Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 1
TEMA 6 LMITES, CONTINUIDAD Y ASNTOTAS CLCULO GRFICO DE LMITES EJERCICIO 1 : Sobre la grfica de f(x), halla :
46
8
2
6 82 44 28 62
4
6
Y
X
xflim x
a)
xflimx
b)
xflimx 2
c)
xflimx 2
d)
xflimx 0
e)
Solucin: 1 a)
xflim
x 1 b)
xflim
x
xflim
x 2 c)
xflim
x 2d) 1 e)
0
xflim
x
EJERCICIO 2 : A partir de la grfica de f(x), calcula:
46
8Y
X
2
6 824 28 62
4
6
4
xflim x
a)
xflimx
b)
xflimx 1
c)
xflimx 1
d)
xflimx 5
e)
Solucin:
xflim
x a)
xflim
x b) 2 c)
1
xflim
x 3 d)
1
xflim
x 0 e)
5
xflim
x
EJERCICIO 3 : Representa grficamente los siguientes resultados:
xflim
x a)
xglim
x b)
Solucin: a)
b)
EJERCICIO 4 : Representa los siguientes lmites:
xflimxflim
xx 22
Solucin:
2
EJERCICIO 5 : Representa en cada caso los siguientes resultados: 2a)
xflim
x
xglim
x b)
Solucin: a)
2
o bien
2
b)
Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 2 EJERCICIO 6 : Representa grficamente: 1a)
xflim
x 0b)
xglim
1x
Solucin: a)
1
o bien
1
b) Por ejemplo:
1
EJERCICIO 7 : :que sabemos,31 funcin la Para
xxxf
31y
31
33 xxlim
xxlim
xx
Representa grficamente estos dos lmites. Solucin:
3
CLCULO DE LMITES INMEDIATOS
EJERCICIO 8 : Calcula los siguientes lmites:
324a) 23 xx
limx
9b) 23
xlimx
xcoslimx 0
c)
1
3 d)22
xx
xlimx
xlimx
36e)1
Solucin:
92
184
3694
324 a) 23
xx
limx
00999 b) 23
xlimx
10 c)0
cosxcoslimx
d)71
1241
1xx
3xlim22x
e) 3936x36lim
1x
EJERCICIO 9 : 3. en y 1 en 23
funcin la de lmite el Calcula4
xxxxxf
Solucin:
61
21
31
23
4
1
xxlimx
251
2327
23
4
3
xxlimx
EJERCICIO 10 : Calcula los siguientes lmites y representa los resultados que obtengas:
xxxxlim
x
233 2
22a) xxx
xlimx
23 2
22b) xxx
xlimx
231 2
22c)
Solucin:
31
124
222a) 233
xxx
xlimx
02
22b) 23
xxxxlim
x
1
2112
222c)
121231
xx
limxxxlim
xxxxlim
xxx
Hallemos los lmites laterales:
12;
12
11 xxlim
xxlim
xx
2 1 3
1
Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 3 EJERCICIO 11 : Resuelve los siguientes lmites y representa grficamente los resultados obtenidos:
181223a) 2
2
1
xxxxlim
x
181223b) 2
2
xxxxlim
x
181223c) 2
2
3
xxxxlim
x
Solucin:
81
324
181223a) 2
2
1
xx
xxlimx
21
181223b) 2
2
xx
xxlimx
3232
318122
3c)3232
2
3
x
xlimxxxlim
xxxxlim
xxx
Hallamos los lmites laterales:
32;32 33 xxlim
xxlim
xx
1123
1
EJERCICIO 12 : Halla los lmites siguientes y representa grficamente la informacin que obtengas:
4442a) 2
34
1
xx
xxlimx
44
42b) 234
xx
xxlimx 44
42c) 234
2
xx
xxlimx
Solucin:
32
96
4442a) 2
34
1
xx
xxlimx
44
42b) 234
xxxxlim
x
2
22
2244
42c)3
22
3
22
34
2
x
xlimx
xxlimxx
xxlimxxx
Hallamos los lmites laterales:
2
2;2
2 3
2
3
2 xxlim
xxlim
xx
112
1
EJERCICIO 13 : Halla los siguientes lmites y representa los resultados que obtengas:
363a) 2
2
2
xx
xxlimx
363
b) 22
xx
xxlimx
363
c) 22
xx
xxlimx 1
Solucin:
92
276
363a) 2
2
2
xx
xxlimx
31
363b) 2
2
xx
xxlimx
1313
1363
c)1212
2
1
x
xlimx
xxlimxxxxlim
xxx
Hallamos los lmites laterales:
13
;13 11 x
xlimx
xlimxx
EJERCICIO 14 : Calcula los lmites siguientes y representa grficamente los resultados que
obtengas:44
2a) 22
0
xx
xxlimx
44
2b) 22
xx
xxlimx
44
2c) 22
xx
xxlimx 2
Solucin:
Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 4
21
42
442a) 2
2
0
xx
xxlimx
144
2b) 22
xx
xxlimx
2
12
1244
2c)222
2
2
x
xlimx
xxlimxxxxlim
xxx
Hallamos los lmites laterales:
21;
21
22 xxlim
xxlim
xx
1 21
1
CLCULO DE LMITES EJERCICIO 15 : Calcula los siguientes lmites y representa los resultados que obtengas:
3 a) 21
xlimx
22 2
1b) x
limx
1
c) 22
1
x
xxlimx
444d) 2
2
2
xx
xlimx
xxlim
x2
3e)
2
132f) 4
4
x
xxlimx
132g) 4
4
x
xxlimx
2112h)
x
xlimx
2112i)
x
xlimx
33j) xlimx
1
k)3
xxlim
x
Solucin:
2313)a 21
xlimx
22x 2x
1limb)
2
21
21
1xxlim
1x1x1xx
lim1x
xxlim)
1x
1x2
2
1x
c
2x
2xlim2x
2x2xlim4x4x
4xlim2x22x2
2
2x
d)
Hallamos los lmites laterales:
2222
2
2
xxlim
xxlim
x
x
x2
3xlim
2
xe)
21x
x3x2lim4
4
x
f)
21x
x3x2lim4
4
x
g)
0x1
1x2lim2x
h)
Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 5 0
x1
1x2lim2x
i)
3x
x3limj)
1x
xlim3
xk)
EJERCICIO 16: tegrficamen representa yfunciones siguientes las decuando lmite el Halla x
la informacin que obtengas: 122
a)3
xxxf
523b)
32 xxxf
Solucin:
1
22a)
3xxlimx
523b)
32 xxlimx
EJERCICIO 17 : funcinsiguienteladecuando ycuando lmite el Calcula x x
y representa la informacin que obtengas: 3
421 2 xxxf
Solucin:
3421
3421 22 xxlimxxlim
xx
EJERCICIO 18 : Halla los siguientes lmites y representa grficamente los resultados obtenidos:
24a) xlimx
24b) xlimx
Solucin:
24a) xlimx
24b) xlimx
EJERCICIO 19 : Calcula los siguientes lmites y representa el resultado que obtengas:
xxxlim
x 43a)
2
xxxlim
x 43b)
4
Solucin:
xxxlim
x 43a)
2
xxxlim
x 43b)
4
Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 6 CLCULO DE LMITES EJERCICIO 20 : Calcula:
1xea) 2xx
lm 2
4
x x
x3xb)
loglm
1xx3c) 92
xlm
1xed)
x
x lm
x2x3e)
2
x loglm
xx 2
1xf)
lm 2xx
x2g)
lm x
1xh)2
x
lnlm
xxi) 3x
loglm
1x
3j) 2
x
x lm
Solucin:
1a) 2xelm xx
Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.
2
4
2
4 33b)x log
xxlmx log
xxlmxx
Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo.
29
x92
xx1xx3c) lmlm
001x
e1x
e)dx
x
x
x
lmlm
x2x3e)
2
x loglm
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.
xxxx 2
1x
2
1xf) lmlm
2xx
x2g) lm
Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.
0x
1xx
1xh)
2
x
2
x
lnlm
lnlm
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.
xxi) 3
x loglm
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.
00
1x
3
1x
3j)2
x
x2
x
x
lmlm
EJERCICIO 21 : Halla los lmites:
x3x2x5a) 2
xlm
x2x
1x3xb)6
2
x
lm
1x2
1x23c)4
4
x
lm
1x
x2x1xd) 2
32
xlm
1x3x5
2x3e)
2x
lm
x2x3xf) 2
xlm
x21x3g) 2
xlm
2x
1x2h)4
3 5
x
lm
1x
x1x
x3i)2
32
xlm
1x3
3x2j)
2x
lm
Solucin:
Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 7
xxx
xxxxxxlmxxxlm
xx 325
325325325a)
2
22
2
xxx
xxlmxxx
xxxlmxx 325
24
325
9252
2
2
22
02
13
2
13b)6
2
6
2
xx
xxlmxx
xxlmxx
222
1x2
1x23
1x2
1x23c)4
4
x4
4
x
lmlm
2x2xx
x2x1x
)1x()2x(
)2x(x)1x()1x(
1x
x2x1xd)
23
344
x2
322
x2
32
xlmlmlm
222
1223
3
xxxxlm
x
553
53
1x3x5
2x3e)2x
lm
x2x3x
x2x3xx2x3xx2x3xx2x3xf)
2
22
x2
x2
xlmlmlm
xxx
xxlmxxx
xxxlmxx 23
33
23
432
2
2
22
x21x3
x41x3
x21x3
x21x3x21x3x21x3g)
2
22
x2
22
x2
xlmlmlm
xx
xlmx 213
12
2
02x
1x2
2x
1x2h)4
3 5
x4
3 5
x
lmlm
1xxx
xxx3x3
)1x()1x(
)1x(x)1x(x3
1x
x1x
x3i)23
3424
x2
322
x2
32
xlmlmlm
132
23
234
xxxxxxlm
x
332
32
1x3
3x2
1x3
3x2j)2x2x
lmlm
EJERCICIO 22 : Calcula:
a) 323
23
1x 2x7x8x3
1x3x2
lm b)
11x24x2
0x
lm c)
1xxx2xx3
23
2
1x
lm
d)
3x
1x
9x
x223x
lm e) 4x3x
10xx223
2
2x
lm
Solucin:
a)
331x
32
2
1x3
23
23
1x3
2x31x2
1x2x3
1x1x2
2x7x8x3
1x3x2
lmlmlm
b)
)24x2()11x()11x()44x2(
)24x2()11x()11x()11x()24x2()24x2(
11x24x2
0x0x0xlmlmlm
Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 8
144
24x2)11x(2
)24x2(x)11x(x2
0x0x
lmlm
c) )0(
51x1x
2x3
1x1x
2x31x
1xxx
2xx31x21x23
2
1x
lmlmlm
Hallamos los lmites laterales:
1x1x
2x3;1x1x
2x31x1x
lmlm No existe
d)
3x3x
3x4xx23x3x
3x1xx23x1x
9xx2 2
3x3x23xlmlmlm )0(
183x3x3x2x 2
3x
lm
Hallamos los lmites laterales:
3x3x3x2x;
3x3x3x2x 2
3x
2
3xlmlm No existe
e) )0(
92x1x
5x2
2x1x
2x5x2
4x3x
10xx22x22x23
2
2x
lmlmlm
Hallamos los lmites laterales:
2x1x
5x2;2x1x
5x22x2x
lmlm No existe
EJERCICIO 23 : Calcula los lmites:
a) 1xx3
21x 6xx
4x2
lm b) 2xx
22x 4x2x
2x3
lm c) 3x
x22
3x 4x41xx2
lm
d) x3
2
0x 1x51x3x
lm e)
1x1
2
1x 1x3x2x
lm
Solucin:
a)
)1x()6xx()x3()2x3x(
1xx3
6xx6xx4x2
1xx31
6xx4x2
1xx3
21x
2
2
1x2
2
1x21x eee6xx
4x2 lmlmlmlm
21
63
6xx)2x(x3
)1x()6xx()1x()2x(x3
eeee 21x21x
lmlm
b)
)2x()4x2x(x)6x5x(
2xx
4x2x4x2x2x3
2xx1
4x2x2x3
2xx
22x
2
2
2x2
2
2x22x eee4x2x
2x3 lmlmlmlm
21
42
)4x2x()3x(x
)2x()4x2x()2x()3x(x
eeee22x22x
lmlm
c)
3xx2
4x43x5x2
3xx2
4x44x41xx2
3xx21
4x41xx2
3xx2
2
3x
2
3x
2
3x
2
3xeee
4x41xx2 lmlmlmlm
8
211642
4x4x21x2
3x4x4x23x1x2
eeee 3x3x
lmlm
d)
1x5x8xx3
x3
1x5x8x
x3
1x51x51x3x
x31
1x51x3x
x3
2
0x
0x
2
0x
2
0x
2
0xeeee
1x51x3x lmlmlmlmlm
241x5
8x3
ee 0x
lm
e)
1x1
1x2x3x
1x1
1x1x3x2x
1x11
1x3x2x
1x1
2
1x
2
1x
2
1x
2
1xeee
1x3x2x lmlmlmlm
2
11x2x
1x1x1x2x
eee 1x1x
lmlm
Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 9 EJERCICIO 24 : Calcula estos lmites:
2x
x 1x2x32a)
lm 1x2
x
2
5x2x21b)
lm 3x2
x x542x5c)
lm
1x
x
2
5x32x4d)
lm
3x2
x x12e)
lm
21x
2
2
x x32
x3f)
lm
x2
2
2
x 2x
1xg)
lm
x
2
2
x x9x3
7x4h)
lm
2x
x 2x31x2i)
lm
1x
x x232x2j)
lm
Solucin:
23
1232
1232a)
22x
x
x
x xxlm
xxlm
052
21b) 524812
525221121
522112 2222
eeeex
xlm xxlmxx
xxlmx
xx
lmx
xxxx
54
1512
x1512x12
3x2
x54x542x5
3x21
x542x5
3x2
xeeeee
x542x5c) xxx
lm
lmlmlm
34
5x32x4
5x32x4d)
1x
x
1x
x
22
lmlm
02x12
x12e)
3x2
x
3x2
x
lmlm
1eeeex32
x3f) 0x642x2
21x
x32x32x3
21x1
x32x3
21x
2
2
x
2x2
22
x2
2
x
lmlmlm
lm
1eeee2x
1xg) 02xx6x2
2x2x1xx21
2x1xx2
2
2
x
2x2
22
x2
2
x
lmlmlm
lm
043
34
x9x3
7x4
x9x3
7x4h)x
2
2
x
x
2
2
x
lmlm
032
2x31x2
2x31x2i)
22 x
x
x
x
lmlm
25
x235x51x
x23x232x21x1
x232x21x
xeeee
x232x2j) xxx
lm
lmlmlm
EJERCICIO 25 : Halla los lmites:
1xx3xlm 22
xa)
9x3x5x
3xlm233x
b)
1x2x
xxlm2
3
1x
c)
1x
x x342x3lm
d)
2x
x3xlm2
5 3
x
e)
2x
1x
4x
x3lm22x
f)
2xx6xxlm 2
2
2x
g)
xxlm
x2xh)
1x
x31x
x3lm2
32
xi) 1x
1
1x 2x23xlm
j)
Solucin:
Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 10
13
131313a)
22
2222
22
xxx
xxxxxxlmxxxlm
xx
13
13
13
13
13
132222
22
22
22
xxx
xlmxxx
xxxlmxxx
xxxlmxxx
233
xxxlm
x
)0(1
)1()3(1
)1()3(3
9353b)
323233
xx
lmxx
xlmxxx
xlmxxx
Hallamos los lmites laterales:
)1x()3x(
1lm;)1x()3x(
1lm3x3x
Como son distintos No existe el lmite
)0(
21x1xx
lm)1x(
1x1xxlm
1x2x
xxlm1x21x2
3
1x
c)
Hallamos los lmites laterales:
11;
11
11 xxxlm
xxxlm
xx Como son distintos No existe el lmite
4x36x6lm1x
x34x342x3lm1x1x34
2x3lm1x
xxxx eee1
x342x3lmd)
22 1
ee
0x
xlm2x
x3xlm2x
x3xlm5
3
x2
5 3
x2
5 3
x
e)
4x
2x3xx3lm4x
2x1xx3lm
2x1x
4x
x3lm2
2
2x22x22xf) )0(
642
2
2
2
xxlm
x
Hallamos los lmites laterales:
4
2;42
2
2
22
2
2 xxlm
xxlm
xx No existe el lmite
35
1x3xlm
)1x()2x()3x()2x(lm
2xx
6xxlm2x2x2
2
2x
g)
xxx
xxxx.xxlmxxxlmxxxlm
2
22
x2
x2
xh)
21
222
22
xxlm
xxxlm
xxx
xlmxxx
xxxlmxxxx
31x
x3lm1x
x3x3x3lm1x
x31xx3lm
1x
x31x
x3lm2
2
x2
323
x2
32
x2
32
x
i)
41
2x21lm)1x()2x2(
1xlm1x
12x2
2x23xlm1x11
2x23xlm
1x1
1xeeeee1
2x23xlm 1x1x1x1x
j)
Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 11 CONTINUIDAD EJERCICIO 26 : :xf funcin la a ecorrespond grfica siguiente La
46
8Y
X
2
6 824 28 62
4
6
4
Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cul es la causa de la discontinuidad.
Solucin: En x 1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que xflimxflim
xx
11 .
En x 2 s es continua. EJERCICIO 27 : A partir de la grfica de f(x ) seala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.
46
8
2
26 82 44 28 6
46
Y
X
Solucin: En x = 0, s es continua. En x = 3 es discontinua porque no est definida, ni tiene lmite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una asntota vertical). EJERCICIO 28 : :xf de grfica la Dada
46
8
2
6 82 44 28 62
46
Y
X
a) Es continua en x 1? b) Y en x 2? Si no es continua en alguno de los puntos, indica cul es la razn de la discontinuidad.
Solucin: a) S es continua en x 1. b) No, en x 2 es discontinua porque no est definida en ese punto. Como s tiene lmite en ese punto, es
una discontinuidad evitable.
EJERCICIO 29 : Averigua si la siguiente funcin es continua en x 2:
2si22si2
xxxxxf
Solucin:
.fxflimx
f
xlimxflim
xlimxflim
xxx
xx2porque2 en continua Es
42
42
42
222
22
Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 12
EJERCICIO 30 : Comprueba si la siguiente funcin es continua en x 0.
0si2
20si12 2
xxxx
xf
Solucin:
.0 porque0 en continua Es
10
12
2
112
000
2
00
fxflimx
f
xlimxflim
xlimxflim
xxx
xx
EJERCICIO 31 : :1 en continua seaque para de valor el Halla xxf k
1si1si12
xkxxxf
Solucin:
En x 1:
311.2)1(f
.kxflim
31x2limxflimxflim
1x
1x1x1x
k = 3
Solucin: f continua en x = 1 si k = 3 EJERCICIO 32 : Estudia la continuidad de las siguientes funciones y represntalas grficamente:
a)
0si20si2 2
xxxxxf b)
1si11si2 2
xxxxxf c)
1si11si1
2 xxxxxf
d)
0si10si1
2 xxxxf e)
2si12
2si2
2
xx
xxxf f)
2si12si32
xxxxf
g)
1si2
131si2
xxxx
xf h)
0si10si2 2
xxxxf i)
2si2si32
2 xxxxxf
j)
0si10si1 2
xxxxxf
Solucin: a) Continuidad:
f continua en R {0}
En x 0:
202)0(f
.0x2limxflim
2x2limxflimxflim
20x0x
20x0x
0x
f discontinua inevitable de salto finito(2) en x=0
Representacin:
0si20si2 2
xxxxxf
parbola. de un trozo es ,0x Si (Vx = 0) recta. de trozo un es,0 Si x
X - -2 -1 0 0+ 1 + Y - -2 1 2 0 2 +
4 22
4
24
2 4
Y
X
Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 13 b) Continuidad
f continua en R {1}
En x 1:
21.2)1(f
.21xlimxflim
2x2limxflimxflim
21x1x
21x1x
1x f continua en x = 1
Solucin: f continua en todo R. Representacin parbola. de un trozo es ,1x Si (Vx = 0)
recta. de trozo un es ,1 Si x
X - -2 -1 0 1 1+ 2 + Y + 8 2 0 2 2 3 +
4 22
24
2 4
6
8Y
X
c) Continuidad
f continua en R {-1}
En x -1:
011)1(f
.01xlimxflim
01xlimxflimxflim 2
1x1x
1x1x
1x
f continua en x = -1
Solucin: f continua en todo R. Representacin: recta. de un trozo es,1xSi
parbola. de trozo un es ,1Si x (Vx = 0)
X - -2 -1 -1+ 0 1 2 + Y - -1 0 0 -1 0 3 +
46 2246
2
4
2 4
Y
X
d) Continuidad
f continua en R {0}
En x 0:
11)0(f
.1x1limxflim
11limxflimxflim 2
0x0x
0x0x
0x f continua en x = 0
Solucin: f continua en todo R Representacin: .horizontal recta de un trozo es ,0xSi
parbola. de trozo un es ,0Si x (Vx = 0)
X - -1 0 0 1+ 2 + Y 1 1 1 1 0 -3 -
4 26246
24
2 4
Y
X
Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 14 e) Continuidad:
f continua en R {2}
En x 2:
22
2)2(f
.51x2limxflim
22
xlimxflimxflim
22x2x
2
2x2x2x
f discontinua inevitable de salto finito(3) en x=2
Representacin: parbola. de un trozo es ,2x Si (Vx = 0)
recta. de un trozo es ,2xSi
4 26
2
2
2 4 6
Y
X
468
f) Continuidad:
f continua en R {2}
En x 2:
132)2(f
.11limxflim
13xlimxflimxflim
22x2x
22x2x
2x
f continua en x = 2
Solucin: f continua en todo R. Representacin: Si x 2, es un trozo de parbola. (Vx = 0)
Si x > 2, es un trozo de recta horizontal.
X - -2 -1 0 1 2 2+ 3 + Y + 1 -2 -3 -2 1 1 1 1
g) Continuidad f continua en R {1}
En x 1:
11)1(f
.1
21x3limxflim
1xlimxflimxflim
21x1x
21x1x
1x
f continua en x = 1
Solucin: f continua en todo R. Representacin: Si x 1, es un trozo de parbola. (Vx = 0)
Si x > 1, es un trozo de recta.
X - -2 -1 0 1 1+ 2 + Y + 4 1 0 1 1 5/2 +
h) Continuidad
f continua en R {0}
En x 0:
202)0(f
.11limxflim
2x2limxflimxflim
0x0x
20x0x
0x
f discontinua inevitable de salto finito(1) en x=0
Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 15 Representacin: Si x 0, es un trozo de parbola.(Vx = 0)
Si x > 0, es un trozo de recta horizontal.
X - -2 -1 0 2+ 3 + Y - -2 1 2 1 1 1
i) Continuidad
f continua en R {-2}
En x -2:
13)2.(2)2(f
.4xlimxflim
13x2limxflimxflim 2
2x2x
2x2x
2x
f discontinua inevitable de salto finito(5) en
x=-2 Representacin Si x 2 es un trozo de recta.
Si x > 2 es un trozo de parbola. (Vx = 0)
X - -3 -2 -2+ -1 0 1 2 + Y - -3 -1 4 1 0 1 4 +
j) Continuidad
f continua en R {0}
En x 0:
101)0(f
.11xlimxflim
1x1limxflimxflim
20x0x
20x0x
0x
f continua en x = 0
Solucin: f continua en todo R Representacin: Si x 0, es un trozo de parbola.(Vx = 0)
Si x > 0, es un trozo de recta.
X - -2 -1 0 2+ 3 + Y - -3 0 1 3 4 +
ASNTOTAS EJERCICIO 33 : Calcula el lmite de la siguiente funcin en el punto x 3 y estudia su
comportamiento por la izquierda y por la derecha: 3
1
x
xf
Solucin: 303 xx Calculamos los lmites laterales:
3
13
133 x
limx
limxx
3
Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 16 EJERCICIO 34 : Calcula el siguiente lmite y estudia el comportamiento de la funcin a la izquierda y
a la derecha de x 3: 9
123 x
limx
Solucin: 331
91
323
xxlim
xlim
xx
Calculamos los lmites laterales:
9
19
12323 x
limx
limxx
3
EJERCICIO 35 : Calcula el siguiente lmite y estudia el comportamiento de la funcin por la izquierda
y por la derecha de x 0: xx
xlimx 2
1220
Solucin: 212
212
020
xx
xlimxx
xlimxx
Calculamos los lmites laterales:
xx
xlimxx
xlimxx 2
12212
2020
EJERCICIO 36 : Calcula el siguiente lmite y estudia el comportamiento de la funcin por la izquierda
y por la derecha de x 2: 22 2
1
x
xlimx
Solucin:
222222 2
121
21
xxlim
xxlim
xxlim
xxx
2
EJERCICIO 37 : 2. en )(de lmite el calcula,65
1funcin la Dada2
xxf
xx
xxf Representa
la informacin que obtengas.
Solucin: 32
165
12
xxx
xxx
Calculamos los lmites laterales:
65
132
1222 xx
xlimxx
xlimxx
2
EJERCICIO 38 : Halla las asntotas verticales de las siguientes funciones y sita las curvas respecto a ellas:
a) 112
2
xxxf b)
121
2
xxxf
Solucin: a) .1;1012 xxx Las asntotas verticales son x 1 y x 1. Posicin de la curva respecto a ellas:
Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 17
1
1211
12211 xxlim
xxxlim
xx
1
12112
2121 xxlim
xxlim
xx
11
b) 10122 xxx Solo tiene una asntota vertical: x 1 Posicin de la curva respecto a la asntota:
22 1
112
1
xxx
2121 1
11
1x
limx
limxx
1
EJERCICIO 39 : Halla las ramas infinitas de las siguientes funciones y representa los resultados obtenidos:
a) xxxxf 223
23
b) 33 xxf c) 241
xxxf d)
xxxxf
1
2 3
Solucin:
a)
xxxlim
xxxlim
x
x
223
22323
23
b)
33 33 xlimxlimxx
c)
2
4
2
4
1
1
xxlim
xxlim
x
x
d)
xxxlim
xxxlim
x
x
12
12
3
3
EJERCICIO 40 : funciones siguientes las decuando infinitas, ramas las Halla ,x y representa la informacin que obtengas: 42a) xxf 2b) xxxf Solucin:
42a) xlimx
2) xxlimbx
EJERCICIO 41 : ,x cuando infinitas, ramas las Halla de las siguientes funciones y representa los resultados que obtengas: 31a) xxf xxxf 2b) Solucin:
31a) xlimx
xxlimx
2b)
Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 18
EJERCICIO 42 : Calcular las asntotas horizontales de estas funciones y representa los resultados que obtengas:
a) 112
2
2
xxxf b)
221
2
xxxf
Solucin:
a)
2)100(f2)100(f
2y.V.A
21x
1x2lim
21x
1x2lim
2
2
x
2
2
x
2
b)
0)100(f0)100(f
0y.V.A0
2x2
1xlim
02x2
1xlim
2x
2x
EJERCICIO 43 : Las siguientes funciones tienen una asntota oblicua. Hllala y sita las curvas respecto a ellas:
a) 122
x
xxxf b) 1
22
3
xxxf
Solucin: y = mx + n
a)
1xy
111
1xxlim
1xxxx2xlimx.1
1xx2xlimmx)x(flimn
1xx
x2xlimx
1xx2x
limx
)x(flimm
x
22
x
2
xx
2
2
x
2
xx
1x y :oblicua Asntota
)100(tsinA)100(f)100(tsinA)100(f
1
1
y x+= 1
b)
x2y
01x
x2lim1x
x2x2x2limx.21x
x2limmx)x(flimn
2xx
x2limx
1x
x2
limx
)x(flimm
2x2
33
x2
3
xx
3
3
x
2
3
xx
x y 2 :oblicua Asntota
)100(tsinA)100(f)100(tsinA)100(f
2
1 y=2x
Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 19 EJERCICIO 44 : Halla las asntotas de las siguientes funciones y sita las curvas respecto a ellas:
a) 112
2
2
xxxf b) 2
2 3x
xxxf
Solucin: a) Asntotas verticales: Puntos que anulan el denominador: x2 1 = 0 x = 1
x = 1
1x
1x2lim
;1x
1x2lim
2
2
1x
2
2
1x x = 1
1x
1x2lim
;1x
1x2lim
2
2
1x
2
2
1x
Asntota horizontal: 2
112
2112
2
2
2
2
xxlim
xxlim
x
x y = 2
2)100(f2)100(f
Representacin:
b) Asntota vertical: Puntos que anulan el denominador x2 = 0 x 0
x3xlim
x3xlim
x3xlim
x
3xxlimx
x3xlim
0x
0x0x20x2
2
0x
Asntota horizontal:
1x
x3xlim
1x
x3xlim
2
2
x
2
2
x
y = 1
1)100(f1)100(f
Representacin: