになるための問題

の積分 について，以下の問いに答えよ．

被積分関数 はどのような領域で正則か

積分路 を図示せよ．

積分路 は閉曲線か

が閉曲線である場合， は関数 の特異点を囲むか

もしも が の特異点を囲むなら，それはどの特異点か 囲まれる

特異点は 個か それとも 個以上か

次の定理・公式の中から，積分 の計算に使えるものをすべて選べ．

う コーシーの積分定理，

お コーシーの積分公式，

き グルサーの公式，

け 留数定理．

補足 この問題のねらい．

積分に関する定理・公式を使えるようになるために，その適用範囲 つまり 公式

等が成り立つための仮定の部分 をよく理解して欲しい．そういう考えの下に，こ

の問題を作ってみた．積分を計算する際には，ここに挙げた つの定理・公式以

外の方法も使えるし，ここに挙げた方法だけを推奨するつもりではない．

， に沿って， から まで．

，

， に沿って反時計まわりに から まで．

，

に沿って反時計まわりに から まで行って，

そこから， の実軸に沿って から まで．

， 点 ，， を頂点とする三角形の外周．

， 点 ， ，を頂点とする三角形の外周．

， ．

． ．

， ．

， ．

の但し書き．

は互いに相異なる定数である． は整関数 で正則な関数 であ

る． ， ， とする．積分路 は図 に示した曲線

である．

　

図 問題 の積分路と定数 ．

実関数の定積分 計算問題の追加

実関数の定積分は，理工系大学院の入試問題に取り上げられることが多い．教科

書には問題が少ないので，ここに問題を追加しておく．院試レベルの問題の場合

は，計算方法が教科書には載っていないこともある．大学院志望の人は参考文献

も読んでおくとよいだろう．

問題 　

教科書に載っているタイプ のやり方で計算できるもの．

， ， ，

， ， ，

， は正の実定数 ， ， は実定数

のヒント まず積分 タイプ の積分 を求める．

の実部が を，虚部が を与える．

問題 　大学院入試問題の紹介 鳥取大学大学院工学研究科の過去問 ．

複素積分を使って，次の実積分を計算せよ は正の実定数 ．

，

．

は教科書に計算方法が載っていないので，期末試験の範囲外．

テイラー級数

定理と証明の概略

定理 関数 が領域 で正則ならば，

は，点 を中心とするテイラー級数に展開で

きる．

級数 ．

級数の係数

の収束円は， を中心とする円のうち， 内で最大

のものである．

証明の概略

関数 は で正則なので， での値は次式で表せる

．

ただし，積分路 は 内の閉曲線で，点 を囲むものである．

以下では，積分路として を採用する．

上の点 と， に囲まれる点 の間には，次の関係が成り立つ．

したがって，

と が不等式 を満たすとき， の被積分関数の中の は，次の級

数で表せる．

級数 を積分 に代入して，項別積分すると 注

となる．ここで，式 の 四角いかっこ の中は， に依らない定数である．そ

こで，これをまとめて，

とおいた．

コーシーの積分公式 グルサーの公式を使うと，定数 を， の導関数

を使って表すことができる

注 証明の細かい補足と参考文献．

式 から式 を導く際に，項別積分を使った．ここで項別積

分ができるってことは自明ではないけれど，そこの部分の説明は難し

いので，この講義では扱わない．級数 が項別積分できることの

厳密な証明を知りたい場合は，参考文献 の とか の定理

あたりを参照せよ．

テイラー級数の計算方法いろいろ 計算練習の問題

テイラー級数

， 係数 は に依らない定数

の係数をどうやって求めたらいいか

あ 次式を使う．

い 知っている級数を利用する．

変数の置き換え．

特に，有理関数の場合は，次式を利用すると楽で，収束半径も自動的に

わかる．

のとき 教科書 例題

級数の和・差．

級数の積．

項別微分・項別積分．

問題 　次のテイラー級数を の複数の方法で計算し，答えが一致する

ことを確かめよ．また，得られた級数が収束する領域を求めよ．

以下の問題のうちのいくつかにおいては，すべての項を求めようとすると面

倒くさい計算が必要かもしれない．仮に一般項が求められなかったとしても，

はじめの 項くらいは求められるように練習しておこう．

の を中心とするテイラー級数．

式 を使う．

変数の置き換え．式 を使う．

式 の使い方 講義ノートの補足 　

計算のゴールは を中心とするべき級数を得ることである．

手順 まずは， が現れるように の分母を変形する．

手順 をさらに変形して， の左辺と同じ形 を作る．

手順 式 の を と置き換えた式を利用して， のテイ

ラー級数を得る．この置き換えによって得られた級数は，領域

で収束する．

の を中心とするテイラー級数 マクローリン級数 ．

式 を使う．

変数の置き換え．式 を使う．

の を中心とするテイラー級数．

式 を使う．　　

級数の和・差を計算する．

手順 を 次のように変形する．

定数× 定数×

手順 と のテイラー級数

， ，

を求めて これらは問 と同様の方法で計算できる ， に代入する．

級数の積を計算する．

のテイラー級数と のテイラー級数 これらは の形の

ように求めておく をかける．

の を中心とするテイラー級数．

式 を使う．

指数関数のマクローリン級数を使う． 変数の置き換えと級数の和・差

の練習

の定義 に， と のマクローリン級数

， ，

を代入する．なお， と のマクローリン級数は，指数関数 のマクロー

リン級数 教科書の式 において， を あるいは と置

き換えることによって，簡単に得られる．

のマクローリン級数を使う． 項別微分の練習

の右辺に， のマクローリン級数 教科書の式 を

代入して，項別に微分する．　

の を中心とするテイラー級数．

式 を使う．

指数関数のマクローリン級数を使う． 変数の置き換えと級数の和・差

の練習

の定義 に， と のテイラー級数

， ，

を代入する． と のテイラー級数 は，指数関数 のマクローリ

ン級数を利用すれば簡単に求められる．例えば， の場合は次のように計算

すればよい．

であるとき，この式の を と置き換えると，　　

となる．式 の両辺に をかければ， のテイラー級数が得られる．

のマクローリン級数を使う． 変数置き換えの練習

次の関係式を利用する　　

．

つまり， のテイラー級数を求めて，それを に代入する．

の を中心とするテイラー級数は， のマクローリン級数 教科書

の式 において，変数を と置き換えることによって，簡単に

得られる． 　

ローラン級数

定理と証明の概略

定理：関数 が円環領域 で正則ならば，

は，点 を中心とするローラン級数に展開できる．

級数：　

級数の係数：　

ここで，積分路 は， 内の閉曲線で を囲むものである．

級数 は， 内のすべての点で収束する．

証明の概略

曲線 を 図 のように定義し，これらを結んで得られる閉曲線　

「 」「 」を考える．曲線 で囲まれる領域 は単連結

であり， は で正則である．したがって， における関数の値は次式

で表される．

ただし，

の被積分関数の中の を級数に変形して， に代入する．そうし

て得られた式を項別積分すると，次式と を得る．

これらを 式 に入れると， を得る．

図 曲線 と領域 ． は， ，

と定義する． は から までをつなぐ道である． と

は この図では離して描いてあるけど 同じ道を逆走する関係にある．

積分 について　～ 式 と の導出 ～

以下に，式 と の導出概略を示す．かっこで囲んだ部分では，テイラー

級数に関する定理の証明と同じ計算をしている 参照 ．

　

内の点 と 上の点 は， を満たす 図 参照．

つまり，

を満たす．不等式 が成り立つので， 教科書 例題 の結果を使う

と の被積分関数の中の は，

のように変形できる．これを の定義 に代入して，項別積分すると，

，

を得る．ただし，式 に現れる定数を，次のように とおいた．

図 積分 における の関係．関数 は灰色の領域で正則である．

の被積分関数は で正則なので， の積分路 は積分路 に変形

できる．したがって，係数 は，

と表される．

積分 について 　～ 式 と の導出 ～

内の点 と 上の点 は， を満たす 図 参照．

つまり，

を満たす．不等式 が成り立つので， 教科書 例題 の結果を使うと

の被積分関数の中の は，

のように変形できる．これを の定義 に代入して，項別積分すると，

となる．ここで，定数 を次式で定義した．

， つまり，

の被積分関数は で正則だから，積分路を に変形できる

係数の名前と添え字を のように置き換えれば， と から，

次式が得られる．

ローラン級数の使い道

ローラン級数は円環領域 で正則な関数を表すのに使われる．

理工学への応用において特に大切なのは，内側の円の半径 が のときの級数で

ある．

関数 の領域 におけるローラン級数を

とする．この級数の主要部 右辺第 項 を使うと， の近くで関数の振る舞

いがわかったり，留数を求めることができたりする．

特異点の分類

級数 の主要部の形に応じて，点 は次のように分類される．

主要部がないときは，次の または である．

は特異点ではない． は で正則である．

なお，このとき，ローラン級数はテイラー級数に一致する．

は除去可能な特異点である．

例 は， で

と表される．よって， は除去可能特異点である．

ローラン級数の 次の項

とおきなおせば， でも正則な関数にできる．

主要部が有限項からなるとき， は極である．

でない 最低次の項が であるとき， は 位の極である．

例 は， で，

と表される．よって， は 位の極である．

主要部が無限項続くとき， は真性特異点である．

例 は， で

と表される．よって， は真性特異点である．

教科書 にも特異点の分類の話が載っている 本資料では ． では，極

限値 の値に基づいて特異点を分類した．ここに挙げた分類方

法と の分類方法は，同じことを言っている．級数 を使って，極限値

を求めてみれば， つの分類方法が同じであることがわかるだ

ろう．

留数の定義

教科書 では，特異点が極のときに留数を定義した．より一般的には，留数

はローラン級数 を用いて定義される．

留数の定義 式 における の係数

例 関数 の における留数は， である 式 参照 ，

例 関数 の における留数は， である 式 参照 ．

注意 は真性特異点なので，極における留数の公式 教科書 式

は使えない．留数を求める際にはローラン級数に展開する必要がある．

分数べきの関数

関数 が多価 価 であること

は の逆関数である．関数 による写像を図 ， ， に示す．

とおいたとき， の像 は， ， の つの値をとる 図 ．

図 による写像 平面の上半面 ． である．

図 による写像 平面の下半面 ． である．

図 による写像．

分枝と主値

図 のように 平面を つに分けて， つの分枝を考える．関数 の値とし

て だけを考えることにすれば， を一価関数とみなすことができる．

図 の分枝と主値．

リーマン面

図 のように 平面を 枚用意する． 平面 枚を関数 の定義域だと思え

ば， は 価とみなせる． 枚の 平面を で切って，適当に貼りあわ

せると，リーマン面ができる 図 ．リーマン面を定義域， 平面を値域とす

ると は一価関数である．

リーマン面上の点 と，これらに対応する 平面の点 を図

に示す．分岐点 のまわりを とまわると， 平面の対応

する点 は 分枝 から へ移る．さらに，

とまわると， 平面の点 は 分枝 から再び へ戻る．

図 リーマン面の考え方． 平面 枚と 平面 枚の対応を考える．

図 のリーマン面．黒丸は分岐点 ，破線は である．

図 のリーマン面の構造． において，実線は 面の上，点線は 面の

上に乗っている．

主値とリーマン面についての補足

主値の定め方について

主値の定め方は一通りでないことを注意しておく． 図 では，

の つの値のうち，偏角が を満たすものを主値と定めた．これと異

なる方法で主値を定義することもある．例えば，図 に示したように，偏角が

を満たすものを分枝 ， を満たすもの

を分枝 と決めて，前者を主値とすることもある．

図 の主値．図 とは違う定義の例．

リーマン面の作り方 切断の場所 について

リーマン面を作る際の切断の方法は つではない． でリーマン面 図

を作ったときには， 平面を偏角 の線で切ったが， 「 でな

い実定数」の線で切ったってかまわない．例えば， で切断して作った

リーマン面の構造は図 のようになる． が図 の 面 または 面 にある

とき，その像は，図 の分枝 または を与える．

図 のリーマン面 で切断した場合 ．黒丸は分岐点 ，

破線は である．

対数関数

対数関数が多価であること

対数関数は指数関数の逆関数として定義される．指数関数は周期 の周期関数

なので，図 の の像は， の 点になる．したがって，対

数関数による写像 図 では， 点 の像が の 無限個の

点になる．

図 指数関数 による写像．

図 対数関数 による写像．

分枝と主値

図 に示すように， の値に応じて，分枝を定める．無限個の分枝

のうち， なるものを主値とする．主値を考えれば対数関数を一価

関数とみなせる 参考文献 ．主値は， 平面から実軸上 を除いた領域

図 で連続である．

図 主値 が連続であるような領域 ．

リーマン面

平面を で切ったものを無限個用意する．これらを， が 価連

続になるように貼りあわせると，図 のリーマン面ができる．定義域をリーマ

ン面，値域を 平面と考えれば， は 価連続である．

図 のリーマン面．白丸は分岐点 を表す．すべての面は で

つながっている． はリーマン面に含まれない．

問題の略解

問題 　絶対値が登場する式の表すもの 図示 ．

式 は，図 に示した曲線または領域を表す．

図 問題 の解答． 定数 の実部・虚部を

は実数 とおいた． 実線が を表す．点線は と

をつなぐ線分であり，破線は と をつなぐ線分である．両者の長さが等しくな

るような は， と の 点をつなぐ直線に直交する直線をなす．

問題 　絶対値に関する証明問題 略．

問題 　次の関数はどんな領域において正則か

問題 と問題 に挙げた関数は，次のいずれかに該当する．

タイプ どの点でも正則である．つまり，複素平面全体 で正則

である．

タイプ どの点でも正則ではない．つまり，複素平面 の中に，関

数が正則であるような点は 個もない．

タイプ いくつかの点において正則ではない，つまり，特異点をいくつか

持ち，それらの特異点を除けば複素平面全体 で正則である．

タイプ ， タイプ ，

タイプ 特異点は ， タイプ ，

タイプ ， は自然数 タイプ ，

タイプ ， タイプ ，

タイプ ， タイプ 特異点は ，

タイプ 特異点は ，

は自然数 タイプ 特異点は ．

問題 　関数の微分可能性

各関数が上記のタイプ のどれに属するかを記す．この問題で挙げたタ

イプ の関数では，特異点はすべて極である．参考のため極の位数も示す．

あ い う え 特異点は 位の極 お

か ，特異点は 位の極 き く け

こ ，特異点は 位の極 さ し

す 特異点は 位の極

せ ，特異点は どちらも 位の極 そ た ち

つ ，特異点は 個 ， は奇数， つとも 位の極． て

と のとき ， のときは で特異点は 位の極 ，

な に 特異点は 位の極 ， ぬ ， ね ，

の ，特異点は は 位の極， は 位の極 は 位の極 ．

は ，特異点は は 位の極， は 位の極 は 位の極 ．

おまけ情報　 し す は などについての解説．

正則関数同士の和や積は正則関数である．正則関数 と正則関数 の商

は， のとき正則である．教科書 「微分に関する基本公

式」のところに関連する式が載っている．

問題 　曲線と領域．

の図については問題 の解答を見よ 図 ． は図

に示した曲線または領域を表す．

曲線 閉曲線 ， 領域 単連結領域 ， 曲線 閉曲線 ， 曲線 閉曲線 ，

曲線 閉じてない曲線 ， 領域 単連結ではない， 重連結 ，

領域 単連結ではない， 重連結 ， 領域 単連結領域 ，

曲線 閉じてない曲線 ， 曲線 閉じてない曲線 ， 領域 単連結領域 ．

図 問題 の答え．

問題 　周回積分に関する定理 う け ・公式 お き の使い方．

う コーシーの積分定理

お コーシーの積分公式

き グルサーの公式

け 留数定理

注意 グルサーの公式はコーシーの積分公式を含む．また，留数定理はグルサー

の公式を拡張したものである．したがって，以下の解答例において，積分計算の

際に「 お コーシーの積分公式が使える」と書いてある場合は， き グルサーの

公式と け 留数定理も使える．同様に，「 き グルサーの公式が使える」と書いて

ある場合は け 留数定理も使える．

はどこでも正則 問題 の答えのタイプ ． は閉曲線ではない．積分

路が閉曲線でないので， う お き け のどれも使えない．

はどこでも正則 タイプ ． は閉曲線 を中心とする円で，

を通る ． う 積分定理から， である．

はどこでも正則ではない 問題 の答えのタイプ ． は閉曲線ではな

い．積分路が閉曲線でないし， はどこでも正則でないので，う お き け

のどれも使えない．

はどこでも正則ではない タイプ ． は閉曲線． に囲まれる領域で

が正則でないから， う お き け のどれも使えない．

は で正則である 問題 の答えのタイプ ． の特異点

は 位の極である． は閉曲線で， の特異点を囲む． を ，

という形で表したとき，関数 は，どこでも正則である

から，特に に囲まれる領域においても正則である．したがって， お コー

シーの積分公式が使える．

は で正則である． は閉曲線． は の特異点を囲まないから，

に囲まれる領域において は正則である．したがって， う 積分定理が使

える．

は で正則である． は閉曲線 原点を中心とする半径 の円 ．

は の特異点を囲まないから， に囲まれる領域において は正則である．

したがって， う 積分定理が使える．

は で正則である 問題 の答えのタイプ ． の特異点 は

位の極である． は閉曲線 を中心とする半径 の円 で， の

特異点を囲む． を ， という形で表したとき，関数

は，どこでも正則であるから，特に に囲まれる領域においても

正則である．したがって， き グルサーの公式が使える．

は で正則である 問題 の答えのタイプ ． の特異点

と は，どちらも 位の極である． は閉曲線で， の特異点を

個だけ囲む を囲み， は囲まない ． を とい

う形で表したとき，関数 は， において正則である．

に囲まれる領域において は正則であるから， お コーシーの積分公

式が使える．

は で正則である． は閉曲線で， の特異点を 個囲む．積

分路が の特異点を 個以上囲むので， お コーシーの積分公式や き グル

サーの公式は使えない． け 留数定理が使える．

補足 か コーシーの積分公式の関連技も使える．

工夫その 積分路を変形する．

は を囲み， を囲まない閉曲線， は を囲み， を囲まない

閉曲線 のように，積分路を変形する．すると， についての積分と に

ついての積分のそれぞれを計算する際には，コーシーの積分公式が使える．

工夫その 被積分関数を変形する．

のように を変形すれば，各項を積分する際にはコーシーの積分公式が使

える．

は で正則である． なので は の 位の極，

なので は の 位の極， なので は の 位の極である． は閉

曲線で， の特異点を囲まない．したがって， う コーシーの積分定理が使

える．

は で正則である． は閉曲線で， の特異点 位の極 を

個だけ囲む．したがって， お コーシーの積分公式が使える．

は で正則である． は閉曲線で， の特異点 位の極 を

個だけ囲む．したがって， き グルサーの公式が使える．

は で正則である． は閉曲線で， の特異点を 個囲む． け

留数定理が使える．

補足 問題 と同じような工夫をすれば， く グルサーの公式の関連技も

使える．

は で正則である． は閉曲線で， の特異点を 個囲む． け

留数定理が使える．

補足 問題 と同じような工夫をすれば， く グルサーの公式の関連技も

使える．

おまけ情報　積分 の値は，次の通りである．

， ， ， ， ， ， ，

， ， ， ， ，

， ， ．

ただし， の は，以下の定数を表す．

，

，

．

問題 実関数の定積分

， ， ， ， ， ，

， ．

問題 実関数の定積分 院試過去問

省略 教科書の例題を見よ ， ．

については，参考文献 に詳しい説明が載っている．

計算方法の概略は以下の通りである．

まず，積分 を考える．積分路 は 点 を次のようにつ

なぐ矩形である．点 点 点 点

点 ．ここで， は正の実定数である．この積分 の

の極限を考える．なお，実軸上の積分 は，実関数の範囲内で簡

単に求められる 微分積分学 の教科書 例題 と同じようにして，

重積分を利用する ．

問題 　テイラー級数の計算

の を中心とするテイラー級数

式 を使う場合は， と変形し

て， とおけばよい．級数 の収束する領域は，

，したがって である 収束半径は ．

の を中心とするテイラー級数．

式 を使う場合， とおけばよい．級数 の収束する領域

は， ，したがって である 収束半径は ．

の を中心とするテイラー級数

の を中心とするテイラー級数は，

において，

である．級数 の収束する領域は，級数 の収束する領域

と級数 の収束する領域 の共通部分なので，

となる 収束半径は ．

～ 計算方法 級数の積についての補足 ～

つのべき級数 ， の積は次式で

表され，これは と の収束円の共通部分で収束する．

次のように計算したくなる人がたまにいるけれど，こんな式は成り立たない．

よくある間違いの例

これが間違いであることに納得がいかない場合は，有限項の級数の積を考えてみる

とよい．例えば と の積 を，和の記号

を使わずに書き下してみよ． とはならないはず．

の を中心とするテイラー級数．

答えは教科書の式 ．級数の収束する領域は 収束半径は ．

の を中心とするテイラー級数．

答えは教科書 問題 にある．級数の収束する領域は

収束半径は ．

方法 の補足 と の を中心とするテイラー級数は，次のように

なる．

これらの収束する領域は， ，つまり である．

参考文献

電磁気学への応用 折れ曲がった導体の周辺での静電場 について．

ファインマン，レイトン， サンズ，ファインマン物理学 電磁気学，岩

波書店， 年， ．

流体力学への応用 角の近くの流れ について．

私の手許にある本だと，次の節に説明がある．これら以外にも，流体力学の

基礎を扱った本ならたいがい載っていると思う．

今井功，物理テキストシリーズ 流体力学，岩波書店， 年， ．

九州大学大気海洋環境システム学専攻編，地球環境を学ぶための流体力

学，成山堂書店， 年， ．

ジューコフスキー変換とジューコフスキー翼について．

中口博・本間弘樹，現代の数理科学シリーズ 流体力学 上 ，地人書館，

年， ．

今井功，物理テキストシリーズ 流体力学，岩波書店， 年， ．

電磁気学への応用 平行板コンデンサの端近くの電場 について．

後藤 山崎編，詳解 電磁気学演習，共立出版， 年，第 章 等角写像，

問題 ．

流体力学への応用 穴を通る流れ について．

クライツィグ，複素関数論，培風館 年， 複素解析のポテンシャル

論への応用 問題 ．

森正武・杉原正顯，複素関数論，岩波書店， 年．

矢島徹・及川正行， 工学基礎 複素関数論，サイエンス

社， 年．

高木貞治，解析概論 岩波書店，改訂第三版 年．

クライツィグ，技術者のための高等数学 複素関数論 原書第 版 ，培風館，

年．

複素積分を使って実関数定積分を計算する方法．教科書には載ってない種類

の問題を扱っていて，説明が丁寧な本．

高橋他，物理工学のための複素積分 基礎編 ，東海大学出版会， 年．

第 章 ．

一松信，数学ワンポイント双書 留数解析，共立出版． 年．

松田哲，理工系の基礎数学 複素関数，岩波書店， 年．

対数の主値について．

対数の主値 は，教科書では扱われていない．詳細については，例えば以

下の本に載っている．

森・杉原，複素関数論，岩波書店， 年， ．

矢嶋・及川， 工学基礎 複素関数論，サイエンス社，

年， ．

クライツィグ，複素関数論，培風館 年， ．