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Concreto Armado I

• Contenido:

• Tema 3: Miembros sometidos a corte y torsión

• 3.1 Resistencia a las fuerzas cortantes

• 3.2 Diseño del acero de refuerzo por corte

• 3.3 Resistencia a torsión

• 3.4 Diseño del acero de refuerzo por torsión

Prof. Ing. José Grimán Morales 1


EJERCICIO DE TORSIÓN 02

La viga en voladizo mostrada en la figura, soporta su propio peso además de una carga

concentrada aplicada según se muestra. La viga tiene una longitud de 140 cm y la

carga concentrada actúa en un punto ubicado 15 cm antes del extremo libre del

voladizo y a 15 cm del eje vertical del elemento. La carga concentrada no factorizada

consiste de una carga permanente de 9100 kg y una carga viva también de 9100 kg.

Usar f’c =210 kg/cm2 y fy = 4200 kg/cm

2. Diseñe el refuerzo a torsión y a cortante de

la viga.


SOLUCIÓN:

1. Análisis de cargas:

Datos:

Sobre la viga: Se determina el peso propio por unidad de longitud de viga.

Wconcreto =2400 kgf/m3,

Peso permanente wpl = 0,35·0.60·2400 =

b = 0,35

h = 0,6

WC = 2400

wp = 504 kgf/m

Cargas mayoradas aplicadas a la viga:


Carga distribuida mayorada:

wuv1 = 1,4·504 =

factor = 1,4

wp 504 kgf/m

wu1 = 705,6 kgf/m

wuv2 = 1,2·504+1,6·(0) =

factor cp = 1,2

factor cv = 1,6

wpl = 504

wvl = 0

wuL2 = 604,8 kgf/m

Carga distribuida mayorada se toma igual a wu = 705,6 kgf/m

Carga concentrada mayorada:

Puv1 = 1,4·9100 = 12740 kgf

Puv2 = 1,2·9100+1,6·9100 = 25480 kgf

Se toma como carga concentrada mayorada se toma igual a Pu = 25480 kgf


Diagrama de corte y diagrama de torsión:

Ru = Vu =705,6·1.4+25480 = 26467,84 kgf

0 ≤ x ≤ 1,25 m, V = 26467,84 – 705,6·x

En x = 1,25 m, V(x = 1,25 m) = 26467,84 – 705,6·1,25 = 25585,84 kgf

Luego de la carga aplicada, V(x > 1,25 m) =25585,84-25480 =

105,84 kgf


Diagrama de fuerza cortante

Cálculo del torque último:

Tu = 0,15·25480 = 3822 kgf·m


Considerando d = 53,5 cm y como no tenemos dado ancho de apoyo, las secciones

críticas para corte y para torsión quedan a 53,5 cm desde la cara del apoyo.

Vucrit = 26467,84 – 705,6·0,535 =

Vu = 26467,84 kgf

wuvt = 705,6 kgf/m

x secc crit = 0,535 m

Vucrit = 26090,344 kgf

Tucrit = 3822 kgf·m

Se chequea si 𝑻𝒖 ≤ 𝝓 ∙ 𝟎,𝟐𝟕 ∙ 𝒇′ 𝒄 ∙𝑨𝒄𝒑

𝟐

𝑷𝒄𝒑 (16.6). Si se cumple entonces se pueden

despreciar los efectos de la torsión.

Acp = 35·60=

b = 35 cm

h = 60 cm

Acp = 2100 cm2


Pcp = 2·(35+60) =

b = 35 cm

h = 60 cm

Pcp = 190 cm

𝑻𝒖 ≤ 𝝓 ∙ 𝟎,𝟐𝟕 ∙ 𝒇′ 𝒄 ∙𝑨𝒄𝒑

𝟐

𝑷𝒄𝒑= 𝟎,𝟕𝟓 ∙ 𝟎,𝟐𝟕 ∙ 𝟐𝟏𝟎 ∙

𝟐𝟏𝟎𝟎𝟐

𝟏𝟗𝟎 = 664,698982 kgf·m

Como Tu crit = 3822 kgf·m, > 664,7 kgf·m, se debe considerar la torsión.

Se debe tener en cuenta que tenemos en este caso una torsión primaria, por lo cual Tu

no se debe reducir.

Antes de diseñar el refuerzo a torsión se debe verificar que la sección cumple con la

ecuación:


Se calcula Aoh y Ph considerando las dimensiones de la viga:

xo = 35 – 2·4,635 = 25,73 cm

yo = 60 – 2·4,635 = 50,73 cm

Aoh = xo·yo = 25,73·50,73 = 1305,2829 cm2

Ph = 2·(xo +yo) = 2·( 25,73+50,73)

Ph = 152,92 cm


Se chequea entonces la fórmula 11.21 de la Norma 1753-06

26090,344

35 · 53,5

2

+ 3822 ∙ 100 · 152,92

1,7 · 1305,2832

2

≤ 0,75 ∙ 2.7 ∙ 210

24,5219605 < 29,3450379 kgf/cm2

Como la relación se cumple se continúa con el diseño, si no fuera así se debería

aumentar la sección de concreto.

Diseño por torsión:

Como se cumple que 𝑻𝒖 ≤ 𝝓 ∙ 𝟎,𝟐𝟕 ∙ 𝒇′ 𝒄 ∙𝑨𝒄𝒑

𝟐

𝑷𝒄𝒑 se considera la torsión

Se calcula el acero transversal por torsión:

2𝐴𝑡

𝑠=

𝑇𝑢 𝜙

𝐴𝑜 ∙ 𝑓𝑦𝑣 ∙ 𝑐𝑡𝑔 𝜃

Asumiendo θ = 45°, Ao = 0.85·Aoh = 0.85·1305,283= 1109,49055 cm2


2𝐴𝑡

𝑠=

3822·100 0.75

1109,49∙4200 ∙𝑐𝑡𝑔 45°= 0,10935956 cm^2/cm

Se calcula el acero transversal por cortante:

Se chequea si 𝑉𝑢 ≥ 𝜙 ∙ 𝑉𝑐 :

Se calcula ϕ·Vc = 𝜙 · 0,53 · 𝑓′𝑐 · 𝑏𝑤 · 𝑑 = 0,75 · 0,53 · 210 · 35 · 53,5 =

𝜙·Vc = 10786,2034 kgf

Como Vu = 26090,344 kgf es mayor que 𝜙Vc = 10786,2034 kgf , se requiere acero

transversal por corte, se calcula el acero transversal por corte:

Se calcula Vs =𝑉𝑢 𝑐𝑟𝑖𝑡 −𝜙𝑉𝑐

𝜙=

26090,344−10786 ,2034

0.75= 20405,5208 kgf

Se chequea con Vsmax = 2.1 · 𝑓′𝑐 · 𝑏𝑤 · 𝑑 = 2.1 · 210 · 35 · 53,5 =

𝑉𝑠𝑚𝑎𝑥 = 56983,7162 kgf


Como Vs es menor que Vsmax , se continua con el diseño, no se requiere aumentar la

sección.

Calcula el acero necesario por cortante:

𝐴𝑣

𝑠=

𝑉𝑢 𝜙 −𝑉𝑐

𝑓𝑦𝑣 ·𝑑=

26090,344 0.75 −10786 ,2034 0.75

4200·53,5= 0,09081229 cm^2/cm

Se compara con Av / s min = 0.20· 𝑓′𝑐·𝑏𝑤

𝑓𝑦𝑣≥

3.5·𝑏𝑤

𝑓𝑦𝑣

𝐴𝑣

𝑠min =

0,20· 210·35

4200= 0,02415229 cm^2/cm

3,5·35

4200= 0,02916667 cm^2/cm

Se debe colocar 𝐴𝑣

𝑠= 0.091 cm

2/cm

Considerando torsión + corte, se calcula el acero transversal total:

𝐴𝑣𝑡

𝑠=

𝐴𝑣

𝑠+ 2 ·

𝐴𝑡

𝑠= 0.091 + 0,1094 = 0,2004 cm2/cm


Se chequea que 𝐴𝑣𝑡

𝑠≥

3,5·𝑏𝑤

𝑓𝑦𝑣⟹ se cumple 0,2004 > 0,0292

Se asume el área de estribos como # 4 de dos ramas: Av = 2·1,27 = 2,54 cm2=

𝑠 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠

𝐴𝑣𝑡 𝑠 =

2,54

0,2004= 12,6746507 cm

Se calculan las separaciones máximas para torsión y para cortante y se coloca la más

exigente:

Por torsión 𝑠𝑚𝑎𝑥 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖ó𝑛 =≤ 𝑃𝑕 8 ; 30 𝑐𝑚 = 152,92 8 ; 30 𝑐𝑚 = 19,12 𝑐𝑚

Por cortante:

Se chequea si Vs es menor que 1,06 · 𝑓′𝑐 · 𝑏𝑤 · 𝑑 = 28763,2091 kgf

Se cumple, entonces smax = d/2 o 60 cm

𝑠𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 =≤ 0,5 · 𝑑 ; 60 𝑐𝑚; 5 · 𝐴𝑣𝑡 · 𝑓𝑦𝑣

𝑏𝑤 · 𝑓′𝑐; 𝐴𝑣𝑡 · 𝑓𝑦𝑣3,5 · 𝑏𝑤

=


𝑠𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 =≤ 0,5 · 53,5 ; 60 𝑐𝑚; 5 · 2,54 · 4200

35 · 210;

2,54 · 4200

3,5 · 35 =

0,5·53,5 = 26,75 cm

5·2,54·4200

35· 210= 105,165991 cm

2,54·4200

3,5·35= 87,0857143 cm

Separación elegida es : s = 12 cm, a partir de 5 cm de la cara del apoyo, hasta donde

sea necesario.

Hacemos una tabla para considerar el efecto de las variaciones en Vu y Tu, en las

separaciones de los estribos:


x (m) Vu Tu 2At/s Av/s 2At/s + Av/s s (cm)

0,535 26090,344 3822 0,1093595 0,09081229 0,20017179 12,6891008

0,6 26044,48 3822 0,1093595 0,09054014 0,19989964 12,7063762

0,7 25973,92 3822 0,1093595 0,09012145 0,19948095 12,7330456

0,8 25903,36 3822 0,1093595 0,08970275 0,19906226 12,7598273

0,9 25832,8 3822 0,1093595 0,08928406 0,19864356 12,7867219

1 25762,24 3822 0,1093595 0,08886537 0,19822487 12,81373

1,1 25691,68 3822 0,1093595 0,08844668 0,19780618 12,8408526

1,2 25621,12 3822 0,1093595 0,08802799 0,19738749 12,8680901

1,25 25585,84 3822 0,1093595 0,08781864 0,19717814 12,8817523

1,4 25480 0 0 0,0871906 0,0871906 29,1315792

Se colocaran estribos cerrados #4, el primero a 5 cm desde la cara de apoyo,

luego 12 estribos a cada 12 cm a todo lo largo de la viga


Se calcula ahora el acero longitudinal.

Se tiene 2𝐴𝑡

𝑠=

3822·100 0.75

1109,49∙4200 ∙𝑐𝑡𝑔 45°= 0,10935956 cm2/cm

Entonces 𝐴𝑡

𝑠= 0,05467978 cm^2/cm

𝑨𝒍 = 𝑨𝒕

𝒔 · 𝒑𝒉 ·

𝒇𝒚𝒗

𝒇𝒚𝒍 · 𝑪𝒕𝒈𝟐𝜽 ≥

𝟏,𝟑𝟑 · 𝒇′𝒄 · 𝑨𝒄𝒑

𝒇𝒚𝒍−

𝑨𝒕

𝒔 · 𝒑𝒉 ·

𝒇𝒚𝒗

𝒇𝒚𝒍

𝑨𝒍 = 𝟎.𝟎𝟓𝟒𝟕 · 𝟏𝟓𝟐,𝟗𝟐 · 𝟏 · 𝟏𝟐 = 8,364724 cm^2

𝟏,𝟑𝟑· 𝟐𝟏𝟎·𝟐𝟏𝟎𝟎

𝟒𝟐𝟎𝟎− 𝟎.𝟎𝟓𝟒𝟕 · 𝟏𝟓𝟐.𝟗𝟐 · 𝟏 = 1,27204154 cm^2

Se distribuye esta área 8,4 cm2 en tres partes, en la parte central de la sección de

la viga se colocan 2 barras de 1/2 “, y en la zona a tensión y a compresión se

agregan 2,94 cm2.