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Huaringa Leon hernanHuaringa Leon hernan
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFACULTAD DE INGENIERIA MECANICAFACULTAD DE INGENIERIA MECANICA
Ecuaciones de primer Ecuaciones de primer orden y grado superiororden y grado superior
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
Una ecuación diferencial de primer orden tiene la forma f (x,y,y’)= 0 o bien f (x, y, p) = 0, donde se ha sustituido por p. Si el grado de p es mayor que uno, como en , la ecuación es de primer orden y grado superior (aquí, segundo).
La ecuación general de primer orden de grado n se puede escribir en la forma 1) A veces se pueden resolver tales ecuaciones por uno o varios de los procedimientos que se van a exponer. En cada caso se reduce el problema a resolver una o mas ecuaciones de primer orden y primer grado.
dx
dyy '
0232 ypxp
0,,............, 11
1 yxppyxppyxpp nnnn
ECUACIONES QUE SE PUEDEN RESOLVER RESPECTO DE “ p ”. En este caso el miembro de la izquierda de 1), considerado como un polinomio en p, se puede resolver en n factores reales lineales, es decir, 1) se puede poner en la forma
Donde las F son funciones de x e y.Iguálese a cero cada factor y resuélvanse las n
ecuaciones diferenciales resultantes de primer orden y primer grado.
Obteniendo
0).........(..........21 nFpFpFp
yxFdx
dy,1 yxF
dx
dy,2 yxF
dx
dyn ,, , ,
2)
La primitiva de 1) es el producto
3)
, 0,,1 Cyxf 0,,2 Cyxf , 0,, Cyxfn
Cyxf ,,1 Cyxf ,,2 0,, Cyxf n, , ,
De las n soluciones 2).Nota. Cada solución individual de 2) se puede escribir en cualquiera de sus diversas formas posibles antes de combinarla en el producto 3).
Ejemplo
1) Determinar la solución general de la ecuación diferencial:
0''' 222 xyyyyxxyy
Solución:Grado superior al primero, hacemos y’= p . Queda:
……… ( 2 ) ( polinomio en p de grado 2)
Expresamos ( 2 ) en factores liniales reales ( si es posible ):
Es decir los factores son: ( 3 )
Procedemos a resolver cada ecuación diferencial que obtiene igualando que se obtiene igualando a cero cada factor de ( 3 ). De:
0` 222 xypypxxyp
0)( 222 xppxyxyp
xy
xyyxxy
yxxyyxp
22
4 22222222222
yx
p xy
p
0
xy
pyx
p
o
De:
La solucion general sera, el producto de las soluciones encontradas para cada factor.
Asi:
0yx
p y
xp
y
xy ' xdxydy cxy 22
022 cxy
0x
yp
x
yp
x
yy '
xdx
ydy
cxy 0)( cxy
022 cxycxy
Grafica de la solución general
022 cxycxy
0124 452
yx
dxdy
xdxdy
pdx
dy pdxdy
0124 452 yxpxp
012484202 4354 dyxydxxdpxpdxxpdp
01212
4484202 4
4
52354
pdxxdxxpxp
xdpxpdxxpdp
Encontrar la solucion general y tambien la solución singular, si ella existe de la ecuación:
Solución:
Sea
diferenciando
0124
42042 452
45
pdxxdx
x
pxppdxxdpxp
0164
842 42
45 pdxxdxx
ppdxxdpxp
084
42 42
5
dxpxdx
x
pdpxp
02422 55 xppdx
dpxpx
022 5
pdx
dpxxp 02 5 xp 02
pdx
dpx
pdx
dpx 2
x
dx
p
dp2 Cxp lnln2ln
v
Si
2.xCp 2.xCp 0124 452 yxpxp
yxCxxC 4742 124 yCxC 124 32
yxCC 124 3
02 5 xp 52xp
yxxx 41010 1284 63 xy solución singular
Reemplazando en la ecuacion
Se tiene
solución general
Si Reemplazando este valor en la ecuación
dada tenemos: :
solución general solución singular
Encontrar la solución general y también la solución singular, si ella existe, de la ecuación:
0122
3
dx
dyyx
dx
dyx
Solución:
Sea pdx
dy pdxdy
01223 pyxpx px
xpy2
1 diferenciando
223
2
xp
dp
px
dxpdxxdpdy pero pdxdy
223
2
xp
dp
px
dxpdxxdppdx
012
2223
dp
xpxdx
pxp
01
11
123223
dx
dp
xpx
pxp
021
132
p
dx
dpx
xp
01
132
xp 02 p
dx
dpxv
Si 02 pdx
dpx 02
x
dx
p
dp
Cxp lnln2ln Cpx lnln 2 2x
Cp
Reemplazando en la ecuación 01223 pyxpx
012
Cyx
C 02 xCyxC solución general
Si 01
132
xp
2
3
xp reemplazando en la ecuación
01223 pyxpx se tiene :
011 232 yxx 02 yx
xy
2 042 xy solución singular
ECUACIONES QUE PUEDEN RESOLVERSE CON RESPECTO A “ y ”
Esto es, y=f(x,p).Derivando respecto de x se obtiene
Una ecuación de primer orden y primer grado.
dx
dppxF
x
p
p
f
x
fp
dx
dy,,
Resuélvase
dx
dppxFp ,, obteniendo 0,, Cpx
Obténganse la primitiva eliminando p entre pxfy , y 0,, Cpx
cuando sea posible, o bien exprésense x e y separadamente como funciones del parámetro p.
Resolver 34 2 ppyx
Solución:
Si pdy
dx 1 derivando respecto de “ y “
dy
dppypp
p133
4 22 de donde
014
1322`
2
pp
dppp
y
dy
Integrando , Cpppy ln1ln5
32ln
10
92ln
10
9ln 2
Luego
53
2109
2 14
pp
Cy
53
2109
2
2
14
3
pp
pCpx
Resolver 042 23 yxypp o bien p
y
y
px
42
2
Solución:
Derivando respecto de y
dydp
py
pyp
dydp
yp
p 22
2 1.4
22de donde 022 32
py
dydpyp
Integrando 02 dy
dpyp y eliminando p entre la solución kyp 2
y la ecuación diferencial original, se tiene 2216 xkky
Haciendo k=2c se puede poner la expresión anterior en la forma
22 xccy solución general
solución general
Resolver : '' yy
ey (1)
Solución:
Es mas sencillo despejar y que p=y’. Así en ( 1 ): p
y
ep
Entonces: p
ylnp ppy ln ( 2 )
Derivamos ( 2 ) con respecto a x:
pp
pppy'
.ln'' 'ln' pppp 1ln' ppp
Como dx
dpp' , entonces escribimos:
dxdp
p
p
1ln
Integrando: cxpp lnln2
1 2
Para la solución general, de ( 2 ) y ( 3 ) no es posible eliminar p.Expresamos la solución en forma parametrica, para x e y. Así:
( 3 )
ppy ln
cppx lnln2
1 2donde p = parámetro. solución general
Hallar la solución general de:
9'2
' 2 yx
yy ( 1 )
Solución:
Veamos de ( 1 ): 922 px
yp
Entonces:
pxp
y2
92 ( 2 )
Derivamos ( 2 ) con respecto de x:
2
22
4
'929'22'
p
xpppxpppy
922 pp
2
222
4
'182492'
p
pxxpxpppy
'
4
182
2
92
222 p
p
xxp
p
pp
0
2
9'
2
9 2
2
2
pp
pp
p
xxp
02
9'
2
9 2
2
2
p
pp
p
xp
01'
2
92
p
p
x
p
p
02
92
p
p 01' pp
xo
Tenemos que se presentan 2 casos:Para encontrar la solución general, nos interesa el factor que contiene a la derivada, es decir nos interesa
*
01' pp
x
Resolviendo : x
dx
p
dp integrando : cxp ( 3 )
Para encontrar la solución general, de ( 2 ) y ( 3 ) eliminamos el parámetro p.
Así de ( 3 ): p=cx .En ( 2 ):
cx
xxcy
2
922
c
cxy
2
9
2
2
solución general
Utilidad del otro factor: si en * , 0
2
92
p
p ( 4 )
(nos debe conducir a otra solución ).
De ( 4 ) : 92 p 3pReemplazando en ( 1 ): donde y’ = p, asi:
932
3 2 x
y x
y618 3
x
y
xy 3 solución singular
ECUACIONES QUE SE PUEDEN RESOLVER RESPECTO DE “ x ”, esto es, pyfx ,
Derivando respecto de “y” de obtiene
dy
dppyF
y
p
p
f
y
f
pdy
dx,,
1
Una ecuación de primer orden y primer grado.
Resuélvase
dy
dppyF
p,,
1obteniendo 0,, Cpy
Obténgase la primitiva eliminando p entre pyfx , y 0,, Cpycuando sea posible, o bien exprésense x e y separadamente como funciones del parámetro p.
Resolver 22 pxpy
Solución:
Derivando respecto de x. dx
dppxpp 22 de donde
pxdp
dx
2
1Esta es una ecuación lineal que tiene
pdpee 2
12
1
como un factor integrante.
Entonces Ceepdppeexpppp 2
12
12
12
1.4.2.
pCepx 2
122
pCeppy 2
12 28,
solución general
Resolver 2263 yppxy
Solución:
Derivando respecto de x, 263 pyp
yx . Derivando ahora respecto de y,
pydy
dpy
dy
dp
p
y
pp126
13 2
2 0261 2
dy
dpypypy
Igualando a cero el segundo factor se deduce py2=C. Despejando p y sustituyendo en la ecuación diferencial original se obtiene la primitiva
23 63 CCxy
Resolver 4x yxy” Solución Aquí una de las variables, y, está ausente de la ecuación. El métodoen este caso es hacer y’=v . Entonces y ” = v ‘ , y la ecuación puede escribirse
4x yxy” o 4x xvdx
d
La integración da , c 2x xv 2 x
c 2x v 1
,
Remplazando v por y’, tenemos
o xc
2x 'y 1 212 clnx c xy
o
solución general
Se asumió c1= c2l
Hallar la solución general y singular de la ecuación diferencial
Observando la estructura de la ecuación hacemos el cambio de variable:
2
ln.2
222 xxpxxxpxy ……………………………….( 1 )
Solución:
2xpxu queda: 2
ln.2
2 xuxuy ……………….. ( 2 )
Derivando respecto a x: xuux
uxuy '.2ln'.' ……… ( 3 )
Pero 2xpxu
px
xu
2
en ( 3 ): xx
uuuxu
x
xu
'..2ln'
2
02ln'2
x
xux
x
uuxu 02ln' uxu
0'u 02ln ux
v
Si u’ = 0 ( nos conduce a la solución general )
0'u cu
. En ( 2 ):
2ln.
22 xcxcy ( solución general )
Si 02ln ux (proceso que nos conduce a la solución singular)
xu ln2
1
2ln
4
1ln
2
1 222 xxxy
2ln
4
1 22 xxy
En ( 2 ) :
( solución general )
Encontrar la solución general de la ecuación diferencial:
tgxpsenxtgxpy ln
Solución:En este caso sabemos que
dx
dyyp '
Nuestro problema se reduce a poner x en función de p y dar la respuesta en forma parametrizada, ya que “ y “ se encuentra despejado.Derivando ( 1 ), con respecto a x:
xptgxptgxpsenx
xtgxsenxxpsenxtgxpy 22 sec''
coslnsecln''
tgxpxptgxptgxppsenxxpsenxtgxpp .'..sec''lnsecln' 22
tgxpsenxxptgxptgxsenxtgxp .'lnsec.'ln' 2
0.'lnsec'ln.' 2 tgxpsenxxptgxpsenxtgxp
0.'ln.sec.' 2 tgxpsenxxptgxp
0sec.' 2 xptgxp 0.'ln tgxpsenx
o
Si 0sec.' 2 xptgxp (proceso que nos conduce a la solución general)
xptgxp 2sec.' tgx
x
p
dp 2sec 1lnln ctgxp
ctgxp lnlnln tgxc
p lnln tgx
cp
Reemplazamos en ( 1 ) :
csenxCy ln. solución general
Que es la ecuación diferencial de una familia de curvas tangentes a la recta y=x en el punto (1,1), determinar una expresión que permita calcular la pendiente de cualquier tangente a cualquiera de tales curvas cuando se conozca la ordenada del punto de tangencia.
Dada la ecuación diferencial:
0.ln1ln12
2
2
dx
dyy
dx
ydyy
Solucion:
pydx
dy '
dy
dpp
dx
dy
dy
dp
dx
dpy ''
0ln1ln1 2 pydy
dppyy
Sea
En la ecuación:
0ln1ln1
py
dy
dpyyp
0p o 0ln1ln1 pydydp
yy
Si 0ln1ln1 pydy
dpyy
dyyy
y
p
dp
ln1
ln1
cyycyyp lnln1lnlnln1ln2lnln 21
2ln1 ycyp ……………………………………………………….( 1 )
,'yp En (1) : 2ln1' ycyy ………………………….( 2 ) C.I.: x = 1 y = 1. Asi como y = x y’ = 1
En ( 2 ) : 1 = c Queda : 2ln1' ycyy ( solución )
Si p=0 Tenemos y’=p=0 vemos que no se cumple que y’ = 1 en x=y, por lo tanto no se llega a nada con esta parte.
Encontrar la solución general de la ecuación diferencial :
011.2
2
2
2
dx
dyytg
dx
ydtgytgy ……………………….(1)
Solución:
utgy 1 '.sec' 2 yyudx
duHacemos el cambio de variable:
222 1
'
1
'
sec
''
u
u
ytg
u
y
uy
22
22
22
2
11
1'211'.'
11
').1(2'''.11''
u
uuuu
u
uuuuuy
Reemplazando en ( 1 ):
011
''.
11
1'211''1
222
22
u
uu
u
uuuuuu
0'11'12''.111 22222 uuuuuuuuu
01112'''.111 2222 uuuuuuuu
2222 1112'''.111 uuuuuuuu ………………..( 2 )
pudx
du '
du
dpp
dx
dup
du
dp
dx
du
dx
d
dx
ud..'
2
2
Hacemos:
En (2): 2222 1112..111 uuupdu
dppuuu
duuuu
udu
uuu
uudu
uuu
uuu
p
dpp
2
2
2
2
2
22
2 111
11
111
12
111
1112.
111
)1(2
1
1
11
1222
u
du
u
dudu
u
udu
uudu
u
u
p
dp
Integrando: 12 )1ln(ln11lnln cuuup
c
u
uup .
1.11lnln
2
u
uucp
1.11.
2
Pero p=u’ luego tenemos: u
uucu
1.11.'
2
u
uuc
dx
du 1.11.
2
dxcduuu
u.
1.11 2
Integrando utilizando fracciones parciales, obtenemos:
Dcxuu
uarctgu
1ln
11
1ln111ln2
2
2
Pero u = 1+tg y, entonces nos queda:
Dcxtgyytg
tgyarctgytg
1ln
1
1ln1ln2
2
2
Dcxtgyy
yy
ln
sec
1lnsecln2 2
Dcxtgyyy lnsecln 3
Grafica de la solución
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