7/25/2019 Ejercicios Propuestos Productos Notables y Factorizacin
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Liceo Jos Flix RibasFUNDAMENTOS DE MATEMTICA 5to aoMaterial co !ies "i"#cticos reali$a"o %or el licecia"o Ja&ier 're$
1Elabora"o %or 'ro!( I)( Ja&ier 're$
Ejercicios Propuestos Productos Notables y Factorizacin
1-. Descomponer en dos factores las expresiones siguientes:
1. 64 + a6
R. (4 + a2)(16 - 4a
2+ a
4)
2. a3
- 125 R. (a - 5)(a2
+ 5a + 25)
3. 1 - 216m3
R. (1 - 6m )(1 + 6m + 36m2)
4. a3
+ 2!b6
R. (2a + 3b2)(4a
2- 6ab
2+ "b
4)
5.x6
- b"
R. (x2
- b3)(x
4+ b
3x
2+ b
6)
6. x3
- 2!y3
R. (2x - 3y )(4x2
+ 6x y + "y2)
. 1 + 343n3
R. (1 + !n )(1 - !n + 4"n2)
!. 1 + a3
R. (1 + a )(1 - a + a2)
". 1 - a3
R. (1 - a )(1 + a + a2)
1#.x3
+ y3
R. (x + y )(x2
-x y + y2)
11. m3
- n3
R. (m - n )(m2
+ mn + n2)
12. a3
- 1 R. (a - 1)(a2
+ a + 1)
13. y3
+ 1 R. ( y + 1)( y2
- y + 1)
14. y3
- 1 R. ( y - 1)( y2
+ y + 1)
15. x3
- 1 R. (2x - 1)(4x2
+ 2x + 1)
16. 1 - x3
R. (1 - 2x )(1 + 2x + 4x2)
1.x3
- 2! R. (x - 3)(x2
+ 3x + ")
1!. a3
+ 2! R. (a + 3)(a2
- 3a + ")
1". x3
+ y3
R. (2x + y )(4x2
- 2x y + y2)
2#. 2!a3
- b3
R. (3a - b )("a2
- 3ab + b2)
21. 2!x3
- (x - y )3
R. (2x + y )(13x2
- 5x y + y2)
22. 1 - (a + b )3
R. (1-a-b )(1+a+b+a2+2ab+b
2)
23. a3
+ (a + 1)3
R. (2a + 1)(a2+ a + 1)
24. a3
- (a - 1)3
R. (a + 1)(!a2
- 4a + 1)
2-. #actori$ar por el m%todo del cu&o de un &inomio (orden'ndolas preiamente):
1.x3-3x
2+ 3x + 1 R. o es perfecto
2. + 12a2
+ 6a4
+ a6
R. (a2
+ 2 )3
3. x3
- 36a2b + 54ab
2- 2!b
3R. (2a - 3b )
3
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4. 2!m3+ 1*m
2n + 144mn
2+ 64n
3R. (3m + 4n )
3
5. 1 + 12a2b - 6ab - a
3b
3R. o es perfecto
6. a 3 + 3a 2 + 3a + 1 R. (a + 1)3
. 2! - 2!x + "x2
-x3
R. (3 -x)3
!. 1 + 3a2
- 3a - a3
R. (1 - a)3
3-. #actorar o descomponer en dos factores:
1. (5x)2
+ 13(5x) + 42 R. (5x + !)(5x + 6)
2.x2
+ 2ax - 15a2
R. (x + 5a)(x - 3a )
3. a2
- 4ab - 21b2
R. (a - !b )(a + 3b )
4. (x - y )2
+ 2(x - y ) - 24 R. (x - y + 6)(x - y - 4)
5. 5 + 4x -x2
R. (x + 1)(5 -x )
6.x1*
+x5
- 2* R. (x5
+ 5)(x5
- 4)
. m2
+ mn - 56n2
R. (m + n )(m - !n )
!.x4
+ !ax2
- 6*a2
R. (x2
+ 12a )(x2
- 5a )
". (2x )2
- 4(2x ) + 3 R. (2x - 3)(2x - 1)
1#. (m - n )2
+ 5(m - n ) - 24 R. (m - n + )(m - n - 3)
11.x
+x4
- 24* R. (x4
+ 16)(x4
- 15)
12. 15 + 2y - y2
R. ( y + 3)(5 - y )
13. a4b
4- 2a
2b
2- "" R. (a
2b
2- 11)(a
2b
2+ ")
14.x4
+ 5x2
+ 4 R. (x2
+ 4)(x2
+ 1)
15.x6
- 6x3
- ! R. (x3
- !)(x3
+ 1)
16.x
- 2x4
- * R. (x4
- 1*)(x4
+ )
1.x2y
2+x y - 12 R. (x y + 4)(x y - 3)
1!. (4x )2
- 2(4x ) - 15 R. (4x - 5)(4x + 3)
4-. Descomponer en dos factores simplificar, si es posi&le:
1. (x + y )2
- a2
R. (x + y + a )(x + y - a )
2. 4 - (a + 1)2
R. (a + 3) (1 - a )
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3. " - (m + n )2
R. (3 + m + n )(3 - m - n )
4. (m - n )2
- 16 R. (m - n + 4)(m - n - 4)
5. (x - y )2 - 4z 2 R. (x - y + 2z )(x - y - 2z )
6. (a + 2b )2
- 1 R. (a + 2b + 1)(a + 2b - 1)
5-. #actorar o descomponer en dos factores:
1.x2
- y2
R. (x + y )(x - y )
2. a2
- 1 R. (a + 1)(a - 1)
3. a2
- 4 R. (a + 2)(a - 2)
4. " - b 2 R. (3 + b )(3 - b )
5. 1 - 4m2
R. (1 + 2m )(1 - 2m )
6. 16 - n2
R. (4 + n )(4 - n )
. a2
- 25 R. (a + 5)(a - 5)
!. 1 - y2
R. (1 + y )(1 - y )
". 4a2
- " R. (2a + 3)(2a - 3)
1#. 25 - 36x
4
R. (5 + 6x
2
)(5 - 6x
2
)
11. 1 - 4"a2b
2R. (1 + !ab )(1 - !ab )
12. 4x2
- 1y4
R. (2x + "y2)(2x - "y
2)
13. a2b
- c
2R. (ab
4+ c )(ab
4- c )
14. 1** -x2y
6R. (1* +x y
3)(1* -x y
3)
15. a1*
- 4"b12
R. (a5
+ !b6)(a
5- !b
6)
16. 25x2y
4- 121 R. (5x y
2+ 11)(5x y
2- 11)
1. 1**m2n
4- 16"y
6R. (1*mn
2+ 13y
3)(1*mn
2- 13y
3)
1!. a2m
4n
6- 144 R. (am
2n
3+ 12)(am
2n
3- 12)
1". 1"6x2y
4- 225z
12R. (14x y
2+ 15z
2)(14x y
2- 15z
6) 2#. 1 - "a
2b
4c
6d
R. (1 + 3ab
2c
3d
4)(1 - 3ab
2c
3d
4)21. 361x
14- 1 R. (1"x
!+ 1)(1"x
!- 1)
22.1 2
9a4 1
R. 2
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+ 3
a
1
2 3a
a 2
a a
23. 1 R. 1+ 1 25 5 5
24. a2n
- b2n
R. (an
+ bn)(a
n- b
n)
6 -. #actorar:
1. 6x2
- 6 - 5x R. (3x + 2)(2x - 3)
2. 12m2
- 13m - 35 R. (3m - !)(4m + 5)
3. 2*y2
+ y - 1 R. (4y + 1)(5y - 1)
4. a2
- 14a - 15 R. (2a - 5)(4a + 3)
5. !x2
- 44x - 35 R. (!x + 5)(x - !)
6. 16m + 15m2
- 15 R. (3m + 5)(5m - 3)
. 2a2
+ 5a + 2 R. (2a + 1)(a + 2)
!. 12x2
- !x - 12 R. (3x - 4)(4x + 3)
". 12x2
-x - 6 R. (3x + 2)(4x - 3)
1#. 4a 2 + 15a + " R. (4a + 3)(a + 3)
11. 3 + 11a + 1*a2
R. (2a + 1)(5a + 3)
12. 2x2
+ 3x - 2 R. (2x - 1)(x + 2)
13. 3x2
- 5x - 2 R. (3x + 1)(x - 2)
14. 6x2
+ !x + 2 R. (2x + 1)(3x + 2)
15. 5x2
+ 13x - 6 R. (5x - 2)(x + 3)
!-. #actori$ar:
1. 12 - !x - 1*x2
R. (2x + 3)(4 - 5x )
2. 5 + !x4
- 6x
R. (2x4
+ 1)(5 - 3x4)
3. 6a2- ax - 15x
2R. (3a - 5x )(2a + 3x )
4. 21x2
- 2"x y - !2y2
R. (3x - y )(!x + "y )
5. 6m2
- 13am - 15a2
R. (m - 3a )(6m + 5a )
6. 14x4
- 45x2
- 14 R. (2x2
- !)(!x2
+ 2)
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. 3*a2
- 13ab - 3b2
R. (6a + b )(5a - 3b )
!. !x6
- 33x3
- 1* R. (!x3
+ 2)(x3
- 5)
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". 3* + 13a - 3a2
R. (3a + 5)(6 - a )
1#. 6x4
+ 5x2
- 6 R. (3x2
- 2)(2x2
+ 3)
11. 5x6
+ 4x3
- 12 R. (x3
+ 2)(5x3
- 6)
12. 1*x
+ 2"x4
+ 1* R. (2x4
+ 5)(5x4
+ 2)
13. 6a2x
2+ 5ax - 21 R. (3ax + !)(2ax - 3)
14. 2*x2y
2+ "x y - 2* R. (4x y + 5)(5x y - 4)
15. 15x2
- ax - 2a2
R. (5x - 2a )(3x + a )
-. #actorar o descomponer en dos factores las siguientes expresiones:
1. a2
- 2ab + b2
R. (a - b )2
2. a2
+ 2ab + b2
R. (a + b )2
3.x2
- 2x + 1 R. (x + 1)2
4. y4
+ 1 + 2y2
R. ( y2+ 1 )
5. a2
- 1*a + 25 R. (a - 5)2
6. " - 6x +x2
R. (3 -x )2
. 16 + 4*x2
+ 25x4
R. (4 + 5x2)2
!. 1 + 4"a 2 - 14a R. (1 - !a )2
". 36 + 12m2
+ m4
R. (m2
+ 6)2
1#. 1 - 2a3
+ a6
R. (1 - a3)2
11. a
+ 1a4
+ 1 R. (a4
+ ")2
12. a6
- 2a3b
3+ b
6R. (a
3- b
3)2
13. 4x2
- 12x y + "y2
R. (2x - 3y )2
14. "b2
- 3*a2b + 25a
2R. (3b - 5a
2)2
15. 1 + 14x2y + 4"x
4y
2R. (1 + !x
2y )
2
16. 1 + a1*
- 2a5
R. (1 - a5)2
1. 4"m6- !*am
3+ 25a
2n
4R. (!m
3- 5an
2)2
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"-. #actorar o descomponer en dos factores las expresiones siguientes:
1. a2
+ ab + ax + bx R. (a + b )(a +x )
2. am - bm + an - bn R. (a - b )(m + n )
3. ax - 2bx - 2ay + 4by R. (x - 2y )(a - 2b )
4. a2x
2- 3bx
2+ a
2y
2- 3by
2R. (a
2- 3b )(x
2+ y
2)
5. 3m - 2n - 2nx4
+ 3mx4
R. (1 -x4)(3m - 2n )
6.x2
- a2
+x - a2x R. (x + a
2)(x + 1)
. 4a3
- 1 - a2
+ 4a R. (a2
+ 1)(4a - 1)
!.x +x2
-x y2
- y2
R. (x - y2
)(1 -x )
". 3abx2
- 2y2
- 2x2
+ 3aby2
R. (3ab - 2)(x2
+ y2)
1#. 3a - b2
+ 2b2x - 6ax R. (1 + 2x )(3a - b
2)
11. 4a3x - 4a
2b + 3bm - 3amx R. (ax - b )(4a
2- 3m )
12. 6ax + 3a + 1 + 2x R. (2x + 1)(3a + 1)
13. 3x3
- "ax2
-x + 3a R. (3x2
- 1)(x - 3a )
14. 2a2x - 5a
2y + 15by - 6bx R. (a
2- 3b )(2x - 5y )
15. 2x2y + 2xz
2+ y
2z
2+x y
3R. (2x + y
2)(x y + z
2)
16. 6m - "n + 21nx - 14mx R. (2m - 3n )(3 - !x )
1. n2x - 5a
2y
2- n
2y
2+ 5a
2x R. (5a
2+ n
2)(x - y
2)
10-. #actorar o descomponer en dos factores estas expresiones:
1. a (x + 1) + b (x + 1) R. (x + 1)(a + b )
2. a (a + 1) + 3(a + 1) R. (a + 1)(a + 3)
3. 2(x - 1) + y (x - 1) R. (x - 1)( y + 2)
4. m (a - b ) + (a - b )n R. (a - b )(m + n )
5. 2x (n - 1) + - 3y (n - 1) R. (n - 1)(2x - 3y )
6. a (n + 2) + n + 2 R. (n + 2)(a + 1)
.x (a + 1) - a - 1 R. (a + 1)(x - 1)
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2+ 1 - b (a
2+ 1) R. (a
2+ 1)(1 - b )
". 3x (x - 2) - 2y (x - 2) R. (x - 2)(3x - 2y )
1#. 1 -x + 2a (1 -x ) R. (1 -x )(1 + 2a )
11. 4x (m - n ) + n - m R. (m + n )(4x - 1)
12. - m - n +x (m + n ) R. (m + n )(x - 1)
13. a3(a - b + 1) - b
2(a - b + 1) R. (a - b + 1)(a
3- b
2)
14. 4m (a2
+x - 1) + 3n (x - 1 + a2) R. (a
2+x - 1)(4m + 3n )
15.x (2a + b + c ) - 2a - b - c R. (2a + b + c )(x - 1)
16. (x + y )(n + 1) - 3(n + 1) R. (n + 1)(x + y - 3)
1. (x + 1)(x - 2) + 3y (x - 2) R. (x - 2)(x + 3y + 1)
1!. (a + 3)(a + 1) - 4(a + 1) R. (a + 1)(a - 1)
11-. #actorar o descomponer en dos factores estas expresiones:
1. 5m2
+ 15m3
R. 5m2(1 + 3m )
2. ab - bc R. b (a - c )
3.x2y +x
2z R.x
2( y + z )
4. 2a2x + 6ax
2R. 2ax (a + 3x )
5. m2
- 12mn R. 4m (2m - 3n )
6. "a3x
2- 1ax
3R. "ax
2(a
2- 2x )
. 15c3d
2+ 6*c
2d
3R. 15c
2d
2(c + 4d )
!. 35m2
n3
- !*m3
R. 35m2(n
3- 2m )
". abc + abc2
R. abc (1 + c )
1#. 24z2x y
2- 36x
2y
4R. 12x y
2(2z
2- 3x y
2)
11. a3
+ a2
+ a R. a (a2
+ a + 1)
12. 4x2
- x + 2 R. 2(2x2
- 4x + 1)
13. 15y3
+ 2*y2
- 5y R. 5y (3y2
+ 4y - 1)
14. a3
- a2x + ax
2R. a (a
2- ax + a
2)
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Liceo Jos Flix RibasFUNDAMENTOS DE MATEMTICA 5to aoMaterial co !ies "i"#cticos reali$a"o %or el licecia"o Ja&ier 're$15. 2a
2x + 2ax
2- 3ax R. ax (2a + 2x - 3)
16.x3
+x5
-x!
R.x3(1 +x
2-x
4)
1. 14x2y
2- 2x
3+ 56x
4R. 14x
2( y
2- 2x + 4x
2)
1!. 34ax2
+ 51a2y - 6ay
2R. 1!a (2x
2+ 3ay - 4ay
2)
1". a2
+ ab R. a (a + b )
2#. b + b2
R. b (1 + b )
21.x2
+x R.x (x + 1)
22. 3a3
- a2
R. a2(3a - 1)
23.x2
+x4
R.x3(1 - 4x )
24. "6-4 m n2
R. 4(2 - mn2
+ 3n3)
25. a2b
2c
2$a
2c
2x
2%a
2c
2y
2R. a
2c
2&b
2'x
2% y
2(
26.x -x2
+x3
-x4
R.x (1 -x +x2
-x3)
2. a6
- 3a4
+ a3
- 4a2
R. a2(a
4- 3a
2+ a - 4)
2!. 25x!
- 1*x5
+ 15x3
- 5x2
R.5x2(5x
5- 2x
3+ 3x - 1)
2".x15
-x12
+ 2x"
- 3x6
R.x6(x
"-x
6+ 2x
3- 3)
12-. esoler:
2
1. 3
a2
2b
2 R.
"a
4 3
a2b
2 +4
b4
4 5
16 5 25
2
2x 3y
2. R. 4x 2 4xy + " y 2
" 5 25
3. (3x 4 5xy 3
)2R. 9x
8 30x
5*
3+ 25x
2*
6
2
25 6 4 2 9 2 4
4. 5
x3 +
3xy
2 R. x +x * + x * 6
3
5.
+
5
2
4a2
!b 36
3 5
a
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R.1
64 a6 +
25a 16a4
+7b 49b2
6. (a2
b
3
a5
)2 R. a
4
b6
2a7
b3
+ a10
3
2
4
2
9 4x8
. x
R. 2x3 +
2x
4x 2 9
!. (!x5 x3y 4
)2
". (a5 + !b4 )2
R. 49x10 112x8* 4 + 64x 6*8
R. a10 + 14a 5b 4 + 49b8
13-. Desarrollar:
1. (2a + 3b )3
R. a3
+ 36a2b + 54ab
2+ 2!b
3
2.6
2a2
53
a6
6a4 15a2 125
3.
R. +
2b3
125 5b3
2b6
b"
4. (4a 3b2)3
R. 64a3 144a 2b 2 + 1*ab 4 2!b 6
3
5. 3 a2 4 b2
R. 2! a 6 2! a 4b 2 + 36 a 2b 4 64 b 6
4 5
3
64 2* 25 125
" 6 3
6. 4x 4
3x R. 64x
12
144x 1*x 2!x
3
y3
y6
y"
5
3
3
1 3 a b
2 ab
2 3 2
5
+
y
7/25/2019 Ejercicios Propuestos Productos Notables y Factorizacin
11/14
Liceo Jos Flix RibasFUNDAMENTOS DE MATEMTICA 5to aoMaterial co !ies "i"#cticos reali$a"o %or el licecia"o Ja&ier 're$
. (5x2
+ 6y3)3 R.125x
6 + 45*x 4y 3 + 54*x 2y 6 + 216y "
3
4 23
3 2 3 6
!. a
+b
R.
2!a+
2!a !2ab 64b
2b
b3
5 25 125
". (4x3 3x y
2)
3R. 64x
" 144x !y 2 + 1*x 5y 4 2!x 3y 6
1#. (!a4 5a
2b
3)3
R. 343a12 !35a1*b3 + 525ab6 125a6b"
11. (a
+ "a5x
4)3
R. a24 + 2!a 21x 4 + 243a 1x + !2"a 15x 12
12 1* 4
12. (x4 !x
2y4
)3 R.
512x 1344xy
+ 11!6x y
343x6y
12
13. (3a2b 5a
3b
2)3
R. 2!a6b
3 135a!b 4 + 225ab5 125a"b 6
+ +
5
7/25/2019 Ejercicios Propuestos Productos Notables y Factorizacin
12/14
1Elabora"o %or 'ro!( I)( Ja&ier 're$
14-. Desarrollar:
1. (a + 2b )6
R. a6
+ 12a5b + 6*a
4b
2+ 16*a
3b
3+ 24*a
2b
4+ 1"2ab
5+ 64b
6
a 36 1 6 2a5
5a4
2*a3
135a2
46a
!2"
2. R.
a
+ + +
3 b
!2"
2!b
3b2
b3 b
4b
5b
6
3. (2m2
- 3n3)5
R. 32m1*
24*mn
3+ !2*m
6n
6 1**m
4n
"+ 1*m
2n
12 243n
15
4. (1 -x4
)
R. 1 x4
+ 2x 56x
12+ !*x
16 56x
2*+ 2x
24 x
2+x
32
5. (x2
+ y3
)6
R.x12
+ 6x1*
y3
+ 15xy
6+ 2*x
6y
"+ 15x
4y
12+ 6x
2y
15+ y
1
1*
6. 1
R. 11*
+45
12*
+21*
252
+21*
12*
+45
1*
+1
x x x 2 x 3 x 4 x5
x6
x!
x
x"
x1*
. (3 - y!
)!
R. 21! 51*3y!
+ 51*3y14
235y21
+ "45y2
1"y35
+ 21y42
y4"
2 2 ! 12 224 16 35 21 !
m 14
!. m R. + !*m 2
+
m5
m
+m
11
! 4 2 32 12
! x5 35 21 ! 1
5 1* 15 2* 25 3* 35".
4
R.1634 !16x + 1344
x
14*x + x x
4 64
+x1*24
x1634
1#.x
2y
12 + y 15
15-. Descomponer por ealuaci/n:
1. x4
- 4x3
+ 3x2
+ 4x - 4
R. (x - 1)(x + 1)(x - 2)2
2. x4
- 2x3
- 13x2
+ 14x + 24
R. (x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 4)
3. a4
- 15a2
- 1*a + 24
R. (a - 1)(a + 2)(a + 3)(a - 4)
4-. x3
+x2
-x - 1
R. (x - 1)(x + 1)2
5. x 3 - 4x 2 +x + 6
R. (x + 1)(x - 2)(x - 3)
6. a3
- 3a2
- 4a + 12
R. (a - 2)(a + 2)(a - 3)
. m3
- 12m + 16
R. (m - 2)2(m + 4)
1
m 2 m m m
4
5
1 1* x y 5 x y 5 x y 5
32 4 2
7/25/2019 Ejercicios Propuestos Productos Notables y Factorizacin
13/14
1Elabora"o %or 'ro!( I)( Ja&ier 're$
!. x4
+ 6x3
+ 3x + 14*
R. (x + 4)(x + 5)(x2
- 3x + !)
". a3
+ a2
- 13a - 2
R. (a - 4)(a2
+ 5a + !)
1#. x3
+ 2x2
+x + 2
R. (x + 2)(x2
+ 1)
11. n3
- !n + 6
R. (n - 1)(n - 2)(n + 3)
12. x
3
- 6x
2
+ 32R. (x + 2)(x - 4)
2
13. n4
- 2!n2
- 14n + 12*
R. (n - 2)(n + 3)(n + 4)(n - 5)
7/25/2019 Ejercicios Propuestos Productos Notables y Factorizacin
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